Po posebnom dogovoru sa uredništvom i urednicima časopisa Kvant
Prilikom rješavanja mehaničkih problema, korištenje koncepta centra mase sistema materijalnih tačaka može pružiti neprocjenjivu pomoć. Neki problemi se jednostavno ne mogu riješiti bez pribjegavanja ovom konceptu; rješavanje drugih uz njegovu pomoć može postati mnogo jednostavnije i jasnije.
Prije diskusije o konkretnim problemima, prisjetimo se osnovnih svojstava centra mase i ilustrirajmo ih primjerima.
Centar mase (centar inercije) sistema materijalnih tačaka je tačka koja karakteriše raspodelu masa u sistemu, čije su koordinate određene formulama
Evo m i- mase materijalnih tačaka koje formiraju sistem, x i, y i, z i- koordinate ovih tačaka. Čitaoci upoznati s konceptom radijus vektora preferiraće vektorsku notaciju:
(1)
Primjer 1. Nađimo položaj centra mase, najjednostavniji sistem koji se sastoji od dvije tačke čije su mase m 1 i m 2 i udaljenost između njih l(Sl. 1).
Usmjeravanje ose X od prve tačke do druge nalazimo da je udaljenost od prve tačke do centra mase (tj. koordinata centra mase) jednaka i udaljenost od centra mase do druge tačke jednaka do tj. omjer udaljenosti je inverzan omjeru masa. To znači da se u ovom slučaju položaj centra mase poklapa sa centrom gravitacije.
Razmotrimo neka svojstva centra mase, koja će, čini nam se, ispuniti donekle formalnu definiciju ovog pojma datu gore, fizičkim sadržajem.
1) Položaj centra mase se neće promeniti ako se neki deo sistema zameni jednom tačkom čija je masa jednaka masi ovog podsistema i koja se nalazi u njegovom centru mase.
Primjer 2. Razmotrimo ravan homogeni trougao i pronađemo položaj njegovog centra mase. Podijelite trokut na tanke trake paralelne s jednom od stranica i zamijenite svaku traku točkom koja se nalazi u sredini. Pošto sve takve tačke leže na medijani trougla, centar mase takođe mora ležati na medijani. Ponavljajući razmišljanje za svaku stranu, nalazimo da je centar mase na presjeku medijana.
2) Brzina centra mase se može naći uzimanjem vremenskog izvoda obe strane jednakosti (1):
(2)
Gdje - sistemski impuls, m- ukupna masa sistema. Može se vidjeti da je brzina centra mase zatvorenog sistema konstantna. To znači da ako povežemo translacijsko pokretni referentni okvir sa centrom mase, onda će on biti inercijalan.
Primjer 3. Postavimo jednoličnu šipku dužine l vertikalno na glatku ravan (slika 2) i otpustite. Tokom pada, i horizontalna komponenta njegovog impulsa i horizontalna komponenta brzine centra mase ostaće jednake nuli. Stoga će u trenutku pada središte štapa biti na mjestu gdje je štap prvobitno stajao, a krajevi štapa će se pomaknuti vodoravno za .
3) Ubrzanje centra mase jednako je izvodu njegove brzine u odnosu na vrijeme:
(3)
gdje se na desnoj strani jednakosti nalaze samo vanjske sile, jer se sve unutrašnje sile poništavaju prema trećem Newtonovom zakonu. Nalazimo da se centar mase pomera kao zamišljena tačka sa masom jednakom masi sistema koja bi se kretala pod dejstvom rezultujuće spoljne sile. Ovo je vjerovatno najfizičnije svojstvo centra mase.
Primjer 4. Ako bacite štap, uzrokujući njegovo rotiranje, tada će se centar mase štapa (njegova sredina) kretati konstantnim ubrzanjem duž parabole (slika 3).
4) Neka je sistem tačaka u uniformnom gravitacionom polju. Tada je ukupni moment gravitacije u odnosu na bilo koju osu koja prolazi kroz centar mase jednak nuli. To znači da rezultanta gravitacije prolazi kroz centar mase, tj. centar mase je i centar gravitacije.
5) Potencijalna energija sistema tačaka u uniformnom gravitacionom polju izračunava se po formuli
Gdje h ts - visina centra mase sistema.
Primjer 5. Prilikom kopanja rupe u uniformi duboku funtu h i rasipanje tla po površini, njegova potencijalna energija raste za , gdje m- masa iskopanog tla.
6) I još jedno korisno svojstvo centra mase. Kinetička energija sistema tačaka može se predstaviti kao zbir dva člana: kinetička energija opšteg translacionog kretanja sistema, jednaka , i kinetička energija E u odnosu na kretanje u odnosu na referentni sistem povezan sa centrom mase:
Primjer 6. Kinetička energija kotrljanja obruča bez klizanja po horizontalnoj površini brzinom υ jednaka je
pošto je relativno kretanje u ovom slučaju čista rotacija, za koju je linearna brzina tačaka obruča jednaka υ (ukupna brzina donje tačke mora biti jednaka nuli).
Sada počnimo analizirati probleme koristeći centar mase.
Problem 1. Homogeni štap leži na glatkoj horizontalnoj površini. Na štap se primjenjuju dvije horizontalne sile jednake veličine, ali suprotnog smjera: jedna sila se primjenjuje na sredinu štapa, druga na njegov kraj (slika 4). U odnosu na koju tačku će štap početi da se okreće?
Na prvi pogled može izgledati da će os rotacije biti tačka koja leži u sredini između tačaka primjene sila. Međutim, jednadžba (3) pokazuje da, budući da je zbir vanjskih sila jednak nuli, ubrzanje centra mase također je nula. To znači da će centar štapa ostati u mirovanju, tj. služe kao osa rotacije.
Problem 2. Tanka ujednačena dužina štapa l i masa m pokreće se duž glatke horizontalne površine tako da se kreće translatorno i istovremeno rotira ugaonom brzinom ω. Pronađite napetost štapa ovisno o udaljenosti x do njegovog centra.
Pređimo na inercijski referentni sistem povezan sa središtem štapa. Razmotrimo kretanje komada štapa zatvorenog između tačke štapa koji se razmatra (koja se nalazi na udaljenosti x od centra) i njegovog kraja (sl. 5).
Jedina vanjska sila za ovaj komad je potrebna sila zatezanja F n, masa je jednaka , i njegovo središte mase se kreće u krugu radijusa 
sa ubrzanjem. Zapisujući jednačinu kretanja centra mase odabranog komada, dobijamo
Problem 3. Binarna zvijezda se sastoji od dvije komponente s masama m 1 i m 2, razmak između kojih se ne mijenja i ostaje jednak L. Pronađite period rotacije binarne zvijezde.
Razmotrimo kretanje sastavnih zvijezda u inercijskom referentnom okviru povezanom sa centrom mase dvojne zvijezde. U ovom referentnom okviru, zvijezde se kreću istom ugaonom brzinom duž krugova različitih poluprečnika (slika 6).
Poluprečnik rotacije zvezde sa masom m 1 je jednako (vidi primjer 1), a njegovo centripetalno ubrzanje je stvoreno silom privlačenja prema drugoj zvijezdi:
Vidimo da je period rotacije dvostruke zvijezde jednak
i određen je ukupnom masom dvojne zvijezde, bez obzira na to kako je raspoređena među sastavnim zvijezdama.
Problem 4. Mase u dve tačke m i 2 m vezana dužinom konca bez težine l i kreću se duž glatke horizontalne ravni. U nekom trenutku vremena brzina mase 2 m jednaka je nuli, a brzina mase m jednaka υ i usmjerena okomito na navoj (slika 7). Pronađite napetost niti i period rotacije sistema.
Rice. 7
Centar mase sistema je udaljen od mase 2 m i kreće se brzinom. U referentnom sistemu koji je povezan sa centrom mase, tačka mase 2 m kreće se u krugu radijusa brzinom. To znači da je period rotacije jednak (provjerite da li se dobije isti odgovor ako uzmemo u obzir tačku s masom m). Napetost niti nalazimo iz jednadžbe kretanja bilo koje od dvije tačke:
Problem 5. Dva identična bloka mase m svaki spojen laganom oprugom k(Sl. 8). Prvoj šipki je data brzina υ 0 u smjeru od druge šipke. Opišite kretanje sistema. Koliko će vremena trebati da deformacija opruge po prvi put dostigne svoju maksimalnu vrijednost?
Centar mase sistema će se kretati konstantnom brzinom. U referentnom okviru centra mase, početna brzina svakog bloka je , a krutost poluopruge koja ga povezuje sa stacionarnim centrom mase je 2 k(krutost opruge je obrnuto proporcionalna njenoj dužini). Period takvih oscilacija je jednak
a amplituda vibracije svake šipke, koja se može naći iz zakona održanja energije, je
Po prvi put će deformacija postati maksimalna nakon četvrtine perioda, tj. nakon dužeg vremena .
Problem 6. Loptasta masa m udara brzinom v u nepokretnu loptu mase 2 m. Odrediti brzine obje lopte nakon elastičnog centralnog udara.
U referentnom okviru povezanom sa centrom mase, ukupni impuls dvije kuglice je nula i prije i nakon sudara. Lako je pogoditi koji odgovor za konačne brzine zadovoljava i ovaj uslov i zakon održanja energije: brzine će ostati iste veličine kao prije udara, ali će promijeniti smjer u suprotnom. Brzina centra mase sistema je jednaka . U sistemu centara mase, prva lopta se kreće brzinom, a druga se kreće brzinom prema prvoj. Nakon udara, loptice će odletjeti istom brzinom. Ostaje da se vratimo na izvorni referentni okvir. Primjenjujući zakon sabiranja brzina, nalazimo da je konačna brzina lopte s masom m jednaka i usmjerena unatrag, a brzina lopte mase 2 koja je prethodno mirovala m ravnopravan i usmjeren naprijed.
Imajte na umu da je u sistemu centara mase očigledno da se pri udaru relativna brzina kuglica ne mijenja po veličini, već u smjeru. A budući da se razlika u brzinama ne mijenja pri prelasku na drugi inercijski referentni sistem, možemo pretpostaviti da smo izveli ovu važnu relaciju za originalni referentni sistem:
υ 1 – υ 2 = u 1 – u 2 ,
gdje se slovo υ koristi za označavanje početnih brzina, i u- za poslednje. Ova jednačina se može riješiti zajedno sa zakonom održanja impulsa umjesto zakona održanja energije (gdje brzine dolaze na drugi stepen).
Problem 7. Poznato je da pri elastičnom necentričnom udaru dvije identične kugle, od kojih je jedna mirovala prije udara, ugao širenja iznosi 90°. Dokažite ovu tvrdnju.
U sistemu centra mase, udar van centra se može opisati na sljedeći način. Prije udara, kuglice se približavaju jednakim impulsima, nakon udara se razlijeću impulsima iste veličine, ali u suprotnim smjerovima, a linija širenja rotira pod određenim kutom u odnosu na liniju približavanja. Da bismo se vratili na početni referentni okvir, svaka konačna brzina se mora dodati (vektorski!) sa brzinom centra mase. U slučaju identičnih kuglica, brzina centra mase je jednaka , gdje je υ brzina upadne lopte, au referentnom okviru centra mase kuglice se približavaju i razlijeću istim brzinama. Činjenica da se nakon dodavanja svake konačne brzine brzini centra mase dobijaju međusobno okomiti vektori može se vidjeti sa slike 9. Ili možete jednostavno provjeriti da li skalarni proizvod vektora i nestaje zbog činjenice da su moduli od vektori su međusobno jednaki.
Vježbe
1. Štap mase m i dužina l sa šarkama na jednom kraju. Štap je skrenut pod određenim kutom od okomitog položaja i pušten. U trenutku prolaska okomitog položaja, brzina donje tačke je jednaka υ. Pronađite napetost na sredini štapa u ovom trenutku.
2. Štap mase m i dužina l rotiraju u horizontalnoj ravni sa ugaonom brzinom ω oko jednog od svojih krajeva. Pronađite odnos između napetosti štapa i udaljenosti x na os rotacije, ako je na drugi kraj pričvršćen mali uteg mase M.
3. Pronađite period oscilacije za sistem opisan u zadatku 5 ovog članka, ali za šipke različite mase m 1 i m 2 .
4. Izvedi poznate opšte formule za elastični centralni udar dvije lopte, koristeći prijelaz u referentni okvir centra mase.
5. Kugla mase m 1 se sudara s lopticom koja miruje manje mase m 2. Pronađite maksimalni mogući ugao otklona nadolazeće lopte tokom elastičnog udara van centra.
1. 
2. 
3. 
Centar mase Jednačina kretanja centra mase. Sam zakon: tijela djeluju jedno na drugo silama iste prirode usmjerenim duž iste prave linije, jednake po veličini i suprotnog smjera: Centar mase je geometrijska tačka koja karakterizira kretanje tijela ili sistema čestica kao cjelina. Definicija Položaj centra mase centra inercije u klasičnoj mehanici definiran je na sljedeći način: gdje je radijus vektor centra mase poluprečnik i-te tačke sistema i masa i-te tačke.
7. Newtonov treći zakon. Centar mase Jednačina kretanja centra mase.
Njutnov treći zakonnavodi: sila djelovanja jednaka je po veličini i suprotna po smjeru od sile reakcije.
sam zakon:
Tijela djeluju jedno na drugo silama iste prirode, usmjerenim duž iste prave, jednake po veličini i suprotnog smjera:
Centar mase ovo je geometrijska tačka koja karakteriše pokret tijelo ili sistem čestica u cjelini.
Definicija
Položaj centra mase (centra inercije) u klasičnoj mehanici određuje se na sljedeći način:
gdje je radijus vektor centra mase, radijus vektor i tačku sistema,
masa i-te tačke.
.
Ovo je jednadžba kretanja centra mase sistema materijalnih tačaka s masom jednakom masi cijelog sistema, na koju se primjenjuje zbir svih vanjskih sila (glavni vektor vanjskih sila) ili teorema o kretanju centra masa.
Kao i ostali radovi koji bi vas mogli zanimati |
|||
| 22476. | KLASIFIKACIJA LIČNIH SISTEMA RADIO POZIVA, PEJŽERA, REPITERA, OSNOVNIH PROTOKOLA ZA PRENOS INFORMACIJA. | 1.21 MB | |
| KLASIFIKACIJA LIČNIH SISTEMA RADIO POZIVA PEJŽERI PONAVLJAČI OSNOVNI PROTOKOLI ZA PRENOS INFORMACIJA. Svrha rada Proučiti klasifikaciju personalnih sistema radio poziva, pejdžera, repetitora, osnovnih protokola za prenos informacija. Upoznajte se sa osnovnim protokolima za prenos informacija SPRV-u. U ovom slučaju, da bi se poziv prebacio na pretplatnika, korišteno je sekvencijalno tonsko kodiranje adrese, pružajući mogućnost servisiranja do nekoliko desetina hiljada korisnika. | |||
| 22477. | PROUČAVANJE METODA KODIRANJA GOVORNIH SIGNALA U STANDARDU TETRA TRUNKING MREŽA | 961,5 KB | |
| Zadatak: Upoznajte se sa opštim opisom algoritma kodiranja govornog signala. Proučite karakteristike kanalnog kodiranja za različite logičke kanale. Opšti opis CELP algoritma za kodiranje govornog signala Za kodiranje multipleksiranja informacija govornih signala, TETRA standard koristi koder sa linearnim predviđanjem i višepulsnom pobudom iz CELP Code Code Excited Linear Pgediction. | |||
| 22478. | GSM-900 ĆELIJSKI KOMUNIKACIJSKI SISTEM | 109,5 KB | |
| Svrha rada Proučiti glavne tehničke karakteristike funkcionalne strukture i interfejsa usvojenih u digitalnom ćelijskom sistemu mobilne radio komunikacije GSM standarda. Zadatak: Upoznajte se sa opštim karakteristikama GSM standarda. Kratka teorija GSM Globalni sistem za mobilne komunikacije standard je usko povezan sa svim modernim standardima digitalne mreže, prvenstveno ISDN i IN Intelligent Network. | |||
Osnovni zakon dinamike može se napisati u drugačijem obliku, poznavajući koncept centra mase sistema:
Tamo je jednadžba kretanja centra mase sistema, jedna od najvažnijih jednačina mehanike. On kaže da se centar mase bilo kog sistema čestica kreće kao da je cijela masa sistema koncentrisana u toj tački i da su na njega primijenjene sve vanjske sile.
Ubrzanje centra mase sistema je potpuno nezavisno od tačaka primene spoljnih sila.
Ako , Tada , Tada i je slučaj zatvorenog sistema u inercijskom referentnom okviru. Dakle, ako se centar mase sistema kreće ravnomjerno i pravolinijski, to znači da se njegov zamah zadržava tokom kretanja.
Primer: homogeni cilindar mase i poluprečnika kotrlja se niz nagnutu ravan stvarajući ugao sa horizontalom bez klizanja. Naći jednačinu kretanja?
| |
Zajedničko rješenje daje vrijednosti parametara
Jednačina kretanja centra mase poklapa se sa osnovnom jednačinom dinamike materijalne tačke i njena je generalizacija na sistem čestica: ubrzanje sistema kao celine je proporcionalno rezultanti svih spoljašnjih sila i obrnuto. proporcionalno masi sistema.
Referentni sistem koji je kruto povezan sa centrom mase, koji se kreće translaciono u odnosu na ISO, naziva se sistem centara mase. Njegova posebnost je da je ukupni impuls sistema čestica u njemu uvijek jednak nuli, kao .
Kraj rada -
Ova tema pripada sekciji:
Kinematika translatornog kretanja
Fizičke osnove mehanike.. kinematika translatornog kretanja.. mehaničko kretanje je oblik postojanja..
Ako vam je potreban dodatni materijal na ovu temu, ili niste pronašli ono što ste tražili, preporučujemo da koristite pretragu u našoj bazi radova:
Šta ćemo sa primljenim materijalom:
Ako vam je ovaj materijal bio koristan, možete ga spremiti na svoju stranicu na društvenim mrežama:
| Tweet |
Sve teme u ovoj sekciji:
Mehanički pokret
Materija, kao što je poznato, postoji u dva oblika: u obliku supstance i polja. Prvi tip uključuje atome i molekule od kojih su izgrađena sva tijela. Drugi tip uključuje sve vrste polja: gravitaciju
Prostor i vrijeme
Sva tijela postoje i kreću se u prostoru i vremenu. Ovi koncepti su fundamentalni za sve prirodne nauke. Svako tijelo ima dimenzije, tj. njegov prostorni opseg
Referentni sistem
Da bi se nedvosmisleno odredio položaj tijela u proizvoljnom trenutku, potrebno je odabrati referentni sistem - koordinatni sistem opremljen satom i kruto povezan sa apsolutno krutim tijelom, prema
Kinematske jednadžbe kretanja
Kada se t.M kreće, njegove koordinate se mijenjaju s vremenom, stoga je za specificiranje zakona kretanja potrebno naznačiti vrstu funkcije
Kretanje, elementarno kretanje
Neka se tačka M kreće od A do B duž zakrivljene putanje AB. U početnom trenutku njegov radijus vektor je jednak
Ubrzanje. Normalno i tangencijalno ubrzanje
Kretanje tačke takođe karakteriše ubrzanje – brzina promene brzine. Ako je brzina tačke za proizvoljno vrijeme
Kretanje naprijed
Najjednostavniji tip mehaničkog kretanja krutog tijela je translacijsko kretanje, u kojem se prava linija koja povezuje bilo koje dvije točke tijela kreće s tijelom, ostajući paralelna | its
Zakon inercije
Klasična mehanika se zasniva na tri Newtonova zakona, koje je on formulisao u svom eseju „Matematički principi prirodne filozofije“, objavljenom 1687. Ovi zakoni su bili rezultat genija
Inercijski referentni okvir
Poznato je da je mehaničko kretanje relativno i njegova priroda zavisi od izbora referentnog sistema. Prvi Newtonov zakon ne vrijedi u svim referentnim okvirima. Na primjer, tijela koja leže na glatkoj površini
Težina. Njutnov drugi zakon
Glavni zadatak dinamike je odrediti karakteristike kretanja tijela pod utjecajem sila koje se na njih primjenjuju. Iz iskustva je poznato da pod uticajem sile
Osnovni zakon dinamike materijalne tačke
Jednačina opisuje promjenu kretanja tijela konačnih dimenzija pod utjecajem sile u odsustvu deformacije i ako je
Njutnov treći zakon
Zapažanja i eksperimenti pokazuju da je mehaničko djelovanje jednog tijela na drugo uvijek interakcija. Ako tijelo 2 djeluje na tijelo 1, onda se tijelo 1 nužno suprotstavlja njima
Galilejeve transformacije
Oni omogućavaju određivanje kinematičkih veličina tokom prelaska iz jednog inercijalnog referentnog sistema u drugi. Uzmimo
Galilejev princip relativnosti
Ubrzanje bilo koje tačke u svim referentnim sistemima koji se međusobno kreću pravolinijski i jednoliko na isti način:
Količine očuvanja
Svako tijelo ili sistem tijela je skup materijalnih tačaka ili čestica. Stanje takvog sistema u nekom trenutku u mehanici određuje se specificiranjem koordinata i brzina u
Centar mase
U bilo kom sistemu čestica možete pronaći tačku koja se zove centar mase
Konzervativne snage
Ako u svakoj tački prostora sila djeluje na česticu koja je tamo smještena, za česticu se kaže da se nalazi u polju sila, na primjer, u polju gravitacije, gravitacije, Kulonove i drugih sila. Polje
Centralne snage
Svako polje sile je uzrokovano djelovanjem određenog tijela ili sistema tijela. Sila koja djeluje na česticu u ovom polju je oko
Potencijalna energija čestice u polju sila
Činjenica da rad konzervativne sile (za stacionarno polje) zavisi samo od početne i krajnje pozicije čestice u polju omogućava nam da uvedemo važan fizički koncept potencijala
Odnos potencijalne energije i sile za konzervativno polje
Interakcija čestice sa okolnim tijelima može se opisati na dva načina: korištenjem koncepta sile ili korištenjem koncepta potencijalne energije. Prva metoda je opštija, jer važi i za sile
Kinetička energija čestice u polju sila
Neka se čestica mase kreće u sili
Ukupna mehanička energija čestice
Poznato je da je prirast kinetičke energije čestice pri kretanju u polju sila jednak elementarnom radu svih sila koje djeluju na česticu:
Zakon održanja mehaničke energije čestica
Iz izraza slijedi da se u stacionarnom polju konzervativnih sila ukupna mehanička energija čestice može promijeniti
Kinematika
Možete rotirati svoje tijelo pod određenim uglom
Moment čestice. Trenutak snage
Osim energije i zamaha, postoji još jedna fizička veličina s kojom je povezan zakon održanja - to je ugaoni moment. Ugaoni moment čestice
Moment impulsa i moment sile oko ose
Uzmimo proizvoljnu fiksnu osu u referentnom sistemu koji nas zanima
Zakon održanja ugaonog momenta sistema
Razmotrimo sistem koji se sastoji od dvije čestice koje međusobno djeluju, na koje također djeluju vanjske sile i
Dakle, ugaoni moment zatvorenog sistema čestica ostaje konstantan i ne mijenja se s vremenom
Ovo vrijedi za bilo koju tačku u inercijskom referentnom sistemu: . Momenti impulsa pojedinih delova sistema m
Moment inercije krutog tijela
Zamislite čvrsto tijelo koje može
Jednačina dinamike rotacije krutog tijela
Jednadžba za dinamiku rotacije krutog tijela može se dobiti pisanjem jednadžbe momenata za kruto tijelo koje rotira oko proizvoljne ose
Kinetička energija rotirajućeg tijela
Razmotrimo apsolutno kruto tijelo koje rotira oko fiksne ose koja prolazi kroz njega. Hajde da ga razbijemo na čestice male zapremine i mase
Rad rotacije krutog tijela
Ako se tijelo rotira silom
Centrifugalna sila inercije
Razmotrimo disk koji se rotira zajedno sa loptom na oprugi navučenoj na žbicu, slika 5.3. Lopta se nalazi
Coriolisova sila
Kada se tijelo kreće u odnosu na rotirajući CO, osim toga, pojavljuje se još jedna sila - Coriolisova sila ili Coriolisova sila
Male fluktuacije
Razmotrimo mehanički sistem čiji se položaj može odrediti pomoću jedne veličine, kao što je x. U ovom slučaju se kaže da sistem ima jedan stepen slobode, a vrijednost x može biti
Harmonične vibracije
Jednadžba 2. Newtonovog zakona u odsustvu sila trenja za kvazielastičnu silu oblika ima oblik:
Matematičko klatno
Ovo je materijalna tačka okačena na neraširivoj niti dužine, koja osciluje u vertikalnoj ravni
Fizičko klatno
Ovo je čvrsto tijelo koje vibrira oko fiksne ose povezane s tijelom. Osa je okomita na sliku i
Prigušene oscilacije
U realnom oscilatornom sistemu postoje sile otpora čije djelovanje dovodi do smanjenja potencijalne energije sistema, te će oscilacije biti prigušene.U najjednostavnijem slučaju
Samooscilacije
Kod prigušenih oscilacija energija sistema se postepeno smanjuje i oscilacije prestaju. Da bi ih učinili neprigušenim, potrebno je u određenim trenucima dopuniti energiju sistema izvana
Prisilne vibracije
Ako je oscilatorni sistem, pored sila otpora, podložan djelovanju vanjske periodične sile koja se mijenja po harmonijskom zakonu
Rezonancija
Kriva zavisnosti amplitude prinudnih oscilacija od dovodi do toga da pri nekom specifičnom za dati sistem
Širenje talasa u elastičnom mediju
Ako se izvor oscilovanja postavi na bilo koje mjesto u elastičnom mediju (čvrstom, tekućem, plinovitom), tada će se zbog interakcije između čestica oscilacija širiti u mediju od čestice do sata.
Jednadžba ravnih i sfernih valova
Talasna jednadžba izražava ovisnost pomaka oscilirajuće čestice od njenih koordinata,
Talasna jednadžba
Talasna jednačina je rješenje diferencijalne jednadžbe koja se zove valna jednačina. Da bismo to ustanovili, nalazimo druge parcijalne izvode s obzirom na vrijeme i koordinate iz jednačine
Centar mase sistema je tačka sa vektorom radijusa
Za kontinuiranu distribuciju mase sa gustinom 
. Ako su gravitacione sile primijenjene na svaku česticu sistema usmjerene jedan put, tada se centar mase poklapa sa centrom gravitacije. Ali ako 
ne paralelno, tada se centar mase i težište ne poklapaju.
Uzimajući vremenski derivat od 
, dobijamo:
one. ukupni impuls sistema jednak je proizvodu njegove mase i brzine centra mase.
Zamjenjujući ovaj izraz u zakon promjene ukupnog momenta, nalazimo:
Centar mase sistema se kreće poput čestice u kojoj je koncentrisana cijela masa sistema i na koju se nanosi rezultirajuća masa vanjski snagu
At progresivan U kretanju se sve tačke krutog tijela gibaju na isti način kao i centar mase (po istim putanjama), pa je za opisivanje translacijskog gibanja dovoljno zapisati i riješiti jednačinu kretanja centra mase .
Jer 
, zatim centar mase zatvoreni sistem mora održavati stanje mirovanja ili ravnomjernog linearnog kretanja, tj. 
=konst. Ali u isto vrijeme, cijeli sistem se može rotirati, razletjeti, eksplodirati itd. kao rezultat akcije unutrašnje sile.
Mlazni pogon. jednadžba Meščerskog
Reaktivan naziva se kretanjem tijela u kojem se dešava pristupanje ili odbacivanje mase. Tokom procesa kretanja dolazi do promjene mase tijela: za vrijeme dt tijelo mase m brzinom veže (apsorbira) ili odbacuje (emituje) masu dm 
u odnosu na telo; u prvom slučaju dm>0, u drugom dm<0.
Razmotrimo ovo kretanje na primjeru rakete. Pređimo na inercijski referentni okvir K", koji se u datom trenutku t kreće istom brzinom 
, isto kao i raketa - ovo se zove ISO prateći– u ovom referentnom okviru raketa je trenutno t odmara(brzina rakete u ovom sistemu 
=0). Ako zbir vanjskih sila koje djeluju na raketu nije jednak nuli, tada je jednačina kretanja rakete u K sistemu, ali pošto su svi ISO ekvivalentni, tada će u K sistemu jednačina imati isti oblik:
Ovo - jednadžba Meščerskog, opisujući kretanje bilo koje tijelo sa promenljivom masom).
U jednačini je masa m promjenjiva veličina i ne može se uključiti pod predznak izvoda. Drugi član na desnoj strani jednačine se zove reaktivna sila
Za raketu, reaktivna sila igra ulogu vučne sile, ali u slučaju dodavanja mase dm/dt>0, reaktivna sila će biti i sila kočenja (na primjer, kada se raketa kreće u oblaku kosmička prašina).
Energija sistema čestica
Energija sistema čestica sastoji se od kinetičke i potencijalne. Kinetička energija sistema je zbir kinetičkih energija svih čestica u sistemu
i je, prema definiciji, količina aditiva(kao impuls).
Drugačija je situacija sa potencijalnom energijom sistema. Prvo, sile interakcije djeluju između čestica sistema 
. Prema tome A ij =-dU ij, gdje je U ij potencijalna energija interakcije između i-te i j-te čestice. Sumirajući U ij po svim česticama sistema, nalazimo tzv vlastitu potencijalnu energiju sistemi:
Bitno je da vlastita potencijalna energija sistema zavisi samo od njegove konfiguracije.Štaviše, ova količina nije aditivna.
Drugo, na svaku česticu sistema, općenito govoreći, također djeluju vanjske sile. Ako su ove sile konzervativne, onda će njihov rad biti jednak smanjenju vanjske potencijalne energije A=-dU ext, gdje je
gdje je U i potencijalna energija i-te čestice u vanjskom polju. Zavisi od položaja svih čestica u vanjskom polju i aditivna je.
Dakle, ukupna mehanička energija sistema čestica smještenog u vanjskom potencijalnom polju definira se kao
E sistem =K sistem +U int +U ekst
Lekcija "Centar misa"
Raspored: 2 časa
Cilj: Upoznati učenike sa konceptom „centra mase“ i njegovim svojstvima.
Oprema: figure od kartona ili šperploče, čaša, peronož, olovke.
Plan lekcije
Metode i tehnike nastavnih etapa
I Upoznavanje učenika 10 frontalna anketa, rad učenika za tablom.
na problem lekcije
II. Naučiti nešto novo 15-20 Priča nastavnika, rješavanje problema,
materijal: 10 eksperimentalnih zadataka
III Uvježbavanje novih 10 poruka učenika
materijal: 10-15 rješavanje problema,
15 frontalna anketa
IV Zaključci. Domaći zadatak 5-10 Usmeni sažetak gradiva od strane nastavnika.
zadatak Pisanje na tabli
Tokom nastave.
I Ponavljanje 1. Frontalni pregled: rame sile, moment sile, stanje ravnoteže, vrste ravnoteže
Epigraf: Težište svakog tijela je određena tačka koja se nalazi unutar njega - tako da ako tijelo mentalno objesite o njega, ono ostaje u mirovanju i zadržava svoj prvobitni položaj.
II. Objašnjenjenovi materijal
Neka se da tijelo ili sistem tijela. Podelimo mentalno telo na proizvoljno male delove sa masama m1, m2, m3... Svaki od ovih delova može se smatrati materijalnom tačkom. Položaj u prostoru i-te materijalne tačke mase mi je određen radijus vektorom ri(Sl. 1.1). Masa tijela je zbir masa njegovih pojedinačnih dijelova: m = ∑ mi.
Centar mase tijela (sistema tijela) je takva tačka C čiji je vektor radijusa određen formulom
r= 1/m∙∑ mi ri
Može se pokazati da položaj centra mase u odnosu na tijelo ne zavisi od izbora početka O, tj. Gore navedena definicija centra mase je nedvosmislena i tačna.
Centar mase homogenih simetričnih tijela nalazi se u njihovom geometrijskom središtu ili na osi simetrije; centar mase ravnog tijela u obliku proizvoljnog trokuta nalazi se na sjecištu njegovih medijana.
Rješenje problema
ZADATAK 1. Homogene kugle mase m1 = 3 kg, m2 = 2 kg, m3 = 6 kg i m4 = 3 kg pričvršćene su za laki štap (slika 1.2). Udaljenost između centara bilo koje obližnje lopte
a = 10 cm Odrediti položaj težišta i centra mase konstrukcije.
RJEŠENJE. Položaj težišta konstrukcije u odnosu na kuglice ne ovisi o orijentaciji štapa u prostoru. Za rješavanje problema zgodno je štap postaviti horizontalno, kao što je prikazano na slici 2. Neka je težište na štapu na udaljenosti L od centra lijeve lopte, tj. iz t. A. U težištu se primjenjuje rezultanta svih gravitacijskih sila i njen moment u odnosu na osu A jednak je zbiru momenata gravitacije kuglica. Imamo r = (m1 + m2 + m3 + m4) g ,
R L = m2gα + m 3 g 2 a + m 4 g 3 a.
Dakle L=α (m1 +2m3 + 3m4)/ (m1 + m2 + m3 + m4) ≈ 16,4 cm
ODGOVOR. Težište se poklapa sa centrom mase i nalazi se u tački C na udaljenosti L = 16,4 cm od centra lijeve lopte.
Ispostavilo se da centar mase tijela (ili sistema tijela) ima niz izvanrednih svojstava. U dinamici je pokazano da je impuls tijela koje se proizvoljno kreće jednak umnošku mase tijela i brzine njegovog centra mase i da se centar mase kreće kao da su primijenjene sve vanjske sile koje djeluju na tijelo. u centru mase, a masa cijelog tijela bila je koncentrisana u njemu.
Težište tijela koje se nalazi u gravitacionom polju Zemlje naziva se tačka primjene rezultante svih sila gravitacije koje djeluju na sve dijelove tijela. Ova rezultanta se zove sila gravitacije koja djeluje na tijelo. Sila gravitacije primijenjena na težište tijela ima isti učinak na tijelo kao i sile gravitacije koje djeluju na pojedine dijelove tijela.
Zanimljiv je slučaj kada je veličina tijela mnogo manja od veličine Zemlje. Tada možemo pretpostaviti da paralelne sile gravitacije djeluju na sve dijelove tijela, tj. telo je u jednoličnom gravitacionom polju. Paralelne i identično usmjerene sile uvijek imaju rezultantnu silu, što se može dokazati. Ali pri određenom položaju tijela u prostoru moguće je naznačiti samo liniju djelovanja rezultante svih paralelnih sila gravitacije; tačka njene primjene će za sada ostati neodređena, jer za čvrsto tijelo, bilo koja sila se može prenijeti duž linije njegovog djelovanja. Šta je sa tačkom aplikacije?
Može se pokazati da za bilo koji položaj tijela u jednoličnom polju gravitacije, linija djelovanja rezultante svih gravitacijskih sila koje djeluju na pojedine dijelove tijela prolazi kroz istu tačku, nepomično u odnosu na tijelo. U ovoj tački se primjenjuje jednaka sila, a sama tačka će biti centar gravitacije tijela.
Položaj težišta u odnosu na tijelo zavisi samo od oblika tijela i raspodjele mase u tijelu i ne zavisi od položaja tijela u jednoličnom polju gravitacije. Težište nije nužno smješteno u samom tijelu. Na primjer, obruč u uniformnom polju gravitacije ima svoje težište u svom geometrijskom centru.
U jednoličnom polju gravitacije, težište tijela poklapa se s njegovim centrom mase.
U ogromnoj većini slučajeva, jedan termin se može bezbolno zamijeniti drugim.
Ali: centar mase tela postoji bez obzira na prisustvo gravitacionog polja, a o težištu možemo govoriti samo u prisustvu gravitacije.
Pogodno je pronaći lokaciju težišta tijela, a time i centra mase, uzimajući u obzir simetriju tijela i koristeći koncept momenta sile.
Ako je krak sile nula, tada je moment sile nula i takva sila ne uzrokuje rotacijsko kretanje tijela.
Prema tome, ako linija djelovanja sile prolazi kroz centar mase, tada se kreće translacijsko.
Tako se može odrediti centar mase bilo koje ravne figure. Da biste to učinili, morate ga osigurati u jednom trenutku, dajući mu priliku da se slobodno okreće. Biće instaliran tako da sila gravitacije, okrećući ga, prolazi kroz centar mase. Na mjestu gdje je figura pričvršćena, objesite konac s opterećenjem (maticu), povucite liniju duž ovjesa (tj. gravitacijske linije). Ponovimo korake, pričvršćujući figuru na drugoj tački. Presjek linija djelovanja gravitacijskih sila je centar mase tijela
Eksperimentalni zadatak: odrediti težište ravne figure (na osnovu figura koje su učenici ranije pripremili od kartona ili šperploče).
Upute: fiksirajte figuru na tronožac. S jednog od uglova figure objesimo visak. Povlačimo liniju djelovanja gravitacije. Okrenite figuru i ponovite radnju. Centar mase nalazi se u tački preseka gravitacionih linija.
Učenici koji brzo završe zadatak mogu dobiti dodatni zadatak: pričvrstiti uteg (metalni vijak) na figuru i odrediti novi položaj centra mase. Izvucite zaključak.
Proučavanje izuzetnih svojstava „centara“, starih više od dvije hiljade godina, pokazalo se korisnim ne samo za mehaniku - na primjer, u dizajnu vozila i vojne opreme, izračunavanju stabilnosti konstrukcija ili za izvođenje jednačine kretanja mlaznih vozila. Malo je vjerovatno da bi Arhimed mogao i zamisliti da bi koncept centra mase bio vrlo pogodan za istraživanje nuklearne fizike ili fizike elementarnih čestica.
Studentske poruke:
U svom djelu “O ravnoteži ravnih tijela” Arhimed je koristio koncept centra gravitacije, a da ga zapravo nije definisao. Očigledno ga je prvi uveo nepoznati Arhimedov prethodnik ili on sam, ali u ranijem djelu koje do nas nije došlo.
Moralo je proći sedamnaest dugih stoljeća prije nego što je nauka dodala nove rezultate Arhimedovim istraživanjima o centrima gravitacije. To se dogodilo kada je Leonardo da Vinci uspio pronaći centar gravitacije tetraedra. On je, razmišljajući o stabilnosti italijanskih kosih tornjeva, uključujući i toranj u Pizi, došao do „teoreme o poligonu oslonca“.
Uslovi ravnoteže plutajućih tijela, koje je otkrio Arhimed, morali su naknadno biti ponovo otkriveni. To je krajem 16. veka uradio holandski naučnik Simon Stevin, koji je, uz koncept težišta, koristio i koncept „centra pritiska“ – tačke primene sile pritiska vode. okružuju telo.
Toričelijev princip (a formule za izračunavanje centra mase su takođe nazvane po njemu), ispostavilo se, anticipirao je njegov učitelj Galileo. Zauzvrat, ovaj princip je činio osnovu Hajgensovog klasičnog rada o satu sa klatnom, a takođe je korišćen u Pascalovim čuvenim hidrostatičkim studijama.
Metoda koja je omogućila Euleru da proučava kretanje krutog tijela pod djelovanjem bilo koje sile bila je razlaganje ovog kretanja na pomicanje centra mase tijela i rotaciju oko osi koje prolaze kroz njega.
Da bi se objekti držali u stalnom položaju kada se njihov oslonac pomiče, već nekoliko stoljeća koristi se takozvani kardanski ovjes - uređaj u kojem se težište tijela nalazi ispod osi oko kojih se može rotirati. Primjer je brodska kerozinska lampa.
Iako je gravitacija na Mjesecu šest puta manja nego na Zemlji, tamo bi bilo moguće povećati rekord u skoku u vis "samo" četiri puta. Proračuni zasnovani na promjenama visine centra gravitacije tijela sportiste dovode do ovog zaključka.
Pored dnevne rotacije oko svoje ose i godišnje revolucije oko Sunca, Zemlja učestvuje u još jednom kružnom kretanju. Zajedno sa Mjesecom, on se "okreće" oko zajedničkog centra mase, koji se nalazi otprilike 4.700 kilometara od centra Zemlje.
Neki umjetni Zemljini sateliti opremljeni su sklopivom šipkom dugačkom nekoliko ili čak desetina metara, opterećenom na kraju (tzv. gravitacijski stabilizator). Činjenica je da izduženi satelit, kada se kreće u orbiti, ima tendenciju rotacije oko svog centra mase tako da mu je uzdužna os vertikalna. Tada će on, kao i Mesec, uvek biti okrenut ka Zemlji jednom stranom.
Posmatranja kretanja nekih vidljivih zvijezda ukazuju da su one dio binarnih sistema u kojima se "nebeski partneri" rotiraju oko zajedničkog centra mase. Jedan od nevidljivih pratilaca u takvom sistemu mogla bi biti neutronska zvijezda ili, moguće, crna rupa.
Objašnjenje nastavnika
Teorema o centru mase: centar mase tijela može promijeniti svoj položaj samo pod utjecajem vanjskih sila.
Posledica teoreme o centru masa: centar mase zatvorenog sistema tela ostaje nepomičan za vreme bilo kakve interakcije tela sistema.
Rješavanje problema (na tabli)
PROBLEM 2. Čamac stoji nepomično u mirnoj vodi. Osoba u čamcu prelazi s pramca na krmu. Na kojoj udaljenosti h će se čamac kretati ako je masa osobe m = 60 kg, masa čamca M = 120 kg, a dužina čamca L = 3 m? Zanemarite otpornost na vodu.
RJEŠENJE. Iskoristimo uvjet zadatka da je početna brzina centra mase nula (čamac i čovjek su u početku mirovali) i da nema otpora vode (ne djeluju vanjske sile u horizontalnom smjeru na „čovjeka- čamac” sistem). Posljedično, koordinata centra mase sistema u horizontalnom smjeru nije promijenjena. Slika 3 prikazuje početni i konačni položaj čamca i osobe. Početna koordinata x0 centra mase x0 = (mL+ML/2)/(m+M)
Konačna koordinata x centra mase x = (mh+M(h+L/2))/(m+M)
Izjednačavajući x0 = x, nalazimo h= mL/(m+M) =1m
Dodatno: zbirka problema Stepanova G.N. br. 393
Objašnjenje nastavnika
Prisjećajući se ravnotežnih uslova, otkrili smo to
Za tijela s površinom oslonca, stabilna ravnoteža se opaža kada linija djelovanja gravitacije prolazi kroz bazu.
Posljedica: što je veća površina oslonca i niže težište, to je stabilniji položaj ravnoteže.
Demonstracija
Stavite dječiju igračku (Vanka - Vstanka) na hrapavu dasku i podignite desnu ivicu daske. U kom smjeru će "glava" igračke odstupiti dok održava ravnotežu?
Objašnjenje: Težište C čaše se nalazi ispod geometrijskog centra O sferne površine “torza”. U ravnotežnom položaju, tačka C i tačka kontakta A igračke sa kosom ravninom treba da budu na istoj vertikali; stoga će "glava" čaše skrenuti ulijevo
Kako objasniti očuvanje ravnoteže u slučaju prikazanom na slici?
Objašnjenje: Težište sistema olovka-nož leži ispod tačke oslonca
IIIKonsolidacija. Frontalna anketa
Pitanja i zadaci
1. Kada se tijelo kreće od ekvatora do pola, sila gravitacije koja djeluje na njega se mijenja. Utječe li to na položaj težišta tijela?
Odgovor: ne, jer relativne promjene sile gravitacije svih elemenata tijela su iste.
2. Da li je moguće pronaći težište “bučice” koja se sastoji od dvije masivne lopte povezane bestežinskom šipkom, pod uslovom da je dužina “bučice” uporediva sa prečnikom Zemlje?
Odgovor: ne. Uslov za postojanje centra gravitacije je ujednačenost gravitacionog polja. U neujednačenom gravitacionom polju, rotacije "bučice" oko njenog centra mase dovode do činjenice da linije delovanja L1 i L2, rezultantne sile gravitacije primenjene na loptice, nemaju zajedničku tačku.
3. Zašto se prednji dio automobila spušta kada naglo kočite?
Odgovor: pri kočenju, sila trenja djeluje na kotače sa strane puta, stvarajući obrtni moment oko centra mase automobila.
4. Gdje je težište krofne?
Odgovor: u rupu!
5. Voda se sipa u cilindričnu čašu. Kako će se promijeniti položaj težišta sistema staklo - voda?
Odgovor: Težište sistema će se prvo smanjiti, a zatim povećati.
6. Koju dužinu kraja treba odrezati od homogene šipke da se njeno težište pomjeri za ∆ℓ?
Odgovor: dužina 2∆ℓ.
7. Homogeni štap je savijen u sredini pod pravim uglom. Gdje mu je sada bilo težište?
Odgovor: u tački O - sredina segmenta O1O2 koji povezuje sredine preseka AB i BC štapa
9. Stacionarna svemirska stanica je cilindar. Astronaut započinje kružnu šetnju oko stanice duž njene površine. Šta će biti sa stanicom?
odgovor: With stanica će se početi rotirati u suprotnom smjeru, a njen centar će opisivati krug oko istog centra mase kao i astronaut.
11. Zašto je teško hodati na štulama?
Odgovor: težište osobe na štulama značajno se povećava, a površina njegovog oslonca na tlu se smanjuje.
12. Kada je konopošaču lakše održati ravnotežu - tokom normalnog kretanja duž užeta ili kada nosi jako zakrivljenu gredu napunjenu kantama vode?
Odgovor: U drugom slučaju, pošto centar mase užeta sa kantama leži niže, tj. bliže osloncu - užetu.
IVZadaća:(izvode oni koji žele - zadaci su teški, oni koji ih reše dobijaju „5“).
*1. Pronađite težište sistema kuglica koje se nalaze u vrhovima jednakostraničnog bestežinskog trokuta prikazanog na slici
Odgovor: Težište leži u sredini simetrale ugla u čijem se vrhu nalazi lopta mase 2m
*2. Dubina rupe na dasci u koju je lopta umetnuta je polovina poluprečnika lopte. Pod kojim uglom nagiba daske prema horizontu će lopta iskočiti iz rupe?
