Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.
Isikuandmete kogumine ja kasutamine
Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.
Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.
Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.
Milliseid isikuandmeid me kogume:
- Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.
Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:
- Kogutud isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta unikaalsete pakkumiste, tutvustuste ja muude sündmuste ning eelseisvate sündmustega.
- Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
- Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
- Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.
Teabe avaldamine kolmandatele isikutele
Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.
Erandid:
- Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtumenetlusele, kohtumenetluses ja/või Venemaa Föderatsiooni valitsusasutuste avalike taotluste või taotluste alusel - avaldada oma isikuandmeid. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
- Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.
Isikuandmete kaitse
Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.
Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil
Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.
ABSTRAKTNE
"Funktsiooni ja selle graafiku konstruktsiooni täielik uuring."
SISSEJUHATUS
Funktsiooni omaduste uurimine ja selle graafiku koostamine on tuletiste üks imelisemaid rakendusi. Seda funktsiooni uurimise meetodit on korduvalt hoolikalt analüüsitud. Peamine põhjus on selles, et matemaatika rakendustes tuli tegeleda üha keerukamate funktsioonidega, mis ilmnesid uute nähtuste uurimisel. Ilmusid erandid matemaatika poolt väljatöötatud reeglitest, ilmnesid juhud, kui loodud reeglid ei sobinud üldse, ilmnesid funktsioonid, millel ei olnud üheski punktis tuletist.
10.-11. klassi algebra ja elementaaranalüüsi kursuse õppimise eesmärgiks on funktsioonide süstemaatiline uurimine, funktsioonide uurimisega seotud matemaatika üldmeetodite rakendusliku väärtuse avalikustamine.
Funktsionaalsete mõistete arendamine algebra õppimise käigus ja analüüsi algus vanemas astmes aitab keskkooliõpilastel saada visuaalseid ideid funktsioonide järjepidevuse ja katkestuste kohta, õppida tundma mis tahes elementaarfunktsiooni järjepidevust funktsioonide valdkonnas. selle rakendamist, õppida koostama nende graafikuid ja üldistama teavet peamiste elementaarfunktsioonide kohta ning mõistma nende rolli reaalsusnähtuste uurimisel, inimpraktikas.
Funktsioonide suurendamine ja vähendamine
Erinevate matemaatika, füüsika ja tehnoloogia valdkondade probleemide lahendamine viib selle nähtusega seotud muutujate vahelise funktsionaalse seose loomiseni.
Kui sellist funktsionaalset sõltuvust saab väljendada analüütiliselt, st ühe või mitme valemi kujul, siis on võimalik seda uurida matemaatilise analüüsi abil.
See viitab võimalusele selgitada funktsiooni käitumist ühe või teise muutuja muutumisel (kus funktsioon suureneb, kus väheneb, kus saavutab maksimumi jne).
Diferentsiaalarvutuse rakendamine funktsiooni uurimisel põhineb väga lihtsal seosel, mis eksisteerib funktsiooni käitumise ja selle tuletise, eelkõige selle esimese ja teise tuletise omaduste vahel.
Mõelgem, kuidas leiame funktsiooni suurenemise või kahanemise intervalle, st selle monotoonsuse intervalle. Tuginedes monotoonselt kahaneva ja suureneva funktsiooni definitsioonile, on võimalik sõnastada teoreeme, mis võimaldavad seostada antud funktsiooni esimese tuletise väärtust selle monotoonsuse olemusega.
Teoreem 1.1. Kui funktsioon y
=
f
(
x
)
, diferentseeruv intervalli järgi(
a
,
b
)
, suureneb sellel intervallil monotoonselt, seejärel igal hetkel
(
x
) >0;
kui see väheneb monotoonselt, siis suvalises intervalli punktis (
x
)<0.
Tõestus. Laske funktsioonily = f ( x ) suureneb monotoonselt võrra( a , b ) , See tähendab, et igaühele piisavalt väike > 0 kehtib järgmine ebavõrdsus:
f ( x - ) < f ( x ) < f ( x + ) (joonis 1.1).
Riis. 1.1
Kaaluge piiri
.
Kui > 0, siis 
> 0 kui< 0, то
< 0.
Mõlemal juhul on piirmärgi all olev avaldis positiivne, mis tähendab, et piir on positiivne, st ( x )>0 , mida oli vaja tõestada. Sarnaselt on tõestatud ka teoreemi teine osa, mis on seotud funktsiooni monotoonse vähenemisega.
Teoreem 1.2. Kui funktsioon y = f ( x ) , pidev segmendil[ a , b ] ja on kõigis oma sisemistes punktides eristatav ning lisaks ( x ) >0 kellelegi x ϵ ( a , b ) , siis suureneb see funktsioon monotoonselt võrra( a , b ) ; Kui
( x ) <0 kellelegi xϵ ( a , b ), siis see funktsioon väheneb monotoonselt võrra( a , b ) .
Tõestus. Võtame ϵ ( a , b ) Ja ϵ ( a , b ) ja< . Lagrange'i teoreemi järgi
( c ) = .
Aga ( c )>0 ja > 0, mis tähendab ( > 0, see tähendab
(. Saadud tulemus viitab funktsiooni monotoonsele suurenemisele, mida oli vaja tõestada. Teoreemi teine osa on tõestatud sarnaselt.
Funktsiooni äärmus
Funktsiooni käitumise uurimisel mängivad erilist rolli punktid, mis eraldavad üksteisest monotoonse suurenemise intervalle selle monotoonse vähenemise intervallidest.
Definitsioon 2.1. Punkt nimetatakse funktsiooni maksimumpunktiks
y
=
f
(
x
)
, kui üldse, kui vähegi ,
(
< 0
, а точка
nimetatakse miinimumpunktiks, kui (
> 0.
Miinimum- ja maksimumpunkte nimetatakse ühiselt äärmuspunktideks. Selliste punktide tükikaupa monotoonsel funktsioonil on lõplik arv lõplikul intervallil (joonis 2.1).
Riis. 2.1
Teoreem 2.1 (vajalik tingimus ekstreemumi olemasoluks). Kui see on intervallil diferentseeritav( a , b ) funktsioonil on punkt sellest intervallist on maksimum, siis on selle tuletis selles punktis võrdne nulliga. Sama võib öelda ka miinimumpunkti kohta .
Selle teoreemi tõestus tuleneb Rolle'i teoreemist, milles näidati, et miinimum- või maksimumpunktides = 0 ja funktsiooni graafikule nendes punktides tõmmatud puutuja on paralleelne teljegaHÄRG .
Teoreemist 2.1 järeldub, et kui funktsioony = f ( x ) on tuletis kõigis punktides, siis võib see jõuda ekstreemumini nendes punktides, kus = 0.
Sellest tingimusest aga ei piisa, kuna on funktsioone, mille puhul määratud tingimus on täidetud, kuid ekstreemumit pole. Näiteks funktsioony= punktis x = 0 tuletis on null, kuid ekstreemumit selles punktis pole. Lisaks võib ekstreemum olla nendes punktides, kus tuletist ei eksisteeri. Näiteks funktsioony = | x | punktis on miinimumx = 0 , kuigi tuletist praegu ei eksisteeri.
Definitsioon 2.2. Punkte, kus funktsiooni tuletis kaob või millel on katkestus, nimetatakse selle funktsiooni kriitilisteks punktideks.
Seetõttu ei piisa äärmuslike punktide määramiseks teoreemist 2.1.
Teoreem 2.2 (piisav tingimus ekstreemumi olemasoluks). Laske funktsioonil y = f ( x ) pidev intervallil( a , b ) , mis sisaldab oma kriitilist punkti , ja on selle intervalli kõikides punktides diferentseeruv, välja arvatud punkt ise . Siis, kui selle punkti liigutamisel vasakult paremale muutub tuletise märk plussist miinusesse, siis on see maksimumpunkt ja vastupidi, miinusest plussiks - miinimumpunkt.
Tõestus. Kui funktsiooni tuletis muudab punkti läbimisel oma märki vasakult paremale plussilt miinusesse, siis liigub funktsioon suurenevalt kahanemisele ehk jõuab punktini selle maksimum ja vastupidi.
Ülaltoodust lähtub funktsiooni ekstreemsuse uurimise skeem:
1) leida funktsiooni määratluspiirkond;
2) arvutab tuletise;
3) leida kriitilisi punkte;
4) esimese tuletise märgi muutmisega määratakse nende iseloom.
Ekstreemumi funktsiooni uurimise ülesannet ei tohiks segi ajada segmendi funktsiooni minimaalse ja maksimaalse väärtuse määramise ülesandega. Teisel juhul on vaja leida mitte ainult lõigu äärmuslikud punktid, vaid ka võrrelda neid funktsiooni väärtusega selle otstes.
Kumerate ja nõgusate funktsioonide intervallid
Funktsiooni graafiku teine tunnus, mida saab määrata tuletise abil, on selle kumerus või nõgusus.
Definitsioon 3.1. Funktsioon y = f ( x ) nimetatakse intervallil kumeraks( a , b ) , kui selle graafik asub antud intervallil mis tahes puutuja all ja vastupidi, nimetatakse seda nõgusaks, kui selle graafik asub antud intervallil mis tahes puutuja kohal..
Tõestame teoreemi, mis võimaldab määrata funktsiooni kumeruse ja nõgususe intervallid.
Teoreem 3.1. Kui kõigis intervalli punktides( a , b ) funktsiooni teine tuletis ( x ) on pidev ja negatiivne, siis funktsioony = f ( x ) on kumer ja vastupidi, kui teine tuletis on pidev ja positiivne, siis funktsioon on nõgus.
Teostame funktsiooni kumeruse intervalli tõestuse. Võtame meelevaldse punktiϵ ( a , b ) ja joonistage selles punktis funktsiooni graafikule puutujay = f ( x ) (joonis 3.1).
Teoreem on tõestatud, kui näidatakse, et kõik kõvera punktid intervallil( a , b ) lebama selle puutuja all. Teisisõnu, samade väärtuste puhul on vaja seda tõestadax kõverate ordinaadidy = f ( x ) väiksem kui sellele punktis tõmmatud puutuja ordinaat .
Riis. 3.1
Kindluse huvides tähistame kõvera võrrandit: = f ( x ) , ja selle puutuja võrrand punktis :
- f ( ) = ( )( x - )
või
= f ( ) + ( )( x - ) .
Teeme vahe tasa Ja:
- = f(x) – f( ) - ( )(x- ).
Rakenda erinevuselef ( x ) – f ( ) Lagrange'i keskmise väärtuse teoreem:
- = ( )( x - ) - ( )( x - ) = ( x - )[ ( ) - ( )] ,
Kus ϵ ( , x ).
Rakendame nüüd Lagrange'i teoreemi nurksulgudes olevale avaldisele:
- = ( )( - )( x - ) , Kus ϵ ( , ).
Nagu jooniselt näha,x > , Siis x - > 0 Ja - > 0 . Veelgi enam, vastavalt teoreemile ( )<0.
Korrutades need kolm tegurit, saame selle , mida oli vaja tõestada.
Definitsioon 3.2. Punkti, mis eraldab kumerat intervalli nõgusast intervallist, nimetatakse käändepunktiks.
Definitsioonist 3.1 järeldub, et antud punktis lõikub puutuja kõveraga, see tähendab, et kõver asub ühel pool puutujast allpool ja teiselt poolt üleval.
Teoreem 3.2. Kui punktis funktsiooni teine tuletis
y = f ( x ) on võrdne nulliga või seda pole olemas ja punkti läbimisel teise tuletise märk muutub vastupidiseks, siis on see punkt käändepunkt.
Selle teoreemi tõestus tuleneb asjaolust, et märgid ( x ) punkti vastaskülgedel on erinevad. See tähendab, et punkti ühel küljel on funktsioon kumer ja teisel pool nõgus. Sel juhul on definitsiooni 3.2 kohaselt punkt on käändepunkt.
Kumeruse ja nõgususe funktsiooni uuring viiakse läbi sama skeemi järgi nagu ekstreemumi uuring.
4. Funktsiooni asümptoodid
Eelmistes lõikudes käsitleti tuletise abil funktsiooni käitumise uurimise meetodeid. Funktsiooni tervikliku uurimisega seotud küsimuste hulgas on aga ka selliseid, mis ei ole tuletisega seotud.
Seega on näiteks vaja teada, kuidas funktsioon käitub, kui punkt graafikul liigub lõpmatult lähtepunktist eemale. See probleem võib tekkida kahel juhul: kui funktsiooni argument läheb lõpmatusse ja kui teist tüüpi katkestuse ajal lõpp-punktis läheb funktsioon ise lõpmatusse. Mõlemal juhul võib tekkida olukord, kus funktsioon kaldub mingile sirgjoonele, mida nimetatakse selle asümptoodiks.
Definitsioon . Funktsiooni graafiku asümptooty = f ( x ) on sirgjoon, millel on omadus, et graafiku ja selle sirge vaheline kaugus kipub olema null, kui graafiku punkt liigub määramatult alguspunktist.
Asümptoote on kahte tüüpi: vertikaalsed ja kaldus.
Vertikaalsed asümptoodid hõlmavad sirgeid joonix
=
, millel on omadus, et nende läheduses oleva funktsiooni graafik läheb lõpmatusse, st tingimus on täidetud: 
.
Ilmselgelt on siin täidetud määratud definitsiooni nõue: kaugus kõvera graafikust sirgjoonenix = kipub nulli ja kõver ise läheb lõpmatuseni. Nii et teist tüüpi katkestuspunktides on funktsioonidel vertikaalsed asümptoosid, näiteksy= punktis x = 0 . Järelikult langeb funktsiooni vertikaalsete asümptootide määramine kokku teist tüüpi katkestuspunktide leidmisega.
Kaldus asümptoote kirjeldatakse tasapinna sirgjoone üldvõrrandiga, sty = kx + b . See tähendab, et erinevalt vertikaalsetest asümptootidest on siin vaja arvud määratak Ja b .
Nii et lase kõver = f ( x ) on kaldu asümptoot, see tähendab atx kõvera punktid tulevad sirgele nii lähedale, kui soovitakse = kx + b (joonis 4.1). Lase M ( x , y ) - punkt, mis asub kõveral. Selle kaugust asümptoodist iseloomustatakse risti pikkusega| MN | .
Funktsiooni täielikuks uurimiseks ja selle graafiku joonistamiseks on soovitatav kasutada järgmist skeemi:
A) leida määratluspiirkond, murdepunktid; uurige funktsiooni käitumist katkestuspunktide läheduses (leia nendest punktidest vasakul ja paremal oleva funktsiooni piirid). Märkige vertikaalsed asümptoodid.
B) tehke kindlaks, kas funktsioon on paaris või paaritu, ja järeldage sümmeetria olemasolust. Kui , siis funktsioon on paaris ja sümmeetriline OY telje suhtes; kui funktsioon on paaritu, siis sümmeetriline lähtekoha suhtes; ja kui on üldvormi funktsioon.
C) leida funktsiooni lõikepunktid koordinaattelgedega OY ja OX (võimalusel), määrata funktsiooni konstantmärgi intervallid. Funktsiooni konstantse märgiga intervallide piirid määravad punktid, kus funktsioon on võrdne nulliga (nullid) või seda ei eksisteeri, ja selle funktsiooni definitsioonipiirkonna piirid. Intervallidega, kus funktsiooni graafik asub OX-telje kohal ja kus - selle telje all.
D) leida funktsiooni esimene tuletis, määrata selle nullid ja konstantse märgi intervallid. Intervallidega, kus funktsioon suureneb ja kus väheneb. Tehke järeldus ekstreemide olemasolu kohta (punktid, kus funktsioon ja tuletis on olemas ja mille läbimisel see muudab märki. Kui märk muutub plussist miinusesse, siis selles punktis on funktsioonil maksimum ja kui miinusest plussiks , siis miinimum). Leidke funktsiooni väärtused äärmuslikest punktidest.
D) leida teine tuletis, selle nullid ja konstantse märgi intervallid. Vaheaegadel kus< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
E) leida kaldu (horisontaalsed) asümptoodid, mille võrrandid on kujul 
; Kus 
.
Kell 
funktsiooni graafikul on kaks kaldu asümptooti ja iga x väärtus at ja võib vastata ka kahele b väärtusele.
G) leida lisapunkte graafiku täpsustamiseks (vajadusel) ja koostada graafik.
Näide 1
Uurige funktsiooni ja koostage selle graafik. Lahendus: A) määratluspiirkond 
; funktsioon on oma määratlusvaldkonnas pidev; – murdepunkt, sest 
;
. Siis – vertikaalne asümptoot.
B)
need. y(x) on üldkuju funktsioon.
C) Leia graafiku lõikepunktid OY teljega: sea x=0; siis y(0)=–1, s.o. funktsiooni graafik lõikub teljega punktis (0;-1). Funktsiooni nullpunktid (graafiku lõikepunktid OX-teljega): seadke y=0; Siis 
.
Ruutvõrrandi diskriminant on väiksem kui null, mis tähendab, et nulle pole. Siis on konstantse märgi intervallide piiriks punkt x=1, kus funktsiooni ei eksisteeri.
Funktsiooni märk igas intervallis määratakse osaväärtuste meetodil:
Diagrammilt on selgelt näha, et intervallis paikneb funktsiooni graafik OX-telje all ja intervallis – OX-telje kohal.
D) Selgitame välja kriitiliste punktide olemasolu.
.
Kriitilised punktid (kus või ei ole olemas) leiame võrdsustest ja .
Saame: x1=1, x2=0, x3=2. Koostame abitabeli
Tabel 1 
(Esimesel real on kriitilised punktid ja intervallid, milleks need punktid on OX-teljega jagatud; teisel real on tuletise väärtused kriitilistes punktides ja märgid intervallidel. Märgid määratakse osaväärtuse järgi Kolmas rida tähistab funktsiooni y(x) väärtusi kriitilistes punktides ja näitab funktsiooni käitumist - suurenemist või kahanemist arvtelje vastavate intervallidega. Lisaks on miinimumi või maksimumi olemasolu näidatud.
D) Leia funktsiooni kumeruse ja nõgususe intervallid.
; koosta tabel nagu punktis D); Alles teisel real kirjutame märgid üles ja kolmandas märgime kumeruse tüübi. Sest ; siis kriitiline punkt on üks x=1.
tabel 2 
Punkt x=1 on käändepunkt.
E) Leidke kaldus ja horisontaalsed asümptoodid 
Siis y=x on kaldus asümptoot.
G) Saadud andmete põhjal koostame funktsiooni graafiku 
1). Funktsiooni ulatus.
On ilmne, et see funktsioon on määratletud tervel arvureal, välja arvatud punktid “” ja “”, sest nendes punktides on nimetaja võrdne nulliga ja seetõttu funktsiooni ei eksisteeri ning sirgjooned ja on vertikaalsed asümptoodid.
2). Funktsiooni käitumine argumendina kaldub lõpmatuseni, katkestuspunktide olemasolu ja kaldus asümptootide olemasolu kontrollimine.
Kõigepealt kontrollime, kuidas funktsioon käitub, kui see läheneb lõpmatusele vasakule ja paremale. 
Seega, kui funktsioon kipub olema 1, s.o. – horisontaalne asümptoot.
Katkestuspunktide läheduses määratakse funktsiooni käitumine järgmiselt: 
Need. Vasakpoolsetele katkestuspunktidele lähenedes väheneb funktsioon lõpmatult ja paremal suureneb lõpmatult.
Kaldasümptoodi olemasolu määrame, võttes arvesse võrdsust: 
Kaldus asümptoote pole.
3). Lõikepunktid koordinaattelgedega.
Siin on vaja arvestada kahe olukorraga: leida lõikepunkt Ox-telje ja Oy-teljega. Ox-teljega lõikumismärk on funktsiooni nullväärtus, s.o. on vaja lahendada võrrand:
Sellel võrrandil pole juuri, seetõttu pole selle funktsiooni graafikul lõikepunkte Ox-teljega.
Oy teljega lõikumismärgiks on väärtus x = 0. Sel juhul
,
need. – funktsioonigraafiku lõikepunkt Oy teljega.
4).Ekstreemumipunktide ning suurenemise ja kahanemise intervallide määramine.
Selle probleemi uurimiseks määratleme esimese tuletise: 
.
Võrdlustame esimese tuletise väärtuse nulliga. 
.
Murd on võrdne nulliga, kui selle lugeja on võrdne nulliga, st. .
Määrame funktsiooni suurenemise ja kahanemise intervallid.
Seega on funktsioonil üks äärmuspunkt ja seda ei eksisteeri kahes punktis.
Seega funktsioon suureneb intervallidel ja ja väheneb intervallidel ja .
5). Käändepunktid ning kumeruse ja nõgususe alad.
See funktsiooni käitumise tunnus määratakse teise tuletise abil. Esmalt määrame kindlaks käändepunktide olemasolu. Funktsiooni teine tuletis on võrdne 
Millal ja funktsioon on nõgus;
millal ja funktsioon on kumer.
6). Funktsiooni joonistamine.
Kasutades leitud väärtusi punktides, koostame skemaatiliselt funktsiooni graafiku:
Näide3
Uurige funktsiooni 
ja koostage selle graafik. Lahendus
Antud funktsioon on üldkuju mitteperioodiline funktsioon. Selle graafik läbib koordinaatide alguspunkti, kuna .
Antud funktsiooni määratluspiirkond on kõik muutuja väärtused, välja arvatud ja mille puhul murdosa nimetaja muutub nulliks.
Järelikult on punktid funktsiooni katkestuspunktid.
Sest 
, 
Sest 
,
, siis on punkt teist tüüpi katkestuspunkt.
Sirged on funktsiooni graafiku vertikaalsed asümptoodid.
Kaldasümptootide võrrandid, kus 
.
Kell 
,
.
Seega on funktsiooni ja graafikul üks asümptoot.
Leiame funktsiooni ja äärmuspunktide suurenemise ja kahanemise intervallid.
.
Funktsiooni at ja seega at ja funktsiooni esimene tuletis suureneb.
Millal , seega millal , funktsioon väheneb.
ei eksisteeri , jaoks. 
, seega millal 
Funktsiooni graafik on nõgus.
Kell 
, seega millal 
Funktsiooni graafik on kumer. 
Punktide läbimisel muudab märki , . Kui , funktsioon ei ole määratletud, on funktsiooni graafikul üks käändepunkt.
Koostame funktsiooni graafiku. 
Funktsiooni uurimine toimub selge skeemi järgi ja eeldab õpilaselt kindlaid teadmisi matemaatiliste põhimõistete kohta, nagu definitsiooni ja väärtuste valdkond, funktsiooni pidevus, asümptoot, ekstreemumipunktid, paarsus, perioodilisus jne. . Õpilane peab suutma vabalt eristada funktsioone ja lahendada võrrandeid, mis mõnikord võivad olla väga keerulised.
See tähendab, et see ülesanne testib märkimisväärset teadmistekihti, mille iga lünk saab takistuseks õige lahenduse leidmisel. Eriti sageli tekivad raskused funktsioonide graafikute koostamisel. See viga on õpetajale koheselt märgatav ja võib teie hinnet kõvasti kahjustada, isegi kui kõik muu oli õigesti tehtud. Siit leiate võrgufunktsioonide uurimise probleemid: uurige näiteid, laadige alla lahendusi, tellige ülesandeid.
Uurige funktsiooni ja joonistage graafik: näited ja lahendused võrgus
Oleme teile ette valmistanud palju valmis funktsiooniuuringuid, nii tasulisi lahendusraamatus kui ka tasuta rubriigis Funktsiooniuuringute näited. Nende lahendatud ülesannete põhjal saate üksikasjalikult tutvuda sarnaste ülesannete täitmise metoodikaga ja viia läbi oma uurimistöö analoogia põhjal.
Pakume valmis näiteid enamlevinud tüüpi funktsioonide täielikust uurimisest ja graafikust: polünoomid, murd-ratsionaalfunktsioonid, irratsionaalsed, eksponentsiaalsed, logaritmilised, trigonomeetrilised funktsioonid. Iga lahendatud ülesandega on kaasas valmis graafik, millel on esile tõstetud võtmepunktid, asümptoodid, maksimumid ja miinimumid, lahendamine toimub funktsiooni uurimise algoritmi abil.
Igal juhul on lahendatud näited teile suureks abiks, kuna need hõlmavad kõige populaarsemaid funktsioonitüüpe. Pakume teile sadu juba lahendatud ülesandeid, kuid teatavasti on maailmas lõpmatu hulk matemaatilisi funktsioone ja õpetajad on suurepärased eksperdid, kes vaestele õpilastele üha keerulisemaid ülesandeid välja mõtlevad. Seega, kallid õpilased, kvalifitseeritud abi ei tee teile haiget.
Kohandatud funktsioonide uurimisprobleemide lahendamine
Sel juhul pakuvad meie partnerid teile teist teenust - täisfunktsioonide uurimine veebis tellima. Ülesanne täidetakse teie jaoks vastavalt kõikidele selliste probleemide lahendamise algoritmi nõuetele, mis teie õpetajale väga meeldib.
Teeme teie jaoks funktsiooni täieliku uuringu: leiame määratluspiirkonna ja väärtuste valdkonna, uurime pidevust ja katkestust, määrame pariteedi, kontrollime funktsiooni perioodilisust ja leiame lõikepunktid koordinaattelgedega. . Ja muidugi edasi diferentsiaalarvutuse kasutamine: leiame asümptoodid, arvutame ekstreemumid, käändepunktid ja konstrueerime graafi enda.
Funktsiooni graafiku koostamine ainsuse punktide abil hõlmab funktsiooni enda uurimist: argumendi lubatud väärtuste vahemiku määramine, funktsiooni variatsioonivahemiku määramine, funktsiooni paaris või paaritu määramine, murdepunktide määramine. funktsiooni konstantse märgi intervallide leidmine, funktsiooni graafiku asümptootide leidmine. Esimese tuletise abil saate määrata funktsiooni suurenemise (vähenemise) intervallid ja äärmuspunktide olemasolu. Teise tuletise abil saate määrata funktsioonigraafiku kumeruse (nõgususe) intervallid ja ka käändepunktid. Samas usume, et kui ühel hetkel xo kõvera kohal oleva funktsiooni graafiku puutuja, siis funktsiooni graafik selles punktis on kumerusega; kui puutuja on kõverast allpool, siis on funktsiooni graafik selles punktis nõgususega.
y(x) = x³/(x²+3)
1. Funktsiooniuuring.
a) Argumendi lubatud väärtuste vahemik: (-∞,+∞).
b) Funktsiooni muutumisala: (-∞, +∞).
c) Funktsioon on paaritu, sest y(-x) = -y(x), need. funktsiooni graafik on sümmeetriline alguspunkti suhtes.
d) Funktsioon on pidev, katkestuspunkte pole, seega pole vertikaalseid asümptoote.
e) Kaldasümptoodi võrrandi leidmine y(x) = k∙x + b, Kus
k = /x Ja b = 
Selles näites on asümptoodi parameetrid vastavalt võrdsed:
k = , sest lugeja ja nimetaja kõrgeim aste on sama, võrdne kolmega, ja koefitsientide suhe nendel kõrgeimatel astmetel on võrdne ühega. Kui x→ + ∞ piirmäära arvutamiseks kasutati kolmandat tähelepanuväärset piiri.
b = = = 0, kui arvutatakse piirväärtus punktis x→ + ∞ kasutas kolmandat tähelepanuväärset piiri. Seega on selle funktsiooni graafikul kaldu asümptoot y=x.
2.
y´= /(x²+3)² - tuletis arvutatakse jagatisdiferentseerimise valemi abil.
a) Määrake tuletise nullid ja katkestuspunkt, võrdsustades tuletise lugeja ja nimetaja vastavalt nulliga: y´=0, Kui x=0. 1. tuletis ei oma katkestuspunkte.
b) Määrame tuletise konstantse märgi intervallid, s.o. funktsiooni monotoonsuse intervallid: juures -∞
3. Funktsiooni uurimine 2. tuletise abil.
Kasutades jagatiste diferentseerimise ja algebraliste teisenduste tegemise valemit, saame: y´´ = /(x²+3)³
a) Määrake 2. tuletise nullpunktid ja konstantse märgi intervallid: y´´ = 0, Kui x=0 Ja x= + 3 . 2. tuletis ei oma katkestuspunkte.
b) Määrame 2. tuletise püsivuse intervallid, s.o. funktsiooni graafiku kumeruse või nõgususe intervallid. Kell -∞
Näide: uurige funktsiooni ja koostage see graafik y(x)=((x-1)²∙(x+1))/x
1.Funktsiooniuuring.
a) Lubatud väärtuste vahemik: (-∞,0)U(0,+∞).
b) Funktsiooni muutumisala: (-∞,+∞).
d) Sellel funktsioonil on teist tüüpi katkestuspunkt at x=0.
e) Asümptootide leidmine. Sest funktsioonil on 2. tüüpi katkestuspunkt at x=0, siis järelikult on funktsioonil vertikaalne asümptoot x=0. Sellel funktsioonil ei ole kaldu ega horisontaalseid asümptoote.
2.Funktsiooni uurimine 1. tuletise abil.
Teisendame funktsiooni, sooritades kõik algebralised operatsioonid. Selle tulemusena muutub funktsiooni vorm oluliselt lihtsamaks: y(x)=x²-x-1+(1/x). Väga lihtne on võtta terminite summast tuletis ja saame: y´ = 2x – 1 – (1/x²).
a) Määrake 1. tuletise nullpunktid ja katkestuspunktid. Toome 1. tuletise avaldised ühisele nimetajale ja võrdsustades lugeja ja seejärel nimetaja nulliga, saame: y´=0 juures x=1, y´ - ei eksisteeri millal x=0.
b) Määrame funktsiooni monotoonsuse intervallid, s.o. tuletise konstantse märgi intervallid. Kell -∞<x<0
Ja 0
3.
y´´ = 2 + 2/x³. 2. tuletise abil määrame funktsioonigraafiku kumeruse või nõgususe intervallid, samuti käänupunktid, kui neid on. Esitagem teise tuletise avaldis ühisnimetajale ja võrdsustades seejärel lugeja ja nimetaja omakorda nulliga, saame: y´´=0 juures x=-1, y´´- ei eksisteeri millal x=0.
Kell -∞
riis. 4 fig. 5
Näide: uurige funktsiooni ja koostage see graafik y(x) = ln (x²+4x+5)
1.Funktsiooniuuring.
a) Lubatud argumentide väärtuste vahemik: logaritmiline funktsioon eksisteerib ainult nullist rangelt suuremate argumentide puhul, seega x²+4x+5>0 – see tingimus on täidetud kõigi argumendi väärtuste puhul, st. O.D.Z. – (-∞, +∞).
b) Funktsiooni muutumisala: (0, +∞). Teisendame avaldise logaritmi märgi all ja võrdsustame funktsiooni nulliga: ln((x+2)²+1) =0. Need. funktsioon läheb nulli, kui x=-2. Funktsiooni graafik on sirgjoone suhtes sümmeetriline x=-2.
c) Funktsioon on pidev ja sellel pole katkestuspunkte.
d) Funktsiooni graafikul ei ole asümptoote.
2.Funktsiooni uurimine 1. tuletise abil.
Kasutades keeruka funktsiooni eristamise reeglit, saame: y´= (2x+4)/(x²+4x+5)
a) Määrame tuletise nullpunktid ja katkestuspunktid: y´=0, juures x=-2. Esimesel tuletisel ei ole katkestuspunkte.
b) Määrame funktsiooni monotoonsuse intervallid, s.o. esimese tuletise konstantmärgi intervallid: at -∞<x<-2
tuletis y´<0,
seetõttu funktsioon väheneb; millal -2
3.Funktsiooni uurimine 2. tuletise järgi.
Esitame esimest tuletist järgmisel kujul: y´=2∙(x+2)/(1+(x+2)²). y´´=2∙(1-(x+2)²/(1+(x+2)²)².
a) Määrame teise tuletise konstantmärgi intervallid. Kuna 2. tuletise nimetaja on alati mittenegatiivne, määrab teise tuletise märgi ainult lugeja. y´´=0 juures x=-3 Ja x=-1.
Kell -∞
Näide: uurige funktsiooni ja koostage graafik y(x) = x²/(x+2)²
1.Funktsiooniuuring.
a) Argumendi lubatud väärtuste vahemik (-∞, -2)U(-2, +∞).
b) Funktsiooni muutumise piirkond².
a) Määrame teise tuletise konstantmärgi nullid ja intervallid. Sest Kuna murdosa nimetaja on alati positiivne, määrab teise tuletise märgi lugeja täielikult. Kell -∞
