დამატების ფორმულების წარმოშობა ტრიგონომეტრიაში. ტრიგონომეტრიის ფორმულები

მე არ შევეცდები დაგარწმუნოთ, რომ არ დაწეროთ თაღლითური ფურცლები. დაწერე! მოტყუების ფურცლების ჩათვლით ტრიგონომეტრიაზე. მოგვიანებით ვაპირებ ახსნას, თუ რატომ არის საჭირო ჩეთ ფურცლები და რატომ არის სასარგებლო. და აქ არის ინფორმაცია იმის შესახებ, თუ როგორ არ უნდა ვისწავლოთ, არამედ გახსოვდეთ რამდენიმე ტრიგონომეტრიული ფორმულა. ასე რომ - ტრიგონომეტრია თაღლითობის ფურცლის გარეშე! დასამახსოვრებლად ვიყენებთ ასოციაციებს.

1. დამატების ფორმულები:

კოსინუსები ყოველთვის "მოდიან წყვილებში": კოსინუს-კოსინუსი, სინუს-სინუსი. და კიდევ ერთი რამ: კოსინუსები "არაადეკვატურია". მათთვის „ყველაფერი არ არის სწორი“, ამიტომ ისინი ცვლიან ნიშნებს: „-“ „+“-ზე და პირიქით.

სინუსები - "აურიეთ": სინუს-კოსინუსი, კოსინუს-სინუსი.

2. ჯამისა და სხვაობის ფორმულები:

კოსინუსები ყოველთვის "მოდიან წყვილებში". ორი კოსინუსის - „კოლობოკების“ დამატებით მივიღებთ კოსინუსების წყვილს - „კოლობოკებს“. და გამოკლებით, ჩვენ ნამდვილად არ მივიღებთ კოლობოკებს. ჩვენ ვიღებთ რამდენიმე სინუსს. ასევე მინუსით წინ.

სინუსები - "აურიეთ" :

3. პროდუქტის ჯამად და სხვაობად გარდაქმნის ფორმულები.

როდის ვიღებთ კოსინუსურ წყვილს? როცა კოსინუსებს დავამატებთ. Ამიტომაც

როდის ვიღებთ რამდენიმე სინუსს? კოსინუსების გამოკლებისას. აქედან:

„შერევა“ მიიღება როგორც სინუსების შეკრებისას, ასევე გამოკლებისას. რა არის უფრო სახალისო: დამატება თუ გამოკლება? მართალია, დაკეცეთ. და ფორმულისთვის ისინი იღებენ დამატებით:

პირველ და მესამე ფორმულებში ჯამი ფრჩხილებშია. ვადების ადგილების გადალაგება ჯამს არ ცვლის. შეკვეთა მნიშვნელოვანია მხოლოდ მეორე ფორმულისთვის. მაგრამ, იმისათვის, რომ არ დავიბნეთ, დასამახსოვრებლად მარტივად, პირველ ფრჩხილებში სამივე ფორმულაში ვიღებთ განსხვავებას

და მეორე - თანხა

ჯიბეში მოტყუებული ფურცლები სიმშვიდეს გაძლევთ: თუ ფორმულა დაგავიწყდათ, შეგიძლიათ დააკოპიროთ. და ისინი გაძლევენ თავდაჯერებულობას: თუ ვერ გამოიყენებთ მოტყუების ფურცელს, შეგიძლიათ მარტივად დაიმახსოვროთ ფორმულები.

დამატების ფორმულები გამოიყენება a და b კუთხეების სინუსებისა და კოსინუსების მეშვეობით cos(a+b), cos(a-b), sin(a+b), sin(a-b) ფუნქციების მნიშვნელობების გამოსათვლელად.

სინუსებისა და კოსინუსების დამატების ფორმულები

თეორემა: ნებისმიერი a და b-სთვის მართებულია შემდეგი ტოლობა: cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b).

დავამტკიცოთ ეს თეორემა. განვიხილოთ შემდეგი ფიგურა:

მასზე წერტილები Ma, M-b, M(a+b) მიიღება Mo წერტილის ბრუნვით a, -b და a+b კუთხით შესაბამისად. სინუსის და კოსინუსის განმარტებებიდან ამ წერტილების კოორდინატები იქნება შემდეგი: Ma(cos(a); sin(a)), M-b (cos(-b); sin(-b)), M(a+). ბ) (cos(a+ b); sin(a+b)). AngleMoOM(a+b) = კუთხეM-bOMa, ამიტომ სამკუთხედები MoOM(a+b) და M-bOMa ტოლია და ისინი ტოლფერდანი არიან. ეს ნიშნავს, რომ ფუძეები MoM(a-b) და M-bMa ტოლია. ამიტომ, (MoM(a-b))^2 = (M-bMa)^2. ორ წერტილს შორის მანძილის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ:

(1 - cos(a+b))^2 + (sin(a+b))^2 = (cos(-b) - cos(a))^2 + (sin(-b) - sin(a) )^2.

sin(-a) = -sin(a) და cos(-a) = cos(a). მოდით გადავცვალოთ ჩვენი თანასწორობა ამ ფორმულების და ჯამისა და სხვაობის კვადრატის გათვალისწინებით, შემდეგ:

1 -2*cos(a+b) + (cos(a+b))^2 +(sin(a+b))^2 = (cos(b))^2 - 2*cos(b)*cos (a) + (cos(a)^2 +(sin(b))^2 +2*sin(b)*sin(a) + (sin(a))^2.

ახლა ჩვენ ვიყენებთ ძირითად ტრიგონომეტრიულ იდენტობას:

2-2*cos(a+b) = 2 - 2*cos(a)*cos(b) + 2*sin(a)*sin(b).

მივცეთ მსგავსი და შევამციროთ -2-ით:

cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b). ქ.ე.დ.

ასევე მოქმედებს შემდეგი ფორმულები:

• cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b);
• sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b);
• sin(a-b) = sin(a)*cos(b) - cos(a)*sin(b).

ეს ფორმულები შეიძლება მივიღოთ ზემოთ დადასტურებულიდან, შემცირების ფორმულების გამოყენებით და b -b-ით ჩანაცვლებით. ასევე არსებობს ტანგენტებისა და კოტანგენტების დამატების ფორმულები, მაგრამ ისინი არ იქნება მართებული ყველა არგუმენტისთვის.

ტანგენტებისა და კოტანგენტების დამატების ფორმულები

ნებისმიერი კუთხისთვის a,b გარდა a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n და a+b =pi/2 +pi*m, ნებისმიერი მთელი რიცხვისთვის k,n,m შემდეგი იქნება იყოს ჭეშმარიტი ფორმულა:

tg(a+b) = (tg(a) +tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)).

ნებისმიერი კუთხისთვის a,b გარდა a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n და a-b =pi/2 +pi*m, ნებისმიერი მთელი რიცხვისთვის k,n,m შემდეგი ფორმულა იქნება მოქმედებს:

tg(a-b) = (tg(a)-tg(b))/(1+tg(a)*tg(b)).

ნებისმიერი კუთხისთვის a,b გარდა a=pi*k, b=pi*n, a+b=pi*m და ნებისმიერი მთელი რიცხვისთვის k,n,m შემდეგი ფორმულა მოქმედი იქნება:

ctg(a+b) = (ctg(a)*ctg(b) -1)/(ctg(b)+ctg(a)).

ჩვენ ვაგრძელებთ საუბარს ტრიგონომეტრიაში ყველაზე ხშირად გამოყენებული ფორმულების შესახებ. მათგან ყველაზე მნიშვნელოვანია დამატების ფორმულები.

განმარტება 1

დამატების ფორმულები საშუალებას გაძლევთ გამოხატოთ ორი კუთხის სხვაობის ან ჯამის ფუნქციები ამ კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამოყენებით.

დასაწყისისთვის, ჩვენ მივცემთ დამატების ფორმულების სრულ ჩამონათვალს, შემდეგ დავამტკიცებთ მათ და გავაანალიზებთ რამდენიმე საილუსტრაციო მაგალითს.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ძირითადი დამატების ფორმულები ტრიგონომეტრიაში

არსებობს რვა ძირითადი ფორმულა: ჯამის სინუსი და ორი კუთხის სხვაობის სინუსი, ჯამისა და სხვაობის კოსინუსები, ჯამისა და სხვაობის ტანგენტები და კოტანგენტები, შესაბამისად. ქვემოთ მოცემულია მათი სტანდარტული ფორმულირებები და გამოთვლები.

1. ორი კუთხის ჯამის სინუსი შეიძლება მივიღოთ შემდეგნაირად:

ვიანგარიშებთ პირველი კუთხის სინუსის და მეორის კოსინუსის ნამრავლს;

გავამრავლოთ პირველი კუთხის კოსინუსი პირველის სინუსზე;

დაამატეთ მიღებული მნიშვნელობები.

ფორმულის გრაფიკული ჩაწერა ასე გამოიყურება: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β

2. განსხვავების სინუსი გამოითვლება თითქმის იგივე გზით, მხოლოდ მიღებული პროდუქტების დამატება არ არის საჭირო, არამედ გამოკლება ერთმანეთს. ამგვარად, ჩვენ გამოვთვლით პირველი კუთხის სინუსების ნამრავლებს მეორის კოსინუსით და პირველი კუთხის კოსინუსების მეორის სინუსებით და ვპოულობთ მათ განსხვავებას. ფორმულა ასე იწერება: sin (α - β) = sin α · cos β + sin α · sin β

3. ჯამის კოსინუსი. ამისთვის ვპოულობთ პირველი კუთხის კოსინუსის ნამრავლებს მეორეს და პირველი კუთხის სინუსების შესაბამისად მეორეს სინუსებით და ვპოულობთ მათ განსხვავებას: cos (α + β) = cos α. · cos β - sin α · sin β

4. განსხვავების კოსინუსი: გამოთვალეთ ამ კუთხეების სინუსებისა და კოსინუსების ნამრავლები, როგორც ადრე და დაამატეთ ისინი. ფორმულა: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

5. ჯამის ტანგენტი. ეს ფორმულა გამოიხატება წილადის სახით, რომლის მრიცხველი არის საჭირო კუთხეების ტანგენტების ჯამი, ხოლო მნიშვნელი არის ერთეული, რომელსაც აკლდება სასურველი კუთხეების ტანგენტების ნამრავლი. ყველაფერი ნათელია მისი გრაფიკული აღნიშვნებიდან: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β

6. განსხვავების ტანგენტი. ჩვენ ვიანგარიშებთ ამ კუთხეების ტანგენტების სხვაობისა და ნამრავლის მნიშვნელობებს და ვაგრძელებთ მათ ანალოგიურად. მნიშვნელში ვამატებთ ერთს და არა პირიქით: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β

7. ჯამის კოტანგენსი. ამ ფორმულის გამოყენებით გამოსათვლელად დაგვჭირდება ნამრავლი და ამ კუთხეების კოტანგენტების ჯამი, რომელსაც ვაგრძელებთ შემდეგნაირად: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β

8. განსხვავების კოტანგენსი . ფორმულა წინა მსგავსია, მაგრამ მრიცხველი და მნიშვნელი არის მინუს, არა პლუს c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β.

თქვენ ალბათ შენიშნეთ, რომ ეს ფორმულები წყვილებში მსგავსია. ± (პლუს-მინუს) და ∓ (მინუს-პლუს) ნიშნების გამოყენებით, ჩვენ შეგვიძლია დავაჯგუფოთ ისინი ჩაწერის გასაადვილებლად:

sin (α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β

შესაბამისად, გვაქვს ერთი ჩაწერის ფორმულა თითოეული მნიშვნელობის ჯამისა და სხვაობისთვის, მხოლოდ ერთ შემთხვევაში ვაქცევთ ყურადღებას ზედა ნიშანს, მეორეში - ქვედა ნიშანს.

განმარტება 2

ჩვენ შეგვიძლია ავიღოთ ნებისმიერი α და β კუთხეები და კოსინუსის და სინუსის შეკრების ფორმულები იმუშავებს მათზე. თუ ჩვენ შეგვიძლია სწორად განვსაზღვროთ ამ კუთხეების ტანგენტებისა და კოტანგენტების მნიშვნელობები, მაშინ მათთვის მოქმედი იქნება ტანგენტებისა და კოტანგენტების დამატების ფორმულებიც.

ალგებრაში ცნებების უმეტესობის მსგავსად, დამატების ფორმულები შეიძლება დადასტურდეს. პირველი ფორმულა, რომელსაც ჩვენ დავამტკიცებთ, არის განსხვავება კოსინუსების ფორმულა. დანარჩენი მტკიცებულებები შეიძლება ადვილად გამოიტანოს მისგან.

მოდით განვმარტოთ ძირითადი ცნებები. ჩვენ დაგვჭირდება ერთეული წრე. გამოვა, თუ ავიღებთ გარკვეულ A წერტილს და მოვატრიალებთ α და β კუთხეებს ცენტრის გარშემო (O წერტილი). მაშინ კუთხე O A 1 → და O A → 2 ვექტორებს შორის ტოლი იქნება (α - β) + 2 π · z ან 2 π - (α - β) + 2 π · z (z არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი). შედეგად მიღებული ვექტორები ქმნიან კუთხეს, რომელიც უდრის α - β ან 2 π - (α - β), ან შეიძლება განსხვავდებოდეს ამ მნიშვნელობებისგან სრული რევოლუციების მთელი რიცხვით. დააკვირდით სურათს:

ჩვენ გამოვიყენეთ შემცირების ფორმულები და მივიღეთ შემდეგი შედეგები:

cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)

შედეგი: O A 1 → და O A 2 → ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსი უდრის α - β კუთხის კოსინუსს, შესაბამისად, cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).

გავიხსენოთ სინუსის და კოსინუსის განმარტებები: სინუსი არის კუთხის ფუნქცია, რომელიც უდრის მოპირდაპირე კუთხის ფეხის შეფარდებას ჰიპოტენუზასთან, კოსინუსი არის დამატებითი კუთხის სინუსი. ამიტომ, ქულები A 1და A 2აქვს კოორდინატები (cos α, sin α) და (cos β, sin β).

ჩვენ ვიღებთ შემდეგს:

O A 1 → = (cos α, sin α) და O A 2 → = (cos β, sin β)

თუ გაუგებარია, შეხედეთ ვექტორების დასაწყისში და ბოლოს მდებარე წერტილების კოორდინატებს.

ვექტორების სიგრძეები 1-ის ტოლია, რადგან ჩვენ გვაქვს ერთეული წრე.

ახლა გავაანალიზოთ O A 1 → და O A 2 → ვექტორების სკალარული ნამრავლი. კოორდინატებში ასე გამოიყურება:

(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + sin α · sin β

აქედან შეგვიძლია გამოვიტანოთ თანასწორობა:

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

ამრიგად, დადასტურებულია განსხვავების კოსინუსის ფორმულა.

ახლა დავამტკიცებთ შემდეგ ფორმულას - ჯამის კოსინუსს. ეს უფრო ადვილია, რადგან ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ წინა გამოთვლები. ავიღოთ წარმოდგენა α + β = α - (- β) . Ჩვენ გვაქვს:

cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β

ეს არის კოსინუსების ჯამის ფორმულის დასტური. ბოლო სტრიქონი იყენებს მოპირდაპირე კუთხის სინუსის და კოსინუსის თვისებას.

ჯამის სინუსის ფორმულა შეიძლება იყოს მიღებული სხვაობის კოსინუსის ფორმულიდან. ავიღოთ შემცირების ფორმულა ამისათვის:

ფორმის sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)). Ისე
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β

და აი განსხვავების დასტური სინუს ფორმულა:

sin (α - β) = ცოდვა (α + (- β)) = ცოდვა α cos (- β) + cos α sin (- β) = = ცოდვა α cos β - cos α sin β
ყურადღება მიაქციეთ საპირისპირო კუთხეების სინუსებისა და კოსინუსების თვისებების გამოყენებას ბოლო გამოთვლაში.

შემდეგ ჩვენ გვჭირდება მტკიცებულებები ტანგენტისა და კოტანგენტის დამატების ფორმულების შესახებ. გავიხსენოთ ძირითადი განმარტებები (ტანგენსი არის სინუსის შეფარდება კოსინუსთან და კოტანგენსი პირიქით) და ავიღოთ წინასწარ უკვე მიღებული ფორმულები. Ჩვენ გავაკეთეთ ეს:

t g (α + β) = ცოდვა (α + β) cos (α + β) = ცოდვა α cos β + cos α sin β cos α cos β - ცოდვა α sin β

ჩვენ გვაქვს რთული წილადი. შემდეგი, ჩვენ უნდა გავყოთ მისი მრიცხველი და მნიშვნელი cos α · cos β-ზე, იმის გათვალისწინებით, რომ cos α ≠ 0 და cos β ≠ 0, მივიღებთ:
sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β - ცოდვა α · sin β cos α · cos β = ცოდვა α · cos β cos α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - ცოდვა α · sin β cos α · cos β

ახლა ვამცირებთ წილადებს და ვიღებთ შემდეგ ფორმულას: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β.
მივიღეთ t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. ეს არის ტანგენტის დამატების ფორმულის დასტური.

შემდეგი ფორმულა, რომელსაც ჩვენ დავამტკიცებთ, არის სხვაობის ფორმულის ტანგენსი. ყველაფერი ნათლად არის ნაჩვენები გამოთვლებში:

t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

კოტანგენტის ფორმულები დადასტურებულია ანალოგიურად:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - ცოდვა α · ცოდვა β sin α · ცოდვა β sin α · cos β + cos α · ცოდვა β sin α · sin β = cos α · cos β sin α · ცოდვა β - 1 ცოდვა α · cos β sin α · ცოდვა β + cos α · sin β sin α · sin β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
Უფრო:
c t g (α - β) = c t g  (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β