طیف یک دنباله تناوبی طیف یک دنباله از پالس های مستطیلی

2. طیف یک دنباله تناوبی از پالس های مستطیل شکل

دنباله تناوبی پالس های مستطیلی را که در شکل نشان داده شده است در نظر بگیرید. 5. این سیگنال با مدت زمان پالس، دامنه و دوره آن مشخص می شود. تنش در امتداد محور عمودی رسم می شود.

شکل 5. توالی تناوبی پالس های مستطیلی

نقطه شروع را در وسط نبض انتخاب می کنیم. سپس سیگنال فقط در کسینوس منبسط می شود. فرکانس های هارمونیک n/T هستند که در آن n- هر عدد صحیح دامنه هارمونیک مطابق (1.2.) برابر خواهد بود:

زیرا V(t)=Eدر، که در آن مدت زمان پالس و V(t)= 0 در، سپس

نوشتن این فرمول به شکل زیر راحت است:

(2.1.)

فرمول (1.5.) وابستگی دامنه هارمونیک n ام را به دوره و مدت زمان به شکل یک تابع پیوسته (تابع) نشان می دهد. ). این تابع پوشش طیف نامیده می شود. باید در نظر داشت که فقط در فرکانس هایی که هارمونیک های متناظر وجود دارد، معنای فیزیکی دارد. در شکل شکل 6 طیف یک توالی تناوبی از پالس های مستطیلی را نشان می دهد.

شکل 6. طیف یک دنباله تناوبی

پالس های مستطیلی

هنگام ساخت پاکت، منظور ما این است که - است

تابع نوسانی فرکانس و مخرج با افزایش فرکانس به صورت یکنواخت افزایش می یابد. بنابراین تابع شبه نوسانی با کاهش تدریجی به دست می آید. از آنجایی که فرکانس به سمت صفر میل می کند، هم صورت و هم مخرج به صفر میل می کنند و نسبت آنها به وحدت (نخستین حد کلاسیک) میل می کند. مقادیر صفر پاکت در نقاطی رخ می دهد که به عنوان مثال.

جایی که متر- یک عدد صحیح (به جزمتر

توالی تناوبی پالس‌های ویدئویی مستطیلی یک تابع تعدیل‌کننده برای تشکیل یک دنباله تناوبی از پالس‌های رادیویی مستطیلی (PPRP) است که سیگنال‌های کاوشگری برای تشخیص و اندازه‌گیری مختصات اهداف متحرک هستند. بنابراین، با استفاده از طیف تابع تعدیل کننده (PPVI)، می توان طیف سیگنال کاوشگر (PPVI) را نسبتاً ساده و سریع تعیین کرد. هنگامی که یک سیگنال کاوشگر از یک هدف متحرک منعکس می شود، فرکانس های طیف هارمونیک ارتعاش حامل تغییر می کند (اثر داپلر). در نتیجه، می توان سیگنال مفیدی را که از یک هدف متحرک منعکس می شود در پس زمینه ارتعاشات مزاحم (تداخلی) منعکس شده از اجسام ثابت (اشیاء محلی) یا اجسام کند حرکت (سازمان های هواشناسی، گله های پرندگان و غیره) شناسایی کرد. .

PPPVI (شکل 1.42) مجموعه ای از پالس های ویدئویی مستطیلی منفرد است که در فواصل زمانی مساوی یکدیگر را دنبال می کنند. بیان تحلیلی سیگنال

دامنه پالس کجاست. - مدت زمان نبض؛ - دوره تکرار نبض؛ – نرخ تکرار نبض، - چرخه کار.

برای محاسبه ترکیب طیفی یک دنباله تناوبی از پالس ها، سری فوریه استفاده می شود. با طیف های شناخته شده پالس های منفرد که یک دنباله تناوبی را تشکیل می دهند، می توانیم از رابطه بین چگالی طیفی پالس ها و دامنه های پیچیده سری استفاده کنیم:

برای یک پالس ویدئویی مستطیلی، چگالی طیفی با فرمول توصیف می‌شود

با استفاده از رابطه بین چگالی طیفی یک پالس منفرد و دامنه های پیچیده سری، متوجه می شویم

جایی که = 0; ± 1; ± 2; ...

طیف دامنه فرکانس (شکل 1.43) با مجموعه ای از مولفه ها نشان داده می شود:

در این حالت، مقادیر مثبت مربوط به فازهای اولیه صفر و مقادیر منفی مربوط به فازهای اولیه برابر با .

بنابراین، عبارت تحلیلی برای PPPVI برابر خواهد بود

از تجزیه و تحلیل نمودارهای نشان داده شده در شکل 1.43 به شرح زیر است:

· طیف PPPVI گسسته است که از هارمونیک های مجزا با فرکانس تشکیل شده است.

· پاکت ASF طبق قانون تغییر می کند.

· حداکثر مقدار پاکت در برابر با مقدار جزء ثابت است.

· فازهای اولیه هارمونیک ها در لوب های فرد برابر با 0 در لوب های زوج است.

· تعداد هارمونیک های درون هر لوب برابر است با .

عرض طیف سیگنال در 90٪ انرژی سیگنال

· پایه سیگنال، بنابراین سیگنال ساده است.

اگر مدت زمان پالس ها یا دفعات تکرار آنها را تغییر دهید اف(دوره)، سپس پارامترهای طیف و ASF آن تغییر خواهد کرد.

شکل 1.43 نمونه ای از تغییر در سیگنال و ASF آن را هنگامی که مدت زمان پالس دو برابر می شود نشان می دهد.

دنباله های دوره ای پالس های ویدئویی مستطیلی و پارامترهای ASF آنها، تی، و، تی، در شکل 1.44 نشان داده شده است.

از تجزیه و تحلیل نمودارهای داده شده چنین است:

1. برای PPPVI با مدت زمان پالس:

· نسبت وظیفه q=4، بنابراین، 3 هارمونیک در هر لوب متمرکز است.

· فرکانس هارمونیک k-امین.

· عرض طیف سیگنال در سطح انرژی 90٪.

جزء ثابت برابر است با

2. برای PPPVI با مدت زمان پالس:

· نسبت وظیفه q= 2، بنابراین، در هر لوب 1 هارمونیک وجود دارد.

فرکانس هارمونیک k-امین بدون تغییر باقی می ماند.

· عرض طیف سیگنال در سطح 90٪ انرژی آن 2 برابر کاهش یافت.

· جزء ثابت 2 برابر افزایش یافته است.

بنابراین، می توانیم نتیجه بگیریم که با افزایش مدت زمان پالس، ASF در امتداد محور اردیتین "فشرده" می شود (عرض طیف سیگنال کاهش می یابد)، در حالی که دامنه مولفه های طیفی افزایش می یابد. فرکانس های هارمونیک تغییر نمی کند.

در شکل 1.44. نمونه ای از تغییر در سیگنال و ASF آن با افزایش دوره تکرار به میزان 4 برابر (کاهش نرخ تکرار 4 برابر) ارائه شده است.

ج) عرض طیف سیگنال در سطح 90٪ انرژی آن تغییر نکرده است.

د) مولفه ثابت 4 برابر کاهش یافت.

بنابراین، می توانیم نتیجه بگیریم که با افزایش دوره تکرار (کاهش فرکانس تکرار)، "فشرده سازی" در ASF در امتداد محور فرکانس رخ می دهد (دامنه هارمونیک ها با افزایش تعداد آنها در هر لوب کاهش می یابد). . عرض طیف سیگنال تغییر نمی کند. کاهش بیشتر در فرکانس تکرار (افزایش دوره تکرار) منجر به کاهش دامنه هارمونیک ها به مقادیر بی نهایت کوچک می شود. در این حالت سیگنال به یک سیگنال واحد تبدیل می شود و بر این اساس طیف پیوسته می شود.

اجازه دهید دنباله ای تناوبی از پالس های مستطیلی با دوره T، مدت زمان پالس t u و مقدار حداکثر را در نظر بگیریم. اجازه دهید بسط سری چنین سیگنالی را با انتخاب مبدا مختصات پیدا کنیم، همانطور که در شکل نشان داده شده است. 15. در این حالت، تابع متقارن در مورد محور ارتین است، i.e. همه ضرایب مولفه های سینوسی = 0، و فقط ضرایب باید محاسبه شوند.

جزء ثابت

(2.28)

جزء ثابت مقدار متوسط ​​در طول دوره است، یعنی. مساحت نبض تقسیم بر کل دوره است، یعنی. ، یعنی همان چیزی که با یک محاسبه رسمی دقیق اتفاق افتاد (2.28).

به یاد داشته باشید که فرکانس هارمونیک اول ¦ 1 = است که T دوره سیگنال مستطیلی است. فاصله بین هارمونیک ها D¦=¦ 1. اگر عدد هارمونیک n به گونه ای باشد که آرگومان سینوس برابر باشد، دامنه این هارمونیک برای اولین بار به صفر می رسد. این شرط زمانی برآورده می شود که . عدد هارمونیکی که دامنه آن برای اولین بار ناپدید می شود نامیده می شود "صفر اول"و با تاکید بر خواص ویژه این هارمونیک آن را با حرف N نشان دهید:

از سوی دیگر، چرخه وظیفه S پالس ها نسبت دوره T به مدت پالس t u است، یعنی. . بنابراین، "صفر اول" از نظر عددی برابر با چرخه وظیفه پالس است N=S. از آنجایی که سینوس برای همه مقادیر آرگومان که مضرب p هستند به صفر می رسد، دامنه همه هارمونیک ها با اعدادی که مضربی از عدد "نفر اول" هستند نیز به صفر می رسد. یعنی در کجا ک- هر عدد صحیح بنابراین، برای مثال، از (2.22) و (2.23) نتیجه می شود که طیف پالس های مستطیلی با چرخه کاری 2 فقط از هارمونیک های فرد تشکیل شده است. از آنجا که S=2، سپس N=2، یعنی دامنه هارمونیک دوم برای اولین بار به صفر می رسد - این "صفر اول" است. اما دامنه همه هارمونیک های دیگر با اعدادی که بر 2 بخش پذیر هستند، یعنی. همه زوج ها نیز باید به صفر بروند. با چرخه وظیفه S=3، دامنه های صفر در هارمونیک های 3، 6، 9، 12، ... خواهد بود.

با افزایش چرخه وظیفه، "صفر اول" به ناحیه هارمونیک ها با اعداد بالاتر تغییر می کند و در نتیجه میزان کاهش دامنه هارمونیک کاهش می یابد. محاسبه ساده دامنه هارمونیک اول در ام= 100 ولت برای چرخه کاری اس=2, U m 1=63.7V، در اس=5, U m 1= 37.4 ولت و در اس=10, U m 1= 19.7 ولت، یعنی با افزایش چرخه وظیفه، دامنه هارمونیک اول به شدت کاهش می یابد. اگر نسبت دامنه را مثلاً هارمونیک 5 پیدا کنیم U m 5به دامنه هارمونیک اول U m 1، سپس برای اس=2, U m 5/U m 1=0.2 و برای اس=10, U m 5 / U m 1 = 0.9، یعنی نرخ تضعیف هارمونیک های بالاتر با افزایش چرخه وظیفه کاهش می یابد.

بنابراین، با افزایش چرخه وظیفه، طیف دنباله ای از پالس های مستطیلی یکنواخت تر می شود.

ادبیات: [L.1]، ص 40

به عنوان مثال، بسط سری فوریه یک دنباله تناوبی از پالس های مستطیلی را با دامنه، مدت و دوره تکرار، متقارن در حدود صفر، یعنی.

, (2.10)

اینجا

گسترش چنین سیگنالی به یک سری فوریه می دهد

, (2.11)

چرخه وظیفه کجاست

برای ساده کردن نماد، می توانید نماد را وارد کنید

, (2.12)

سپس (2.11) به صورت زیر نوشته می شود

, (2.13)

در شکل 2.3 دنباله ای از پالس های مستطیلی را نشان می دهد. طیف توالی، و همچنین هر سیگنال تناوبی دیگر، ماهیت گسسته (خط) دارد.

پوشش طیف (شکل 2.3، b) متناسب است . فاصله در امتداد محور فرکانس بین دو مولفه طیف مجاور، و بین دو مقدار صفر (عرض لوب طیف) است. تعداد اجزای هارمونیک در یک لوب، از جمله مقدار صفر در سمت راست در شکل، است، جایی که علامت به معنای گرد کردن به نزدیکترین عدد صحیح است، کمتر (اگر چرخه وظیفه یک عدد کسری باشد) یا (اگر چرخه وظیفه باشد). یک مقدار صحیح است). با افزایش دوره، فرکانس اساسی کاهش می یابد، اجزای طیفی در نمودار به هم نزدیک می شوند، دامنه هارمونیک ها نیز کاهش می یابد. در این مورد، شکل پاکت حفظ می شود.

هنگام حل مسائل عملی تحلیل طیفی، از فرکانس های چرخه ای به جای فرکانس های زاویه ای استفاده می شود. ، با هرتز اندازه گیری می شود. بدیهی است که فاصله بین هارمونیک های مجاور در نمودار خواهد بود و عرض یک لوب طیف خواهد بود. این مقادیر در پرانتز در نمودار ارائه شده است.

در مهندسی رادیویی عملی، در بیشتر موارد، به جای نمایش طیفی (شکل 2.3، b)، نمودارهای طیفی طیف دامنه و فاز استفاده می شود. طیف دامنه دنباله ای از پالس های مستطیلی در شکل 1 نشان داده شده است. 2.3، ج.

بدیهی است که پوشش طیف دامنه متناسب است .

در مورد طیف فاز (شکل 2.3، d)، اعتقاد بر این است که فازهای اولیه اجزای هارمونیک به طور ناگهانی با مقدار تغییر می کنند. -π وقتی علامت پاکت تغییر می کند sinc kπ/q. فازهای اولیه هارمونیک های لوب اول صفر فرض می شود. سپس مراحل اولیه هارمونیک های لوب دوم خواهد بود φ = -π ، گلبرگ سوم φ = -2πو غیره.

بیایید یک نمایش سری فوریه دیگر از سیگنال را در نظر بگیریم. برای این کار از فرمول اویلر استفاده می کنیم

.

مطابق با این فرمول، مولفه kth (2.9) گسترش سیگنال به یک سری فوریه را می توان به صورت زیر نشان داد.

; . (2.15)

در اینجا کمیت ها و پیچیده هستند و دامنه های پیچیده اجزای طیف را نشان می دهند. سپس سریال

فوریه (2.8) با در نظر گرفتن (2.14) به شکل زیر خواهد بود

, (2.16)

, (2.17)

به راحتی می توان تأیید کرد که بسط (2.16) از نظر توابع پایه انجام می شود ، که روی بازه نیز متعامد هستند ، یعنی

عبارت (2.16) است فرم پیچیدهسری فوریه که تا فرکانس های منفی گسترش می یابد. مقادیر و ، که در آن نشان دهنده مزدوج مختلط یک کمیت است، نامیده می شوند دامنه های پیچیدهطیف زیرا یک کمیت پیچیده است، از (2.15) نتیجه می گیرد که

و .

سپس کلیت طیف دامنه را تشکیل می دهد و کل طیف فاز سیگنال را تشکیل می دهد.

در شکل شکل 2.4 یک نمودار طیفی از طیف توالی پالس های مستطیلی مورد بحث در بالا را نشان می دهد که با یک سری پیچیده فوریه نشان داده شده است.

طیف همچنین دارای یک کاراکتر خط است، اما بر خلاف طیف های قبلاً در نظر گرفته شده، هم در ناحیه فرکانس های مثبت و هم در ناحیه فرکانس های منفی تعیین می شود. از آنجایی که یک تابع زوج از آرگومان است، نمودار طیفی در حدود صفر متقارن است.

بر اساس (2.15) می توانیم بین ضرایب و بسط (2.3) مطابقت ایجاد کنیم. زیرا

و ,

سپس در نتیجه دریافت می کنیم

. (2.18)

عبارات (2.5) و (2.18) به شما امکان می دهد مقادیر را در محاسبات عملی پیدا کنید.

اجازه دهید یک تفسیر هندسی از شکل پیچیده سری فوریه ارائه دهیم. اجازه دهید مولفه k ام طیف سیگنال را انتخاب کنیم. به صورت مختلط، جزء kth با فرمول توصیف می شود

کجا و با عبارات (2.15) تعیین می شوند.

در صفحه مختلط، هر یک از عبارت های (2.19) به عنوان بردارهای طول نمایش داده می شود ، در یک زاویه و نسبت به محور واقعی می چرخد ​​و در جهت مخالف با فرکانس می چرخد ​​(شکل 2.5).

بدیهی است که مجموع این بردارها بردار واقع در محور واقعی را به دست می دهد که طول آن برابر است. اما این بردار مربوط به جزء هارمونیک است

در مورد برجستگی بردارها بر روی محور فرضی، این برجستگی ها دارای طول مساوی، اما جهت مخالف هستند و جمع آنها صفر می شود. این بدان معنی است که سیگنال های ارائه شده به شکل پیچیده (2.16) در واقع سیگنال های واقعی هستند. به عبارت دیگر، شکل پیچیده سری فوریه است ریاضیانتزاعی که برای حل تعدادی از مسائل تحلیل طیفی بسیار راحت است. بنابراین، گاهی اوقات طیف تعریف شده توسط سری فوریه مثلثاتی نامیده می شود طیف فیزیکی، و شکل پیچیده سری فوریه است طیف ریاضی.

و در پایان موضوع توزیع انرژی و توان را در طیف سیگنال تناوبی در نظر خواهیم گرفت. برای این کار از برابری پارسهوال (1.42) استفاده می کنیم. هنگامی که سیگنال به یک سری فوریه مثلثاتی گسترش می یابد، عبارت (1.42) شکل می گیرد.

.

انرژی DC

,

و انرژی هارمونیک kth

.

سپس انرژی سیگنال

. (2.20)

زیرا قدرت سیگنال متوسط

,

سپس با در نظر گرفتن (2.18)

. (2.21)

هنگامی که سیگنال به یک سری فوریه پیچیده گسترش می یابد، عبارت (1.42) شکل می گیرد

,

جایی که
- انرژی هارمونیک kth.

انرژی سیگنال در این مورد

,

و توان متوسط ​​آن

.

از عبارات فوق چنین استنباط می شود که انرژی یا توان متوسط ​​مولفه طیفی k-امین طیف ریاضی نصف انرژی یا توان مولفه طیفی متناظر طیف فیزیکی است. این به دلیل این واقعیت است که طیف فیزیکی به طور مساوی بین طیف ریاضی توزیع شده است.

-τ و /2

τ و /2

تی

تی

U 0

S(t)

کار شماره 1 گروه RI – 210701

از خروجی منبع پیام، سیگنال هایی دریافت می شوند که اطلاعات را حمل می کنند و همچنین سیگنال های ساعتی که برای همگام سازی عملکرد فرستنده و گیرنده سیستم انتقال استفاده می شوند. سیگنال های اطلاعاتی به شکل غیر تناوبی هستند و سیگنال های ساعت - دنباله ای دوره ای از پالس ها.

برای ارزیابی صحیح امکان انتقال چنین پالس هایی از طریق کانال های ارتباطی، ترکیب طیفی آنها را تعیین می کنیم. طبق (7) یک سیگنال تناوبی به شکل پالس هایی با هر شکلی را می توان به یک سری فوریه گسترش داد.

سیگنال هایی با اشکال مختلف برای انتقال بالای سر و خطوط ارتباطی کابلی استفاده می شود. انتخاب یک شکل یا شکل دیگر به ماهیت پیام های ارسال شده، طیف فرکانس سیگنال ها و پارامترهای فرکانس و زمان سیگنال ها بستگی دارد. سیگنال های نزدیک به پالس های مستطیلی به طور گسترده ای در فناوری انتقال پیام های گسسته استفاده می شوند.

بیایید طیف را محاسبه کنیم، یعنی. مجموعه ای از دامنه های ثابت و

اجزای هارمونیک پالس های مستطیلی تناوبی (شکل 4، الف) با مدت زمان و دوره. از آنجایی که سیگنال یک تابع زوج از زمان است، پس در بیان (3) همه اجزای هارمونیک زوج ناپدید می شوند ( =0)، و مولفه های فرد مقادیر زیر را می گیرند:

(10)

جزء ثابت برابر است با

(11)

برای یک سیگنال 1:1 (نقاط تلگراف) شکل 4a:

,
. (12)

ماژول های دامنه مولفه های طیفی دنباله ای از پالس های مستطیلی با نقطه
در شکل نشان داده شده اند. 4، ب. محور آبسیسا فرکانس تکرار پالس اصلی را نشان می دهد
() و فرکانس های اجزای هارمونیک فرد
,
و غیره. پوشش طیف طبق قانون تغییر می کند.

با افزایش دوره نسبت به مدت زمان پالس، تعداد اجزای هارمونیک در ترکیب طیفی سیگنال تناوبی افزایش می یابد. به عنوان مثال، برای یک سیگنال با نقطه (شکل 4، ج)، متوجه می شویم که مولفه ثابت برابر است با

در باند فرکانس از صفر تا فرکانس پنج جزء هارمونیک وجود دارد (شکل 4، د)، در حالی که فقط یک جزر و مد وجود دارد.

با افزایش بیشتر در دوره تکرار پالس، تعداد اجزای هارمونیک بزرگتر و بزرگتر می شود. در حالت شدید زمانی که
سیگنال به یک تابع غیر تناوبی زمان تبدیل می شود، تعداد اجزای هارمونیک آن در باند فرکانس از صفر تا فرکانس تا بی نهایت افزایش می یابد. آنها در فواصل فرکانسی بی نهایت نزدیک قرار خواهند گرفت؛ طیف سیگنال غیر تناوبی پیوسته می شود.

شکل 4

2.4 طیف یک پالس

یک پالس ویدئویی مشخص شده است (شکل 5):

شکل 5

روش سری فوریه امکان تعمیم عمیق و پربار را فراهم می کند، که به دست آوردن ویژگی های طیفی سیگنال های غیر تناوبی را ممکن می سازد. برای انجام این کار، اجازه دهید به طور ذهنی یک پالس را با همان پالس ها تکمیل کنیم، و به طور دوره ای پس از یک فاصله زمانی مشخص، دنباله ای را که قبلاً مطالعه شده بود، بدست آوریم:

بیایید یک پالس را مجموع پالس های تناوبی با یک دوره بزرگ تصور کنیم.

, (14)

اعداد صحیح کجا هستند

برای نوسانات دوره ای

. (15)

برای بازگشت به یک تکانه، اجازه دهید دوره تکرار را به بی نهایت هدایت کنیم: . در این صورت بدیهی است:

, (16)

بیایید نشان دهیم

. (17)

کمیت مشخصه طیفی (تابع) یک پالس منفرد (تبدیل فوریه مستقیم) است. این فقط به توصیف زمانی نبض بستگی دارد و به طور کلی پیچیده است:

، (18) که در آن
; (19)

; (20)

,

جایی که
- ماژول تابع طیفی (پاسخ دامنه-فرکانس پالس)؛

- زاویه فاز، مشخصه فرکانس فاز پالس.

اجازه دهید یک پالس را با استفاده از فرمول (8) با استفاده از تابع طیفی پیدا کنیم:

.

اگر، دریافت می کنیم:

. (21)

عبارت به دست آمده تبدیل فوریه معکوس نامیده می شود.

انتگرال فوریه تکانه را به عنوان مجموع نامتناهی از اجزای هارمونیک بینهایت کوچک که در همه فرکانس ها قرار دارند تعریف می کند.

بر این اساس، آنها از یک طیف پیوسته (جامد) صحبت می کنند که دارای یک پالس واحد است.

انرژی کل پالس (انرژی آزاد شده در مقاومت فعال اهم) برابر است

(22)

با تغییر ترتیب ادغام، به دست می آوریم

.

انتگرال داخلی تابع طیفی تکانه است که با آرگومان -، یعنی. یک کمیت مزدوج پیچیده است:

از این رو

مدول مربع (ضرب دو عدد مختلط مزدوج برابر است با مدول مربع).

در این مورد، به طور متعارف گفته می شود که طیف پالس دو طرفه است، یعنی. واقع در باند فرکانسی از تا.

رابطه داده شده (23) که ارتباط بین انرژی پالس (در مقاومت 1 اهم) و مدول تابع طیفی آن را برقرار می کند، به عنوان برابری پارسوال شناخته می شود.

بیان می کند که انرژی موجود در یک پالس برابر است با مجموع انرژی تمام اجزای طیف آن. برابری پارسوال ویژگی مهم سیگنال ها را مشخص می کند. اگر برخی از سیستم های انتخابی تنها بخشی از طیف سیگنال را ارسال کند و سایر اجزای آن را تضعیف کند، به این معنی است که بخشی از انرژی سیگنال از بین می رود.

از آنجایی که مجذور مدول یک تابع زوج از متغیر انتگرال است، پس با دو برابر کردن مقدار انتگرال، می توان انتگرال را در محدوده 0 تا:

. (24)

در این حالت می گویند که طیف پالس در باند فرکانسی از 0 تا قرار دارد و یک طرفه نامیده می شود.

انتگرال در (23) طیف انرژی (چگالی انرژی طیفی) پالس نامیده می شود.

توزیع انرژی را بر اساس فرکانس مشخص می کند و مقدار آن در فرکانس برابر با انرژی پالس در هر باند فرکانسی برابر با 1 هرتز است. در نتیجه، انرژی پالس نتیجه یکپارچه سازی طیف انرژی سیگنال در کل محدوده فرکانس است به عبارت دیگر، انرژی برابر است با ناحیه محصور بین منحنی که طیف انرژی سیگنال و محور آبسیسا را ​​نشان می دهد.

برای تخمین توزیع انرژی در طیف، از تابع توزیع انتگرال انرژی نسبی (مشخصه انرژی) استفاده کنید.

, (25)

جایی که
- انرژی پالس در یک باند فرکانسی معین از 0 تا، که کسری از انرژی پالس متمرکز در محدوده فرکانس از 0 تا را مشخص می کند.

برای تک پالس هایی با اشکال مختلف، قوانین زیر صادق است: