Widmo ciągu okresowego. Widmo ciągu impulsów prostokątnych

2. Widmo okresowego ciągu impulsów prostokątnych

Rozważ okresową sekwencję prostokątnych impulsów pokazaną na ryc. 5. Sygnał ten charakteryzuje się czasem trwania impulsu, jego amplitudą i okresem. Naprężenie jest wykreślane wzdłuż osi pionowej.

Ryc.5. Okresowa sekwencja impulsów prostokątnych

Wybieramy punkt początkowy w środku impulsu. Następnie sygnał jest rozwijany tylko w cosinusach. Częstotliwości harmoniczne to n/T, gdzie N- dowolna liczba całkowita. Amplitudy harmonicznych zgodnie z (1.2.) będą równe:

ponieważ V(t)=mi w , gdzie jest czas trwania impulsu i V(t)=0 w , wtedy

Wygodnie jest zapisać tę formułę w postaci:

(2.1.)

Wzór (1.5.) podaje zależność amplitudy n-tej harmonicznej od okresu i czasu trwania w postaci funkcji ciągłej (funkcja ). Funkcja ta nazywana jest obwiednią widma. Należy pamiętać, że ma to znaczenie fizyczne tylko przy częstotliwościach, w których występują odpowiednie harmoniczne. Na ryc. Rysunek 6 przedstawia widmo okresowej sekwencji prostokątnych impulsów.

Ryc.6. Widmo ciągu okresowego

impulsy prostokątne.

Konstruując kopertę mamy na myśli to - jest

Oscylująca funkcja częstotliwości, której mianownik rośnie monotonicznie wraz ze wzrostem częstotliwości. Otrzymuje się zatem funkcję quasi-oscylującą ze stopniowym spadkiem. Gdy częstotliwość dąży do zera, zarówno licznik, jak i mianownik dążą do zera, a ich stosunek dąży do jedności (pierwsza granica klasyczna). Zerowe wartości obwiedni występują w punktach gdzie tj.

Gdzie M– liczba całkowita (z wyjątkiemM

Okresowa sekwencja prostokątnych impulsów wideo to funkcja modulująca służąca do tworzenia okresowej sekwencji prostokątnych impulsów radiowych (PPRP), które stanowią sygnały sondujące służące do wykrywania i pomiaru współrzędnych ruchomych celów. Dlatego wykorzystując widmo funkcji modulującej (PPVI) można w stosunkowo prosty i szybki sposób wyznaczyć widmo sygnału sondującego (PPVI). Kiedy sygnał sondujący odbija się od poruszającego się celu, zmieniają się częstotliwości widma harmonicznego fali nośnej (efekt Dopplera). Dzięki temu możliwa jest identyfikacja użytecznego sygnału odbitego od poruszającego się celu na tle zakłócających (zakłócających) wibracji odbitych od obiektów nieruchomych (obiektów lokalnych) lub obiektów wolno poruszających się (formacje meteorologiczne, stada ptaków itp.) .

PPPVI (ryc. 1.42) to zbiór pojedynczych prostokątnych impulsów wideo następujących po sobie w równych odstępach czasu. Analityczne wyrażenie sygnału.

gdzie jest amplituda impulsu; - czas trwania impulsu; – okres powtarzania impulsu; – częstotliwość powtarzania impulsów, ; – cykl pracy.

Do obliczenia składu widmowego okresowej sekwencji impulsów stosuje się szereg Fouriera. Mając znane widma pojedynczych impulsów tworzących sekwencję okresową, możemy wykorzystać zależność pomiędzy gęstością widmową impulsów a zespolonymi amplitudami szeregu:

Dla pojedynczego prostokątnego impulsu wideo gęstość widmową opisuje wzór

Korzystając z zależności między gęstością widmową pojedynczego impulsu a złożonymi amplitudami szeregu, znajdujemy

gdzie = 0; ± 1; ± 2; ...

Widmo amplitudowo-częstotliwościowe (ryc. 1.43) będzie reprezentowane przez zestaw składników:

w tym przypadku wartości dodatnie odpowiadają zerowym fazom początkowym, a wartości ujemne odpowiadają fazom początkowym równym .

Zatem wyrażenie analityczne dla PPPVI będzie równe

Z analizy wykresów pokazanych na rysunku 1.43 wynika, że:

· Widmo PPPVI jest dyskretne i składa się z indywidualnych harmonicznych o częstotliwości.

· Koperta ASF zmienia się zgodnie z prawem.

· Maksymalna wartość obwiedni przy jest równa wartości składnika stałego.

· Początkowe fazy harmonicznych w listkach nieparzystych są równe 0, w listkach parzystych.

· Liczba harmonicznych w każdym płacie jest równa .

Szerokość widma sygnału przy 90% energii sygnału

· Baza sygnału, więc sygnał jest prosty.

Jeśli zmienisz czas trwania impulsów lub częstotliwość ich powtarzania F(kropka), wówczas zmienią się parametry widma i jego ASF.

Rysunek 1.43 pokazuje przykład zmiany sygnału i jego ASF po podwojeniu czasu trwania impulsu.

Okresowe sekwencje prostokątnych impulsów wideo i ich parametry ASF, T,. I , T, pokazano na rysunku 1.44.

Z analizy podanych wykresów wynika, że:

1. Dla PPPVI z czasem trwania impulsu:

· Cła Q=4, dlatego w każdym płacie znajdują się 3 harmoniczne;

· Częstotliwość k-tej harmonicznej;

· Szerokość widma sygnału przy poziomie energii 90%;

Składnik stały jest równy

2. Dla PPPVI z czasem trwania impulsu:

· Cła q= 2 zatem w każdym płacie znajduje się 1 harmoniczna;

· Częstotliwość k-tej harmonicznej pozostaje niezmieniona;

· Szerokość widma sygnału na poziomie 90% jego energii zmniejszyła się 2-krotnie;

· Składnik stały wzrósł 2 razy.

Można zatem stwierdzić, że wraz ze wzrostem czasu trwania impulsu ASF ulega „kompresji” wzdłuż osi rzędnych (szerokość widma sygnału maleje), natomiast amplitudy składowych widmowych rosną. Częstotliwości harmoniczne nie zmieniają się.

Na rysunku 1.44. Przedstawiono przykład zmiany sygnału i jego ASF wraz ze wzrostem okresu powtarzalności 4-krotnym (4-krotnym zmniejszeniem częstotliwości powtarzania).

c) szerokość widma sygnału na poziomie 90% jego energii nie uległa zmianie;

d) składnik stały zmniejszył się 4-krotnie.

Można zatem stwierdzić, że wraz ze wzrostem okresu powtarzania (zmniejszeniem częstotliwości powtarzania) w ASF następuje „kompresja” wzdłuż osi częstotliwości (amplitudy harmonicznych zmniejszają się wraz ze wzrostem ich liczby w obrębie każdego płata) . Szerokość widma sygnału nie zmienia się. Dalsze zmniejszenie częstotliwości powtarzania (wzrost okresu powtarzania) doprowadzi (w ) do zmniejszenia amplitud harmonicznych do nieskończenie małych wartości. W takim przypadku sygnał zmieni się w pojedynczy, a zatem widmo stanie się ciągłe.

Rozważmy okresową sekwencję impulsów prostokątnych o okresie T, czasie trwania impulsu t u i wartości maksymalnej. Znajdźmy rozwinięcie szeregowe takiego sygnału, wybierając początek współrzędnych, jak pokazano na ryc. 15. W tym przypadku funkcja jest symetryczna względem osi rzędnych, tj. wszystkie współczynniki składowych sinusoidalnych = 0 i należy obliczyć tylko współczynniki.

składnik stały

(2.28)

Składową stałą jest wartość średnia w okresie, tj. to obszar impulsu podzielony przez cały okres, tj. , tj. to samo miało miejsce w przypadku ścisłych obliczeń formalnych (2.28).

Pamiętajmy, że częstotliwość pierwszej harmonicznej wynosi ¦ 1 = , gdzie T jest okresem sygnału prostokątnego. Odległość pomiędzy harmonicznymi D¦=¦ 1. Jeśli liczba harmoniczna n okaże się taka, że ​​argumentem sinusa będzie , wówczas amplituda tej harmonicznej po raz pierwszy spadnie do zera. Warunek ten jest spełniony, gdy . Nazywa się liczbę harmoniczną, przy której jej amplituda zanika po raz pierwszy „pierwsze zero” i oznacz ją literą N, podkreślając szczególne właściwości tej harmonicznej:

Natomiast współczynnik wypełnienia S impulsów jest stosunkiem okresu T do czasu trwania impulsu t u , tj. . Dlatego „pierwsze zero” jest liczbowo równe cyklowi pracy impulsu N=S. Ponieważ sinus dąży do zera dla wszystkich wartości argumentu będących wielokrotnościami p, amplitudy wszystkich harmonicznych z liczbami będącymi wielokrotnościami liczby „pierwszego zera” również wychodzą na zero. To znaczy o , gdzie k– dowolna liczba całkowita. Na przykład z (2.22) i (2.23) wynika, że ​​widmo impulsów prostokątnych o współczynniku wypełnienia 2 składa się tylko z harmonicznych nieparzystych. Ponieważ S=2, Następnie N=2, tj. amplituda drugiej harmonicznej po raz pierwszy spada do zera - jest to „pierwsze zero”. Ale wtedy amplitudy wszystkich innych harmonicznych z liczbami podzielnymi przez 2, tj. wszystkie parzyste muszą również dążyć do zera. Przy cyklu pracy S=3, zerowe amplitudy będą wynosić 3, 6, 9, 12, ... harmoniczne.

Wraz ze wzrostem współczynnika wypełnienia „pierwsze zero” przesuwa się w obszar harmonicznych o większych liczbach, a w konsekwencji maleje tempo spadku amplitud harmonicznych. Proste obliczenie amplitudy pierwszej harmonicznej w U m=100 V dla cyklu pracy S=2, Um 1= 63,7 V, przy S=5, Um 1=37,4 V i przy S=10, Um 1=19,7 V, tj. Wraz ze wzrostem współczynnika wypełnienia amplituda pierwszej harmonicznej gwałtownie maleje. Jeśli znajdziemy stosunek amplitudy, na przykład, piątej harmonicznej Um 5 do amplitudy pierwszej harmonicznej Um 1, to dla S=2, Um 5/Um 1=0,2 i dla S=10, U m 5 / U m 1 = 0,9, tj. współczynnik tłumienia wyższych harmonicznych maleje wraz ze wzrostem cyklu pracy.

Zatem wraz ze wzrostem współczynnika wypełnienia widmo sekwencji prostokątnych impulsów staje się bardziej jednolite.

Literatura: [L.1], s. 40

Jako przykład podajemy rozwinięcie szeregu Fouriera okresowej sekwencji prostokątnych impulsów o amplitudzie, czasie trwania i okresie powtarzania, symetrycznych względem zera, tj.

, (2.10)

Tutaj

Daje to rozwinięcie takiego sygnału w szereg Fouriera

, (2.11)

gdzie jest cykl pracy.

Aby uprościć zapis, możesz wprowadzić zapis

, (2.12)

Wtedy (2.11) zostanie zapisane w następujący sposób

, (2.13)

Na ryc. 2.3 przedstawia sekwencję prostokątnych impulsów. Widmo sekwencji, jak również każdego innego sygnału okresowego, ma charakter dyskretny (liniowy).

Obwiednia widma (ryc. 2.3, b) jest proporcjonalna . Odległość wzdłuż osi częstotliwości między dwoma sąsiednimi składnikami widma wynosi , a między dwiema wartościami zerowymi (szerokość płatka widma) wynosi . Liczba składowych harmonicznych w jednym płatku, łącznie z wartością zerową po prawej stronie rysunku, wynosi , gdzie znak oznacza zaokrąglenie do najbliższej liczby całkowitej, mniej (jeżeli współczynnik wypełnienia jest liczbą ułamkową) lub (jeżeli współczynnik wypełnienia jest wartością całkowitą). Wraz ze wzrostem okresu częstotliwość podstawowa maleje, składowe widmowe na wykresie zbliżają się do siebie, zmniejszają się także amplitudy harmonicznych. W takim przypadku kształt koperty zostaje zachowany.

Przy rozwiązywaniu praktycznych problemów analizy widmowej zamiast częstotliwości kątowych stosuje się częstotliwości cykliczne , mierzone w hercach. Oczywiście odległość pomiędzy sąsiednimi harmonicznymi na wykresie będzie wynosić , a szerokość jednego płatka widma będzie wynosić . Wartości te przedstawiono w nawiasach na wykresie.

W praktycznej inżynierii radiowej w większości przypadków zamiast reprezentacji widmowej (ryc. 2.3, b) stosuje się diagramy spektralne widm amplitudy i fazy. Widmo amplitudowe sekwencji impulsów prostokątnych pokazano na ryc. 2.3, ok.

Oczywiście obwiednia widma amplitudowego jest proporcjonalna .

Jeśli chodzi o widmo fazowe (ryc. 2.3, d), uważa się, że początkowe fazy składowych harmonicznych zmieniają się gwałtownie o wielkość -π gdy zmienia się znak koperty sinc kπ/q. Zakłada się, że początkowe fazy harmonicznych pierwszego płatka wynoszą zero. Następnie będą początkowe fazy harmonicznych drugiego płata φ = -π , trzeci płatek φ = -2π itp.

Rozważmy inną reprezentację sygnału w postaci szeregu Fouriera. W tym celu korzystamy ze wzoru Eulera

.

Zgodnie z tym wzorem k-tą składową (2.9) rozwinięcia sygnału w szereg Fouriera można przedstawić w następujący sposób

; . (2.15)

Tutaj ilości i są zespolone i reprezentują złożone amplitudy składowych widma. Potem seria

Fourier (2.8) po uwzględnieniu (2.14) przyjmie następującą postać

, (2.16)

, (2.17)

Łatwo sprawdzić, że rozwinięcie (2.16) odbywa się w zakresie funkcji bazowych , które są również ortogonalne w przedziale , tj.

Wyrażenie (2.16) jest złożona forma Szereg Fouriera, który rozciąga się na częstotliwości ujemne. Ilości i , gdzie oznacza złożony koniugat wielkości, są nazywane złożone amplitudy widmo Ponieważ jest wielkością zespoloną, wynika z (2.15), że

I .

Całość stanowi wówczas widmo amplitudowe, a całość stanowi widmo fazowe sygnału.

Na ryc. Rysunek 2.4 przedstawia wykres widmowy widma omawianej powyżej sekwencji prostokątnych impulsów, reprezentowanej przez zespolony szereg Fouriera

Widmo również ma charakter liniowy, jednak w odróżnieniu od poprzednio rozważanych widm wyznacza się je zarówno w obszarze częstotliwości dodatnich, jak i w obszarze częstotliwości ujemnych. Ponieważ jest parzystą funkcją argumentu, wykres widmowy jest symetryczny względem zera.

Na podstawie (2.15) możemy ustalić zgodność między współczynnikami a rozwinięciem (2.3). Ponieważ

I ,

w rezultacie otrzymujemy

. (2.18)

Wyrażenia (2.5) i (2.18) pozwalają znaleźć wartości w praktycznych obliczeniach.

Podajmy geometryczną interpretację złożonej postaci szeregu Fouriera. Wybierzmy k-tą składową widma sygnału. W postaci złożonej k-ty składnik opisuje wzór

gdzie i są określone przez wyrażenia (2.15).

Na płaszczyźnie zespolonej każdy wyraz z (2.19) jest przedstawiony jako wektor długości , obracane pod kątem względem osi rzeczywistej i obracające się z częstotliwością w przeciwnych kierunkach (rys. 2.5).

Oczywiście suma tych wektorów daje wektor znajdujący się na osi rzeczywistej, którego długość wynosi . Ale ten wektor odpowiada składowej harmonicznej

Jeśli chodzi o rzuty wektorów na wyimaginowaną oś, rzuty te mają równe długości, ale przeciwne kierunki i sumują się do zera. Oznacza to, że sygnały przedstawione w postaci zespolonej (2.16) są w rzeczywistości sygnałami rzeczywistymi. Innymi słowy, złożona postać szeregu Fouriera to matematyczny abstrakcja bardzo wygodna do rozwiązywania wielu problemów analizy spektralnej. Dlatego czasami nazywa się widmo określone przez trygonometryczny szereg Fouriera widmo fizyczne, a złożona postać szeregu Fouriera to widmo matematyczne.

Podsumowując, rozważymy kwestię rozkładu energii i mocy w widmie sygnału okresowego. W tym celu korzystamy z równości Parsevala (1.42). Kiedy sygnał jest rozkładany na trygonometryczny szereg Fouriera, wyrażenie (1.42) przyjmuje postać

.

Energia prądu stałego

,

oraz energia k-tej harmonicznej

.

Następnie energia sygnału

. (2.20)

Ponieważ średnia moc sygnału

,

następnie biorąc pod uwagę (2.18)

. (2.21)

Kiedy sygnał jest rozwijany w złożony szereg Fouriera, wyrażenie (1.42) przyjmuje postać

,

Gdzie
- energia k-tej harmonicznej.

W tym przypadku energia sygnału

,

i jego średnią moc

.

Z powyższych wyrażeń wynika, że ​​energia lub średnia moc k-tego składnika widmowego widma matematycznego jest o połowę mniejsza niż energia lub moc odpowiedniego składnika widmowego widma fizycznego. Wynika to z faktu, że widmo fizyczne jest równomiernie rozłożone pomiędzy widmami matematycznymi.

-τ i /2

τ i /2

T

T

U 0

S(t)

Zadanie nr 1, grupa RI – 210701

Z wyjścia źródła komunikatu odbierane są sygnały niosące informację, a także sygnały zegarowe służące do synchronizacji pracy nadajnika i odbiornika systemu transmisyjnego. Sygnały informacyjne mają postać nieokresową, a sygnały zegarowe - okresową sekwencją impulsów.

Aby prawidłowo ocenić możliwość transmisji takich impulsów kanałami komunikacyjnymi, określimy ich skład widmowy. Sygnał okresowy w postaci impulsów o dowolnym kształcie można rozwinąć w szereg Fouriera zgodnie z (7).

Do transmisji w liniach napowietrznych i kablowych wykorzystywane są sygnały o różnych kształtach. Wybór tej czy innej formy zależy od charakteru przesyłanych komunikatów, widma częstotliwości sygnałów oraz parametrów częstotliwości i czasu sygnałów. W technologii przesyłania komunikatów dyskretnych szeroko stosowane są sygnały o kształcie zbliżonym do impulsów prostokątnych.

Obliczmy widmo, tj. zbiór stałych amplitud i

składowe harmoniczne okresowych impulsów prostokątnych (rysunek 4,a) z czasem trwania i okresem. Ponieważ sygnał jest parzystą funkcją czasu, to w wyrażeniu (3) znikają wszystkie parzyste składowe harmoniczne ( =0), a składowe nieparzyste przyjmują następujące wartości:

(10)

Składnik stały jest równy

(11)

Dla sygnału 1:1 (punkty telegraficzne) Rysunek 4a:

,
. (12)

Moduły amplitud składowych widmowych sekwencji impulsów prostokątnych z okresem
są pokazane na ryc. 4, ur. Oś odciętych pokazuje częstotliwość powtarzania impulsu głównego
() i częstotliwości nieparzystych składowych harmonicznych
,
itp. Obwiednia widma zmienia się zgodnie z prawem.

Wraz ze wzrostem okresu w porównaniu z czasem trwania impulsu wzrasta liczba składowych harmonicznych w składzie widmowym sygnału okresowego. Na przykład dla sygnału z okresem (ryc. 4, c) stwierdzamy, że składnik stały jest równy

W paśmie częstotliwości od zera do częstotliwości występuje pięć składowych harmonicznych (ryc. 4, d), podczas gdy występuje tylko jeden przypływ.

Wraz z dalszym zwiększaniem okresu powtarzania impulsów liczba składowych harmonicznych staje się coraz większa. W skrajnym przypadku kiedy
sygnał staje się nieokresową funkcją czasu, liczba jego składowych harmonicznych w paśmie częstotliwości od zera do częstotliwości wzrasta do nieskończoności; będą one zlokalizowane w nieskończenie bliskich odległościach częstotliwości, widmo sygnału nieokresowego stanie się ciągłe.

Rysunek 4

2.4 Widmo pojedynczego impulsu

Określony jest pojedynczy impuls wideo (Rysunek 5):

Rysunek 5

Metoda szeregów Fouriera pozwala na głębokie i owocne uogólnienie, co pozwala uzyskać charakterystyki widmowe sygnałów nieokresowych. Aby to zrobić, uzupełnijmy w myślach pojedynczy impuls tymi samymi impulsami, okresowo następującymi po pewnym odstępie czasu, i uzyskajmy wcześniej zbadaną sekwencję okresową:

Wyobraźmy sobie pojedynczy impuls jako sumę impulsów okresowych o dużym okresie.

, (14)

gdzie są liczbami całkowitymi.

Do okresowych oscylacji

. (15)

Aby powrócić do pojedynczego impulsu, skierujmy okres powtarzania do nieskończoności: . W tym przypadku oczywiste jest:

, (16)

Oznaczmy

. (17)

Ilość jest charakterystyką widmową (funkcją) pojedynczego impulsu (bezpośrednia transformata Fouriera). Zależy to tylko od czasowego opisu impulsu i ogólnie jest złożone:

, (18) gdzie
; (19)

; (20)

,

Gdzie
- moduł funkcji widmowej (odpowiedź amplitudowo-częstotliwościowa impulsu);

- kąt fazowy, charakterystyka fazowo-częstotliwościowa impulsu.

Znajdźmy dla pojedynczego impulsu korzystając ze wzoru (8) korzystając z funkcji widmowej:

.

Jeśli , otrzymamy:

. (21)

Wynikowe wyrażenie nazywa się odwrotną transformatą Fouriera.

Całka Fouriera definiuje pęd jako nieskończoną sumę nieskończenie małych składowych harmonicznych zlokalizowanych na wszystkich częstotliwościach.

Na tej podstawie mówią o widmie ciągłym (stałym), które posiada pojedynczy impuls.

Całkowita energia impulsu (energia uwolniona przy rezystancji czynnej Ohm) jest równa

(22)

Zmieniając porządek całkowania, otrzymujemy

.

Całka wewnętrzna jest funkcją widmową pędu przyjmowaną z argumentem -, tj. jest złożoną wielkością sprzężoną:

Stąd

Moduł kwadratowy (iloczyn dwóch sprzężonych liczb zespolonych jest równy modułowi kwadratowemu).

W tym przypadku umownie mówi się, że widmo impulsów jest dwustronne, tj. zlokalizowane w paśmie częstotliwości od do.

Podana zależność (23), która ustala związek pomiędzy energią impulsu (przy rezystancji 1 oma) a modułem jego funkcji widmowej, nazywana jest równością Parsevala.

Stwierdza, że ​​energia zawarta w impulsie jest równa sumie energii wszystkich składowych jego widma. Równość Parsevala charakteryzuje ważną właściwość sygnałów. Jeśli jakiś system selektywny transmituje tylko część widma sygnału, osłabiając jego pozostałe składowe, oznacza to, że część energii sygnału jest tracona.

Ponieważ kwadrat modułu jest parzystą funkcją zmiennej całkującej, to podwajając wartość całki, można wprowadzić całkowanie w zakresie od 0 do:

. (24)

W tym przypadku mówią, że widmo impulsów znajduje się w paśmie częstotliwości od 0 do i nazywa się jednostronnym.

Całka w (23) nazywana jest widmem energii (spektralną gęstością energii) impulsu

Charakteryzuje rozkład energii według częstotliwości, a jego wartość przy częstotliwości jest równa energii impulsu na pasmo częstotliwości równej 1 Hz. Zatem energia impulsu jest wynikiem całkowania widma energii sygnału w całym zakresie częstotliwości, czyli inaczej, energia jest równa obszarowi zawartemu pomiędzy krzywą obrazującą widmo energii sygnału a osią odciętych.

Aby oszacować rozkład energii w widmie, użyj funkcji całkowania względnego rozkładu energii (charakterystyka energetyczna)

, (25)

Gdzie
- energia impulsu w danym paśmie częstotliwości od 0 do, która charakteryzuje część energii impulsu skupioną w zakresie częstotliwości od 0 do.

W przypadku pojedynczych impulsów o różnych kształtach prawdziwe są następujące prawa: