Abschlussformeln Wird beim Reduzieren und Vereinfachen komplexer Ausdrücke sowie beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen verwendet.
Nummer C Ist N-te Potenz einer Zahl A Wann:
Operationen mit Abschlüssen.
1. Durch Multiplikation der Grade mit derselben Basis werden ihre Indikatoren addiert:
Bin·a n = a m + n .
2. Bei der Division von Graden mit gleicher Basis werden deren Exponenten subtrahiert:
3. Der Grad des Produkts von 2 oder mehr Faktoren ist gleich dem Produkt der Grade dieser Faktoren:
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. Der Grad eines Bruchs ist gleich dem Verhältnis der Grade des Dividenden und des Divisors:
(a/b) n = a n /b n .
5. Bei der Potenzierung werden die Exponenten multipliziert:
(am) n = am n .
Jede obige Formel gilt in der Richtung von links nach rechts und umgekehrt.
Zum Beispiel. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Operationen mit Wurzeln.
1. Die Wurzel des Produkts mehrerer Faktoren ist gleich dem Produkt der Wurzeln dieser Faktoren:
2. Die Wurzel eines Verhältnisses ist gleich dem Verhältnis des Dividenden und des Teilers der Wurzeln:
3. Bei der Potenzierung einer Wurzel reicht es aus, die Wurzelzahl auf diese Potenz zu erhöhen:
4. Wenn Sie den Wurzelgrad erhöhen N einmal und gleichzeitig einbauen N Die Potenz ist eine Wurzelzahl, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:
5. Wenn Sie den Wurzelgrad reduzieren N Extrahieren Sie gleichzeitig die Wurzel N-te Potenz einer Wurzelzahl, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:
Ein Abschluss mit einem negativen Exponenten. Die Potenz einer bestimmten Zahl mit einem nicht positiven (ganzzahligen) Exponenten ist definiert als eins geteilt durch die Potenz derselben Zahl mit einem Exponenten, der dem Absolutwert des nicht positiven Exponenten entspricht:
Formel Bin:a n =a m - n kann nicht nur für verwendet werden M> N, aber auch mit M< N.
Zum Beispiel. A4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Zur Formel Bin:a n =a m - n wurde fair, als m=n, das Vorhandensein von Nullgrad ist erforderlich.
Ein Abschluss mit einem Nullindex. Die Potenz jeder Zahl ungleich Null mit einem Exponenten von Null ist gleich eins.
Zum Beispiel. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Grad mit gebrochenem Exponenten. Eine reelle Zahl erhöhen A bis zum Grad m/n, müssen Sie die Wurzel extrahieren N Grad der M-te Potenz dieser Zahl A.
Excel verwendet integrierte Funktionen und mathematische Operatoren, um die Wurzel zu extrahieren und eine Zahl zu potenzieren. Schauen wir uns Beispiele an.
Beispiele für die SQRT-Funktion in Excel
Die integrierte Funktion SQRT gibt den positiven Quadratwurzelwert zurück. Im Menü „Funktionen“ befindet es sich in der Kategorie „Mathematik“.
Funktionssyntax: =ROOT(Zahl).
Das einzige und erforderliche Argument ist eine positive Zahl, für die die Funktion die Quadratwurzel berechnet. Wenn das Argument negativ ist, gibt Excel einen #NUM!-Fehler zurück.
Sie können einen bestimmten Wert oder einen Verweis auf eine Zelle mit einem numerischen Wert als Argument angeben.
Schauen wir uns Beispiele an.
Die Funktion hat die Quadratwurzel der Zahl 36 zurückgegeben. Das Argument ist ein bestimmter Wert.
Die ABS-Funktion gibt den Absolutwert von -36 zurück. Seine Verwendung ermöglichte es uns, Fehler beim Extrahieren der Quadratwurzel einer negativen Zahl zu vermeiden.
Die Funktion zog die Quadratwurzel aus der Summe von 13 und dem Wert von Zelle C1.
Potenzierungsfunktion in Excel
Funktionssyntax: =POWER(Wert, Zahl). Beide Argumente sind erforderlich.
Wert ist ein beliebiger reeller numerischer Wert. Eine Zahl ist ein Indikator für die Potenz, mit der ein bestimmter Wert erhöht werden muss.
Schauen wir uns Beispiele an.
In Zelle C2 - das Ergebnis der Quadrierung der Zahl 10.
Die Funktion gab die auf ¾ erhöhte Zahl 100 zurück.
Potenzierung mit Operator
Um in Excel eine Zahl zu potenzieren, können Sie den mathematischen Operator „^“ verwenden. Um es einzugeben, drücken Sie Umschalt + 6 (mit englischem Tastaturlayout).
Damit Excel die eingegebenen Informationen als Formel behandeln kann, wird zunächst das Zeichen „=“ platziert. Als nächstes kommt die Zahl, die potenziert werden muss. Und nach dem „^“-Zeichen steht der Wert des Grades.
Anstelle eines beliebigen Werts dieser mathematischen Formel können Sie auch Verweise auf Zellen mit Zahlen verwenden.
Dies ist praktisch, wenn Sie mehrere Werte erstellen müssen.
Indem wir die Formel auf die gesamte Spalte kopierten, kamen wir schnell zu den Ergebnissen einer Potenzierung der Zahlen in Spalte A.
Extrahieren der n-ten Wurzeln
ROOT ist die Quadratwurzelfunktion in Excel. Wie extrahiere ich die Wurzel des 3., 4. und anderer Grade?
Erinnern wir uns an eines der mathematischen Gesetze: Um die n-te Wurzel zu ziehen, müssen Sie die Zahl auf die Potenz 1/n erhöhen.
Um beispielsweise die Kubikwurzel zu ziehen, potenzieren wir die Zahl mit 1/3.
Lassen Sie uns die Formel verwenden, um in Excel Wurzeln unterschiedlichen Grades zu extrahieren.
Die Formel gab den Wert der Kubikwurzel der Zahl 21 zurück. Zur Potenzierung in eine gebrochene Potenz wurde der Operator „^“ verwendet.
Herzlichen Glückwunsch: Heute beschäftigen wir uns mit Wurzeln – einem der umwerfendsten Themen in der 8. Klasse. :)
Viele Menschen sind verwirrt über Wurzeln, nicht weil sie komplex sind (was daran so kompliziert ist – ein paar Definitionen und ein paar weitere Eigenschaften), sondern weil in den meisten Schulbüchern Wurzeln durch einen solchen Dschungel definiert werden, dass nur die Autoren der Lehrbücher selbst können diese Schrift verstehen. Und selbst dann nur mit einer Flasche gutem Whiskey. :)
Deshalb werde ich jetzt die korrekteste und kompetenteste Definition einer Wurzel geben – die einzige, die Sie sich wirklich merken sollten. Und dann erkläre ich: Warum das alles nötig ist und wie man es in der Praxis umsetzt.
Aber erinnern Sie sich zunächst an einen wichtigen Punkt, den viele Lehrbuch-Compiler aus irgendeinem Grund „vergessen“:
Wurzeln können geraden Grades (unser Favorit $\sqrt(a)$ sowie alle Arten von $\sqrt(a)$ und geraden $\sqrt(a)$) und ungeraden Grades (alle Arten von $\sqrt) sein (a)$, $\ sqrt(a)$ usw.). Und die Definition einer Wurzel ungeraden Grades unterscheidet sich etwas von der einer geraden.
Wahrscheinlich 95 % aller Fehler und Missverständnisse, die mit Wurzeln verbunden sind, verbergen sich in diesem verdammten „etwas anderen“. Lassen Sie uns also die Terminologie ein für alle Mal klären:
Definition. Sogar Wurzel N aus der Zahl $a$ ist beliebig nicht negativ Die Zahl $b$ ist so, dass $((b)^(n))=a$. Und die ungerade Wurzel derselben Zahl $a$ ist im Allgemeinen jede Zahl $b$, für die dieselbe Gleichheit gilt: $((b)^(n))=a$.
In jedem Fall wird die Wurzel so bezeichnet:
\(A)\]
Die Zahl $n$ wird in einer solchen Notation als Wurzelexponent bezeichnet, und die Zahl $a$ wird als Wurzelausdruck bezeichnet. Insbesondere für $n=2$ erhalten wir unsere „Lieblings“-Quadratwurzel (übrigens ist dies eine Wurzel geraden Grades) und für $n=3$ erhalten wir eine Kubikwurzel (ungerade Grad). kommt auch oft in Problemen und Gleichungen vor.
Beispiele. Klassische Beispiele für Quadratwurzeln:
\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(align)\]
Übrigens, $\sqrt(0)=0$ und $\sqrt(1)=1$. Das ist ziemlich logisch, da $((0)^(2))=0$ und $((1)^(2))=1$.
Auch Würfelwurzeln kommen häufig vor – vor ihnen muss man keine Angst haben:
\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(align)\]
Nun, ein paar „exotische Beispiele“:
\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(align)\]
Wenn Sie den Unterschied zwischen einem geraden und einem ungeraden Grad nicht verstehen, lesen Sie die Definition noch einmal. Es ist sehr wichtig!
In der Zwischenzeit werden wir uns mit einer unangenehmen Eigenschaft von Wurzeln befassen, weshalb wir eine separate Definition für gerade und ungerade Exponenten einführen mussten.
Warum braucht es überhaupt Wurzeln?
Nach dem Lesen der Definition werden sich viele Schüler fragen: „Was haben die Mathematiker geraucht, als sie sich das ausgedacht haben?“ Und wirklich: Warum braucht es all diese Wurzeln überhaupt?
Um diese Frage zu beantworten, kehren wir noch einmal kurz in die Grundschule zurück. Denken Sie daran: In jenen fernen Zeiten, als die Bäume grüner und die Knödel schmackhafter waren, ging es uns vor allem darum, Zahlen richtig zu multiplizieren. Na ja, so etwas wie „fünf mal fünf – fünfundzwanzig“, das ist alles. Sie können Zahlen jedoch nicht in Paaren multiplizieren, sondern in Drillingen, Quadrupeln und im Allgemeinen ganzen Mengen:
\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]
Dies ist jedoch nicht der Punkt. Der Trick ist anders: Mathematiker sind faule Leute, daher fiel es ihnen schwer, die Multiplikation von zehn Fünfern so aufzuschreiben:
Deshalb haben sie sich Abschlüsse ausgedacht. Warum schreiben Sie die Anzahl der Faktoren nicht hochgestellt statt als lange Zeichenfolge? Etwas wie das:
Es ist sehr praktisch! Alle Berechnungen werden erheblich reduziert, und Sie müssen nicht viele Blätter Pergament und Notizbücher verschwenden, um etwa 5.183 aufzuschreiben. Diese Aufzeichnung wurde als Potenz einer Zahl bezeichnet; eine Reihe von Eigenschaften wurden darin gefunden, aber das Glück erwies sich als nur von kurzer Dauer.
Nach einer grandiosen Trinkparty, die nur zur „Entdeckung“ der Grade organisiert wurde, fragte plötzlich ein besonders hartnäckiger Mathematiker: „Was wäre, wenn wir den Grad einer Zahl kennen, die Zahl selbst aber unbekannt ist?“ Wenn wir nun tatsächlich wissen, dass eine bestimmte Zahl $b$, sagen wir, in der 5. Potenz 243 ergibt, wie können wir dann erraten, was die Zahl $b$ selbst ist?
Es stellte sich heraus, dass dieses Problem weitaus globaler war, als es auf den ersten Blick erscheinen mag. Denn es stellte sich heraus, dass es für die meisten „vorgefertigten“ Befugnisse keine solchen „Anfangszahlen“ gibt. Urteile selbst:
\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(align)\]
Was wäre, wenn $((b)^(3))=50$? Es stellt sich heraus, dass wir eine bestimmte Zahl finden müssen, die dreimal mit sich selbst multipliziert 50 ergibt. Aber was ist diese Zahl? Es ist eindeutig größer als 3, da 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Das ist Diese Zahl liegt irgendwo zwischen drei und vier, aber Sie werden nicht verstehen, was sie bedeutet.
Genau aus diesem Grund haben Mathematiker $n$-te Wurzeln erfunden. Genau aus diesem Grund wurde das Radikalzeichen $\sqrt(*)$ eingeführt. Um genau die Zahl $b$ zu bezeichnen, die uns im angegebenen Ausmaß einen zuvor bekannten Wert liefert
\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]
Ich widerspreche nicht: Oft sind diese Wurzeln leicht zu berechnen – wir haben oben mehrere solcher Beispiele gesehen. Wenn Sie jedoch an eine beliebige Zahl denken und dann versuchen, die Wurzel eines beliebigen Grades daraus zu ziehen, werden Sie dennoch in den meisten Fällen eine schreckliche Enttäuschung erleben.
Was ist dort! Selbst das einfachste und bekannteste $\sqrt(2)$ kann nicht in unserer üblichen Form dargestellt werden – als ganze Zahl oder Bruch. Und wenn Sie diese Zahl in einen Taschenrechner eingeben, sehen Sie Folgendes:
\[\sqrt(2)=1.414213562...\]
Wie Sie sehen, gibt es nach dem Komma eine endlose Folge von Zahlen, die keiner Logik gehorchen. Sie können diese Zahl natürlich runden, um sie schnell mit anderen Zahlen vergleichen zu können. Zum Beispiel:
\[\sqrt(2)=1,4142...\ca. 1,4 \lt 1,5\]
Oder hier ist ein anderes Beispiel:
\[\sqrt(3)=1,73205...\ca. 1,7 \gt 1,5\]
Aber alle diese Rundungen sind erstens ziemlich grob; und zweitens muss man auch in der Lage sein, mit Näherungswerten zu arbeiten, sonst kann man sich eine Menge nicht offensichtlicher Fehler einfangen (Übrigens muss man die Fähigkeit zum Vergleichen und Runden im Profil Unified State Examination testen).
Daher kommt man in der ernsthaften Mathematik nicht ohne Wurzeln aus – sie sind die gleichen gleichen Vertreter der Menge aller reellen Zahlen $\mathbb(R)$, genau wie die uns seit langem bekannten Brüche und ganzen Zahlen.
Die Unfähigkeit, eine Wurzel als Bruch der Form $\frac(p)(q)$ darzustellen, bedeutet, dass diese Wurzel keine rationale Zahl ist. Solche Zahlen werden irrational genannt und können nur mit Hilfe eines Radikals oder anderer speziell dafür entwickelter Konstruktionen (Logarithmen, Potenzen, Grenzwerte usw.) genau dargestellt werden. Aber dazu ein anderes Mal mehr.
Betrachten wir einige Beispiele, bei denen nach all den Berechnungen immer noch irrationale Zahlen in der Antwort verbleiben.
\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\ca. 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\ca. -1,2599... \\ \end(align)\]
Natürlich ist es anhand des Aussehens der Wurzel fast unmöglich zu erraten, welche Zahlen nach dem Komma kommen werden. Sie können sich jedoch auf einen Taschenrechner verlassen, aber selbst der fortschrittlichste Datumsrechner liefert uns nur die ersten paar Ziffern einer irrationalen Zahl. Daher ist es viel korrekter, die Antworten in der Form $\sqrt(5)$ und $\sqrt(-2)$ zu schreiben.
Genau aus diesem Grund wurden sie erfunden. Um Antworten bequem aufzuzeichnen.
Warum werden zwei Definitionen benötigt?
Dem aufmerksamen Leser ist wahrscheinlich schon aufgefallen, dass alle in den Beispielen angegebenen Quadratwurzeln aus positiven Zahlen gezogen werden. Na ja, zumindest von Grund auf. Aber Kubikwurzeln lassen sich problemlos aus absolut jeder Zahl ziehen – sei es positiv oder negativ.
Warum passiert das? Schauen Sie sich den Graphen der Funktion $y=((x)^(2))$ an:
Der Graph einer quadratischen Funktion ergibt zwei Wurzeln: positiv und negativ Versuchen wir, $\sqrt(4)$ anhand dieses Diagramms zu berechnen. Dazu wird im Diagramm eine horizontale Linie $y=4$ gezeichnet (rot markiert), die die Parabel in zwei Punkten schneidet: $((x)_(1))=2$ und $((x )_(2)) =-2$. Das ist durchaus logisch, denn
Mit der ersten Zahl ist alles klar – sie ist positiv, also die Wurzel:
Aber was tun mit dem zweiten Punkt? Wie vier hat zwei Wurzeln gleichzeitig? Wenn wir die Zahl −2 quadrieren, erhalten wir schließlich auch 4. Warum dann nicht $\sqrt(4)=-2$ schreiben? Und warum sehen Lehrer solche Beiträge so an, als wollten sie dich auffressen? :)
Das Problem besteht darin, dass das Quad zwei Quadratwurzeln hat – positiv und negativ, wenn Sie keine zusätzlichen Bedingungen festlegen. Und jede positive Zahl wird auch zwei davon haben. Negative Zahlen haben jedoch überhaupt keine Wurzeln – dies ist aus demselben Diagramm ersichtlich, da die Parabel niemals unter die Achse fällt j, d.h. akzeptiert keine negativen Werte.
Ein ähnliches Problem tritt für alle Wurzeln mit geradem Exponenten auf:
- Streng genommen hat jede positive Zahl zwei Wurzeln mit geradem Exponenten $n$;
- Aus negativen Zahlen wird die Wurzel mit geradem $n$ überhaupt nicht extrahiert.
Deshalb wird in der Definition einer Wurzel geraden Grades $n$ ausdrücklich festgelegt, dass die Antwort eine nichtnegative Zahl sein muss. So beseitigen wir Unklarheiten.
Aber für ungerade $n$ gibt es kein solches Problem. Um dies zu sehen, schauen wir uns den Graphen der Funktion $y=((x)^(3))$ an:
Eine Würfelparabel kann jeden beliebigen Wert annehmen, sodass die Kubikwurzel aus jeder Zahl gezogen werden kann Aus dieser Grafik lassen sich zwei Schlussfolgerungen ziehen:
- Die Äste einer kubischen Parabel gehen im Gegensatz zu einer regulären Parabel in beide Richtungen – sowohl nach oben als auch nach unten – ins Unendliche. Unabhängig davon, auf welcher Höhe wir eine horizontale Linie zeichnen, wird diese Linie daher mit Sicherheit unser Diagramm schneiden. Folglich kann die Kubikwurzel immer aus absolut jeder Zahl gezogen werden;
- Darüber hinaus ist ein solcher Schnittpunkt immer eindeutig, sodass Sie nicht darüber nachdenken müssen, welche Zahl als „richtige“ Wurzel gilt und welche Sie ignorieren sollten. Aus diesem Grund ist es einfacher, Wurzeln für einen ungeraden Grad zu bestimmen als für einen geraden Grad (es ist keine Nichtnegativität erforderlich).
Schade, dass diese einfachen Dinge in den meisten Lehrbüchern nicht erklärt werden. Stattdessen beginnt unser Gehirn mit allen möglichen Rechenwurzeln und deren Eigenschaften aufzusteigen.
Ja, ich widerspreche nicht: Sie müssen auch wissen, was eine arithmetische Wurzel ist. Und darüber werde ich in einer separaten Lektion ausführlich sprechen. Heute werden wir auch darüber sprechen, denn ohne es wären alle Gedanken über Wurzeln der $n$-ten Multiplizität unvollständig.
Aber zuerst müssen Sie die Definition, die ich oben gegeben habe, klar verstehen. Sonst entsteht aufgrund der Fülle an Begriffen ein solches Durcheinander im Kopf, dass man am Ende überhaupt nichts mehr versteht.
Sie müssen lediglich den Unterschied zwischen geraden und ungeraden Indikatoren verstehen. Deshalb fassen wir noch einmal alles zusammen, was Sie über Wurzeln wirklich wissen müssen:
- Eine Wurzel geraden Grades existiert nur aus einer nicht negativen Zahl und ist selbst immer eine nicht negative Zahl. Für negative Zahlen ist eine solche Wurzel undefiniert.
- Aber die Wurzel eines ungeraden Grades existiert aus jeder Zahl und kann selbst eine beliebige Zahl sein: Für positive Zahlen ist sie positiv und für negative Zahlen ist sie, wie die Obergrenze andeutet, negativ.
Ist es schwer? Nein, es ist nicht schwierig. Es ist klar? Ja, es ist völlig offensichtlich! Nun üben wir also ein wenig mit den Berechnungen.
Grundlegende Eigenschaften und Einschränkungen
Wurzeln haben viele seltsame Eigenschaften und Einschränkungen – dies wird in einer separaten Lektion besprochen. Daher betrachten wir jetzt nur den wichtigsten „Trick“, der nur für Wurzeln mit geradem Index gilt. Schreiben wir diese Eigenschaft als Formel:
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\right|\]
Mit anderen Worten: Wenn wir eine Zahl gerade potenzieren und dann die Wurzel derselben Potenz ziehen, erhalten wir nicht die ursprüngliche Zahl, sondern ihren Modul. Dies ist ein einfacher Satz, der leicht bewiesen werden kann (es reicht aus, nichtnegative $x$ separat und dann negative separat zu betrachten). Lehrer reden ständig darüber, es steht in jedem Schulbuch. Doch sobald es darum geht, irrationale Gleichungen (also Gleichungen, die ein Wurzelzeichen enthalten) zu lösen, vergessen die Studierenden einhellig diese Formel.
Um das Problem im Detail zu verstehen, vergessen wir für eine Minute alle Formeln und versuchen, zwei Zahlen direkt zu berechnen:
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]
Das sind sehr einfache Beispiele. Die meisten Leute werden das erste Beispiel lösen, aber viele bleiben beim zweiten stecken. Um einen solchen Mist ohne Probleme zu lösen, sollten Sie immer die folgende Vorgehensweise in Betracht ziehen:
- Zunächst wird die Zahl auf die vierte Potenz erhöht. Nun, es ist ziemlich einfach. Sie erhalten eine neue Zahl, die sogar im Einmaleins zu finden ist;
- Und nun muss aus dieser neuen Zahl die vierte Wurzel gezogen werden. Diese. Es findet keine „Reduzierung“ von Wurzeln und Kräften statt – es handelt sich um sequentielle Aktionen.
Schauen wir uns den ersten Ausdruck an: $\sqrt(((3)^(4)))$. Natürlich müssen Sie zuerst den Ausdruck unter der Wurzel berechnen:
\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]
Dann extrahieren wir die vierte Wurzel der Zahl 81:
Machen wir nun dasselbe mit dem zweiten Ausdruck. Zuerst erhöhen wir die Zahl −3 in die vierte Potenz, was eine vierfache Multiplikation mit sich selbst erfordert:
\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ links(-3 \rechts)=81\]
Wir haben eine positive Zahl erhalten, da die Gesamtzahl der Minuspunkte im Produkt 4 beträgt und sie sich alle gegenseitig aufheben (schließlich ergibt ein Minus für ein Minus ein Plus). Dann extrahieren wir die Wurzel erneut:
Im Prinzip hätte diese Zeile nicht geschrieben werden können, da es selbstverständlich ist, dass die Antwort dieselbe sein würde. Diese. eine gerade Wurzel derselben geraden Potenz „verbrennt“ die Minuspunkte, und in diesem Sinne ist das Ergebnis nicht von einem regulären Modul zu unterscheiden:
\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \right|=3. \\ \end(align)\]
Diese Berechnungen stimmen gut mit der Definition einer Wurzel geraden Grades überein: Das Ergebnis ist immer nicht negativ, und das Wurzelzeichen enthält auch immer eine nicht negative Zahl. Andernfalls ist die Wurzel undefiniert.
Hinweis zum Ablauf
- Die Notation $\sqrt(((a)^(2)))$ bedeutet, dass wir zuerst die Zahl $a$ quadrieren und dann die Quadratwurzel des resultierenden Wertes ziehen. Daher können wir sicher sein, dass unter dem Wurzelzeichen immer eine nicht negative Zahl steht, da $((a)^(2))\ge in jedem Fall 0$ ist;
- Aber die Notation $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ bedeutet im Gegenteil, dass wir zuerst die Wurzel einer bestimmten Zahl $a$ ziehen und erst dann das Ergebnis quadrieren. Daher kann die Zahl $a$ auf keinen Fall negativ sein – dies ist eine zwingende Anforderung, die in der Definition enthalten ist.
Man sollte also auf keinen Fall Wurzeln und Grade gedankenlos reduzieren und damit angeblich den ursprünglichen Ausdruck „vereinfachen“. Denn wenn die Wurzel eine negative Zahl hat und ihr Exponent gerade ist, bekommen wir eine Menge Probleme.
Alle diese Probleme sind jedoch nur für gerade Indikatoren relevant.
Entfernen des Minuszeichens unter dem Wurzelzeichen
Natürlich haben auch Wurzeln mit ungeraden Exponenten ihre eigene Eigenschaft, die es bei geraden Exponenten prinzipiell nicht gibt. Nämlich:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
Kurz gesagt, Sie können das Minus unter dem Vorzeichen von Wurzeln ungeraden Grades entfernen. Dies ist eine sehr nützliche Eigenschaft, mit der Sie alle Nachteile „beseitigen“ können:
\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(align)\]
Diese einfache Eigenschaft vereinfacht viele Berechnungen erheblich. Jetzt brauchen Sie sich keine Sorgen mehr zu machen: Was wäre, wenn unter der Wurzel ein negativer Ausdruck verborgen wäre, sich aber herausstellte, dass der Grad an der Wurzel gerade war? Es genügt, alle Minuspunkte außerhalb der Wurzeln „wegzuwerfen“, woraufhin sie miteinander multipliziert, dividiert und im Allgemeinen viele verdächtige Dinge tun können, zu denen wir im Fall „klassischer“ Wurzeln garantiert führen werden ein Fehler.
Und hier kommt eine weitere Definition auf den Plan – dieselbe, mit der in den meisten Schulen das Studium irrationaler Ausdrücke beginnt. Und ohne das wäre unsere Argumentation unvollständig. Treffen!
Arithmetische Wurzel
Nehmen wir für einen Moment an, dass unter dem Wurzelzeichen nur positive Zahlen oder im Extremfall Null stehen können. Vergessen wir die geraden/ungeraden Indikatoren, vergessen wir alle oben gegebenen Definitionen – wir werden nur mit nichtnegativen Zahlen arbeiten. Was dann?
Und dann erhalten wir eine arithmetische Wurzel – sie überschneidet sich teilweise mit unseren „Standard“-Definitionen, weicht aber dennoch von ihnen ab.
Definition. Eine arithmetische Wurzel vom $n$-ten Grad einer nicht negativen Zahl $a$ ist eine nicht negative Zahl $b$, so dass $((b)^(n))=a$.
Wie wir sehen, geht es uns nicht mehr um Parität. Stattdessen trat eine neue Einschränkung auf: Der radikale Ausdruck ist jetzt immer nicht negativ, und die Wurzel selbst ist ebenfalls nicht negativ.
Um besser zu verstehen, wie sich die arithmetische Wurzel von der üblichen unterscheidet, werfen Sie einen Blick auf die Diagramme der quadratischen und kubischen Parabel, die wir bereits kennen:
Arithmetischer Wurzelsuchbereich – nicht negative Zahlen Wie Sie sehen, sind wir von nun an nur noch an den Diagrammteilen interessiert, die sich im ersten Koordinatenviertel befinden – wo die Koordinaten $x$ und $y$ positiv (oder zumindest Null) sind. Sie müssen sich den Indikator nicht mehr ansehen, um zu verstehen, ob wir das Recht haben, eine negative Zahl unter die Wurzel zu setzen oder nicht. Denn negative Zahlen werden grundsätzlich nicht mehr berücksichtigt.
Sie fragen sich vielleicht: „Warum brauchen wir eine so kastrierte Definition?“ Oder: „Warum kommen wir mit der oben angegebenen Standarddefinition nicht aus?“
Nun, ich werde nur eine Eigenschaft nennen, aufgrund derer die neue Definition angemessen wird. Zum Beispiel die Regel zur Potenzierung:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Bitte beachten Sie: Wir können den Wurzelausdruck beliebig potenzieren und gleichzeitig den Wurzelexponenten mit derselben Potenz multiplizieren – und das Ergebnis wird dieselbe Zahl sein! Hier sind Beispiele:
\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]
Was ist also die große Sache? Warum konnten wir das nicht früher machen? Hier ist der Grund. Betrachten wir einen einfachen Ausdruck: $\sqrt(-2)$ – diese Zahl ist in unserem klassischen Verständnis ganz normal, aber aus Sicht der arithmetischen Wurzel absolut inakzeptabel. Versuchen wir es umzuwandeln:
$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$
Wie Sie sehen, haben wir im ersten Fall das Minus unter dem Radikal entfernt (wir haben jedes Recht, da der Exponent ungerade ist), und im zweiten Fall haben wir die obige Formel verwendet. Diese. Mathematisch gesehen läuft alles nach den Regeln ab.
WTF?! Wie kann dieselbe Zahl sowohl positiv als auch negativ sein? Auf keinen Fall. Es ist nur so, dass die Potenzierungsformel, die für positive Zahlen und Null hervorragend funktioniert, bei negativen Zahlen völlige Ketzerei hervorruft.
Um diese Mehrdeutigkeit zu beseitigen, wurden arithmetische Wurzeln erfunden. Ihnen ist eine eigene große Lektion gewidmet, in der wir alle ihre Eigenschaften im Detail betrachten. Daher gehen wir jetzt nicht weiter darauf ein, die Lektion hat sich bereits als zu lang herausgestellt.
Algebraische Wurzel: für diejenigen, die mehr wissen wollen
Ich habe lange darüber nachgedacht, ob ich dieses Thema in einen separaten Absatz aufnehmen soll oder nicht. Am Ende habe ich beschlossen, es hier zu belassen. Dieses Material ist für diejenigen gedacht, die die Wurzeln noch besser verstehen wollen – nicht mehr auf dem durchschnittlichen „Schul“-Niveau, sondern auf einem Niveau nahe dem Olympia-Niveau.
Also: Neben der „klassischen“ Definition der $n$-ten Wurzel einer Zahl und der damit verbundenen Unterteilung in gerade und ungerade Exponenten gibt es eine „erwachsenere“ Definition, die überhaupt nicht auf Parität und andere Feinheiten angewiesen ist. Dies wird als algebraische Wurzel bezeichnet.
Definition. Die algebraische $n$-te Wurzel eines beliebigen $a$ ist die Menge aller Zahlen $b$, so dass $((b)^(n))=a$. Es gibt keine festgelegte Bezeichnung für solche Wurzeln, deshalb setzen wir einfach einen Strich oben drauf:
\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]
Der grundlegende Unterschied zur Standarddefinition zu Beginn der Lektion besteht darin, dass eine algebraische Wurzel keine bestimmte Zahl, sondern eine Menge ist. Und da wir mit reellen Zahlen arbeiten, gibt es diesen Satz nur in drei Typen:
- Leeres Set. Tritt auf, wenn Sie aus einer negativen Zahl eine algebraische Wurzel geraden Grades ermitteln müssen;
- Ein Satz, der aus einem einzelnen Element besteht. Alle Wurzeln ungerader Potenzen sowie Wurzeln gerader Potenzen von Null fallen in diese Kategorie;
- Schließlich kann die Menge zwei Zahlen enthalten – dieselben $((x)_(1))$ und $((x)_(2))=-((x)_(1))$, die wir auf der gesehen haben Graph quadratische Funktion. Dementsprechend ist eine solche Anordnung nur möglich, wenn aus einer positiven Zahl die Wurzel eines geraden Grades gezogen wird.
Der letzte Fall verdient eine genauere Betrachtung. Lassen Sie uns einige Beispiele zählen, um den Unterschied zu verstehen.
Beispiel. Werten Sie die Ausdrücke aus:
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
Lösung. Der erste Ausdruck ist einfach:
\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]
Es sind zwei Zahlen, die Teil der Menge sind. Weil jedes Quadrat eine Vier ergibt.
\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]
Hier sehen wir eine Menge, die nur aus einer Zahl besteht. Das ist durchaus logisch, da der Wurzelexponent ungerade ist.
Zum Schluss noch der letzte Ausdruck:
\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]
Wir haben ein leeres Set erhalten. Denn es gibt keine einzige reelle Zahl, die, wenn man sie auf die vierte (d. h. gerade!) Potenz erhöht, die negative Zahl −16 ergibt.
Schlussbemerkung. Bitte beachten Sie: Es ist kein Zufall, dass ich überall darauf hingewiesen habe, dass wir mit reellen Zahlen arbeiten. Da es auch komplexe Zahlen gibt, ist es durchaus möglich, dort $\sqrt(-16)$ zu berechnen, und viele andere seltsame Dinge.
Allerdings kommen komplexe Zahlen in modernen Mathematikkursen fast nie vor. Sie wurden aus den meisten Lehrbüchern entfernt, weil unsere Beamten das Thema für „zu schwer zu verstehen“ halten.
Das ist alles. In der nächsten Lektion werden wir uns alle wichtigen Eigenschaften von Wurzeln ansehen und schließlich lernen, wie man irrationale Ausdrücke vereinfacht. :)
Operationen mit Kräften und Wurzeln. Abschluss mit Negativ ,
Null und Bruch Indikator. Über Ausdrücke, die keine Bedeutung haben.
Operationen mit Abschlüssen.
1. Bei der Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis addieren sich deren Exponenten:
Bin · a n = a m + n .
2. Bei der Division von Graden mit derselben Basis, deren Exponenten werden abgezogen .
3. Der Grad des Produkts zweier oder mehrerer Faktoren ist gleich dem Produkt der Grade dieser Faktoren.
(ABC… ) n = ein n· b n · c n…
4. Der Grad eines Verhältnisses (Bruch) ist gleich dem Verhältnis der Grade von Dividend (Zähler) und Divisor (Nenner):
(a/b ) n = a n / b n .
5. Beim Erhöhen einer Potenz zu einer Potenz werden deren Exponenten multipliziert:
(Bin ) n = am n .
Alle oben genannten Formeln werden in beide Richtungen von links nach rechts und umgekehrt gelesen und ausgeführt.
BEISPIEL (2 · 3 · 5 / 15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .
Operationen mit Wurzeln. In allen folgenden Formeln ist das Symbol bedeutet arithmetische Wurzel(Der radikale Ausdruck ist positiv).
1. Die Wurzel des Produkts mehrerer Faktoren ist gleich dem Produkt Wurzeln dieser Faktoren:
2. Die Wurzel eines Verhältnisses ist gleich dem Verhältnis der Wurzeln des Dividenden und des Divisors:
3. Wenn man eine Wurzel zu einer Potenz erhebt, reicht es aus, sie auf diese Potenz zu erhöhen Wurzelzahl:
4. Wenn wir den Grad der Wurzel erhöhen M erhöhen, um M die te-Potenz eine Wurzelzahl ist, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:
5. Wenn wir den Grad der Wurzel reduzieren in M Extrahieren Sie die Wurzel einmal und gleichzeitig M Potenz einer Wurzelzahl, dann ist der Wert der Wurzel nicht wird sich verändern:
Erweiterung des Abschlussbegriffs. Bisher haben wir Grade nur mit natürlichen Exponenten betrachtet; aber Aktionen mit Grade und Wurzeln können auch dazu führen Negativ, null Und gebrochen Indikatoren. Alle diese Exponenten erfordern eine zusätzliche Definition.
Ein Abschluss mit einem negativen Exponenten. Potenz einer Zahl c Ein negativer (ganzzahliger) Exponent ist als eins geteilt definiert durch eine Potenz derselben Zahl mit einem Exponenten gleich dem AbsolutwertNegativindikator:
T Jetzt die Formel Bin: ein= Bin - N kann nicht nur für verwendet werdenM, mehr als N, aber auch mit M, weniger als N .
BEISPIEL A 4 :A 7 =a 4 - 7 =a - 3 .
Wenn wir die Formel wollenBin : ein= Bin - Nwar fair wannm = n, Wir brauchen eine Definition des Grades Null.
Ein Abschluss mit einem Nullindex. Die Potenz jeder Zahl ungleich Null mit dem Exponenten Null ist 1.
BEISPIELE. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Grad mit gebrochenem Exponenten. Eine reelle Zahl erhöhen und hoch m/n , müssen Sie die Wurzel extrahieren n-te Potenz von m -te Potenz dieser Zahl A :
Über Ausdrücke, die keine Bedeutung haben. Es gibt mehrere solcher Ausdrücke. irgendeine Nummer.
Wenn wir tatsächlich davon ausgehen, dass dieser Ausdruck einer Zahl entspricht X, dann gilt nach der Definition der Divisionsoperation: 0 = 0 · X. Aber diese Gleichheit tritt ein, wenn eine beliebige Zahl x, was bewiesen werden musste.
Fall 3.
0 0 - irgendeine Nummer.
Wirklich,
Lösung. Betrachten wir drei Hauptfälle:
1) X = 0 – Dieser Wert erfüllt diese Gleichung nicht
(Warum?).
2) wann X> 0 erhalten wir: x/x = 1, d.h. 1 = 1, was bedeutet
Was X- irgendeine Nummer; aber unter Berücksichtigung dessen in
In unserem Fall X> 0 lautet die AntwortX > 0 ;
3) wann X < 0 получаем: – x/x= 1, d.h. e . –1 = 1, also
In diesem Fall gibt es keine Lösung.
Auf diese Weise, X > 0.
Das Umwandeln und Vereinfachen mathematischer Ausdrücke erfordert oft den Übergang von Wurzeln zu Potenzen und umgekehrt. In diesem Artikel geht es darum, wie man eine Wurzel in einen Grad umwandelt und zurück. Es werden Theorie, praktische Beispiele und die häufigsten Fehler besprochen.
Übergang von Potenzen mit gebrochenem Exponenten zu Wurzeln
Nehmen wir an, wir haben eine Zahl mit einem Exponenten in Form eines gewöhnlichen Bruchs – a m n. Wie schreibt man einen solchen Ausdruck als Wurzel?
Die Antwort ergibt sich schon aus der Definition des Grades!
Definition
Eine positive Zahl a hoch m n ist die n-Wurzel der Zahl am .
In diesem Fall muss folgende Bedingung erfüllt sein:
a > 0 ; m ∈ ℤ ; n ∈ ℕ.
Die gebrochene Potenz von Null wird ähnlich definiert, allerdings wird in diesem Fall die Zahl m nicht als ganze Zahl, sondern als natürliche Zahl angenommen, so dass eine Division durch 0 nicht erfolgt:
0 m n = 0 m n = 0 .
Gemäß der Definition kann der Grad am n als Wurzel am n dargestellt werden.
Zum Beispiel: 3 2 5 = 3 2 5, 1 2 3 - 3 4 = 1 2 3 - 3 4.
Allerdings sollten wir, wie bereits erwähnt, die Bedingungen nicht vergessen: a > 0; m ∈ ℤ ; n ∈ ℕ.
Somit kann der Ausdruck - 8 1 3 nicht in der Form - 8 1 3 dargestellt werden, da die Notation - 8 1 3 einfach keinen Sinn ergibt - der Grad negativer Zahlen ist nicht definiert. Darüber hinaus ist die Wurzel selbst - 8 1 3 macht Sinn.
Der Übergang von Graden mit Ausdrücken in der Basis und gebrochenen Exponenten erfolgt in ähnlicher Weise über den gesamten Bereich der zulässigen Werte (im Folgenden VA genannt) der ursprünglichen Ausdrücke in der Basis des Grades.
Beispielsweise kann der Ausdruck x 2 + 2 x + 1 - 4 1 2 als Quadratwurzel von x 2 + 2 x + 1 - 4 geschrieben werden. Der Ausdruck hoch x 2 + x · y · z - z 3 - 7 3 wird zum Ausdruck x 2 + x · y · z - z 3 - 7 3 für alle x, y, z aus der ODZ dieses Ausdrucks.
Auch eine umgekehrte Ersetzung von Wurzeln durch Potenzen, wenn statt eines Ausdrucks mit einer Wurzel Ausdrücke mit einer Potenz geschrieben werden, ist möglich. Wir kehren einfach die Gleichheit aus dem vorherigen Absatz um und erhalten:
Auch hier ist der Übergang für positive Zahlen a offensichtlich. Zum Beispiel 7 6 4 = 7 6 4 oder 2 7 - 5 3 = 2 7 - 5 3.
Für negatives a sind die Wurzeln sinnvoll. Zum Beispiel - 4 2 6, - 2 3. Es ist jedoch unmöglich, diese Wurzeln in Form der Potenzen - 4 2 6 und - 2 1 3 darzustellen.
Ist es überhaupt möglich, solche Ausdrücke mit Potenzen umzuwandeln? Ja, wenn Sie einige vorläufige Änderungen vornehmen. Überlegen wir, welche.
Mithilfe der Eigenschaften von Potenzen können Sie den Ausdruck - 4 2 6 umwandeln.
4 2 6 = - 1 2 · 4 2 6 = 4 2 6 .
Da 4 > 0 ist, können wir schreiben:
Im Fall einer ungeraden Wurzel einer negativen Zahl können wir schreiben:
A 2 m + 1 = - a 2 m + 1 .
Dann nimmt der Ausdruck - 2 3 die Form an:
2 3 = - 2 3 = - 2 1 3 .
Lassen Sie uns nun verstehen, wie die Wurzeln, unter denen Ausdrücke enthalten sind, durch Potenzen ersetzt werden, die diese Ausdrücke in der Basis enthalten.
Bezeichnen wir mit dem Buchstaben A einen Ausdruck. Wir werden uns jedoch nicht beeilen, Am n in der Form Am n darzustellen. Lassen Sie uns erklären, was hier gemeint ist. Zum Beispiel möchte ich den Ausdruck x - 3 2 3, basierend auf der Gleichheit aus dem ersten Absatz, in der Form x - 3 2 3 darstellen. Eine solche Ersetzung ist nur für x - 3 ≥ 0 möglich und für das verbleibende x aus der ODZ nicht geeignet, da für negatives a die Formel am n = am n keinen Sinn ergibt.
Somit ist im betrachteten Beispiel eine Transformation der Form Am n = Am n eine Transformation, die die ODZ einschränkt, und aufgrund der ungenauen Anwendung der Formel Am n = Am n treten häufig Fehler auf.
Um korrekt von der Wurzel Am n zur Potenz Am n zu gelangen, müssen mehrere Punkte beachtet werden:
- Wenn die Zahl m ganzzahlig und ungerade ist und n natürlich und gerade ist, dann gilt die Formel A m n = A m n für die gesamte ODZ der Variablen.
- Wenn m eine ganze Zahl und ungerade ist und n eine natürliche Zahl und ungerade ist, dann kann der Ausdruck A m n ersetzt werden:
- auf A m n für alle Werte von Variablen, für die A ≥ 0;
- on - - A m n für für alle Werte von Variablen, für die A< 0 ; - Wenn m eine ganze Zahl und gerade ist und n eine beliebige natürliche Zahl ist, kann A m n durch A m n ersetzt werden.
Fassen wir alle diese Regeln in einer Tabelle zusammen und geben einige Beispiele für ihre Verwendung.
Kehren wir zum Ausdruck x - 3 2 3 zurück. Dabei ist m = 2 eine ganze und gerade Zahl und n = 3 eine natürliche Zahl. Das bedeutet, dass der Ausdruck x - 3 2 3 korrekt in der Form geschrieben wird:
x - 3 2 3 = x - 3 2 3 .
Lassen Sie uns ein weiteres Beispiel mit Wurzeln und Kräften geben.
Beispiel. Eine Wurzel in eine Potenz umwandeln
x + 5 - 3 5 = x + 5 - 3 5 , x > - 5 - - x - 5 - 3 5 , x< - 5
Begründen wir die in der Tabelle dargestellten Ergebnisse. Wenn die Zahl m ganzzahlig und ungerade und n natürlich und gerade ist, ist für alle Variablen aus der ODZ im Ausdruck A m n der Wert von A positiv oder nicht negativ (für m > 0). Deshalb ist A m n = A m n .
Bei der zweiten Option werden die Werte von A m n getrennt, wenn m eine ganze Zahl, positiv und ungerade ist und n natürlich und ungerade ist. Für Variablen aus der ODZ, für die A nicht negativ ist, gilt A m n = A m n = A m n . Für Variablen, für die A negativ ist, erhalten wir A m n = - A m n = - 1 m · A m n = - A m n = - A m n = - Am n .
Betrachten wir in ähnlicher Weise den folgenden Fall, wenn m eine ganze Zahl und gerade ist und n eine beliebige natürliche Zahl ist. Wenn der Wert von A positiv oder nicht negativ ist, dann gilt für solche Werte von Variablen aus der ODZ A m n = A m n = A m n . Für negatives A erhalten wir A m n = - A m n = - 1 m · A m n = A m n = A m n .
Somit können wir im dritten Fall für alle Variablen aus der ODZ schreiben: Am n = Am n .
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