Φάσμα μιας περιοδικής ακολουθίας. Φάσμα μιας ακολουθίας ορθογώνιων παλμών

2. Φάσμα περιοδικής ακολουθίας ορθογώνιων παλμών

Εξετάστε την περιοδική ακολουθία ορθογώνιων παλμών που φαίνεται στο Σχ. 5. Αυτό το σήμα χαρακτηρίζεται από τη διάρκεια του παλμού, το πλάτος του και την περίοδο. Η τάση σχεδιάζεται κατά μήκος του κατακόρυφου άξονα.

Εικ.5. Περιοδική ακολουθία ορθογώνιων παλμών

Επιλέγουμε το σημείο εκκίνησης στη μέση του παλμού. Τότε το σήμα επεκτείνεται μόνο σε συνημίτονα. Οι αρμονικές συχνότητες είναι n/T, όπου n- οποιοδήποτε ακέραιο. Τα αρμονικά πλάτη σύμφωνα με το (1.2.) θα είναι ίσα:

επειδή V(t)=μιστο , όπου είναι η διάρκεια του παλμού και V(t)=0 στο , τότε

Είναι βολικό να γράψετε αυτόν τον τύπο με τη μορφή:

(2.1.)

Ο τύπος (1.5.) δίνει την εξάρτηση του πλάτους της νης αρμονικής από την περίοδο και τη διάρκεια με τη μορφή συνεχούς συνάρτησης (συνάρτηση ). Αυτή η συνάρτηση ονομάζεται φάκελος φάσματος. Θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι έχει φυσική σημασία μόνο σε συχνότητες όπου υπάρχουν αντίστοιχες αρμονικές. Στο Σχ. Το σχήμα 6 δείχνει το φάσμα μιας περιοδικής ακολουθίας ορθογώνιων παλμών.

Εικ.6. Φάσμα μιας περιοδικής ακολουθίας

ορθογώνιους παλμούς.

Κατά την κατασκευή του φακέλου, εννοούμε ότι - είναι

Μια ταλαντούμενη συνάρτηση της συχνότητας, και ο παρονομαστής αυξάνεται μονότονα με την αύξηση της συχνότητας. Επομένως, προκύπτει μια οιονεί ταλαντούμενη συνάρτηση με σταδιακή μείωση. Καθώς η συχνότητα τείνει στο μηδέν, τόσο ο αριθμητής όσο και ο παρονομαστής τείνουν στο μηδέν και ο λόγος τους τείνει στη μονάδα (το πρώτο κλασικό όριο). Οι μηδενικές τιμές του φακέλου εμφανίζονται σε σημεία όπου π.χ.

Οπου Μ– ένας ακέραιος αριθμός (εκτόςΜ

Μια περιοδική ακολουθία ορθογώνιων παλμών βίντεο είναι μια διαμορφωτική συνάρτηση για το σχηματισμό μιας περιοδικής ακολουθίας ορθογώνιων ραδιοπαλμών (PPRP), που είναι σήματα ανίχνευσης για την ανίχνευση και τη μέτρηση των συντεταγμένων των κινούμενων στόχων. Επομένως, χρησιμοποιώντας το φάσμα της συνάρτησης διαμόρφωσης (PPVI), είναι δυνατός ο προσδιορισμός του φάσματος του σήματος ανίχνευσης (PPVI) σχετικά απλά και γρήγορα. Όταν ένα σήμα ανίχνευσης ανακλάται από έναν κινούμενο στόχο, οι συχνότητες του αρμονικού φάσματος του φέροντος κύματος αλλάζουν (φαινόμενο Doppler). Ως αποτέλεσμα, είναι δυνατός ο εντοπισμός ενός χρήσιμου σήματος που ανακλάται από έναν κινούμενο στόχο με φόντο παρεμβαλλόμενες (παρεμβολές) δονήσεις που αντανακλώνται από ακίνητα αντικείμενα (τοπικά αντικείμενα) ή αργά κινούμενα αντικείμενα (μετεωρολογικοί σχηματισμοί, σμήνη πουλιών κ.λπ.) .

Το PPPVI (Εικ. 1.42) είναι ένα σύνολο μεμονωμένων ορθογώνιων παλμών βίντεο που ακολουθούν ο ένας τον άλλο σε ίσα χρονικά διαστήματα. Αναλυτική έκφραση του σήματος.

πού είναι το πλάτος του παλμού; – διάρκεια παλμού. – περίοδος επανάληψης παλμών. – ρυθμός επανάληψης παλμών, ; - κύκλος καθηκόντων.

Για τον υπολογισμό της φασματικής σύνθεσης μιας περιοδικής ακολουθίας παλμών, χρησιμοποιείται η σειρά Fourier. Με γνωστά φάσματα απλών παλμών που σχηματίζουν μια περιοδική ακολουθία, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη σχέση μεταξύ της φασματικής πυκνότητας των παλμών και των μιγαδικών πλατών της σειράς:

Για έναν μόνο ορθογώνιο παλμό βίντεο, η φασματική πυκνότητα περιγράφεται από τον τύπο

Χρησιμοποιώντας τη σχέση μεταξύ της φασματικής πυκνότητας ενός μόνο παλμού και των μιγαδικών πλάτη της σειράς, βρίσκουμε

όπου = 0; ± 1; ± 2; ...

Το φάσμα πλάτους-συχνότητας (Εικ. 1.43) θα αντιπροσωπεύεται από ένα σύνολο συνιστωσών:

Σε αυτήν την περίπτωση, οι θετικές τιμές αντιστοιχούν σε μηδενικές αρχικές φάσεις και οι αρνητικές τιμές αντιστοιχούν σε αρχικές φάσεις ίσες με .

Έτσι, η αναλυτική έκφραση για το PPPVI θα είναι ίση με

Από την ανάλυση των γραφημάτων που φαίνονται στο Σχήμα 1.43 προκύπτει:

· Το φάσμα PPPVI είναι διακριτό, αποτελούμενο από μεμονωμένες αρμονικές με συχνότητα .

· Ο φάκελος ASF αλλάζει σύμφωνα με το νόμο.

· Η μέγιστη τιμή του φακέλου στο είναι ίση με την τιμή του σταθερού στοιχείου.

· Οι αρχικές φάσεις των αρμονικών εντός των περιττών λοβών είναι ίσες με 0, εντός των ζυγών λοβών.

· Ο αριθμός των αρμονικών σε κάθε λοβό είναι ίσος με .

Πλάτος φάσματος σήματος στο 90% της ενέργειας σήματος

· Βάση σήματος, οπότε το σήμα είναι απλό.

Εάν αλλάξετε τη διάρκεια των παλμών ή τη συχνότητα επανάληψης τους φά(περίοδος), τότε θα αλλάξουν οι παράμετροι του φάσματος και του ASF του.

Το σχήμα 1.43 δείχνει ένα παράδειγμα αλλαγής του σήματος και του ASF του όταν η διάρκεια του παλμού διπλασιάζεται.

Περιοδικές ακολουθίες ορθογώνιων παλμών βίντεο και οι παράμετροι ASF τους, Τ,. Και , Τ, φαίνονται στο σχήμα 1.44.

Από την ανάλυση των γραφημάτων που δίνονται προκύπτει:

1. Για PPPVI με διάρκεια παλμού:

· Αναλογία δασμών q=4, επομένως, 3 αρμονικές συγκεντρώνονται σε κάθε λοβό.

· Συχνότητα της k-ης αρμονικής.

· Πλάτος φάσματος σήματος σε επίπεδο ενέργειας 90%.

Η σταθερή συνιστώσα ισούται με

2. Για PPPVI με διάρκεια παλμού:

· Αναλογία δασμών q= 2, επομένως, μέσα σε κάθε λοβό υπάρχει 1 αρμονική.

· Η συχνότητα της k-ης αρμονικής παραμένει αμετάβλητη.

· Το πλάτος του φάσματος σήματος στο επίπεδο του 90% της ενέργειάς του μειώθηκε κατά 2 φορές.

· Η σταθερή συνιστώσα αυξήθηκε κατά 2 φορές.

Έτσι, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι με την αύξηση της διάρκειας του παλμού, το ASF «συμπιέζεται» κατά μήκος του άξονα τεταγμένων (το πλάτος του φάσματος του σήματος μειώνεται), ενώ τα πλάτη των φασματικών συνιστωσών αυξάνονται. Οι αρμονικές συχνότητες δεν αλλάζουν.

Στην Εικόνα 1.44. Παρουσιάζεται ένα παράδειγμα αλλαγής του σήματος και του ASF του με αύξηση της περιόδου επανάληψης κατά 4 φορές (μείωση του ρυθμού επανάληψης κατά 4 φορές).

γ) το εύρος του φάσματος σήματος στο επίπεδο του 90% της ενέργειάς του δεν έχει αλλάξει.

δ) η σταθερή συνιστώσα μειώθηκε κατά 4 φορές.

Έτσι, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι με την αύξηση της περιόδου επανάληψης (μείωση της συχνότητας επανάληψης), εμφανίζεται "συμπίεση" στο ASF κατά μήκος του άξονα συχνότητας (τα πλάτη των αρμονικών μειώνονται με την αύξηση του αριθμού τους σε κάθε λοβό) . Το πλάτος του φάσματος σήματος δεν αλλάζει. Μια περαιτέρω μείωση της συχνότητας επανάληψης (αύξηση της περιόδου επανάληψης) θα οδηγήσει (στο ) σε μείωση των πλάτη των αρμονικών σε απειροελάχιστες τιμές. Σε αυτή την περίπτωση, το σήμα θα μετατραπεί σε ενιαίο και κατά συνέπεια το φάσμα θα γίνει συνεχές.

Ας εξετάσουμε μια περιοδική ακολουθία ορθογώνιων παλμών με περίοδο T, διάρκεια παλμού t u και μέγιστη τιμή. Ας βρούμε την επέκταση σειράς ενός τέτοιου σήματος επιλέγοντας την αρχή των συντεταγμένων, όπως φαίνεται στο Σχ. 15. Στην περίπτωση αυτή, η συνάρτηση είναι συμμετρική ως προς τον άξονα τεταγμένων, δηλ. όλοι οι συντελεστές των ημιτονοειδών συνιστωσών = 0, και μόνο οι συντελεστές πρέπει να υπολογιστούν.

σταθερό συστατικό

(2.28)

Η σταθερή συνιστώσα είναι η μέση τιμή κατά τη διάρκεια της περιόδου, δηλ. είναι το εμβαδόν του παλμού διαιρούμενο με ολόκληρη την περίοδο, δηλ. , δηλ. το ίδιο που συνέβη με έναν αυστηρό τυπικό υπολογισμό (2.28).

Ας θυμηθούμε ότι η συχνότητα της πρώτης αρμονικής είναι ¦ 1 = , όπου T είναι η περίοδος του ορθογώνιου σήματος. Απόσταση μεταξύ αρμονικών D¦=¦ 1. Εάν ο αρμονικός αριθμός n αποδειχθεί τέτοιος ώστε το όρισμα του ημιτόνου να είναι , τότε το πλάτος αυτής της αρμονικής μηδενίζεται για πρώτη φορά. Αυτή η προϋπόθεση ικανοποιείται όταν . Ο αρμονικός αριθμός στον οποίο το πλάτος του εξαφανίζεται για πρώτη φορά ονομάζεται "πρώτο μηδέν"και να το χαρακτηρίσετε με το γράμμα Ν, τονίζοντας τις ειδικές ιδιότητες αυτής της αρμονικής:

Από την άλλη πλευρά, ο κύκλος λειτουργίας S των παλμών είναι ο λόγος της περιόδου T προς τη διάρκεια του παλμού t u, δηλ. . Επομένως, το «πρώτο μηδέν» είναι αριθμητικά ίσο με τον κύκλο λειτουργίας του παλμού N=S. Δεδομένου ότι το ημίτονο πηγαίνει στο μηδέν για όλες τις τιμές του ορίσματος που είναι πολλαπλάσια του p, τα πλάτη όλων των αρμονικών με αριθμούς που είναι πολλαπλάσια του αριθμού του «πρώτου μηδέν» πηγαίνουν επίσης στο μηδέν. Δηλαδή, στο , όπου κ– οποιοδήποτε ακέραιο. Έτσι, για παράδειγμα, από τις (2.22) και (2.23) προκύπτει ότι το φάσμα των ορθογώνιων παλμών με κύκλο λειτουργίας 2 αποτελείται μόνο από περιττές αρμονικές. Επειδή η S=2, έπειτα Ν=2, δηλ. το πλάτος της δεύτερης αρμονικής πηγαίνει στο μηδέν για πρώτη φορά - αυτό είναι το "πρώτο μηδέν". Αλλά τότε τα πλάτη όλων των άλλων αρμονικών με αριθμούς διαιρούμενους με το 2, δηλ. όλα τα άρτια πρέπει επίσης να πάνε στο μηδέν. Με τον κύκλο λειτουργίας S=3, τα μηδενικά πλάτη θα είναι στις 3, 6, 9, 12, ... αρμονικές.

Με την αύξηση του κύκλου λειτουργίας, το «πρώτο μηδέν» μετατοπίζεται στην περιοχή των αρμονικών με υψηλότερους αριθμούς και, κατά συνέπεια, ο ρυθμός μείωσης των αρμονικών πλάτη μειώνεται. Απλός υπολογισμός του πλάτους της πρώτης αρμονικής στο U m=100V για κύκλο λειτουργίας μικρό=2, U m 1=63,7V, στο μικρό=5, U m 1=37,4V και σε μικρό=10, U m 1=19,7V, δηλ. Καθώς ο κύκλος λειτουργίας αυξάνεται, το πλάτος της πρώτης αρμονικής μειώνεται απότομα. Αν βρούμε τον λόγο πλάτους, για παράδειγμα, της 5ης αρμονικής U m 5στο πλάτος της πρώτης αρμονικής U m 1, στη συνέχεια για μικρό=2, U m 5/U m 1=0,2 και για μικρό=10, U m 5 / U m 1 = 0,9, δηλ. ο ρυθμός εξασθένησης υψηλότερων αρμονικών μειώνεται με την αύξηση του κύκλου λειτουργίας.

Έτσι, με την αύξηση του κύκλου λειτουργίας, το φάσμα μιας ακολουθίας ορθογώνιων παλμών γίνεται πιο ομοιόμορφο.

Λογοτεχνία: [L.1], σελ. 40

Ως παράδειγμα, δίνουμε την επέκταση της σειράς Fourier μιας περιοδικής ακολουθίας ορθογώνιων παλμών με πλάτος, διάρκεια και περίοδο επανάληψης, συμμετρικά περίπου μηδέν, δηλ.

, (2.10)

Εδώ

Η επέκταση ενός τέτοιου σήματος σε μια σειρά Fourier δίνει

, (2.11)

πού είναι ο κύκλος λειτουργίας.

Για να απλοποιήσετε τη σημειογραφία, μπορείτε να εισαγάγετε τη σημειογραφία

, (2.12)

Τότε το (2.11) θα γραφεί ως εξής

, (2.13)

Στο Σχ. Το 2.3 δείχνει μια ακολουθία ορθογώνιων παλμών. Το φάσμα της ακολουθίας, όπως και κάθε άλλο περιοδικό σήμα, είναι διακριτής (γραμμής) φύσης.

Το περίβλημα του φάσματος (Εικ. 2.3, β) είναι ανάλογο . Η απόσταση κατά μήκος του άξονα συχνότητας μεταξύ δύο παρακείμενων στοιχείων φάσματος είναι , και μεταξύ δύο μηδενικών τιμών (το πλάτος του λοβού του φάσματος) είναι . Ο αριθμός των αρμονικών στοιχείων σε έναν λοβό, συμπεριλαμβανομένης της μηδενικής τιμής στα δεξιά στο σχήμα, είναι , όπου το πρόσημο σημαίνει στρογγυλοποίηση στον πλησιέστερο ακέραιο αριθμό, μικρότερος (αν ο κύκλος λειτουργίας είναι κλασματικός αριθμός) ή (εάν ο κύκλος λειτουργίας είναι μια ακέραια τιμή). Καθώς η περίοδος αυξάνεται, η θεμελιώδης συχνότητα μειώνεται, οι φασματικές συνιστώσες στο διάγραμμα πλησιάζουν μεταξύ τους, μειώνονται επίσης τα πλάτη των αρμονικών. Σε αυτή την περίπτωση, διατηρείται το σχήμα του φακέλου.

Κατά την επίλυση πρακτικών προβλημάτων φασματικής ανάλυσης, χρησιμοποιούνται κυκλικές συχνότητες αντί για γωνιακές συχνότητες , μετρημένο σε Hertz. Προφανώς, η απόσταση μεταξύ γειτονικών αρμονικών στο διάγραμμα θα είναι , και το πλάτος ενός λοβού φάσματος θα είναι . Αυτές οι τιμές παρουσιάζονται σε παρένθεση στο γράφημα.

Στην πρακτική ραδιομηχανική, στις περισσότερες περιπτώσεις, αντί της φασματικής αναπαράστασης (Εικ. 2.3, β), χρησιμοποιούνται φασματικά διαγράμματα του πλάτους και των φασμάτων φάσης. Το φάσμα πλάτους μιας ακολουθίας ορθογώνιων παλμών φαίνεται στο Σχ. 2.3, γ.

Προφανώς, το περίβλημα του φάσματος πλάτους είναι ανάλογο .

Όσον αφορά το φάσμα φάσεων (Εικ. 2.3, δ), πιστεύεται ότι οι αρχικές φάσεις των αρμονικών συνιστωσών αλλάζουν απότομα κατά την -π όταν αλλάζει το σήμα του φακέλου sinc kπ/q. Οι αρχικές φάσεις των αρμονικών του πρώτου λοβού θεωρούνται μηδενικές. Τότε θα είναι οι αρχικές φάσεις των αρμονικών του δεύτερου λοβού φ = -π , τρίτο πέταλο φ = -2πκαι τα λοιπά.

Ας εξετάσουμε μια άλλη αναπαράσταση της σειράς Fourier του σήματος. Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιούμε τον τύπο του Euler

.

Σύμφωνα με αυτόν τον τύπο, η kth συνιστώσα (2.9) της επέκτασης του σήματος σε μια σειρά Fourier μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής

; . (2.15)

Εδώ οι ποσότητες και είναι σύνθετες και αντιπροσωπεύουν τα σύνθετα πλάτη των συνιστωσών του φάσματος. Μετά η σειρά

Ο Fourier (2.8) λαμβάνοντας υπόψη το (2.14) θα λάβει την παρακάτω μορφή

, (2.16)

, (2.17)

Είναι εύκολο να επαληθευτεί ότι η επέκταση (2.16) πραγματοποιείται από την άποψη των συναρτήσεων βάσης , τα οποία είναι επίσης ορθογώνια στο διάστημα , δηλ.

Η έκφραση (2.16) είναι σύνθετη μορφήΣειρά Fourier, η οποία εκτείνεται σε αρνητικές συχνότητες. Ποσότητες και , όπου δηλώνει το μιγαδικό συζυγές μιας ποσότητας, λέγονται πολύπλοκα πλάτηφάσμα Επειδή είναι σύνθετη ποσότητα, προκύπτει από την (2.15) ότι

Και .

Τότε το σύνολο αποτελεί το φάσμα πλάτους και το σύνολο αποτελεί το φάσμα φάσης του σήματος.

Στο Σχ. Το σχήμα 2.4 δείχνει ένα φασματικό διάγραμμα του φάσματος της ακολουθίας ορθογώνιων παλμών που συζητήθηκε παραπάνω, που αντιπροσωπεύεται από μια σύνθετη σειρά Fourier

Το φάσμα έχει επίσης χαρακτήρα γραμμής, αλλά σε αντίθεση με τα φάσματα που εξετάστηκαν προηγουμένως, προσδιορίζεται τόσο στην περιοχή των θετικών όσο και στην περιοχή των αρνητικών συχνοτήτων. Δεδομένου ότι είναι μια άρτια συνάρτηση του ορίσματος, το φασματικό διάγραμμα είναι συμμετρικό περίπου μηδέν.

Με βάση το (2.15), μπορούμε να καθορίσουμε μια αντιστοιχία μεταξύ των συντελεστών και της επέκτασης (2.3). Επειδή

Και ,

τότε ως αποτέλεσμα παίρνουμε

. (2.18)

Οι εκφράσεις (2.5) και (2.18) σας επιτρέπουν να βρείτε τις τιμές σε πρακτικούς υπολογισμούς.

Ας δώσουμε μια γεωμετρική ερμηνεία της σύνθετης μορφής της σειράς Fourier. Ας επιλέξουμε την kth συνιστώσα του φάσματος σήματος. Σε μιγαδική μορφή, το kth συστατικό περιγράφεται από τον τύπο

όπου και καθορίζονται από τις εκφράσεις (2.15).

Στο μιγαδικό επίπεδο, καθένας από τους όρους στο (2.19) αναπαρίσταται ως διανύσματα μήκους , περιστρέφεται υπό γωνία και σε σχέση με τον πραγματικό άξονα και περιστρέφεται σε αντίθετες κατευθύνσεις με συχνότητα (Εικ. 2.5).

Προφανώς, το άθροισμα αυτών των διανυσμάτων δίνει ένα διάνυσμα που βρίσκεται στον πραγματικό άξονα του οποίου το μήκος είναι . Αλλά αυτό το διάνυσμα αντιστοιχεί στην αρμονική συνιστώσα

Όσον αφορά τις προβολές των διανυσμάτων στον νοητό άξονα, αυτές οι προβολές έχουν ίσα μήκη, αλλά αντίθετες κατευθύνσεις και άθροισμα είναι μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι τα σήματα που παρουσιάζονται σε σύνθετη μορφή (2.16) είναι στην πραγματικότητα πραγματικά σήματα. Με άλλα λόγια, η σύνθετη μορφή της σειράς Fourier είναι μαθηματικόςμια αφαίρεση που είναι πολύ βολική για την επίλυση ορισμένων προβλημάτων φασματικής ανάλυσης. Επομένως, μερικές φορές ονομάζεται το φάσμα που ορίζεται από την τριγωνομετρική σειρά Fourier φυσικό φάσμα, και η σύνθετη μορφή της σειράς Fourier είναι μαθηματικό φάσμα.

Και εν κατακλείδι, θα εξετάσουμε το θέμα της ενέργειας και της κατανομής ισχύος στο φάσμα ενός περιοδικού σήματος. Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιούμε την ισότητα του Parseval (1,42). Όταν το σήμα επεκτείνεται σε μια τριγωνομετρική σειρά Fourier, η έκφραση (1.42) παίρνει τη μορφή

.

Ενέργεια συνεχούς ρεύματος

,

και την ενέργεια της kth αρμονικής

.

Στη συνέχεια η ενέργεια του σήματος

. (2.20)

Επειδή μέση ισχύς σήματος

,

στη συνέχεια λαμβάνοντας υπόψη (2.18)

. (2.21)

Όταν το σήμα επεκτείνεται σε μια σύνθετη σειρά Fourier, η έκφραση (1.42) παίρνει τη μορφή

,

Οπου
- ενέργεια της kth αρμονικής.

Η ενέργεια του σήματος σε αυτή την περίπτωση

,

και η μέση ισχύς του

.

Από τις παραπάνω εκφράσεις προκύπτει ότι η ενέργεια ή η μέση ισχύς της k-ης φασματικής συνιστώσας του μαθηματικού φάσματος είναι η μισή από την ενέργεια ή την ισχύ της αντίστοιχης φασματικής συνιστώσας του φυσικού φάσματος. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι το φυσικό φάσμα κατανέμεται εξίσου μεταξύ του μαθηματικού φάσματος.

-τ και /2

τ και /2

Τ

t

U 0

S(t)

Εργασία Νο. 1, ομάδα RI – 210701

Από την έξοδο της πηγής μηνυμάτων λαμβάνονται σήματα που μεταφέρουν πληροφορίες, καθώς και σήματα ρολογιού που χρησιμοποιούνται για το συγχρονισμό της λειτουργίας του πομπού και του δέκτη του συστήματος μετάδοσης. Τα σήματα πληροφοριών έχουν τη μορφή μη περιοδικών και τα σήματα ρολογιού - μια περιοδική ακολουθία παλμών.

Για να αξιολογήσουμε σωστά τη δυνατότητα μετάδοσης τέτοιων παλμών μέσω καναλιών επικοινωνίας, θα προσδιορίσουμε τη φασματική τους σύνθεση. Ένα περιοδικό σήμα με τη μορφή παλμών οποιουδήποτε σχήματος μπορεί να επεκταθεί σε μια σειρά Fourier σύμφωνα με το (7).

Σήματα διαφόρων σχημάτων χρησιμοποιούνται για τη μετάδοση εναέριων και καλωδιακών γραμμών επικοινωνίας. Η επιλογή της μιας ή της άλλης μορφής εξαρτάται από τη φύση των μηνυμάτων που μεταδίδονται, το φάσμα συχνοτήτων των σημάτων και τις παραμέτρους συχνότητας και χρόνου των σημάτων. Τα σήματα που έχουν σχήμα κοντά σε ορθογώνιους παλμούς χρησιμοποιούνται ευρέως στην τεχνολογία μετάδοσης διακριτών μηνυμάτων.

Ας υπολογίσουμε το φάσμα, δηλ. ένα σύνολο σταθερών πλατών και

αρμονικές συνιστώσες περιοδικών ορθογώνιων παλμών (Εικόνα 4,α) με διάρκεια και περίοδο. Εφόσον το σήμα είναι μια άρτια συνάρτηση του χρόνου, τότε στην έκφραση (3) εξαφανίζονται όλα τα ακόμη αρμονικά συστατικά ( =0), και τα περιττά στοιχεία λαμβάνουν τις ακόλουθες τιμές:

(10)

Η σταθερή συνιστώσα ισούται με

(11)

Για σήμα 1:1 (τηλεγραφικά σημεία) Εικόνα 4a:

,
. (12)

Ενότητες των πλατών των φασματικών συνιστωσών μιας ακολουθίας ορθογώνιων παλμών με τελεία
φαίνονται στο Σχ. 4, β. Ο άξονας της τετμημένης δείχνει τη συχνότητα επανάληψης του κύριου παλμού
() και συχνότητες περιττών αρμονικών συνιστωσών
,
και τα λοιπά. Το περίβλημα του φάσματος αλλάζει σύμφωνα με το νόμο.

Καθώς η περίοδος αυξάνεται σε σύγκριση με τη διάρκεια του παλμού, ο αριθμός των αρμονικών συνιστωσών στη φασματική σύνθεση του περιοδικού σήματος αυξάνεται. Για παράδειγμα, για ένα σήμα με τελεία (Εικόνα 4, γ), βρίσκουμε ότι η σταθερή συνιστώσα είναι ίση με

Στη ζώνη συχνοτήτων από το μηδέν έως τη συχνότητα υπάρχουν πέντε αρμονικές συνιστώσες (Εικόνα 4, δ), ενώ υπάρχει μόνο μία παλίρροια.

Με περαιτέρω αύξηση της περιόδου επανάληψης παλμού, ο αριθμός των αρμονικών συνιστωσών γίνεται όλο και μεγαλύτερος. Στην ακραία περίπτωση όταν
το σήμα γίνεται μια μη περιοδική συνάρτηση του χρόνου, ο αριθμός των αρμονικών συνιστωσών του στη ζώνη συχνοτήτων από το μηδέν στη συχνότητα αυξάνεται στο άπειρο. θα βρίσκονται σε απείρως κοντινές αποστάσεις συχνότητας· το φάσμα του μη περιοδικού σήματος γίνεται συνεχές.

Εικόνα 4

2.4 Φάσμα ενός μόνο παλμού

Καθορίζεται ένας μόνο παλμός βίντεο (Εικόνα 5):

Εικόνα 5

Η μέθοδος της σειράς Fourier επιτρέπει μια βαθιά και γόνιμη γενίκευση, η οποία καθιστά δυνατή την απόκτηση των φασματικών χαρακτηριστικών των μη περιοδικών σημάτων. Για να γίνει αυτό, ας συμπληρώσουμε νοερά έναν μόνο παλμό με τους ίδιους παλμούς, ακολουθώντας περιοδικά μετά από ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα, και ας λάβουμε την περιοδική ακολουθία που μελετήθηκε προηγουμένως:

Ας φανταστούμε έναν μόνο παλμό ως άθροισμα περιοδικών παλμών με μεγάλη περίοδο.

, (14)

όπου είναι ακέραιοι.

Για περιοδική ταλάντωση

. (15)

Για να επιστρέψουμε σε μία μόνο ώθηση, ας κατευθύνουμε την περίοδο επανάληψης στο άπειρο: . Σε αυτή την περίπτωση είναι προφανές:

, (16)

Ας υποδηλώσουμε

. (17)

Η ποσότητα είναι το φασματικό χαρακτηριστικό (συνάρτηση) ενός μόνο παλμού (άμεσος μετασχηματισμός Fourier). Εξαρτάται μόνο από τη χρονική περιγραφή του παλμού και γενικά είναι πολύπλοκο:

, (18) όπου
; (19)

; (20)

,

Οπου
- μονάδα της φασματικής συνάρτησης (απόκριση πλάτους-συχνότητας του παλμού).

- γωνία φάσης, χαρακτηριστική συχνότητα φάσης του παλμού.

Ας βρούμε έναν μόνο παλμό χρησιμοποιώντας τον τύπο (8), χρησιμοποιώντας τη φασματική συνάρτηση:

.

Αν , παίρνουμε:

. (21)

Η έκφραση που προκύπτει ονομάζεται αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier.

Το ολοκλήρωμα Fourier ορίζει την ορμή ως ένα άπειρο άθροισμα απειροελάχιστων αρμονικών συνιστωσών που βρίσκονται σε όλες τις συχνότητες.

Σε αυτή τη βάση, μιλούν για ένα συνεχές (στερεό) φάσμα που διακατέχεται από έναν μόνο παλμό.

Η συνολική ενέργεια παλμού (η ενέργεια που απελευθερώνεται στην ενεργή αντίσταση Ohm) είναι ίση με

(22)

Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης, παίρνουμε

.

Το εσωτερικό ολοκλήρωμα είναι η φασματική συνάρτηση της ορμής που λαμβάνεται με το όρισμα -, δηλ. είναι μια σύνθετη συζευγμένη ποσότητα:

Ως εκ τούτου

Τετράγωνο μέτρο (το γινόμενο δύο συζευγμένων μιγαδικών αριθμών είναι ίσο με το τετράγωνο μέτρο).

Σε αυτή την περίπτωση, λέγεται συμβατικά ότι το φάσμα παλμών είναι διπλής όψης, δηλ. που βρίσκεται στη ζώνη συχνοτήτων από έως.

Η δεδομένη σχέση (23), η οποία καθιερώνει τη σύνδεση μεταξύ της ενέργειας του παλμού (σε αντίσταση 1 Ohm) και του συντελεστή της φασματικής λειτουργίας της, είναι γνωστή ως ισότητα του Parseval.

Δηλώνει ότι η ενέργεια που περιέχεται σε έναν παλμό είναι ίση με το άθροισμα των ενεργειών όλων των συστατικών του φάσματος του. Η ισότητα του Parseval χαρακτηρίζει μια σημαντική ιδιότητα των σημάτων. Εάν κάποιο επιλεκτικό σύστημα εκπέμπει μόνο μέρος του φάσματος σήματος, αποδυναμώνοντας τα άλλα στοιχεία του, αυτό σημαίνει ότι χάνεται μέρος της ενέργειας του σήματος.

Εφόσον το τετράγωνο του συντελεστή είναι άρτια συνάρτηση της μεταβλητής ολοκλήρωσης, τότε διπλασιάζοντας την τιμή του ολοκληρώματος, μπορεί κανείς να εισαγάγει ολοκλήρωση στην περιοχή από 0 έως:

. (24)

Σε αυτή την περίπτωση, λένε ότι το φάσμα παλμών βρίσκεται στη ζώνη συχνοτήτων από το 0 έως το και ονομάζεται μονόπλευρο.

Το ολοκλήρωμα στο (23) ονομάζεται ενεργειακό φάσμα (φασματική ενεργειακή πυκνότητα) του παλμού

Χαρακτηρίζει την κατανομή της ενέργειας κατά συχνότητα και η τιμή της στη συχνότητα είναι ίση με την ενέργεια παλμού ανά ζώνη συχνοτήτων ίση με 1 Hz. Κατά συνέπεια, η ενέργεια του παλμού είναι το αποτέλεσμα της ενσωμάτωσης του ενεργειακού φάσματος του σήματος σε όλο το φάσμα συχνοτήτων.Με άλλα λόγια, η ενέργεια είναι ίση με την περιοχή που περικλείεται μεταξύ της καμπύλης που απεικονίζει το ενεργειακό φάσμα του σήματος και του άξονα της τετμημένης.

Για να υπολογίσετε την κατανομή ενέργειας σε όλο το φάσμα, χρησιμοποιήστε τη σχετική συνάρτηση ολοκληρωμένης κατανομής ενέργειας (ενεργειακό χαρακτηριστικό)

, (25)

Οπου
- ενέργεια παλμού σε μια δεδομένη ζώνη συχνοτήτων από 0 έως, που χαρακτηρίζει το κλάσμα της ενέργειας παλμού συγκεντρωμένο στην περιοχή συχνοτήτων από 0 έως.

Για απλούς παλμούς διαφόρων σχημάτων, ισχύουν οι ακόλουθοι νόμοι: