Σε αυτό το άρθρο θα αναλύσουμε με μεγάλη λεπτομέρεια τον ορισμό του κύκλου των αριθμών, θα μάθουμε την κύρια ιδιότητά του και θα τακτοποιήσουμε τους αριθμούς 1,2,3 κ.λπ. Σχετικά με τον τρόπο επισήμανσης άλλων αριθμών στον κύκλο (για παράδειγμα, \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π) ( 6)\)) καταλαβαίνει .
Αριθμητικός κύκλος ονομάζεται κύκλος μοναδιαίας ακτίνας του οποίου τα σημεία αντιστοιχούν , τακτοποιημένα σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες:
1) Η αρχή βρίσκεται στο άκρο δεξιά σημείο του κύκλου.
2) Αριστερόστροφα - θετική κατεύθυνση. δεξιόστροφα – αρνητικό.
3) Αν σχεδιάσουμε την απόσταση \(t\) στον κύκλο στη θετική κατεύθυνση, τότε θα φτάσουμε σε ένα σημείο με την τιμή \(t\);
4) Αν σχεδιάσουμε την απόσταση \(t\) στον κύκλο κατά την αρνητική κατεύθυνση, τότε θα φτάσουμε σε ένα σημείο με την τιμή \(–t\).
Γιατί ο κύκλος ονομάζεται κύκλος αριθμών;
Γιατί έχει αριθμούς πάνω του. Με αυτόν τον τρόπο, ο κύκλος είναι παρόμοιος με τον αριθμητικό άξονα - στον κύκλο, όπως και στον άξονα, υπάρχει ένα συγκεκριμένο σημείο για κάθε αριθμό.
Γιατί να ξέρετε τι είναι ένας αριθμητικός κύκλος;
Χρησιμοποιώντας τον κύκλο αριθμών, προσδιορίζονται οι τιμές των ημιτόνων, των συνημιτόνων, των εφαπτομένων και των συνεφαπτομένων. Επομένως, για να γνωρίζετε τριγωνομετρία και να περάσετε τις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους με 60+ βαθμούς, πρέπει να καταλάβετε τι είναι ένας κύκλος αριθμών και πώς να τοποθετήσετε τελείες σε αυτόν.
Τι σημαίνουν στον ορισμό οι λέξεις "...της ακτίνας μονάδας...";
Αυτό σημαίνει ότι η ακτίνα αυτού του κύκλου είναι ίση με \(1\). Και αν κατασκευάσουμε έναν τέτοιο κύκλο με το κέντρο στην αρχή, τότε θα τέμνεται με τους άξονες στα σημεία \(1\) και \(-1\).
Δεν χρειάζεται να σχεδιάζεται μικρό, μπορείτε να αλλάξετε το "μέγεθος" των τμημάτων κατά μήκος των αξόνων, τότε η εικόνα θα είναι μεγαλύτερη (δείτε παρακάτω).
Γιατί η ακτίνα είναι ακριβώς μία; Αυτό είναι πιο βολικό, γιατί σε αυτή την περίπτωση, κατά τον υπολογισμό της περιφέρειας χρησιμοποιώντας τον τύπο \(l=2πR\), παίρνουμε:
Το μήκος του κύκλου των αριθμών είναι \(2π\) ή περίπου \(6,28\).
Τι σημαίνει «...τα σημεία των οποίων αντιστοιχούν σε πραγματικούς αριθμούς»;
Όπως είπαμε παραπάνω, στον αριθμητικό κύκλο για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό θα υπάρχει σίγουρα η "θέση" του - ένα σημείο που αντιστοιχεί σε αυτόν τον αριθμό.
Γιατί να προσδιορίσετε την αρχή και την κατεύθυνση στον κύκλο αριθμών;
Ο κύριος σκοπός του κύκλου αριθμών είναι να προσδιορίσει μοναδικά το σημείο του για κάθε αριθμό. Αλλά πώς μπορείτε να προσδιορίσετε πού να βάλετε το νόημα εάν δεν ξέρετε από πού να μετρήσετε και πού να μετακινηθείτε;
Εδώ είναι σημαντικό να μην συγχέουμε την αρχή στη γραμμή συντεταγμένων και στον κύκλο αριθμών - αυτά είναι δύο διαφορετικά συστήματα αναφοράς! Και επίσης μην συγχέετε το \(1\) στον άξονα \(x\) και το \(0\) στον κύκλο - αυτά είναι σημεία σε διαφορετικά αντικείμενα.
Ποια σημεία αντιστοιχούν στους αριθμούς \(1\), \(2\) κ.λπ.;
Θυμάστε, υποθέσαμε ότι ο αριθμητικός κύκλος έχει ακτίνα \(1\); Αυτό θα είναι το μοναδιαίο μας τμήμα (κατ' αναλογία με τον αριθμητικό άξονα), το οποίο θα σχεδιάσουμε στον κύκλο.
Για να επισημάνετε ένα σημείο στον κύκλο αριθμών που αντιστοιχεί στον αριθμό 1, πρέπει να πάτε από το 0 σε μια απόσταση ίση με την ακτίνα στη θετική κατεύθυνση.
Για να σημειώσετε ένα σημείο στον κύκλο που αντιστοιχεί στον αριθμό \(2\), πρέπει να διανύσετε μια απόσταση ίση με δύο ακτίνες από την αρχή, έτσι ώστε το \(3\) να είναι μια απόσταση ίση με τρεις ακτίνες κ.λπ.
Όταν βλέπετε αυτήν την εικόνα, μπορεί να έχετε 2 ερωτήσεις:
1. Τι συμβαίνει όταν ο κύκλος «τελειώνει» (δηλαδή κάνουμε μια πλήρη επανάσταση);
Απάντηση: πάμε για δεύτερο γύρο! Και όταν τελειώσει το δεύτερο, θα πάμε στο τρίτο και ούτω καθεξής. Επομένως, ένας άπειρος αριθμός αριθμών μπορεί να σχεδιαστεί σε έναν κύκλο.
2. Πού θα είναι οι αρνητικοί αριθμοί;
Απάντηση: εκεί! Μπορούν επίσης να τακτοποιηθούν, μετρώντας από το μηδέν τον απαιτούμενο αριθμό ακτίνων, αλλά τώρα σε αρνητική κατεύθυνση.
Δυστυχώς, είναι δύσκολο να υποδηλωθούν ακέραιοι αριθμοί στον κύκλο αριθμών. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι το μήκος του κύκλου των αριθμών δεν θα είναι ίσο με έναν ακέραιο: \(2π\). Και στα πιο βολικά σημεία (στα σημεία τομής με τους άξονες) θα υπάρχουν επίσης κλάσματα, όχι ακέραιοι αριθμοί
Τα βιντεομαθήματα είναι από τα πιο αποτελεσματικά εργαλεία διδασκαλίας, ειδικά σε σχολικά μαθήματα όπως τα μαθηματικά. Επομένως, ο συγγραφέας αυτού του υλικού έχει συγκεντρώσει μόνο χρήσιμες, σημαντικές και ικανές πληροφορίες σε ένα ενιαίο σύνολο.
Αυτό το μάθημα διαρκεί 11:52 λεπτά. Χρειάζεται σχεδόν τον ίδιο χρόνο για να εξηγήσει ένας δάσκαλος νέο υλικό για ένα δεδομένο θέμα στην τάξη. Αν και το κύριο πλεονέκτημα του βιντεομαθήματος θα είναι το γεγονός ότι οι μαθητές θα ακούν προσεκτικά τι μιλάει ο συγγραφέας, χωρίς να αποσπώνται από ξένα θέματα και συζητήσεις. Άλλωστε, αν οι μαθητές δεν ακούσουν προσεκτικά, θα χάσουν ένα σημαντικό σημείο του μαθήματος. Και αν ο δάσκαλος εξηγεί το υλικό ο ίδιος, τότε οι μαθητές του μπορούν εύκολα να αποσπάσουν την προσοχή από το κύριο πράγμα με τις συνομιλίες τους για αφηρημένα θέματα. Και, φυσικά, γίνεται σαφές ποια μέθοδος θα είναι πιο ορθολογική.
Ο συγγραφέας αφιερώνει την αρχή του μαθήματος στην επανάληψη εκείνων των λειτουργιών που οι μαθητές ήταν εξοικειωμένοι νωρίτερα στο μάθημα της άλγεβρας. Και οι πρώτες που ξεκινούν τη μελέτη είναι οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Για την εξέταση και μελέτη τους απαιτείται ένα νέο μαθηματικό μοντέλο. Και αυτό το μοντέλο γίνεται ο αριθμητικός κύκλος, που είναι ακριβώς αυτό που αναφέρεται στο θέμα του μαθήματος. Για να γίνει αυτό, εισάγεται η έννοια του κύκλου μονάδας και δίνεται ο ορισμός του. Περαιτέρω στο σχήμα, ο συγγραφέας δείχνει όλα τα συστατικά ενός τέτοιου κύκλου και τι θα είναι χρήσιμο στους μαθητές για περαιτέρω μάθηση. Τα τόξα δείχνουν τέταρτα.
Στη συνέχεια, ο συγγραφέας προτείνει να ληφθεί υπόψη ο αριθμητικός κύκλος. Εδώ κάνει την παρατήρηση ότι είναι πιο βολικό να χρησιμοποιείται ένας κύκλος μονάδας. Αυτός ο κύκλος δείχνει πώς προκύπτει το σημείο M εάν t>0, t<0 или t=0. После этого вводится понятие самой числовой окружности.
Στη συνέχεια, ο συγγραφέας υπενθυμίζει στους μαθητές πώς να βρουν την περιφέρεια ενός κύκλου. Και μετά βγάζει το μήκος του κύκλου της μονάδας. Προτείνεται η εφαρμογή αυτών των θεωρητικών δεδομένων στην πράξη. Για να το κάνετε αυτό, εξετάστε ένα παράδειγμα όπου πρέπει να βρείτε ένα σημείο σε έναν κύκλο που αντιστοιχεί σε ορισμένες τιμές αριθμών. Η λύση του παραδείγματος συνοδεύεται από μια απεικόνιση σε μορφή εικόνας, καθώς και από τις απαραίτητες μαθηματικές σημειώσεις.
Σύμφωνα με τη συνθήκη του δεύτερου παραδείγματος, είναι απαραίτητο να βρούμε σημεία στον κύκλο αριθμών. Και εδώ ολόκληρη η λύση συνοδεύεται από σχόλια, εικονογραφήσεις και μαθηματική σημειογραφία. Αυτό συμβάλλει στην ανάπτυξη και τη βελτίωση του μαθηματικού γραμματισμού των μαθητών. Το τρίτο παράδειγμα κατασκευάζεται παρόμοια.
Στη συνέχεια, ο συγγραφέας σημειώνει αυτούς τους αριθμούς στον κύκλο που εμφανίζονται πιο συχνά από άλλους. Εδώ προτείνει να φτιάξετε δύο μοντέλα αριθμητικού κύκλου. Όταν και οι δύο διατάξεις είναι έτοιμες, εξετάζεται το επόμενο, τέταρτο παράδειγμα, όπου πρέπει να βρείτε ένα σημείο στον αριθμητικό κύκλο που αντιστοιχεί στον αριθμό 1. Μετά από αυτό το παράδειγμα, διατυπώνεται μια δήλωση σύμφωνα με την οποία μπορείτε να βρείτε το σημείο M που αντιστοιχεί σε ο αριθμός t.
Στη συνέχεια, εισάγεται μια παρατήρηση σύμφωνα με την οποία οι μαθητές μαθαίνουν ότι ο αριθμός «pi» αντιστοιχεί σε όλους τους αριθμούς που εμπίπτουν σε ένα δεδομένο σημείο όταν διασχίζει ολόκληρο τον κύκλο. Αυτές οι πληροφορίες υποστηρίζονται από το πέμπτο παράδειγμα. Η λύση του περιέχει λογικά ορθό συλλογισμό και σχέδια που απεικονίζουν την κατάσταση.
ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ:
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ
Προηγουμένως, μελετήσαμε συναρτήσεις που ορίζονται από αναλυτικές εκφράσεις. Και αυτές οι συναρτήσεις ονομάστηκαν αλγεβρικές. Όμως στο μάθημα των σχολικών μαθηματικών μελετώνται συναρτήσεις άλλων τάξεων, όχι αλγεβρικές. Ας αρχίσουμε να μαθαίνουμε τριγωνομετρικές συναρτήσεις.
Για να εισαγάγουμε τριγωνομετρικές συναρτήσεις, χρειαζόμαστε ένα νέο μαθηματικό μοντέλο - τον αριθμητικό κύκλο. Ας εξετάσουμε τον κύκλο της μονάδας. Ένας κύκλος του οποίου η ακτίνα είναι ίση με το τμήμα κλίμακας, χωρίς να υποδεικνύει συγκεκριμένες μονάδες μέτρησης, θα ονομάζεται μονάδα. Η ακτίνα ενός τέτοιου κύκλου θεωρείται ίση με 1.
Θα χρησιμοποιήσουμε έναν μοναδιαίο κύκλο στον οποίο σχεδιάζονται οι οριζόντιες και κάθετες διάμετροι CA και DB (ce a και de be) (βλ. Εικόνα 1).
Θα ονομάσουμε τόξο AB το πρώτο τέταρτο, τόξο BC το δεύτερο τέταρτο, τόξο CD το τρίτο τέταρτο και τόξο DA το τέταρτο τέταρτο.
Σκεφτείτε τον αριθμητικό κύκλο. Γενικά, οποιοσδήποτε κύκλος μπορεί να θεωρηθεί ως αριθμητικός κύκλος, αλλά είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε τον κύκλο μονάδας για αυτό το σκοπό.
ΟΡΙΣΜΟΣ Δίνεται ένας μοναδιαίος κύκλος και πάνω του σημειώνεται το σημείο εκκίνησης Α - το δεξί άκρο της οριζόντιας διαμέτρου. Ας συσχετίσουμε κάθε πραγματικό αριθμό t (te) με ένα σημείο στον κύκλο σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα:
1) Αν t>0 (το te είναι μεγαλύτερο από μηδέν), τότε, κινούμενοι από το σημείο Α αριστερόστροφα (θετική κατεύθυνση του κύκλου), περιγράφουμε μια διαδρομή AM (a em) μήκους t κατά μήκος του κύκλου. Το σημείο M θα είναι το επιθυμητό σημείο M(t) (em από te).
2) Αν τ<0(тэ меньше нуля), то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь АМ (а эм) длины |t| (модуль тэ). Точка М и будет искомой точкой М(t) (эм от тэ).
3) Ας αντιστοιχίσουμε το σημείο Α στον αριθμό t = 0.
Ένας κύκλος μονάδας με καθορισμένη αντιστοιχία (μεταξύ πραγματικών αριθμών και σημείων του κύκλου) θα ονομάζεται κύκλος αριθμών.
Είναι γνωστό ότι η περιφέρεια L (el) υπολογίζεται με τον τύπο L = 2πR (el ισούται με δύο pi er), όπου π≈3,14, R είναι η ακτίνα του κύκλου. Για έναν κύκλο μονάδας R=1cm, αυτό σημαίνει L=2π≈6,28 cm (το el είναι ίσο με δύο pi περίπου 6,28).
Ας δούμε παραδείγματα.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1. Βρείτε ένα σημείο στον αριθμητικό κύκλο που αντιστοιχεί στον δεδομένο αριθμό: ,.(pi με δύο, pi, τρία pi επί δύο, δύο pi, έντεκα pi επί δύο, επτά pi, μείον πέντε pi επί δύο)
Λύση. Οι πρώτοι έξι αριθμοί είναι θετικοί, επομένως, για να βρείτε τα αντίστοιχα σημεία στον κύκλο, πρέπει να περπατήσετε ένα μονοπάτι δεδομένου μήκους κατά μήκος του κύκλου, κινούμενοι από το σημείο Α προς τη θετική κατεύθυνση. Το μήκος κάθε τετάρτου ενός κύκλου μονάδας είναι ίσο. Αυτό σημαίνει AB =, δηλαδή, το σημείο Β αντιστοιχεί στον αριθμό (βλ. Εικ. 1). AC = , δηλαδή, το σημείο C αντιστοιχεί στον αριθμό. AD = , δηλαδή, το σημείο D αντιστοιχεί στον αριθμό. Και το σημείο A αντιστοιχεί πάλι στον αριθμό, γιατί αφού περπατήσαμε ένα μονοπάτι κατά μήκος του κύκλου καταλήξαμε στο σημείο εκκίνησης ΕΝΑ.
Ας εξετάσουμε πού θα βρίσκεται το σημείο.Εφόσον γνωρίζουμε ήδη ποιο είναι το μήκος του κύκλου, θα το μειώσουμε στη μορφή (τέσσερα pi συν τρία pi επί δύο). Δηλαδή, κινούμενοι από το σημείο Α προς τη θετική κατεύθυνση, πρέπει να περιγράψετε έναν ολόκληρο κύκλο δύο φορές (μια διαδρομή μήκους 4π) και επιπλέον μια διαδρομή μήκους που τελειώνει στο σημείο D.
Τι συνέβη? Αυτό είναι 3∙2π + π (τρεις φορές δύο pi συν pi). Αυτό σημαίνει ότι κινούμενοι από το σημείο Α προς τη θετική κατεύθυνση, πρέπει να περιγράψετε έναν ολόκληρο κύκλο τρεις φορές και επιπλέον μια διαδρομή μήκους π, η οποία θα τελειώνει στο σημείο C.
Για να βρείτε ένα σημείο στον κύκλο αριθμών που αντιστοιχεί σε έναν αρνητικό αριθμό, πρέπει να περπατήσετε από το σημείο Α κατά μήκος του κύκλου προς την αρνητική κατεύθυνση (δεξιόστροφα) μια διαδρομή μήκους, και αυτό αντιστοιχεί σε 2π +. Αυτό το μονοπάτι θα τελειώσει στο σημείο Δ.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2. Βρείτε σημεία στον αριθμητικό κύκλο (pi επί έξι, π επί τέσσερα, π επί τρία).
Λύση. Διαιρώντας το τόξο ΑΒ στο μισό, παίρνουμε το σημείο Ε, το οποίο αντιστοιχεί. Και διαιρώντας το τόξο ΑΒ σε τρία ίσα μέρη με τα σημεία F και O, παίρνουμε ότι το σημείο F αντιστοιχεί και το σημείο T αντιστοιχεί
(βλ. εικόνα 2).
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3. Βρείτε σημεία στον αριθμητικό κύκλο (μείον δεκατρία π επί τέσσερα, δεκαεννέα π επί έξι).
Λύση. Καταθέτοντας το τόξο AE (a em) μήκους (pi επί τέσσερα) από το σημείο A δεκατρείς φορές προς την αρνητική κατεύθυνση, λαμβάνουμε το σημείο H (στάχτη) - το μέσο του τόξου BC.
Καταθέτοντας ένα τόξο AF μήκους (pi επί έξι) από το σημείο Α δεκαεννέα φορές προς τη θετική κατεύθυνση, φτάνουμε στο σημείο N (en), το οποίο ανήκει στο τρίτο τέταρτο (τόξο CD) και το CN είναι ίσο με το τρίτο μέρος του τόξο CD (se de).
(βλέπε σχήμα παράδειγμα 2).
Τις περισσότερες φορές πρέπει να αναζητήσετε σημεία στον αριθμητικό κύκλο που αντιστοιχούν στους αριθμούς (pi με έξι, pi με τέσσερα, pi από τρία, pi κατά δύο), καθώς και εκείνα που είναι πολλαπλάσια από αυτούς, δηλαδή (επτά πι από έξι, πέντε π από τέσσερα, τέσσερα πι από τρία, έντεκα πι από δύο). Επομένως, για γρήγορη πλοήγηση, συνιστάται να κάνετε δύο διατάξεις του κύκλου αριθμών.
Στην πρώτη διάταξη, καθένα από τα τέταρτα του κύκλου των αριθμών θα χωριστεί σε δύο ίσα μέρη και κοντά σε καθένα από τα σημεία που θα προκύψουν θα γράψουμε τα «ονόματά» τους:
Στη δεύτερη διάταξη, κάθε ένα από τα τέταρτα χωρίζεται σε τρία ίσα μέρη και κοντά σε καθένα από τα δώδεκα σημεία που προκύπτουν γράφουμε τα «ονόματά» τους:
Αν κινηθούμε δεξιόστροφα, θα λάβουμε τα ίδια «ονόματα» για τα σημεία στα σχέδια, μόνο με μια τιμή μείον. Για την πρώτη διάταξη:
Ομοίως, εάν μετακινηθείτε κατά μήκος της δεύτερης διάταξης δεξιόστροφα από το σημείο Ο.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4. Βρείτε σημεία στον αριθμητικό κύκλο που αντιστοιχούν στους αριθμούς 1 (ένα).
Λύση. Γνωρίζοντας ότι π≈3,14 (το pi είναι περίπου ίσο με τρία σημεία δεκατέσσερα εκατοστά), ≈ 1,05 (pi επί τρία είναι περίπου ίσο με ένα σημείο πέντε εκατοστά), ≈ 0,79 (pi επί τέσσερα είναι περίπου ίσο με σημείο μηδέν εβδομήντα εννέα εκατοστά) . Που σημαίνει,< 1 < (один больше, чем пи на четыре, но меньше, чем пи на три), то есть число 1 находится в первой четверти.
Η ακόλουθη δήλωση είναι αληθής: αν ένα σημείο M στον αριθμητικό κύκλο αντιστοιχεί σε έναν αριθμό t, τότε αντιστοιχεί σε οποιονδήποτε αριθμό της μορφής t + 2πκ(te συν δύο πι κα), όπου ka είναι οποιοσδήποτε ακέραιος και kϵ Ζ(το κα ανήκει στον Ζετ).
Χρησιμοποιώντας αυτή τη δήλωση, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το σημείο αντιστοιχεί σε όλα τα σημεία της μορφής t =+ 2πk (te ισούται με pi επί τρεις συν δύο κορυφές), όπου kϵZ (το ka ανήκει στο zet), και στο σημείο (πέντε pi επί τέσσερα) - σημεία της μορφής t = + 2πk (το te ισούται με πέντε pi επί τέσσερα συν δύο pi ka), όπου kϵZ (το κα ανήκει στο ζετ) και ούτω καθεξής.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5. Βρείτε το σημείο στον κύκλο αριθμών: α) ; β) .
Λύση. α) Έχουμε: = =(6 +) ∙ π = 6π + = + 3∙ 2π.(είκοσι pi επί τρία ίσον είκοσι φορές τρία π ίσον έξι συν δύο τρίτα, πολλαπλασιαζόμενα επί π ίσον έξι π συν δύο πι επί τρία ίσον δύο πι επί τρία συν τρεις φορές δύο π).
Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός αντιστοιχεί στο ίδιο σημείο στον κύκλο αριθμών με τον αριθμό (αυτό είναι το δεύτερο τέταρτο) (δείτε τη δεύτερη διάταξη στο Σχ. 4).
β) Έχουμε: = - (8 +) ∙ π = + 2π ∙ (- 4) (μείον τριάντα πέντε pi επί τέσσερα ίσον μείον οκτώ συν τρία τέταρτα φορές pi ίσον μείον τρία pi επί τέσσερα συν δύο π φορές μείον τέσσερα ). Δηλαδή, ο αριθμός αντιστοιχεί στο ίδιο σημείο στον κύκλο αριθμών με τον αριθμό
Σε αυτό το μάθημα θα θυμηθούμε τον ορισμό μιας αριθμητικής ευθείας και θα δώσουμε έναν νέο ορισμό του αριθμητικού κύκλου. Θα εξετάσουμε επίσης λεπτομερώς μια σημαντική ιδιότητα του κύκλου αριθμών και σημαντικά σημεία στον κύκλο. Ας ορίσουμε τα άμεσα και αντίστροφα προβλήματα για τον αριθμητικό κύκλο και ας λύσουμε αρκετά παραδείγματα τέτοιων προβλημάτων.
Θέμα: Τριγωνομετρικές συναρτήσεις
Μάθημα: Αριθμητικός κύκλος
Για οποιαδήποτε συνάρτηση, το ανεξάρτητο όρισμα αναβάλλεται είτε από αριθμός γραμμής, ή σε κύκλο. Ας χαρακτηρίσουμε και την αριθμητική γραμμή και κύκλος αριθμών.
Η ευθεία γίνεται αριθμητική (συντεταγμένη) εάν σημειωθεί η αρχή των συντεταγμένων και επιλεγεί η κατεύθυνση και η κλίμακα (Εικ. 1).
Η αριθμητική γραμμή δημιουργεί μια αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ όλων των σημείων της ευθείας και όλων των πραγματικών αριθμών.
Για παράδειγμα, παίρνουμε έναν αριθμό και τον βάζουμε στον άξονα συντεταγμένων, παίρνουμε ένα σημείο Παίρνουμε έναν αριθμό και τον βάζουμε στον άξονα, παίρνουμε ένα σημείο (Εικ. 2).
Και αντίστροφα, αν πάρουμε οποιοδήποτε σημείο της γραμμής συντεταγμένων, τότε υπάρχει ένας μοναδικός πραγματικός αριθμός που αντιστοιχεί σε αυτό (Εικ. 2).
Οι άνθρωποι δεν ήρθαν αμέσως σε μια τέτοια αλληλογραφία. Για να το καταλάβουμε αυτό, ας θυμηθούμε τα βασικά αριθμητικά σύνολα.
Πρώτα εισάγαμε ένα σύνολο φυσικών αριθμών
Στη συνέχεια ένα σύνολο ακεραίων 
Σύνολο ρητών αριθμών
Θεωρήθηκε ότι αυτά τα σύνολα θα ήταν επαρκή και ότι θα υπήρχε αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ όλων των ρητών αριθμών και σημείων σε μια ευθεία. Αλλά αποδείχθηκε ότι υπάρχουν αμέτρητα σημεία στην αριθμητική γραμμή που δεν μπορούν να περιγραφούν με αριθμούς της φόρμας
Παράδειγμα είναι η υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου με σκέλη 1 και 1. Είναι ίσο (Εικ. 3).
Μεταξύ του συνόλου των ρητών αριθμών, υπάρχει αριθμός ακριβώς ίσος με Όχι, δεν υπάρχει. Ας αποδείξουμε αυτό το γεγονός.
Ας το αποδείξουμε με αντίφαση. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ένα κλάσμα ίσο με i.e.
Στη συνέχεια τετραγωνίζουμε και τις δύο πλευρές Προφανώς η δεξιά πλευρά της ισότητας διαιρείται με το 2, . Αυτό σημαίνει και Τότε Αλλά τότε και Α σημαίνει Τότε αποδεικνύεται ότι το κλάσμα είναι αναγώγιμο. Αυτό έρχεται σε αντίθεση με την προϋπόθεση, που σημαίνει
Ο αριθμός είναι παράλογος. Το σύνολο των ρητών και των παράλογων αριθμών σχηματίζει το σύνολο των πραγματικών αριθμών 
Αν πάρουμε οποιοδήποτε σημείο σε μια ευθεία, κάποιος πραγματικός αριθμός θα αντιστοιχεί σε αυτό. Και αν πάρουμε οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό, θα υπάρχει ένα μόνο σημείο που αντιστοιχεί σε αυτόν στη γραμμή συντεταγμένων.
Ας διευκρινίσουμε τι είναι ένας κύκλος αριθμών και ποιες είναι οι σχέσεις μεταξύ του συνόλου των σημείων του κύκλου και του συνόλου των πραγματικών αριθμών.
Προέλευση - σημείο ΕΝΑ. Κατεύθυνση μέτρησης - αριστερόστροφα - θετική, δεξιόστροφα - αρνητική. Ζυγαριά - περιφέρεια (Εικ. 4).
Εισάγοντας αυτές τις τρεις διατάξεις, έχουμε κύκλος αριθμών. Θα υποδείξουμε πώς να αντιστοιχίσετε ένα σημείο σε έναν κύκλο σε κάθε αριθμό και το αντίστροφο.
Ρυθμίζοντας τον αριθμό παίρνουμε ένα σημείο στον κύκλο
Κάθε πραγματικός αριθμός αντιστοιχεί σε ένα σημείο του κύκλου.Τι γίνεται με το αντίστροφο;
Η τελεία αντιστοιχεί στον αριθμό. Και αν πάρουμε αριθμούς, όλοι αυτοί οι αριθμοί έχουν μόνο ένα σημείο στην εικόνα τους στον κύκλο
Για παράδειγμα, αντιστοιχεί στο σημείο σι(Εικ. 4).
Ας πάρουμε όλους τους αριθμούς, όλοι αντιστοιχούν στο σημείο. ΣΙ.Δεν υπάρχει αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ όλων των πραγματικών αριθμών και σημείων σε έναν κύκλο.
Εάν υπάρχει ένας σταθερός αριθμός, τότε μόνο ένα σημείο στον κύκλο αντιστοιχεί σε αυτόν
Εάν υπάρχει ένα σημείο σε έναν κύκλο, τότε υπάρχει ένα σύνολο αριθμών που αντιστοιχεί σε αυτό
Σε αντίθεση με μια ευθεία γραμμή, ένας κύκλος συντεταγμένων δεν έχει αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ σημείων και αριθμών. Κάθε αριθμός αντιστοιχεί μόνο σε ένα σημείο, αλλά κάθε σημείο αντιστοιχεί σε άπειρο αριθμό αριθμών και μπορούμε να τους γράψουμε.
Ας δούμε τα κύρια σημεία του κύκλου.
Με δεδομένο έναν αριθμό, βρείτε σε ποιο σημείο του κύκλου αντιστοιχεί.
Διαιρώντας το τόξο στη μέση, παίρνουμε ένα σημείο (Εικ. 5).
Αντίστροφο πρόβλημα: με δεδομένο ένα σημείο στη μέση ενός τόξου, βρείτε όλους τους πραγματικούς αριθμούς που αντιστοιχούν σε αυτό.
Ας σημειώσουμε όλα τα πολλαπλά τόξα στον αριθμητικό κύκλο (Εικ. 6).
Τόξα που είναι πολλαπλάσια του
Δίνεται ένας αριθμός Πρέπει να βρείτε το αντίστοιχο σημείο.
Αντίστροφο πρόβλημα - δεδομένου ενός σημείου, πρέπει να βρείτε σε ποιους αριθμούς αντιστοιχεί.
Εξετάσαμε δύο τυπικές εργασίες σε δύο κρίσιμα σημεία.
α) Βρείτε ένα σημείο στον αριθμητικό κύκλο με συντεταγμένες
Καθυστέρηση από το σημείο ΕΝΑαυτό είναι δύο ολόκληρες στροφές και άλλες μισές, και παίρνουμε έναν βαθμό Μ- αυτό είναι το μέσο του τρίτου τριμήνου (Εικ. 8).
Απάντηση. Τελεία Μ- μέσα τρίτου τριμήνου.
β) Βρείτε ένα σημείο στον αριθμητικό κύκλο με συντεταγμένες
Καθυστέρηση από το σημείο ΕΝΑμια πλήρης στροφή και ακόμα παίρνουμε έναν βαθμό Ν(Εικ. 9).
Απάντηση: Σημείο Νείναι στο πρώτο τρίμηνο.
Κοιτάξαμε την αριθμητική γραμμή και τον αριθμητικό κύκλο και θυμηθήκαμε τα χαρακτηριστικά τους. Ένα ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της αριθμητικής γραμμής είναι η αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ των σημείων αυτής της γραμμής και του συνόλου των πραγματικών αριθμών. Δεν υπάρχει τέτοια αντιστοιχία ένας προς έναν στον κύκλο. Κάθε πραγματικός αριθμός στον κύκλο αντιστοιχεί σε ένα μόνο σημείο, αλλά κάθε σημείο στον κύκλο αριθμών αντιστοιχεί σε έναν άπειρο αριθμό πραγματικών αριθμών.
Στο επόμενο μάθημα θα δούμε τον αριθμητικό κύκλο στο επίπεδο συντεταγμένων.
Κατάλογος αναφορών για το θέμα "Αριθμός κύκλος", "Σημείο σε κύκλο"
1. Άλγεβρα και αρχή ανάλυσης, βαθμός 10 (σε δύο μέρη). Εγχειρίδιο για ιδρύματα γενικής εκπαίδευσης (επίπεδο προφίλ), έκδ. A. G. Mordkovich. -Μ.: Μνημοσύνη, 2009.
2. Άλγεβρα και αρχή ανάλυσης, βαθμός 10 (σε δύο μέρη). Βιβλίο προβλημάτων για εκπαιδευτικά ιδρύματα (επίπεδο προφίλ), εκδ. A. G. Mordkovich. -Μ.: Μνημοσύνη, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Άλγεβρα και μαθηματική ανάλυση για τη 10η τάξη (εγχειρίδιο για μαθητές σχολείων και τάξεων με εις βάθος μελέτη των μαθηματικών) - M.: Prosveshchenie, 1996.
4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Σε βάθος μελέτη άλγεβρας και μαθηματική ανάλυση.-Μ.: Εκπαίδευση, 1997.
5. Συλλογή προβλημάτων στα μαθηματικά για αιτούντες σε ανώτατα εκπαιδευτικά ιδρύματα (επιμέλεια Μ.Ι. Σκαναβή) - Μ.: Ανώτατο Σχολείο, 1992.
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Αλγεβρικός προσομοιωτής.-Κ.: Α.Σ.Κ., 1997.
7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Προβλήματα στην άλγεβρα και αρχές ανάλυσης (εγχειρίδιο για μαθητές των τάξεων 10-11 των ιδρυμάτων γενικής εκπαίδευσης). - M.: Prosveshchenie, 2003.
8. Karp A.P. Συλλογή προβλημάτων άλγεβρας και αρχές ανάλυσης: σχολικό βιβλίο. επίδομα 10-11 τάξεων. με βάθος μελετημένος Μαθηματικά.-Μ.: Εκπαίδευση, 2006.
Εργασία για το σπίτι
Άλγεβρα και αρχή ανάλυσης, βαθμός 10 (σε δύο μέρη). Βιβλίο προβλημάτων για εκπαιδευτικά ιδρύματα (επίπεδο προφίλ), εκδ. A. G. Mordkovich. -Μ.: Μνημοσύνη, 2007.
№№ 11.6 - 11.12, 11.15 - 11.17.
Πρόσθετοι πόροι ιστού
3. Εκπαιδευτική πύλη προετοιμασίας εξετάσεων ().
Ονομα προϊόντος Άλγεβρα και αρχή μαθηματικής ανάλυσης
Τάξη 10
UMK Άλγεβρα και αρχές μαθηματικής ανάλυσης, τάξεις 10-11. ΣΤΙΣ 2. Μέρος 1. Εγχειρίδιο για ιδρύματα γενικής εκπαίδευσης (βασικό επίπεδο) / Α.Γ. Μόρντκοβιτς. – 10η έκδοση, στερ. - Μ.: Μνημοσύνη, 2012. Μέρος 2ο. Βιβλίο προβλημάτων για εκπαιδευτικά ιδρύματα (βασικό επίπεδο) /[ Ο Α.Γ. Mordkovich et al.]; επεξεργάστηκε από Ο Α.Γ. Μόρντκοβιτς. – 10η έκδοση, στερ. - Μ.: Μνημοσύνη, 2012.
Επίπεδο σπουδών. Βάση
Θέμα μαθήματος Αριθμητικός κύκλος (2 η ώρα)
Μάθημα 1
Στόχος: εισαγάγετε την έννοια του αριθμητικού κύκλου ως μοντέλο ενός καμπυλόγραμμου συστήματος συντεταγμένων.
Καθήκοντα : να αναπτύξει την ικανότητα χρήσης του κύκλου αριθμών κατά την επίλυση προβλημάτων.
Προγραμματισμένα αποτελέσματα:
Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων
Οργάνωση χρόνου.
2. Έλεγχος εργασιών που προκάλεσαν δυσκολίες στους μαθητές
II. Προφορική εργασία.
1. Αντιστοιχίστε κάθε διάστημα στην αριθμητική γραμμή με μια ανισότητα και μια αναλυτική σημείωση για το διάστημα. Εισαγάγετε τα δεδομένα στον πίνακα.
ΕΝΑ (– ; –5] ρε (–5; 5)
σι [–5; 5] μι (– ; –5)
ΣΕ [–5; + ) ΚΑΙ [–5; 5)
σολ (–5; 5] Ζ (–5; + )
1 –5 < Χ < 5 5 –5 Χ 5
2 Χ –5 6 Χ –5
3 –5 < Χ 5 7 5 Χ < 5
4 Χ < –5 8 Χ > –5
ΕΝΑ1. Σε αντίθεση με τη μελετημένη αριθμητική γραμμή, ο αριθμητικός κύκλος είναι ένα πιο σύνθετο μοντέλο. Η έννοια του τόξου, που βρίσκεται κάτω από αυτό, δεν είναι αξιόπιστη επεξεργασμένη στη γεωμετρία.
2 . Εργασία με το σχολικό βιβλίο . Ας δούμε ένα πρακτικό παράδειγμα με. 23–24 σχολικά βιβλία (πίστα τρεξίματος σταδίου). Μπορείτε να ζητήσετε από τους μαθητές να δώσουν παρόμοια παραδείγματα (την κίνηση ενός δορυφόρου σε τροχιά, την περιστροφή ενός γραναζιού κ.λπ.).
3. Δικαιολογούμε την ευκολία χρήσης του κύκλου μονάδας ως αριθμητικό.
4. Εργασία με το σχολικό βιβλίο. Ας δούμε παραδείγματα από τη σελ. 25–31 σχολικά βιβλία. Οι συγγραφείς τονίζουν ότι για την επιτυχή κατάκτηση του μοντέλου του αριθμητικού κύκλου, τόσο το σχολικό βιβλίο όσο και το βιβλίο προβλημάτων παρέχουν ένα σύστημα ειδικών «διδακτικών παιχνιδιών». Υπάρχουν έξι από αυτά, σε αυτό το μάθημα θα χρησιμοποιήσουμε τα τέσσερα πρώτα.
(Μόρντκοβιτς Α. Γ. Μ79 Άλγεβρα και οι απαρχές της μαθηματικής ανάλυσης. Βαθμοί 10-11 (βασικό επίπεδο): μεθοδολογικό εγχειρίδιο για δασκάλους / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Μ.: Μνημοσύνη, 2010. - 202 σελ. : Εγώ θα.)
1ο "παιχνίδι" – υπολογισμός του μήκους τόξου ενός κύκλου μονάδας. Οι μαθητές θα πρέπει να συνηθίσουν στο γεγονός ότι το μήκος ολόκληρου του κύκλου είναι 2 , μισός κύκλος - , τέταρτο κύκλο –και τα λοιπά.
2ο "παιχνίδι" – εύρεση σημείων στον αριθμητικό κύκλο που αντιστοιχεί σε δεδομένους αριθμούς, που εκφράζονται σε κλάσματα ενός αριθμού
για παράδειγμα, σημεία 
κ.λπ. («καλοί» αριθμοί και βαθμοί).
3ο "παιχνίδι" – εύρεση σημείων στον αριθμητικό κύκλο που αντιστοιχούν σε δεδομένους αριθμούς, που δεν εκφράζονται σε κλάσματα αριθμού για παράδειγμα, σημεία Μ (1), Μ (–5), κ.λπ. («κακοί» αριθμοί και βαθμοί).
4ο "παιχνίδι" – καταγραφή αριθμών που αντιστοιχούν σε ένα δεδομένο σημείο «καλό» στον αριθμητικό κύκλο, για παράδειγμα, το μέσο του πρώτου τριμήνου είναι «καλό», οι αριθμοί που αντιστοιχούν σε αυτό έχουν τη μορφή 
Δυναμική παύση
Οι ασκήσεις που λύθηκαν σε αυτό το μάθημα αντιστοιχούν στα τέσσερα καθορισμένα διδακτικά παιχνίδια. Οι μαθητές χρησιμοποιούν μια διάταξη κύκλου αριθμών με διαμέτρουςΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ (οριζόντια) καιBD(κατακόρυφος).
1. № 4.1, № 4.3.
Λύση:
№ 4.3.
2. № 4.5 (α; β) - 4.11 (α; β).
3. № 4.12.
4. № 4.13 (α; β), № 4.14.
Λύση:
№ 4.13.
V. Δοκιμαστική εργασία.
Επιλογή 1
Επιλογή 2
1. Σημειώστε το σημείο στον κύκλο αριθμών που αντιστοιχεί σε αυτόν τον αριθμό:
2. Βρείτε όλους τους αριθμούς που αντιστοιχούν στα σημεία που σημειώνονται στον αριθμητικό κύκλο.
VI. Περίληψη μαθήματος.
Ερωτήσεις για μαθητές:
– Δώστε τον ορισμό του κύκλου αριθμών.
– Ποιο είναι το μήκος ενός κύκλου μονάδας; Μήκος μισού κύκλου μονάδας; Τα τεταρτημόρια της;
– Πώς μπορείτε να βρείτε ένα σημείο στον κύκλο αριθμών που αντιστοιχεί σε έναν αριθμό;Νούμερο 5;
Εργασία για το σπίτι:, σελίδα 23. Νο. 4.2, Νο. 4.4, Νο. 4.5 (γ; δ) – Αρ. 4.11 (γ; δ), Νο. 4.13 (γ; δ), Αρ. 4.15.
Μάθημα #2
Στόχοι : παγιώστε την έννοια του αριθμητικού κύκλου ως μοντέλου ενός καμπυλόγραμμου συστήματος συντεταγμένων.
Καθήκοντα : συνεχίστε να αναπτύσσετε την ικανότητα να βρίσκετε σημεία στον κύκλο αριθμών που αντιστοιχούν σε δεδομένους «καλούς» και «κακούς» αριθμούς. γράψτε τον αριθμό που αντιστοιχεί σε ένα σημείο στον κύκλο αριθμών. να αναπτύξουν την ικανότητα σύνθεσης αναλυτικής σημειογραφίας του τόξου ενός αριθμητικού κύκλου με τη μορφή διπλής ανισότητας.
Να αναπτύξουν υπολογιστικές δεξιότητες, σωστή μαθηματική ομιλία και λογική σκέψη των μαθητών.
Ενσταλάξτε την ανεξαρτησία, την προσοχή και την ακρίβεια. Καλλιεργήστε μια υπεύθυνη στάση απέναντι στη μάθηση.
Προγραμματισμένα αποτελέσματα:
Γνωρίστε, κατανοήστε: - κύκλος αριθμών.
Να είναι σε θέση: - να βρίσκει σημεία σε έναν κύκλο σύμφωνα με τις δεδομένες συντεταγμένες. - βρείτε τις συντεταγμένες ενός σημείου που βρίσκεται σε έναν αριθμητικό κύκλο.
Να είναι σε θέση να εφαρμόζει το μελετημένο θεωρητικό υλικό κατά την εκτέλεση γραπτών εργασιών.
Τεχνική υποστήριξη μαθήματος Υπολογιστής, οθόνη, προβολέας, σχολικό βιβλίο, βιβλίο προβλημάτων.
Πρόσθετη μεθοδολογική και διδακτική υποστήριξη του μαθήματος: Mordkovich A. G. M79 Άλγεβρα και οι απαρχές της μαθηματικής ανάλυσης. Βαθμοί 10-11 (βασικό επίπεδο): μεθοδολογικό εγχειρίδιο για δασκάλους / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Μ.: Μνημοσύνη, 2010. - 202 σελ. : λάσπη
Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων
Οργάνωση χρόνου.
Ψυχολογική διάθεση των μαθητών.
Έλεγχος εργασιών για το σπίτιΝο. 4.2, Νο. 4.4, Νο. 4.5 (γ; δ) – Νο. 4.11 (γ; δ), Αρ. 4.13 (γ; δ),
№ 4.15. Αναλύστε τη λύση σε εργασίες που προκάλεσαν δυσκολία.
Προφορική εργασία.
(στη διαφάνεια)
1. Αντιστοιχίστε τα σημεία στον κύκλο αριθμών και τους αριθμούς που δίνονται:
σι)
V)
ΣΟΛ)
ρε)
μι)
και)
η)
2. Βρείτε τα σημεία στον κύκλο αριθμών.
–2; 4; –8;
13.
III. Επεξήγηση νέου υλικού.
Όπως έχει ήδη σημειωθεί, οι μαθητές κατακτούν ένα σύστημα έξι διδακτικών «παιχνιδιών» που παρέχουν τη δυνατότητα επίλυσης προβλημάτων τεσσάρων κύριων τύπων που σχετίζονται με τον κύκλο αριθμών (από αριθμό σε σημείο, από σημείο σε αριθμό, από τόξο σε διπλή ανισότητα, από διπλή ανισότητα να τόξο).
(Μόρντκοβιτς Α. Γ. Μ79 Άλγεβρα και οι απαρχές της μαθηματικής ανάλυσης. Βαθμοί 10-11 (βασικό επίπεδο): μεθοδολογικό εγχειρίδιο για δασκάλους / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Μ.: Μνημοσύνη, 2010. - 202 σελ. : Εγώ θα.)
Σε αυτό το μάθημα θα χρησιμοποιήσουμε τα δύο τελευταία παιχνίδια:
5ο "παιχνίδι" – σύνταξη αναλυτικών εγγραφών (διπλές ανισώσεις) για τόξα του αριθμητικού κύκλου. Για παράδειγμα, εάν δοθεί ένα τόξο που συνδέει το μέσο του πρώτου τετάρτου (αρχή του τόξου) και το χαμηλότερο σημείο από τα δύο που χωρίζουν το δεύτερο τέταρτο σε τρία ίσα μέρη (το τέλος του τόξου), τότε το αντίστοιχο αναλυτικό η σημειογραφία έχει τη μορφή:
Εάν η αρχή και το τέλος του ίδιου τόξου αντικατασταθούν, τότε η αντίστοιχη αναλυτική εγγραφή του τόξου θα μοιάζει με:
Οι συγγραφείς του σχολικού βιβλίου σημειώνουν ότι οι όροι «πυρήνας αναλυτικής σημειογραφίας τόξου», «αναλυτική σημειογραφία τόξου» δεν αναγνωρίζονται γενικά, εισήχθησαν για καθαρά μεθοδολογικούς λόγους και η χρήση τους ή όχι εξαρτάται από την δάσκαλος.
6ο "παιχνίδι" – από αυτή την αναλυτική σημείωση του τόξου (διπλή ανισότητα) μεταβείτε στη γεωμετρική του εικόνα.
Η εξήγηση θα πρέπει να πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας την τεχνική της αναλογίας. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ένα μοντέλο κινητής αριθμητικής γραμμής που μπορεί να «συμπτυχθεί» σε έναν αριθμητικό κύκλο.
Εργασία με το σχολικό βιβλίο .
Ας δούμε το παράδειγμα 8 από τη σελ. 33 σχολικά βιβλία.
Δυναμική παύση
IV. Διαμόρφωση δεξιοτήτων και ικανοτήτων.
Κατά την ολοκλήρωση των εργασιών, οι μαθητές πρέπει να διασφαλίζουν ότι όταν γράφουν ένα τόξο αναλυτικά, η αριστερή πλευρά της διπλής ανισότητας είναι μικρότερη από τη δεξιά πλευρά. Για να το κάνετε αυτό, κατά την εγγραφή, πρέπει να κινηθείτε προς θετική κατεύθυνση, δηλαδή αριστερόστροφα.
1η ομάδα . Ασκήσεις για την εύρεση «κακών» σημείων στον κύκλο αριθμών.
№ 4.16, Νο. 4.17 (α; β).
2η ομάδα . Ασκήσεις αναλυτικής καταγραφής τόξου και κατασκευή τόξου με βάση την αναλυτική καταγραφή του.
№ 4.18 (α; β), Νο. 4.19 (α; β), Νο. 4.20 (α; β).
V. Ανεξάρτητη εργασία.
Επιλογή 1
3. Σύμφωνα με το αναλυτικό μοντέλο 
γράψτε τον προσδιορισμό του αριθμητικού τόξου και κατασκευάστε το γεωμετρικό του μοντέλο.
Επιλογή 2
1. Με βάση το γεωμετρικό μοντέλο του τόξου του αριθμητικού κύκλου να γράψετε το αναλυτικό μοντέλο με τη μορφή διπλής ανισότητας.
2. Σύμφωνα με τον δεδομένο προσδιορισμό του τόξου του αριθμητικού κύκλου 
υποδεικνύουν τα γεωμετρικά και αναλυτικά του μοντέλα.
3. Σύμφωνα με το αναλυτικό μοντέλο 
γράψτε τον προσδιορισμό του τόξου του αριθμητικού κύκλου και κατασκευάστε το γεωμετρικό του μοντέλο.
VI. Περίληψη μαθήματος.
Ερωτήσεις για μαθητές:
– Με ποιους τρόπους μπορείτε να γράψετε αναλυτικά το τόξο του κύκλου των αριθμών;
– Τι ονομάζεται πυρήνας της αναλυτικής καταγραφής ενός τόξου;
– Ποιες προϋποθέσεις πρέπει να πληρούν οι αριθμοί αριστερά και δεξιά μιας διπλής ανισότητας;
Εργασία για το σπίτι:
1. , σελίδα 23. Νο. 4.17 (γ; δ), Νο. 4.18 (γ; δ), Νο. 4.19 (γ; δ), Νο. 4.20 (γ; δ).
2. Με βάση το γεωμετρικό μοντέλο του τόξου του αριθμητικού κύκλου να γράψετε το αναλυτικό του μοντέλο με τη μορφή διπλής ανισότητας.
3. Σύμφωνα με τον δεδομένο προσδιορισμό του τόξου του αριθμητικού κύκλου 
υποδεικνύουν τα γεωμετρικά και αναλυτικά του μοντέλα.
