Pojavili su se novi zadaci. Pogledajmo njihovo rješenje.
Prototip zadatka B8 (br. 317543)
Na slici je prikazan grafik funkcije y=f(x) i označene su tačke -2, -1, 1, 2. U kojoj od ovih tačaka je vrijednost izvoda najveća? Molimo navedite ovu tačku u svom odgovoru.
Kao što znamo, zove se
granica omjera prirasta funkcije i priraštaja argumenta, kada inkrement argumenta teži nuli:
Izvod u tački pokazuje brzina promjene funkcije na ovom mjestu. Što se funkcija brže mijenja, odnosno što je veći prirast funkcije, veći je ugao nagiba tangente. Budući da je problem potrebno odrediti tačku u kojoj je vrijednost izvoda najveća, iz razmatranja izuzimamo tačke sa apscisama -1 i 1 - u tim tačkama funkcija opada, a izvod u njima je negativan.
Funkcija raste u tačkama -2 i 2. Međutim, ona raste u njima na različite načine - u tački -2 grafik funkcije raste strmiji nego u tački 2, a samim tim i prirast funkcije u ovoj tački, a samim tim i derivacija, veća je.
Odgovor: -2
I sličan zadatak:
Prototip zadatka B8 (br. 317544)
Na slici je prikazan grafik funkcije i označene su tačke -2, -1, 1, 4. U kojoj od ovih tačaka je izvod najmanji? Molimo navedite ovu tačku u svom odgovoru.
Rješenje ovog problema je slično rješenju prethodnog "potpuno suprotno"
Zanima nas u kojoj tački derivacija poprima najmanju vrijednost, odnosno tražimo tačku u kojoj funkcija najbrže opada - na grafu je to tačka u kojoj dolazi do najstrmijeg "spuštanja". Ovo je tačka apscise 4.
Dragi prijatelji! Grupa zadataka vezanih za izvod uključuje zadatke - uslov daje graf funkcije, nekoliko tačaka na ovom grafu i pitanje je:
U kom trenutku je izvod najveći (najmanji)?
Da ukratko ponovimo:
Izvod u tački jednak je nagibu tangente koja prolaziovu tačku na grafikonu.
UGlobalni koeficijent tangente, zauzvrat, jednak je tangentu ugla nagiba ove tangente.
*Ovo se odnosi na ugao između tangente i x-ose.
1. U intervalima rastuće funkcije, izvod ima pozitivnu vrijednost.
2. U intervalima svog smanjenja, derivat ima negativnu vrijednost.
Razmotrite sljedeću skicu:
U tačkama 1,2,4, derivacija funkcije ima negativnu vrijednost, jer ove tačke pripadaju opadajućim intervalima.
U tačkama 3,5,6 derivacija funkcije ima pozitivnu vrijednost, jer ove tačke pripadaju rastućim intervalima.
Kao što vidite, sve je jasno sa značenjem derivacije, odnosno nije uopće teško odrediti koji predznak ima (pozitivan ili negativan) u određenoj tački grafa.
Štaviše, ako mentalno konstruišemo tangente u ovim tačkama, videćemo da prave koje prolaze kroz tačke 3, 5 i 6 formiraju uglove sa osom oX u rasponu od 0 do 90 o, a prave koje prolaze kroz tačke 1, 2 i 4 formiraju sa osom oX uglovi se kreću od 90 o do 180 o.
*Odnos je jasan: tangente koje prolaze kroz tačke koje pripadaju intervalima rastućih funkcija formiraju oštre uglove sa osom oX, tangente koje prolaze kroz tačke koje pripadaju intervalima opadajućih funkcija formiraju tupe uglove sa osom oX.
Sada važno pitanje!
Kako se mijenja vrijednost derivata? Na kraju krajeva, tangenta u različitim tačkama na grafu kontinuirane funkcije formira različite uglove, u zavisnosti od toga kroz koju tačku na grafu prolazi.
*Ili, jednostavno rečeno, tangenta se nalazi više "horizontalno" ili "vertikalno". pogledajte:
Prave linije formiraju uglove sa osom oX u rasponu od 0 do 90 o
Prave linije formiraju uglove sa osom oX u rasponu od 90° do 180°
Stoga, ako imate pitanja:
— u kojoj od datih tačaka na grafu izvod ima najmanju vrijednost?
- u kojoj od datih tačaka na grafu izvod ima najveću vrijednost?
tada je za odgovor potrebno razumjeti kako se vrijednost tangente kuta tangente mijenja u rasponu od 0 do 180 o.
*Kao što je već spomenuto, vrijednost derivacije funkcije u tački jednaka je tangentu ugla nagiba tangente na osu oX.
Vrijednost tangente se mijenja na sljedeći način:
Kada se ugao nagiba prave linije promeni od 0° do 90°, vrednost tangente, a samim tim i derivacije, se menja od 0 do +∞;
Kada se ugao nagiba prave linije promeni sa 90° na 180°, vrednost tangente, a samim tim i derivacije, menja se u skladu sa –∞ na 0.
To se može jasno vidjeti iz grafa tangentne funkcije:
Jednostavno rečeno:
Pod kutom nagiba tangente od 0° do 90°
Što je bliže 0 o, veća će vrijednost derivacije biti blizu nule (na pozitivnoj strani).
Što je ugao bliži 90°, to će se vrijednost derivacije više povećati prema +∞.
Sa tangentnim uglom nagiba od 90° do 180°
Što je bliže 90 o, to će se vrijednost derivacije više smanjivati prema –∞.
Što je ugao bliži 180°, veća će vrijednost derivacije biti blizu nule (na negativnoj strani).
317543. Slika prikazuje graf funkcije y = f(x) a tačke su označene–2, –1, 1, 2. U kojoj od ovih tačaka je izvod najveći? Molimo navedite ovu tačku u svom odgovoru.
Imamo četiri tačke: dvije pripadaju intervalima na kojima funkcija opada (to su tačke –1 i 1), a dvije intervalima na kojima funkcija raste (to su tačke –2 i 2).
Odmah možemo zaključiti da u tačkama –1 i 1 derivat ima negativnu vrijednost, a u tačkama –2 i 2 pozitivnu vrijednost. Stoga je u ovom slučaju potrebno analizirati tačke –2 i 2 i odrediti koja će od njih imati najveću vrijednost. Konstruirajmo tangente koje prolaze kroz navedene tačke:
Vrijednost tangenta ugla između prave a i apscisne ose bit će veća od vrijednosti tangente ugla između prave linije b i ove ose. To znači da će vrijednost derivacije u tački –2 biti najveća.
Odgovorimo na sljedeće pitanje: u kojoj tački –2, –1, 1 ili 2 je vrijednost izvoda najnegativnija? Molimo navedite ovu tačku u svom odgovoru.
Derivat će imati negativnu vrijednost u tačkama koje pripadaju opadajućim intervalima, pa razmotrimo tačke –2 i 1. Konstruirajmo tangente koje prolaze kroz njih:
Vidimo da je tupi ugao između prave b i ose oX „bliži“ 180 O , stoga će njegova tangenta biti veća od tangente ugla koji formiraju prava linija a i osa oX.
Dakle, u tački x = 1, vrijednost derivacije će biti najveća negativna.
317544. Slika prikazuje grafik funkcije y = f(x) a tačke su označene–2, –1, 1, 4. U kojoj je od ovih tačaka derivacija najmanja? Molimo navedite ovu tačku u svom odgovoru.
Imamo četiri tačke: dvije pripadaju intervalima u kojima funkcija opada (to su tačke –1 i 4), a dvije intervalima u kojima funkcija raste (to su tačke –2 i 1).
Odmah možemo zaključiti da u tačkama –1 i 4 derivat ima negativnu vrijednost, a u tačkama –2 i 1 pozitivnu vrijednost. Stoga je u ovom slučaju potrebno analizirati tačke –1 i 4 i odrediti koja će od njih imati najmanju vrijednost. Konstruirajmo tangente koje prolaze kroz navedene tačke:
Vrijednost tangenta ugla između prave a i apscisne ose bit će veća od vrijednosti tangente ugla između prave linije b i ove ose. To znači da će vrijednost derivacije u tački x = 4 biti najmanja.
Odgovor: 4
Nadam se da vas nisam "preopteretio" količinom pisanja. Zapravo, sve je vrlo jednostavno, samo trebate razumjeti svojstva derivacije, njeno geometrijsko značenje i kako se vrijednost tangente kuta mijenja od 0 do 180 o.
1. Prvo odredite predznake derivacije u tim tačkama (+ ili -) i odaberite potrebne tačke (u zavisnosti od postavljenog pitanja).
2. Konstruirajte tangente u ovim tačkama.
3. Koristeći tangesoidni graf, šematski označite uglove i prikažiteAlexander.
P.S: Bio bih vam zahvalan ako mi kažete nešto o stranici na društvenim mrežama.
Zadatak B9 daje graf funkcije ili derivacije iz kojeg trebate odrediti jednu od sljedećih veličina:
- Vrijednost derivacije u nekoj tački x 0,
- Maksimalne ili minimalne tačke (ekstremalne tačke),
- Intervali rastućih i opadajućih funkcija (intervali monotonosti).
Funkcije i derivacije predstavljene u ovom problemu su uvijek kontinuirane, čineći rješenje mnogo lakšim. Unatoč činjenici da zadatak pripada dijelu matematičke analize, mogu ga obaviti i najslabiji učenici, jer ovdje nije potrebno duboko teorijsko znanje.
Da biste pronašli vrijednost derivacije, ekstremnih tačaka i intervala monotonosti, postoje jednostavni i univerzalni algoritmi - svi će biti razmotreni u nastavku.
Pažljivo pročitajte uslove zadatka B9 da ne napravite glupe greške: ponekad naiđete na prilično dugačke tekstove, ali postoji nekoliko važnih uslova koji utiču na tok rešenja.
Proračun vrijednosti derivata. Metoda u dve tačke
Ako je problemu zadan graf funkcije f(x), tangentan na ovaj graf u nekoj tački x 0, i potrebno je pronaći vrijednost derivacije u ovoj tački, primjenjuje se sljedeći algoritam:
- Pronađite dvije “adekvatne” tačke na tangentnom grafu: njihove koordinate moraju biti cijeli broj. Označimo ove tačke kao A (x 1 ; y 1) i B (x 2 ; y 2). Ispravno zapišite koordinate - ovo je ključna točka u rješenju, a svaka greška ovdje će dovesti do pogrešnog odgovora.
- Poznavajući koordinate, lako je izračunati prirast argumenta Δx = x 2 − x 1 i prirast funkcije Δy = y 2 − y 1 .
- Konačno, nalazimo vrijednost izvoda D = Δy/Δx. Drugim riječima, trebate podijeliti prirast funkcije s prirastom argumenta - i to će biti odgovor.
Napomenimo još jednom: tačke A i B moraju se tražiti upravo na tangenti, a ne na grafu funkcije f(x), kao što se često dešava. Tangentna linija će nužno sadržavati najmanje dvije takve točke - inače problem neće biti ispravno formuliran.
Razmotrite tačke A (−3; 2) i B (−1; 6) i pronađite priraštaje:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.
Nađimo vrijednost izvoda: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.
Zadatak. Na slici je prikazan grafik funkcije y = f(x) i tangenta na nju u tački sa apscisom x 0. Pronađite vrijednost izvoda funkcije f(x) u tački x 0 .
Razmotrite tačke A (0; 3) i B (3; 0), pronađite priraštaje:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.
Sada nalazimo vrijednost izvoda: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.
Zadatak. Na slici je prikazan grafik funkcije y = f(x) i tangenta na nju u tački sa apscisom x 0. Pronađite vrijednost izvoda funkcije f(x) u tački x 0 .
Razmotrite tačke A (0; 2) i B (5; 2) i pronađite priraštaje:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.
Ostaje pronaći vrijednost derivacije: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.
Iz posljednjeg primjera možemo formulirati pravilo: ako je tangenta paralelna s osom OX, derivacija funkcije u tački tangentnosti je nula. U ovom slučaju ne morate ništa da brojite - samo pogledajte grafikon.
Obračun maksimalnih i minimalnih bodova
Ponekad, umjesto grafa funkcije, zadatak B9 daje graf derivacije i zahtijeva pronalaženje maksimalne ili minimalne tačke funkcije. U ovoj situaciji metoda u dvije točke je beskorisna, ali postoji drugi, još jednostavniji algoritam. Prvo, hajde da definišemo terminologiju:
- Tačka x 0 naziva se maksimalnom tačkom funkcije f(x) ako u nekom susjedstvu ove tačke vrijedi sljedeća nejednakost: f(x 0) ≥ f(x).
- Tačka x 0 naziva se minimalnom tačkom funkcije f(x) ako u nekom susjedstvu ove tačke vrijedi sljedeća nejednakost: f(x 0) ≤ f(x).
Da biste pronašli maksimalnu i minimalnu točku iz grafa derivacije, samo slijedite ove korake:
- Ponovo nacrtajte graf derivata, uklanjajući sve nepotrebne informacije. Kao što pokazuje praksa, nepotrebni podaci samo ometaju odluku. Stoga označavamo nule derivacije na koordinatnoj osi - i to je to.
- Saznajte predznake izvoda na intervalima između nula. Ako je za neku tačku x 0 poznato da je f'(x 0) ≠ 0, tada su moguće samo dvije opcije: f'(x 0) ≥ 0 ili f'(x 0) ≤ 0. Predznak izvoda je lako odrediti iz originalnog crteža: ako graf derivacije leži iznad ose OX, tada je f'(x) ≥ 0. I obrnuto, ako graf derivacije leži ispod ose OX, tada je f'(x) ≤ 0.
- Ponovo provjeravamo nule i predznake derivacije. Gdje se predznak mijenja iz minusa u plus je minimalna tačka. Suprotno tome, ako se predznak derivacije promijeni iz plusa u minus, ovo je maksimalna tačka. Brojanje se uvijek vrši s lijeva na desno.
Ova šema radi samo za kontinuirane funkcije - nema drugih u zadatku B9.
Zadatak. Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x) definisane na intervalu [−5; 5]. Pronađite minimalnu tačku funkcije f(x) na ovom segmentu.
Oslobodimo se nepotrebnih informacija i ostavimo samo granice [−5; 5] i nule izvoda x = −3 i x = 2.5. Također primjećujemo znakove:
Očigledno, u tački x = −3 predznak izvoda se mijenja iz minusa u plus. Ovo je minimalna tačka.
Zadatak. Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x) definisane na intervalu [−3; 7]. Pronađite maksimalnu tačku funkcije f(x) na ovom segmentu.
Precrtajmo graf, ostavljajući samo granice [−3; 7] i nule izvoda x = −1,7 i x = 5. Zabilježimo predznake izvoda na rezultirajućem grafu. Imamo:
Očigledno, u tački x = 5 znak derivacije se mijenja sa plusa na minus - ovo je maksimalna tačka.
Zadatak. Na slici je prikazan grafik derivacije funkcije f(x) definisane na intervalu [−6; 4]. Odrediti broj maksimalnih tačaka funkcije f(x) koje pripadaju segmentu [−4; 3].
Iz uslova zadatka proizilazi da je dovoljno razmotriti samo dio grafa ograničen segmentom [−4; 3]. Stoga gradimo novi graf na kojem označavamo samo granice [−4; 3] i nule izvoda unutar njega. Naime, tačke x = −3,5 i x = 2. Dobijamo:
Na ovom grafu postoji samo jedna maksimalna tačka x = 2. U toj tački se predznak derivacije menja sa plus na minus.
Mala napomena o tačkama sa necelobrojnim koordinatama. Na primjer, u posljednjem zadatku razmatrana je tačka x = −3,5, ali sa istim uspjehom možemo uzeti x = −3,4. Ako je problem pravilno sastavljen, takve promjene ne bi trebale utjecati na odgovor, jer točke „bez određenog mjesta stanovanja“ ne učestvuju direktno u rješavanju problema. Naravno, ovaj trik neće raditi s cijelim bodovima.
Pronalaženje intervala rastućih i opadajućih funkcija
U takvom problemu, kao što su tačke maksimuma i minimuma, predlaže se korištenje grafa derivacije za pronalaženje područja u kojima se sama funkcija povećava ili smanjuje. Prvo, hajde da definišemo šta je povećanje, a šta smanjenje:
- Kaže se da funkcija f(x) raste na segmentu ako je za bilo koje dvije tačke x 1 i x 2 iz ovog segmenta tačna sljedeća tvrdnja: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Drugim riječima, što je veća vrijednost argumenta, to je veća vrijednost funkcije.
- Funkcija f(x) se naziva opadajućom na segmentu ako je za bilo koje dvije tačke x 1 i x 2 iz ovog segmenta tačna sljedeća tvrdnja: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). One. Veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije.
Formulirajmo dovoljne uslove za povećanje i smanjenje:
- Da bi kontinuirana funkcija f(x) porasla na segmentu , dovoljno je da njen izvod unutar segmenta bude pozitivan, tj. f’(x) ≥ 0.
- Da bi se kontinuirana funkcija f(x) smanjila na segmentu , dovoljno je da njen izvod unutar segmenta bude negativan, tj. f’(x) ≤ 0.
Prihvatimo ove izjave bez dokaza. Tako dobijamo šemu za pronalaženje intervala rasta i opadanja, koja je u mnogome slična algoritmu za izračunavanje ekstremnih tačaka:
- Uklonite sve nepotrebne informacije. U originalnom grafu derivacije nas prvenstveno zanimaju nule funkcije, pa ćemo ostaviti samo njih.
- Označite predznake izvoda na razmacima između nula. Gdje je f’(x) ≥ 0, funkcija raste, a gdje je f’(x) ≤ 0, ona opada. Ako problem postavlja ograničenja na varijablu x, dodatno ih označavamo na novom grafu.
- Sada kada znamo ponašanje funkcije i ograničenja, ostaje da izračunamo količinu potrebnu za zadatak.
Zadatak. Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x) definisane na intervalu [−3; 7.5]. Naći intervale opadanja funkcije f(x). U svom odgovoru navedite zbir cijelih brojeva uključenih u ove intervale.
Kao i obično, hajde da ponovo nacrtamo graf i označimo granice [−3; 7.5], kao i nule izvoda x = −1.5 i x = 5.3. Zatim bilježimo znakove derivacije. Imamo:
Pošto je izvod negativan na intervalu (− 1,5), ovo je interval opadajuće funkcije. Ostaje da se zbroje svi cijeli brojevi koji se nalaze unutar ovog intervala:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Zadatak. Na slici je prikazan grafik derivacije funkcije f(x), definisane na intervalu [−10; 4]. Naći intervale povećanja funkcije f(x). U svom odgovoru navedite dužinu najvećeg od njih.
Oslobodimo se nepotrebnih informacija. Ostavimo samo granice [−10; 4] i nule izvoda kojih je ovoga puta bilo četiri: x = −8, x = −6, x = −3 i x = 2. Označimo predznake izvoda i dobijemo sljedeću sliku:
Zanimaju nas intervali rastuće funkcije, tj. gdje je f’(x) ≥ 0. Postoje dva takva intervala na grafu: (−8; −6) i (−3; 2). Izračunajmo njihove dužine:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.
Pošto treba da nađemo dužinu najvećeg intervala, kao odgovor zapisujemo vrednost l 2 = 5.
Derivat funkcije je jedna od teških tema u školskom programu. Neće svaki diplomac odgovoriti na pitanje šta je derivat.
Ovaj članak na jednostavan i jasan način objašnjava što je derivat i zašto je potreban.. Nećemo sada težiti matematičkoj strogosti u prezentaciji. Najvažnije je razumjeti značenje.
Prisjetimo se definicije:
Izvod je stopa promjene funkcije.
Na slici su prikazani grafikoni tri funkcije. Šta mislite koji od njih raste brže?
Odgovor je očigledan - treći. Ima najveću stopu promjene, odnosno najveći derivat.
Evo još jednog primjera.
Kostya, Grisha i Matvey dobili su posao u isto vrijeme. Pogledajmo kako su im se prihodi promijenili tokom godine:
Grafikon prikazuje sve odjednom, zar ne? Kostijin prihod se više nego udvostručio za šest mjeseci. I Grišin prihod se također povećao, ali samo malo. A Matveyev prihod pao je na nulu. Početni uslovi su isti, ali brzina promjene funkcije, tj derivat, - drugačije. Što se tiče Matveya, njegov derivat prihoda je općenito negativan.
Intuitivno, lako procjenjujemo brzinu promjene funkcije. Ali kako da ovo uradimo?
Ono što zapravo gledamo je koliko strmo grafik funkcije ide nagore (ili naniže). Drugim riječima, koliko brzo se mijenja y kako se mijenja x? Očigledno, ista funkcija u različitim točkama može imati različite vrijednosti izvoda - to jest, može se mijenjati brže ili sporije.
Derivat funkcije je označen .
Pokazat ćemo vam kako ga pronaći pomoću grafikona.
Nacrtan je graf neke funkcije. Uzmimo tačku sa apscisom na njoj. Nacrtajmo tangentu na graf funkcije u ovoj tački. Želimo procijeniti koliko strmo grafik funkcije ide gore. Pogodna vrijednost za ovo je tangenta tangentnog ugla.
Derivat funkcije u nekoj tački jednak je tangenti tangentnog ugla nacrtanog na graf funkcije u ovoj tački.
Imajte na umu da kao ugao nagiba tangente uzimamo ugao između tangente i pozitivnog smera ose.
Ponekad učenici pitaju šta je tangenta na graf funkcije. Ovo je prava linija koja ima jednu zajedničku tačku sa grafikom u ovom odeljku, kao što je prikazano na našoj slici. Izgleda kao tangenta na kružnicu.
Hajde da ga nađemo. Sjećamo se da je tangenta oštrog ugla u pravokutnom trokutu jednaka omjeru suprotne i susjedne strane. Iz trougla:
Izvod smo pronašli koristeći graf, a da nismo ni znali formulu funkcije. Takvi problemi se često nalaze na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike pod brojem.
Postoji još jedan važan odnos. Podsjetimo da je ravna linija data jednadžbom
Količina u ovoj jednačini se zove nagib prave linije. Jednaka je tangenti ugla nagiba prave linije prema osi.
.
Shvatili smo to
Prisjetimo se ove formule. Izražava geometrijsko značenje izvedenice.
Derivat funkcije u tački jednak je nagibu tangente povučene na graf funkcije u toj tački.
Drugim riječima, derivacija je jednaka tangentu ugla tangente.
Već smo rekli da ista funkcija može imati različite izvode u različitim tačkama. Pogledajmo kako je derivacija povezana s ponašanjem funkcije.
Nacrtajmo graf neke funkcije. Neka se ova funkcija povećava u nekim područjima, a smanjuje u drugim, i to različitim brzinama. I neka ova funkcija ima maksimum i minimum bodova.
U jednom trenutku funkcija se povećava. Tangenta na graf nacrtan u tački formira oštar ugao s pozitivnim smjerom ose. To znači da je izvod u tački pozitivan.
U trenutku kada se naša funkcija smanjuje. Tangenta u ovoj tački formira tupi ugao s pozitivnim smjerom ose. Pošto je tangenta tupog ugla negativna, derivacija u tački je negativna.
Evo šta se dešava:
Ako je funkcija rastuća, njen izvod je pozitivan.
Ako se smanjuje, njegov izvod je negativan.
Šta će se dogoditi na maksimalnim i minimalnim tačkama? Vidimo da je u tačkama (maksimalna tačka) i (tačka minimuma) tangenta horizontalna. Prema tome, tangenta tangente u ovim tačkama je nula, a derivacija je takođe nula.
Point - maksimalni poen. U ovom trenutku povećanje funkcije zamjenjuje se smanjenjem. Posljedično, predznak derivacije se mijenja u tački sa “plus” na “minus”.
U tački - minimalnoj tački - derivacija je također nula, ali se njen predznak mijenja iz "minus" u "plus".
Zaključak: pomoću izvoda možemo saznati sve što nas zanima o ponašanju funkcije.
Ako je izvod pozitivan, tada se funkcija povećava.
Ako je izvod negativan, tada se funkcija smanjuje.
U tački maksimuma, izvod je nula i mijenja predznak iz “plus” u “minus”.
U minimalnoj tački, derivacija je također nula i mijenja predznak iz “minus” u “plus”.
Zapišimo ove zaključke u obliku tabele:
| povećava | maksimalni poen | smanjuje se | minimalna tačka | povećava | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Hajde da napravimo dva mala pojašnjenja. Jedan od njih će vam trebati kada rješavate probleme USE. Drugi - na prvoj godini, sa ozbiljnijim proučavanjem funkcija i derivata.
Moguće je da je derivacija funkcije u nekoj tački jednaka nuli, ali funkcija nema ni maksimum ni minimum u ovoj tački. Ovo je tzv :
U tački, tangenta na graf je horizontalna, a derivacija je nula. Međutim, prije točke funkcija se povećala - a nakon točke nastavlja rasti. Predznak derivacije se ne mijenja - ostaje pozitivan kakav je bio.
Takođe se dešava da u tački maksimuma ili minimuma izvod ne postoji. Na grafikonu to odgovara oštrom prekidu, kada je nemoguće nacrtati tangentu u datoj tački.
Kako pronaći izvod ako funkcija nije data grafom, već formulom? U ovom slučaju se primjenjuje
