Neću te pokušavati uvjeriti da ne pišeš varalice. Pisati! Uključujući i varalice o trigonometriji. Kasnije planiram objasniti zašto su cheat sheets potrebne i zašto su cheat sheets korisne. A evo i informacija kako ne naučiti, već zapamtiti neke trigonometrijske formule. Dakle - trigonometrija bez varalice! Koristimo asocijacije za pamćenje.
1. Formule sabiranja:
Kosinusi uvijek "dolaze u paru": kosinus-kosinus, sinus-sinus.
I još nešto: kosinusi su “neadekvatni”. “Nije im sve kako treba” pa mijenjaju znakove: “-” u “+” i obrnuto.
Sinusi - “miks”: sinus-kosinus, kosinus-sinus.
2. Formule zbira i razlike:
kosinusi uvijek “dolaze u paru”. Sabiranjem dva kosinusa - "koloboks", dobijamo par kosinusa - "koloboks". A oduzimanjem definitivno nećemo dobiti koloboke. Dobijamo par sinusa. Takođe sa minusom ispred.
Sinusi - “miks” :
3. Formule za pretvaranje proizvoda u zbir i razliku.
Kada ćemo dobiti kosinusni par? Kada dodamo kosinuse. Zbog toga
Kada ćemo dobiti par sinusa? Prilikom oduzimanja kosinusa. Odavde:
“Mješanje” se dobija i pri sabiranju i oduzimanju sinusa. Šta je zabavnije: dodavanje ili oduzimanje? Tako je, preklopi. A za formulu uzimaju zbrajanje:
U prvoj i trećoj formuli zbroj je u zagradi. Preuređivanje mjesta termina ne mijenja zbir. Redoslijed je važan samo za drugu formulu. Ali, da ne bude zabune, radi lakšeg pamćenja, u sve tri formule u prvim zagradama uzimamo razliku
i drugo - iznos
Varalice u džepu daju vam mir: ako zaboravite formulu, možete je kopirati. I daju vam samopouzdanje: ako ne koristite cheat sheet, lako možete zapamtiti formule.
Formule sabiranja koriste se za izražavanje kroz sinuse i kosinuse kutova a i b vrijednosti funkcija cos(a+b), cos(a-b), sin(a+b), sin(a-b).
Formule sabiranja za sinuse i kosinuse
Teorema: Za bilo koje a i b vrijedi sljedeća jednakost: cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b).
Dokažimo ovu teoremu. Razmotrite sljedeću sliku:
Na njemu se tačke Ma, M-b, M(a+b) dobijaju rotacijom tačke Mo za uglove a, -b, odnosno a+b. Iz definicija sinusa i kosinusa, koordinate ovih tačaka će biti sljedeće: Ma(cos(a); sin(a)), M-b (cos(-b); sin(-b)), M(a+ b) (cos(a+ b); sin(a+b)). UgaoMoOM(a+b) = ugaoM-bOMa, stoga su trouglovi MoOM(a+b) i M-bOMa jednaki i jednakokraki. To znači da su baze MoM(a-b) i M-bMa jednake. Prema tome, (MoM(a-b))^2 = (M-bMa)^2. Koristeći formulu za udaljenost između dvije tačke, dobijamo:
(1 - cos(a+b))^2 + (sin(a+b))^2 = (cos(-b) - cos(a))^2 + (sin(-b) - sin(a) )^2.
sin(-a) = -sin(a) i cos(-a) = cos(a). Transformirajmo našu jednakost uzimajući u obzir ove formule i kvadrat zbira i razlike, tada:
1 -2*cos(a+b) + (cos(a+b))^2 +(sin(a+b))^2 = (cos(b))^2 - 2*cos(b)*cos (a) + (cos(a)^2 +(sin(b))^2 +2*sin(b)*sin(a) + (sin(a))^2.
Sada primjenjujemo osnovni trigonometrijski identitet:
2-2*cos(a+b) = 2 - 2*cos(a)*cos(b) + 2*sin(a)*sin(b).
Dajemo slične i smanjimo ih za -2:
cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b). Q.E.D.
Važe i sljedeće formule:
- cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b);
- sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b);
- sin(a-b) = sin(a)*cos(b) - cos(a)*sin(b).
Ove formule se mogu dobiti iz one koja je gore dokazana korištenjem redukcijskih formula i zamjenom b sa -b. Postoje i formule sabiranja za tangente i kotangense, ali one neće vrijediti za sve argumente.
Formule za sabiranje tangenta i kotangensa
Za bilo koje uglove a,b osim a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n i a+b =pi/2 +pi*m, za bilo koje cijele brojeve k,n,m sljedeće će budi istinita formula:
tg(a+b) = (tg(a) +tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)).
Za sve uglove a,b osim a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n i a-b =pi/2 +pi*m, za bilo koje cijele brojeve k,n,m sljedeća formula će biti validan:
tg(a-b) = (tg(a)-tg(b))/(1+tg(a)*tg(b)).
Za sve uglove a,b osim a=pi*k, b=pi*n, a+b = pi*m i za bilo koje cijele brojeve k,n,m vrijedit će sljedeća formula:
ctg(a+b) = (ctg(a)*ctg(b) -1)/(ctg(b)+ctg(a)).
Nastavljamo razgovor o najčešće korištenim formulama u trigonometriji. Najvažnije od njih su formule sabiranja.
Definicija 1
Formule sabiranja vam omogućavaju da izrazite funkcije razlike ili zbroja dva ugla koristeći trigonometrijske funkcije tih uglova.
Za početak ćemo dati potpunu listu formula za sabiranje, zatim ćemo ih dokazati i analizirati nekoliko ilustrativnih primjera.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Osnovne formule sabiranja u trigonometriji
Postoji osam osnovnih formula: sinus zbira i sinus razlike dva ugla, kosinus zbira i razlike, tangenta i kotangens zbira i razlike. Ispod su njihove standardne formulacije i proračuni.
1. Sinus zbira dva ugla može se dobiti na sljedeći način:
Izračunavamo proizvod sinusa prvog ugla i kosinusa drugog;
Pomnožite kosinus prvog ugla sa sinusom prvog;
Zbrojite rezultirajuće vrijednosti.
Grafičko pisanje formule izgleda ovako: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
2. Sinus razlike se izračunava na skoro isti način, samo se dobijeni proizvodi ne moraju zbrajati, već oduzimati jedan od drugog. Tako izračunavamo umnožak sinusa prvog ugla kosinusom drugog i kosinusom prvog ugla sa sinusom drugog i nalazimo njihovu razliku. Formula je napisana ovako: sin (α - β) = sin α · cos β + sin α · sin β
3. Kosinus sume. Za njega pronalazimo proizvode kosinusa prvog ugla kosinusom drugog i sinusom prvog ugla sa sinusom drugog, respektivno, i nalazimo njihovu razliku: cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β
4. Kosinus razlike: izračunajte proizvode sinusa i kosinusa ovih uglova, kao i ranije, i saberite ih. Formula: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
5. Tangent sume. Ova formula se izražava kao razlomak, čiji je brojnik zbir tangenta traženih uglova, a nazivnik je jedinica od koje se oduzima proizvod tangenta željenih uglova. Sve je jasno iz njegove grafičke oznake: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β
6. Tangenta razlike. Izračunavamo vrijednosti razlike i proizvoda tangenta ovih uglova i nastavljamo s njima na sličan način. U nazivniku dodajemo jedan, a ne obrnuto: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β
7. Kotangens iznosa. Da bismo izračunali koristeći ovu formulu, trebat će nam proizvod i zbir kotangensa ovih uglova, što postupimo na sljedeći način: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
8. Kotangens razlike . Formula je slična prethodnoj, ali brojilac i imenilac su minus, a ne plus c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β.
Vjerovatno ste primijetili da su ove formule slične u parovima. Koristeći znakove ± (plus-minus) i ∓ (minus-plus), možemo ih grupirati radi lakšeg snimanja:
sin (α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β
Shodno tome, imamo jednu formulu snimanja za zbir i razliku svake vrijednosti, samo u jednom slučaju obraćamo pažnju na gornji znak, u drugom – na donji.
Definicija 2
Možemo uzeti bilo koje uglove α i β, a formule sabiranja za kosinus i sinus će raditi za njih. Ako možemo ispravno odrediti vrijednosti tangenta i kotangensa ovih uglova, tada će formule sabiranja za tangente i kotangense također vrijediti za njih.
Kao i većina koncepata u algebri, formule sabiranja se mogu dokazati. Prva formula koju ćemo dokazati je formula kosinusa razlike. Ostatak dokaza se onda iz toga može lako zaključiti.
Hajde da razjasnimo osnovne koncepte. Trebat će nam jedinični krug. Ispašće ako uzmemo određenu tačku A i zarotiramo uglove α i β oko centra (tačka O). Tada će ugao između vektora O A 1 → i O A → 2 biti jednak (α - β) + 2 π · z ili 2 π - (α - β) + 2 π · z (z je bilo koji cijeli broj). Rezultirajući vektori formiraju ugao koji je jednak α - β ili 2 π - (α - β), ili se može razlikovati od ovih vrijednosti za cijeli broj punih okretaja. Pogledajte sliku:
Koristili smo formule redukcije i dobili smo sljedeće rezultate:
cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)
Rezultat: kosinus ugla između vektora O A 1 → i O A 2 → jednak je kosinusu ugla α - β, dakle, cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).
Prisjetimo se definicija sinusa i kosinusa: sinus je funkcija kuta, jednak omjeru kraka suprotnog ugla prema hipotenuzi, kosinus je sinus komplementarnog ugla. Dakle, bodovi A 1 I A 2 imaju koordinate (cos α, sin α) i (cos β, sin β).
Dobijamo sljedeće:
O A 1 → = (cos α, sin α) i O A 2 → = (cos β, sin β)
Ako nije jasno, pogledajte koordinate tačaka koje se nalaze na početku i na kraju vektora.
Dužine vektora su jednake 1, jer Imamo jedinični krug.
Analizirajmo sada skalarni proizvod vektora O A 1 → i O A 2 → . U koordinatama to izgleda ovako:
(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + sin α · sin β
Iz ovoga možemo izvesti jednakost:
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Tako je dokazana formula kosinusa razlike.
Sada ćemo dokazati sljedeću formulu - kosinus sume. Ovo je lakše jer možemo koristiti prethodne proračune. Uzmimo prikaz α + β = α - (- β) . Imamo:
cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β
Ovo je dokaz formule kosinusne sume. Posljednji red koristi svojstvo sinusa i kosinusa suprotnih uglova.
Formula za sinus zbroja može se izvesti iz formule za kosinus razlike. Uzmimo formulu smanjenja za ovo:
oblika sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)). Dakle
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β
A evo i dokaza formule sinusa razlike:
sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Obratite pažnju na korištenje svojstava sinusa i kosinusa suprotnih uglova u posljednjem proračunu.
Zatim su nam potrebni dokazi formula za sabiranje za tangentu i kotangens. Prisjetimo se osnovnih definicija (tangent je omjer sinusa i kosinusa, a kotangens obrnuto) i uzmimo formule koje smo već izveli unaprijed. Mi smo to napravili:
t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β
Imamo složeni razlomak. Zatim, trebamo podijeliti njegov brojilac i imenilac sa cos α · cos β, s obzirom da su cos α ≠ 0 i cos β ≠ 0, dobijamo:
sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β = sin α · cos β cos α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β
Sada smanjujemo razlomke i dobijamo sledeću formulu: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β.
Dobili smo t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. Ovo je dokaz formule sabiranja tangenta.
Sljedeća formula koju ćemo dokazati je tangent formule razlike. Sve je jasno prikazano u proračunima:
t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β
Formule za kotangens se dokazuju na sličan način:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β sin α · sin β = cos α · cos β sin α · sin β - 1 sin α · cos β sin α · sin β + cos α · sin β sin α · sin β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
dalje:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g
