Nach besonderer Vereinbarung mit der Redaktion und den Herausgebern der Zeitschrift „Kvant“
Bei der Lösung mechanischer Probleme kann die Verwendung des Konzepts des Massenschwerpunkts eines Systems materieller Punkte eine unschätzbare Hilfe sein. Manche Probleme lassen sich ohne Rückgriff auf dieses Konzept einfach nicht lösen, andere können mit seiner Hilfe viel einfacher und klarer gelöst werden.
Bevor wir konkrete Probleme diskutieren, erinnern wir uns an die grundlegenden Eigenschaften des Massenschwerpunkts und veranschaulichen sie anhand von Beispielen.
Der Massenschwerpunkt (Trägheitszentrum) eines Systems materieller Punkte ist ein Punkt, der die Massenverteilung im System charakterisiert, dessen Koordinaten durch die Formeln bestimmt werden
Hier m i- Massen materieller Punkte, die das System bilden, x i, y i, z i- Koordinaten dieser Punkte. Leser, die mit dem Konzept eines Radiusvektors vertraut sind, werden die Vektorschreibweise bevorzugen:
(1)
Beispiel 1. Finden wir die Position des Massenschwerpunkts, des einfachsten Systems bestehend aus zwei Punkten, deren Massen M 1 und M 2 und der Abstand zwischen ihnen l(Abb. 1).
Lenken der Achse X Vom ersten Punkt zum zweiten stellen wir fest, dass der Abstand vom ersten Punkt zum Massenschwerpunkt (d. h. die Koordinate des Massenschwerpunkts) gleich ist und der Abstand vom Massenschwerpunkt zum zweiten Punkt gleich ist d.h. Das Verhältnis der Entfernungen ist umgekehrt zum Verhältnis der Massen. Das bedeutet, dass in diesem Fall die Lage des Massenschwerpunkts mit dem Schwerpunkt zusammenfällt.
Lassen Sie uns einige Eigenschaften des Massenschwerpunkts diskutieren, die unserer Meinung nach die oben gegebene etwas formale Definition dieses Konzepts mit physikalischem Inhalt füllen werden.
1) Die Position des Massenschwerpunkts ändert sich nicht, wenn ein Teil des Systems durch einen Punkt ersetzt wird, dessen Masse der Masse dieses Teilsystems entspricht und sich in seinem Massenschwerpunkt befindet.
Beispiel 2. Betrachten wir ein flaches homogenes Dreieck und ermitteln die Position seines Massenschwerpunkts. Teilen Sie das Dreieck in dünne Streifen parallel zu einer der Seiten und ersetzen Sie jeden Streifen durch eine Spitze in der Mitte. Da alle diese Punkte auf dem Median des Dreiecks liegen, muss auch der Schwerpunkt auf dem Median liegen. Wenn wir die Überlegungen für jede Seite wiederholen, stellen wir fest, dass der Schwerpunkt am Schnittpunkt der Mediane liegt.
2) Die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts kann durch die zeitliche Ableitung beider Seiten der Gleichheit (1) ermittelt werden:
(2)
Wo - Systemimpuls, M- Gesamtmasse des Systems. Man erkennt, dass die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts des geschlossenen Systems konstant ist. Das heißt, wenn wir dem Massenschwerpunkt ein translatorisch bewegtes Bezugssystem zuordnen, ist dieses träge.
Beispiel 3. Platzieren wir einen Stab mit einheitlicher Länge l senkrecht auf eine glatte Fläche stellen (Abb. 2) und loslassen. Während des Falls bleiben sowohl die horizontale Komponente seines Impulses als auch die horizontale Komponente der Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts gleich Null. Daher befindet sich im Moment des Sturzes die Mitte der Stange an der Stelle, an der die Stange ursprünglich stand, und die Enden der Stange verschieben sich horizontal .
3) Die Beschleunigung des Massenschwerpunkts ist gleich der Ableitung seiner Geschwindigkeit nach der Zeit:
(3)
wobei auf der rechten Seite der Gleichheit nur äußere Kräfte vorhanden sind, da sich alle inneren Kräfte gemäß dem dritten Newtonschen Gesetz aufheben. Wir stellen fest, dass sich der Schwerpunkt so bewegt, wie sich ein imaginärer Punkt mit einer Masse gleich der Masse des Systems unter der Wirkung der resultierenden äußeren Kraft bewegen würde. Dies ist wahrscheinlich die physikalischste Eigenschaft des Massenschwerpunkts.
Beispiel 4. Wenn Sie einen Stock werfen und ihn rotieren lassen, bewegt sich der Schwerpunkt des Stocks (seine Mitte) mit konstanter Beschleunigung entlang einer Parabel (Abb. 3).
4) Das Punktesystem sei in einem gleichmäßigen Gravitationsfeld. Dann ist das gesamte Schwerkraftmoment relativ zu jeder durch den Massenschwerpunkt verlaufenden Achse gleich Null. Das bedeutet, dass die Resultierende der Schwerkraft durch den Massenschwerpunkt verläuft, d.h. Der Massenschwerpunkt ist auch der Schwerpunkt.
5) Die potentielle Energie eines Punktesystems in einem gleichmäßigen Gravitationsfeld wird nach der Formel berechnet
Wo H ts - Höhe des Massenschwerpunkts des Systems.
Beispiel 5. Beim Graben eines Lochs mit einer gleichmäßigen Tiefe von einem Pfund H und Streuung des Bodens über die Oberfläche, seine potentielle Energie erhöht sich um , wobei M- Masse des ausgehobenen Bodens.
6) Und noch eine nützliche Eigenschaft des Massenschwerpunkts. Die kinetische Energie eines Punktesystems kann als Summe zweier Terme dargestellt werden: der kinetischen Energie der allgemeinen Translationsbewegung des Systems, gleich , und der kinetischen Energie E relativ zur Bewegung relativ zum Bezugssystem, das dem Massenschwerpunkt zugeordnet ist:
Beispiel 6. Die kinetische Energie eines Reifens, der ohne zu rutschen auf einer horizontalen Fläche mit der Geschwindigkeit υ rollt, ist gleich
da es sich bei der Relativbewegung in diesem Fall um eine reine Rotation handelt, bei der die lineare Geschwindigkeit der Punkte des Reifens gleich υ ist (die Gesamtgeschwindigkeit des unteren Punktes muss gleich Null sein).
Beginnen wir nun mit der Analyse von Problemen anhand des Massenschwerpunkts.
Problem 1. Ein homogener Stab liegt auf einer glatten horizontalen Fläche. Auf den Stab wirken zwei horizontale Kräfte gleicher Größe, aber entgegengesetzter Richtung: Eine Kraft wirkt auf die Mitte des Stabes, die andere auf sein Ende (Abb. 4). Relativ zu welchem Punkt beginnt sich die Stange zu drehen?
Auf den ersten Blick mag es scheinen, dass die Rotationsachse der Punkt ist, der in der Mitte zwischen den Kraftangriffspunkten liegt. Gleichung (3) zeigt jedoch, dass die Beschleunigung des Massenschwerpunkts ebenfalls Null ist, da die Summe der äußeren Kräfte Null ist. Das bedeutet, dass die Stabmitte in Ruhe bleibt, d.h. dienen als Drehachse.
Problem 2. Dünne, gleichmäßige Stablänge l und Masse M entlang einer glatten horizontalen Fläche in Bewegung gesetzt, so dass es sich translatorisch bewegt und gleichzeitig mit der Winkelgeschwindigkeit ω rotiert. Ermitteln Sie die Spannung der Stange abhängig vom Abstand X zu seiner Mitte.
Gehen wir zum Trägheitsbezugssystem über, das der Mitte des Stabes zugeordnet ist. Betrachten wir die Bewegung eines Stabstücks, das zwischen der betrachteten Stabspitze (in einiger Entfernung) eingeschlossen ist X von der Mitte) und seinem Ende (Abb. 5).
Die einzige äußere Kraft für dieses Stück ist die erforderliche Spannkraft F n, die Masse ist gleich und ihr Schwerpunkt bewegt sich auf einem Kreis mit Radius 
mit Beschleunigung. Wenn wir die Bewegungsgleichung des Massenschwerpunkts des ausgewählten Stücks aufschreiben, erhalten wir:
Problem 3. Ein Doppelstern besteht aus zwei Komponentensternen mit Massen M 1 und M 2, deren Abstand sich nicht ändert und gleich bleibt L. Finden Sie die Rotationsperiode des Doppelsterns.
Betrachten wir die Bewegung der einzelnen Sterne in einem Trägheitsbezugssystem, das mit dem Massenschwerpunkt des Doppelsterns verbunden ist. In diesem Bezugssystem bewegen sich Sterne mit gleicher Winkelgeschwindigkeit auf Kreisen mit unterschiedlichen Radien (Abb. 6).
Rotationsradius eines Sterns mit Masse M 1 ist gleich (siehe Beispiel 1) und seine Zentripetalbeschleunigung wird durch die Anziehungskraft auf einen anderen Stern erzeugt:
Wir sehen, dass die Rotationsperiode eines Doppelsterns gleich ist
und wird durch die Gesamtmasse des Doppelsterns bestimmt, unabhängig davon, wie diese auf die einzelnen Sterne verteilt ist.
Problem 4. Zwei Punktmassen M und 2 M mit einer schwerelosen Fadenlänge gebunden l und bewegen Sie sich entlang einer glatten horizontalen Ebene. Irgendwann ist die Geschwindigkeit der Masse 2 M ist gleich Null und die Massengeschwindigkeit M gleich υ und senkrecht zum Gewinde gerichtet (Abb. 7). Ermitteln Sie die Fadenspannung und die Rotationsperiode des Systems.
Reis. 7
Der Massenschwerpunkt des Systems liegt im Abstand von Masse 2 M und bewegt sich mit Geschwindigkeit. Im Bezugssystem ist mit dem Massenschwerpunkt ein Massenpunkt 2 verbunden M bewegt sich mit der Geschwindigkeit auf einem Kreis mit dem Radius. Dies bedeutet, dass die Rotationsperiode gleich ist (überprüfen Sie, ob wir die gleiche Antwort erhalten, wenn wir einen Punkt mit Masse betrachten M). Die Fadenspannung ermitteln wir aus der Bewegungsgleichung eines beliebigen der beiden Punkte:
Problem 5. Zwei identische Masseblöcke M jeweils durch eine leichte Federsteifigkeit verbunden k(Abb. 8). Der erste Balken erhält eine Geschwindigkeit υ 0 in Richtung vom zweiten Balken. Beschreiben Sie die Bewegung des Systems. Wie lange dauert es, bis die Federverformung erstmals ihren Maximalwert erreicht?
Der Schwerpunkt des Systems bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit. Im Bezugssystem des Massenschwerpunkts beträgt die Anfangsgeschwindigkeit jedes Blocks , und die Steifigkeit der Halbfeder, die ihn mit dem stationären Massenschwerpunkt verbindet, beträgt 2 k(Die Federsteifigkeit ist umgekehrt proportional zu ihrer Länge). Die Periode solcher Schwingungen ist gleich
und die Schwingungsamplitude jedes Stabes, die aus dem Energieerhaltungssatz ermittelt werden kann, beträgt
Erstmals erreicht die Verformung ihr Maximum nach einem Viertel der Periode, d.h. nach einer Weile .
Problem 6. Kugelmasse M trifft mit der Geschwindigkeit v auf eine ruhende Kugel der Masse 2 M. Finden Sie die Geschwindigkeiten beider Kugeln nach dem elastischen zentralen Aufprall.
In dem dem Massenschwerpunkt zugeordneten Bezugssystem ist der Gesamtimpuls der beiden Kugeln sowohl vor als auch nach der Kollision Null. Es ist leicht zu erraten, welche Antwort für Endgeschwindigkeiten sowohl diese Bedingung als auch den Energieerhaltungssatz erfüllt: Die Geschwindigkeiten bleiben in ihrer Größe gleich wie vor dem Aufprall, ändern jedoch ihre Richtung in die entgegengesetzte Richtung. Die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts des Systems ist gleich. Im Schwerpunktsystem bewegt sich die erste Kugel mit Geschwindigkeit und die zweite Kugel bewegt sich mit Geschwindigkeit auf die erste zu. Nach dem Aufprall fliegen die Kugeln mit der gleichen Geschwindigkeit davon. Es bleibt die Rückkehr zum ursprünglichen Bezugsrahmen. Unter Anwendung des Additionsgesetzes der Geschwindigkeiten ermitteln wir die Endgeschwindigkeit einer Kugel mit Masse M gleich und nach hinten gerichtet, und die Geschwindigkeit der zuvor ruhenden Kugel der Masse 2 M gleich und nach vorne gerichtet.
Beachten Sie, dass es im Schwerpunktsystem offensichtlich ist, dass sich die relative Geschwindigkeit der Kugeln beim Aufprall nicht in der Größe, sondern in der Richtung ändert. Und da sich der Geschwindigkeitsunterschied beim Übergang zu einem anderen Inertialbezugssystem nicht ändert, können wir davon ausgehen, dass wir diese wichtige Beziehung für das ursprüngliche Bezugssystem abgeleitet haben:
υ 1 – υ 2 = u 1 – u 2 ,
wobei der Buchstabe υ zur Bezeichnung der Anfangsgeschwindigkeiten verwendet wird, und u- für die letzten. Diese Gleichung kann zusammen mit dem Impulserhaltungssatz anstelle des Energieerhaltungssatzes (wo Geschwindigkeiten in der zweiten Potenz vorliegen) gelöst werden.
Problem 7. Es ist bekannt, dass bei einem elastischen außermittigen Aufprall zweier identischer Kugeln, von denen eine vor dem Aufprall in Ruhe war, der Ausdehnungswinkel 90° beträgt. Beweisen Sie diese Aussage.
Im Schwerpunktsystem kann ein außermittiger Aufprall wie folgt beschrieben werden. Vor dem Aufprall nähern sich die Kugeln mit gleichen Impulsen an, nach dem Aufprall fliegen sie mit Impulsen gleicher Größe, aber in entgegengesetzter Richtung auseinander, und die Ausdehnungslinie dreht sich um einen bestimmten Winkel gegenüber der Annäherungslinie. Um zum ursprünglichen Bezugssystem zurückzukehren, muss jede Endgeschwindigkeit (vektoriell!) mit der Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts addiert werden. Bei identischen Kugeln ist die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts gleich , wobei υ die Geschwindigkeit des einfallenden Balls ist, und im Bezugssystem des Massenschwerpunkts nähern sich die Kugeln mit der gleichen Geschwindigkeit an und fliegen auseinander. Die Tatsache, dass nach der Addition jeder Endgeschwindigkeit zur Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts zueinander senkrechte Vektoren erhalten werden, ist aus Abbildung 9 ersichtlich. Oder Sie können einfach überprüfen, ob das Skalarprodukt von Vektoren und verschwindet, da die Module von die Vektoren sind einander gleich.
Übungen
1. Stab der Masse M und Länge l an einem Ende aufklappbar. Der Stab wurde in einem bestimmten Winkel aus der vertikalen Position ausgelenkt und freigegeben. Im Moment des Passierens der vertikalen Position ist die Geschwindigkeit des unteren Punktes gleich υ. Finden Sie zu diesem Zeitpunkt die Spannung in der Mitte der Stange.
2. Stab der Masse M und Länge l rotieren in einer horizontalen Ebene mit der Winkelgeschwindigkeit ω um eines seiner Enden. Finden Sie den Zusammenhang zwischen der Spannung der Stange und dem Abstand X zur Rotationsachse, wenn am anderen Ende eine kleine Masse befestigt ist M.
3. Finden Sie die Schwingungsdauer für das in Aufgabe 5 des Artikels beschriebene System, jedoch für Stäbe unterschiedlicher Masse M 1 und M 2 .
4. Leiten Sie die bekannten allgemeinen Formeln für den elastischen Zentralstoß zweier Kugeln unter Verwendung des Übergangs zum Schwerpunktbezugssystem her.
5. Massenball M 1 kollidiert mit einer ruhenden Kugel geringerer Masse M 2. Finden Sie den maximal möglichen Ablenkungswinkel des ankommenden Balls bei einem elastischen außermittigen Aufprall.
1. 
2. 
3. 
Massezentrum Bewegungsgleichung des Massenschwerpunkts. Das Gesetz selbst: Körper wirken aufeinander mit Kräften gleicher Natur ein, die entlang derselben Geraden gerichtet sind, gleich groß und entgegengesetzt gerichtet sind: Der Massenschwerpunkt ist ein geometrischer Punkt, der die Bewegung eines Körpers oder eines Teilchensystems als charakterisiert ein ganzes. Definition Die Lage des Massenschwerpunkts des Trägheitszentrums ist in der klassischen Mechanik wie folgt definiert: wobei der Radiusvektor des Massenschwerpunkts der Radiusvektor des i-ten Punkts des Systems und die Masse des i-ten Punkts ist.
7.Newtons drittes Gesetz. Massezentrum Bewegungsgleichung des Massenschwerpunkts.
Newtons drittes Gesetzbesagt: Die Aktionskraft ist gleich groß und in entgegengesetzter Richtung zur Reaktionskraft.
Das Gesetz selbst:
Körper wirken aufeinander mit Kräften gleicher Art ein, die entlang derselben Geraden gerichtet, gleich groß und entgegengesetzt gerichtet sind:
Massezentrum Dies ist ein geometrischer Punkt, der charakterisiert Bewegung Körper oder System von Teilchen als Ganzes.
Definition
Die Lage des Massenschwerpunkts (Trägheitszentrum) wird in der klassischen Mechanik wie folgt bestimmt:
wobei Radiusvektor des Massenschwerpunkts, Radiusvektor i Punkt des Systems,
Masse des i-ten Punktes.
.
Dies ist die Bewegungsgleichung des Massenschwerpunkts eines Systems materieller Punkte mit einer Masse gleich der Masse des gesamten Systems, auf die die Summe aller äußeren Kräfte angewendet wird (der Hauptvektor der äußeren Kräfte) oder der Satz über die Bewegung des Massenschwerpunktes.
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Das Grundgesetz der Dynamik kann in anderer Form geschrieben werden, wenn man das Konzept des Massenschwerpunkts des Systems kennt:
Das ist Bewegungsgleichung des Massenschwerpunkts des Systems, eine der wichtigsten Gleichungen der Mechanik. Es besagt, dass sich der Schwerpunkt jedes Teilchensystems so bewegt, als ob die gesamte Masse des Systems an diesem Punkt konzentriert wäre und alle äußeren Kräfte auf ihn einwirken würden.
Die Beschleunigung des Massenschwerpunkts des Systems ist völlig unabhängig von den Angriffspunkten äußerer Kräfte.
Wenn, dann, dann und ist der Fall eines geschlossenen Systems in einem Trägheitsbezugssystem. Wenn sich also der Schwerpunkt eines Systems gleichmäßig und geradlinig bewegt, bedeutet dies, dass sein Impuls während der Bewegung erhalten bleibt.
Beispiel: Ein homogener Zylinder mit Masse und Radius rollt eine schiefe Ebene hinunter und bildet dabei einen Winkel zur Horizontalen, ohne zu verrutschen. Finden Sie die Bewegungsgleichung?
| |
Die gemeinsame Lösung gibt die Werte der Parameter an
Die Bewegungsgleichung des Massenschwerpunkts stimmt mit der Grundgleichung der Dynamik eines materiellen Punktes überein und ist deren Verallgemeinerung auf ein Teilchensystem: Die Beschleunigung des Gesamtsystems ist proportional zur Resultierenden aller äußeren Kräfte und umgekehrt proportional zur Masse des Systems.
Als Schwerpunktsystem wird ein starr mit dem Massenschwerpunkt verbundenes Bezugssystem bezeichnet, das sich translatorisch relativ zur ISO bewegt. Seine Besonderheit besteht darin, dass der Gesamtimpuls des darin enthaltenen Teilchensystems immer gleich Null ist, da .
Feierabend -
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Kinematik der translatorischen Bewegung
Physikalische Grundlagen der Mechanik. Kinematik der translatorischen Bewegung. Mechanische Bewegung ist eine Existenzform.
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Alle Themen in diesem Abschnitt:
Mechanisches Uhrwerk
Materie existiert bekanntlich in zwei Formen: in Form von Substanz und Feld. Der erste Typ umfasst Atome und Moleküle, aus denen alle Körper aufgebaut sind. Der zweite Typ umfasst alle Arten von Feldern: die Schwerkraft
Raum und Zeit
Alle Körper existieren und bewegen sich in Raum und Zeit. Diese Konzepte sind grundlegend für alle Naturwissenschaften. Jeder Körper hat Abmessungen, d.h. seine räumliche Ausdehnung
Referenzsystem
Um die Position eines Körpers zu einem beliebigen Zeitpunkt eindeutig zu bestimmen, ist es notwendig, ein Referenzsystem auszuwählen – ein Koordinatensystem, das mit einer Uhr ausgestattet und starr mit einem absolut starren Körper verbunden ist
Kinematische Bewegungsgleichungen
Wenn sich t.M bewegt, ändern sich seine Koordinaten mit der Zeit. Um das Bewegungsgesetz zu spezifizieren, muss daher der Funktionstyp angegeben werden
Bewegung, elementare Bewegung
Lassen Sie Punkt M entlang einer gekrümmten Bahn AB von A nach B wandern. Im Anfangsmoment ist sein Radiusvektor gleich
Beschleunigung. Normal- und Tangentialbeschleunigung
Die Bewegung eines Punktes wird auch durch Beschleunigung charakterisiert – die Geschwindigkeitsänderungsrate. Ist die Geschwindigkeit eines Punktes für eine beliebige Zeit
Vorwärtsbewegung
Die einfachste Art der mechanischen Bewegung eines starren Körpers ist die Translationsbewegung, bei der sich eine gerade Linie, die zwei beliebige Punkte des Körpers verbindet, mit dem Körper bewegt und dabei parallel bleibt | es ist
Trägheitsgesetz
Die klassische Mechanik basiert auf den drei Gesetzen Newtons, die er in seinem 1687 veröffentlichten Aufsatz „Mathematische Prinzipien der Naturphilosophie“ formuliert hat. Diese Gesetze waren das Ergebnis eines Genies
Trägheitsbezugssystem
Es ist bekannt, dass mechanische Bewegung relativ ist und ihre Natur von der Wahl des Bezugssystems abhängt. Newtons erstes Gesetz gilt nicht in allen Bezugsrahmen. Zum Beispiel Körper, die auf einer glatten Oberfläche liegen
Gewicht. Newtons zweites Gesetz
Die Hauptaufgabe der Dynamik besteht darin, die Eigenschaften der Bewegung von Körpern unter dem Einfluss der auf sie ausgeübten Kräfte zu bestimmen. Aus Erfahrung ist bekannt, dass unter dem Einfluss von Gewalt
Das Grundgesetz der Dynamik eines materiellen Punktes
Die Gleichung beschreibt die Änderung der Bewegung eines Körpers endlicher Abmessungen unter Krafteinwirkung bei fehlender Verformung und wenn diese vorliegt
Newtons drittes Gesetz
Beobachtungen und Experimente zeigen, dass die mechanische Einwirkung eines Körpers auf einen anderen immer eine Wechselwirkung ist. Wenn Körper 2 auf Körper 1 einwirkt, dann wirkt Körper 1 diesen zwangsläufig entgegen
Galileische Transformationen
Sie ermöglichen die Bestimmung kinematischer Größen beim Übergang von einem inertialen Bezugssystem in ein anderes. Lass uns nehmen
Galileis Relativitätsprinzip
Beschleunigung eines beliebigen Punktes in allen Bezugssystemen, der sich relativ zueinander geradlinig und gleichmäßig auf die gleiche Weise bewegt:
Erhaltungsmengen
Jeder Körper oder jedes Körpersystem ist eine Ansammlung materieller Punkte oder Teilchen. Der Zustand eines solchen Systems zu einem bestimmten Zeitpunkt wird in der Mechanik durch die Angabe von Koordinaten und Geschwindigkeiten bestimmt
Massezentrum
In jedem Teilchensystem gibt es einen Punkt, der Massenschwerpunkt genannt wird
Konservative Kräfte
Wirkt an jedem Punkt im Raum eine Kraft auf ein dort platziertes Teilchen, so spricht man von einem Kraftfeld, beispielsweise im Feld der Schwerkraft, Gravitation, Coulomb und anderen Kräften. Feld
Zentralkräfte
Jedes Kraftfeld wird durch die Wirkung eines bestimmten Körpers oder Körpersystems verursacht. Die in diesem Feld auf das Teilchen wirkende Kraft beträgt ca
Potenzielle Energie eines Teilchens in einem Kraftfeld
Die Tatsache, dass die Arbeit einer konservativen Kraft (für ein stationäres Feld) nur von der Anfangs- und Endposition des Teilchens im Feld abhängt, ermöglicht uns die Einführung des wichtigen physikalischen Konzepts des Potentials
Beziehung zwischen potentieller Energie und Kraft für ein konservatives Feld
Die Wechselwirkung eines Teilchens mit umgebenden Körpern kann auf zwei Arten beschrieben werden: mit dem Konzept der Kraft oder mit dem Konzept der potentiellen Energie. Die erste Methode ist allgemeiner, weil es gilt auch für Kräfte
Kinetische Energie eines Teilchens in einem Kraftfeld
Lassen Sie ein Massenteilchen sich mit Kraft bewegen
Gesamte mechanische Energie eines Teilchens
Es ist bekannt, dass der Zuwachs der kinetischen Energie eines Teilchens bei Bewegung in einem Kraftfeld gleich der Elementararbeit aller auf das Teilchen wirkenden Kräfte ist:
Gesetz zur Erhaltung der mechanischen Teilchenenergie
Aus dem Ausdruck folgt, dass sich in einem stationären Feld konservativer Kräfte die gesamte mechanische Energie eines Teilchens ändern kann
Kinematik
Sie können Ihren Körper um einen bestimmten Winkel drehen
Impuls eines Teilchens. Moment der Macht
Neben Energie und Impuls gibt es noch eine weitere physikalische Größe, mit der das Erhaltungsgesetz verbunden ist – den Drehimpuls. Der Drehimpuls des Teilchens
Impulsmoment und Kraftmoment um die Achse
Nehmen wir eine beliebige feste Achse im für uns interessanten Bezugssystem
Gesetz zur Erhaltung des Drehimpulses eines Systems
Betrachten wir ein System bestehend aus zwei wechselwirkenden Teilchen, auf die auch äußere Kräfte einwirken und
Somit bleibt der Drehimpuls eines geschlossenen Teilchensystems konstant und ändert sich nicht mit der Zeit
Dies gilt für jeden Punkt im Inertialbezugssystem: . Impulsmomente einzelner Teile des Systems m
Trägheitsmoment eines starren Körpers
Stellen Sie sich einen festen Körper vor, der das kann
Gleichung der Dynamik der Starrkörperrotation
Die Gleichung für die Rotationsdynamik eines starren Körpers kann erhalten werden, indem die Momentengleichung für einen starren Körper geschrieben wird, der sich um eine beliebige Achse dreht
Kinetische Energie eines rotierenden Körpers
Betrachten wir einen absolut starren Körper, der sich um eine durch ihn verlaufende feste Achse dreht. Zerlegen wir es in Partikel mit kleinen Volumina und Massen
Rotationsarbeit eines starren Körpers
Wenn ein Körper durch Kraft gedreht wird
Zentrifugalkraft der Trägheit
Betrachten wir eine Scheibe, die sich zusammen mit einer Kugel auf einer Feder dreht, die an einer Speiche angebracht ist, Abb. 5.3. Der Ball ist lokalisiert
Corioliskraft
Wenn sich ein Körper relativ zu einem rotierenden CO bewegt, tritt zusätzlich eine weitere Kraft auf – die Corioliskraft oder Corioliskraft
Kleine Schwankungen
Stellen Sie sich ein mechanisches System vor, dessen Position anhand einer einzelnen Größe wie x bestimmt werden kann. In diesem Fall soll das System einen Freiheitsgrad haben. Der Wert von x kann sein
Harmonische Schwingungen
Die Gleichung des 2. Newtonschen Gesetzes in Abwesenheit von Reibungskräften für eine quasielastische Kraft der Form hat die Form:
Mathe-Pendel
Dies ist ein materieller Punkt, der an einem nicht dehnbaren langen Faden aufgehängt ist und in einer vertikalen Ebene schwingt
Physikalisches Pendel
Dabei handelt es sich um einen festen Körper, der um eine feste Achse schwingt, die mit dem Körper verbunden ist. Die Achse steht senkrecht zur Figur und
Gedämpfte Schwingungen
In einem realen schwingungsfähigen System wirken Widerstandskräfte, deren Wirkung im einfachsten Fall zu einer Verringerung der potentiellen Energie des Systems führt und die Schwingungen gedämpft werden
Selbstschwingungen
Bei gedämpften Schwingungen nimmt die Energie des Systems allmählich ab und die Schwingungen hören auf. Um sie ungedämpft zu machen, ist es notwendig, die Energie des Systems in bestimmten Momenten von außen wieder aufzufüllen
Erzwungene Vibrationen
Wenn das Schwingsystem zusätzlich zu den Widerstandskräften der Einwirkung einer äußeren periodischen Kraft unterliegt, die sich nach dem harmonischen Gesetz ändert
Resonanz
Die Kurve der Abhängigkeit der Amplitude erzwungener Schwingungen von führt dazu, dass bei einigen für ein bestimmtes System spezifische
Wellenausbreitung in einem elastischen Medium
Wenn eine Schwingungsquelle an einer beliebigen Stelle in einem elastischen Medium (fest, flüssig, gasförmig) platziert wird, breitet sich die Schwingung aufgrund der Wechselwirkung zwischen Teilchen im Medium von Teilchen zu Stunde aus
Gleichung von ebenen und sphärischen Wellen
Die Wellengleichung drückt die Abhängigkeit der Auslenkung eines oszillierenden Teilchens von seinen Koordinaten aus,
Wellengleichung
Die Wellengleichung ist eine Lösung einer Differentialgleichung, die Wellengleichung genannt wird. Um dies zu ermitteln, ermitteln wir die zweiten partiellen Ableitungen nach Zeit und Koordinaten aus der Gleichung
Der Massenschwerpunkt des Systems ist der Punkt mit dem Radiusvektor
Für eine kontinuierliche Massenverteilung mit der Dichte 
. Wenn die auf jedes Teilchen des Systems ausgeübten Gravitationskräfte gerichtet sind Ein Weg, dann fällt der Massenschwerpunkt mit dem Schwerpunkt zusammen. Aber falls 
nicht parallel, dann fallen Massenschwerpunkt und Schwerpunkt nicht zusammen.
Nehmen Sie die Zeitableitung von 
, wir bekommen:
diese. Der Gesamtimpuls des Systems ist gleich dem Produkt aus seiner Masse und der Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts.
Wenn wir diesen Ausdruck in das Gesetz der Änderung des Gesamtimpulses einsetzen, finden wir:
Der Massenschwerpunkt des Systems bewegt sich wie ein Teilchen, in dem die gesamte Masse des Systems konzentriert ist und auf das die resultierende Masse ausgeübt wird extern Stärke
Bei progressiv Bei der Bewegung bewegen sich alle Punkte eines starren Körpers auf die gleiche Weise wie der Massenschwerpunkt (entlang derselben Trajektorien). Um die Translationsbewegung zu beschreiben, reicht es daher aus, die Bewegungsgleichung des Massenschwerpunkts aufzuschreiben und zu lösen .
Als 
, dann der Schwerpunkt geschlossenes System muss einen Ruhezustand oder eine gleichmäßige lineare Bewegung beibehalten, d. h. 
=konst. Aber gleichzeitig kann sich das gesamte System drehen, auseinanderfliegen, explodieren usw. als Ergebnis der Aktion interne Kräfte.
Strahlantrieb. Meshchersky-Gleichung
Reaktiv bezeichnet die Bewegung eines Körpers, in dem sie auftritt Beitritt oder verwerfen Massen. Während des Bewegungsvorgangs kommt es zu einer Änderung der Masse des Körpers: Während der Zeit dt nimmt ein Körper der Masse m die Masse dm mit einer Geschwindigkeit an (aufnimmt) oder ab (gibt sie ab). 
relativ zum Körper; im ersten Fall dm>0, im zweiten dm<0.
Betrachten wir diese Bewegung am Beispiel einer Rakete. Gehen wir zum Trägheitsbezugssystem K“, das sich zu einem bestimmten Zeitpunkt t mit der gleichen Geschwindigkeit bewegt 
, das Gleiche wie eine Rakete – das nennt man ISO begleitend– In diesem Bezugsrahmen ist die Rakete derzeit t ruht(Raketengeschwindigkeit in diesem System 
=0). Wenn die Summe der auf die Rakete wirkenden äußeren Kräfte ungleich Null ist, dann ist die Bewegungsgleichung der Rakete im K-System, aber da alle ISOs äquivalent sind, hat die Gleichung im K-System die gleiche Form:
Das - Meshchersky-Gleichung, Beschreibung der Bewegung irgendjemand mit variabler Masse).
In der Gleichung ist die Masse m eine variable Größe und kann nicht unter dem Vorzeichen der Ableitung berücksichtigt werden. Der zweite Term auf der rechten Seite der Gleichung heißt reaktive Kraft
Bei einer Rakete spielt die reaktive Kraft die Rolle einer Zugkraft, aber im Fall der Hinzufügung der Masse dm/dt>0 ist die reaktive Kraft auch eine Bremskraft (z. B. wenn sich eine Rakete in einer Wolke bewegt). kosmischer Staub).
Energie eines Teilchensystems
Die Energie eines Teilchensystems besteht aus kinetischer und potentieller Energie. Die kinetische Energie eines Systems ist die Summe der kinetischen Energien aller Teilchen im System
und ist per Definition die Menge Zusatzstoff(wie Impuls).
Anders verhält es sich mit der potentiellen Energie des Systems. Erstens wirken Wechselwirkungskräfte zwischen den Teilchen des Systems 
. DeshalbA ij =-dU ij, wobei U ij die potentielle Energie der Wechselwirkung zwischen dem i-ten und j-ten Teilchen ist. Wenn wir U ij über alle Teilchen des Systems summieren, erhalten wir das sogenannte eigene potentielle Energie Systeme:
Es ist notwendig, dass Die eigene potentielle Energie des Systems hängt nur von seiner Konfiguration ab. Darüber hinaus ist diese Menge nicht additiv.
Zweitens wird jedes Teilchen des Systems im Allgemeinen auch von äußeren Kräften beeinflusst. Wenn diese Kräfte konservativ sind, dann ist ihre Arbeit gleich der Abnahme der externen potentiellen Energie A=-dU ext, wobei
wobei U i die potentielle Energie des i-ten Teilchens in einem externen Feld ist. Sie hängt von den Positionen aller Teilchen im äußeren Feld ab und ist additiv.
Somit ist die gesamte mechanische Energie eines Partikelsystems, das sich in einem externen Potentialfeld befindet, definiert als
E syst =K syst +U int +U ext
Lektion „Massenschwerpunkt“
Zeitplan: 2 Lektionen
Ziel: Machen Sie die Schüler mit dem Konzept des „Massenschwerpunkts“ und seinen Eigenschaften vertraut.
Ausrüstung: Figuren aus Pappe oder Sperrholz, Becher, Taschenmesser, Bleistifte.
Unterrichtsplan
Unterrichtsphasen, zeitliche Methoden und Techniken
I Einführung in die Studierenden 10 Frontalbefragung, Arbeiten der Studierenden an der Tafel.
zum Unterrichtsproblem
II. Etwas Neues lernen 15–20 Geschichte des Lehrers, Problemlösung,
Material: 10 experimentelle Aufgabe
III Neue 10 Schülerbotschaften üben
Material: 10-15 Problemlösung,
15 Frontalumfrage
IV. Schlussfolgerungen. Hausaufgabe 5-10 Mündliche Zusammenfassung des Stoffes durch den Lehrer.
Aufgabe Schreiben an die Tafel
Während des Unterrichts.
ICH Wiederholung 1. Frontalaufnahme: Kraftschulter, Kraftmoment, Gleichgewichtszustand, Gleichgewichtsarten
Epigraph: Der Schwerpunkt jedes Körpers ist ein bestimmter Punkt in seinem Inneren – so dass, wenn man den Körper gedanklich daran hängt, er in Ruhe bleibt und seine ursprüngliche Position beibehält.
II. ErläuterungNeues Material
Gegeben sei ein Körper oder ein System von Körpern. Teilen wir den Körper gedanklich in beliebig kleine Teile mit den Massen m1, m2, m3... Jeder dieser Teile kann als materieller Punkt betrachtet werden. Die Position des i-ten materiellen Punktes mit der Masse mi im Raum wird durch den Radiusvektor bestimmt Rich(Abb. 1.1). Die Masse eines Körpers ist die Summe der Massen seiner einzelnen Teile: m = ∑ mi.
Der Schwerpunkt eines Körpers (Körpersystems) ist ein solcher Punkt C, dessen Radiusvektor durch die Formel bestimmt wird
R= 1/m∙∑mi Rich
Es lässt sich zeigen, dass die Lage des Massenschwerpunktes relativ zum Körper nicht von der Wahl des Ursprungs O abhängt, d.h. Die oben angegebene Definition des Massenschwerpunkts ist eindeutig und korrekt.
Der Massenschwerpunkt homogener symmetrischer Körper liegt in ihrem geometrischen Mittelpunkt bzw. auf der Symmetrieachse; der Massenschwerpunkt eines flachen Körpers in Form eines beliebigen Dreiecks liegt im Schnittpunkt seiner Mediane.
Die Lösung des Problems
PROBLEM 1. Homogene Kugeln mit den Massen m1 = 3 kg, m2 = 2 kg, m3 = 6 kg und m4 = 3 kg werden an einem leichten Stab befestigt (Abb. 1.2). Abstand zwischen den Zentren benachbarter Bälle
a = 10 cm. Bestimmen Sie die Lage des Schwerpunkts und des Massenschwerpunkts der Struktur.
LÖSUNG. Die Lage des Schwerpunkts der Struktur relativ zu den Kugeln hängt nicht von der Ausrichtung des Stabes im Raum ab. Um das Problem zu lösen, ist es zweckmäßig, die Stange horizontal zu platzieren, wie in Abbildung 2 gezeigt. Der Schwerpunkt soll auf der Stange in einem Abstand L von der Mitte der linken Kugel liegen, d.h. von t. A. Im Schwerpunkt wirkt die Resultierende aller Gravitationskräfte und ihr Moment relativ zur Achse A ist gleich der Summe der Schwerkraftmomente der Kugeln. Es gilt r = (m1 + m2 + m3 + m4) g ,
R L = m2gα + m 3 g 2 a + m 4 g 3 a.
Daher ist L=α (m1 +2m3 + 3m4)/ (m1 + m2 + m3 + m4) ≈ 16,4 cm
ANTWORT. Der Schwerpunkt fällt mit dem Massenschwerpunkt zusammen und liegt im Punkt C im Abstand L = 16,4 cm vom Mittelpunkt der linken Kugel.
Es stellt sich heraus, dass der Schwerpunkt eines Körpers (oder eines Körpersystems) eine Reihe bemerkenswerter Eigenschaften aufweist. В динамике показывается, что импульс произвольно движущегося тела равен произведению массы тела на скорость его центра масс и что центр масс движется так, как если бы все внешние силы, действующие на тело, были приложены в центре масс, а масса все-го тела была сосредоточена in ihm.
Der Schwerpunkt eines im Schwerefeld der Erde liegenden Körpers wird als Angriffspunkt der Resultierenden aller auf alle Körperteile wirkenden Schwerkraftkräfte bezeichnet. Diese Resultierende nennt man die auf den Körper wirkende Schwerkraft. Die im Körperschwerpunkt wirkende Schwerkraft hat auf den Körper die gleiche Wirkung wie die auf einzelne Körperteile wirkenden Schwerkraftkräfte.
Ein interessanter Fall ist, wenn die Größe des Körpers viel kleiner ist als die Größe der Erde. Dann können wir davon ausgehen, dass auf alle Körperteile parallele Schwerkraftkräfte wirken, d.h. Der Körper befindet sich in einem gleichmäßigen Gravitationsfeld. Parallele und gleichgerichtete Kräfte haben immer eine nachweisbare Resultierende. Aber bei einer bestimmten Position des Körpers im Raum kann nur die Wirkungslinie der Resultierenden aller parallelen Schwerkraftkräfte angegeben werden; der Punkt ihrer Anwendung bleibt vorerst unbestimmt, weil Bei einem festen Körper kann jede Kraft entlang ihrer Wirkungslinie übertragen werden. Wie sieht es mit dem Bewerbungspunkt aus?
Es kann gezeigt werden, dass für jede Position des Körpers in einem gleichmäßigen Schwerkraftfeld die Wirkungslinie der Resultierenden aller auf einzelne Körperteile wirkenden Gravitationskräfte durch denselben Punkt verläuft, der relativ zum Körper bewegungslos ist. An diesem Punkt wird die gleiche Kraft ausgeübt, und der Punkt selbst wird der Schwerpunkt des Körpers sein.
Die Position des Schwerpunkts relativ zum Körper hängt nur von der Form des Körpers und der Massenverteilung im Körper ab und hängt nicht von der Position des Körpers in einem gleichmäßigen Schwerkraftfeld ab. Der Schwerpunkt liegt nicht unbedingt im Körper selbst. Beispielsweise liegt der Schwerpunkt eines Reifens in einem gleichmäßigen Schwerkraftfeld in seinem geometrischen Mittelpunkt.
In einem gleichmäßigen Schwerkraftfeld fällt der Schwerpunkt eines Körpers mit seinem Massenschwerpunkt zusammen.
In den allermeisten Fällen kann ein Begriff problemlos durch einen anderen ersetzt werden.
Aber: Der Schwerpunkt eines Körpers existiert unabhängig vom Vorhandensein eines Gravitationsfeldes, und wir können vom Schwerpunkt nur dann sprechen, wenn die Schwerkraft vorhanden ist.
Es ist zweckmäßig, die Lage des Körperschwerpunkts und damit des Massenschwerpunkts unter Berücksichtigung der Symmetrie des Körpers und unter Verwendung des Konzepts des Kraftmoments zu ermitteln.
Wenn der Arm der Kraft Null ist, dann ist das Moment der Kraft Null und eine solche Kraft verursacht keine Rotationsbewegung des Körpers.
Wenn also die Wirkungslinie der Kraft durch den Massenschwerpunkt verläuft, dann bewegt sie sich translatorisch.
So können Sie den Schwerpunkt jeder flachen Figur bestimmen. Dazu müssen Sie es an einer Stelle sichern, sodass es sich frei drehen kann. Es wird so installiert, dass die Schwerkraft, die es dreht, durch den Massenschwerpunkt verläuft. Hängen Sie an der Stelle, an der die Figur befestigt ist, einen Faden mit einer Last (Mutter) auf und zeichnen Sie eine Linie entlang der Aufhängung (d. h. die Schwerkraftlinie). Wiederholen wir die Schritte und befestigen die Figur an einer anderen Stelle. Der Schnittpunkt der Wirkungslinien der Schwerkraft ist der Schwerpunkt des Körpers
Experimentelle Aufgabe: Bestimmen Sie den Schwerpunkt einer flachen Figur (basierend auf den zuvor von den Schülern aus Pappe oder Sperrholz vorbereiteten Figuren).
Anleitung: Befestigen Sie die Figur auf einem Stativ. Wir hängen ein Lot an eine der Ecken der Figur. Wir zeichnen die Wirkungslinie der Schwerkraft. Drehen Sie die Figur und wiederholen Sie die Aktion. Der Schwerpunkt liegt im Schnittpunkt der Wirkungslinien der Schwerkraft.
Schüler, die die Aufgabe schnell lösen, können eine zusätzliche Aufgabe erhalten: Befestigen Sie ein Gewicht (Metallbolzen) an der Figur und bestimmen Sie die neue Position des Massenschwerpunkts. Schlussfolgerungen ziehen.
Die Untersuchung der bemerkenswerten Eigenschaften von „Zentren“, die mehr als zweitausend Jahre alt sind, erwies sich nicht nur für die Mechanik als nützlich – beispielsweise bei der Konstruktion von Fahrzeugen und militärischer Ausrüstung, bei der Berechnung der Stabilität von Bauwerken oder bei der Ableitung die Bewegungsgleichungen von Düsenfahrzeugen. Es ist unwahrscheinlich, dass Archimedes sich überhaupt vorstellen konnte, dass das Konzept des Massenschwerpunkts für die Forschung in der Kernphysik oder in der Physik der Elementarteilchen sehr praktisch wäre.
Schülernachrichten:
In seinem Werk „Über das Gleichgewicht flacher Körper“ verwendete Archimedes den Begriff des Schwerpunkts, ohne ihn tatsächlich zu definieren. Offenbar wurde es erstmals von einem unbekannten Vorgänger von Archimedes oder von ihm selbst eingeführt, allerdings in einem früheren Werk, das uns nicht überliefert ist.
Siebzehn lange Jahrhunderte mussten vergehen, bis die Wissenschaft Archimedes‘ Forschungen über die Schwerpunkte durch neue Ergebnisse ergänzte. Dies geschah, als es Leonardo da Vinci gelang, den Schwerpunkt des Tetraeders zu finden. Als er über die Stabilität italienischer schiefer Türme, einschließlich des Pisa-Turms, nachdachte, kam er zum „Theorem über das Stützpolygon“.
Die von Archimedes entdeckten Gleichgewichtsbedingungen schwimmender Körper mussten später wiederentdeckt werden. Dies geschah Ende des 16. Jahrhunderts durch den niederländischen Wissenschaftler Simon Stevin, der neben dem Konzept des Schwerpunkts auch das Konzept des „Druckzentrums“ verwendete – den Angriffspunkt der Druckkraft des Wassers den Körper umgeben.
Es stellte sich heraus, dass Torricellis Prinzip (und die Formeln zur Berechnung des Massenschwerpunkts sind ebenfalls nach ihm benannt) von seinem Lehrer Galileo vorweggenommen wurde. Dieses Prinzip wiederum bildete die Grundlage für Huygens‘ klassische Arbeit über Pendeluhren und wurde auch in Pascals berühmten hydrostatischen Studien verwendet.
Die Methode, die es Euler ermöglichte, die Bewegung eines starren Körpers unter Einwirkung beliebiger Kräfte zu untersuchen, bestand darin, diese Bewegung in die Verschiebung des Massenschwerpunkts des Körpers und die Drehung um die durch ihn verlaufenden Achsen zu zerlegen.
Um Gegenstände bei Bewegungen ihrer Unterlage in einer konstanten Position zu halten, wird seit mehreren Jahrhunderten die sogenannte Kardanaufhängung eingesetzt – eine Vorrichtung, bei der der Schwerpunkt eines Körpers unterhalb der Achsen liegt, um die er sich drehen kann. Ein Beispiel ist die Petroleumlampe eines Schiffs.
Obwohl die Schwerkraft auf dem Mond sechsmal geringer ist als auf der Erde, wäre es möglich, den dortigen Hochsprungrekord „nur“ um das Vierfache zu steigern. Zu dieser Schlussfolgerung führen Berechnungen, die auf Änderungen der Höhe des Körperschwerpunkts des Sportlers basieren.
Neben der täglichen Rotation um ihre Achse und der jährlichen Rotation um die Sonne nimmt die Erde an einer weiteren Kreisbewegung teil. Zusammen mit dem Mond „dreht“ er sich um einen gemeinsamen Massenschwerpunkt, der etwa 4.700 Kilometer vom Erdmittelpunkt entfernt liegt.
Einige künstliche Erdsatelliten sind mit einer mehrere oder sogar mehrere zehn Meter langen Faltstange ausgestattet, die am Ende beschwert ist (der sogenannte Gravitationsstabilisator). Tatsache ist, dass ein länglicher Satellit bei der Bewegung im Orbit dazu neigt, sich um seinen Massenschwerpunkt zu drehen, sodass seine Längsachse vertikal ist. Dann wird er, wie der Mond, immer mit einer Seite der Erde zugewandt sein.
Beobachtungen der Bewegung einiger sichtbarer Sterne deuten darauf hin, dass sie Teil von Doppelsternsystemen sind, in denen „Himmelspartner“ um einen gemeinsamen Massenschwerpunkt rotieren. Einer der unsichtbaren Begleiter in einem solchen System könnte ein Neutronenstern oder möglicherweise ein Schwarzes Loch sein.
Erklärung des Lehrers
Schwerpunktsatz: Der Schwerpunkt eines Körpers kann seine Position nur unter dem Einfluss äußerer Kräfte ändern.
Folgerung des Satzes über den Schwerpunkt: Der Schwerpunkt eines geschlossenen Systems von Körpern bleibt während jeglicher Wechselwirkungen der Körper des Systems bewegungslos.
Lösung des Problems (an der Tafel)
PROBLEM 2. Das Boot steht regungslos im stillen Wasser. Die Person im Boot bewegt sich vom Bug zum Heck. Wie weit h bewegt sich das Boot, wenn die Masse einer Person m = 60 kg, die Masse des Bootes M = 120 kg und die Länge des Bootes L = 3 m beträgt? Wasserbeständigkeit vernachlässigen.
LÖSUNG. Nehmen wir die Bedingung des Problems an, dass die Anfangsgeschwindigkeit des Massenschwerpunkts Null ist (das Boot und der Mann befanden sich zunächst in Ruhe) und es keinen Wasserwiderstand gibt (keine äußeren Kräfte in horizontaler Richtung wirken auf den „Menschen“). Boot“-System). Folglich hat sich die Koordinate des Massenschwerpunkts des Systems in horizontaler Richtung nicht geändert. Abbildung 3 zeigt die Anfangs- und Endpositionen des Bootes und der Person. Anfangskoordinate x0 des Massenschwerpunkts x0 = (mL+ML/2)/(m+M)
Endkoordinate x des Massenschwerpunkts x = (mh+M(h+L/2))/(m+M)
Indem wir x0 = x gleichsetzen, finden wir h= mL/(m+M) =1m
Zusätzlich: Problemsammlung von Stepanova G.N. Nr. 393
Erklärung des Lehrers
Als wir uns an die Gleichgewichtsbedingungen erinnerten, stellten wir fest, dass dies der Fall war
Bei Körpern mit Auflagefläche stellt sich ein stabiles Gleichgewicht ein, wenn die Wirkungslinie der Schwerkraft durch die Unterlage verläuft.
Konsequenz: Je größer die Auflagefläche und je tiefer der Schwerpunkt, desto stabiler ist die Gleichgewichtslage.
Demonstration
Stellen Sie den Kinderspielzeugbecher (Vanka – Vstanka) auf ein raues Brett und heben Sie die rechte Kante des Bretts an. In welche Richtung wird der „Kopf“ des Spielzeugs abweichen, während es sein Gleichgewicht behält?
Erklärung: Der Schwerpunkt C des Bechers liegt unterhalb des geometrischen Mittelpunkts O der Kugeloberfläche des „Rumpfes“. In der Gleichgewichtsposition sollten Punkt C und Kontaktpunkt A eines Spielzeugs mit einer schiefen Ebene auf derselben Vertikalen liegen; Daher weicht der „Kopf“ des Bechers nach links ab
Wie lässt sich die Erhaltung des Gleichgewichts im in der Abbildung dargestellten Fall erklären?
Erklärung: Der Schwerpunkt des Bleistift-Messer-Systems liegt unterhalb des Drehpunkts
IIIKonsolidierung. Frontalvermessung
Fragen und Aufgaben
1. Wenn sich ein Körper vom Äquator zum Pol bewegt, ändert sich die auf ihn wirkende Schwerkraft. Beeinflusst dies die Lage des Körperschwerpunkts?
Antwort: Nein, weil die relativen Änderungen der Schwerkraft aller Körperelemente sind gleich.
2. Ist es möglich, den Schwerpunkt einer „Hantel“ zu ermitteln, die aus zwei massiven Kugeln besteht, die durch einen schwerelosen Stab verbunden sind, vorausgesetzt, dass die Länge der „Hantel“ mit dem Durchmesser der Erde vergleichbar ist?
Antwort: Nein. Voraussetzung für die Existenz eines Schwerpunktes ist die Gleichmäßigkeit des Schwerefeldes. In einem ungleichmäßigen Gravitationsfeld führen Rotationen der „Hantel“ um ihren Massenschwerpunkt dazu, dass die Wirkungslinien L1 und L2, die resultierenden auf die Kugeln wirkenden Schwerkraftkräfte, keinen gemeinsamen Punkt haben
3. Warum senkt sich der vordere Teil eines Autos, wenn man stark bremst?
Antwort: Beim Bremsen wirkt eine Reibungskraft auf die Räder am Straßenrand und erzeugt ein Drehmoment um den Schwerpunkt des Fahrzeugs.
4. Wo liegt der Schwerpunkt des Donuts?
Antwort: im Loch!
5. Wasser wird in ein zylindrisches Glas gegossen. Wie wird sich die Lage des Schwerpunkts des Glas-Wasser-Systems verändern?
Antwort: Der Schwerpunkt des Systems wird zunächst sinken und dann steigen.
6. Welche Endlänge muss von einem homogenen Stab abgeschnitten werden, damit sich sein Schwerpunkt um ∆ℓ verschiebt?
Antwort: Länge 2∆ℓ.
7. Ein homogener Stab wurde in der Mitte im rechten Winkel gebogen. Wo war jetzt sein Schwerpunkt?
Antwort: am Punkt O – der Mitte des Segments O1O2, das die Mittelpunkte der Abschnitte AB und BC der Stange verbindet
9. Die stationäre Raumstation ist ein Zylinder. Der Astronaut beginnt einen Rundgang um die Station entlang ihrer Oberfläche. Was passiert mit der Station?
Antwort: Mit Die Station beginnt sich in die entgegengesetzte Richtung zu drehen und ihr Mittelpunkt beschreibt einen Kreis um denselben Massenschwerpunkt wie der Astronaut.
11. Warum ist es schwierig, auf Stelzen zu gehen?
Antwort: Der Schwerpunkt eines Menschen auf Stelzen erhöht sich deutlich und die Fläche seiner Stütze auf dem Boden nimmt ab.
12. Wann fällt es einem Seiltänzer leichter, das Gleichgewicht zu halten – bei der normalen Bewegung entlang eines Seils oder beim Tragen eines stark gebogenen Balkens, der mit Eimern voll Wasser beladen ist?
Antwort: Im zweiten Fall liegt der Schwerpunkt des Seilläufers mit Eimern tiefer, d.h. näher an der Stütze - dem Seil.
IVHausaufgaben:(wird von denen durchgeführt, die es wünschen – die Aufgaben sind schwierig, wer sie löst, erhält eine „5“).
*1. Finden Sie den Schwerpunkt des Kugelsystems, der sich an den Eckpunkten des in der Abbildung gezeigten gleichseitigen schwerelosen Dreiecks befindet
Antwort: Der Schwerpunkt liegt in der Mitte der Winkelhalbierenden, an deren Scheitelpunkt sich eine Kugel mit einer Masse von 2 m befindet
*2. Die Tiefe des Lochs im Brett, in das die Kugel eingeführt wird, beträgt die Hälfte des Radius der Kugel. In welchem Winkel der Brettneigung zum Horizont springt der Ball aus dem Loch?
