U ovom članku ćemo detaljno analizirati definiciju brojevnog kruga, saznati njegovo glavno svojstvo i urediti brojeve 1,2,3, itd. O tome kako označiti druge brojeve na krugu (na primjer, \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π)) ( 6)\)) razumije .
Brojčani krug naziva se kružnica jediničnog poluprečnika čije tačke odgovaraju , uređena prema sljedećim pravilima:
1) Početna tačka je u krajnjoj desnoj tački kružnice;
2) U smjeru suprotnom od kazaljke na satu - pozitivan smjer; u smjeru kazaljke na satu – negativan;
3) Ako ucrtamo rastojanje \(t\) na kružnicu u pozitivnom smjeru, onda ćemo doći do tačke s vrijednošću \(t\);
4) Ako na kružnicu iscrtamo rastojanje \(t\) u negativnom smjeru, onda ćemo doći do točke s vrijednošću \(–t\).
Zašto se krug zove brojčani krug?
Jer ima brojeve na sebi. Na ovaj način, krug je sličan brojevnoj osi - na kružnici, kao i na osi, postoji određena tačka za svaki broj.
Zašto znati šta je brojčani krug?
Pomoću brojčanog kruga određuju se vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Stoga, da biste poznavali trigonometriju i položili Jedinstveni državni ispit sa 60+ bodova, morate razumjeti šta je brojevni krug i kako staviti tačke na njega.
Šta u definiciji znače riječi “...jediničnog radijusa...”?
To znači da je polumjer ove kružnice jednak \(1\). A ako konstruiramo takav krug sa centrom u početku, onda će se sjeći sa osama u tačkama \(1\) i \(-1\).
Ne mora biti malo nacrtano; možete promijeniti "veličinu" podjela duž osi, tada će slika biti veća (vidi dolje).
Zašto je radijus tačno jedan? Ovo je zgodnije, jer u ovom slučaju, kada se izračunava obim pomoću formule \(l=2πR\), dobijamo:
Dužina brojevnog kruga je \(2π\) ili približno \(6,28\).
Šta znači “...čije tačke odgovaraju realnim brojevima”?
Kao što smo rekli gore, na brojevnom krugu za bilo koji realan broj sigurno će biti njegovo "mjesto" - tačka koja odgovara ovom broju.
Zašto odrediti početak i smjer na brojevnom krugu?
Glavna svrha brojčanog kruga je da jedinstveno odredi svoju tačku za svaki broj. Ali kako možete odrediti gdje staviti tačku ako ne znate odakle da brojite i gdje da se krećete?
Ovdje je važno ne brkati ishodište na koordinatnoj liniji i na brojevnom krugu - to su dva različita referentna sistema! I također nemojte brkati \(1\) na osi \(x\) i \(0\) na kružnici - to su točke na različitim objektima.
Koje tačke odgovaraju brojevima \(1\), \(2\) itd.?
Zapamtite, pretpostavili smo da brojčani krug ima polumjer \(1\)? Ovo će biti naš jedinični segment (po analogiji sa brojevnom osom), koji ćemo iscrtati na krug.
Da biste označili tačku na brojevnoj kružnici koja odgovara broju 1, trebate ići od 0 do udaljenosti jednake polumjeru u pozitivnom smjeru.
Da biste označili tačku na kružnici koja odgovara broju \(2\), trebate prijeći udaljenost jednaku dva polumjera od početka, tako da je \(3\) udaljenost jednaka tri poluprečnika, itd.
Kada pogledate ovu sliku, možda imate 2 pitanja:
1. Šta se dešava kada se krug "završi" (tj. napravimo punu revoluciju)?
Odgovor: idemo u drugi krug! A kad se završi drugi, idemo na treći i tako dalje. Dakle, beskonačan broj brojeva se može nacrtati u krug.
2. Gdje će biti negativni brojevi?
Odgovor: tu! Oni se također mogu rasporediti, računajući od nule potreban broj radijusa, ali sada u negativnom smjeru.
Nažalost, teško je označiti cijele brojeve na brojevnom krugu. To je zbog činjenice da dužina brojevnog kruga neće biti jednaka cijelom broju: \(2π\). A na najpovoljnijim mjestima (u točkama sjecišta s osama) također će biti razlomci, a ne cijeli brojevi
Video lekcije su među najefikasnijim nastavnim sredstvima, posebno u školskim predmetima kao što je matematika. Stoga je autor ovog materijala sakupio samo korisne, važne i kompetentne informacije u jedinstvenu cjelinu.
Ova lekcija traje 11:52 minuta. Gotovo isto toliko vremena je potrebno nastavniku da objasni novi materijal o datoj temi na času. Iako će glavna prednost video lekcije biti činjenica da će učenici pažljivo slušati o čemu autor govori, a da ih ne ometaju strane teme i razgovori. Uostalom, ako učenici ne slušaju pažljivo, propustit će važnu tačku lekcije. A ako nastavnik sam objašnjava materijal, onda njegovi učenici mogu lako odvratiti pažnju od glavne stvari svojim razgovorima o apstraktnim temama. I, naravno, postaje jasno koja će metoda biti racionalnija.
Autor posvećuje početak lekcije ponavljanju onih funkcija sa kojima su učenici bili upoznati ranije na kursu algebre. A prvi koji počinju proučavati su trigonometrijske funkcije. Za njihovo razmatranje i proučavanje potreban je novi matematički model. I ovaj model postaje brojčani krug, što je upravo ono što je navedeno u temi lekcije. Da bi se to postiglo, uvodi se koncept jediničnog kruga i daje se njegova definicija. Dalje na slici autor prikazuje sve komponente takvog kruga i ono što će učenicima biti od koristi za dalje učenje. Lukovi označavaju četvrtine.
Zatim autor predlaže razmatranje brojevnog kruga. Ovdje daje napomenu da je zgodnije koristiti jedinični krug. Ovaj krug pokazuje kako se dobija tačka M ako je t>0, t<0 или t=0. После этого вводится понятие самой числовой окружности.
Zatim, autor podsjeća učenike kako pronaći obim kruga. I onda daje dužinu jediničnog kruga. Predlaže se primjena ovih teorijskih podataka u praksi. Da biste to učinili, razmotrite primjer gdje trebate pronaći tačku na krugu koja odgovara određenim vrijednostima brojeva. Rješenje primjera je popraćeno ilustracijom u obliku slike, kao i potrebnim matematičkim zapisima.
Prema uslovu drugog primjera, potrebno je pronaći tačke na brojevnoj kružnici. I ovdje je cijelo rješenje popraćeno komentarima, ilustracijama i matematičkim zapisima. To doprinosi razvoju i unapređenju matematičke pismenosti učenika. Treći primjer je konstruiran slično.
Zatim, autor bilježi one brojeve na krugu koji se pojavljuju češće od drugih. Ovdje on predlaže da napravite dva modela brojevnog kruga. Kada su oba izgleda spremna, razmatra se sljedeći, četvrti primjer, gdje treba pronaći tačku na brojevnoj kružnici koja odgovara broju 1. Nakon ovog primjera formuliše se izjava prema kojoj možete pronaći tačku M koja odgovara broj t.
Zatim se uvodi napomena prema kojoj učenici uče da broj “pi” odgovara svim brojevima koji padaju na datu tačku kada ona prođe cijeli krug. Ovu informaciju potkrepljuje peti primjer. Njegovo rješenje sadrži logički ispravno razmišljanje i crteže koji ilustruju situaciju.
DEKODIRANJE TEKSTA:
NUMERIČKI KRUG
Prethodno smo proučavali funkcije definisane analitičkim izrazima. I ove funkcije su nazvane algebarskim. Ali u školskom predmetu matematike izučavaju se funkcije drugih razreda, a ne algebarskih. Počnimo učiti trigonometrijske funkcije.
Da bismo uveli trigonometrijske funkcije, potreban nam je novi matematički model - brojevni krug. Razmotrimo jedinični krug. Krug čiji je radijus jednak segmentu skale, bez navođenja određenih mjernih jedinica, nazivat će se jedinicom. Radijus takve kružnice smatra se jednakim 1.
Koristićemo jediničnu kružnicu u kojoj su ucrtani horizontalni i vertikalni prečnici CA i DB (ce a i de be) (vidi sliku 1).
Luk AB ćemo nazvati prvom četvrtinom, lukom BC drugom četvrtinom, lukom CD trećom četvrtinom, a luk DA četvrtom četvrtinom.
Uzmite u obzir brojčani krug. Općenito, bilo koji krug se može smatrati numeričkim krugom, ali je pogodnije koristiti jedinični krug u tu svrhu.
DEFINICIJA Dat je jedinični krug i na njemu je označena početna tačka A - desni kraj horizontalnog prečnika. Pridružimo svakom realnom broju t (te) tačku na kružnici prema sljedećem pravilu:
1) Ako je t>0 (te je veći od nule), tada, krećući se od tačke A u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (pozitivan smjer kružnice), opisujemo put AM (a em) dužine t duž kružnice. Tačka M će biti željena tačka M(t) (em od te).
2) Ako t<0(тэ меньше нуля), то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь АМ (а эм) длины |t| (модуль тэ). Точка М и будет искомой точкой М(t) (эм от тэ).
3) Dodijelimo tačku A broju t = 0.
Jedinični krug sa utvrđenom korespondencijom (između realnih brojeva i tačaka na kružnici) zvaće se brojevni krug.
Poznato je da se obim L (el) izračunava po formuli L = 2πR (el je dva pia), gdje je π≈3,14, R polumjer kružnice. Za jedinični krug R=1cm, to znači L=2π≈6,28 cm (el je jednako dva pi približno 6,28).
Pogledajmo primjere.
PRIMJER 1. Pronađite tačku na brojevnoj kružnici koja odgovara datom broju: ,.(pi sa dva, pi, tri pi sa dva, dva pi, jedanaest pi sa dva, sedam pi, minus pet pi sa dva)
Rješenje. Prvih šest brojeva je pozitivnih, stoga, da biste pronašli odgovarajuće tačke na kružnici, morate proći stazom date dužine duž kružnice, krećući se od tačke A u pozitivnom smjeru. Dužina svake četvrtine jediničnog kruga je jednaka. To znači AB =, odnosno, tačka B odgovara broju (vidi sliku 1). AC = , odnosno tacka C odgovara broju. AD = , odnosno tacka D odgovara broju. I tacka A opet odgovara broju, jer smo nakon hodanja stazom po krugu zavrsili na pocetnoj tacki A.
Razmotrimo gdje će se tačka nalaziti.Pošto već znamo koja je dužina kružnice, svećemo je na oblik (četiri pi plus tri pi po dva). To jest, krećući se od tačke A u pozitivnom smjeru, trebate opisati cijeli krug dva puta (put dužine 4π) i dodatno put dužine koji se završava u tački D.
Šta se desilo? Ovo je 3∙2π + π (tri puta dva pi plus pi). To znači da pomerajući se iz tačke A u pozitivnom smeru, morate tri puta opisati čitav krug i dodatno put dužine π, koji će se završiti u tački C.
Da biste pronašli tačku na brojevnoj kružnici koja odgovara negativnom broju, trebate hodati od tačke A duž kružnice u negativnom smjeru (kazaljke na satu) putem dužine, a to odgovara 2π +. Ovaj put će se završiti u tački D.
PRIMJER 2. Pronađite tačke na brojevnoj kružnici (pi sa šest, pi sa četiri, pi sa tri).
Rješenje. Deleći luk AB na pola, dobijamo tačku E, koja odgovara. I podijelimo luk AB na tri jednaka dijela sa tačkama F i O, dobijamo da odgovara tačka F, a tačka T odgovara
(vidi sliku 2).
PRIMJER 3. Pronađite tačke na brojevnom krugu (minus trinaest pi sa četiri, devetnaest pi sa šest).
Rješenje. Odlaganjem luka AE (a em) dužine (pi sa četiri) iz tačke A trinaest puta u negativnom pravcu, dobijamo tačku H (pepeo) - sredinu luka BC.
Odlaganjem luka AF dužine (pi sa šest) iz tačke A devetnaest puta u pozitivnom smeru, dolazimo do tačke N (en), koja pripada trećoj četvrtini (luk CD) i CN je jednaka trećem delu arc CD (se de).
(vidi sliku primjer 2).
Najčešće morate tražiti tačke na brojevnom krugu koje odgovaraju brojevima (pi sa šest, pi sa četiri, pi sa tri, pi sa dva), kao i one koje su višestruke od njih, odnosno (sedam pi sa šest, pet pi sa četiri, četiri pi sa tri, jedanaest pi sa dva). Stoga, za brzu navigaciju, preporučljivo je napraviti dva izgleda kruga brojeva.
Na prvom rasporedu, svaka od četvrtina brojevnog kruga bit će podijeljena na dva jednaka dijela i u blizini svake od rezultirajućih tačaka upisaćemo njihova "imena":
Na drugom rasporedu svaka od četvrtina je podijeljena na tri jednaka dijela i u blizini svake od rezultirajućih dvanaest tačaka zapisujemo njihova "imena":
Ako se krećemo u smjeru kazaljke na satu, dobićemo ista “imena” za tačke na crtežima, samo sa minus vrijednošću. Za prvi izgled:
Slično, ako se krećete duž drugog rasporeda u smjeru kazaljke na satu od točke O.
PRIMJER 4. Pronađite tačke na brojevnom krugu koje odgovaraju brojevima 1 (jedan).
Rješenje. Znajući da je π≈3,14 (pi je približno jednako tri tačke četrnaest stotinki), ≈ 1,05 (pi puta tri je približno jednako jednom bodu pet stotinki), ≈ 0,79 (pi puta četiri je približno jednako nuli tački sedamdeset devet stotinki) . znači,< 1 < (один больше, чем пи на четыре, но меньше, чем пи на три), то есть число 1 находится в первой четверти.
Tačna je sljedeća izjava: ako tačka M na brojevnoj kružnici odgovara broju t, tada odgovara bilo kojem broju oblika t + 2πk(te plus dva pi ka), gdje je ka bilo koji cijeli broj i kϵ Z(ka pripada Zetu).
Koristeći ovu tvrdnju, možemo zaključiti da tačka odgovara svim tačkama oblika t =+ 2πk (te je jednako pi puta tri plus dva vrha), gdje je kϵZ ( ka pripada zet), a tački (pet pi sa četiri) - tačke oblika t = + 2πk (te je jednako pet pi sa četiri plus dva pi ka), gdje je kϵZ ( ka pripada zet) i tako dalje.
PRIMJER 5. Pronađite tačku na brojevnoj kružnici: a) ; b) .
Rješenje. a) Imamo: = =(6 +) ∙ π = 6π + = + 3∙ 2π.(dvadeset pi puta tri jednako je dvadeset puta tri pi jednako šest plus dvije trećine, pomnoženo sa pi jednako šest pi plus dva pi puta tri jednako dva pi puta tri plus tri puta dva pi).
To znači da broj odgovara istoj tački na brojevnom krugu kao i broj (ovo je druga četvrtina) (vidi drugi raspored na slici 4).
b) Imamo: = - (8 +) ∙ π = + 2π ∙ (- 4) (minus trideset pet pi puta četiri jednako je minus osam plus tri četvrtine puta pi jednako minus tri pi puta četiri plus dva pi puta minus četiri ). To jest, broj odgovara istoj tački na brojevnom krugu kao i broj
U ovoj lekciji ćemo se prisjetiti definicije brojevne prave i dati novu definiciju brojevnog kruga. Također ćemo detaljno razmotriti važno svojstvo brojevnog kruga i važne tačke na kružnici. Definirajmo direktne i inverzne probleme za brojevni krug i riješimo nekoliko primjera takvih problema.
Tema: Trigonometrijske funkcije
Lekcija: Brojčani krug
Za bilo koju funkciju, nezavisni argument se odgađa ili za brojevnu liniju, ili na krug. Okarakterizirajmo i brojevnu pravu i brojčani krug.
Prava postaje brojčana (koordinatna) linija ako se označi početak koordinata i odabere pravac i razmjer (slika 1).
Brojevna prava uspostavlja korespondenciju jedan prema jedan između svih tačaka na pravoj i svih realnih brojeva.
Na primjer, uzmemo broj i stavimo ga na koordinatnu osu, dobijemo tačku Uzimamo broj i stavimo ga na osu, dobijemo tačku (slika 2).
I obrnuto, ako uzmemo bilo koju tačku na koordinatnoj liniji, tada joj odgovara jedinstveni realni broj (slika 2).
Ljudi nisu odmah došli do takve prepiske. Da bismo ovo razumjeli, sjetimo se osnovnih numeričkih skupova.
Prvo smo uveli skup prirodnih brojeva
Zatim skup cijelih brojeva 
Skup racionalnih brojeva
Pretpostavljalo se da će ovi skupovi biti dovoljni i da će postojati korespondencija jedan prema jedan između svih racionalnih brojeva i tačaka na pravoj. Ali pokazalo se da na brojevnoj pravoj postoji bezbroj tačaka koje se ne mogu opisati brojevima oblika
Primjer je hipotenuza pravokutnog trougla sa katetama 1 i 1. Jednaka je (slika 3).
Među skupom racionalnih brojeva, postoji li broj tačno jednak Ne, ne postoji. Dokažimo ovu činjenicu.
Dokažimo to kontradikcijom. Pretpostavimo da postoji razlomak jednak tj.
Zatim kvadriramo obje strane Očigledno, desna strana jednakosti je djeljiva sa 2, . Ovo znači i Onda Ali onda i A znači Tada se ispostavlja da je razlomak reducibilan. Ovo je u suprotnosti sa uslovom, što znači
Broj je iracionalan. Skup racionalnih i iracionalnih brojeva formira skup realnih brojeva 
Ako uzmemo bilo koju tačku na pravoj, neki realni broj će joj odgovarati. A ako uzmemo bilo koji realan broj, na koordinatnoj liniji će mu odgovarati jedna tačka.
Pojasnimo šta je brojevni krug i kakvi su odnosi između skupa tačaka na kružnici i skupa realnih brojeva.
Porijeklo - tačka A. Smjer brojanja - suprotno od kazaljke na satu - pozitivno, u smjeru kazaljke na satu - negativno. Skala - obim (slika 4).
Uvodeći ove tri odredbe, imamo brojčani krug. Pokazat ćemo kako svakom broju dodijeliti tačku na krugu i obrnuto.
Postavljanjem broja dobijamo tačku na krugu
Svaki realan broj odgovara tački na kružnici.Šta je sa obrnutom?
Tačka odgovara broju. A ako uzmemo brojeve, svi ovi brojevi imaju samo jednu tačku na svojoj slici na kružnici
Na primjer, odgovara tački B(Sl. 4).
Uzmimo sve brojeve, svi odgovaraju tački. B. Ne postoji korespondencija jedan prema jedan između svih realnih brojeva i tačaka na kružnici.
Ako postoji fiksni broj, tada mu odgovara samo jedna tačka na krugu
Ako postoji tačka na kružnici, tada joj odgovara skup brojeva
Za razliku od prave linije, koordinatni krug nema korespondenciju jedan prema jedan između tačaka i brojeva. Svaki broj odgovara samo jednoj tački, ali svaka tačka odgovara beskonačnom broju brojeva i možemo ih zapisati.
Pogledajmo glavne tačke na krugu.
Zadan broj, pronađite kojoj tački na kružnici odgovara.
Deleći luk na pola, dobijamo tačku (slika 5).
Inverzni zadatak: datoj tački u sredini luka, pronaći sve realne brojeve koji joj odgovaraju.
Označimo sve višestruke lukove na brojevnom krugu (slika 6).
Lukovi koji su višestruki
Dat je broj, potrebno je pronaći odgovarajuću tačku.
Inverzni zadatak - zadata tačka, treba da nađete kojim brojevima ona odgovara.
Pogledali smo dva standardna zadatka u dvije kritične tačke.
a) Pronađite tačku na brojevnoj kružnici sa koordinatom
Kašnjenje sa tačke A ovo su dva cijela okreta i još jedna polovina, i dobijamo poen M- ovo je sredina treće četvrtine (Sl. 8).
Odgovori. Dot M- sredina treće četvrtine.
b) Naći tačku na brojevnoj kružnici sa koordinatom
Kašnjenje sa tačke A puni okret i još uvijek dobijamo bod N(Sl. 9).
Odgovor: Poenta N je u prvom kvartalu.
Pogledali smo brojevnu pravu i brojevni krug i zapamtili njihove karakteristike. Posebna karakteristika brojevne prave je korespondencija jedan prema jedan između tačaka ove prave i skupa realnih brojeva. Na krugu ne postoji takva korespondencija jedan na jedan. Svaki realan broj na kružnici odgovara jednoj tački, ali svaka tačka na brojevnoj kružnici odgovara beskonačnom broju realnih brojeva.
U sljedećoj lekciji ćemo pogledati brojčani krug u koordinatnoj ravni.
Spisak referenci na teme "Brojčani krug", "Tačka na krugu"
1. Algebra i početak analize, 10. ocjena (iz dva dijela). Udžbenik za opšteobrazovne ustanove (profilni nivo), ur. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.
2. Algebra i početak analize, 10. ocjena (iz dva dijela). Problematika za obrazovne ustanove (profilni nivo), ur. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra i matematička analiza za 10. razred (udžbenik za učenike škola i odjeljenja sa detaljnim proučavanjem matematike) - M.: Prosveshchenie, 1996.
4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Dubinski studij algebre i matematičke analize.-M.: Obrazovanje, 1997.
5. Zbirka zadataka iz matematike za kandidate za visokoškolske ustanove (priredio M.I. Skanavi) - M.: Viša škola, 1992.
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebarski simulator.-K.: A.S.K., 1997.
7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problemi iz algebre i principi analize (priručnik za učenike 10-11 razreda opšteobrazovnih ustanova) - M.: Prosveščenie, 2003.
8. Karp A.P. Zbirka zadataka iz algebre i principi analize: udžbenik. dodatak za 10-11 razred. sa dubinom studirao Matematika.-M.: Obrazovanje, 2006.
Zadaća
Algebra i početak analize, 10. ocjena (iz dva dijela). Problematika za obrazovne ustanove (profilni nivo), ur. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
№№ 11.6 - 11.12, 11.15 - 11.17.
Dodatni web resursi
3. Edukativni portal za pripremu ispita ().
Naziv artikla Algebra i početak matematičke analize
Klasa 10
UMK Algebra i počeci matematičke analize, 10-11 razred. AT 2 . Dio 1. Udžbenik za opšteobrazovne ustanove (osnovni nivo) / A.G. Mordkovich. – 10. izdanje, st. - M.: Mnemosyne, 2012. Dio 2. Problematika za obrazovne ustanove (osnovni nivo) /[ A.G. Mordkovich et al.]; uređeno od A.G. Mordkovich. – 10. izdanje, st. - M.: Mnemosyne, 2012.
Nivo studija. Baza
Tema lekcije Krug s brojevima (2 sata)
Lekcija #1
Target: uvesti koncept brojevnog kruga kao modela krivolinijskog koordinatnog sistema.
Zadaci : razvijati sposobnost korištenja brojevnog kruga pri rješavanju zadataka.
Planirani rezultati:
Tokom nastave
Organiziranje vremena.
2. Provjera domaće zadaće koja je izazvala teškoće kod učenika
II. Usmeni rad.
1. Usporedite svaki interval na brojevnoj pravoj s nejednakošću i analitičkom notacijom za interval. Unesite podatke u tabelu.
A (– ; –5] D (–5; 5)
B [–5; 5] E (– ; –5)
IN [–5; + ) I [–5; 5)
G (–5; 5] Z (–5; + )
1 –5 < X < 5 5 –5 X 5
2 X –5 6 X –5
3 –5 < X 5 7 5 X < 5
4 X < –5 8 X > –5
A1. Za razliku od proučavane brojevne prave, brojevni krug je složeniji model. Koncept luka, koji je u njegovoj osnovi, nije pouzdano razrađen u geometriji.
2 . Rad sa udžbenikom . Pogledajmo praktičan primjer sa. 23–24 udžbenika (stadina za trčanje). Možete zamoliti učenike da daju slične primjere (kretanje satelita u orbiti, rotacija zupčanika, itd.).
3. Opravdavamo pogodnost korištenja jediničnog kruga kao brojčanog.
4. Rad sa udžbenikom. Pogledajmo primjere sa str. 25–31 udžbenika. Autori ističu da za uspješno ovladavanje modelom brojevnog kruga i udžbenik i problemska knjiga pružaju sistem posebnih „didaktičkih igara“. Ima ih šest, u ovoj lekciji ćemo koristiti prva četiri.
(Mordkovich A. G. M79 Algebra i počeci matematičke analize. 10-11 razredi (osnovni nivo): metodički priručnik za nastavnike / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - M.: Mnemosyna, 2010. - 202 str. : ilustr.)
1. "igra" – izračunavanje dužine luka jedinične kružnice. Učenici treba da se naviknu na činjenicu da je dužina cijelog kruga 2 , pola kruga – , četvrtina kruga – itd.
2. "igra" – pronalaženje tačaka na brojevnom krugu koje odgovaraju datim brojevima, izraženih u razlomcima broja
na primjer, bodovi 
itd. („dobri“ brojevi i bodovi).
3. "igra" – pronalaženje tačaka na brojevnom krugu koje odgovaraju datim brojevima, a ne izražene u razlomcima broja na primjer, bodovi M (1), M (–5) itd. („loši“ brojevi i bodovi).
4. "igra" – upisivanje brojeva koji odgovaraju datoj „dobroj“ tački na brojevnom krugu, na primjer, sredina prve četvrtine je „dobro“, brojevi koji joj odgovaraju imaju oblik 
Dinamička pauza
Vježbe riješene u ovoj lekciji odgovaraju četirima naznačenim didaktičkim igrama. Učenici koriste raspored brojčanog kruga sa prečnicimaAC (horizontalno) iBD(vertikalno).
1. № 4.1, № 4.3.
Rješenje:
№ 4.3.
2. № 4.5 (a; b) – 4.11 (a; b).
3. № 4.12.
4. № 4.13 (a; b), № 4.14.
Rješenje:
№ 4.13.
V. Testni rad.
Opcija 1
Opcija 2
1. Označite tačku na brojevnom krugu koja odgovara ovom broju:
2. Pronađite sve brojeve koji odgovaraju tačkama označenim na brojčanom krugu.
VI. Sažetak lekcije.
Pitanja za studente:
– Dajte definiciju brojevnog kruga.
– Kolika je dužina jediničnog kruga? Dužina pola jediničnog kruga? Njene odaje?
– Kako možete pronaći tačku na brojevnom krugu koja odgovara broju? Broj 5?
Zadaća:, strana 23. br. 4.2, br. 4.4, br. 4.5 (c; d) – br. 4.11 (c; d), br. 4.13 (c; d), br. 4.15.
Lekcija #2
Ciljevi : konsolidovati koncept brojevnog kruga kao modela krivolinijskog koordinatnog sistema.
Zadaci : nastaviti razvijati sposobnost pronalaženja tačaka na brojevnom krugu koje odgovaraju datim „dobrim“ i „lošim“ brojevima; zapišite broj koji odgovara tački na brojevnom krugu; razviti sposobnost sastavljanja analitičkog zapisa luka brojevne kružnice u obliku dvostruke nejednačine.
Razvijati računske vještine, pravilan matematički govor i logičko mišljenje učenika.
Usadite nezavisnost, pažnju i tačnost. Negujte odgovoran odnos prema učenju.
Planirani rezultati:
Znati, razumjeti: - brojčani krug.
Znati: - pronaći tačke na kružnici prema datim koordinatama; - pronaći koordinate tačke koja se nalazi na brojevnom krugu.
Umeti da primeni proučeni teorijski materijal pri izvođenju pismenog rada.
Tehnička podrška za lekciju Računar, platno, projektor, udžbenik, zadatak.
Dodatna metodička i didaktička podrška času: Mordkovich A. G. M79 Algebra i počeci matematičke analize. 10-11 razredi (osnovni nivo): metodički priručnik za nastavnike / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - M.: Mnemosyna, 2010. - 202 str. : mulj
Tokom nastave
Organiziranje vremena.
Psihološko raspoloženje učenika.
Provjera domaćegbr. 4.2, br. 4.4, br. 4.5 (c; d) – br. 4.11 (c; d), br. 4.13 (c; d),
№ 4.15. Analizirajte rješenje zadataka koji su izazvali poteškoće.
Usmeni rad.
(na slajdu)
1. Spoji tačke na brojevnom krugu i date brojeve:
b)
V)
G)
d)
e)
i)
h)
2. Pronađite tačke na brojevnom krugu.
–2; 4; –8;
13.
III. Objašnjenje novog materijala.
Kao što je već napomenuto, učenici savladavaju sistem od šest didaktičkih „igara“ koje pružaju mogućnost rješavanja problema četiri glavna tipa povezanih s brojevnim krugom (od broja do tačke; od tačke do broja; od luka do dvostruke nejednakosti; od dvostruke nejednakosti do luka).
(Mordkovich A. G. M79 Algebra i počeci matematičke analize. 10-11 razredi (osnovni nivo): metodički priručnik za nastavnike / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - M.: Mnemosyne, 2010. - 202 str. : ilustr.)
U ovoj lekciji ćemo koristiti posljednje dvije igre:
5. "igra" – sastavljanje analitičkih zapisa (dvostruke nejednačine) za lukove brojevnog kruga. Na primjer, ako je zadan luk koji povezuje sredinu prve četvrtine (početak luka) i najnižu tačku od dva koja dijele drugu četvrtinu na tri jednaka dijela (kraj luka), tada će odgovarajući analitički notacija ima oblik:
Ako se početak i kraj istog luka zamijene, tada će odgovarajući analitički zapis luka izgledati ovako:
Autori udžbenika napominju da pojmovi „jezgro analitičke notacije luka“, „analitička notacija luka“ nisu opštepriznati, već su uvedeni iz čisto metodoloških razloga, a da li će ih koristiti ili ne zavisi od nastavnik.
6. "igra" – sa ove analitičke notacije luka (dvostruka nejednakost) pređite na njegovu geometrijsku sliku.
Objašnjenje treba izvesti tehnikom analogije. Možete koristiti pokretni model brojevne linije koji se može "sažmiti" u brojčani krug.
Rad sa udžbenikom .
Pogledajmo primjer 8 sa str. 33 udžbenika.
Dinamička pauza
IV. Formiranje vještina i sposobnosti.
Prilikom rješavanja zadataka učenici moraju osigurati da pri analitičkom pisanju luka lijeva strana dvostruke nejednakosti bude manja od desne strane. Da biste to učinili, prilikom snimanja morate se kretati u pozitivnom smjeru, odnosno suprotno od kazaljke na satu.
1. grupa . Vježbe za pronalaženje "loših" tačaka na brojevnom krugu.
№ 4.16, br. 4.17 (a; b).
2. grupa . Vježbe analitičkog snimanja luka i konstrukcije luka na osnovu njegovog analitičkog snimanja.
№ 4.18 (a; b), br. 4.19 (a; b), br. 4.20 (a; b).
V. Samostalni rad.
Opcija 1
3. Prema analitičkom modelu 
zapišite oznaku brojevnog luka i izgradite njegov geometrijski model.
Opcija 2
1. Na osnovu geometrijskog modela luka brojevnog kruga napišite analitički model u obliku dvostruke nejednačine.
2. Prema zadatoj oznaci luka brojevnog kruga 
naznačiti njegove geometrijske i analitičke modele.
3. Prema analitičkom modelu 
zapišite oznaku luka brojevnog kruga i izgradite njegov geometrijski model.
VI. Sažetak lekcije.
Pitanja za studente:
– Na koje načine možete analitički napisati luk brojevnog kruga?
– Šta se naziva jezgrom analitičkog snimanja luka?
– Koje uslove moraju ispunjavati brojevi lijevo i desno od dvostruke nejednakosti?
Zadaća:
1. , strana 23. br. 4.17 (c; d), br. 4.18 (c; d), br. 4.19 (c; d), br. 4.20 (c; d).
2. Na osnovu geometrijskog modela luka brojevnog kruga zapisati njegov analitički model u obliku dvostruke nejednačine.
3. Prema zadatoj oznaci luka brojevnog kruga 
naznačiti njegove geometrijske i analitičke modele.
