2. Spektrum einer periodischen Folge von Rechteckimpulsen
Betrachten Sie die in Abb. gezeigte periodische Folge von Rechteckimpulsen. 5. Dieses Signal wird durch die Pulsdauer, seine Amplitude und Periode charakterisiert. Auf der vertikalen Achse ist die Spannung aufgetragen.
Abb.5. Periodische Folge von Rechteckimpulsen
Den Startpunkt wählen wir in der Mitte des Pulses. Dann wird das Signal nur im Kosinus erweitert. Die harmonischen Frequenzen sind n/T, wobei N- jede ganze Zahl. Die harmonischen Amplituden nach (1.2.) werden gleich sein:
als V(t)=E bei , wo ist die Pulsdauer und V(t)=0 bei , dann
Es ist praktisch, diese Formel in der Form zu schreiben:
(2.1.)
). Diese Funktion wird Spektrumhüllkurve genannt. Es ist zu beachten, dass es nur bei Frequenzen eine physikalische Bedeutung hat, bei denen entsprechende Harmonische vorhanden sind. In Abb. Abbildung 6 zeigt das Spektrum einer periodischen Folge von Rechteckimpulsen.
Abb.6. Spektrum einer periodischen Folge
Rechteckimpulse.
Wenn wir die Hülle konstruieren, meinen wir das – ist
Eine oszillierende Funktion der Frequenz, wobei der Nenner mit zunehmender Frequenz monoton zunimmt. Daher erhält man eine quasi-oszillierende Funktion mit allmählichem Abfall. Wenn die Frequenz gegen Null tendiert, tendieren sowohl der Zähler als auch der Nenner gegen Null und ihr Verhältnis tendiert gegen Eins (der erste klassische Grenzwert). Nullwerte der Hüllkurve treten an Stellen auf, an denen d.h.
Wo M– eine Ganzzahl (außerM
Eine periodische Folge rechteckiger Videoimpulse ist eine Modulationsfunktion für die Bildung einer periodischen Folge rechteckiger Radioimpulse (PPRP), bei denen es sich um Sondierungssignale zur Erkennung und Messung der Koordinaten sich bewegender Ziele handelt. Mithilfe des Spektrums der Modulationsfunktion (PPVI) ist es daher relativ einfach und schnell möglich, das Spektrum des Sondierungssignals (PPVI) zu bestimmen. Wenn ein Sondierungssignal von einem sich bewegenden Ziel reflektiert wird, ändern sich die Frequenzen des harmonischen Spektrums der Trägerwelle (Doppler-Effekt). Dadurch ist es möglich, ein von einem sich bewegenden Ziel reflektiertes Nutzsignal vor dem Hintergrund störender (Interferenz-)Schwingungen zu identifizieren, die von stationären Objekten (lokalen Objekten) oder sich langsam bewegenden Objekten (meteorologische Formationen, Vogelschwärme usw.) reflektiert werden. .
PPPVI (Abb. 1.42) ist eine Reihe einzelner rechteckiger Videoimpulse, die in gleichen Zeitintervallen aufeinander folgen. Analytischer Ausdruck des Signals.
wo ist die Pulsamplitude; – Pulsdauer; – Pulswiederholungsperiode; – Pulswiederholungsrate, ; - Auslastungsgrad.
Um die spektrale Zusammensetzung einer periodischen Impulsfolge zu berechnen, wird die Fourier-Reihe verwendet. Mit bekannten Spektren einzelner Impulse, die eine periodische Folge bilden, können wir die Beziehung zwischen der spektralen Dichte der Impulse und den komplexen Amplituden der Reihe nutzen:
Für einen einzelnen rechteckigen Videoimpuls wird die spektrale Dichte durch die Formel beschrieben
Mithilfe der Beziehung zwischen der spektralen Dichte eines einzelnen Impulses und den komplexen Amplituden der Reihe finden wir Folgendes:
wo = 0; ± 1; ± 2; ...
Das Amplituden-Frequenz-Spektrum (Abb. 1.43) wird durch eine Reihe von Komponenten dargestellt:
In diesem Fall entsprechen positive Werte Anfangsphasen von Null und negative Werte entsprechen Anfangsphasen gleich .
Somit ist der analytische Ausdruck für PPPVI gleich
Aus der Analyse der in Abbildung 1.43 dargestellten Diagramme folgt:
· Das PPPVI-Spektrum ist diskret und besteht aus einzelnen Harmonischen mit der Frequenz .
· Der ASF-Umschlag ändert sich je nach Gesetz.
· Der Maximalwert der Hüllkurve bei ist gleich dem Wert der konstanten Komponente.
· Die Anfangsphasen der Harmonischen innerhalb der ungeraden Keulen sind gleich 0, innerhalb der geraden Keulen.
· Die Anzahl der Harmonischen innerhalb jeder Keule ist gleich.
Breite des Signalspektrums bei 90 % der Signalenergie
· Signalbasis, daher ist das Signal einfach.
Wenn Sie die Dauer der Impulse oder deren Wiederholungsfrequenz ändern F(Periode), dann ändern sich die Parameter des Spektrums und sein ASF.
Abbildung 1.43 zeigt ein Beispiel für eine Änderung des Signals und seiner ASF bei Verdoppelung der Pulsdauer.
Periodische Folgen rechteckiger Videoimpulse und ihre ASF-Parameter, T,. Und , T, sind in Abbildung 1.44 dargestellt.
Aus der Analyse der angegebenen Diagramme folgt:
1. Für PPPVI mit Pulsdauer:
· Einschaltdauer Q=4, daher sind in jeder Keule 3 Harmonische konzentriert;
· Frequenz der k-ten Harmonischen;
· Breite des Signalspektrums bei 90 % Energieniveau;
Die konstante Komponente ist gleich
2. Für PPPVI mit Pulsdauer:
· Einschaltdauer q= 2, daher gibt es in jedem Lappen 1 Harmonische;
· Die Frequenz der k-ten Harmonischen bleibt unverändert;
· Die Breite des Signalspektrums bei 90 % seiner Energie verringerte sich um das Zweifache;
· Die konstante Komponente wurde um das Zweifache erhöht.
Daraus können wir schließen, dass mit zunehmender Pulsdauer die ASF entlang der Ordinatenachse „komprimiert“ wird (die Breite des Signalspektrums nimmt ab), während die Amplituden der Spektralkomponenten zunehmen. Die harmonischen Frequenzen ändern sich nicht.
In Abbildung 1.44. Es wird ein Beispiel für eine Änderung des Signals und seiner ASF mit einer Erhöhung der Wiederholungsperiode um das Vierfache (eine Verringerung der Wiederholungsrate um das Vierfache) vorgestellt.
c) die Breite des Signalspektrums hat sich bei 90 % seiner Energie nicht verändert;
d) die konstante Komponente verringerte sich um das Vierfache.
Daraus können wir schließen, dass mit zunehmender Wiederholungsperiode (Abnahme der Wiederholungsfrequenz) eine „Komprimierung“ im ASF entlang der Frequenzachse auftritt (die Amplituden der Harmonischen nehmen mit zunehmender Anzahl innerhalb jeder Keule ab). . Die Breite des Signalspektrums ändert sich nicht. Eine weitere Verringerung der Wiederholfrequenz (Erhöhung der Wiederholperiode) führt (bei ) zu einer Abnahme der Amplituden der Harmonischen auf verschwindend kleine Werte. In diesem Fall wird das Signal zu einem einzigen und dementsprechend wird das Spektrum kontinuierlich.
Betrachten wir eine periodische Folge von Rechteckimpulsen mit einer Periode T, einer Impulsdauer t u und einem Maximalwert. Finden wir die Reihenentwicklung eines solchen Signals, indem wir den Koordinatenursprung wählen, wie in Abb. 15. In diesem Fall ist die Funktion symmetrisch zur Ordinatenachse, d.h. alle Koeffizienten der Sinuskomponenten = 0, und nur die Koeffizienten müssen berechnet werden.
konstante Komponente
(2.28)
Der konstante Anteil ist der Durchschnittswert über den Zeitraum, d.h. ist die Fläche des Impulses geteilt durch die gesamte Periode, d.h. 
, d.h. das Gleiche geschah auch bei einer streng formalen Berechnung (2.28).
Erinnern wir uns daran, dass die Frequenz der ersten Harmonischen ¦ 1 = ist, wobei T die Periode des Rechtecksignals ist. Abstand zwischen Harmonischen D¦=¦ 1. Wenn sich herausstellt, dass die harmonische Zahl n so ist, dass das Argument des Sinus ist, dann geht die Amplitude dieser Harmonischen zum ersten Mal gegen Null. Diese Bedingung ist erfüllt, wenn . Die harmonische Zahl, bei der ihre Amplitude zum ersten Mal verschwindet, wird aufgerufen „erste Null“ und bezeichnen es mit dem Buchstaben N, um die besonderen Eigenschaften dieser Harmonischen hervorzuheben:
Andererseits ist das Tastverhältnis S von Impulsen das Verhältnis der Periode T zur Impulsdauer t u , d. h. . Daher ist die „erste Null“ numerisch gleich dem Tastverhältnis des Impulses N=S. Da der Sinus für alle Werte des Arguments, die ein Vielfaches von p sind, gegen Null geht, gehen auch die Amplituden aller Harmonischen mit Zahlen, die ein Vielfaches der Zahl der „ersten Null“ sind, gegen Null. Das heißt, bei , wo k– jede ganze Zahl. So folgt beispielsweise aus (2.22) und (2.23), dass das Spektrum von Rechteckimpulsen mit einem Tastverhältnis von 2 nur aus ungeraden Harmonischen besteht. Weil das S=2, Dann N=2, d.h. Die Amplitude der zweiten Harmonischen geht zum ersten Mal gegen Null – dies ist die „erste Null“. Aber dann sind die Amplituden aller anderen Harmonischen mit durch 2 teilbaren Zahlen, d.h. alle geraden Einsen müssen ebenfalls auf Null gehen. Bei einem Tastverhältnis S=3 liegen die Amplituden Null bei 3, 6, 9, 12, ... Harmonischen.
Mit zunehmendem Tastverhältnis verschiebt sich die „erste Null“ in den Bereich der Harmonischen mit höheren Zahlen und infolgedessen nimmt die Geschwindigkeit der Abnahme der harmonischen Amplituden ab. Einfache Berechnung der Amplitude der ersten Harmonischen bei Ähm=100V für Arbeitszyklus S=2, Ähm 1=63,7V, bei S=5, Ähm 1=37,4V und bei S=10, Ähm 1=19,7V, d.h. Mit steigendem Tastverhältnis nimmt die Amplitude der ersten Harmonischen stark ab. Wenn wir zum Beispiel das Amplitudenverhältnis der 5. Harmonischen ermitteln Ähm 5 zur Amplitude der ersten Harmonischen Ähm 1, dann für S=2, Ähm 5/Ähm 1=0,2 und für S=10, Um 5 / Um 1 = 0,9, d.h. Die Dämpfungsrate höherer Harmonischer nimmt mit zunehmendem Arbeitszyklus ab.
Mit zunehmendem Tastverhältnis wird somit das Spektrum einer Folge von Rechteckimpulsen gleichmäßiger.
Literatur: [L.1], S. 40
Als Beispiel geben wir die Fourier-Reihenentwicklung einer periodischen Folge von Rechteckimpulsen mit Amplitude, Dauer und Wiederholungsperiode, symmetrisch um Null, d. h.
, (2.10)
Hier 
Die Entwicklung eines solchen Signals in eine Fourier-Reihe ergibt
, (2.11)
Wo ist der Arbeitszyklus?
Um die Notation zu vereinfachen, können Sie die Notation eingeben
, (2.12)
Dann wird (2.11) wie folgt geschrieben
, (2.13)
In Abb. 2.3 zeigt eine Folge von Rechteckimpulsen. Das Spektrum der Sequenz ist wie jedes andere periodische Signal diskreter (Linien-) Natur.
Die Spektrumhüllkurve (Abb. 2.3, b) ist proportional 
. Der Abstand entlang der Frequenzachse zwischen zwei benachbarten Spektrumskomponenten beträgt , und zwischen zwei Nullwerten (die Breite der Spektrumskeule) beträgt . Die Anzahl der harmonischen Komponenten innerhalb einer Keule, einschließlich des Nullwerts rechts in der Abbildung, beträgt , wobei das Vorzeichen das Runden auf die nächste ganze Zahl bedeutet, weniger (wenn das Tastverhältnis eine Bruchzahl ist) oder (wenn das Tastverhältnis eine Bruchzahl ist). ist ein ganzzahliger Wert). Mit zunehmender Periode steigt die Grundfrequenz 
abnimmt, rücken die Spektralanteile im Diagramm näher zusammen, auch die Amplituden der Harmonischen nehmen ab. In diesem Fall bleibt die Form der Hülle erhalten.
Bei der Lösung praktischer Probleme der Spektralanalyse werden zyklische Frequenzen anstelle von Kreisfrequenzen verwendet 
, gemessen in Hertz. Offensichtlich beträgt der Abstand zwischen benachbarten Harmonischen im Diagramm , und die Breite einer Spektrumskeule beträgt . Diese Werte sind im Diagramm in Klammern dargestellt.
In der praktischen Funktechnik werden in den meisten Fällen anstelle der Spektraldarstellung (Abb. 2.3, b) Spektraldiagramme der Amplituden- und Phasenspektren verwendet. Das Amplitudenspektrum einer Folge von Rechteckimpulsen ist in Abb. dargestellt. 2.3, c.
Offensichtlich ist die Hüllkurve des Amplitudenspektrums proportional 
.
Was das Phasenspektrum (Abb. 2.3, d) betrifft, wird angenommen, dass sich die Anfangsphasen der harmonischen Komponenten sprunghaft um den Betrag ändern -π wenn sich das Vorzeichen des Umschlags ändert sinc kπ/q. Die Anfangsphasen der Harmonischen der ersten Keule werden als Null angenommen. Dann werden die Anfangsphasen der Harmonischen der zweiten Keule sein φ = -π , drittes Blütenblatt φ = -2π usw.
Betrachten wir eine andere Fourier-Reihendarstellung des Signals. Dazu verwenden wir die Eulersche Formel
.
Nach dieser Formel lässt sich die k-te Komponente (2.9) der Signalentwicklung in eine Fourier-Reihe wie folgt darstellen
; 
. (2.15)
Hier sind die Größen und komplex und repräsentieren die komplexen Amplituden der Spektrumkomponenten. Dann die Serie
Fourier (2.8) unter Berücksichtigung von (2.14) wird die folgende Form annehmen
, (2.16)
, (2.17)
Es ist leicht zu überprüfen, dass die Entwicklung (2.16) anhand der Basisfunktionen durchgeführt wird 
, die ebenfalls orthogonal auf dem Intervall sind 
, d.h.
Ausdruck (2.16) ist komplexe Form Fourier-Reihe, die sich bis zu negativen Frequenzen erstreckt. Mengen und 
, wobei das komplexe Konjugat einer Größe bezeichnet wird komplexe Amplituden Spektrum Weil eine komplexe Größe ist, folgt aus (2.15).
Und 
.
Dann bildet die Gesamtheit das Amplitudenspektrum und die Gesamtheit das Phasenspektrum des Signals.
In Abb. Abbildung 2.4 zeigt ein Spektraldiagramm des Spektrums der oben diskutierten Folge von Rechteckimpulsen, dargestellt durch eine komplexe Fourier-Reihe
Das Spektrum hat ebenfalls Liniencharakter, wird aber im Gegensatz zu den bisher betrachteten Spektren sowohl im Bereich positiver als auch im Bereich negativer Frequenzen bestimmt. Da es sich um eine gerade Funktion des Arguments handelt, ist das Spektraldiagramm symmetrisch um Null.
Basierend auf (2.15) können wir einen Zusammenhang zwischen den Koeffizienten und der Entwicklung (2.3) herstellen. Als
Und 
,
dann erhalten wir als Ergebnis
. (2.18)
Mit den Ausdrücken (2.5) und (2.18) können Sie die Werte in praktischen Berechnungen ermitteln.
Lassen Sie uns eine geometrische Interpretation der komplexen Form der Fourier-Reihe geben. Wählen wir die k-te Komponente des Signalspektrums aus. In komplexer Form wird die k-te Komponente durch die Formel beschrieben
wobei und durch Ausdrücke (2.15) bestimmt werden.
In der komplexen Ebene wird jeder der Terme in (2.19) als Längenvektoren dargestellt 
, um einen Winkel und relativ zur realen Achse gedreht und mit der Frequenz in entgegengesetzte Richtungen rotierend (Abb. 2.5).
Offensichtlich ergibt die Summe dieser Vektoren einen Vektor, der auf der realen Achse liegt und dessen Länge beträgt. Aber dieser Vektor entspricht der harmonischen Komponente
Was die Projektionen von Vektoren auf die imaginäre Achse betrifft, so haben diese Projektionen gleiche Längen, aber entgegengesetzte Richtungen und summieren sich zu Null. Dies bedeutet, dass in komplexer Form dargestellte Signale (2.16) tatsächlich reale Signale sind. Mit anderen Worten, die komplexe Form der Fourier-Reihe ist mathematisch eine Abstraktion, die sich sehr gut zur Lösung einer Reihe von Problemen der Spektralanalyse eignet. Daher wird manchmal das durch die trigonometrische Fourier-Reihe definierte Spektrum genannt physikalisches Spektrum, und die komplexe Form der Fourier-Reihe ist mathematisches Spektrum.
Abschließend betrachten wir die Frage der Energie- und Leistungsverteilung im Spektrum eines periodischen Signals. Dazu verwenden wir die Parseval-Gleichheit (1.42). Wenn das Signal zu einer trigonometrischen Fourier-Reihe entwickelt wird, nimmt der Ausdruck (1.42) die Form an
.
Gleichstromenergie
,
und die Energie der k-ten Harmonischen
.
Dann die Signalenergie
. (2.20)
Weil durchschnittliche Signalleistung
,
dann unter Berücksichtigung von (2.18)
. (2.21)
Wenn das Signal zu einer komplexen Fourier-Reihe entwickelt wird, nimmt der Ausdruck (1.42) die Form an
,
Wo 
- Energie der k-ten Harmonischen.
In diesem Fall die Signalenergie
,
und seine durchschnittliche Leistung
.
Aus den obigen Ausdrücken folgt, dass die Energie oder durchschnittliche Leistung der k-ten Spektralkomponente des mathematischen Spektrums halb so groß ist wie die Energie oder Leistung der entsprechenden Spektralkomponente des physikalischen Spektrums. Dies liegt daran, dass das physikalische Spektrum gleichmäßig auf das mathematische Spektrum verteilt ist.
| -τ und /2 |
| τ und /2 |
| T |
| T |
| U 0 |
| S(t) |
Aufgabe Nr. 1, Gruppe RI – 210701
Vom Ausgang der Nachrichtenquelle werden Signale empfangen, die Informationen übertragen, sowie Taktsignale, die zur Synchronisierung des Betriebs von Sender und Empfänger des Übertragungssystems verwendet werden. Informationssignale haben die Form einer nichtperiodischen und Taktsignale - eine periodische Folge von Impulsen.
Um die Möglichkeit der Übertragung solcher Impulse über Kommunikationskanäle richtig einzuschätzen, werden wir ihre spektrale Zusammensetzung bestimmen. Ein periodisches Signal in Form von Impulsen beliebiger Form kann gemäß (7) zu einer Fourier-Reihe entwickelt werden.
Für die Übertragung über Freileitungen und Kabelkommunikationsleitungen werden Signale unterschiedlicher Form verwendet. Die Wahl der einen oder anderen Form hängt von der Art der übertragenen Nachrichten, dem Frequenzspektrum der Signale sowie den Frequenz- und Zeitparametern der Signale ab. Signale, die in ihrer Form rechteckigen Impulsen ähneln, werden in der Technologie zur Übertragung diskreter Nachrichten häufig verwendet.
Berechnen wir das Spektrum, d.h. eine Reihe konstanter Amplituden und
harmonische Komponenten periodischer Rechteckimpulse (Abbildung 4,a) mit Dauer und Periode. Da das Signal eine gerade Funktion der Zeit ist, verschwinden in Ausdruck (3) alle geraden harmonischen Komponenten ( 
=0) und die ungeraden Komponenten nehmen die folgenden Werte an:
(10)
Die konstante Komponente ist gleich
(11)
Für ein 1:1-Signal (Telegraphenweichen) Abbildung 4a:
,
.
(12)
Module der Amplituden der Spektralkomponenten einer Folge von Rechteckimpulsen mit einer Periode 
sind in Abb. dargestellt. 4, geb. Die Abszissenachse zeigt die Hauptimpulsfolgefrequenz 
() und Frequenzen ungerader harmonischer Komponenten 
,
usw. Die Spektrumshülle ändert sich je nach Gesetz.
Mit zunehmender Periode im Vergleich zur Pulsdauer nimmt die Anzahl der harmonischen Komponenten in der spektralen Zusammensetzung des periodischen Signals zu. Für ein Signal mit einer Periode (Abbildung 4, c) stellen wir beispielsweise fest, dass die konstante Komponente gleich ist
Im Frequenzband von Null bis Frequenz gibt es fünf harmonische Komponenten (Abbildung 4, d), während es nur eine Flut gibt.
Mit einer weiteren Erhöhung der Pulswiederholungsperiode wird die Anzahl der harmonischen Komponenten immer größer. Im Extremfall, wenn 
das Signal wird zu einer nichtperiodischen Funktion der Zeit, die Anzahl seiner harmonischen Komponenten im Frequenzband von Null bis zur Frequenz steigt bis ins Unendliche; sie werden sich in unendlich geringen Frequenzabständen befinden; das Spektrum des nichtperiodischen Signals wird kontinuierlich.
Figur 4
2.4 Spektrum eines Einzelimpulses
Es wird ein einzelner Videoimpuls angegeben (Abbildung 5):
Abbildung 5
Die Fourier-Reihenmethode ermöglicht eine tiefgreifende und fruchtbare Verallgemeinerung, die es ermöglicht, die spektralen Eigenschaften nichtperiodischer Signale zu erhalten. Dazu ergänzen wir gedanklich einen einzelnen Impuls durch die gleichen Impulse, die nach einem bestimmten Zeitintervall periodisch folgen, und erhalten die zuvor untersuchte periodische Abfolge:
Stellen wir uns einen einzelnen Impuls als eine Summe periodischer Impulse mit großer Periode vor.
,
(14)
wo sind ganze Zahlen.
Für periodische Schwingungen
.
(15)
Um zu einem einzelnen Impuls zurückzukehren, richten wir die Wiederholungsperiode auf Unendlich: . In diesem Fall ist es offensichtlich:
,
(16)
Bezeichnen wir
.
(17)
Die Größe ist die spektrale Charakteristik (Funktion) eines einzelnen Impulses (direkte Fourier-Transformation). Es hängt nur von der zeitlichen Beschreibung des Pulses ab und ist im Allgemeinen komplex:
, (18) wo 
; (19)
; (20)
,
Wo 
- Modul der Spektralfunktion (Amplituden-Frequenz-Antwort des Impulses);
- Phasenwinkel, Phasenfrequenzcharakteristik des Impulses.
Lassen Sie uns für einen einzelnen Impuls mithilfe der Formel (8) mithilfe der Spektralfunktion Folgendes ermitteln:
.
Wenn wir erhalten:
.
(21)
Der resultierende Ausdruck wird als inverse Fourier-Transformation bezeichnet.
Das Fourier-Integral definiert den Impuls als eine unendliche Summe unendlich kleiner harmonischer Komponenten bei allen Frequenzen.
Auf dieser Grundlage sprechen sie von einem kontinuierlichen (festen) Spektrum, das ein einzelner Impuls besitzt.
Die gesamte Impulsenergie (die am aktiven Widerstand Ohm freigesetzte Energie) ist gleich
(22)
Wenn wir die Integrationsreihenfolge ändern, erhalten wir
.
Das interne Integral ist die Spektralfunktion des Impulses mit dem Argument -, d. h. ist eine komplex konjugierte Größe: 
Somit
Quadratischer Modul (das Produkt zweier konjugierter komplexer Zahlen ist gleich dem quadratischen Modul).
In diesem Fall spricht man üblicherweise davon, dass das Pulsspektrum zweiseitig ist, d.h. liegt im Frequenzband von bis.
Die gegebene Beziehung (23), die den Zusammenhang zwischen der Pulsenergie (bei einem Widerstand von 1 Ohm) und dem Modul seiner Spektralfunktion herstellt, ist als Parseval-Gleichheit bekannt.
Es besagt, dass die in einem Impuls enthaltene Energie gleich der Summe der Energien aller Komponenten seines Spektrums ist. Parsevals Gleichheit charakterisiert eine wichtige Eigenschaft von Signalen. Wenn ein selektives System nur einen Teil des Signalspektrums überträgt und dadurch seine anderen Komponenten schwächt, bedeutet dies, dass ein Teil der Signalenergie verloren geht.
Da das Modulquadrat eine gerade Funktion der Integrationsvariablen ist, kann man durch Verdoppelung des Integralwerts eine Integration im Bereich von 0 bis einführen:
.
(24)
In diesem Fall sagt man, dass das Pulsspektrum im Frequenzband von 0 bis liegt und als einseitig bezeichnet wird.
Der Integrand in (23) wird als Energiespektrum (spektrale Energiedichte) des Impulses bezeichnet
Es charakterisiert die Energieverteilung nach Frequenz und sein Wert bei der Frequenz entspricht der Impulsenergie pro Frequenzband von 1 Hz. Folglich ist die Impulsenergie das Ergebnis der Integration des Energiespektrums des Signals über den gesamten Frequenzbereich. Mit anderen Worten, die Energie ist gleich der Fläche, die zwischen der Kurve, die das Energiespektrum des Signals darstellt, und der Abszissenachse eingeschlossen ist.
Um die Energieverteilung über das Spektrum abzuschätzen, verwenden Sie die relative integrale Energieverteilungsfunktion (Energiecharakteristik).
,
(25)
Wo 
- Pulsenergie in einem bestimmten Frequenzband von 0 bis, die den Anteil der Pulsenergie charakterisiert, der im Frequenzbereich von 0 bis konzentriert ist.
Für Einzelimpulse unterschiedlicher Form gelten folgende Gesetze:
