In diesem Artikel werden wir die Definition des Zahlenkreises ausführlich analysieren, seine Haupteigenschaft herausfinden und die Zahlen 1,2,3 usw. anordnen. Informationen zum Markieren anderer Zahlen auf dem Kreis (zum Beispiel \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π) ( 6)\)) versteht .
Zahlenkreis wird ein Kreis mit Einheitsradius genannt, dessen Punkte übereinstimmen , geordnet nach folgenden Regeln:
1) Der Ursprung liegt am äußersten rechten Punkt des Kreises;
2) Gegen den Uhrzeigersinn – positive Richtung; im Uhrzeigersinn – negativ;
3) Tragen wir den Abstand \(t\) auf dem Kreis in positiver Richtung ein, dann gelangen wir zu einem Punkt mit dem Wert \(t\);
4) Tragen wir den Abstand \(t\) auf dem Kreis in negativer Richtung ein, dann gelangen wir zu einem Punkt mit dem Wert \(–t\).
Warum heißt der Kreis Zahlenkreis?
Weil darauf Zahlen stehen. Auf diese Weise ähnelt der Kreis der Zahlenachse – auf dem Kreis gibt es wie auf der Achse für jede Zahl einen bestimmten Punkt.
Warum wissen, was ein Zahlenkreis ist?
Mithilfe des Zahlenkreises werden die Werte von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens ermittelt. Um Trigonometrie zu beherrschen und das Einheitliche Staatsexamen mit mehr als 60 Punkten zu bestehen, müssen Sie daher verstehen, was ein Zahlenkreis ist und wie man Punkte darauf platziert.
Was bedeuten die Worte „...mit Einheitsradius...“ in der Definition?
Das bedeutet, dass der Radius dieses Kreises gleich \(1\) ist. Und wenn wir einen solchen Kreis mit dem Mittelpunkt im Ursprung konstruieren, dann schneidet er die Achsen in den Punkten \(1\) und \(-1\).
Es muss nicht unbedingt klein gezeichnet werden; man kann die „Größe“ der Unterteilungen entlang der Achsen verändern, dann wird das Bild größer (siehe unten).
Warum ist der Radius genau eins? Dies ist praktischer, da wir in diesem Fall bei der Berechnung des Umfangs mit der Formel \(l=2πR\) Folgendes erhalten:
Die Länge des Zahlenkreises beträgt \(2π\) oder ungefähr \(6,28\).
Was bedeutet „...deren Punkte reellen Zahlen entsprechen“?
Wie wir oben sagten, wird es auf dem Zahlenkreis für jede reelle Zahl definitiv ihren „Platz“ geben – einen Punkt, der dieser Zahl entspricht.
Warum den Ursprung und die Richtung auf dem Zahlenkreis bestimmen?
Der Hauptzweck des Zahlenkreises besteht darin, seinen Punkt für jede Zahl eindeutig zu bestimmen. Aber wie können Sie bestimmen, wo Sie den Punkt setzen sollen, wenn Sie nicht wissen, von wo aus Sie zählen und wohin Sie sich bewegen sollen?
Hier ist es wichtig, den Ursprung auf der Koordinatenlinie und auf dem Zahlenkreis nicht zu verwechseln – das sind zwei verschiedene Bezugssysteme! Und verwechseln Sie auch nicht \(1\) auf der \(x\)-Achse und \(0\) auf dem Kreis – das sind Punkte auf verschiedenen Objekten.
Welche Punkte entsprechen den Zahlen \(1\), \(2\) usw.?
Erinnern Sie sich, wir haben angenommen, dass der Zahlenkreis einen Radius von \(1\) hat? Dies wird unser Einheitssegment sein (in Analogie zur Zahlenachse), das wir auf dem Kreis eintragen.
Um einen Punkt auf dem Zahlenkreis zu markieren, der der Zahl 1 entspricht, müssen Sie von 0 bis zu einem Abstand gehen, der dem Radius in positiver Richtung entspricht.
Um einen Punkt auf dem Kreis zu markieren, der der Zahl \(2\) entspricht, müssen Sie eine Distanz zurücklegen, die zwei Radien vom Ursprung entspricht, sodass \(3\) eine Distanz gleich drei Radien usw. ist.
Wenn Sie sich dieses Bild ansehen, haben Sie möglicherweise zwei Fragen:
1. Was passiert, wenn der Kreis „endet“ (d. h. wir eine vollständige Revolution machen)?
Antwort: Auf geht's in die zweite Runde! Und wenn der zweite vorbei ist, gehen wir zum dritten über und so weiter. Daher können unendlich viele Zahlen auf einem Kreis aufgetragen werden.
2. Wo werden die negativen Zahlen sein?
Antwort: genau dort! Sie können auch so angeordnet werden, dass die erforderliche Anzahl an Radien von Null an gezählt wird, jedoch jetzt in negativer Richtung.
Leider ist es schwierig, ganze Zahlen auf dem Zahlenkreis zu bezeichnen. Dies liegt daran, dass die Länge des Zahlenkreises nicht gleich einer ganzen Zahl ist: \(2π\). Und an den bequemsten Stellen (an den Schnittpunkten mit den Achsen) gibt es auch Brüche, keine ganzen Zahlen
Videounterricht gehört zu den effektivsten Lehrmitteln, insbesondere in Schulfächern wie Mathematik. Daher hat der Autor dieses Materials nur nützliche, wichtige und kompetente Informationen zu einem Ganzen zusammengefasst.
Diese Lektion dauert 11:52 Minuten. Es dauert fast genauso lange, bis ein Lehrer im Unterricht neues Material zu einem bestimmten Thema erklärt. Obwohl der Hauptvorteil der Videolektion darin besteht, dass die Schüler aufmerksam zuhören, worüber der Autor spricht, ohne durch überflüssige Themen und Gespräche abgelenkt zu werden. Denn wenn die Schüler nicht aufmerksam zuhören, verpassen sie einen wichtigen Punkt des Unterrichts. Und wenn der Lehrer den Stoff selbst erklärt, können seine Schüler mit ihren Gesprächen zu abstrakten Themen leicht vom Wesentlichen ablenken. Und natürlich wird klar, welche Methode rationeller ist.
Der Autor widmet den Beginn der Lektion der Wiederholung derjenigen Funktionen, die den Schülern bereits früher im Algebrakurs bekannt waren. Und die ersten, die mit dem Studium beginnen, sind trigonometrische Funktionen. Um sie zu berücksichtigen und zu untersuchen, ist ein neues mathematisches Modell erforderlich. Und aus diesem Modell wird der Zahlenkreis, der genau das ist, was im Unterrichtsthema steht. Dazu wird der Begriff des Einheitskreises eingeführt und dessen Definition angegeben. Weiter unten in der Abbildung zeigt der Autor alle Komponenten eines solchen Kreises und was den Schülern beim weiteren Lernen nützlich sein wird. Bögen geben Viertel an.
Dann schlägt der Autor vor, den Zahlenkreis zu berücksichtigen. Hier macht er die Bemerkung, dass es bequemer sei, einen Einheitskreis zu verwenden. Dieser Kreis zeigt, wie Punkt M erhalten wird, wenn t>0, t<0 или t=0. После этого вводится понятие самой числовой окружности.
Als nächstes erinnert der Autor die Schüler daran, wie man den Umfang eines Kreises ermittelt. Und dann wird die Länge des Einheitskreises ausgegeben. Es wird vorgeschlagen, diese theoretischen Daten in die Praxis umzusetzen. Betrachten Sie dazu ein Beispiel, bei dem Sie einen Punkt auf einem Kreis finden müssen, der bestimmten Zahlenwerten entspricht. Der Lösung des Beispiels liegt eine Veranschaulichung in Form eines Bildes sowie die notwendigen mathematischen Notationen bei.
Gemäß der Bedingung des zweiten Beispiels müssen Punkte auf dem Zahlenkreis gefunden werden. Auch hier ist die gesamte Lösung mit Kommentaren, Abbildungen und mathematischer Notation versehen. Dies trägt zur Entwicklung und Verbesserung der mathematischen Kompetenz der Schüler bei. Das dritte Beispiel ist ähnlich aufgebaut.
Als nächstes notiert der Autor diejenigen Zahlen auf dem Kreis, die häufiger vorkommen als andere. Hier schlägt er vor, zwei Modelle eines Zahlenkreises zu erstellen. Wenn beide Layouts fertig sind, wird das nächste, vierte Beispiel betrachtet, bei dem Sie einen Punkt auf dem Zahlenkreis finden müssen, der der Zahl 1 entspricht. Nach diesem Beispiel wird eine Aussage formuliert, nach der Sie den Punkt M finden können, der entspricht die Zahl t.
Als nächstes wird eine Bemerkung eingeführt, nach der die Schüler lernen, dass die Zahl „pi“ allen Zahlen entspricht, die auf einen bestimmten Punkt fallen, wenn er den gesamten Kreis durchläuft. Diese Information wird durch das fünfte Beispiel gestützt. Seine Lösung enthält logisch korrekte Überlegungen und Zeichnungen, die die Situation veranschaulichen.
TEXTDEKODIERUNG:
ZAHLENKREIS
Zuvor haben wir Funktionen untersucht, die durch analytische Ausdrücke definiert sind. Und diese Funktionen wurden algebraisch genannt. Im Schulmathematikkurs werden jedoch Funktionen anderer Klassen untersucht, nicht algebraische. Beginnen wir mit dem Erlernen trigonometrischer Funktionen.
Um trigonometrische Funktionen einzuführen, benötigen wir ein neues mathematisches Modell – den Zahlenkreis. Betrachten wir den Einheitskreis. Ein Kreis, dessen Radius dem Skalensegment entspricht, ohne Angabe spezifischer Maßeinheiten, wird als Einheit bezeichnet. Der Radius eines solchen Kreises wird mit 1 angenommen.
Wir verwenden einen Einheitskreis, in dem die horizontalen und vertikalen Durchmesser CA und DB (ce a und de be) eingezeichnet sind (siehe Abbildung 1).
Wir nennen arc AB das erste Viertel, arc BC das zweite Viertel, arc CD das dritte Viertel und arc DA das vierte Viertel.
Betrachten Sie den Zahlenkreis. Im Allgemeinen kann jeder Kreis als numerischer Kreis betrachtet werden, es ist jedoch bequemer, für diesen Zweck den Einheitskreis zu verwenden.
DEFINITION Es wird ein Einheitskreis angegeben, auf dem der Startpunkt A markiert ist – das rechte Ende des horizontalen Durchmessers. Ordnen wir jede reelle Zahl t (te) gemäß der folgenden Regel einem Punkt auf dem Kreis zu:
1) Wenn t>0 (te ist größer als Null), dann beschreiben wir, wenn wir uns von Punkt A gegen den Uhrzeigersinn (positive Richtung des Kreises) bewegen, einen Weg AM (a em) der Länge t entlang des Kreises. Punkt M ist der gewünschte Punkt M(t) (em von te).
2) Wenn t<0(тэ меньше нуля), то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь АМ (а эм) длины |t| (модуль тэ). Точка М и будет искомой точкой М(t) (эм от тэ).
3) Ordnen wir den Punkt A der Zahl t = 0 zu.
Ein Einheitskreis mit einer etablierten Entsprechung (zwischen reellen Zahlen und Punkten auf dem Kreis) wird Zahlenkreis genannt.
Es ist bekannt, dass der Umfang L (el) durch die Formel L = 2πR (el entspricht zwei pi er) berechnet wird, wobei π≈3,14, R der Radius des Kreises ist. Für einen Einheitskreis R=1cm bedeutet das L=2π≈6,28 cm (el entspricht zwei Pi, ungefähr 6,28).
Schauen wir uns Beispiele an.
BEISPIEL 1. Finden Sie einen Punkt auf dem Zahlenkreis, der der angegebenen Zahl entspricht: ,.(Pi mal zwei, Pi, drei Pi mal zwei, zwei Pi, elf Pi mal zwei, sieben Pi, minus fünf Pi mal zwei)
Lösung. Die ersten sechs Zahlen sind positiv. Um die entsprechenden Punkte auf dem Kreis zu finden, müssen Sie daher einen Weg einer bestimmten Länge entlang des Kreises zurücklegen und sich dabei von Punkt A in die positive Richtung bewegen. Die Länge jedes Viertels eines Einheitskreises ist gleich. Dies bedeutet AB =, d. h. Punkt B entspricht der Zahl (siehe Abb. 1). AC = , also Punkt C entspricht der Zahl. AD = , also Punkt D entspricht der Zahl. Und Punkt A entspricht wiederum der Zahl, denn nachdem wir einen Weg entlang des Kreises gegangen waren, landeten wir am Ausgangspunkt A.
Überlegen wir, wo der Punkt liegen wird. Da wir bereits wissen, wie lang der Kreis ist, reduzieren wir ihn auf die Form (vier Pi plus drei Pi mal zwei). Das heißt, wenn Sie sich von Punkt A in die positive Richtung bewegen, müssen Sie einen ganzen Kreis zweimal beschreiben (einen Weg mit der Länge 4π) und zusätzlich einen Weg mit der Länge, der am Punkt D endet.
Was? Das ist 3∙2π + π (drei mal zwei pi plus pi). Das bedeutet, dass man von Punkt A aus in positiver Richtung dreimal einen ganzen Kreis und zusätzlich einen Weg der Länge π beschreiben muss, der am Punkt C endet.
Um einen Punkt auf dem Zahlenkreis zu finden, der einer negativen Zahl entspricht, müssen Sie von Punkt A aus entlang des Kreises in negativer Richtung (im Uhrzeigersinn) einen Weg der Länge zurücklegen, und dieser entspricht 2π +. Dieser Weg endet an Punkt D.
BEISPIEL 2. Finden Sie Punkte auf dem Zahlenkreis (Pi mal sechs, Pi mal vier, Pi mal drei).
Lösung. Wenn wir den Bogen AB in zwei Hälften teilen, erhalten wir den entsprechenden Punkt E. Und indem wir den Bogen AB durch die Punkte F und O in drei gleiche Teile teilen, erhalten wir, dass Punkt F entspricht und Punkt T entspricht
(siehe Abbildung 2).
BEISPIEL 3. Finden Sie Punkte auf dem Zahlenkreis (minus dreizehn Pi mal vier, neunzehn Pi mal sechs).
Lösung. Wenn wir den Bogen AE (a em) der Länge (pi mal vier) von Punkt A aus dreizehn Mal in negativer Richtung ablegen, erhalten wir Punkt H (Asche) – die Mitte des Bogens BC.
Wenn wir von Punkt A neunzehnmal in positiver Richtung einen Bogen AF der Länge (pi mal sechs) ablegen, gelangen wir zum Punkt N (en), der zum dritten Viertel (Bogen CD) gehört und CN gleich dem dritten Teil des ist arc CD (se de).
(siehe Abbildung Beispiel 2).
Am häufigsten muss man auf dem Zahlenkreis nach Punkten suchen, die den Zahlen (Pi mal sechs, Pi mal vier, Pi mal drei, Pi mal zwei) entsprechen, sowie nach solchen, die ein Vielfaches davon sind, also (sieben). Pi mal sechs, fünf Pi mal vier, vier Pi mal drei, elf Pi mal zwei). Um schnell navigieren zu können, empfiehlt es sich daher, zwei Layouts des Zahlenkreises zu erstellen.
Auf dem ersten Layout wird jedes Viertel des Zahlenkreises in zwei gleiche Teile geteilt und neben jedem der resultierenden Punkte werden wir ihre „Namen“ schreiben:
Auf dem zweiten Layout wird jedes der Viertel in drei gleiche Teile geteilt und neben jedem der resultierenden zwölf Punkte schreiben wir ihre „Namen“:
Wenn wir uns im Uhrzeigersinn bewegen, erhalten wir die gleichen „Namen“ für die Punkte auf den Zeichnungen, nur mit einem Minuswert. Für das erste Layout:
Ähnlich verhält es sich, wenn Sie sich vom Punkt O aus im Uhrzeigersinn entlang des zweiten Layouts bewegen.
BEISPIEL 4. Finden Sie Punkte auf dem Zahlenkreis, die den Zahlen 1 (eins) entsprechen.
Lösung. In dem Wissen, dass π≈3,14 (Pi ist ungefähr gleich drei Komma vierzehn Hundertstel), ≈ 1,05 (Pi mal drei ist ungefähr gleich ein Komma fünf Hundertstel), ≈ 0,79 (Pi mal vier ist ungefähr gleich Null Komma neunundsiebzig Hundertstel). Bedeutet,< 1 < (один больше, чем пи на четыре, но меньше, чем пи на три), то есть число 1 находится в первой четверти.
Die folgende Aussage ist wahr: Wenn ein Punkt M auf dem Zahlenkreis einer Zahl t entspricht, dann entspricht er einer beliebigen Zahl der Form t + 2πk(te plus zwei pi ka), wobei ka eine beliebige ganze Zahl und k istϵ Z(ka gehört Zet).
Mit dieser Aussage können wir schließen, dass der Punkt allen Punkten der Form t =+ 2πk entspricht (te ist gleich pi mal drei plus zwei Spitzen), wobei kϵZ ( ka gehört zu zet) und zum Punkt (fünf pi mal vier) - Punkte der Form t = + 2πk (te ist gleich fünf pi mal vier plus zwei pi ka), wobei kϵZ ( ka gehört zu zet) und so weiter.
BEISPIEL 5. Finden Sie den Punkt auf dem Zahlenkreis: a) ; B) .
Lösung. a) Wir haben: = =(6 +) ∙ π = 6π + = + 3∙ 2π.(zwanzig Pi mal drei ist gleich zwanzig mal drei Pi ist gleich sechs plus zwei Drittel, multipliziert mit Pi ist gleich sechs Pi plus zwei Pi mal drei ist gleich zwei Pi mal drei plus dreimal zwei Pi).
Das bedeutet, dass die Zahl dem gleichen Punkt auf dem Zahlenkreis entspricht wie die Zahl (das ist das zweite Viertel) (siehe zweites Layout in Abb. 4).
b) Wir haben: = - (8 +) ∙ π = + 2π ∙ (- 4). (minus fünfunddreißig Pi mal vier ist gleich minus acht plus drei Viertel mal Pi ist gleich minus drei Pi mal vier plus zwei Pi mal minus vier ). Das heißt, die Zahl entspricht demselben Punkt auf dem Zahlenkreis wie die Zahl
In dieser Lektion erinnern wir uns an die Definition einer Zahlenlinie und geben eine neue Definition eines Zahlenkreises. Wir werden auch eine wichtige Eigenschaft des Zahlenkreises und wichtige Punkte auf dem Kreis im Detail betrachten. Definieren wir die direkten und inversen Probleme für den Zahlenkreis und lösen wir einige Beispiele solcher Probleme.
Thema: Trigonometrische Funktionen
Lektion: Zahlenkreis
Für jede Funktion wird das unabhängige Argument entweder um verzögert Zahlenstrahl, oder auf einem Kreis. Lassen Sie uns sowohl die Zahlenlinie als auch charakterisieren Zahlenkreis.
Die Gerade wird zu einer Zahlenlinie (Koordinatenlinie), wenn der Koordinatenursprung markiert und Richtung und Maßstab ausgewählt werden (Abb. 1).
Die Zahlengerade stellt eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen allen Punkten auf der Geraden und allen reellen Zahlen her.
Nehmen wir zum Beispiel eine Zahl und tragen sie auf die Koordinatenachse ein, erhalten wir einen Punkt. Wir nehmen eine Zahl und tragen sie auf die Achse ein, wir erhalten einen Punkt (Abb. 2).
Und umgekehrt, wenn wir einen beliebigen Punkt auf der Koordinatenlinie nehmen, dann gibt es eine eindeutige entsprechende reelle Zahl (Abb. 2).
Die Leute kamen nicht sofort zu einer solchen Korrespondenz. Um dies zu verstehen, erinnern wir uns an die grundlegenden Zahlenmengen.
Zuerst haben wir eine Menge natürlicher Zahlen eingeführt
Dann eine Menge von ganzen Zahlen 
Satz rationaler Zahlen
Es wurde angenommen, dass diese Mengen ausreichen würden und dass zwischen allen rationalen Zahlen und Punkten auf einer Geraden eine Eins-zu-eins-Entsprechung bestehen würde. Es stellte sich jedoch heraus, dass es unzählige Punkte auf der Zahlenlinie gibt, die nicht durch Zahlen dieser Form beschrieben werden können
Ein Beispiel ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Schenkeln 1 und 1. Sie ist gleich (Abb. 3).
Gibt es in der Menge der rationalen Zahlen eine Zahl, die genau gleich ist? Nein, die gibt es nicht. Lassen Sie uns diese Tatsache beweisen.
Beweisen wir es durch Widerspruch. Nehmen wir an, dass es einen Bruch gibt, der gleich ist, d. h.
Dann quadrieren wir beide Seiten. Offensichtlich ist die rechte Seite der Gleichheit durch 2 teilbar. Das bedeutet und Then Aber dann und A bedeutet Dann stellt sich heraus, dass der Bruch reduzierbar ist. Dies widerspricht der Bedingung, was bedeutet
Die Zahl ist irrational. Die Menge der rationalen und irrationalen Zahlen bildet die Menge der reellen Zahlen 
Wenn wir einen beliebigen Punkt auf einer Geraden nehmen, entspricht ihm eine reelle Zahl. Und wenn wir eine beliebige reelle Zahl nehmen, gibt es auf der Koordinatenlinie einen einzigen entsprechenden Punkt.
Lassen Sie uns klären, was ein Zahlenkreis ist und welche Beziehungen zwischen der Menge der Punkte auf dem Kreis und der Menge der reellen Zahlen bestehen.
Ursprung - Punkt A. Zählrichtung – gegen den Uhrzeigersinn – positiv, im Uhrzeigersinn – negativ. Maßstab - Umfang (Abb. 4).
Wir stellen diese drei Bestimmungen vor Zahlenkreis. Wir zeigen Ihnen, wie Sie jeder Zahl einen Punkt auf einem Kreis zuordnen und umgekehrt.
Durch Festlegen der Nummer Wir bekommen einen Punkt auf dem Kreis
Jede reelle Zahl entspricht einem Punkt auf dem Kreis. Wie wäre es umgekehrt?
Der Punkt entspricht der Zahl. Und wenn wir Zahlen nehmen, haben alle diese Zahlen nur einen Punkt in ihrem Bild auf dem Kreis
Entspricht zum Beispiel dem Punkt B(Abb. 4).
Nehmen wir alle Zahlen. Sie entsprechen alle dem Punkt. B. Es gibt keine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen allen reellen Zahlen und Punkten auf einem Kreis.
Wenn es eine feste Zahl gibt, entspricht ihr nur ein Punkt auf dem Kreis
Wenn es einen Punkt auf einem Kreis gibt, dann gibt es eine Menge von Zahlen, die ihm entsprechen
Im Gegensatz zu einer geraden Linie gibt es bei einem Koordinatenkreis keine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen Punkten und Zahlen. Jede Zahl entspricht nur einem Punkt, aber jeder Punkt entspricht einer unendlichen Anzahl von Zahlen, und wir können sie aufschreiben.
Schauen wir uns die Hauptpunkte des Kreises an.
Finden Sie anhand einer gegebenen Zahl heraus, welchem Punkt auf dem Kreis sie entspricht.
Wenn wir den Bogen in zwei Hälften teilen, erhalten wir einen Punkt (Abb. 5).
Inverses Problem: Finden Sie bei einem gegebenen Punkt in der Mitte eines Bogens alle reellen Zahlen, die ihm entsprechen.
Markieren wir alle Mehrfachbögen auf dem Zahlenkreis (Abb. 6).
Bögen, die ein Vielfaches von sind
Es wird eine Zahl angegeben. Sie müssen den entsprechenden Punkt finden.
Inverses Problem: Bei einem gegebenen Punkt müssen Sie herausfinden, welchen Zahlen er entspricht.
Wir haben uns zwei Standardaufgaben an zwei kritischen Punkten angesehen.
a) Finden Sie einen Punkt auf dem Zahlenkreis mit Koordinaten
Verzögerung vom Punkt A Das sind zwei ganze Runden und noch eine halbe, und wir bekommen einen Punkt M- Dies ist die Mitte des dritten Viertels (Abb. 8).
Antwort. Punkt M- Mitte des dritten Quartals.
b) Finden Sie einen Punkt auf dem Zahlenkreis mit Koordinaten
Verzögerung vom Punkt A eine volle Drehung und wir bekommen immer noch einen Punkt N(Abb. 9).
Antwort: Punkt N ist im ersten Quartal.
Wir schauten uns den Zahlenstrahl und den Zahlenkreis an und erinnerten uns an ihre Eigenschaften. Eine Besonderheit der Zahlengeraden ist die Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen den Punkten dieser Geraden und der Menge der reellen Zahlen. Es gibt keine solche Eins-zu-eins-Entsprechung im Kreis. Jede reelle Zahl auf dem Kreis entspricht einem einzelnen Punkt, aber jeder Punkt auf dem Zahlenkreis entspricht einer unendlichen Anzahl reeller Zahlen.
In der nächsten Lektion betrachten wir den Zahlenkreis in der Koordinatenebene.
Literaturverzeichnis zum Thema „Zahlenkreis“, „Punkt auf einem Kreis“
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2. Algebra und Beginn der Analysis, Klasse 10 (in zwei Teilen). Problembuch für Bildungseinrichtungen (Profilebene), hrsg. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra und mathematische Analyse für die 10. Klasse (Lehrbuch für Schüler von Schulen und Klassen mit vertieftem Mathematikstudium). - M.: Prosveshchenie, 1996.
4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Eingehendes Studium der Algebra und mathematischen Analyse.-M.: Bildung, 1997.
5. Sammlung von Problemen in der Mathematik für Bewerber an Hochschulen (herausgegeben von M.I. Skanavi). - M.: Higher School, 1992.
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8. Karp A.P. Sammlung von Problemen zur Algebra und Prinzipien der Analyse: Lehrbuch. Zulage für die Klassen 10-11. mit Tiefgang studiert Mathematik.-M.: Bildung, 2006.
Hausaufgaben
Algebra und Beginn der Analysis, Klasse 10 (in zwei Teilen). Problembuch für Bildungseinrichtungen (Profilebene), hrsg. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
№№ 11.6 - 11.12, 11.15 - 11.17.
Zusätzliche Webressourcen
3. Bildungsportal zur Prüfungsvorbereitung ().
Artikelname Algebra und Beginn der mathematischen Analysis
Klasse 10
UMK Algebra und Anfänge der mathematischen Analyse, Klassen 10-11. UM 2 . Teil 1. Lehrbuch für allgemeinbildende Einrichtungen (Grundstufe) / A.G. Mordkowitsch. – 10. Auflage, Ster. - M.: Mnemosyne, 2012. Teil 2. Problembuch für Bildungseinrichtungen (Grundstufe) /[ A.G. Mordkovich et al.]; bearbeitet von A.G. Mordkowitsch. – 10. Auflage, Ster. - M.: Mnemosyne, 2012.
Studienniveau. Base
Unterrichtsthema Zahlenkreis (2 Uhr)
Lektion 1
Ziel: Führen Sie das Konzept eines Zahlenkreises als Modell eines krummlinigen Koordinatensystems ein.
Aufgaben : die Fähigkeit entwickeln, den Zahlenkreis beim Lösen von Problemen zu verwenden.
Geplante Ergebnisse:
Während des Unterrichts
Zeit organisieren.
2. Überprüfung von Hausaufgaben, die den Schülern Schwierigkeiten bereitet haben
II. Mündliche Arbeit.
1. Ordnen Sie jedem Intervall auf der Zahlengeraden eine Ungleichung und eine analytische Notation für das Intervall zu. Tragen Sie die Daten in die Tabelle ein.
A (– ; –5] D (–5; 5)
B [–5; 5] E (– ; –5)
IN [–5; + ) UND [–5; 5)
G (–5; 5] Z (–5; + )
1 –5 < X < 5 5 –5 X 5
2 X –5 6 X –5
3 –5 < X 5 7 5 X < 5
4 X < –5 8 X > –5
A1. Im Gegensatz zur untersuchten Zahlenlinie ist der Zahlenkreis ein komplexeres Modell. Das zugrunde liegende Konzept eines Bogens ist in der Geometrie nicht zuverlässig ausgearbeitet.
2 . Arbeiten mit dem Lehrbuch . Schauen wir uns ein praktisches Beispiel mit an. 23–24 Lehrbücher (Stadionlaufbahn). Sie können die Schüler bitten, ähnliche Beispiele zu nennen (die Bewegung eines Satelliten im Orbit, die Drehung eines Zahnrads usw.).
3. Wir begründen die Zweckmäßigkeit der Verwendung des Einheitskreises als numerischen Kreis.
4. Arbeiten mit dem Lehrbuch. Schauen wir uns Beispiele von S. 25–31 Lehrbücher. Die Autoren betonen, dass für die erfolgreiche Beherrschung des Zahlenkreismodells sowohl das Lehrbuch als auch das Problembuch ein System spezieller „didaktischer Spiele“ vorsieht. Es gibt sechs davon, in dieser Lektion werden wir die ersten vier verwenden.
(Mordkovich A. G. M79 Algebra und die Anfänge der mathematischen Analyse. Klassen 10-11 (Grundstufe): Methodenhandbuch für Lehrer / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - M.: Mnemosyna, 2010. - 202 S. : krank.)
1. „Spiel“ – Berechnung der Bogenlänge eines Einheitskreises. Die Schüler sollten sich daran gewöhnen, dass die Länge des gesamten Kreises 2 beträgt , ein halber Kreis – , Viertelkreis – usw.
2. „Spiel“ – Finden von Punkten auf dem Zahlenkreis, die bestimmten Zahlen entsprechen, ausgedrückt in Bruchteilen einer Zahl
zum Beispiel Punkte 
usw. („gute“ Zahlen und Punkte).
3. „Spiel“ – Finden von Punkten auf dem Zahlenkreis, die gegebenen Zahlen entsprechen, die nicht in Bruchteilen einer Zahl ausgedrückt werden zum Beispiel Punkte M (1), M (–5) usw. („schlechte“ Zahlen und Punkte).
4. „Spiel“ – Aufzeichnung von Zahlen, die einem bestimmten „guten“ Punkt auf dem Zahlenkreis entsprechen, zum Beispiel ist die Mitte des ersten Viertels „gut“, die entsprechenden Zahlen haben die Form 
Dynamische Pause
Die in dieser Lektion gelösten Übungen entsprechen den vier vorgesehenen Didaktikspielen. Die Schüler verwenden ein Zahlenkreislayout mit DurchmessernWechselstrom (horizontal) undBD(Vertikale).
1. № 4.1, № 4.3.
Lösung:
№ 4.3.
2. № 4.5 (a; b) – 4.11 (a; b).
3. № 4.12.
4. № 4.13 (a; b), № 4.14.
Lösung:
№ 4.13.
V. Testarbeit.
Variante 1
Option 2
1. Markieren Sie den Punkt auf dem Zahlenkreis, der dieser Zahl entspricht:
2. Finden Sie alle Zahlen, die den auf dem Zahlenkreis markierten Punkten entsprechen.
VI. Zusammenfassung der Lektion.
Fragen an Studierende:
– Geben Sie die Definition eines Zahlenkreises an.
– Wie lang ist ein Einheitskreis? Länge eines halben Einheitskreises? Ihr Quartier?
– Wie findet man auf dem Zahlenkreis einen Punkt, der einer Zahl entspricht? Nummer 5?
Hausaufgaben:, Seite 23. Nr. 4.2, Nr. 4.4, Nr. 4.5 (c; d) – Nr. 4.11 (c; d), Nr. 4.13 (c; d), Nr. 4.15.
Lektion 2
Ziele : Konsolidieren Sie das Konzept des Zahlenkreises als Modell eines krummlinigen Koordinatensystems.
Aufgaben : die Fähigkeit weiterentwickeln, Punkte auf dem Zahlenkreis zu finden, die gegebenen „guten“ und „schlechten“ Zahlen entsprechen; Notieren Sie die Zahl, die einem Punkt auf dem Zahlenkreis entspricht. die Fähigkeit entwickeln, eine analytische Notation des Bogens eines Zahlenkreises in Form einer doppelten Ungleichung zu verfassen.
Zur Entwicklung der Rechenfähigkeiten, der korrekten mathematischen Sprache und des logischen Denkens der Schüler.
Vermitteln Sie Unabhängigkeit, Aufmerksamkeit und Genauigkeit. Fördern Sie eine verantwortungsvolle Einstellung zum Lernen.
Geplante Ergebnisse:
Wissen, verstehen: - Zahlenkreis.
In der Lage sein: - Punkte auf einem Kreis anhand vorgegebener Koordinaten zu finden; - Finden Sie die Koordinaten eines Punktes auf einem Zahlenkreis.
In der Lage sein, das erlernte theoretische Material bei der Durchführung schriftlicher Arbeiten anzuwenden.
Technischer Support für den Unterricht Computer, Leinwand, Projektor, Lehrbuch, Problembuch.
Zusätzliche methodische und didaktische Unterstützung für den Unterricht: Mordkovich A. G. M79 Algebra und die Anfänge der mathematischen Analyse. Klassen 10-11 (Grundstufe): Methodenhandbuch für Lehrer / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - M.: Mnemosyna, 2010. - 202 S. : Schlick
Während des Unterrichts
Zeit organisieren.
Psychologische Stimmung der Schüler.
Hausaufgaben überprüfenNr. 4.2, Nr. 4.4, Nr. 4.5 (c; d) – Nr. 4.11 (c; d), Nr. 4.13 (c; d),
№ 4.15. Analysieren Sie die Lösung der Aufgaben, die Schwierigkeiten verursacht haben.
Mündliche Arbeit.
(auf Folie)
1. Ordnen Sie die Punkte auf dem Zahlenkreis den angegebenen Zahlen zu:
B)
V)
G)
D)
e)
Und)
H)
2. Finden Sie die Punkte auf dem Zahlenkreis.
–2; 4; –8;
13.
III. Erläuterung des neuen Materials.
Wie bereits erwähnt, beherrschen die Studierenden ein System von sechs didaktischen „Spielen“, die die Fähigkeit bieten, Probleme von vier Haupttypen im Zusammenhang mit dem Zahlenkreis zu lösen (von der Zahl zum Punkt; vom Punkt zur Zahl; vom Bogen zur doppelten Ungleichung; von der doppelten Ungleichung). zu bogen).
(Mordkovich A. G. M79 Algebra und die Anfänge der mathematischen Analyse. Klassen 10-11 (Grundstufe): Methodenhandbuch für Lehrer / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - M.: Mnemosyne, 2010. - 202 S. : krank.)
In dieser Lektion verwenden wir die letzten beiden Spiele:
5. „Spiel“ – Zusammenstellung analytischer Aufzeichnungen (doppelte Ungleichungen) für Bögen des Zahlenkreises. Wenn beispielsweise ein Bogen angegeben wird, der die Mitte des ersten Viertels (den Anfang des Bogens) und den tiefsten Punkt der beiden Punkte verbindet, die das zweite Viertel in drei gleiche Teile teilen (das Ende des Bogens), dann ist die entsprechende analytische Die Notation hat die Form:
Wenn Anfang und Ende desselben Bogens vertauscht werden, sieht der entsprechende analytische Datensatz des Bogens wie folgt aus:
Die Autoren des Lehrbuchs weisen darauf hin, dass die Begriffe „Kern der analytischen Notation eines Bogens“, „analytische Notation eines Bogens“ nicht allgemein anerkannt sind, sie aus rein methodischen Gründen eingeführt wurden und ob sie verwendet werden oder nicht, dem selbst überlassen bleibt Lehrer.
6. „Spiel“ – Gehen Sie von dieser analytischen Notation des Bogens (doppelte Ungleichung) zu seinem geometrischen Bild.
Die Erklärung sollte in der Technik der Analogie erfolgen. Sie können ein bewegliches Zahlenlinienmodell verwenden, das zu einem Zahlenkreis „kollabiert“ werden kann.
Arbeiten mit dem Lehrbuch .
Schauen wir uns Beispiel 8 von S. 1 an. 33 Lehrbücher.
Dynamische Pause
IV. Bildung von Fähigkeiten und Fertigkeiten.
Bei der Bearbeitung von Aufgaben müssen die Studierenden darauf achten, dass beim analytischen Schreiben eines Bogens die linke Seite der doppelten Ungleichung kleiner ist als die rechte Seite. Dazu müssen Sie sich bei der Aufnahme in eine positive Richtung, also gegen den Uhrzeigersinn, bewegen.
1. Gruppe . Übungen zum Finden „schlechter“ Punkte auf dem Zahlenkreis.
№ 4.16, Nr. 4.17 (a; b).
2. Gruppe . Übungen zur analytischen Erfassung eines Lichtbogens und der Konstruktion eines Lichtbogens anhand seiner analytischen Erfassung.
№ 4.18 (a; b), Nr. 4.19 (a; b), Nr. 4.20 (a; b).
V. Selbständiges Arbeiten.
Möglichkeit 1
3. Nach dem analytischen Modell 
Schreiben Sie die Bezeichnung des Zahlenbogens auf und erstellen Sie sein geometrisches Modell.
Möglichkeit 2
1. Schreiben Sie basierend auf dem geometrischen Modell des Zahlenkreisbogens das analytische Modell in Form einer doppelten Ungleichung.
2. Entsprechend der angegebenen Bezeichnung des Bogens des Zahlenkreises 
Geben Sie seine geometrischen und analytischen Modelle an.
3. Nach dem analytischen Modell 
Schreiben Sie die Bezeichnung des Bogens des Zahlenkreises auf und erstellen Sie sein geometrisches Modell.
VI. Zusammenfassung der Lektion.
Fragen an Studierende:
– Auf welche Weise kann man den Bogen des Zahlenkreises analytisch schreiben?
– Was nennt man den Kern der analytischen Erfassung eines Lichtbogens?
– Welche Bedingungen müssen die Zahlen links und rechts einer doppelten Ungleichung erfüllen?
Hausaufgaben:
1. , Seite 23. Nr. 4.17 (c; d), Nr. 4.18 (c; d), Nr. 4.19 (c; d), Nr. 4.20 (c; d).
2. Schreiben Sie basierend auf dem geometrischen Modell des Bogens des Zahlenkreises dessen analytisches Modell in Form einer doppelten Ungleichung auf.
3. Entsprechend der angegebenen Bezeichnung des Bogens des Zahlenkreises 
Geben Sie seine geometrischen und analytischen Modelle an.
