გამოჩნდა ახალი დავალებები. მოდით შევხედოთ მათ გამოსავალს.
დავალების პროტოტიპი B8 (No. 317543)
ნახატზე ნაჩვენებია y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი და მონიშნულია წერტილები -2, -1, 1, 2. ამ წერტილებიდან რომელზეა წარმოებულის მნიშვნელობა უდიდესი? გთხოვთ, თქვენს პასუხში მიუთითოთ ეს წერტილი.
როგორც ვიცით ე.წ
ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი არგუმენტის ზრდასთან, როდესაც არგუმენტის ზრდა ნულისკენ მიისწრაფვის:
წარმოებული პუნქტში გვიჩვენებს ფუნქციის ცვლილების სიჩქარეამ ეტაპზე. რაც უფრო სწრაფად იცვლება ფუნქცია, ანუ რაც უფრო დიდია ფუნქციის ზრდა, მით მეტია ტანგენსის დახრის კუთხე. ვინაიდან პრობლემა მოითხოვს იმ წერტილის დადგენას, რომელშიც წარმოებულის მნიშვნელობა არის უდიდესი, ჩვენ გამოვრიცხავთ აბსცისებით წერტილებს -1 და 1 - ამ წერტილებში ფუნქცია მცირდება და მათზე წარმოებული არის უარყოფითი.
ფუნქცია იზრდება -2 და 2 წერტილებში. თუმცა, ის იზრდება მათთან სხვადასხვა გზით - -2 წერტილში ფუნქციის გრაფიკი იზრდება უფრო ციცაბო, ვიდრე 2 წერტილში, და, შესაბამისად, ფუნქციის ზრდა ამ წერტილში და, შესაბამისად, წარმოებული, უფრო დიდია.
პასუხი: -2
და მსგავსი დავალება:
დავალების პროტოტიპი B8 (No. 317544)
ნახატზე ნაჩვენებია ფუნქციის გრაფიკი და მონიშნულია წერტილები -2, -1, 1, 4. ამ წერტილებიდან რომელზეა წარმოებული ყველაზე პატარა? გთხოვთ, თქვენს პასუხში მიუთითოთ ეს წერტილი.
ამ პრობლემის გადაწყვეტა მსგავსია წინა პრობლემის გადაწყვეტის "ზუსტად საპირისპირო"
ჩვენ გვაინტერესებს ის წერტილი, როდესაც წარმოებული იღებს თავის უმცირეს მნიშვნელობას, ანუ ჩვენ ვეძებთ წერტილს, სადაც ფუნქცია ყველაზე სწრაფად მცირდება - გრაფიკზე ეს არის წერტილი, სადაც ხდება ყველაზე ციცაბო "დაღმართი". ეს არის აბსცისის წერტილი 4.
Ძვირფასო მეგობრებო! წარმოებულთან დაკავშირებული ამოცანების ჯგუფში შედის ამოცანები - პირობა იძლევა ფუნქციის გრაფიკს, ამ გრაფიკზე რამდენიმე პუნქტს და ჩნდება კითხვა:
რომელ წერტილში არის წარმოებული უდიდესი (უმცირესი)?
მოკლედ გავიმეოროთ:
წარმოებული წერტილის ტოლია ტანგენსის დახრილობისაეს წერტილი გრაფიკზე.
უტანგენსის გლობალური კოეფიციენტი, თავის მხრივ, უდრის ამ ტანგენსის დახრილობის კუთხის ტანგენტს.
*ეს ეხება კუთხეს ტანგენტსა და x-ღერძს შორის.
1. ფუნქციის გაზრდის ინტერვალებში წარმოებულს აქვს დადებითი მნიშვნელობა.
2. მისი შემცირების ინტერვალებში წარმოებულს აქვს უარყოფითი მნიშვნელობა.
განვიხილოთ შემდეგი ესკიზი:
1,2,4 წერტილებში ფუნქციის წარმოებულს აქვს უარყოფითი მნიშვნელობა, ვინაიდან ეს წერტილები მიეკუთვნება კლებად ინტერვალებს.
3,5,6 წერტილებში ფუნქციის წარმოებულს აქვს დადებითი მნიშვნელობა, ვინაიდან ეს წერტილები მიეკუთვნება მზარდ ინტერვალებს.
როგორც ხედავთ, წარმოებულის მნიშვნელობით ყველაფერი ნათელია, ანუ საერთოდ არ არის რთული იმის დადგენა, თუ რა ნიშანი აქვს მას (დადებითი თუ უარყოფითი) გრაფიკის გარკვეულ წერტილში.
უფრო მეტიც, თუ გონებრივად ავაშენებთ ტანგენტებს ამ წერტილებზე, დავინახავთ, რომ 3, 5 და 6 წერტილებზე გამავალი სწორი ხაზები ქმნიან კუთხეებს oX ღერძით 0-დან 90 o-მდე, ხოლო სწორი ხაზები, რომლებიც გადიან 1, 2 და 4 წერტილებზე. oX ღერძით კუთხეები მერყეობს 90 o-დან 180 o-მდე.
*ურთიერთობა ნათელია: ტანგენტები, რომლებიც გადიან წერტილებს, რომლებიც მიეკუთვნებიან მზარდი ფუნქციების ინტერვალებს, ქმნიან მახვილ კუთხეებს oX ღერძთან, ტანგენტები, რომლებიც გადიან წერტილებს, რომლებიც მიეკუთვნებიან კლებადი ფუნქციების ინტერვალებს, ქმნიან ბლაგვ კუთხეებს oX ღერძთან.
ახლა მთავარი კითხვა!
როგორ იცვლება წარმოებულის მნიშვნელობა? ყოველივე ამის შემდეგ, უწყვეტი ფუნქციის გრაფიკის სხვადასხვა წერტილში ტანგენსი ქმნის სხვადასხვა კუთხეს, იმისდა მიხედვით, თუ რომელ წერტილში გადის იგი გრაფიკზე.
*ან, მარტივად რომ ვთქვათ, ტანგენსი უფრო „ჰორიზონტალურად“ ან „ვერტიკალურად“ მდებარეობს. შეხედე:
სწორი ხაზები ქმნიან კუთხეებს oX ღერძით 0-დან 90 o-მდე
სწორი ხაზები ქმნიან კუთხეებს oX ღერძით 90°-დან 180°-მდე.
ამიტომ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვა:
— გრაფიკის მოცემულ წერტილებიდან რომელ წერტილში აქვს წარმოებულს ყველაზე მცირე მნიშვნელობა?
- გრაფიკის მოცემულ წერტილებიდან რომელ წერტილში აქვს წარმოებულს უდიდესი მნიშვნელობა?
შემდეგ პასუხის გასაცემად აუცილებელია იმის გაგება, თუ როგორ იცვლება ტანგენტის კუთხის ტანგენტის მნიშვნელობა 0-დან 180 o-მდე დიაპაზონში.
*როგორც უკვე აღვნიშნეთ, ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა წერტილში უდრის oX ღერძზე ტანგენსის დახრის კუთხის ტანგენტს.
ტანგენტის მნიშვნელობა იცვლება შემდეგნაირად:
როდესაც სწორი ხაზის დახრილობის კუთხე იცვლება 0°-დან 90°-მდე, ტანგენსის და შესაბამისად წარმოებულის მნიშვნელობა შესაბამისად იცვლება 0-დან +∞-მდე;
როდესაც სწორი ხაზის დახრილობის კუთხე იცვლება 90°-დან 180°-მდე, ტანგენტის და შესაბამისად წარმოებულის მნიშვნელობა შესაბამისად იცვლება -∞ 0-მდე.
ეს აშკარად ჩანს ტანგენტის ფუნქციის გრაფიკიდან:
მარტივი სიტყვებით:
ტანგენტის დახრილობის კუთხით 0°-დან 90°-მდე
რაც უფრო ახლოს იქნება ის 0 o-სთან, მით უფრო დიდი იქნება წარმოებულის მნიშვნელობა ნულთან ახლოს (დადებით მხარეზე).
რაც უფრო ახლოს არის კუთხე 90°-მდე, მით უფრო გაიზრდება წარმოებული მნიშვნელობა +∞-ისკენ.
ტანგენტური დახრილობის კუთხით 90°-დან 180°-მდე
რაც უფრო უახლოვდება 90 o-ს, მით უფრო შემცირდება წარმოებული მნიშვნელობა –∞-ისკენ.
რაც უფრო ახლოს იქნება კუთხე 180°-თან, მით მეტი იქნება წარმოებულის მნიშვნელობა ნულთან ახლოს (უარყოფით მხარეს).
317543. ნახატზე ნაჩვენებია y = ფუნქციის გრაფიკი ვ(x) და ქულები აღინიშნება–2, –1, 1, 2. ამ წერტილებიდან რომელზეა წარმოებული უდიდესი? გთხოვთ, თქვენს პასუხში მიუთითოთ ეს წერტილი.
გვაქვს ოთხი წერტილი: ორი მათგანი მიეკუთვნება იმ ინტერვალებს, რომლებზეც ფუნქცია მცირდება (ეს არის წერტილები –1 და 1) და ორი იმ ინტერვალებს, რომლებზეც ფუნქცია იზრდება (ეს არის –2 და 2 წერტილები).
დაუყოვნებლივ შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ –1 და 1 წერტილებში წარმოებულს აქვს უარყოფითი მნიშვნელობა, ხოლო –2 და 2 წერტილებში მას აქვს დადებითი მნიშვნელობა. ამიტომ, ამ შემთხვევაში, აუცილებელია გავაანალიზოთ –2 და 2 პუნქტები და დავადგინოთ, რომელ მათგანს ექნება ყველაზე დიდი მნიშვნელობა. ავაშენოთ ტანგენტები, რომლებიც გადის მითითებულ წერტილებში:
კუთხის ტანგენტის მნიშვნელობა a სწორ ხაზსა და აბსცისის ღერძს შორის იქნება უფრო დიდი, ვიდრე კუთხის ტანგენტის მნიშვნელობა b სწორ წრფესა და ამ ღერძს შორის. ეს ნიშნავს, რომ წარმოებულის მნიშვნელობა –2 წერტილში იქნება უდიდესი.
მოდით ვუპასუხოთ შემდეგ კითხვას: რომელ წერტილში –2, –1, 1 ან 2 არის წარმოებულის მნიშვნელობა ყველაზე უარყოფითი? გთხოვთ, თქვენს პასუხში მიუთითოთ ეს წერტილი.
წარმოებულს ექნება უარყოფითი მნიშვნელობა იმ წერტილებში, რომლებიც მიეკუთვნებიან კლებად ინტერვალებს, ამიტომ განვიხილოთ წერტილები –2 და 1. ავაშენოთ მათზე გამვლელი ტანგენტები:
ჩვენ ვხედავთ, რომ ბლაგვი კუთხე სწორ წრფეს b და oX ღერძს შორის არის "უფრო ახლოს" 180-მდე.ო , მაშასადამე, მისი ტანგენსი უფრო დიდი იქნება, ვიდრე a სწორი ხაზის და oX ღერძის მიერ წარმოქმნილი კუთხის ტანგენსი.
ამრიგად, x = 1 წერტილში წარმოებულის მნიშვნელობა იქნება უდიდესი უარყოფითი.
317544. ნახატზე ნაჩვენებია y = ფუნქციის გრაფიკი ვ(x) და ქულები აღინიშნება–2, –1, 1, 4. ამ წერტილებიდან რომელზეა წარმოებული ყველაზე პატარა? გთხოვთ, მიუთითოთ ეს წერტილი თქვენს პასუხში.
გვაქვს ოთხი წერტილი: ორი მათგანი ეკუთვნის იმ ინტერვალებს, რომლებშიც ფუნქცია მცირდება (ეს არის წერტილები –1 და 4) და ორი იმ ინტერვალებს, რომლებშიც ფუნქცია იზრდება (ეს არის –2 და 1 წერტილები).
დაუყოვნებლივ შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ –1 და 4 წერტილებში წარმოებულს აქვს უარყოფითი მნიშვნელობა, ხოლო –2 და 1 წერტილებში მას აქვს დადებითი მნიშვნელობა. ამიტომ, ამ შემთხვევაში, აუცილებელია გავაანალიზოთ –1 და 4 წერტილები და დავადგინოთ, რომელ მათგანს ექნება ყველაზე მცირე მნიშვნელობა. ავაშენოთ ტანგენტები, რომლებიც გადის მითითებულ წერტილებში:
კუთხის ტანგენტის მნიშვნელობა a სწორ ხაზსა და აბსცისის ღერძს შორის იქნება უფრო დიდი, ვიდრე კუთხის ტანგენტის მნიშვნელობა b სწორ წრფესა და ამ ღერძს შორის. ეს ნიშნავს, რომ წარმოებულის მნიშვნელობა x = 4 წერტილში იქნება ყველაზე პატარა.
პასუხი: 4
იმედია არ "გადატვირთე" წერის მოცულობით. სინამდვილეში, ყველაფერი ძალიან მარტივია, თქვენ უბრალოდ უნდა გესმოდეთ წარმოებულის თვისებები, მისი გეომეტრიული მნიშვნელობა და როგორ იცვლება კუთხის ტანგენტის მნიშვნელობა 0-დან 180 o-მდე.
1. ჯერ განსაზღვრეთ წარმოებულის ნიშნები ამ წერტილებში (+ ან -) და შეარჩიეთ საჭირო წერტილები (დასმული კითხვის მიხედვით).
2. ააგეთ ტანგენტები ამ წერტილებზე.
3. ტანგესოიდური გრაფიკის გამოყენებით, სქემატურად მონიშნეთ კუთხეები და ჩვენებაალექსანდრე.
P.S: მადლობელი ვიქნები, თუ მომიყვებით საიტის შესახებ სოციალურ ქსელებში.
ამოცანა B9 იძლევა ფუნქციის ან წარმოებულის გრაფიკს, საიდანაც თქვენ უნდა განსაზღვროთ შემდეგი სიდიდეებიდან ერთ-ერთი:
- წარმოებულის მნიშვნელობა რაღაც მომენტში x 0,
- მაქსიმალური ან მინიმალური ქულები (ექსტრემალური ქულები),
- მზარდი და კლებადი ფუნქციების ინტერვალები (ერთფეროვნების ინტერვალები).
ამ პრობლემაში წარმოდგენილი ფუნქციები და წარმოებულები ყოველთვის უწყვეტია, რაც გადაწყვეტას ბევრად აადვილებს. იმისდა მიუხედავად, რომ დავალება მათემატიკური ანალიზის განყოფილებას განეკუთვნება, ყველაზე სუსტ მოსწავლეებსაც კი შეუძლიათ ამის გაკეთება, რადგან აქ ღრმა თეორიული ცოდნა არ არის საჭირო.
წარმოებულის, ექსტრემალური წერტილებისა და ერთფეროვნების ინტერვალების მნიშვნელობის საპოვნელად არსებობს მარტივი და უნივერსალური ალგორითმები - ყველა მათგანი ქვემოთ იქნება განხილული.
ყურადღებით წაიკითხეთ B9 პრობლემის პირობები, რათა თავიდან აიცილოთ სულელური შეცდომები: ხანდახან წააწყდებით საკმაოდ ვრცელ ტექსტებს, მაგრამ არის რამდენიმე მნიშვნელოვანი პირობა, რომელიც გავლენას ახდენს ამოხსნის მსვლელობაზე.
წარმოებული მნიშვნელობის გაანგარიშება. ორი წერტილის მეთოდი
თუ პრობლემას მოცემულია f(x) ფუნქციის გრაფიკი, რომელიც ტანგენტია ამ გრაფიკზე რაღაც წერტილში x 0, და საჭიროა ამ ეტაპზე წარმოებულის მნიშვნელობის პოვნა, გამოიყენება შემდეგი ალგორითმი:
- იპოვეთ ორი „ადეკვატური“ წერტილი ტანგენტის გრაფიკზე: მათი კოორდინატები უნდა იყოს მთელი რიცხვი. ავღნიშნოთ ეს წერტილები A (x 1 ; y 1) და B (x 2 ; y 2). ჩაწერეთ კოორდინატები სწორად - ეს არის ამოხსნის მთავარი წერტილი და ნებისმიერი შეცდომა აქ გამოიწვევს არასწორ პასუხს.
- კოორდინატების ცოდნით ადვილია არგუმენტის Δx = x 2 − x 1 და Δy = y 2 − y 1 ფუნქციის ნამატის გამოთვლა.
- საბოლოოდ, ჩვენ ვპოულობთ წარმოებულის მნიშვნელობას D = Δy/Δx. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თქვენ უნდა გაყოთ ფუნქციის ზრდა არგუმენტის ზრდაზე - და ეს იქნება პასუხი.
კიდევ ერთხელ აღვნიშნოთ: A და B წერტილები ზუსტად უნდა ვეძებოთ ტანგენსზე და არა f(x) ფუნქციის გრაფიკზე, როგორც ეს ხშირად ხდება. ტანგენტის ხაზი აუცილებლად შეიცავს მინიმუმ ორ ასეთ წერტილს - წინააღმდეგ შემთხვევაში პრობლემა არ იქნება სწორად ჩამოყალიბებული.
განვიხილოთ წერტილები A (−3; 2) და B (−1; 6) და იპოვეთ ნამატები:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.
ვიპოვოთ წარმოებულის მნიშვნელობა: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.
დავალება. ნახატზე ნაჩვენებია y = f(x) ფუნქციის გრაფიკი და მასზე ტანგენსი x 0 აბსცისის წერტილში. იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x 0 წერტილში.
განვიხილოთ წერტილები A (0; 3) და B (3; 0), იპოვეთ ნამატები:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.
ახლა ვპოულობთ წარმოებულის მნიშვნელობას: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.
დავალება. ნახატზე ნაჩვენებია y = f(x) ფუნქციის გრაფიკი და მასზე ტანგენსი x 0 აბსცისის წერტილში. იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x 0 წერტილში.
განვიხილოთ წერტილები A (0; 2) და B (5; 2) და იპოვეთ ნამატები:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.
რჩება წარმოებულის მნიშვნელობის პოვნა: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.
ბოლო მაგალითიდან შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ წესი: თუ ტანგენსი პარალელურია OX ღერძისა, ფუნქციის წარმოებული ტანგენციის წერტილში არის ნული. ამ შემთხვევაში, თქვენ არც კი გჭირდებათ არაფრის დათვლა - უბრალოდ შეხედეთ გრაფიკს.
მაქსიმალური და მინიმალური ქულების გაანგარიშება
ზოგჯერ, ფუნქციის გრაფიკის ნაცვლად, ამოცანა B9 იძლევა წარმოებულის გრაფიკს და მოითხოვს ფუნქციის მაქსიმალური ან მინიმალური წერტილის პოვნას. ამ სიტუაციაში ორპუნქტიანი მეთოდი გამოუსადეგარია, მაგრამ არსებობს სხვა, კიდევ უფრო მარტივი ალგორითმი. პირველ რიგში, მოდით განვსაზღვროთ ტერმინოლოგია:
- x 0 წერტილს ეწოდება f(x) ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი, თუ ამ წერტილის რომელიმე სამეზობლოში მოქმედებს შემდეგი უტოლობა: f(x 0) ≥ f(x).
- x 0 წერტილს უწოდებენ f(x) ფუნქციის მინიმალურ წერტილს, თუ ამ წერტილის რომელიმე სამეზობლოში მოქმედებს შემდეგი უტოლობა: f(x 0) ≤ f(x).
იმისათვის, რომ იპოვოთ მაქსიმალური და მინიმალური ქულები წარმოებული გრაფიკიდან, უბრალოდ მიჰყევით ამ ნაბიჯებს:
- გადახაზეთ წარმოებული გრაფიკი, წაშალეთ ყველა არასაჭირო ინფორმაცია. როგორც პრაქტიკა გვიჩვენებს, არასაჭირო მონაცემები მხოლოდ გადაწყვეტილებას ერევა. აქედან გამომდინარე, ჩვენ აღვნიშნავთ წარმოებულის ნულებს კოორდინატთა ღერძზე - და ეს არის ის.
- გაარკვიეთ წარმოებულის ნიშნები ნულებს შორის ინტერვალებზე. თუ x 0 წერტილისთვის ცნობილია, რომ f'(x 0) ≠ 0, მაშინ შესაძლებელია მხოლოდ ორი ვარიანტი: f'(x 0) ≥ 0 ან f'(x 0) ≤ 0. წარმოებულის ნიშანია მარტივია ორიგინალური ნახაზის დადგენა: თუ წარმოებული გრაფიკი დევს OX ღერძის ზემოთ, მაშინ f'(x) ≥ 0. და პირიქით, თუ წარმოებული გრაფიკი მდებარეობს OX ღერძის ქვემოთ, მაშინ f'(x) ≤ 0.
- ჩვენ კვლავ ვამოწმებთ წარმოებულის ნულებს და ნიშნებს. სადაც ნიშანი იცვლება მინუსიდან პლუსზე არის მინიმალური წერტილი. პირიქით, თუ წარმოებულის ნიშანი იცვლება პლუსიდან მინუსზე, ეს არის მაქსიმალური წერტილი. დათვლა ყოველთვის კეთდება მარცხნიდან მარჯვნივ.
ეს სქემა მუშაობს მხოლოდ უწყვეტი ფუნქციებისთვის - პრობლემა B9-ში სხვა არ არის.
დავალება. ნახატზე ნაჩვენებია [−5] ინტერვალზე განსაზღვრული f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი; 5]. იპოვეთ f(x) ფუნქციის მინიმალური წერტილი ამ სეგმენტზე.
მოვიშოროთ არასაჭირო ინფორმაცია და დავტოვოთ მხოლოდ საზღვრები [−5; 5] და x = −3 და x = 2,5 წარმოებულის ნულები. ჩვენ ასევე აღვნიშნავთ ნიშნებს:
ცხადია, x = −3 წერტილში წარმოებულის ნიშანი იცვლება მინუსიდან პლუსზე. ეს არის მინიმალური წერტილი.
დავალება. ნახატზე ნაჩვენებია [−3] ინტერვალზე განსაზღვრული f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი; 7]. იპოვეთ f(x) ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი ამ სეგმენტზე.
მოდით გადავახაზოთ გრაფიკი და დავტოვოთ მხოლოდ საზღვრები [−3; 7] და წარმოებულის ნულები x = −1,7 და x = 5. აღვნიშნოთ წარმოებულის ნიშნები მიღებულ გრაფიკზე. Ჩვენ გვაქვს:
ცხადია, x = 5 წერტილში წარმოებულის ნიშანი იცვლება პლუსიდან მინუსამდე - ეს არის მაქსიმალური წერტილი.
დავალება. ნახატზე ნაჩვენებია [−6] ინტერვალზე განსაზღვრული f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი; 4]. იპოვეთ f(x) ფუნქციის მაქსიმალური წერტილების რაოდენობა, რომელიც მიეკუთვნება სეგმენტს [−4; 3].
ამოცანის პირობებიდან გამომდინარეობს, რომ საკმარისია გრაფის მხოლოდ სეგმენტით შეზღუდული ნაწილის გათვალისწინება [−4; 3]. ამიტომ, ვაშენებთ ახალ გრაფიკს, რომელზედაც აღვნიშნავთ მხოლოდ საზღვრებს [−4; 3] და მის შიგნით წარმოებულის ნულები. კერძოდ, წერტილები x = −3.5 და x = 2. მივიღებთ:
ამ გრაფიკზე არის მხოლოდ ერთი მაქსიმალური წერტილი x = 2. სწორედ ამ დროს იცვლება წარმოებულის ნიშანი პლუსიდან მინუსზე.
მცირე შენიშვნა არა მთელი რიცხვის კოორდინატებით წერტილების შესახებ. მაგალითად, ბოლო ამოცანაში განიხილებოდა წერტილი x = −3,5, მაგრამ იგივე წარმატებით შეგვიძლია ავიღოთ x = −3,4. თუ პრობლემა სწორად არის შედგენილი, ასეთი ცვლილებები არ უნდა იმოქმედოს პასუხზე, რადგან პუნქტები „ფიქსირებული საცხოვრებელი ადგილის გარეშე“ უშუალოდ არ მონაწილეობენ პრობლემის გადაჭრაში. რა თქმა უნდა, ეს ხრიკი არ იმუშავებს მთელი რიცხვით.
გაზრდის და კლების ფუნქციების ინტერვალების მოძიება
ასეთ პრობლემაში, როგორც მაქსიმალური და მინიმალური ქულები, შემოთავაზებულია გამოვიყენოთ წარმოებული გრაფიკი იმ უბნების მოსაძებნად, რომლებშიც თავად ფუნქცია იზრდება ან მცირდება. ჯერ განვსაზღვროთ რა არის მატება და კლება:
- f(x) ფუნქცია იზრდება სეგმენტზე, თუ რომელიმე ორი წერტილისთვის x 1 და x 2 ამ სეგმენტიდან არის შემდეგი განცხადება: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რაც უფრო დიდია არგუმენტის მნიშვნელობა, მით უფრო დიდია ფუნქციის მნიშვნელობა.
- f(x) ფუნქციას ეწოდება კლებადი სეგმენტზე, თუ ამ სეგმენტის ნებისმიერი ორი წერტილისთვის x 1 და x 2 სწორია შემდეგი დებულება: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). იმათ. უფრო დიდი არგუმენტის მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის უფრო მცირე მნიშვნელობას.
მოდით ჩამოვაყალიბოთ საკმარისი პირობები გაზრდისა და შემცირებისთვის:
- იმისათვის, რომ f(x) უწყვეტი ფუნქცია სეგმენტზე გაიზარდოს, საკმარისია მისი წარმოებული სეგმენტის შიგნით იყოს დადებითი, ე.ი. f'(x) ≥ 0.
- იმისათვის, რომ f(x) უწყვეტი ფუნქცია სეგმენტზე შემცირდეს, საკმარისია მისი წარმოებული სეგმენტის შიგნით იყოს უარყოფითი, ე.ი. f'(x) ≤ 0.
მოდით მივიღოთ ეს განცხადებები მტკიცებულების გარეშე. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ სქემას ზრდისა და კლების ინტერვალების საპოვნელად, რომელიც მრავალი თვალსაზრისით მსგავსია ექსტრემალური წერტილების გამოთვლის ალგორითმს:
- წაშალეთ ყველა არასაჭირო ინფორმაცია. წარმოებულის თავდაპირველ გრაფიკში ჩვენ პირველ რიგში გვაინტერესებს ფუნქციის ნულები, ამიტომ მხოლოდ მათ დავტოვებთ.
- მონიშნეთ წარმოებულის ნიშნები ნულებს შორის ინტერვალებში. სადაც f'(x) ≥ 0, ფუნქცია იზრდება, ხოლო სადაც f'(x) ≤ 0, მცირდება. თუ პრობლემა ადგენს შეზღუდვებს x ცვლადზე, ჩვენ დამატებით აღვნიშნავთ მათ ახალ გრაფიკზე.
- ახლა, როდესაც ჩვენ ვიცით ფუნქციის ქცევა და შეზღუდვები, რჩება პრობლემაში საჭირო რაოდენობის გამოთვლა.
დავალება. ნახატზე ნაჩვენებია [−3] ინტერვალზე განსაზღვრული f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი; 7.5]. იპოვეთ f(x) ფუნქციის შემცირების ინტერვალები. თქვენს პასუხში მიუთითეთ ამ ინტერვალებში შემავალი მთელი რიცხვების ჯამი.
ჩვეულებისამებრ, მოდით გადავახაზოთ გრაფიკი და მოვნიშნოთ საზღვრები [−3; 7.5], ასევე x = −1.5 და x = 5.3 წარმოებულის ნულები. შემდეგ ჩვენ აღვნიშნავთ წარმოებულის ნიშნებს. Ჩვენ გვაქვს:
ვინაიდან წარმოებული უარყოფითია ინტერვალზე (− 1.5), ეს არის კლების ფუნქციის ინტერვალი. რჩება ამ ინტერვალის შიგნით არსებული ყველა რიცხვის შეჯამება:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
დავალება. ნახატზე ნაჩვენებია f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი, რომელიც განსაზღვრულია [−10; 4]. იპოვეთ f(x) ფუნქციის გაზრდის ინტერვალები. თქვენს პასუხში მიუთითეთ მათგან ყველაზე დიდი სიგრძე.
მოვიშოროთ არასაჭირო ინფორმაცია. დავტოვოთ მხოლოდ საზღვრები [−10; 4] და წარმოებულის ნულები, რომელთაგან ამჯერად ოთხი იყო: x = −8, x = −6, x = −3 და x = 2. ავღნიშნოთ წარმოებულის ნიშნები და მივიღოთ შემდეგი სურათი:
ჩვენ გვაინტერესებს ფუნქციის გაზრდის ინტერვალები, ე.ი. ისეთი სადაც f’(x) ≥ 0. გრაფიკზე ორი ასეთი ინტერვალია: (−8; −6) და (−3; 2). გამოვთვალოთ მათი სიგრძე:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.
ვინაიდან ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ყველაზე დიდი ინტერვალების სიგრძე, პასუხად ვწერთ მნიშვნელობას l 2 = 5.
ფუნქციის წარმოებული ერთ-ერთი რთული თემაა სასკოლო სასწავლო გეგმაში. ყველა კურსდამთავრებული არ უპასუხებს კითხვას, თუ რა არის წარმოებული.
ეს სტატია მარტივად და ნათლად განმარტავს რა არის წარმოებული და რატომ არის საჭირო.. ჩვენ ახლა არ ვისწრაფვით მათემატიკური სიმკაცრისკენ პრეზენტაციაში. მთავარია მნიშვნელობის გაგება.
გავიხსენოთ განმარტება:
წარმოებული არის ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე.
სურათზე ნაჩვენებია სამი ფუნქციის გრაფიკი. როგორ ფიქრობთ, რომელი უფრო სწრაფად იზრდება?
პასუხი აშკარაა - მესამე. მას აქვს ცვლილების ყველაზე მაღალი მაჩვენებელი, ანუ ყველაზე დიდი წარმოებული.
აი კიდევ ერთი მაგალითი.
კოსტიამ, გრიშამ და მატვეიმ ერთდროულად იმუშავეს. ვნახოთ, როგორ შეიცვალა მათი შემოსავალი წლის განმავლობაში:
გრაფიკი ერთდროულად აჩვენებს ყველაფერს, არა? კოსტიას შემოსავალი ექვს თვეში გაორმაგდა. და გრიშას შემოსავალიც გაიზარდა, მაგრამ ცოტათი. და მატვეის შემოსავალი ნულამდე შემცირდა. საწყისი პირობები იგივეა, მაგრამ ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე, ანუ წარმოებული, - განსხვავებული. რაც შეეხება მატვეის, მისი შემოსავლის წარმოებული ზოგადად უარყოფითია.
ინტუიციურად, ჩვენ ადვილად ვაფასებთ ფუნქციის ცვლილების სიჩქარეს. მაგრამ როგორ გავაკეთოთ ეს?
რასაც ჩვენ რეალურად ვუყურებთ არის ის, თუ რამდენად ციცაბო მოძრაობს ფუნქციის გრაფიკი ზემოთ (ან ქვემოთ). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რამდენად სწრაფად იცვლება y, როდესაც x იცვლება? ცხადია, ერთსა და იმავე ფუნქციას სხვადასხვა წერტილში შეიძლება ჰქონდეს განსხვავებული წარმოებული მნიშვნელობები - ანუ ის შეიძლება შეიცვალოს უფრო სწრაფად ან ნელა.
ფუნქციის წარმოებული აღინიშნება.
ჩვენ გაჩვენებთ, თუ როგორ უნდა იპოვოთ იგი გრაფიკის გამოყენებით.
შედგენილია ზოგიერთი ფუნქციის გრაფიკი. ავიღოთ წერტილი მასზე აბსცისით. მოდით დავხატოთ ტანგენსი ამ ფუნქციის გრაფიკზე. ჩვენ გვინდა შევაფასოთ, თუ რამდენად ციცაბო აწევს ფუნქციის გრაფიკი. ამისათვის მოსახერხებელი ღირებულებაა ტანგენსი კუთხის ტანგენსი.
ფუნქციის წარმოებული წერტილის ტოლია ამ წერტილის ფუნქციის გრაფიკზე დახატული ტანგენტის კუთხის ტანგენტისა.
გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ტანგენტის დახრის კუთხედ ვიღებთ კუთხეს ტანგენტსა და ღერძის დადებით მიმართულებას შორის.
ზოგჯერ სტუდენტები კითხულობენ რა არის ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი. ეს არის სწორი ხაზი, რომელსაც აქვს ერთი საერთო წერტილი ამ განყოფილების გრაფიკთან და როგორც ნაჩვენებია ჩვენს ფიგურაში. ის ჰგავს წრეზე ტანგენტს.
მოდი ვიპოვოთ. ჩვენ გვახსოვს, რომ მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის ტანგენსი უდრის მოპირდაპირე მხარის შეფარდებას მეზობელ მხარესთან. სამკუთხედიდან:
ჩვენ ვიპოვეთ წარმოებული გრაფიკის გამოყენებით ფუნქციის ფორმულის ცოდნის გარეშე. ასეთი პრობლემები ხშირად გვხვდება მათემატიკაში ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში ნომრის ქვეშ.
არის კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი ურთიერთობა. შეგახსენებთ, რომ სწორი ხაზი მოცემულია განტოლებით
რაოდენობა ამ განტოლებაში ეწოდება სწორი ხაზის ფერდობზე. ის ტოლია სწორი ხაზის ღერძისადმი დახრილობის კუთხის ტანგენტს.
.
ჩვენ ამას მივიღებთ
გავიხსენოთ ეს ფორმულა. იგი გამოხატავს წარმოებულის გეომეტრიულ მნიშვნელობას.
ფუნქციის წარმოებული წერტილის ტოლია იმ წერტილის ფუნქციის გრაფიკზე დახატული ტანგენსის დახრილობისა.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წარმოებული ტოლია ტანგენსის კუთხის ტანგენტს.
ჩვენ უკვე ვთქვით, რომ ერთსა და იმავე ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს განსხვავებული წარმოებულები სხვადასხვა წერტილში. ვნახოთ, როგორ უკავშირდება წარმოებული ფუნქციის ქცევას.
დავხატოთ რაიმე ფუნქციის გრაფიკი. დაე ეს ფუნქცია გაიზარდოს ზოგიერთ რაიონში და შემცირდეს ზოგში და სხვადასხვა სიჩქარით. და მოდით ამ ფუნქციას ჰქონდეს მაქსიმალური და მინიმალური ქულები.
ერთ მომენტში ფუნქცია იზრდება. წერტილში დახატული გრაფიკის ტანგენსი ქმნის მახვილ კუთხეს ღერძის დადებითი მიმართულებით. ეს ნიშნავს, რომ წარმოებული წერტილი დადებითია.
იმ მომენტში ჩვენი ფუნქცია მცირდება. ტანგენსი ამ წერტილში ქმნის ბლაგვ კუთხეს ღერძის დადებითი მიმართულებით. ვინაიდან ბლაგვი კუთხის ტანგენსი უარყოფითია, წარმოებული წერტილი უარყოფითია.
აი რა ხდება:
თუ ფუნქცია იზრდება, მისი წარმოებული დადებითია.
თუ ის მცირდება, მისი წარმოებული უარყოფითია.
რა მოხდება მაქსიმალურ და მინიმალურ წერტილებზე? ჩვენ ვხედავთ, რომ წერტილებში (მაქსიმალური წერტილი) და (მინიმალური წერტილი) ტანგენსი ჰორიზონტალურია. მაშასადამე, ამ წერტილებში ტანგენსის ტანგენსი არის ნული, ხოლო წარმოებულიც არის ნული.
წერტილი - მაქსიმალური ქულა. ამ დროს ფუნქციის ზრდა იცვლება შემცირებით. შესაბამისად, წარმოებულის ნიშანი იცვლება წერტილში „პლუს“-დან „მინუსში“.
წერტილში - მინიმალური წერტილი - წარმოებული ასევე ნულია, მაგრამ მისი ნიშანი იცვლება "მინუსიდან" "პლუს".
დასკვნა: წარმოებულის გამოყენებით შეგვიძლია გავარკვიოთ ყველაფერი, რაც გვაინტერესებს ფუნქციის ქცევის შესახებ.
თუ წარმოებული დადებითია, მაშინ ფუნქცია იზრდება.
თუ წარმოებული უარყოფითია, მაშინ ფუნქცია მცირდება.
მაქსიმალურ წერტილში წარმოებული არის ნული და ცვლის ნიშანს "პლუს"-დან "მინუსზე".
მინიმალურ წერტილში, წარმოებული ასევე ნულის ტოლია და ცვლის ნიშანს "მინუს"-დან "პლუს".
მოდით დავწეროთ ეს დასკვნები ცხრილის სახით:
| იზრდება | მაქსიმალური ქულა | მცირდება | მინიმალური ქულა | იზრდება | |
| + | 0 | - | 0 | + |
მოდით გავაკეთოთ ორი მცირე განმარტება. თქვენ დაგჭირდებათ ერთი მათგანი USE პრობლემების გადაჭრისას. მეორე - პირველ წელს, ფუნქციების და წარმოებულების უფრო სერიოზული შესწავლით.
შესაძლებელია ფუნქციის წარმოებული რაღაც მომენტში ნულის ტოლი იყოს, მაგრამ ფუნქციას ამ მომენტში არც მაქსიმუმი აქვს და არც მინიმალური. ეს არის ე.წ :
ერთ წერტილში, გრაფიკის ტანგენსი ჰორიზონტალურია, ხოლო წარმოებული არის ნული. თუმცა, პუნქტამდე ფუნქცია გაიზარდა - და წერტილის შემდეგ ის აგრძელებს ზრდას. წარმოებულის ნიშანი არ იცვლება - ის რჩება პოზიტიურად, როგორც იყო.
ასევე ხდება, რომ მაქსიმუმის ან მინიმუმის წერტილში წარმოებული არ არსებობს. გრაფიკზე ეს შეესაბამება მკვეთრ წყვეტას, როდესაც შეუძლებელია მოცემულ წერტილში ტანგენტის დახატვა.
როგორ ვიპოვოთ წარმოებული, თუ ფუნქცია მოცემულია არა გრაფიკით, არამედ ფორმულით? ამ შემთხვევაში ეს ეხება
