(\large\bf مشتق تابع)
تابع را در نظر بگیرید y=f(x)، در فاصله داده شده است (الف، ب). اجازه دهید ایکس- هر فاصله نقطه ثابت (الف، ب)، آ Δx- یک عدد دلخواه، به طوری که مقدار x+Δxهمچنین متعلق به فاصله است (الف، ب). این شماره Δxافزایش آرگومان نامیده می شود.
تعریف. افزایش تابع y=f(x)در نقطه ایکس، مربوط به افزایش استدلال Δxبیا با شماره تماس بگیریم
Δy = f(x+Δx) - f(x).
ما معتقدیم که Δx ≠ 0. در یک نقطه ثابت معین در نظر بگیرید ایکسنسبت افزایش تابع در آن نقطه به افزایش متناظر آرگومان Δx
این رابطه رابطه تفاوت نامیده خواهد شد. از آنجایی که ارزش ایکسما ثابت می دانیم، رابطه تفاوت تابعی از آرگومان است Δx. این تابع برای تمام مقادیر آرگومان تعریف شده است Δx، متعلق به محله ای به اندازه کافی کوچک از نقطه است ∆x=0، به جز نکته ∆x=0. بنابراین، ما این حق را داریم که مسئله وجود محدودیتی از تابع مشخص شده را برای آن در نظر بگیریم ∆x → 0.
تعریف. تابع مشتق y=f(x)در یک نقطه ثابت معین ایکسحد نامیده می شود ∆x → 0رابطه دیفرانسیل، یعنی
به شرطی که این حد وجود داشته باشد.
تعیین. y (x)یا f′(x).
معنای هندسی مشتق: مشتق تابع f(x)در این نقطه ایکسبرابر با مماس زاویه بین محور گاو نرو مماس بر نمودار این تابع در نقطه مربوطه:
f′(x 0) = \tgα.
معنای مکانیکی مشتق: مشتق مسیر نسبت به زمان برابر است با سرعت حرکت مستقیم نقطه:
معادله مماس خط y=f(x)در نقطه M0 (x0,y0)شکل می گیرد
y-y 0 = f (x 0) (x-x 0).
نرمال به منحنی در یک نقطه عمود بر مماس در همان نقطه است. اگر f′(x 0)≠ 0، سپس معادله عادی به خط y=f(x)در نقطه M0 (x0,y0)اینگونه نوشته شده است:
مفهوم تمایز پذیری یک تابع
اجازه دهید تابع y=f(x)در برخی فاصله ها تعریف شده است (الف، ب), ایکس- مقداری ثابت آرگومان از این بازه، Δx- هر گونه افزایش استدلال به گونه ای که ارزش استدلال x+Δx ∈ (a, b).
تعریف. تابع y=f(x)در یک نقطه معین متمایز نامیده می شود ایکسدر صورت افزایش Δyاین تابع در نقطه ایکس، مربوط به افزایش استدلال Δx، می تواند به صورت نمایش داده شود
Δy = A Δx +αΔx,
جایی که آعددی مستقل از Δx، آ α - تابع آرگومان Δx، که بی نهایت کوچک است ∆x → 0.
از آنجایی که حاصل ضرب دو تابع بی نهایت کوچک است αΔxیک مرتبه بینهایت کوچک بالاتر از Δx(ویژگی 3 توابع بی نهایت کوچک)، می توانیم بنویسیم:
∆y = A ∆x +o(∆x).
قضیه. به منظور عملکرد y=f(x)در یک نقطه مشخص قابل تمایز بود ایکس، لازم و کافی است که در این نقطه مشتق متناهی داشته باشد. که در آن A=f′(x)، به این معنا که
Δy = f′(x) Δx +o(Δx).
عملیات یافتن مشتق معمولاً تمایز نامیده می شود.
قضیه. اگر تابع y=f(x) ایکس، سپس در آن نقطه پیوسته است.
اظهار نظر. از تداوم عملکرد y=f(x)در این نقطه ایکسبه طور کلی، به این معنا نیست که تابع قابل تمایز است f(x)در این نقطه به عنوان مثال، تابع y=|x|- پیوسته در یک نقطه x=0، اما مشتق ندارد.
مفهوم دیفرانسیل تابع
تعریف. دیفرانسیل عملکرد y=f(x)حاصل ضرب مشتق این تابع و افزایش متغیر مستقل نامیده می شود ایکس:
dy = y′ ∆x, df(x) = f′(x) ∆x.
برای عملکرد y=xما گرفتیم dy=dx=x'Δx = 1 Δx= Δx، به این معنا که dx=Δx- دیفرانسیل یک متغیر مستقل برابر با افزایش این متغیر است.
بنابراین، ما می توانیم بنویسیم
dy = y′dx، df(x) = f′(x)dx
دیفرانسیل دوو افزایش Δyکارکرد y=f(x)در این نقطه ایکس، هر دو مربوط به افزایش یکسان استدلال هستند Δxبه طور کلی با یکدیگر برابر نیستند.
معنای هندسی دیفرانسیل: دیفرانسیل یک تابع برابر است با افزایش مختصات مماس بر نمودار تابع داده شده زمانی که آرگومان افزایش می یابد. Δx.
قوانین تمایز
قضیه. اگر هر یک از توابع u(x)و v(x)قابل تمایز در یک نقطه معین ایکس، سپس مجموع، تفاضل، حاصلضرب و ضریب این توابع (ضریب به شرطی که v(x)≠ 0) نیز در این مرحله قابل تمایز هستند و فرمول های زیر برقرار است:
یک تابع پیچیده را در نظر بگیرید y=f(φ(x))≡ F(x)، جایی که y=f(u), u=φ(x). در این مورد توتماس گرفت استدلال میانی, ایکس - متغیر مستقل.
قضیه. اگر y=f(u)و u=φ(x)توابع قابل تمایز آرگومان هایشان هستند، سپس مشتق تابع مختلط y=f(φ(x))وجود دارد و برابر است با حاصلضرب این تابع نسبت به آرگومان میانی و مشتق آرگومان میانی نسبت به متغیر مستقل، یعنی.
اظهار نظر. برای یک تابع پیچیده که برهم نهی سه تابع است y=F(f(φ(x)))، قانون تمایز شکل دارد
y' x = y' u u' v v' x,
که در آن توابع v=φ(x), u=f(v)و y=F(u)توابع قابل تمایز آرگومان های آنها هستند.
قضیه. اجازه دهید تابع y=f(x)افزایش (یا کاهش) و پیوسته در برخی از همسایگی های نقطه است x0. علاوه بر این، اجازه دهید این تابع در نقطه نشان داده شده قابل تفکیک باشد x0و مشتق آن در این مرحله f′(x 0) ≠ 0. سپس در محله ای از نقطه مربوطه y0=f(x0)معکوس برای y=f(x)تابع x=f -1 (y)، و تابع معکوس نشان داده شده در نقطه مربوطه قابل تفکیک است y0=f(x0)و برای مشتق آن در این نقطه yفرمول معتبر است
جدول مشتق
عدم تغییر شکل دیفرانسیل اول
دیفرانسیل یک تابع پیچیده را در نظر بگیرید. اگر y=f(x), x=φ(t)توابع قابل تمایز آرگومان هایشان هستند، سپس مشتق تابع y=f(φ(t))با فرمول بیان می شود
y′ t = y′ x x′ t.
الف- مقدماتی dy=y't dt، سپس دریافت می کنیم
dy = y′ t dt = y′ x x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,
dy = y′ x dx.
بنابراین، ما ثابت کرده ایم
خاصیت عدم تغییر شکل اولین دیفرانسیل یک تابع: مانند موردی که برهان ایکسیک متغیر مستقل است و در موردی که آرگومان ایکسخود تابعی قابل تمایز از متغیر جدید یعنی دیفرانسیل است دوکارکرد y=f(x)برابر است با مشتق این تابع، ضرب در دیفرانسیل آرگومان dx.
کاربرد دیفرانسیل در محاسبات تقریبی
ما نشان دادیم که دیفرانسیل دوکارکرد y=f(x)به طور کلی، با افزایش برابر نیست Δyاین تابع با این وجود، تا یک تابع بی نهایت کوچک از مرتبه کوچکی بالاتر از Δx، برابری تقریبی
∆y ≈ dy.
نسبت را خطای نسبی برابری این برابری می نامند. زیرا ∆y-dy=o(∆x)، سپس خطای نسبی این برابری به طور دلخواه کوچک می شود |Δх|.
با توجه به اینکه Δy=f(x+δx)-f(x), dy=f′(x)Δx، ما گرفتیم f(x+δx)-f(x) ≈ f′(x)Δxیا
f(x+δx) ≈ f(x) + f′(x)Δx.
این برابری تقریبی با یک خطا اجازه می دهد o (Δx)جایگزین عملکرد f(x)در یک محله کوچک از یک نقطه ایکس(یعنی برای مقادیر کوچک Δx) یک تابع خطی از آرگومان Δxایستادن در سمت راست
مشتقات سفارشات بالاتر
تعریف. مشتق دوم (یا مشتق مرتبه دوم) تابع y=f(x)مشتق اولین مشتق آن نامیده می شود.
علامت گذاری برای مشتق دوم یک تابع y=f(x):
معنای مکانیکی مشتق دوم. اگر تابع y=f(x)قانون حرکت یک نقطه مادی را در یک خط مستقیم و سپس مشتق دوم را توصیف می کند f″(x)برابر شتاب نقطه متحرک در زمان است ایکس.
مشتقات سوم و چهارم نیز به طور مشابه تعریف می شوند.
تعریف. n-ام مشتق (یا مشتق nترتیب) توابع y=f(x)مشتق آن نامیده می شود n-1مشتق -ام:
y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.
نام گذاری ها: y", y IV, y Vو غیره.
با استفاده از تعریف مشتق، عبارتی برای مشتق تابع نمایی \(y = (e^x)\ پیدا کنید.
راه حل.
مراحل اولیه استاندارد هستند: ابتدا، افزایش تابع \(\Delta y\) را مطابق با افزایش آرگومان \(\Delta x\) بنویسید: \[ (\Delta y = y\left((x + \دلتا x) \راست) - y\چپ(x \راست) ) = ((e^(x + \Delta x)) - (e^x) ) = ((e^x)(e^(\Delta x)) - (e^x ) ) = ((e^x)\left(((e^(\Delta x)) - 1) \right).) \] مشتق به عنوان حد افزایش محاسبه می شود نسبت: \[ (y"\left(x \right) = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta y))((\Delta x)) = (\lim\limits_ (\Delta x \ به 0) \frac((( e^x)\left(((e^(\Delta x))) - 1) \راست)))((\Delta x)).) \] تابع \(y = (e^x)\) در صورت حساب به Δ بستگی ندارد ایکسو می توان آن را از علامت حد خارج کرد. سپس مشتق شکل زیر را به خود می گیرد: \[ (y"\left(x \right) = (\left(((e^x)) \right)^\prime ) ) = ((e^x)\lim\ limits_( \Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x)).) \] حد حاصل را با \(L\) نشان داده و آن را محاسبه کنید به طور جداگانه، اتفاقا \((e^0) = 1\) و بنابراین، می توانیم \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x) را بنویسیم )) - 1))((\Delta x))) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x))) - (e^0)))( (\ دلتا x)) = e"\left(0 \right),) \] یعنی این حد مقدار مشتق تابع نمایی در صفر است. در نتیجه، \ ما رابطه ای به دست آورده ایم که در آن مشتق مورد نظر بر حسب تابع \(y = (e^x)\) و مشتق آن در نقطه \(x = 0\) بیان می شود. اجازه دهید ثابت کنیم که \ برای این کار، به یاد بیاوریم که عدد \(e\) به عنوان یک حد نامتناهی به عنوان \ تعریف می شود و عدد \(e\) به توان \(\Delta x\) به ترتیب برابر خواهد بود. به \[(e^(\ دلتا x)) = \lim\limits_(n \ به \infty ) (\left((1 + \frac((\Delta x))(n)) \راست)^n) .\] سپس فرمول معروف را اعمال می کنیم دوجمله ای نیوتن و عبارت را زیر علامت limit in گسترش دهید سری دو جمله ای: \[(\left((1 + \frac((\Delta x))(n)) \راست)^n) = \sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left( (\frac((\Delta x))(n)) \راست))^k)) .\]). در کتاب‌های درسی اروپایی و آمریکایی، تعداد ترکیب‌ها به صورت \ بیایید به حد خود برگردیم \(L\) نشان داده می‌شود که اکنون می‌توان آن را به صورت زیر نوشت: \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((( e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x))) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \ به \infty ) \ چپ[ (\sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \راست))^k)) ) \right] - 1))((\Delta x)).) \] برای ما راحت است که دو عبارت اول را در سری دوجمله ای جدا کنیم: برای \(k = 0\) و \(k = 1 \). نتیجه \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty) \left[ (\sum\limits_(k = 0)^n است (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \راست))^k)) ) \راست] - 1))((\Delta x))) = (\ lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty) \left[ (C_n^0((\left((\frac((\Delta x))(n )) \راست))^0) + C_n^1((\left((\frac((\Delta x))(n)) \راست))^1) + \sum\limits_(k = 2)^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \راست))^k)) ) \راست] - 1))((\Delta x)) ) = ( \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (1 + n \cdot \frac((\Delta x))(n) + \ sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \راست))^k)) ) \راست] - 1))( (\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta x + \lim\limits_(n \to \infty ) \sum\limits_(k = 2)^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \راست))^k))))((\Delta x))) = (\lim\limits_(\ دلتا x \ به 0) \چپ[ (1 + \frac(1)((\Delta x))\lim\limits_(n \to \infty ) \sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k ((\left((\frac((\Delta x))(n)) \راست))^k)) ) \right] ) = (1 + \lim\limits_(n \to \infty ) \چپ[ (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \left((\sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k\frac((((\left((\Delta x) \راست)) ^(k - 1))))(((n^k)))) ) \right)) \right].) \] بدیهی است که مجموع سری به صورت \(\Delta x \ به 0 به صفر میل می کند. \) . بنابراین، \(L = 1\). این بدان معنی است که مشتق تابع نمایی \(y = (e^x)\) برابر با خود تابع است: \
هنگام حل مسائل مختلف هندسه، مکانیک، فیزیک و سایر شاخه های دانش، استفاده از فرآیند تحلیلی یکسان از یک تابع معین ضروری شد. y=f(x)یک تابع جدید به نام دریافت کنید تابع مشتق(یا به سادگی مشتق) این تابع f(x)و نمادین هستند
فرآیندی که طی آن یک تابع معین f(x)یک تابع جدید دریافت کنید f"(x)، تماس گرفت تفکیکو از سه مرحله زیر تشکیل شده است: 1) استدلال می کنیم ایکسافزایش
ایکسو افزایش مربوط به تابع را تعیین کنید
y = f(x+
x)-f(x); 2) رابطه را تشکیل دهید 
3) شمارش ایکسدائمی، و
ایکس0، پیدا می کنیم 
، که با نشان داده می شود f"(x)، گویی تأکید می کند که تابع حاصل فقط به مقدار بستگی دارد ایکس، که در آن ما به مرز عبور می کنیم. تعریف:
مشتق y "=f" (x)
تابع داده شده y=f(x)
x داده شده استحد نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان نامیده می شود، مشروط بر اینکه افزایش آرگومان به سمت صفر میل کند، البته اگر این حد وجود داشته باشد، یعنی. محدود، فانی. بدین ترتیب، 
، یا 
توجه داشته باشید که اگر برای مقداری ایکسبرای مثال زمانی که x=a، رابطه 
در
ایکس 0 به یک حد محدود تمایل ندارد، در این صورت می گوییم که تابع f(x)در x=a(یا در نقطه x=a) مشتق ندارد یا در نقطه ای قابل تمایز نیست x=a.
2. معنای هندسی مشتق.
نمودار تابع y \u003d f (x)، قابل تمایز در مجاورت نقطه x 0 را در نظر بگیرید
f(x)
بیایید یک خط مستقیم دلخواه را در نظر بگیریم که از نقطه نمودار تابع - نقطه A (x 0, f (x 0)) عبور می کند و نمودار را در نقطه ای B (x; f (x) قطع می کند. به چنین خط مستقیمی (AB) سکونت گفته می شود. از ∆ABC: AC = ∆x؛ قبل از میلاد \u003d ∆y; tgβ=∆y/∆x .
از آنجایی که AC || Ox، سپس ALO = BAC = β (به صورت موازی). اما ALO زاویه تمایل مقطع AB به جهت مثبت محور Ox است. بنابراین، tgβ = k شیب خط مستقیم AB است.
حالا ∆x را کاهش می دهیم، یعنی. ∆x← 0. در این حالت، نقطه B مطابق نمودار به نقطه A نزدیک می شود و سکنت AB می چرخد. موقعیت محدود مقطع AB در ∆x → 0 خط مستقیم (a) خواهد بود که مماس بر نمودار تابع y \u003d f (x) در نقطه A نامیده می شود.
اگر در برابری tgβ =∆y/∆x به حد ∆х → 0 عبور کنیم، به دست می‌آید. 
یا tg \u003d f "(x 0)، از آنجا که 
-زاویه تمایل مماس به جهت مثبت محور Ox 
، با تعریف مشتق. اما tg \u003d k شیب مماس است، به این معنی که k \u003d tg \u003d f "(x 0).
بنابراین، معنای هندسی مشتق به شرح زیر است:
مشتق تابع در نقطه x 0 برابر شیب مماس بر نمودار تابع رسم شده در نقطه با آبسیسا x 0 .
3. معنای ظاهری مشتق.
حرکت یک نقطه را در امتداد یک خط مستقیم در نظر بگیرید. اجازه دهید مختصات یک نقطه در هر زمان x(t) داده شود. مشخص است (از درس فیزیک) که میانگین سرعت در یک دوره زمانی برابر است با نسبت مسافت طی شده در این دوره زمانی به زمان، یعنی.
Vav = ∆x/∆t. اجازه دهید از حد در آخرین برابری به عنوان ∆t → 0 عبور کنیم.
lim Vav (t) = (t 0) - سرعت آنی در زمان t 0، ∆t → 0.
و lim = ∆x/∆t = x "(t 0) (با تعریف یک مشتق).
بنابراین، (t) = x"(t).
معنای فیزیکی مشتق به شرح زیر است: مشتق تابعy = f(ایکس) در نقطهایکس 0 نرخ تغییر تابع استf(x) در نقطهایکس 0
این مشتق در فیزیک برای یافتن سرعت از تابع شناخته شده مختصات از زمان، شتاب از تابع شناخته شده سرعت از زمان استفاده می شود.
(t) \u003d x "(t) - سرعت،
a(f) = "(t) - شتاب، یا
اگر قانون حرکت یک نقطه مادی در امتداد یک دایره شناخته شده باشد، می توان سرعت زاویه ای و شتاب زاویه ای را در حین حرکت چرخشی پیدا کرد:
φ = φ(t) - تغییر زاویه با زمان،
ω \u003d φ "(t) - سرعت زاویه ای،
ε = φ"(t) - شتاب زاویه ای، یا ε = φ"(t).
اگر قانون توزیع جرم یک میله ناهمگن مشخص باشد، چگالی خطی میله ناهمگن را می توان یافت:
m \u003d m (x) - جرم،
x ، l - طول میله،
p \u003d m "(x) - چگالی خطی.
با کمک مشتق، مسائل مربوط به تئوری کشسانی و ارتعاشات هارمونیک حل می شود. بله، طبق قانون هوک
F = -kx، x – مختصات متغیر، k – ضریب کشسانی فنر. با قرار دادن ω 2 \u003d k / m ، معادله دیفرانسیل آونگ فنر x "(t) + ω 2 x (t) \u003d 0 را به دست می آوریم،
که در آن ω = √k/√m فرکانس نوسان (l/c)، k نرخ فنر (H/m) است.
معادله ای به شکل y "+ ω 2 y \u003d 0 معادله نوسانات هارمونیک (مکانیکی، الکتریکی، الکترومغناطیسی) نامیده می شود. راه حل چنین معادلاتی تابع است.
y = Asin (ωt + φ 0) یا y = Acos (ωt + φ 0)، که در آن
A - دامنه نوسان، ω - فرکانس چرخه ای،
φ 0 - فاز اولیه.
حل مسائل یا مثال های فیزیکی در ریاضیات بدون آگاهی از مشتقات و روش های محاسبه آن مطلقاً غیرممکن است. مشتق یکی از مهمترین مفاهیم تحلیل ریاضی است. تصمیم گرفتیم مقاله امروز را به این موضوع اساسی اختصاص دهیم. مشتق چیست، معنای فیزیکی و هندسی آن چیست، مشتق تابع را چگونه محاسبه کنیم؟ همه این سؤالات را می توان در یکی ترکیب کرد: چگونه مشتق را درک کنیم؟
معنای هندسی و فیزیکی مشتق
اجازه دهید یک تابع وجود داشته باشد f(x) ، در فواصل زمانی داده شده است (الف، ب) . نقاط x و x0 متعلق به این فاصله هستند. وقتی x تغییر می کند، خود تابع تغییر می کند. تغییر استدلال - تفاوت مقادیر آن x-x0 . این تفاوت به صورت نوشته شده است دلتا x و افزایش آرگومان نامیده می شود. تغییر یا افزایش یک تابع، تفاوت بین مقادیر تابع در دو نقطه است. تعریف مشتق:
مشتق یک تابع در یک نقطه حد نسبت افزایش تابع در یک نقطه معین به افزایش آرگومان زمانی است که دومی به سمت صفر میل می کند.
در غیر این صورت می توان اینگونه نوشت:
یافتن چنین حدی چه فایده ای دارد؟ اما کدام یک:
مشتق تابع در یک نقطه برابر است با مماس زاویه بین محور OX و مماس بر نمودار تابع در یک نقطه معین.
معنای فیزیکی مشتق: مشتق زمانی مسیر برابر است با سرعت حرکت مستقیم.
در واقع، از دوران مدرسه، همه می دانند که سرعت یک مسیر خصوصی است. x=f(t) و زمان تی . سرعت متوسط در یک بازه زمانی معین:
برای اطلاع از سرعت حرکت در یک زمان t0 شما باید حد را محاسبه کنید:
قانون اول: ثابت را خارج کنید
ثابت را می توان از علامت مشتق خارج کرد. علاوه بر این، باید انجام شود. هنگام حل مثال هایی در ریاضیات، به عنوان یک قاعده در نظر بگیرید - اگر می توانید عبارت را ساده کنید، حتما ساده کنید .
مثال. بیایید مشتق را محاسبه کنیم:
قانون دوم: مشتق از مجموع توابع
مشتق مجموع دو تابع برابر است با مجموع مشتقات این توابع. همین امر در مورد مشتق تفاوت توابع نیز صادق است.
ما برای این قضیه اثبات نمی کنیم، بلکه یک مثال عملی را در نظر می گیریم.
مشتق تابع را بیابید:
قانون سوم: مشتق حاصلضرب توابع
مشتق حاصل ضرب دو تابع متمایز با فرمول محاسبه می شود:
مثال: مشتق یک تابع را پیدا کنید:
راه حل: 
در اینجا مهم است که در مورد محاسبه مشتقات توابع پیچیده بگوییم. مشتق یک تابع مختلط برابر است با حاصلضرب مشتق این تابع نسبت به آرگومان میانی توسط مشتق آرگومان میانی نسبت به متغیر مستقل.
در مثال بالا با عبارت زیر مواجه می شویم:
در این حالت، آرگومان میانی 8 برابر به توان پنجم است. برای محاسبه مشتق چنین عبارتی، ابتدا مشتق تابع خارجی را با توجه به آرگومان میانی در نظر می گیریم و سپس با توجه به متغیر مستقل در مشتق خود آرگومان میانی ضرب می کنیم.
قانون چهارم: مشتق ضریب دو تابع
فرمول تعیین مشتق ضریب دو تابع:
ما سعی کردیم در مورد مشتقات برای آدمک ها از ابتدا صحبت کنیم. این موضوع آنقدرها هم که به نظر می رسد ساده نیست، پس اخطار داشته باشید: در مثال ها اغلب مشکلاتی وجود دارد، بنابراین هنگام محاسبه مشتقات مراقب باشید.
در صورت داشتن هرگونه سوال در این زمینه و موضوعات دیگر، می توانید با خدمات دانشجویی تماس بگیرید. در مدت زمان کوتاهی، ما به شما کمک می کنیم تا سخت ترین کنترل و مقابله با وظایف را حل کنید، حتی اگر قبلاً با محاسبه مشتقات سروکار نداشته اید.
به خاطر سپردن آن بسیار آسان است.
خوب، ما خیلی دور نخواهیم رفت، بلافاصله تابع معکوس را در نظر خواهیم گرفت. معکوس تابع نمایی چیست؟ لگاریتم:
در مورد ما، پایه یک عدد است:
چنین لگاریتمی (یعنی لگاریتمی با پایه) "طبیعی" نامیده می شود و ما از نماد خاصی برای آن استفاده می کنیم: به جای آن می نویسیم.
برابر چیست؟ البته، .
مشتق لگاریتم طبیعی نیز بسیار ساده است:
مثال ها:
- مشتق تابع را بیابید.
- مشتق تابع چیست؟
پاسخ ها: توان و لگاریتم طبیعی توابعی هستند که از نظر مشتق ساده هستند. توابع نمایی و لگاریتمی با هر پایه دیگری مشتق متفاوتی خواهند داشت که بعد از مرور قوانین تمایز آن را تحلیل خواهیم کرد.
قوانین تمایز
چه قوانینی؟ بازم یه اصطلاح جدید دیگه؟!...
تفکیکفرآیند یافتن مشتق است.
فقط و همه چیز. کلمه دیگری برای این فرآیند چیست؟ نه proizvodnovanie... دیفرانسیل ریاضی را همان افزایش تابع در می نامند. این اصطلاح از دیفرانسیل لاتین - تفاوت می آید. اینجا.
هنگام استخراج همه این قوانین، از دو تابع به عنوان مثال و. ما همچنین به فرمول هایی برای افزایش آنها نیاز خواهیم داشت:
در کل 5 قانون وجود دارد.
ثابت از علامت مشتق خارج می شود.
اگر - یک عدد ثابت (ثابت)، پس.
بدیهی است که این قانون برای تفاوت نیز کار می کند: .
بیایید آن را ثابت کنیم. اجازه دهید، یا راحت تر.
مثال ها.
مشتقات توابع را پیدا کنید:
- در نقطه؛
- در نقطه؛
- در نقطه؛
- در نقطه
راه حل ها:
- (مشتق در همه نقاط یکسان است، زیرا یک تابع خطی است، یادتان هست؟)
مشتق از یک محصول
همه چیز در اینجا مشابه است: ما یک تابع جدید را معرفی می کنیم و افزایش آن را پیدا می کنیم:
مشتق:
مثال ها:
- مشتقات توابع را پیدا کنید و
- مشتق تابع را در یک نقطه پیدا کنید.
راه حل ها:
مشتق تابع نمایی
اکنون دانش شما کافی است تا بیاموزید که چگونه مشتق هر تابع نمایی را بیابید، و نه فقط توان را (آیا فراموش کرده اید که چیست؟).
پس فلان عدد کجاست
ما قبلاً مشتق تابع را می دانیم، بنابراین بیایید سعی کنیم تابع خود را به یک پایه جدید برسانیم:
برای این کار از یک قانون ساده استفاده می کنیم: . سپس:
خوب، کار کرد. حالا سعی کنید مشتق را پیدا کنید و فراموش نکنید که این تابع پیچیده است.
اتفاق افتاد؟
در اینجا، خود را بررسی کنید:
فرمول بسیار شبیه به مشتق توان است: همانطور که بود، باقی می ماند، فقط یک عامل ظاهر شد، که فقط یک عدد است، اما یک متغیر نیست.
مثال ها:
مشتقات توابع را پیدا کنید:
پاسخ ها:
این فقط یک عدد است که بدون ماشین حساب نمی توان آن را محاسبه کرد، یعنی نمی توان آن را به شکل ساده تر نوشت. لذا در جواب به این صورت رها شده است.
توجه داشته باشید که در اینجا ضریب دو تابع است، بنابراین قانون تمایز مناسب را اعمال می کنیم:
در این مثال حاصل ضرب دو تابع:
مشتق تابع لگاریتمی
در اینجا مشابه است: شما قبلاً مشتق لگاریتم طبیعی را می دانید:
بنابراین، برای پیدا کردن یک دلخواه از لگاریتم با پایه متفاوت، به عنوان مثال،:
ما باید این لگاریتم را به پایه بیاوریم. چگونه پایه لگاریتم را تغییر می دهید؟ امیدوارم این فرمول را به خاطر داشته باشید:
فقط اکنون به جای آن می نویسیم:
مخرج فقط یک ثابت بود (یک عدد ثابت، بدون متغیر). مشتق بسیار ساده است:
مشتقات توابع نمایی و لگاریتمی تقریباً هرگز در امتحان یافت نمی شوند، اما دانستن آنها اضافی نخواهد بود.
مشتق تابع مختلط
"تابع پیچیده" چیست؟ نه، این یک لگاریتم نیست، و نه یک مماس قوسی. درک این توابع ممکن است دشوار باشد (البته اگر لگاریتم برای شما دشوار به نظر می رسد، مبحث "لگاریتم" را بخوانید و همه چیز درست می شود)، اما از نظر ریاضی، کلمه "پیچیده" به معنای "دشوار" نیست.
یک نوار نقاله کوچک را تصور کنید: دو نفر نشسته اند و با برخی از اشیاء اقداماتی را انجام می دهند. به عنوان مثال، اولی یک تخته شکلات را در یک بسته بندی می پیچد و دومی آن را با یک روبان می بندد. به نظر می رسد چنین شی کامپوزیتی: یک شکلات پیچیده شده و با یک روبان گره خورده است. برای خوردن یک شکلات تخته ای، باید مراحل مخالف را به ترتیب معکوس انجام دهید.
بیایید یک خط لوله ریاضی مشابه ایجاد کنیم: ابتدا کسینوس یک عدد را پیدا می کنیم و سپس عدد حاصل را مربع می کنیم. بنابراین، آنها به ما یک عدد (شکلات) می دهند، من کسینوس آن را پیدا می کنم (لفاف) و سپس شما آنچه را که به دست آوردم مربع می کنید (آن را با یک روبان ببندید). چی شد؟ تابع. این مثالی از یک تابع پیچیده است: زمانی که برای یافتن مقدار آن، اولین عمل را مستقیماً با متغیر انجام می دهیم و سپس اقدام دوم دیگری را با آنچه در نتیجه اولی اتفاق افتاده است انجام می دهیم.
به عبارت دیگر، تابع پیچیده تابعی است که آرگومان آن تابع دیگری است: .
برای مثال ما، .
ما ممکن است همان اقدامات را به ترتیب معکوس انجام دهیم: ابتدا شما مربع می کنید و سپس من به دنبال کسینوس عدد حاصل می گردم:. به راحتی می توان حدس زد که نتیجه تقریباً همیشه متفاوت خواهد بود. یک ویژگی مهم توابع پیچیده: وقتی ترتیب اعمال تغییر می کند، تابع تغییر می کند.
مثال دوم: (همان). .
آخرین اقدامی که انجام می دهیم نامیده می شود عملکرد "خارجی".و اولین اقدام انجام شد - به ترتیب عملکرد "داخلی".(این اسامی غیر رسمی هستند، من از آنها فقط برای توضیح مطالب به زبان ساده استفاده می کنم).
سعی کنید خودتان تعیین کنید کدام تابع خارجی و کدام داخلی است:
پاسخ ها:جداسازی توابع داخلی و خارجی بسیار شبیه به تغییر متغیرها است: به عنوان مثال، در تابع
- ابتدا چه اقدامی انجام خواهیم داد؟ ابتدا سینوس را محاسبه می کنیم و تنها سپس آن را به مکعب می آوریم. بنابراین یک عملکرد داخلی است، نه یک عملکرد خارجی.
و کارکرد اصلی ترکیب آنهاست: . - درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
معاینه: . - درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
معاینه: . - درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
معاینه: . - درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
معاینه: .
متغیرها را تغییر می دهیم و یک تابع می گیریم.
خوب، اکنون شکلات خود را استخراج می کنیم - به دنبال مشتق باشید. روال همیشه برعکس است: ابتدا مشتق تابع بیرونی را جستجو می کنیم، سپس نتیجه را در مشتق تابع درونی ضرب می کنیم. برای مثال اصلی، به نظر می رسد:
مثالی دیگر:
بنابراین، اجازه دهید در نهایت قانون رسمی را فرموله کنیم:
الگوریتم یافتن مشتق تابع مختلط:
به نظر ساده است، درست است؟
بیایید با مثال ها بررسی کنیم:
راه حل ها:
1) داخلی:
خارجی: ;
2) داخلی:
(فقط سعی نکنید تا الان کم کنید! چیزی از زیر کسینوس خارج نشده، یادتان هست؟)
3) داخلی:
خارجی: ;
فوراً مشخص است که در اینجا یک عملکرد پیچیده سه سطحی وجود دارد: از این گذشته ، این به خودی خود یک عملکرد پیچیده است و ما هنوز ریشه را از آن استخراج می کنیم ، یعنی عمل سوم را انجام می دهیم (شکلات را در یک بسته بندی قرار می دهیم. و با یک روبان در کیف). اما دلیلی برای ترس وجود ندارد: به هر حال، ما این عملکرد را به همان ترتیب معمول "باز کردن" می کنیم: از پایان.
یعنی ابتدا ریشه و بعد کسینوس و فقط بعد عبارت داخل پرانتز را متمایز می کنیم. و سپس همه را ضرب می کنیم.
در چنین مواردی، شماره گذاری اقدامات راحت است. یعنی آنچه را که می دانیم تصور کنیم. به چه ترتیبی اقداماتی را برای محاسبه مقدار این عبارت انجام خواهیم داد؟ بیایید به یک مثال نگاه کنیم:
هرچه این عمل دیرتر انجام شود، عملکرد مربوطه "خارجی" تر خواهد بود. دنباله اقدامات - مانند قبل:
در اینجا لانه سازی به طور کلی 4 سطح است. بیایید مسیر عمل را مشخص کنیم.
1. بیان رادیکال. .
2. ریشه. .
3. سینوس. .
4. مربع. .
5. کنار هم گذاشتن همه:
مشتق. به طور خلاصه در مورد اصلی
مشتق تابع- نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان با افزایش بی نهایت کوچک آرگومان:
مشتقات پایه:
قوانین تمایز:
ثابت از علامت مشتق خارج می شود:
مشتق جمع:
محصول مشتق:
مشتق ضریب:
مشتق تابع مختلط:
الگوریتم یافتن مشتق تابع مختلط:
- ما تابع "داخلی" را تعریف می کنیم، مشتق آن را پیدا می کنیم.
- ما تابع "خارجی" را تعریف می کنیم، مشتق آن را پیدا می کنیم.
- نتایج نقطه اول و دوم را ضرب می کنیم.
