გაკვეთილი და პრეზენტაცია თემაზე: "რიცხვის წრე: განმარტება, ზოგადი გარეგნობა, სიგრძე. ერთეული წრე"

ამ სტატიაში ჩვენ დეტალურად გავაანალიზებთ რიცხვითი წრის განმარტებას, გავარკვევთ მის ძირითად თვისებას და მოვაწყობთ რიცხვებს 1,2,3 და ა.შ. წრეზე სხვა რიცხვების მონიშვნის შესახებ (მაგალითად, \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π) (6)\)) ესმის.

ნომრის წრე ეწოდება ერთეული რადიუსის წრე, რომლის წერტილები შეესაბამება , მოწყობილი შემდეგი წესების მიხედვით:

1) საწყისი არის წრის უკიდურეს მარჯვენა წერტილში;

2) საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით - დადებითი მიმართულება; საათის ისრის მიმართულებით - უარყოფითი;

3) თუ წრეზე \(t\) მანძილს დავსახავთ დადებითი მიმართულებით, მაშინ მივიღებთ \(t\) მნიშვნელობის წერტილს;

4) თუ წრეზე \(t\) მანძილს დავსახავთ უარყოფითი მიმართულებით, მაშინ მივიღებთ \(–t\) მნიშვნელობის წერტილს.

რატომ ჰქვია წრეს რიცხვითი წრე?
იმიტომ რომ მასზე ნომრებია. ამგვარად, წრე რიცხვითი ღერძის მსგავსია - წრეზე, ისევე როგორც ღერძზე, თითოეული რიცხვისთვის არის კონკრეტული წერტილი.

რატომ ვიცი რა არის რიცხვითი წრე?
რიცხვითი წრის გამოყენებით განისაზღვრება სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების და კოტანგენტების მნიშვნელობები. ამიტომ, რომ იცოდეთ ტრიგონომეტრია და ჩააბაროთ ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა 60+ ქულით, უნდა გესმოდეთ რა არის რიცხვითი წრე და როგორ მოათავსოთ მასზე წერტილები.

რას ნიშნავს სიტყვები „...ერთეული რადიუსის...“ განმარტებაში?
ეს ნიშნავს, რომ ამ წრის რადიუსი უდრის \(1\). და თუ ასეთ წრეს ავაგებთ ცენტრით საწყისზე, მაშინ ის გადაიკვეთება ღერძებთან \(1\) და \(-1\) წერტილებში.

არ არის აუცილებელი, რომ ის პატარა იყოს დახატული; შეგიძლიათ შეცვალოთ დანაყოფების "ზომა" ღერძების გასწვრივ, მაშინ სურათი უფრო დიდი იქნება (იხ. ქვემოთ).

რატომ არის რადიუსი ზუსტად ერთი? ეს უფრო მოსახერხებელია, რადგან ამ შემთხვევაში, წრეწირის გამოთვლისას ფორმულით \(l=2πR\), ვიღებთ:

რიცხვითი წრის სიგრძეა \(2π\) ან დაახლოებით \(6.28\).

რას ნიშნავს „...რომლის წერტილები შეესაბამება რეალურ რიცხვებს“?
როგორც ზემოთ ვთქვით, ნებისმიერი რეალური რიცხვის რიცხვის წრეზე აუცილებლად იქნება მისი „ადგილი“ - წერტილი, რომელიც შეესაბამება ამ რიცხვს.

რატომ განვსაზღვროთ საწყისი და მიმართულება რიცხვთა წრეზე?
რიცხვითი წრის მთავარი მიზანია ცალსახად განსაზღვროს მისი წერტილი თითოეული რიცხვისთვის. მაგრამ როგორ შეგიძლიათ განსაზღვროთ სად უნდა დააყენოთ წერტილი, თუ არ იცით საიდან დათვალოთ და სად გადახვიდეთ?

აქ მნიშვნელოვანია, რომ არ ავურიოთ საწყისი კოორდინატთა წრფეზე და რიცხვთა წრეზე - ეს ორი განსხვავებული საცნობარო სისტემაა! ასევე არ აურიოთ \(1\) \(x\) ღერძზე და \(0\) წრეზე - ეს არის წერტილები სხვადასხვა ობიექტზე.

რომელი წერტილები შეესაბამება რიცხვებს \(1\), \(2\) და ა.შ.?

გახსოვთ, ჩვენ ვივარაუდეთ, რომ რიცხვით წრეს აქვს \(1\) რადიუსი? ეს იქნება ჩვენი ერთეული სეგმენტი (ციფრული ღერძის ანალოგიით), რომელსაც დავხატავთ წრეზე.

1 რიცხვის შესაბამისი რიცხვის წრეზე წერტილის აღსანიშნავად, თქვენ უნდა გაიაროთ 0-დან რადიუსის ტოლ მანძილზე დადებითი მიმართულებით.

წრეზე წერტილის აღსანიშნავად, რომელიც შეესაბამება რიცხვს \(2\), თქვენ უნდა გაიაროთ მანძილი, რომელიც ტოლია ორი რადიუსის საწყისიდან, ისე, რომ \(3\) არის მანძილი სამი რადიუსის ტოლი და ა.შ.

ამ სურათის ყურებისას შეიძლება გაგიჩნდეთ 2 შეკითხვა:
1. რა ხდება, როდესაც წრე "სრულდება" (ანუ ჩვენ ვაკეთებთ სრულ რევოლუციას)?
პასუხი: წავიდეთ მეორე ტურში! და როდესაც მეორე დასრულდება, ჩვენ გადავალთ მესამეზე და ასე შემდეგ. მაშასადამე, რიცხვების უსასრულო რაოდენობა შეიძლება დაისახოს წრეზე.

2. სად იქნება უარყოფითი რიცხვები?
პასუხი: სწორედ იქ! მათი დალაგებაც შესაძლებელია, ნულიდან დათვალეთ რადიუსების საჭირო რაოდენობა, მაგრამ ახლა უარყოფითი მიმართულებით.

სამწუხაროდ, რიცხვების წრეზე მთელი რიცხვების აღნიშვნა რთულია. ეს გამოწვეულია იმით, რომ რიცხვითი წრის სიგრძე არ იქნება მთელი რიცხვის ტოლი: \(2π\). და ყველაზე მოსახერხებელ ადგილებში (ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებში) ასევე იქნება წილადები და არა მთელი რიცხვები

ვიდეოგაკვეთილები სწავლების ერთ-ერთი ყველაზე ეფექტური საშუალებაა, განსაკუთრებით სასკოლო საგნებში, როგორიცაა მათემატიკა. ამიტომ, ამ მასალის ავტორმა შეაგროვა მხოლოდ სასარგებლო, მნიშვნელოვანი და კომპეტენტური ინფორმაცია ერთ მთლიანობაში.

ეს გაკვეთილი გრძელდება 11:52 წუთი. თითქმის იგივე დრო სჭირდება მასწავლებელს კლასში მოცემულ თემაზე ახალი მასალის ახსნას. მიუხედავად იმისა, რომ ვიდეოგაკვეთილის მთავარი უპირატესობა იქნება ის ფაქტი, რომ მოსწავლეები ყურადღებით მოუსმენენ, რაზეც საუბრობს ავტორი, ზედმეტი თემებითა და საუბრებით ყურადღების გაფანტვის გარეშე. ბოლოს და ბოლოს, თუ მოსწავლეები ყურადღებით არ მოუსმენენ, ისინი გამოტოვებენ გაკვეთილის მნიშვნელოვან პუნქტს. და თუ მასწავლებელი თავად განმარტავს მასალას, მაშინ მის მოსწავლეებს შეუძლიათ ადვილად გადაიტანონ ყურადღება მთავარი საქმისგან აბსტრაქტულ თემებზე საუბრით. და, რა თქმა უნდა, ცხადი ხდება, რომელი მეთოდი იქნება უფრო რაციონალური.

ავტორი გაკვეთილის დასაწყისს უთმობს იმ ფუნქციების გამეორებას, რომლებსაც მოსწავლეები ადრე იცნობდნენ ალგებრის კურსში. და პირველი, ვინც შესწავლას იწყებს, არის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები. მათი განხილვისა და შესწავლისთვის საჭიროა ახალი მათემატიკური მოდელი. და ეს მოდელი ხდება რიცხვითი წრე, რაც ზუსტად არის ნათქვამი გაკვეთილის თემაში. ამისათვის შემოღებულია ერთეული წრის ცნება და მოცემულია მისი განმარტება. სურათზე შემდგომში ავტორი აჩვენებს ასეთი წრის ყველა კომპონენტს და რა გამოადგებათ მოსწავლეებს შემდგომი სწავლისთვის. რკალი მიუთითებს მეოთხედებზე.

შემდეგ ავტორი გვთავაზობს რიცხვთა წრის გათვალისწინებას. აქ ის აკეთებს შენიშვნას, რომ უფრო მოსახერხებელია ერთეული წრის გამოყენება. ეს წრე გვიჩვენებს, თუ როგორ მიიღება M წერტილი, თუ t>0, t<0 или t=0. После этого вводится понятие самой числовой окружности.

შემდეგ, ავტორი შეახსენებს სტუდენტებს, თუ როგორ უნდა იპოვონ წრის გარშემოწერილობა. და შემდეგ გამოაქვს ერთეული წრის სიგრძე. შემოთავაზებულია ამ თეორიული მონაცემების პრაქტიკაში გამოყენება. ამისათვის განიხილეთ მაგალითი, სადაც თქვენ უნდა იპოვოთ წერტილი წრეზე, რომელიც შეესაბამება გარკვეული რიცხვების მნიშვნელობებს. მაგალითის ამოხსნას ახლავს ილუსტრაცია სურათის სახით, ასევე საჭირო მათემატიკური აღნიშვნები.

მეორე მაგალითის პირობის მიხედვით აუცილებელია რიცხვთა წრეზე პუნქტების პოვნა. აქაც მთლიან ამოხსნას ახლავს კომენტარები, ილუსტრაციები და მათემატიკური აღნიშვნა. ეს ხელს უწყობს მოსწავლეთა მათემატიკური წიგნიერების განვითარებას და გაუმჯობესებას. მესამე მაგალითი აგებულია ანალოგიურად.

შემდეგი, ავტორი აღნიშნავს წრეზე იმ ციფრებს, რომლებიც უფრო ხშირად გვხვდება, ვიდრე სხვები. აქ ის გვთავაზობს რიცხვითი წრის ორი მოდელის გაკეთებას. როდესაც ორივე განლაგება მზად არის, განიხილება შემდეგი, მეოთხე მაგალითი, სადაც თქვენ უნდა იპოვოთ წერტილი რიცხვის წრეზე, რომელიც შეესაბამება რიცხვს 1. ამ მაგალითის შემდეგ ჩამოყალიბებულია განცხადება, რომლის მიხედვითაც შეგიძლიათ იპოვოთ წერტილი M-ის შესაბამისი. ნომერი ტ.

შემდეგ შემოღებულია შენიშვნა, რომლის მიხედვითაც მოსწავლეები სწავლობენ, რომ რიცხვი „პი“ შეესაბამება ყველა რიცხვს, რომელიც ხვდება მოცემულ წერტილზე, როდესაც ის მთელ წრეს გადის. ეს ინფორმაცია დადასტურებულია მეხუთე მაგალითით. მისი გამოსავალი შეიცავს ლოგიკურად სწორ მსჯელობას და სიტუაციის ამსახველ ნახატებს.

ტექსტის გაშიფვრა:

რიცხვითი წრე

მანამდე ჩვენ ვსწავლობდით ანალიტიკური გამონათქვამებით განსაზღვრულ ფუნქციებს. და ამ ფუნქციებს ეწოდა ალგებრული. მაგრამ სასკოლო მათემატიკის კურსში სწავლობენ სხვა კლასების ფუნქციებს და არა ალგებრულს. დავიწყოთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების სწავლა.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების დასანერგად ჩვენ გვჭირდება ახალი მათემატიკური მოდელი - რიცხვითი წრე. განვიხილოთ ერთეული წრე. წრეს, რომლის რადიუსი უდრის მასშტაბის სეგმენტს, კონკრეტული საზომი ერთეულების მითითების გარეშე, ეწოდება ერთეული. ასეთი წრის რადიუსი ითვლება 1-ის ტოლი.

ჩვენ გამოვიყენებთ ერთეულ წრეს, რომელშიც შედგენილია ჰორიზონტალური და ვერტიკალური დიამეტრი CA და DB (ce a და de be) (იხ. სურათი 1).

Arc AB-ს დავარქმევთ პირველ მეოთხედს, arc BC-ს მეორე მეოთხედს, arc CD-ს მესამე მეოთხედს და arc DA-ს მეოთხე მეოთხედს.

განვიხილოთ რიცხვითი წრე. ზოგადად, ნებისმიერი წრე შეიძლება ჩაითვალოს ციფრულ წრედ, მაგრამ უფრო მოსახერხებელია ამ მიზნით ერთეული წრის გამოყენება.

განმარტება მოცემულია ერთეული წრე და მასზე მონიშნულია საწყისი წერტილი A – ჰორიზონტალური დიამეტრის მარჯვენა ბოლო. დავუკავშიროთ თითოეული რეალური რიცხვი t (te) წრის წერტილს შემდეგი წესის მიხედვით:

1) თუ t>0 (te მეტია ნულზე), მაშინ A წერტილიდან საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით გადაადგილებით (წრის დადებითი მიმართულება) აღვწერთ t სიგრძის AM (a em) გზას წრის გასწვრივ. წერტილი M იქნება სასურველი წერტილი M(t) (em te-დან).

2) თუ თ<0(тэ меньше нуля), то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь АМ (а эм) длины |t| (модуль тэ). Точка М и будет искомой точкой М(t) (эм от тэ).

3) A წერტილი მივუთითოთ რიცხვს t = 0.

ერთეულ წრეს, რომელსაც აქვს დადგენილი შესაბამისობა (ნამდვილ რიცხვებსა და წრის წერტილებს შორის) რიცხვითი წრე ეწოდება.

ცნობილია, რომ გარშემოწერილობა L (el) გამოითვლება ფორმულით L = 2πR (el უდრის ორ პი ერს), სადაც π≈3.14, R არის წრის რადიუსი. ერთეული წრისთვის R=1cm, ეს ნიშნავს L=2π≈6,28 სმ (el უდრის ორ პის დაახლოებით 6,28).

მოდით შევხედოთ მაგალითებს.

მაგალითი 1. რიცხვით წრეზე იპოვეთ წერტილი, რომელიც შეესაბამება მოცემულ რიცხვს: ,.(pi ორი, პი, სამი პი ორი, ორი პი, თერთმეტი პი ორი, შვიდი პი, გამოკლებული ხუთი პი ორით)

გამოსავალი. პირველი ექვსი რიცხვი დადებითია, ამიტომ, წრეზე შესაბამისი წერტილების მოსაძებნად, თქვენ უნდა გაიაროთ მოცემული სიგრძის გზა წრის გასწვრივ, A წერტილიდან დადებითი მიმართულებით გადაადგილება. ერთეული წრის თითოეული მეოთხედის სიგრძე ტოლია. ეს ნიშნავს AB =, ანუ B წერტილი შეესაბამება რიცხვს (იხ. სურ. 1). AC = , ანუ C წერტილი შეესაბამება რიცხვს AD = , ანუ D ​​წერტილი შეესაბამება რიცხვს და A წერტილი ისევ შეესაბამება რიცხვს, რადგან წრის გასწვრივ ბილიკის გავლის შემდეგ ჩვენ აღმოვჩნდით საწყის წერტილში ა.

განვიხილოთ სად იქნება წერტილი, რადგან უკვე ვიცით რა არის წრის სიგრძე, მას ვამცირებთ ფორმამდე (ოთხი პი პლუს სამი პი ორზე). ანუ, A წერტილიდან დადებითი მიმართულებით გადაადგილებით, თქვენ უნდა აღწეროთ მთელი წრე ორჯერ (ბილიკი სიგრძით 4π) და დამატებით სიგრძის ბილიკი, რომელიც მთავრდება D წერტილთან.

Რა მოხდა? ეს არის 3∙2π + π (სამჯერ ორ პი პლუს პი). ეს ნიშნავს, რომ A წერტილიდან დადებითი მიმართულებით გადაადგილებით, თქვენ უნდა აღწეროთ მთელი წრე სამჯერ და დამატებით π სიგრძის ბილიკი, რომელიც დასრულდება C წერტილში.

იმისათვის, რომ იპოვოთ წერტილი რიცხვით წრეზე, რომელიც შეესაბამება უარყოფით რიცხვს, თქვენ უნდა გაიაროთ A წერტილიდან წრის გასწვრივ უარყოფითი მიმართულებით (საათის ისრის მიმართულებით) სიგრძის ბილიკი და ეს შეესაბამება 2π +. ეს გზა დასრულდება D წერტილში.

მაგალითი 2. იპოვნეთ წერტილები რიცხვით წრეზე (pi ექვსზე, პი ოთხზე, პი სამზე).

გამოსავალი. რკალი AB შუაზე გაყოფით მივიღებთ E წერტილს, რომელიც შეესაბამება. რკალი AB სამ ტოლ ნაწილად გავყოფთ F და O წერტილებით, მივიღებთ, რომ F წერტილი შეესაბამება, ხოლო T წერტილი შეესაბამება

(იხ. სურათი 2).

მაგალითი 3. იპოვეთ პუნქტები რიცხვით წრეზე (გამოკლებული ცამეტი პი ოთხი, ცხრამეტი პი ექვსი).

გამოსავალი. A წერტილიდან AE (a em) სიგრძის (pi ოთხზე) რკალს ცამეტჯერ უარყოფითი მიმართულებით დეპონირება, მივიღებთ H წერტილს (ნაცარი) - რკალის შუა BC.

A წერტილიდან ცხრამეტჯერ დადებითი მიმართულებით რკალი AF სიგრძის (pi ექვსზე) დეპონირება, მივიღებთ N წერტილს (en), რომელიც ეკუთვნის მესამე მეოთხედს (რკალი CD) და CN უდრის მესამე ნაწილს. რკალი CD (se de).

(იხ. სურათი 2).

ყველაზე ხშირად თქვენ უნდა მოძებნოთ წერტილები რიცხვის წრეზე, რომლებიც შეესაბამება რიცხვებს (pi ექვსზე, პი ოთხზე, პი სამზე, პი ორზე), ისევე როგორც ის, რაც მათი მრავლობითია, ანუ (შვიდი). პი ექვსით, ხუთი პი ოთხით, ოთხი პი სამით, თერთმეტი პი ორით). ამიტომ, სწრაფი ნავიგაციის მიზნით, მიზანშეწონილია გააკეთოთ რიცხვითი წრის ორი განლაგება.

პირველ განლაგებაზე, რიცხვითი წრის თითოეული მეოთხედი დაიყოფა ორ თანაბარ ნაწილად და თითოეულ მიღებულ წერტილთან დავწერთ მათ "სახელებს":

მეორე განლაგებაზე, თითოეული კვარტალი დაყოფილია სამ თანაბარ ნაწილად და თითოეული თორმეტი წერტილიდან ჩვენ ვწერთ მათ "სახელებს":

თუ საათის ისრის მიმართულებით მოძრაობთ, ნახატებზე წერტილების იგივე „სახელებს“ მივიღებთ მხოლოდ მინუს მნიშვნელობით. პირველი განლაგებისთვის:

ანალოგიურად, თუ მეორე განლაგების გასწვრივ მოძრაობთ საათის ისრის მიმართულებით O წერტილიდან.

მაგალითი 4. რიცხვების წრეზე იპოვეთ პუნქტები, რომლებიც შეესაბამება რიცხვებს 1 (ერთი).

გამოსავალი. იმის ცოდნა, რომ π≈3.14 (pi დაახლოებით უდრის სამ წერტილს მეთოთხმეტე მეასედს), ≈ 1.05 (pi გამრავლებული სამ უდრის დაახლოებით ერთ წერტილს ხუთას მეასედს), ≈ 0.79 (pi გამრავლებული ოთხზე არის დაახლოებით ნულის წერტილი სამოცდაცხრამეასედი) . ნიშნავს,< 1 < (один больше, чем пи на четыре, но меньше, чем пи на три), то есть число 1 находится в первой четверти.

შემდეგი განცხადება მართალია: თუ რიცხვის წრეზე M წერტილი შეესაბამება t რიცხვს, მაშინ იგი შეესაბამება t + 2π ფორმის ნებისმიერ რიცხვს.კ(ტე პლუს ორი პი კა), სადაც ka არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი და kϵ ზ(კა ეკუთვნის ზეტს).

ამ განცხადების გამოყენებით შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ წერტილი შეესაბამება t =+ 2πk ფორმის ყველა წერტილს (te უდრის pi-ს სამს პლუს ორ მწვერვალს), სადაც kϵZ ( ka ეკუთვნის zet-ს), ხოლო წერტილს (ხუთი პი ოთხზე) - t = + 2πk ფორმის წერტილები (te უდრის ხუთ პის ოთხს პლუს ორი pi ka), სადაც kϵZ. ( ka ეკუთვნის ზეტს) და ა.შ.

მაგალითი 5. იპოვეთ წერტილი რიცხვით წრეზე: ა) ; ბ) .

გამოსავალი. ა) გვაქვს: = =(6 +) ∙ π = 6π + = + 3∙ 2π.(ოცი პი გამრავლებული სამი უდრის ოცჯერ სამი პი უდრის ექვს პლუს ორ მესამედს, გამრავლებული პი უდრის ექვს პის პლუს ორი პი გამრავლებული სამი უდრის. ორი პი სამჯერ პლუს სამჯერ ორი პი).

ეს ნიშნავს, რომ რიცხვი შეესაბამება რიცხვთა წრეზე იმავე წერტილს, როგორც რიცხვს (ეს არის მეორე მეოთხედი) (იხ. მეორე განლაგება სურ. 4-ზე).

ბ) გვაქვს: = - (8 +) ∙ π = + 2π ∙ (- 4) (მინუს ოცდათხუთმეტი პი გამრავლებული ოთხს უდრის მინუს რვას პლუს სამი მეოთხედჯერ პი უდრის მინუს სამი პი გამრავლებული ოთხს პლუს ორი პი გამრავლებული მინუს ოთხი. ). ანუ რიცხვი შეესაბამება რიცხვთა წრეზე იმავე წერტილს, როგორც რიცხვს

ამ გაკვეთილზე გავიხსენებთ რიცხვითი წრფის განმარტებას და მივცემთ რიცხვითი წრის ახალ განმარტებას. ჩვენ ასევე დეტალურად განვიხილავთ რიცხვითი წრის მნიშვნელოვან თვისებას და წრეზე არსებულ მნიშვნელოვან წერტილებს. მოდით განვსაზღვროთ რიცხვითი წრის პირდაპირი და შებრუნებული ამოცანები და ამოხსნათ ასეთი ამოცანების რამდენიმე მაგალითი.

თემა: ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

გაკვეთილი: რიცხვის წრე

ნებისმიერი ფუნქციისთვის, დამოუკიდებელი არგუმენტი გადავადებულია ან მიერ ნომრის ხაზი, ან წრეზე. დავახასიათოთ როგორც რიცხვითი წრფე, ასევე რიცხვების წრე.

სწორი ხაზი ხდება რიცხვითი (კოორდინატული) ხაზი, თუ აღინიშნება კოორდინატების საწყისი და არჩეულია მიმართულება და მასშტაბი (ნახ. 1).

რიცხვითი წრფე ადგენს ერთ-ერთ შესაბამისობას წრფის ყველა წერტილსა და ყველა რეალურ რიცხვს შორის.

მაგალითად, ვიღებთ რიცხვს და ვსვამთ კოორდინატთა ღერძზე, ვიღებთ წერტილს, ვიღებთ რიცხვს და ვსვამთ ღერძზე, ვიღებთ წერტილს (ნახ. 2).

და პირიქით, თუ კოორდინატთა წრფეზე რომელიმე წერტილს ავიღებთ, მაშინ მას შეესატყვისება უნიკალური რეალური რიცხვი (ნახ. 2).

ხალხი მაშინვე არ მისულა ასეთ მიმოწერაზე. ამის გასაგებად, გავიხსენოთ ძირითადი რიცხვითი კომპლექტები.

ჯერ შემოვიღეთ ნატურალური რიცხვების ნაკრები

შემდეგ მთელი რიცხვების ნაკრები

რაციონალური რიცხვების ნაკრები

ვარაუდობდნენ, რომ ეს სიმრავლეები საკმარისი იქნებოდა და იქნებოდა ერთი-ერთზე შესაბამისობა წრფის ყველა რაციონალურ რიცხვსა და წერტილს შორის. მაგრამ აღმოჩნდა, რომ რიცხვთა წრფეზე არის უთვალავი წერტილი, რომელთა აღწერა შეუძლებელია ფორმის რიცხვებით

მაგალითია მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა 1 და 1 კუთხით. ის ტოლია (ნახ. 3).

რაციონალურ რიცხვთა სიმრავლეს შორის არის თუ არა რიცხვი ზუსტად არას ტოლი, არ არსებობს. დავამტკიცოთ ეს ფაქტი.

წინააღმდეგობით დავამტკიცოთ. დავუშვათ, რომ არსებობს წილადი, რომელიც ტოლია ე.ი.

შემდეგ ორივე გვერდს ვაკვერცხებთ, ცხადია, ტოლობის მარჯვენა მხარე იყოფა 2-ზე. ეს ნიშნავს და შემდეგ, მაგრამ შემდეგ და A ნიშნავს, მაშინ გამოდის, რომ წილადი მცირდება. ეს ეწინააღმდეგება პირობას, რაც ნიშნავს

რიცხვი ირაციონალურია. რაციონალური და ირაციონალური რიცხვების სიმრავლე ქმნის ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეს თუ ავიღებთ წრფის რომელიმე წერტილს, მას რაიმე რეალური რიცხვი შეესატყვისება. და თუ რომელიმე რეალურ რიცხვს ავიღებთ, კოორდინატთა წრფეზე მის შესაბამისი ერთი წერტილი იქნება.

მოდით განვმარტოთ რა არის რიცხვითი წრე და რა მიმართებებია წრეზე წერტილთა სიმრავლესა და ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეს შორის.

წარმოშობა - წერტილი ა. დათვლის მიმართულება - საათის ისრის საწინააღმდეგოდ - დადებითი, საათის ისრის მიმართულებით - უარყოფითი. სასწორი - წრეწირი (სურ. 4).

ამ სამი დებულების გაცნობა გვაქვს რიცხვების წრე. ჩვენ მივუთითებთ, თუ როგორ უნდა მივანიჭოთ წერტილი წრეზე თითოეულ რიცხვს და პირიქით.

ნომრის დაყენებით ვიღებთ წერტილს წრეზე

თითოეული რეალური რიცხვი შეესაბამება წრის წერტილს.რაც შეეხება პირიქით?

წერტილი შეესაბამება რიცხვს. და თუ ავიღებთ რიცხვებს, ყველა ამ რიცხვს აქვს მხოლოდ ერთი წერტილი წრეზე გამოსახულებაში

მაგალითად, შეესაბამება პუნქტს ბ(ნახ. 4).

ავიღოთ ყველა რიცხვი.ყველა მათგანი შეესაბამება წერტილს. ბ.წრის ყველა რეალურ რიცხვსა და წერტილს შორის არ არსებობს ერთი-ერთზე შესაბამისობა.

თუ არსებობს ფიქსირებული რიცხვი, მაშინ წრეზე მხოლოდ ერთი წერტილი შეესაბამება მას

თუ წრეზე არის წერტილი, მაშინ არის მისი შესაბამისი რიცხვების ნაკრები

სწორი ხაზისგან განსხვავებით, კოორდინატთა წრეს არ აქვს ერთი-ერთზე შესაბამისობა წერტილებსა და რიცხვებს შორის. თითოეულ რიცხვს შეესაბამება მხოლოდ ერთი წერტილი, მაგრამ თითოეული წერტილი შეესაბამება რიცხვების უსასრულო რაოდენობას და ჩვენ შეგვიძლია ჩამოვწეროთ ისინი.

მოდით შევხედოთ წრეზე არსებულ ძირითად წერტილებს.

რიცხვის მიცემისას იპოვე წრის რომელ წერტილს შეესაბამება იგი.

რკალი შუაზე გავყოთ, მივიღებთ წერტილს (სურ. 5).

შებრუნებული ამოცანა: მოცემული წერტილი რკალის შუაში, იპოვეთ ყველა რეალური რიცხვი, რომელიც შეესაბამება მას.

მონიშნეთ ყველა მრავალჯერადი რკალი რიცხვით წრეზე (სურ. 6).

რკალები, რომლებიც მრავლობითია

მოცემულია რიცხვი, თქვენ უნდა იპოვოთ შესაბამისი წერტილი.

შებრუნებული პრობლემა - ქულის მინიჭებით, თქვენ უნდა იპოვოთ რომელ რიცხვებს შეესაბამება იგი.

ჩვენ გადავხედეთ ორ სტანდარტულ ამოცანას ორ კრიტიკულ წერტილში.

ა) იპოვნეთ წერტილი რიცხვით წრეზე კოორდინატით

დაყოვნება წერტილიდან აეს არის ორი მთელი შემობრუნება და მეორე ნახევარი და ჩვენ ვიღებთ ქულას მ- ეს არის მესამე მეოთხედის შუა რიცხვები (სურ. 8).

უპასუხე. Წერტილი მ- მესამე მეოთხედის შუა რიცხვები.

ბ) იპოვნეთ წერტილი რიცხვით წრეზე კოორდინატით

დაყოვნება წერტილიდან ასრული შემობრუნება და ჩვენ მაინც მივიღებთ ქულას ნ(ნახ. 9).

პასუხი: წერტილი ნპირველ კვარტალშია.

ჩვენ დავაკვირდით რიცხვთა წრფეს და რიცხვთა წრეს და გავიხსენეთ მათი თვისებები. რიცხვითი წრფის განსაკუთრებული მახასიათებელია ამ წრფის წერტილებსა და რეალურ რიცხვთა სიმრავლეს შორის ერთი-ერთზე შესაბამისობა. წრეზე ასეთი ერთი-ერთზე მიმოწერა არ არის. წრეზე ყოველი რეალური რიცხვი შეესაბამება ერთ წერტილს, მაგრამ ყოველი წერტილი რიცხვით წრეზე შეესაბამება უსასრულო რაოდენობის ნამდვილ რიცხვებს.

შემდეგ გაკვეთილზე შევხედავთ რიცხვთა წრეს კოორდინატულ სიბრტყეში.

ცნობების სია თემაზე "რიცხვის წრე", "წერტილი წრეზე"

1. ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი მე-10 კლასი (ორ ნაწილად). სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებებისათვის (პროფილის დონე), რედ. A.G. Mordkovich. -მ.: მნემოსინე, 2009 წ.

2. ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი მე-10 კლასი (ორ ნაწილად). პრობლემური წიგნი საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის (პროფილის დონე), რედ. A.G. Mordkovich. -მ.: მნემოსინე, 2007 წ.

3. ვილენკინი ნ.ია., ივაშევ-მუსატოვი ო.ს., შვარცბურდი ს.ი. ალგებრა და მათემატიკური ანალიზი მე-10 კლასისთვის (სახელმძღვანელო სკოლებისა და კლასების მოსწავლეებისთვის მათემატიკის სიღრმისეული შესწავლით) - M.: Prosveshchenie, 1996 წ.

4. გალიცკი მ.ლ., მოშკოვიჩ მ.მ., შვარცბურდი ს.ი. ალგებრის სიღრმისეული შესწავლა და მათემატიკური ანალიზი.-მ.: განათლება, 1997 წ.

5. მათემატიკაში ამოცანების კრებული უმაღლეს საგანმანათლებლო დაწესებულებებში აბიტურიენტებისათვის (რედაქტორი მ.ი. სკანავი).- მ.: უმაღლესი სკოლა, 1992 წ.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. ალგებრული სიმულატორი.-კ.: A.S.K., 1997 წ.

7. საჰაკიანი ს.მ., გოლდმანი ა.მ., დენისოვი დ.ვ. პრობლემები ალგებრაზე და ანალიზის პრინციპებზე (სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების 10-11 კლასების მოსწავლეებისთვის) - მ.: პროსვეშჩენიე, 2003 წ.

8. კარპ ა.პ. ალგებრაზე ამოცანების კრებული და ანალიზის პრინციპები: სახელმძღვანელო. შემწეობა 10-11 კლასებისთვის. სიღრმით შეისწავლა მათემატიკა.-მ.: განათლება, 2006 წ.

Საშინაო დავალება

ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი მე-10 კლასი (ორ ნაწილად). პრობლემური წიგნი საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის (პროფილის დონე), რედ. A.G. Mordkovich. -მ.: მნემოსინე, 2007 წ.

№№ 11.6 - 11.12, 11.15 - 11.17.

დამატებითი ვებ რესურსები

3. საგანმანათლებლო პორტალი გამოცდის მომზადებისთვის ().

ნივთის სახელი ალგებრა და მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი

Კლასი 10

UMK ალგებრა და მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი, 10-11 კლასები. 2 საათზე. Ნაწილი 1. სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებებისათვის (საბაზო საფეხური) / ა.გ. მორდკოვიჩი. – მე-10 გამოცემა, სტერ.- M.: Mnemosyne, 2012 წ. Მე -2 ნაწილი. პრობლემური წიგნი საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის (საბაზო დონე) /[ ა.გ. მორდკოვიჩი და სხვ.]; რედაქტორი ა.გ. მორდკოვიჩი. – მე-10 გამოცემა, სტერ.- M.: Mnemosyne, 2012 წ.

სწავლის დონე. ბაზა

გაკვეთილის თემა ნომრის წრე (2 საათი)

Გაკვეთილი 1

სამიზნე: წარმოადგინეთ რიცხვითი წრის ცნება, როგორც მრუდი კოორდინატთა სისტემის მოდელი.

Დავალებები : ამოცანების ამოხსნისას რიცხვითი წრის გამოყენების უნარის გამომუშავება.

დაგეგმილი შედეგები:

გაკვეთილების დროს

ორგანიზების დრო.

2. საშინაო დავალების შემოწმება, რომელიც სირთულეებს უქმნიდა მოსწავლეებს

II. ზეპირი სამუშაო.

1. რიცხვთა წრფეზე თითოეული ინტერვალი შეუსაბამეთ უტოლობას და ინტერვალის ანალიტიკურ აღნიშვნას. შეიყვანეთ მონაცემები ცხრილში.

ა (–  ; –5] დ (–5; 5)

ბ [–5; 5] ე (–  ; –5)

IN [–5; +  ) და [–5; 5)

გ (–5; 5] ზ (–5; +  )

1 –5 < X < 5 5 –5  X  5

2 X -5 6 X  –5

3 –5 < X  5 7 5  X < 5

4 X < –5 8 X > –5

ა

1. შესწავლილი რიცხვითი წრფესგან განსხვავებით, რიცხვითი წრე უფრო რთული მოდელია. რკალის კონცეფცია, რომელიც მას საფუძვლად უდევს, გეომეტრიაში საიმედოდ არ არის დამუშავებული.

2 . სახელმძღვანელოსთან მუშაობა . მოდით შევხედოთ პრაქტიკულ მაგალითს. 23–24 სახელმძღვანელო (სტადიონის სარბენი ბილიკი). შეგიძლიათ სთხოვოთ მოსწავლეებს მსგავსი მაგალითების მოყვანა (თანამგზავრის მოძრაობა ორბიტაზე, სიჩქარის ბრუნვა და ა.შ.).

3. ჩვენ ვამართლებთ ერთეულის წრის რიცხვით გამოყენების მოხერხებულობას.

4. სახელმძღვანელოსთან მუშაობა. მოდით შევხედოთ მაგალითებს პ. 25–31 სახელმძღვანელო. ავტორები ხაზს უსვამენ, რომ რიცხვითი წრის მოდელის წარმატებული ათვისებისთვის სახელმძღვანელოც და პრობლემური წიგნიც უზრუნველყოფს სპეციალური „დიდაქტიკური თამაშების“ სისტემას. მათგან ექვსია, ამ გაკვეთილზე პირველ ოთხს გამოვიყენებთ.

(მორდკოვიჩ ა.გ. M79 ალგებრა და მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი. 10-11 კლასები (საბაზო დონე): მეთოდოლოგიური სახელმძღვანელო მასწავლებლებისთვის / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - M.: Mnemosyna, 2010. - 202გვ. : ცუდად.)

პირველი "თამაში" - ერთეული წრის რკალის სიგრძის გამოთვლა. მოსწავლეები უნდა შეეგუონ იმ ფაქტს, რომ მთელი წრის სიგრძე არის 2 ნახევარი წრე - მეოთხედი წრე -და ა.შ.

მე-2 "თამაში" – რიცხვის წილადებში გამოხატული მოცემული რიცხვების შესაბამისი რიცხვითი წრეზე ქულების პოვნა მაგალითად, ქულები და ა.შ. („კარგი“ რიცხვები და ქულები).

მესამე "თამაში" - რიცხვების წრეზე წერტილების პოვნა, რომლებიც შეესაბამება მოცემულ რიცხვებს, რომლებიც არ არის გამოხატული რიცხვის წილადებში მაგალითად, ქულები მ (1), მ (–5) და ა.შ. („ცუდი“ რიცხვები და ქულები).

მე-4 "თამაში" - რიცხვების წრეზე მოცემული „კარგი“ წერტილის შესაბამისი რიცხვების ჩაწერა, მაგალითად, პირველი მეოთხედის შუა რიცხვები არის „კარგი“, მის შესაბამის რიცხვებს აქვთ ფორმა.

დინამიური პაუზა

ამ გაკვეთილზე ამოხსნილი სავარჯიშოები შეესაბამება ოთხ დანიშნულ დიდაქტიკურ თამაშს. მოსწავლეები იყენებენ რიცხვითი წრის განლაგებას დიამეტრითAC (ჰორიზონტალური) დაBD(ვერტიკალური).

1. № 4.1, № 4.3.

გამოსავალი:

№ 4.3.

2. № 4.5 (ა; ბ) - 4.11 (ა; ბ).

3. № 4.12.

4. № 4.13 (ა; ბ), № 4.14.

გამოსავალი:

№ 4.13.

V. სატესტო სამუშაო.

ვარიანტი 1

ვარიანტი 2

1. მონიშნეთ წერტილი რიცხვით წრეზე, რომელიც შეესაბამება ამ რიცხვს:

2. იპოვეთ ყველა ის რიცხვი, რომელიც შეესაბამება რიცხვთა წრეზე მონიშნულ წერტილებს.

VI. გაკვეთილის შეჯამება.

კითხვები სტუდენტებისთვის:

– მიეცით რიცხვითი წრის განმარტება.

– რა არის ერთეული წრის სიგრძე? ნახევარი ერთეული წრის სიგრძე? მისი კვარტალი?

– როგორ შეგიძლიათ იპოვოთ წერტილი რიცხვის წრეზე, რომელიც შეესაბამება რიცხვს?ნომერი 5?

Საშინაო დავალება:, გვერდი 23. No 4.2, No 4.4, No 4.5 (გ; დ) – No 4.11 (გ; დ), No 4.13 (გ; დ), No 4.15.

გაკვეთილი #2

მიზნები : რიცხვითი წრის კონცეფციის კონსოლიდაცია, როგორც მრუდი კოორდინატთა სისტემის მოდელი.

Დავალებები : განაგრძეთ რიცხვთა წრეზე წერტილების პოვნის უნარის გამომუშავება, რომლებიც შეესაბამება მოცემულ „კარგ“ და „ცუდ“ რიცხვებს; ჩაწერეთ რიცხვის წრის წერტილის შესაბამისი რიცხვი; განუვითარდებათ ორმაგი უტოლობის სახით რიცხვითი წრის რკალის ანალიტიკური აღნიშვნის შედგენის უნარი.

მოსწავლეთა გამოთვლითი უნარების, მათემატიკური მეტყველების სწორი და ლოგიკური აზროვნების განვითარება.

ჩანერგეთ დამოუკიდებლობა, ყურადღება და სიზუსტე. სწავლისადმი პასუხისმგებელი დამოკიდებულების ჩამოყალიბება.

დაგეგმილი შედეგები:

იცოდე, გაიგე: - რიცხვითი წრე.

შეძლოს: - მოცემული კოორდინატების მიხედვით წრეზე წერტილების პოვნა; - იპოვნეთ რიცხვითი წრეზე მდებარე წერტილის კოორდინატები.

შეძლოს შესწავლილი თეორიული მასალის გამოყენება წერითი სამუშაოს შესრულებისას.

გაკვეთილის ტექნიკური მხარდაჭერა კომპიუტერი, ეკრანი, პროექტორი, სახელმძღვანელო, პრობლემური წიგნი.

გაკვეთილის დამატებითი მეთოდოლოგიური და დიდაქტიკური მხარდაჭერა: Mordkovich A.G. M79 ალგებრა და მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი. 10-11 კლასები (საბაზო დონე): მეთოდოლოგიური სახელმძღვანელო მასწავლებლებისთვის / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - M.: Mnemosyna, 2010. - 202გვ. : სილა

გაკვეთილების დროს

ორგანიზების დრო.

სტუდენტების ფსიქოლოგიური განწყობა.

საშინაო დავალების შემოწმებაNo 4.2, No 4.4, No. 4.5 (c; d) – No. 4.11 (c; d), No. 4.13 (c; d), No.

№ 4.15. გაანალიზეთ ამოცანების გადაწყვეტა, რამაც გამოიწვია სირთულე.

ზეპირი სამუშაო.

(სლაიდზე)

1. შეუთავსეთ წერტილები რიცხვთა წრეზე და მოცემულ რიცხვებზე:

ა)

ბ)

V)

გ)

დ)

ე)

და)

თ)

2. იპოვნეთ წერტილები რიცხვით წრეზე.

–2; 4; –8; 13.

III. ახალი მასალის ახსნა.

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, სტუდენტები ეუფლებიან ექვსი დიდაქტიკური „თამაშის“ სისტემას, რომელიც უზრუნველყოფს ოთხი ძირითადი ტიპის ამოცანების ამოხსნის უნარს, რომლებიც დაკავშირებულია რიცხვთა წრესთან (რიცხვიდან წერტილამდე; წერტილიდან რიცხვამდე; რკალიდან ორმაგ უტოლობამდე; ორმაგი უტოლობით. რკალამდე).

(მორდკოვიჩ ა.გ. M79 ალგებრა და მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი. 10-11 კლასები (საბაზო დონე): მეთოდოლოგიური სახელმძღვანელო მასწავლებლებისთვის / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - M.: Mnemosyne, 2010. - 202გვ. : ცუდად.)

ამ გაკვეთილზე გამოვიყენებთ ბოლო ორ თამაშს:

მე-5 "თამაში" – რიცხვითი წრის რკალებისთვის ანალიტიკური ჩანაწერების (ორმაგი უტოლობა) შედგენა. მაგალითად, თუ მოცემულია რკალი, რომელიც აკავშირებს პირველი მეოთხედის შუას (რკალის დასაწყისი) და იმ ორიდან ყველაზე დაბალ წერტილს, რომელიც მეორე მეოთხედს სამ თანაბარ ნაწილად ყოფს (რკალის დასასრული), მაშინ შესაბამისი ანალიტიკური აღნიშვნას აქვს ფორმა:

თუ ერთი და იგივე რკალის დასაწყისი და დასასრული შეიცვლება, მაშინ რკალის შესაბამისი ანალიტიკური ჩანაწერი ასე გამოიყურება:

სახელმძღვანელოს ავტორები აღნიშნავენ, რომ ტერმინები „რკალის ანალიტიკური აღნიშვნის ბირთვი“, „რკალის ანალიტიკური აღნიშვნა“ საყოველთაოდ არ არის აღიარებული, ისინი შემოღებულ იქნა წმინდა მეთოდოლოგიური მიზეზების გამო და მათი გამოყენება თუ არა, გადასაწყვეტია. მასწავლებელი.

მე-6 "თამაში" – რკალის ამ ანალიტიკური აღნიშვნიდან (ორმაგი უტოლობა) გადავიდეთ მის გეომეტრიულ გამოსახულებაზე.

ახსნა უნდა განხორციელდეს ანალოგიის ტექნიკის გამოყენებით. თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ მოძრავი რიცხვითი ხაზის მოდელი, რომელიც შეიძლება "ჩამოიშალოს" რიცხვების წრეში.

სახელმძღვანელოსთან მუშაობა .

მოდით შევხედოთ მაგალითს 8 გვ. 33 სახელმძღვანელო.

დინამიური პაუზა

IV. უნარებისა და შესაძლებლობების ფორმირება.

დავალებების შესრულებისას მოსწავლეებმა უნდა უზრუნველყონ, რომ რკალის ანალიტიკური წერისას, ორმაგი უტოლობის მარცხენა მხარე მარჯვენა მხარეს ნაკლები იყოს. ამისათვის, ჩაწერისას, თქვენ უნდა იმოძრაოთ დადებითი მიმართულებით, ანუ საათის ისრის საწინააღმდეგოდ.

1 ჯგუფი . სავარჯიშოები რიცხვების წრეზე „ცუდი“ წერტილების მოსაძებნად.

№ 4.16, No 4.17 (a; b).

მე-2 ჯგუფი . სავარჯიშოები რკალის ანალიტიკურ ჩაწერაზე და მის ანალიტიკურ ჩანაწერზე დაფუძნებული რკალის აგებაზე.

№ 4.18 (a; b), No. 4.19 (a; b), No. 4.20 (a; b).

V. დამოუკიდებელი მუშაობა.

ვარიანტი 1

3. ანალიტიკური მოდელის მიხედვით ჩაწერეთ რიცხვითი რკალის აღნიშვნა და შექმენით მისი გეომეტრიული მოდელი.

ვარიანტი 2

1. რიცხვითი წრის რკალის გეომეტრიული მოდელის საფუძველზე დაწერეთ ანალიტიკური მოდელი ორმაგი უტოლობის სახით.

2. რიცხვითი წრის რკალის მოცემული აღნიშვნის მიხედვით მიუთითეთ მისი გეომეტრიული და ანალიტიკური მოდელები.

3. ანალიტიკური მოდელის მიხედვით ჩაწერეთ რიცხვითი წრის რკალის აღნიშვნა და შექმენით მისი გეომეტრიული მოდელი.

VI. გაკვეთილის შეჯამება.

კითხვები სტუდენტებისთვის:

– რა ხერხებით შეგიძლიათ დაწეროთ რიცხვითი წრის რკალი ანალიტიკურად?

– რას ჰქვია რკალის ანალიტიკური ჩაწერის ბირთვი?

– რა პირობებს უნდა აკმაყოფილებდეს ორმაგი უტოლობის მარცხნივ და მარჯვნივ რიცხვები?

Საშინაო დავალება:

1. , გვერდი 23. No4.17 (c; d), No. 4.18 (c; d), No. 4.19 (c; d), No. 4.20 (c; d).

2. რიცხვითი წრის რკალის გეომეტრიული მოდელის საფუძველზე ჩამოწერეთ მისი ანალიტიკური მოდელი ორმაგი უტოლობის სახით.

3. რიცხვითი წრის რკალის მოცემული აღნიშვნის მიხედვით მიუთითეთ მისი გეომეტრიული და ანალიტიკური მოდელები.