Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της συνάρτησης και τα σημεία σημειώνονται 7 3. Παράγωγος της συνάρτησης

Εμφανίστηκαν νέες εργασίες. Ας δούμε τη λύση τους.

Πρωτότυπο της εργασίας B8 (αρ. 317543)

Στο σχήμα φαίνεται μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y=f(x) και σημειώνονται τα σημεία -2, -1, 1, 2. Σε ποιο από αυτά τα σημεία η τιμή της παραγώγου είναι μεγαλύτερη; Σημειώστε αυτό το σημείο στην απάντησή σας.

Όπως ξέρουμε λέγεται

όριο του λόγου της αύξησης μιας συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος, όταν η αύξηση του ορίσματος τείνει στο μηδέν:

Η παράγωγος σε ένα σημείο δείχνει ρυθμός αλλαγής συνάρτησηςσε αυτό το σημείο. Όσο πιο γρήγορα αλλάζει η συνάρτηση, δηλαδή όσο μεγαλύτερη είναι η αύξηση της συνάρτησης, τόσο μεγαλύτερη είναι η γωνία κλίσης της εφαπτομένης. Εφόσον το πρόβλημα απαιτεί τον προσδιορισμό του σημείου στο οποίο η τιμή της παραγώγου είναι μεγαλύτερη, αποκλείουμε από την εξέταση τα σημεία με τετμημένη -1 και 1 - σε αυτά τα σημεία η συνάρτηση μειώνεται και η παράγωγος σε αυτά είναι αρνητική.

Η συνάρτηση αυξάνεται στα σημεία -2 και 2. Ωστόσο, αυξάνεται σε αυτά με διαφορετικούς τρόπους - στο σημείο -2 η γραφική παράσταση της συνάρτησης αυξάνεται πιο απότομα από το σημείο 2, και επομένως η αύξηση της συνάρτησης σε αυτό το σημείο, και επομένως η παράγωγο, είναι μεγαλύτερο.

Απάντηση: -2

Και μια παρόμοια εργασία:

Πρωτότυπο της εργασίας B8 (αρ. 317544)

Στο σχήμα φαίνεται μια γραφική παράσταση της συνάρτησης και σημειώνονται τα σημεία -2, -1, 1, 4. Σε ποιο από αυτά τα σημεία η παράγωγος είναι η μικρότερη; Σημειώστε αυτό το σημείο στην απάντησή σας.

Η λύση σε αυτό το πρόβλημα είναι παρόμοια με τη λύση του προηγούμενου "ακριβώς το αντίθετο"

Μας ενδιαφέρει το σημείο στο οποίο η παράγωγος παίρνει τη μικρότερη τιμή της, δηλαδή, αναζητούμε το σημείο στο οποίο η συνάρτηση μειώνεται πιο γρήγορα - στο γράφημα αυτό είναι το σημείο στο οποίο εμφανίζεται η πιο απότομη "κάθοδος". Αυτό είναι το τετμημένο σημείο 4.

Αγαπητοί φίλοι και φίλες! Η ομάδα εργασιών που σχετίζονται με την παράγωγο περιλαμβάνει εργασίες - η συνθήκη δίνει ένα γράφημα μιας συνάρτησης, πολλά σημεία σε αυτό το γράφημα και το ερώτημα είναι:

Σε ποιο σημείο είναι η παράγωγος μεγαλύτερη (μικρότερη);

Ας επαναλάβουμε εν συντομία:

Η παράγωγος σε ένα σημείο είναι ίση με την κλίση της εφαπτομένης που διέρχεταιαυτό το σημείο στο γράφημα.

UΟ συνολικός συντελεστής της εφαπτομένης, με τη σειρά του, είναι ίσος με την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης αυτής της εφαπτομένης.

*Αυτό αναφέρεται στη γωνία μεταξύ της εφαπτομένης και του άξονα x.

1. Σε διαστήματα αυξανόμενης συνάρτησης, η παράγωγος έχει θετική τιμή.

2. Στα διαστήματα της μείωσής της, η παράγωγος έχει αρνητική τιμή.

Σκεφτείτε το ακόλουθο σκίτσο:

Στα σημεία 1,2,4, η παράγωγος της συνάρτησης έχει αρνητική τιμή, αφού τα σημεία αυτά ανήκουν σε φθίνοντα διαστήματα.

Στα σημεία 3,5,6 η παράγωγος της συνάρτησης έχει θετική τιμή, αφού τα σημεία αυτά ανήκουν σε αυξανόμενα διαστήματα.

Όπως μπορείτε να δείτε, όλα είναι ξεκάθαρα με την έννοια της παραγώγου, δηλαδή δεν είναι καθόλου δύσκολο να προσδιορίσετε τι πρόσημο έχει (θετικό ή αρνητικό) σε ένα συγκεκριμένο σημείο του γραφήματος.

Επιπλέον, αν κατασκευάσουμε νοερά εφαπτομένες σε αυτά τα σημεία, θα δούμε ότι οι ευθείες γραμμές που διέρχονται από τα σημεία 3, 5 και 6 σχηματίζουν γωνίες με τον άξονα oX να κυμαίνεται από 0 έως 90 o και ευθείες που διέρχονται από τα σημεία 1, 2 και 4 σχηματίζουν με τον άξονα oX οι γωνίες κυμαίνονται από 90 o έως 180 o.

*Η σχέση είναι σαφής: οι εφαπτομένες που διέρχονται από σημεία που ανήκουν σε διαστήματα αυξανόμενων συναρτήσεων σχηματίζουν οξείες γωνίες με τον άξονα oX, οι εφαπτομένες που διέρχονται από σημεία που ανήκουν σε διαστήματα φθίνουσας συνάρτησης σχηματίζουν αμβλείες γωνίες με τον άξονα oX.

Τώρα το σημαντικό ερώτημα!

Πώς αλλάζει η τιμή της παραγώγου; Άλλωστε, η εφαπτομένη σε διαφορετικά σημεία της γραφικής παράστασης μιας συνεχούς συνάρτησης σχηματίζει διαφορετικές γωνίες, ανάλογα με το από ποιο σημείο της γραφικής παράστασης διέρχεται.

*Ή, με απλά λόγια, η εφαπτομένη βρίσκεται πιο «οριζόντια» ή «κάθετα». Κοίτα:

Οι ευθείες γραμμές σχηματίζουν γωνίες με τον άξονα oX να κυμαίνεται από 0 έως 90 o

Οι ευθείες γραμμές σχηματίζουν γωνίες με τον άξονα oX να κυμαίνεται από 90° έως 180°

Επομένως, εάν έχετε οποιεσδήποτε ερωτήσεις:

— σε ποιο από τα δεδομένα σημεία του γραφήματος η παράγωγος έχει τη μικρότερη τιμή;

- σε ποιο από τα δεδομένα σημεία του γραφήματος η παράγωγος έχει τη μεγαλύτερη τιμή;

τότε για να απαντήσουμε είναι απαραίτητο να κατανοήσουμε πώς αλλάζει η τιμή της εφαπτομένης της εφαπτομένης γωνίας στο εύρος από 0 έως 180 o.

*Όπως ήδη αναφέρθηκε, η τιμή της παραγώγου της συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της εφαπτομένης στον άξονα oX.

Η τιμή της εφαπτομένης αλλάζει ως εξής:

Όταν η γωνία κλίσης της ευθείας μεταβάλλεται από 0° σε 90°, η τιμή της εφαπτομένης, άρα και της παραγώγου, αλλάζει ανάλογα από 0 σε +∞.

Όταν η γωνία κλίσης της ευθείας μεταβάλλεται από 90° σε 180°, η τιμή της εφαπτομένης, άρα και της παραγώγου, μεταβάλλεται ανάλογα –∞ σε 0.

Αυτό φαίνεται καθαρά από το γράφημα της εφαπτομένης συνάρτησης:

Με απλά λόγια:

Σε εφαπτομένη γωνία κλίσης από 0° έως 90°

Όσο πιο κοντά είναι στο 0 o, τόσο μεγαλύτερη η τιμή της παραγώγου θα είναι κοντά στο μηδέν (στη θετική πλευρά).

Όσο πιο κοντά είναι η γωνία στις 90°, τόσο περισσότερο θα αυξάνεται η τιμή της παραγώγου προς το +∞.

Με εφαπτομένη γωνία κλίσης από 90° έως 180°

Όσο πιο κοντά είναι στους 90 o, τόσο περισσότερο η τιμή της παραγώγου θα μειωθεί προς –∞.

Όσο πιο κοντά είναι η γωνία στις 180°, τόσο μεγαλύτερη η τιμή της παραγώγου θα είναι κοντά στο μηδέν (στην αρνητική πλευρά).

317543. Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = φά(Χ) και σημειώνονται τα σημεία–2, –1, 1, 2. Σε ποιο από αυτά τα σημεία είναι η μεγαλύτερη παράγωγος; Σημειώστε αυτό το σημείο στην απάντησή σας.

Έχουμε τέσσερα σημεία: δύο από αυτά ανήκουν στα διαστήματα στα οποία μειώνεται η συνάρτηση (αυτά είναι τα σημεία –1 και 1) και δύο στα διαστήματα στα οποία αυξάνεται η συνάρτηση (αυτά είναι τα σημεία –2 και 2).

Μπορούμε αμέσως να συμπεράνουμε ότι στα σημεία –1 και 1 η παράγωγος έχει αρνητική τιμή και στα σημεία –2 και 2 έχει θετική τιμή. Επομένως, σε αυτήν την περίπτωση, είναι απαραίτητο να αναλυθούν τα σημεία –2 και 2 και να προσδιοριστεί ποιο από αυτά θα έχει τη μεγαλύτερη τιμή. Ας κατασκευάσουμε εφαπτομένες που διέρχονται από τα υποδεικνυόμενα σημεία:

Η τιμή της εφαπτομένης της γωνίας μεταξύ της ευθείας γραμμής α και του άξονα της τετμημένης θα είναι μεγαλύτερη από την τιμή της εφαπτομένης της γωνίας μεταξύ της ευθείας b και αυτού του άξονα. Αυτό σημαίνει ότι η τιμή της παραγώγου στο σημείο –2 θα είναι η μεγαλύτερη.

Ας απαντήσουμε στην ακόλουθη ερώτηση: σε ποιο σημείο –2, –1, 1 ή 2 είναι η πιο αρνητική τιμή της παραγώγου; Σημειώστε αυτό το σημείο στην απάντησή σας.

Η παράγωγος θα έχει αρνητική τιμή σε σημεία που ανήκουν στα φθίνοντα διαστήματα, οπότε ας εξετάσουμε τα σημεία –2 και 1. Ας κατασκευάσουμε εφαπτομένες που διέρχονται από αυτά:

Βλέπουμε ότι η αμβλεία γωνία μεταξύ της ευθείας b και του άξονα oX είναι «πιο κοντά» στο 180Ο , επομένως η εφαπτομένη του θα είναι μεγαλύτερη από την εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζεται από την ευθεία α και τον άξονα oX.

Έτσι, στο σημείο x = 1, η τιμή της παραγώγου θα είναι η μεγαλύτερη αρνητική.

317544. Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = φά(Χ) και σημειώνονται τα σημεία–2, –1, 1, 4. Σε ποιο από αυτά τα σημεία η παράγωγος είναι η μικρότερη; Σημειώστε αυτό το σημείο στην απάντησή σας.

Έχουμε τέσσερα σημεία: δύο από αυτά ανήκουν στα διαστήματα στα οποία μειώνεται η συνάρτηση (αυτά είναι τα σημεία –1 και 4) και δύο στα διαστήματα στα οποία αυξάνεται η συνάρτηση (αυτά είναι τα σημεία –2 και 1).

Μπορούμε αμέσως να συμπεράνουμε ότι στα σημεία –1 και 4 η παράγωγος έχει αρνητική τιμή και στα σημεία –2 και 1 έχει θετική τιμή. Επομένως, σε αυτήν την περίπτωση, είναι απαραίτητο να αναλυθούν τα σημεία –1 και 4 και να προσδιοριστεί ποιο από αυτά θα έχει τη μικρότερη τιμή. Ας κατασκευάσουμε εφαπτομένες που διέρχονται από τα υποδεικνυόμενα σημεία:

Η τιμή της εφαπτομένης της γωνίας μεταξύ της ευθείας γραμμής α και του άξονα της τετμημένης θα είναι μεγαλύτερη από την τιμή της εφαπτομένης της γωνίας μεταξύ της ευθείας b και αυτού του άξονα. Αυτό σημαίνει ότι η τιμή της παραγώγου στο σημείο x = 4 θα είναι η μικρότερη.

Απάντηση: 4

Ελπίζω να μην σας «υπερφόρτωσα» με τον όγκο της γραφής. Στην πραγματικότητα, όλα είναι πολύ απλά, απλά πρέπει να κατανοήσετε τις ιδιότητες της παραγώγου, τη γεωμετρική σημασία της και πώς η τιμή της εφαπτομένης της γωνίας αλλάζει από 0 σε 180 o.

1. Αρχικά, προσδιορίστε τα πρόσημα της παραγώγου σε αυτά τα σημεία (+ ή -) και επιλέξτε τα απαραίτητα σημεία (ανάλογα με την ερώτηση που τίθεται).

2. Κατασκευάστε εφαπτομένες σε αυτά τα σημεία.

3. Χρησιμοποιώντας το ταγγεσοειδές γράφημα, σημειώστε σχηματικά τις γωνίες και την εμφάνισηΑλέξανδρος.

P.S: Θα σας ήμουν ευγνώμων αν μου πείτε για τον ιστότοπο στα κοινωνικά δίκτυα.

Το πρόβλημα Β9 δίνει ένα γράφημα μιας συνάρτησης ή μιας παραγώγου από την οποία πρέπει να προσδιορίσετε μία από τις ακόλουθες ποσότητες:

1. Η τιμή της παραγώγου σε κάποιο σημείο x 0,
2. Μέγιστα ή ελάχιστα σημεία (ακραία σημεία),
3. Διαστήματα αύξουσας και φθίνουσας συνάρτησης (διαστήματα μονοτονίας).

Οι συναρτήσεις και οι παράγωγοι που παρουσιάζονται σε αυτό το πρόβλημα είναι πάντα συνεχείς, κάνοντας τη λύση πολύ πιο εύκολη. Παρά το γεγονός ότι η εργασία ανήκει στο τμήμα της μαθηματικής ανάλυσης, ακόμη και οι πιο αδύναμοι μαθητές μπορούν να το κάνουν, αφού εδώ δεν απαιτούνται βαθιές θεωρητικές γνώσεις.

Για να βρείτε την τιμή της παραγώγου, των ακραίων σημείων και των διαστημάτων μονοτονίας, υπάρχουν απλοί και καθολικοί αλγόριθμοι - όλοι θα συζητηθούν παρακάτω.

Διαβάστε προσεκτικά τις συνθήκες του προβλήματος Β9 για να αποφύγετε να κάνετε ανόητα λάθη: μερικές φορές συναντάτε αρκετά μακροσκελή κείμενα, αλλά υπάρχουν λίγες σημαντικές προϋποθέσεις που επηρεάζουν την πορεία της λύσης.

Υπολογισμός της παραγώγου τιμής. Μέθοδος δύο σημείων

Αν στο πρόβλημα δοθεί μια γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f(x), που εφάπτεται σε αυτό το γράφημα σε κάποιο σημείο x 0, και απαιτείται να βρεθεί η τιμή της παραγώγου σε αυτό το σημείο, εφαρμόζεται ο ακόλουθος αλγόριθμος:

1. Βρείτε δύο «επαρκή» σημεία στο γράφημα της εφαπτομένης: οι συντεταγμένες τους πρέπει να είναι ακέραιες. Ας συμβολίσουμε αυτά τα σημεία ως A (x 1 , y 1) και B (x 2 , y 2). Σημειώστε σωστά τις συντεταγμένες - αυτό είναι ένα βασικό σημείο στη λύση και οποιοδήποτε λάθος εδώ θα οδηγήσει σε λανθασμένη απάντηση.
2. Γνωρίζοντας τις συντεταγμένες, είναι εύκολο να υπολογίσουμε την αύξηση του ορίσματος Δx = x 2 − x 1 και την αύξηση της συνάρτησης Δy = y 2 − y 1 .
3. Τέλος, βρίσκουμε την τιμή της παραγώγου D = Δy/Δx. Με άλλα λόγια, πρέπει να διαιρέσετε την αύξηση της συνάρτησης με την αύξηση του ορίσματος - και αυτή θα είναι η απάντηση.

Ας σημειώσουμε για άλλη μια φορά: τα σημεία Α και Β πρέπει να αναζητηθούν ακριβώς στην εφαπτομένη και όχι στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x), όπως συμβαίνει συχνά. Η εφαπτομένη θα περιέχει απαραίτητα τουλάχιστον δύο τέτοια σημεία - διαφορετικά το πρόβλημα δεν θα διατυπωθεί σωστά.

Θεωρήστε τα σημεία A (−3; 2) και B (−1; 6) και βρείτε τις προσαυξήσεις:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Ας βρούμε την τιμή της παραγώγου: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Εργο. Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) και μια εφαπτομένη σε αυτήν στο σημείο με την τετμημένη x 0. Να βρείτε την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης f(x) στο σημείο x 0 .

Θεωρήστε τα σημεία A (0; 3) και B (3; 0), βρείτε τις προσαυξήσεις:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Τώρα βρίσκουμε την τιμή της παραγώγου: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Εργο. Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) και μια εφαπτομένη σε αυτήν στο σημείο με την τετμημένη x 0. Να βρείτε την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης f(x) στο σημείο x 0 .

Θεωρήστε τα σημεία A (0; 2) και B (5; 2) και βρείτε τις προσαυξήσεις:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Μένει να βρούμε την τιμή της παραγώγου: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Από το τελευταίο παράδειγμα, μπορούμε να διατυπώσουμε έναν κανόνα: εάν η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα OX, η παράγωγος της συνάρτησης στο σημείο της εφαπτομένης είναι μηδέν. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν χρειάζεται καν να μετρήσετε τίποτα - απλώς κοιτάξτε το γράφημα.

Υπολογισμός μέγιστων και ελάχιστων πόντων

Μερικές φορές, αντί για ένα γράφημα μιας συνάρτησης, το πρόβλημα Β9 δίνει μια γραφική παράσταση της παραγώγου και απαιτεί την εύρεση του μέγιστου ή του ελάχιστου σημείου της συνάρτησης. Σε αυτήν την περίπτωση, η μέθοδος των δύο σημείων είναι άχρηστη, αλλά υπάρχει ένας άλλος, ακόμη πιο απλός αλγόριθμος. Αρχικά, ας ορίσουμε την ορολογία:

1. Το σημείο x 0 ονομάζεται μέγιστο σημείο της συνάρτησης f(x) αν σε κάποια γειτονιά αυτού του σημείου ισχύει η ακόλουθη ανισότητα: f(x 0) ≥ f(x).
2. Το σημείο x 0 ονομάζεται ελάχιστο σημείο της συνάρτησης f(x) αν σε κάποια γειτονιά αυτού του σημείου ισχύει η ακόλουθη ανισότητα: f(x 0) ≤ f(x).

Για να βρείτε τα μέγιστα και ελάχιστα σημεία από το παράγωγο γράφημα, απλώς ακολουθήστε αυτά τα βήματα:

1. Σχεδιάστε ξανά το γράφημα της παραγώγου, αφαιρώντας όλες τις περιττές πληροφορίες. Όπως δείχνει η πρακτική, τα περιττά δεδομένα παρεμβαίνουν μόνο στην απόφαση. Επομένως, σημειώνουμε τα μηδενικά της παραγώγου στον άξονα συντεταγμένων - και αυτό είναι.
2. Βρείτε τα σημάδια της παραγώγου στα διαστήματα μεταξύ των μηδενικών. Αν για κάποιο σημείο x 0 είναι γνωστό ότι f'(x 0) ≠ 0, τότε μόνο δύο επιλογές είναι δυνατές: f'(x 0) ≥ 0 ή f'(x 0) ≤ 0. Το πρόσημο της παραγώγου είναι εύκολο να προσδιοριστεί από το αρχικό σχέδιο: αν το γράφημα της παραγώγου βρίσκεται πάνω από τον άξονα OX, τότε f'(x) ≥ 0. Και αντίστροφα, εάν το γράφημα της παραγώγου βρίσκεται κάτω από τον άξονα OX, τότε f'(x) ≤ 0.
3. Ελέγχουμε ξανά τα μηδενικά και τα πρόσημα της παραγώγου. Όπου το πρόσημο αλλάζει από μείον σε συν είναι το ελάχιστο σημείο. Αντίστροφα, αν το πρόσημο της παραγώγου αλλάξει από συν σε πλην, αυτό είναι το μέγιστο σημείο. Η καταμέτρηση γίνεται πάντα από αριστερά προς τα δεξιά.

Αυτό το σχήμα λειτουργεί μόνο για συνεχείς συναρτήσεις - δεν υπάρχουν άλλες στο Πρόβλημα B9.

Εργο. Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της παραγώγου της συνάρτησης f(x) που ορίζεται στο διάστημα [−5; 5]. Βρείτε το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης f(x) σε αυτό το τμήμα.

Ας απαλλαγούμε από περιττές πληροφορίες και ας αφήσουμε μόνο τα όρια [−5; 5] και μηδενικά της παραγώγου x = −3 και x = 2,5. Σημειώνουμε επίσης τα σημάδια:

Προφανώς, στο σημείο x = −3 το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει από μείον σε συν. Αυτό είναι το ελάχιστο σημείο.

Εργο. Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της παραγώγου της συνάρτησης f(x) που ορίζεται στο διάστημα [−3; 7]. Βρείτε το μέγιστο σημείο της συνάρτησης f(x) σε αυτό το τμήμα.

Ας ξανασχεδιάσουμε το γράφημα, αφήνοντας μόνο τα όρια [−3; 7] και μηδενικά της παραγώγου x = −1,7 και x = 5. Ας σημειώσουμε τα πρόσημα της παραγώγου στο γράφημα που προκύπτει. Εχουμε:

Προφανώς, στο σημείο x = 5 το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει από συν σε πλην - αυτό είναι το μέγιστο σημείο.

Εργο. Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της παραγώγου της συνάρτησης f(x) που ορίζεται στο διάστημα [−6; 4]. Να βρείτε τον αριθμό των μέγιστων σημείων της συνάρτησης f(x) που ανήκουν στο τμήμα [−4; 3].

Από τις συνθήκες του προβλήματος προκύπτει ότι αρκεί να εξετάσουμε μόνο το τμήμα του γραφήματος που περιορίζεται από το τμήμα [−4; 3]. Επομένως, χτίζουμε ένα νέο γράφημα στο οποίο σημειώνουμε μόνο τα όρια [−4; 3] και μηδενικά της παραγώγου μέσα σε αυτό. Δηλαδή, σημεία x = −3,5 και x = 2. Παίρνουμε:

Σε αυτό το γράφημα υπάρχει μόνο ένα μέγιστο σημείο x = 2. Σε αυτό το σημείο το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει από συν σε πλην.

Μια μικρή σημείωση για σημεία με μη ακέραιες συντεταγμένες. Για παράδειγμα, στο τελευταίο πρόβλημα εξετάστηκε το σημείο x = −3,5, αλλά με την ίδια επιτυχία μπορούμε να πάρουμε x = −3,4. Εάν το πρόβλημα έχει συνταχθεί σωστά, τέτοιες αλλαγές δεν θα πρέπει να επηρεάζουν την απάντηση, καθώς τα σημεία "χωρίς σταθερό τόπο διαμονής" δεν συμμετέχουν άμεσα στην επίλυση του προβλήματος. Φυσικά, αυτό το τέχνασμα δεν θα λειτουργήσει με ακέραιους πόντους.

Εύρεση διαστημάτων αύξουσας και φθίνουσας συνάρτησης

Σε ένα τέτοιο πρόβλημα, όπως τα μέγιστα και ελάχιστα σημεία, προτείνεται η χρήση του παραγώγου γραφήματος για την εύρεση περιοχών στις οποίες η ίδια η συνάρτηση αυξάνεται ή μειώνεται. Αρχικά, ας ορίσουμε τι είναι η αύξηση και η μείωση:

1. Μια συνάρτηση f(x) λέγεται ότι αυξάνεται σε ένα τμήμα εάν για οποιαδήποτε δύο σημεία x 1 και x 2 από αυτό το τμήμα ισχύει η ακόλουθη πρόταση: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Με άλλα λόγια, όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του ορίσματος, τόσο μεγαλύτερη είναι η τιμή της συνάρτησης.
2. Μια συνάρτηση f(x) ονομάζεται φθίνουσα σε ένα τμήμα εάν για οποιαδήποτε δύο σημεία x 1 και x 2 από αυτό το τμήμα ισχύει η ακόλουθη πρόταση: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Εκείνοι. Μια μεγαλύτερη τιμή ορίσματος αντιστοιχεί σε μια μικρότερη τιμή συνάρτησης.

Ας διαμορφώσουμε επαρκείς συνθήκες για αύξηση και μείωση:

1. Για να αυξηθεί μια συνεχής συνάρτηση f(x) στο τμήμα , αρκεί η παράγωγός της μέσα στο τμήμα να είναι θετική, δηλ. f'(x) ≥ 0.
2. Για να μειωθεί μια συνεχής συνάρτηση f(x) στο τμήμα, αρκεί η παράγωγός της μέσα στο τμήμα να είναι αρνητική, δηλ. f'(x) ≤ 0.

Ας δεχτούμε αυτές τις δηλώσεις χωρίς στοιχεία. Έτσι, λαμβάνουμε ένα σχήμα για την εύρεση διαστημάτων αύξησης και μείωσης, το οποίο είναι από πολλές απόψεις παρόμοιο με τον αλγόριθμο για τον υπολογισμό των ακραίων σημείων:

1. Αφαιρέστε όλες τις περιττές πληροφορίες. Στο αρχικό γράφημα της παραγώγου, μας ενδιαφέρουν πρωτίστως τα μηδενικά της συνάρτησης, οπότε θα αφήσουμε μόνο αυτά.
2. Σημειώστε τα πρόσημα της παραγώγου στα διαστήματα μεταξύ των μηδενικών. Όπου f'(x) ≥ 0, η συνάρτηση αυξάνεται και όπου f'(x) ≤ 0, μειώνεται. Εάν το πρόβλημα θέτει περιορισμούς στη μεταβλητή x, τους επισημαίνουμε επιπλέον σε ένα νέο γράφημα.
3. Τώρα που γνωρίζουμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης και τους περιορισμούς, μένει να υπολογίσουμε την ποσότητα που απαιτείται στο πρόβλημα.

Εργο. Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της παραγώγου της συνάρτησης f(x) που ορίζεται στο διάστημα [−3; 7.5]. Να βρείτε τα διαστήματα μείωσης της συνάρτησης f(x). Στην απάντησή σας, αναφέρετε το άθροισμα των ακεραίων που περιλαμβάνονται σε αυτά τα διαστήματα.

Ως συνήθως, ας σχεδιάσουμε ξανά το γράφημα και ας σημειώσουμε τα όρια [−3; 7.5], καθώς και μηδενικά της παραγώγου x = −1.5 και x = 5.3. Στη συνέχεια σημειώνουμε τα σημάδια της παραγώγου. Εχουμε:

Εφόσον η παράγωγος είναι αρνητική στο διάστημα (− 1,5), αυτό είναι το διάστημα της φθίνουσας συνάρτησης. Απομένει να αθροίσουμε όλους τους ακέραιους αριθμούς που βρίσκονται μέσα σε αυτό το διάστημα:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Εργο. Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της παραγώγου της συνάρτησης f(x), που ορίζεται στο διάστημα [−10; 4]. Να βρείτε τα διαστήματα αύξησης της συνάρτησης f(x). Στην απάντησή σας, αναφέρετε το μήκος του μεγαλύτερου από αυτά.

Ας απαλλαγούμε από περιττές πληροφορίες. Ας αφήσουμε μόνο τα όρια [−10; 4] και μηδενικά της παραγώγου, από τα οποία ήταν τέσσερα αυτή τη φορά: x = −8, x = −6, x = −3 και x = 2. Ας σημειώσουμε τα πρόσημα της παραγώγου και πάρουμε την παρακάτω εικόνα:

Μας ενδιαφέρουν τα διαστήματα αύξησης της συνάρτησης, δηλ. τέτοια όπου f’(x) ≥ 0. Υπάρχουν δύο τέτοια διαστήματα στη γραφική παράσταση: (−8; −6) και (−3; 2). Ας υπολογίσουμε το μήκος τους:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Εφόσον πρέπει να βρούμε το μήκος του μεγαλύτερου από τα διαστήματα, γράφουμε ως απάντηση την τιμή l 2 = 5.

Η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι ένα από τα δύσκολα θέματα στο σχολικό πρόγραμμα. Δεν θα απαντήσει κάθε πτυχιούχος στην ερώτηση τι είναι παράγωγο.

Αυτό το άρθρο εξηγεί με απλό και σαφή τρόπο τι είναι ένα παράγωγο και γιατί χρειάζεται.. Δεν θα προσπαθήσουμε τώρα για μαθηματική αυστηρότητα στην παρουσίαση. Το πιο σημαντικό είναι να κατανοήσουμε το νόημα.

Ας θυμηθούμε τον ορισμό:

Η παράγωγος είναι ο ρυθμός μεταβολής μιας συνάρτησης.

Το σχήμα δείχνει γραφήματα τριών συναρτήσεων. Ποιο πιστεύετε ότι μεγαλώνει πιο γρήγορα;

Η απάντηση είναι προφανής - η τρίτη. Έχει τον υψηλότερο ρυθμό μεταβολής, δηλαδή τη μεγαλύτερη παράγωγο.

Εδώ είναι ένα άλλο παράδειγμα.

Ο Kostya, ο Grisha και ο Matvey έπιασαν δουλειά ταυτόχρονα. Ας δούμε πώς άλλαξαν τα εισοδήματά τους κατά τη διάρκεια του έτους:

Το γράφημα δείχνει τα πάντα ταυτόχρονα, έτσι δεν είναι; Το εισόδημα του Kostya υπερδιπλασιάστηκε σε έξι μήνες. Και το εισόδημα του Grisha αυξήθηκε επίσης, αλλά λίγο. Και το εισόδημα του Matvey μειώθηκε στο μηδέν. Οι συνθήκες εκκίνησης είναι ίδιες, αλλά ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης, δηλαδή παράγωγο, - διαφορετικό. Όσο για τον Matvey, το παράγωγο εισοδήματός του είναι γενικά αρνητικό.

Διαισθητικά, υπολογίζουμε εύκολα τον ρυθμό μεταβολής μιας συνάρτησης. Πώς όμως το κάνουμε αυτό;

Αυτό που πραγματικά εξετάζουμε είναι πόσο απότομα ανεβαίνει (ή κάτω) το γράφημα μιας συνάρτησης. Με άλλα λόγια, πόσο γρήγορα αλλάζει το y καθώς το x αλλάζει; Προφανώς, η ίδια συνάρτηση σε διαφορετικά σημεία μπορεί να έχει διαφορετικές τιμές παραγώγου - δηλαδή, μπορεί να αλλάξει πιο γρήγορα ή πιο αργά.

Η παράγωγος μιας συνάρτησης συμβολίζεται .

Θα σας δείξουμε πώς να το βρείτε χρησιμοποιώντας ένα γράφημα.

Έχει σχεδιαστεί ένα γράφημα κάποιας συνάρτησης. Ας πάρουμε ένα σημείο με μια τετμημένη πάνω του. Ας σχεδιάσουμε μια εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε αυτό το σημείο. Θέλουμε να υπολογίσουμε πόσο απότομα ανεβαίνει το γράφημα μιας συνάρτησης. Μια βολική τιμή για αυτό είναι εφαπτομένη της εφαπτομένης γωνίας.

Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ίση με την εφαπτομένη της εφαπτομένης γωνίας που σχεδιάζεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε αυτό το σημείο.

Σημειώστε ότι ως γωνία κλίσης της εφαπτομένης παίρνουμε τη γωνία μεταξύ της εφαπτομένης και της θετικής κατεύθυνσης του άξονα.

Μερικές φορές οι μαθητές ρωτούν τι είναι η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης. Αυτή είναι μια ευθεία γραμμή που έχει ένα μόνο κοινό σημείο με το γράφημα αυτής της ενότητας, και όπως φαίνεται στο σχήμα μας. Μοιάζει με εφαπτομένη σε κύκλο.

Ας το βρούμε. Θυμόμαστε ότι η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ίση με το λόγο της απέναντι πλευράς προς τη διπλανή πλευρά. Από το τρίγωνο:

Βρήκαμε την παράγωγο χρησιμοποιώντας ένα γράφημα χωρίς καν να γνωρίζουμε τον τύπο της συνάρτησης. Τέτοια προβλήματα συναντώνται συχνά στην Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά κάτω από τον αριθμό.

Υπάρχει μια άλλη σημαντική σχέση. Θυμηθείτε ότι η ευθεία δίνεται από την εξίσωση

Η ποσότητα σε αυτή την εξίσωση ονομάζεται κλίση ευθείας γραμμής. Είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της ευθείας προς τον άξονα.

.

Το καταλαβαίνουμε

Ας θυμηθούμε αυτόν τον τύπο. Εκφράζει τη γεωμετρική σημασία της παραγώγου.

Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ίση με την κλίση της εφαπτομένης που σχεδιάζεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε αυτό το σημείο.

Με άλλα λόγια, η παράγωγος είναι ίση με την εφαπτομένη της εφαπτομένης γωνίας.

Είπαμε ήδη ότι η ίδια συνάρτηση μπορεί να έχει διαφορετικές παραγώγους σε διαφορετικά σημεία. Ας δούμε πώς σχετίζεται η παράγωγος με τη συμπεριφορά της συνάρτησης.

Ας σχεδιάσουμε ένα γράφημα κάποιας συνάρτησης. Αφήστε αυτή τη συνάρτηση να αυξηθεί σε ορισμένες περιοχές και να μειωθεί σε άλλες, και με διαφορετικούς ρυθμούς. Και αφήστε αυτή τη συνάρτηση να έχει μέγιστους και ελάχιστους πόντους.

Σε ένα σημείο η συνάρτηση αυξάνεται. Μια εφαπτομένη στο γράφημα που σχεδιάζεται στο σημείο σχηματίζει μια οξεία γωνία με τη θετική κατεύθυνση του άξονα. Αυτό σημαίνει ότι η παράγωγος στο σημείο είναι θετική.

Στο σημείο η λειτουργία μας μειώνεται. Η εφαπτομένη σε αυτό το σημείο σχηματίζει αμβλεία γωνία με τη θετική φορά του άξονα. Εφόσον η εφαπτομένη μιας αμβλείας γωνίας είναι αρνητική, η παράγωγος στο σημείο είναι αρνητική.

Να τι συμβαίνει:

Εάν μια συνάρτηση αυξάνεται, η παράγωγός της είναι θετική.

Αν μειωθεί, η παράγωγός του είναι αρνητική.

Τι θα συμβεί στα μέγιστα και ελάχιστα σημεία; Βλέπουμε ότι στα σημεία (μέγιστο σημείο) και (ελάχιστο σημείο) η εφαπτομένη είναι οριζόντια. Επομένως, η εφαπτομένη της εφαπτομένης σε αυτά τα σημεία είναι μηδέν και η παράγωγος είναι επίσης μηδέν.

Σημείο - μέγιστο σημείο. Σε αυτό το σημείο, η αύξηση της συνάρτησης αντικαθίσταται από μείωση. Κατά συνέπεια, το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει στο σημείο από «συν» σε «πλην».

Στο σημείο - το ελάχιστο σημείο - η παράγωγος είναι επίσης μηδέν, αλλά το πρόσημά της αλλάζει από "μείον" σε "συν".

Συμπέρασμα: χρησιμοποιώντας την παράγωγο μπορούμε να βρούμε όλα όσα μας ενδιαφέρουν για τη συμπεριφορά μιας συνάρτησης.

Εάν η παράγωγος είναι θετική, τότε η συνάρτηση αυξάνεται.

Εάν η παράγωγος είναι αρνητική, τότε η συνάρτηση μειώνεται.

Στο μέγιστο σημείο, η παράγωγος είναι μηδέν και αλλάζει πρόσημο από «συν» σε «μείον».

Στο ελάχιστο σημείο, η παράγωγος είναι επίσης μηδέν και αλλάζει πρόσημο από «μείον» σε «συν».

Ας γράψουμε αυτά τα συμπεράσματα με τη μορφή πίνακα:

	αυξάνει	μέγιστο σημείο	μειώνεται	ελάχιστο σημείο	αυξάνει
+	0	-	0	+

Ας κάνουμε δύο μικρές διευκρινίσεις. Θα χρειαστείτε ένα από αυτά όταν επιλύετε προβλήματα ΧΡΗΣΗΣ. Άλλο - τον πρώτο χρόνο, με πιο σοβαρή μελέτη συναρτήσεων και παραγώγων.

Είναι πιθανό η παράγωγος μιας συνάρτησης σε κάποιο σημείο να είναι ίση με μηδέν, αλλά η συνάρτηση δεν έχει ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο σε αυτό το σημείο. Αυτό είναι το λεγόμενο :

Σε ένα σημείο, η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση είναι οριζόντια και η παράγωγος είναι μηδέν. Ωστόσο, πριν από το σημείο η συνάρτηση αυξήθηκε - και μετά το σημείο συνεχίζει να αυξάνεται. Το πρόσημο του παραγώγου δεν αλλάζει - παραμένει θετικό όπως ήταν.

Συμβαίνει επίσης στο σημείο μέγιστου ή ελάχιστου να μην υπάρχει η παράγωγος. Στο γράφημα, αυτό αντιστοιχεί σε μια απότομη διακοπή, όταν είναι αδύνατο να σχεδιάσετε μια εφαπτομένη σε ένα δεδομένο σημείο.

Πώς να βρείτε την παράγωγο εάν η συνάρτηση δεν δίνεται από ένα γράφημα, αλλά από έναν τύπο; Σε αυτή την περίπτωση ισχύει