Mit ein paar Kräften ist ein System zweier Kräfte gleicher Größe, parallel und in entgegengesetzte Richtungen, die auf einen absolut starren Körper wirken.
Satz über die Addition von Kräftepaaren. Zwei Kräftepaare, die auf denselben Festkörper wirken und in sich schneidenden Ebenen liegen, können durch ein äquivalentes Kräftepaar ersetzt werden, dessen Moment gleich der Summe der Momente der gegebenen Kräftepaare ist.
Beweis: Es seien zwei Kräftepaare vorhanden, die sich in Schnittebenen befinden. Ein Kräftepaar in einer Ebene wird durch ein Moment charakterisiert, und ein Kräftepaar in einer Ebene wird durch ein Moment charakterisiert. Ordnen wir die Kräftepaare so an, dass der Arm der Paare gemeinsam ist und auf der Schnittlinie liegt der Flugzeuge. Wir addieren die an Punkt A und Punkt B wirkenden Kräfte. Wir bekommen ein paar Kräfte.
Bedingungen für das Gleichgewicht von Kräftepaaren.
Wenn auf einen festen Körper mehrere Kräftepaare einwirken, die beliebig im Raum angeordnet sind, kann durch sequentielle Anwendung der Parallelogrammregel auf jeweils zwei Momente der Kräftepaare eine beliebige Anzahl von Kräftepaaren durch ein äquivalentes Kräftepaar ersetzt werden , dessen Moment gleich der Summe der Momente der gegebenen Kräftepaare ist.
Satz. Für das Gleichgewicht der auf einen festen Körper wirkenden Kräftepaare ist es notwendig und ausreichend, dass das Moment des äquivalenten Kräftepaares gleich Null ist.
Satz. Für das Gleichgewicht der auf einen Festkörper wirkenden Kräftepaare ist es notwendig und ausreichend, dass die algebraische Summe der Projektionen der Momente der Kraftpaare auf jede der drei Koordinatenachsen gleich Null ist.
20.dynamische Differentialgleichungen bezüglich der Bewegung eines materiellen Punktes. Dynamischer Coriolis-Satz
Differentialgleichungen der Bewegung eines freien materiellen Punktes.
Um die Gleichungen abzuleiten, verwenden wir das zweite und vierte Axiom der Dynamik. Nach dem zweiten Axiom ma = F (1)
wobei nach dem vierten Axiom F die Resultierende aller auf den Punkt wirkenden Kräfte ist.
Unter Berücksichtigung der letzten Bemerkung wird Ausdruck (1) oft als Grundgleichung der Dynamik bezeichnet. In schriftlicher Form stellt es das zweite Newtonsche Gesetz dar, bei dem eine Kraft gemäß dem Axiom der Unabhängigkeit der Kraftwirkung durch die Resultierende aller auf einen materiellen Punkt ausgeübten Kräfte ersetzt wird. Unter Berücksichtigung von a = dV / dt = d2r / dt = r" erhalten wir aus (1) die Differentialgleichung der Bewegung eines materiellen Punktes in Vektorform: mr"" = F (2)
Differentialgleichungen der Bewegung eines unfreien materiellen Punktes.
Nach dem Axiom der Verbindungen, das Verbindungen durch ihre Reaktionen ersetzt, kann man einen unfreien materiellen Punkt als frei betrachten, der unter dem Einfluss aktiver Kräfte und Reaktionen von Verbindungen steht. Nach dem vierten Axiom der Dynamik ist F die Resultierende von Wirkkräfte und Reaktionen von Verbindungen.
Daher können die Differentialgleichungen der Bewegung eines freien materiellen Punktes verwendet werden, um die Bewegung eines nicht freien Punktes zu beschreiben, wobei zu beachten ist, dass die Projektionen der Kräfte auf die rechtwinkligen Achsen Fx, Fy, Fz in Gleichungen (4) und die Projektionen von Kräfte auf die natürlichen Achsen Fτ, Fn, Fb in Gleichungen (6) umfassen nicht nur Projektionen aktiver Kräfte, sondern auch Projektionen von Bindungsreaktionen.
Das Vorhandensein von Zwangsreaktionen in den Bewegungsgleichungen eines Punktes erschwert natürlich die Lösung dynamischer Probleme, da in ihnen zusätzliche Unbekannte auftauchen. Um Probleme zu lösen, muss man die Eigenschaften von Bindungen kennen und über Bindungsgleichungen verfügen, von denen es so viele geben sollte, wie es Bindungsreaktionen gibt.
Die Corioliskraft ist gleich:
Dabei ist m eine Punktmasse, w der Vektor der Winkelgeschwindigkeit eines rotierenden Referenzrahmens, v der Vektor der Bewegungsgeschwindigkeit einer Punktmasse in diesem Referenzrahmen, eckige Klammern geben die Vektorproduktoperation an.
Die Größe wird Coriolis-Beschleunigung genannt.
Die Corioliskraft ist eine der Trägheitskräfte, die in einem nicht trägen Bezugssystem aufgrund der Rotation und der Trägheitsgesetze vorhanden sind und sich bei Bewegungen in einer Richtung in einem Winkel zur Rotationsachse manifestieren
Die Eigenschaften von Kraftpaaren werden durch eine Reihe von Sätzen bestimmt, die ohne Beweis angegeben werden:
· Zwei Paare sind äquivalent, wenn ihre Vektormomente gleich groß sind und die gleiche Richtung haben.
· Die Wirkung des Paares auf den Körper ändert sich nicht, wenn es an eine beliebige Stelle der Wirkungsebene übertragen wird.
· Die Wirkung des Paares auf den Körper ändert sich nicht, wenn es von der Wirkungsebene auf eine dazu parallele Ebene übertragen wird.
· Die Wirkung eines Paares auf den Körper ändert sich nicht, wenn Sie die Kraft des Paares erhöhen (verringern) und gleichzeitig die Schulter des Paares um denselben Betrag verringern (vergrößern).
Fazit: Das Vektormoment eines Kräftepaares, das auf einen starren Körper einwirkt, ist ein freier Vektor, d. h. es kann an jedem Punkt des starren Körpers angewendet werden.
Betrachten wir die Addition von Paaren, die beliebig im Raum angeordnet sind. Beweisen wir den Satz:
Ein System von Paaren, die beliebig im Raum angeordnet sind, entspricht einem Paar mit einem Moment, das der geometrischen Summe der Momente der Terme der Paare entspricht.
Nehmen wir zwei Paare () und (), die sich auf Ebenen befinden, die sich in einem beliebigen Winkel schneiden. Nehmen wir an, dass die Schultern der Paare gleich bzw. sind. Markieren Sie auf der Schnittlinie der Ebenen ein beliebiges Segment AB und bringen Sie jedes der Summandenpaare zum Arm AB. Durch Addition der entsprechenden Kräfte (siehe Abbildung) c und c erhalten wir ein neues Paar (), dessen Moment gleich ist
Abb. 2.18 Resultierendes Kräftepaar
Ein System von Kräftepaaren, die auf einen Körper wirken, kann nach dem gerade bewiesenen Satz durch ein Paar ersetzt werden, das der Summe der Momentenvektoren der Paare entspricht. Folglich ist ein Gleichgewicht eines Paarsystems nur möglich, wenn die Bedingung erfüllt ist
Wenn wir die reduzierte Vektorbedingung für das Gleichgewicht von Paaren auf drei beliebige Achsen projizieren, die nicht in derselben Ebene liegen und nicht parallel zueinander sind, erhalten wir Skalargleichungen für das Gleichgewicht eines Paarsystems
Ein System von Kraftpaaren, die auf einen Körper wirken, entspricht einem Kraftpaar, dessen Moment gleich der algebraischen Summe der Momente der Komponentenpaare ist.
Auf einen Festkörper (Abb. 5.9) wirken drei Kräftepaare (P1, P1 ′), (P2, P2 ′), (P3, P3 ′), die sich in derselben Ebene befinden. Momente dieser Paare:
M 1 = P 1. d 1, M 2 = P 2. d 2, M 3 = - P 3. d 3
Wählen wir ein beliebiges Segment AB der Länge d in derselben Ebene und ersetzen wir die gegebenen Paare durch äquivalente (Q1, Q1 ′), (Q2, Q2 ′), (Q3, Q3 ′) mit einem gemeinsamen Arm d.
Lassen Sie uns die Kräftemodule äquivalenter Paare aus den Beziehungen ermitteln
M1 = P1. d1 = Q1 . d, M2 = P2. d2 = Q2 . d, M3 = - P3. d3 = - Q3 . D.
Addieren wir die auf die Enden des Segments AB ausgeübten Kräfte und ermitteln wir den Modul ihrer Resultierenden:
R = Q1 + Q2 – Q3
R′ = - R = (-Q′ 1 – Q′ 2 + Q′ 3 )
Die Resultierenden R und R′ bilden ein resultierendes Paar, das dem System gegebener Paare äquivalent ist.
Der Moment dieses Paares:
M = R. d = (Q1 + Q2 – Q3) d = Q1. d + Q2 . d - Q3 . d = M1 + M2 + M3
Wenn „n“ Paare auf einen Körper einwirken, ist das Moment des resultierenden Paares gleich der algebraischen Summe der Momente der konstituierenden Paare:
M = ∑ Mi
Als Ausgleich wird ein Paar bezeichnet, dessen Moment im absoluten Wert dem Moment des resultierenden Paares entspricht, jedoch in der entgegengesetzten Richtung.
Beispiel 5.1
Bestimmen Sie das Moment des resultierenden Paares für drei gegebene Paare (Abb. 5).
10, a), wenn P1 = 10 kN, P2 = 15 kN, P3 = 20 kN, d1 = 4 m, d2 = 2 m, d3 = 6 m.
Wir bestimmen das Moment jedes Kräftepaares:
M1 = 10 N. 4 m = 40 Nm M2 = - 15 N. 2 m = - 30 Nm M3 = - 20 N. 6 m = - 120 Nm
М = ∑ Мi = М1 + М2 + М3 = 40 – 30 – 120 = - 110 Nm
Beispiel 5.2
Auf den Rahmen (Abb. 5.10, b) wirken drei Kräftepaare (P1, P1 ′), (P2, P2 ′), (P3, P3 ′), die jeweils an den Punkten A1, A2, A3 wirken. Definieren Sie den Moment
resultierendes Paar, wenn P1 = 10 N, P2 = 15 N, P3 = 20 N und die Arme der Kraftpaare d1 =
0,4 m, d2 = 0,2 m, d3 = 0,6 m.
Wir bestimmen die Momente von Kraftpaaren:
M1 = P1. d1 = 10 . 0,4 = 4 Nm M2 = - P2. d2 = - 15 . 0,2 = - 3 Nm M3 = - P3. d3 = - 20 . 0,6 = - 12 Nm
Wir bestimmen das Moment des resultierenden Paares:
М = ∑ Мi = М1 + М2 + М3 = 4 – 3 – 120 = - 11 Nm
Beispiel 5.3
Auf den Balken (Abb. 5.10, c) wirken drei Kräftepaare (P1, P1 ′), (P2, P2 ′), (P3, P3 ′), die an den Punkten A1, A2, A3 wirken. Bestimmen Sie das Moment des resultierenden Paares,
wenn P1 = 2 kN, P2 = 3 kN, P3 = 6 kN und die Arme der Kraftpaare d1 = 0,2 m, d2 = 0,4 m, d3 = 0,3 m.
Wir bestimmen die Momente von Kraftpaaren:
M1 = - P1. d1 = - 2 . 0,2 = - 0,4 kNm M2 = - P2. d2 = - 3 . 0,4 = - 1,2 kNm M3 = P3. d3 = 6 . 0,3 = 1,8 kNm
Wir bestimmen das Moment des resultierenden Paares:
М = ∑ Мi = М1 + М2 + М3 = - 0,4 – 1,2 + 1,8 = 0,2 kNm
Beispiel 5.4
Bestimmen Sie die Momente der resultierenden Paare, die unabhängig voneinander auf die Rahmen wirken (Abb. 5.10, d, e, f).
Lösungsergebnisse: |
|||
M = - 50 kNm |
|||
M = - 80 kNm |
|||
Reis. 5. 10, z |
|||
P3 „E |
||||||||||
M1 = 10kNm |
M2 = 20kNm |
|||||||||
M2 = 40kNm |
||||||||||
M3 = 40 kNm |
||||||||||
M1 = 10kNm |
M4 = 80 kNm |
|||||||||
5. 5. Addition von Kraftpaaren im Raum
Satz. Ein System von Kräftepaaren, die auf einen starren Körper wirken, entspricht einem Kräftepaar, dessen Moment gleich der geometrischen Summe der Momente der konstituierenden Paare ist.
Nachweisen
Beweisen wir den Satz für zwei Kräftepaare, deren Wirkungsebenen I und II sind, und deren Momente M1 und M2 (Abb. 5.11, a). Transformieren wir die Kräftepaare so, dass ihre Schultern das Segment AB sind, das auf der Schnittlinie der Ebenen liegt. Wir erhalten zwei Kräftepaare (Р1, Р1 ′) und (Q2, Q2 ′) mit identischen Schultern und entsprechend modifizierten Kraftmodulen, die wir aus den Beziehungen ermitteln
M 1 = P1. AB
M2 = Q1. AB
Durch Addition der an den Punkten A und B wirkenden Kräfte ermitteln wir deren Resultierende
R = P1 + Q1
R′ = Р1 ′ + Q1 ′
Die Kräfteparallelogramme sind gleich und liegen in parallelen Ebenen. Folglich sind die Resultierenden R und R′ gleich groß, parallel und in entgegengesetzte Richtungen gerichtet, d. h. Bilden Sie das resultierende Paar (R, R′ ).
Finden wir den Moment dieses Paares:
M = r x R = AB x R = AB x (P1 + Q1) = AB x P1 + AB x Q1 = M1 + M 2
Folglich ist das Moment eines Paares M gleich der geometrischen Summe der Momente M1 und M2 und wird durch die Diagonale eines Parallelogramms dargestellt, das auf den Vektoren M1 und M2 aufgebaut ist.
Wenn auf einen starren Körper „n“ Kräftepaare mit Momenten M1, M2 ... Mn einwirken, dann hat das resultierende Paar ein Moment, das der geometrischen Summe der Momente dieser Paare entspricht
M = ∑ Mi
5. 6. Bedingungen für das Gleichgewicht eines Systems von Kräftepaaren
Für das Gleichgewicht von Kräftepaaren in einer Ebene ist es notwendig und ausreichend, dass die algebraische Summe der Momente aller Paare gleich Null ist
∑ Mi = 0
Für das Gleichgewicht der Kräftepaare im Raum ist es notwendig und ausreichend, dass die geometrische Summe der Momente aller Paare gleich Null ist
∑ Mi = 0
Beispiel 5.5
Bestimmen Sie die Auflagerreaktionen RA und RB des Balkens (Abb. 5.11, b) unter Einwirkung zweier Kräftepaare unter Verwendung der Gleichgewichtsbedingungen der Kräftepaare in der Ebene.
1) Bestimmen wir das Moment des resultierenden Kräftepaares
M = M1 + M2 = - 40 + 30 = - 30 kNm Da ein Kräftepaar nur durch ein Paar ausgeglichen werden kann, dann die Reaktionen
RA und RB müssen ein Kräftepaar bilden. Die Wirkungslinie der Reaktion RB ist definiert (senkrecht zur Auflagefläche), die Wirkungslinie der Reaktion RA verläuft parallel zur Wirkungslinie der Reaktion RB.
Akzeptieren wir die Reaktionsrichtungen gemäß Abb. 5. 11, geb.
2) Bestimmen wir das Moment des ausgleichenden Kräftepaares (R A, RB)
M (R A, RB) = МR = RА. AB = RB. AB
3) Bestimmen wir die Auflagerreaktionen aus der Gleichgewichtsbedingung der Kräftepaare
∑ Мi = 0 М + МR = 0
30 + RA. 6 = 0
RA = 5 kN; RВ = RA = 5 kN
Ministerium für Bildung und Wissenschaft der Russischen Föderation
Landeshaushalt Bildung
Institution der höheren Berufsausbildung
Transbaikalische Staatsuniversität
Abteilung für Theoretische Mechanik
ABSTRAKT
Zum Thema: „Äquivalenz von Kräftepaaren im Raum und in der Ebene, ihre Addition und Gleichgewichtsbedingungen“
Student: Sadilov I.A.
Gruppe: SUS-13-2
Lehrer: Geller Yu.A.
Tschita, 2014
Was sind ein paar Kräfte……………………………………………………………3
Satz über die Summe der Momente eines Kräftepaares…………………………….3
Satz über die Äquivalenz von Kräftepaaren……………………………4
Satz über die Übertragung eines Kräftepaares in eine parallele Ebene…….5
Satz über die Addition von Kräftepaaren…………………………………….8
Bedingungen für das Gleichgewicht von Kräftepaaren…………………………………..8
Schlussfolgerungen……………………………………………………….9
Referenzliste……………………………10
PAAR DER KRAFT
Mit ein paar Kräften ist ein System zweier Kräfte gleicher Größe, parallel und in entgegengesetzte Richtungen, die auf einen absolut starren Körper wirken.
Die Wirkungsebene eines Kräftepaares Die Ebene, in der diese Kräfte wirken, heißt.
Schulter von ein paar Kräften d ist der kürzeste Abstand zwischen den Wirkungslinien der Kräfte des Paares.
Moment
Kräftepaare
wird ein Vektor genannt, dessen Modul gleich dem Produkt des Moduls einer der Kräfte des Paares und seiner Schulter ist und der senkrecht zur Wirkungsebene der Kräfte des Paares in die Richtung gerichtet ist, aus der das Paar sichtbar ist Versuchen Sie, den Körper gegen den Uhrzeigersinn zu drehen. 
Satz über die Summe der Momente Kräftepaare. Die Summe der Momente der im Paar enthaltenen Kräfte relativ zu einem beliebigen Punkt hängt nicht von der Wahl dieses Punktes ab und ist gleich dem Moment dieses Kräftepaares.
Beweis: Wählen wir Punkt O willkürlich. Zeichnen wir von ihm Radiusvektoren zu den Punkten A und B (siehe Abb. 4.2).
, 
H 
Das war es, was bewiesen werden musste.
Zwei Kräftepaare gelten als äquivalent , wenn ihre Wirkung auf einen festen Körper bei sonst gleichen Bedingungen gleich ist.
Satz über die Äquivalenz von Kräftepaaren. Ein Kräftepaar, das auf einen starren Körper einwirkt, kann durch ein anderes Kräftepaar ersetzt werden, das in derselben Wirkungsebene liegt und das gleiche Moment wie das erste Paar hat.
.
P 
Bringen wir die Macht zurück 
genau 
, und Stärke 
genau 
. Lassen Sie uns die Punkte durchgehen 
zwei beliebige parallele Geraden, die die Wirkungslinien der Kräfte des Paares schneiden. Lassen Sie uns die Punkte verbinden 
gerades Liniensegment und erweitern die Kräfte 
am Punkt 
Und 
am Punkt 
nach der Parallelogrammregel.
Als 
, Das
Und 
Deshalb 
ist äquivalent zum System 
, und dieses System ist äquivalent zum System 
, als 
ist äquivalent zu Null.
Wir haben also ein gegebenes Kräftepaar 
durch ein anderes Kräftepaar ersetzt 
. Beweisen wir, dass die Momente dieser Kräftepaare gleich sind.
Moment des anfänglichen Kraftpaares 
, und der Moment einiger Kräfte 
numerisch gleich der Fläche des Parallelogramms 
. Aber die Flächen dieser Parallelogramme sind gleich, da die Fläche des Dreiecks gleich ist 
gleich der Fläche des Dreiecks 
.
Q.E.D.
Satz über die Übertragung eines Kräftepaares in eine parallele Ebene . Die Wirkung eines Kräftepaares auf einen starren Körper ändert sich nicht, wenn dieses Paar auf eine parallele Ebene übertragen wird.
Beweis: Auf einen starren Körper soll ein Kräftepaar wirken 
im Flugzeug 
. Von den Angriffspunkten der Kräfte A und B senken wir die Senkrechten zur Ebene ab 
und an den Punkten ihrer Schnittpunkte mit der Ebene 
Wenden wir zwei Kräftesysteme an 
Und 
, von denen jedes gleich Null ist.
MIT 
Wir wenden zwei gleiche und parallele Kräfte an 
Und 
. Ihr Ergebnis 
am Punkt O.
Addieren wir zwei gleiche und parallele Kräfte 
Und 
. Ihr Ergebnis 
parallel zu diesen Kräften, gleich ihrer Summe und in der Mitte des Segments angewendet 
am Punkt O.
Als 
, dann das System der Kräfte 
ist äquivalent zu Null und kann verworfen werden.
Also ein paar Kräfte 
entspricht ein paar Kräften 
, liegt aber in einer anderen, parallelen Ebene. Q.E.D.
Folge: Das Moment eines Kräftepaares, das auf einen starren Körper einwirkt, ist ein freier Vektor.
Zwei Kräftepaare, die auf denselben starren Körper wirken, sind äquivalent, wenn sie Momente gleicher Größe und Richtung haben.
Satz über die Addition von Kräftepaaren.
Zwei Kräftepaare, die auf denselben Festkörper wirken und in sich schneidenden Ebenen liegen, können durch ein äquivalentes Kräftepaar ersetzt werden, dessen Moment gleich der Summe der Momente der gegebenen Kräftepaare ist. 
Beweis: Es seien zwei Kräftepaare vorhanden, die sich in Schnittebenen befinden. Ein paar Kräfte 
im Flugzeug 
vom Augenblick geprägt 
und ein paar Kräfte 
im Flugzeug 
vom Augenblick geprägt 
.
Ordnen wir die Kräftepaare so an, dass die Schulter der Paare gemeinsam ist und auf der Schnittlinie der Ebenen liegt. Wir addieren die an Punkt A und Punkt B wirkenden Kräfte, 
. Wir bekommen ein paar Kräfte 
.
Q.E.D.
Bedingungen für das Gleichgewicht von Kräftepaaren
Wenn auf einen festen Körper mehrere Kräftepaare einwirken, die beliebig im Raum angeordnet sind, kann durch sequentielle Anwendung der Parallelogrammregel auf jeweils zwei Momente der Kräftepaare eine beliebige Anzahl von Kräftepaaren durch ein äquivalentes Kräftepaar ersetzt werden , dessen Moment gleich der Summe der Momente der gegebenen Kräftepaare ist.
Satz. Für das Gleichgewicht der auf einen festen Körper wirkenden Kräftepaare ist es notwendig und ausreichend, dass das Moment des äquivalenten Kräftepaares gleich Null ist.
Satz. Für das Gleichgewicht der auf einen Festkörper wirkenden Kräftepaare ist es notwendig und ausreichend, dass die algebraische Summe der Projektionen der Momente der Kraftpaare auf jede der drei Koordinatenachsen gleich Null ist.
Bedingungen für das Gleichgewicht eines Kräftesystems
Vektorform
Für das Gleichgewicht eines beliebigen Systems von Kräften, die auf einen starren Körper wirken, ist es notwendig und ausreichend, dass der Hauptvektor des Kraftsystems gleich Null ist und das Hauptmoment des Kraftsystems relativ zu einem beliebigen Reduktionszentrum ebenfalls gleich ist null.
Algebraische Form.
Für das Gleichgewicht eines beliebigen Systems von Kräften, die auf einen Festkörper wirken, ist es notwendig und ausreichend, dass die drei Summen der Projektionen aller Kräfte auf die kartesischen Koordinatenachsen gleich Null und die drei Summen der Momente aller Kräfte relativ sind zu den drei Koordinatenachsen sind ebenfalls gleich Null.
Bedingungen für das Gleichgewicht eines räumlichen Systems
Parallelkräfte
Auf den Körper wirkt ein System paralleler Kräfte. Platzieren wir die Oz-Achse parallel zu den Kräften.
Gleichungen 
Für das Gleichgewicht eines räumlichen Systems paralleler Kräfte, die auf einen festen Körper wirken, ist es notwendig und ausreichend, dass die Summe der Projektionen dieser Kräfte gleich Null und die Summe der Momente dieser Kräfte relativ zu zwei Koordinatenachsen senkrecht dazu ist die Kräfte sind ebenfalls gleich Null.
- Projektion der Kraft auf die Oz-Achse.
Schlussfolgerungen:
Ein Kräftepaar kann als starre Figur in ihrer Wirkungsebene beliebig gedreht und übertragen werden.
Die Hebelwirkung und die Kräfte eines Kraftpaares können unter Beibehaltung des Moments und der Wirkungsebene des Paares verändert werden.
3. Das Moment des Paares ist ein freier Vektor und bestimmt vollständig die Wirkung des Paares auf einen absolut starren Körper. Für verformbare Körper ist die Paartheorie nicht anwendbar.
LITERATUR:
1. Kirsanov M. N. Theoretische Mechanik. Lehrbuch zum Selbststudium.
2. Targ S.M. Kurs über Theoretische Mechanik.
Satz: Ein System von Kräftepaaren, die auf einen absolut starren Körper in einer Ebene wirken, ist äquivalent zu einem Kräftepaar mit einem Moment, das der algebraischen Summe der Momente der Paare des Systems entspricht.
Ein resultierendes Paar ist ein Kräftepaar, das die Wirkung dieser Kräftepaare ersetzt, die auf einen festen Körper in einer Ebene ausgeübt werden.
Bedingung für das Gleichgewicht eines Systems von Kräftepaaren: Für das Gleichgewicht eines ebenen Systems von Kräftepaaren ist es notwendig und ausreichend, dass die Summe ihrer Momente gleich 0 ist.
Kraftmoment um einen Punkt.
Das Moment einer Kraft relativ zu einem Punkt ist das Produkt des Kraftmoduls und ihrer Schulter relativ zu einem bestimmten Punkt, angegeben mit einem Plus- oder Minuszeichen. Der Arm einer Kraft relativ zu einem Punkt ist die Länge der Senkrechten, die von einem bestimmten Punkt zur Wirkungslinie der Kraft gezogen wird. Die folgende Vorzeichenregel wird akzeptiert: Das Moment einer Kraft um einen bestimmten Punkt ist positiv, wenn die Kraft dazu neigt, den Körper um diesen Punkt gegen den Uhrzeigersinn zu drehen, und negativ im umgekehrten Fall. Wenn die Wirkungslinie einer Kraft durch einen bestimmten Punkt verläuft, sind relativ zu diesem Punkt die Hebelwirkung der Kraft und ihr Moment gleich Null. Das Kraftmoment relativ zu einem Punkt wird durch die Formel bestimmt.
Eigenschaften des Kraftmoments relativ zu einem Punkt:
1. Das Kraftmoment relativ zu einem bestimmten Punkt ändert sich nicht, wenn die Kraft entlang ihrer Wirkungslinie übertragen wird, weil in diesem Fall ändert sich weder der Kraftmodul noch seine Hebelwirkung.
2. Das Kraftmoment relativ zu einem bestimmten Punkt ist gleich Null, wenn die Wirkungslinie der Kraft durch diesen Punkt verläuft, weil in diesem Fall ist der Kraftarm Null: a=0
Der Satz von Poinsot, wie man eine Kraft auf einen Punkt bringt.
Eine Kraft kann parallel zu ihrer Wirkungslinie übertragen werden; in diesem Fall ist es notwendig, ein Kräftepaar mit einem Moment zu addieren, das dem Produkt aus dem Modul der Kraft und der Distanz, über die die Kraft übertragen wird, entspricht.
Der Vorgang der parallelen Kraftübertragung wird als Kraftübertragung auf einen Punkt bezeichnet, und das resultierende Paar wird als angehängtes Paar bezeichnet.
Auch der gegenteilige Effekt ist möglich: Eine Kraft und ein Kräftepaar, die in derselben Ebene liegen, können immer durch eine Kraft ersetzt werden, die einer bestimmten Kraft entspricht, die parallel zu ihrer ursprünglichen Richtung auf einen anderen Punkt übertragen wird.
Gegeben: Kraft an einem Punkt A(Abb. 5.1).
An Punkt hinzufügen IN ausgewogenes Kräftesystem (F"; F"). Es entsteht ein Kräftepaar (F; F"). Bringen wir die Kraft auf den Punkt IN und das Moment des Paares m.
Bringen eines ebenen Systems willkürlich angeordneter Kräfte zu einem Zentrum. Der Hauptvektor und das Hauptmoment des Kräftesystems.
Die Wirkungslinien eines willkürlichen Kräftesystems schneiden sich nicht in einem Punkt. Um den Zustand des Körpers beurteilen zu können, sollte ein solches System daher vereinfacht werden. Dazu werden alle Kräfte des Systems auf einen willkürlich gewählten Punkt übertragen – den Reduktionspunkt (PO). Wenden Sie den Satz von Pointot an. Immer wenn eine Kraft auf einen Punkt übertragen wird, der nicht auf der Wirkungslinie liegt, addieren sich ein paar Kräfte.
Die Paare, die während der Übertragung erscheinen, werden angehängte Paare genannt.
Das am Punkt O erhaltene SSS wird nach der Kraftpolygonmethode gefaltet und wir erhalten eine Kraft am Punkt O – dies ist der Hauptvektor.
Das resultierende System angehängter Kräftepaare kann auch addiert werden und man erhält ein Kräftepaar, dessen Moment als Hauptmoment bezeichnet wird.
Der Hauptvektor ist gleich der geometrischen Summe der Kräfte. Das Hauptmoment ist gleich der algebraischen Summe der Momente der angehängten Kräftepaare bzw. der Momente der ursprünglichen Kräfte relativ zum Reduktionspunkt.
Definition und Eigenschaften des Hauptvektors und des Hauptmoments eines ebenen Kräftesystems.
Eigenschaften des Hauptvektors und des Hauptmoments
1 Modul und Richtung des Hauptvektors hängen nicht von der Wahl des Reduktionszentrums ab, weil im Reduktionszentrum ist das aus diesen Kräften konstruierte Kraftpolygon dasselbe)
2. Größe und Vorzeichen des Hauptmoments hängen von der Wahl des Reduktionszentrums ab, weil Wenn sich das Adduktionszentrum ändert, ändern sich die Schultern der Kräfte, aber ihre Module bleiben unverändert.
3. Der Hauptvektor und die Resultierende des Kraftsystems sind vektoriell gleich, im allgemeinen Fall jedoch nicht äquivalent, weil es gibt noch einen Moment
4. Der Hauptvektor und die Resultierende sind nur in dem Sonderfall äquivalent, wenn das Hauptmoment des Systems gleich Null ist, und zwar dann, wenn das Reduktionszentrum auf der Wirkungslinie der Resultierenden liegt
Betrachten Sie ein flaches Kräftesystem ( F 1 ,F 2 , ...,F n), das auf einen festen Körper in der Oxy-Koordinatenebene einwirkt.
Der Hauptvektor des Kraftsystems wird als Vektor bezeichnet R, gleich der Vektorsumme dieser Kräfte:
R = F 1 + F 2 + ... + F n= F ich.
Bei einem ebenen Kräftesystem liegt sein Hauptvektor in der Wirkungsebene dieser Kräfte.
Der Hauptpunkt des Kräftesystems relativ zum Mittelpunkt O wird als Vektor bezeichnet L O, gleich der Summe der Vektormomente dieser Kräfte relativ zum Punkt O:
L O= MÖ( F 1) +MÖ( F 2) + ... +MÖ( F n) = MÖ( F ich).
Vektor R hängt nicht von der Wahl des Zentrums O und des Vektors ab L Wenn sich die Position des Zentrums ändert, kann sich O im Allgemeinen ändern.
Für ein ebenes Kräftesystem wird anstelle eines vektoriellen Hauptmoments der Begriff eines algebraischen Hauptmoments verwendet. Algebraischer Hauptpunkt L O eines ebenen Kräftesystems relativ zum Zentrum O, das in der Wirkungsebene der Kräfte liegt, wird als Summe algebraischer Momente bezeichnet äh ruhige Kräfte relativ zum Zentrum O.
Der Hauptvektor und das Hauptmoment eines ebenen Kräftesystems werden üblicherweise mit analytischen Methoden berechnet.
