Teorema o promjeni impulsa tačke. Teorema o promeni ugaonog momenta tačke Teorema o promeni ugaonog momenta tačke

Sistem koji se razmatra u teoremi može biti bilo koji mehanički sistem koji se sastoji od bilo kojeg tijela.

Izjava teoreme

Količina kretanja (impulsa) mehaničkog sistema je veličina jednaka zbiru količina kretanja (impulsa) svih tijela uključenih u sistem. Impuls vanjskih sila koje djeluju na tijela sistema je zbir impulsa svih vanjskih sila koje djeluju na tijela sistema.

( kg m/s)

Teorema o promjeni impulsa stanja sistema

Promjena količine kretanja sistema u određenom vremenskom periodu jednaka je impulsu vanjskih sila koje djeluju na sistem u istom vremenskom periodu.

Zakon održanja impulsa sistema

Ako je zbir svih vanjskih sila koje djeluju na sistem jednak nuli, tada je količina kretanja (moment) sistema konstantna veličina.

, dobijamo izraz teoreme o promeni momenta kretanja sistema u diferencijalnom obliku:

Integrirajući obje strane rezultirajuće jednakosti tokom proizvoljno uzetog vremenskog perioda između nekih i , dobijamo izraz teoreme o promjeni impulsa sistema u integralnom obliku:

Zakon održanja impulsa (Zakon održanja impulsa) kaže da je vektorski zbir impulsa svih tijela sistema konstantna vrijednost ako je vektorski zbir vanjskih sila koje djeluju na sistem jednak nuli.

(moment impulsa m 2 kg s −1)

Teorema o promjeni ugaonog momenta u odnosu na centar

vremenska derivacija momenta zamaha (kinetičkog momenta) materijalne tačke u odnosu na bilo koji fiksni centar jednaka je momentu sile koja djeluje na tačku u odnosu na isti centar.

dk 0 /dt = M 0 (F ) .

Teorema o promjeni ugaonog momenta u odnosu na osu

vremenski izvod momenta momenta zamaha (kinetičkog momenta) materijalne tačke u odnosu na bilo koju fiksnu osu jednak je momentu sile koja deluje na ovu tačku u odnosu na istu osu.

dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) .

Uzmite u obzir materijalnu tačku M masa m , koji se kreće pod uticajem sile F (Slika 3.1). Zapišimo i konstruirajmo vektor ugaonog momenta (kinetički moment) M 0 materijalne tačke u odnosu na centar O :

Hajde da razlikujemo izraz za ugaoni moment (kinetički moment k 0) po vremenu:

Jer dr /dt = V , zatim vektorski proizvod V ⊗ m ⋅ V (kolinearni vektori V I m ⋅ V ) je jednako nuli. U isto vrijeme d(m ⋅ V) /dt = F prema teoremi o impulsu materijalne tačke. Stoga to dobijamo

dk 0 /dt = r ⊗F , (3.3)

Gdje r ⊗F = M 0 (F ) – vektor-moment sile F u odnosu na fiksni centar O . Vector k 0 ⊥ ravan ( r , m ⊗V ), i vektor M 0 (F ) ⊥ avion ( r ,F ), konačno imamo

dk 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)

Jednačina (3.4) izražava teoremu o promjeni ugaonog momenta (kutnog momenta) materijalne tačke u odnosu na centar: vremenska derivacija momenta zamaha (kinetičkog momenta) materijalne tačke u odnosu na bilo koji fiksni centar jednaka je momentu sile koja djeluje na tačku u odnosu na isti centar.

Projektovanjem jednakosti (3.4) na ose kartezijanskih koordinata dobijamo

dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) . (3.5)

Jednačine (3.5) izražavaju teoremu o promjeni ugaonog momenta (kinetičkog momenta) materijalne tačke u odnosu na osu: vremenski izvod momenta zamaha (kinetičkog momenta) materijalne tačke u odnosu na bilo koju fiksnu osu jednak je momentu sile koja deluje na ovu tačku u odnosu na istu osu.

Razmotrimo posljedice koje proizlaze iz teorema (3.4) i (3.5).

Zaključak 1. Razmotrimo slučaj kada je sila F tokom čitavog kretanja tačka prolazi kroz stacionarni centar O (slučaj centralne sile), tj. Kada M 0 (F ) = 0. Tada iz teoreme (3.4) slijedi da k 0 = konst ,

one. u slučaju centralne sile, ugaoni moment (kinetički moment) materijalne tačke u odnosu na centar ove sile ostaje konstantan po veličini i pravcu (slika 3.2).

Slika 3.2

Od uslova k 0 = konst sledi da je putanja pokretne tačke ravna kriva, čija ravan prolazi kroz centar ove sile.

Zaključak 2. Neka M z (F ) = 0, tj. sila prelazi osu z ili paralelno sa njim. U ovom slučaju, kao što se može vidjeti iz treće jednačine (3.5), k z = konst ,

one. ako je moment sile koja djeluje na tačku u odnosu na bilo koju fiksnu osu uvijek nula, tada ugaoni moment (kinetički moment) tačke u odnosu na ovu os ostaje konstantan.

Dokaz teoreme o promjeni impulsa

Neka se sistem sastoji od materijalnih tačaka sa masama i ubrzanjima. Sve sile koje djeluju na tijela sistema dijelimo na dvije vrste:

Spoljašnje sile su sile koje djeluju iz tijela koja nisu uključena u sistem koji se razmatra. Rezultanta vanjskih sila koje djeluju na materijalnu tačku s brojem i označimo

Unutrašnje sile su sile sa kojima tijela samog sistema međusobno djeluju. Sila s kojom je na tački s brojem i tačka sa brojem je važeća k, označit ćemo , i sila utjecaja i th point on k ta tačka - . Očigledno, kada, onda

Koristeći uvedenu notaciju, pišemo drugi Newtonov zakon za svaku materijalnu tačku koja se razmatra u obliku

S obzirom na to i sumirajući sve jednačine drugog Newtonovog zakona, dobijamo:

Izraz predstavlja zbir svih unutrašnjih sila koje djeluju u sistemu. Prema trećem Newtonovom zakonu, u ovom zbiru, svakoj sili odgovara sila takva da, prema tome, vrijedi Pošto se cijeli zbir sastoji od takvih parova, sam zbir je nula. Dakle, možemo pisati

Koristeći notaciju za impuls sistema, dobijamo

Uvođenjem u razmatranje promjene u momentu kretanja vanjskih sila , dobijamo izraz teoreme o promjeni impulsa sistema u diferencijalnom obliku:

Dakle, svaka od posljednjih dobijenih jednačina nam omogućava da konstatujemo: promjena momenta gibanja sistema nastaje samo kao rezultat djelovanja vanjskih sila, a unutrašnje sile ne mogu imati nikakav utjecaj na ovu vrijednost.

Integracijom obje strane rezultirajuće jednakosti u proizvoljno uzetom vremenskom intervalu između nekih i , dobijamo izraz teoreme o promjeni impulsa sistema u integralnom obliku:

gdje i su vrijednosti količine kretanja sistema u trenucima vremena i, respektivno, i impuls vanjskih sila u određenom vremenskom periodu. U skladu sa onim što je ranije rečeno i uvedenim oznakama,

Pošto je masa tačke konstantna, a njeno ubrzanje, jednačina (2), koja izražava osnovni zakon dinamike, može se predstaviti u obliku

Jednačina (32) istovremeno izražava teoremu o promjeni količine gibanja tačke u diferencijalnom obliku: vremenski izvod količine gibanja tačke jednak je zbiru sila koje djeluju na tačku.

Neka pokretna tačka ima brzinu u trenutku vremena i brzinu u ovom trenutku, zatim obje strane jednakosti (32) pomnožimo sa i od njih uzmemo određene integrale. U ovom slučaju, s desne strane, gdje se integracija odvija tokom vremena, granice integrala će biti, a s lijeve strane, gdje je brzina integrirana, granice integrala će biti odgovarajuće vrijednosti brzine

Pošto je integral od jednak, rezultat je

Integrali na desnoj strani, kao što slijedi iz formule (30), predstavljaju impulse djelujućih sila. Stoga će konačno biti

Jednačina (33) izražava teoremu o promjeni količine gibanja tačke u konačnom obliku: promjena količine gibanja tačke u određenom vremenskom periodu jednaka je zbiru impulsa svih sila koje djeluju na tačku preko isti vremenski period.

Prilikom rješavanja zadataka, umjesto vektorske jednačine (33), često se koriste jednadžbe u projekcijama. Projektovanjem obe strane jednakosti (33) na koordinatne ose dobijamo

U slučaju pravolinijskog kretanja duž ose, teorema se izražava prvom od ovih jednačina.

Rješavanje problema. Jednadžbe (33) ili (34) omogućavaju, znajući kako se brzina točke mijenja kada se tačka kreće, odrediti impuls djelujućih sila (prvi problem dinamike) ili, znajući impulse djelujućih sila, odrediti kako se brzina tačke mijenja prilikom kretanja (drugi problem dinamike). Prilikom rješavanja drugog zadatka, kada su date sile, potrebno je izračunati njihove impulse.Kao što se vidi iz jednakosti (30) ili (31), to se može učiniti samo kada su sile konstantne ili zavise samo od vremena.

Dakle, jednadžbe (33), (34) se mogu direktno koristiti za rješavanje drugog problema dinamike, kada podaci i tražene veličine u zadatku uključuju: djelujuće sile, vrijeme kretanja tačke i njene početne i konačne brzine (tj. veličine), a sile moraju biti konstantne ili zavisne samo od vremena.

Zadatak 95. Tačka mase kg kreće se po kružnici numerički konstantnom brzinom.Odredite impuls sile koja djeluje na tačku za vrijeme za koje tačka prođe četvrtinu kruga

Rješenje. Prema teoremi o promjeni količine gibanja, konstruirajući geometrijski razliku između ovih veličina kretanja (sl. 222), nalazimo iz rezultirajućeg pravokutnog trokuta

Ali prema uslovima problema, dakle,

Za analitički proračun, koristeći prve dvije jednačine (34), možemo pronaći

Zadatak 96. Teret koji ima masu i leži na horizontalnoj ravni dobija (guranjem) početnu brzinu.Naknadno kretanje tereta usporava se konstantnom silom F. Odredi koliko će vremena biti potrebno za teret zaustaviti,

Rješenje. Prema podacima problema, jasno je da za određivanje vremena kretanja možete koristiti dokazanu teoremu. Opterećenje prikazujemo u proizvoljnom položaju (Sl. 223). Na njega djeluju sila gravitacije P, reakcija ravni N i sila kočenja F. Usmjeravanjem ose u smjeru kretanja sastavljamo prvu od jednadžbi (34)

U ovom slučaju, brzina u trenutku zaustavljanja), a. Od sila, samo sila F daje projekciju na osu. Pošto je konstantna, gdje je vrijeme kočenja. Zamjenom svih ovih podataka u jednačinu (a), dobijamo traženo vrijeme

Diferencijalna jednačina kretanja materijalne tačke pod uticajem sile F može se predstaviti u sljedećem vektorskom obliku:

Pošto je masa tačke m je prihvaćena kao konstanta, onda se može uneti pod predznakom izvodnice. Onda

Formula (1) izražava teoremu o promjeni impulsa tačke u diferencijalnom obliku: prvi izvod u odnosu na vrijeme momenta kretanja tačke jednak je sili koja djeluje na tačku.

U projekcijama na koordinatne ose (1) može se predstaviti kao

Ako se obje strane (1) pomnože sa dt, tada dobijamo drugi oblik iste teoreme - teoremu o momentu kretanja u diferencijalnom obliku:

one. diferencijal impulsa tačke jednak je elementarnom impulsu sile koja deluje na tačku.

Projektovanjem oba dela (2) na koordinatne ose dobijamo

Integrirajući oba dijela (2) od nule do t (slika 1), imamo

gdje je brzina tačke u ovom trenutku t; - brzina pri t = 0;

S- impuls sile tokom vremena t.

Izraz u obliku (3) se često naziva teorema momenta u konačnom (ili integralnom) obliku: promjena impulsa tačke u bilo kojem vremenskom periodu jednaka je impulsu sile u istom vremenskom periodu.

U projekcijama na koordinatne ose, ova teorema se može predstaviti u sljedećem obliku:

Za materijalnu tačku, teorema o promjeni količine gibanja u bilo kojem od oblika suštinski se ne razlikuje od diferencijalnih jednačina kretanja tačke.

Teorema o promjeni impulsa sistema

Količina kretanja sistema nazvat će se vektorska veličina Q, jednak geometrijskom zbiru (glavnom vektoru) količina kretanja svih tačaka sistema.

Zamislite sistem koji se sastoji od n materijalne tačke. Sastavimo diferencijalne jednadžbe kretanja za ovaj sistem i dodajmo ih član po član. tada dobijamo:

Posljednji zbir, zbog svojstva unutrašnjih sila, jednak je nuli. osim toga,

Konačno nalazimo:

Jednačina (4) izražava teoremu o promjeni impulsa sistema u diferencijalnom obliku: vremenski izvod impulsa sistema jednak je geometrijskom zbiru svih vanjskih sila koje djeluju na sistem.

Nađimo drugi izraz za teoremu. Pustite trenutak t= 0 količina kretanja sistema je Q 0, iu trenutku t 1 postaje jednak P 1. Zatim množimo obje strane jednakosti (4) sa dt i integracijom dobijamo:

ili gdje:

(S- impuls sile)

pošto integrali na desnoj strani daju impulse vanjskih sila,

jednačina (5) izražava teoremu o promjeni impulsa sistema u integralnom obliku: promjena impulsa sistema u određenom vremenskom periodu jednaka je zbiru impulsa vanjskih sila koje djeluju na sistem u istom vremenskom periodu.

U projekcijama na koordinatne ose imaćemo:

Zakon održanja impulsa

Iz teoreme o promjeni impulsa sistema mogu se dobiti sljedeće važne posljedice:

1. Neka je zbir svih vanjskih sila koje djeluju na sistem jednak nuli:

Tada iz jednačine (4) slijedi da u ovom slučaju Q = konst.

dakle, ako je zbir svih vanjskih sila koje djeluju na sistem jednak nuli, tada će vektor impulsa sistema biti konstantan po veličini i smjeru.

2. 01Neka su vanjske sile koje djeluju na sistem takve da je zbir njihovih projekcija na neku osu (na primjer Ox) jednak nuli:

Tada iz jednačina (4`) slijedi da u ovom slučaju Q = konst.

dakle, ako je zbir projekcija svih vanjskih sila koje djeluju na bilo koju osu jednak nuli, tada je projekcija količine kretanja sistema na ovu osu konstantna vrijednost.

Ovi rezultati izražavaju zakon održanja impulsa sistema. Iz njih slijedi da unutrašnje sile ne mogu promijeniti ukupnu količinu kretanja sistema.

Pogledajmo neke primjere:

· Fenomen povrata rolne. Ako pušku i metak posmatramo kao jedan sistem, tada će pritisak barutnih gasova tokom metka biti unutrašnja sila. Ova sila ne može promijeniti ukupni impuls sistema. Ali budući da barutni plinovi, djelujući na metak, daju mu određenu količinu kretanja usmjerenog naprijed, moraju istovremeno pušci dati istu količinu kretanja u suprotnom smjeru. To će uzrokovati da se puška pomjeri unazad, tj. takozvani povratak. Slična pojava se javlja i pri pucanju iz pištolja (povratak).

· Rad propelera (propelera). Propeler daje kretanje određenoj masi zraka (ili vode) duž ose propelera, odbacujući ovu masu natrag. Ako bačenu masu i avion (ili brod) posmatramo kao jedan sistem, onda sile interakcije između propelera i okoline, kao unutrašnje, ne mogu promijeniti ukupnu količinu kretanja ovog sistema. Stoga, kada se masa vazduha (vode) odbaci nazad, avion (ili brod) dobija odgovarajuću brzinu napred tako da ukupna količina kretanja sistema koji se razmatra ostaje jednaka nuli, pošto je bila nula pre nego što je kretanje počelo .

Sličan učinak postiže se djelovanjem vesala ili lopatica.

· R e c t i v e Pogon U raketi (raketi), gasoviti produkti sagorevanja goriva se velikom brzinom izbacuju iz rupe na repu rakete (iz mlaznice mlaznog motora). Sile pritiska koje deluju u ovom slučaju će biti unutrašnje sile i one ne mogu da promene ukupan impuls sistema raketno-prašnih gasova. Ali pošto gasovi koji izlaze imaju određenu količinu kretanja usmerenu unazad, raketa dobija odgovarajuću brzinu napred.

Teorema momenata o osi.

Razmotrite materijalnu tačku mase m, koji se kreće pod uticajem sile F. Nađimo za njega odnos između momenata vektora mV I F u odnosu na neku fiksnu Z os.

m z (F) = xF - yF (7)

Slično za vrijednost m(mV), ako se izvadi m biće van zagrada

m z (mV) = m(xV - yV)(7`)

Uzimajući derivacije u odnosu na vrijeme s obje strane ove jednakosti, nalazimo

Na desnoj strani rezultirajućeg izraza, prva zagrada je jednaka 0, jer dx/dt=V i du/dt = V, druga zagrada prema formuli (7) je jednaka

mz(F), jer prema osnovnom zakonu dinamike:

Konačno ćemo imati (8)

Rezultirajuća jednačina izražava teoremu o momentima oko ose: vremenski izvod momenta momenta zamaha tačke u odnosu na bilo koju osu jednak je momentu sile koja deluje u odnosu na istu osu. Slična teorema vrijedi za trenutke o bilo kojem centru O.

Koji se sastoji od n materijalne tačke. Odaberimo određenu tačku iz ovog sistema Mj sa masom m j. Kao što je poznato, na ovu tačku djeluju vanjske i unutrašnje sile.

Hajde da to primenimo na stvar Mj rezultat svih unutrašnjih sila F j i i rezultanta svih vanjskih sila F j e(Slika 2.2). Za odabranu materijalnu tačku Mj(kao za slobodnu tačku) pišemo teoremu o promjeni impulsa u diferencijalnom obliku (2.3):

Napišimo slične jednačine za sve tačke mehaničkog sistema (j=1,2,3,…,n).

Slika 2.2

Hajde da saberemo sve deo po deo n jednadžbe:

∑d(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i, (2.9)

d∑(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i. (2.10)

Evo ∑m j ×V j =Q– količina kretanja mehaničkog sistema;
∑F j e = R e– glavni vektor svih spoljašnjih sila koje deluju na mehanički sistem;
∑F j i = R i =0– glavni vektor unutrašnjih sila sistema (prema svojstvu unutrašnjih sila jednak je nuli).

Konačno, za mehanički sistem dobijamo

dQ/dt = R e. (2.11)

Izraz (2.11) je teorema o promjeni impulsa mehaničkog sistema u diferencijalnom obliku (u vektorskom izrazu): vremenski izvod vektora količine gibanja mehaničkog sistema jednak je glavnom vektoru svih vanjskih sila koje djeluju na sistem.

Projektovanjem vektorske jednakosti (2.11) na kartezijanske koordinatne ose, dobijamo izraze za teoremu o promeni momenta kretanja mehaničkog sistema u koordinatnom (skalarnom) izrazu:

dQ x /dt = R x e;

dQ y /dt = R y e;

dQ z /dt = R z e, (2.12)

one. vremenski izvod projekcije momenta kretanja mehaničkog sistema na bilo koju osu jednak je projekciji na ovu osu glavnog vektora svih vanjskih sila koje djeluju na ovaj mehanički sistem.

Množenje obje strane jednakosti (2.12) sa dt, dobijamo teoremu u drugom diferencijalnom obliku:

dQ = R e ×dt = δS e, (2.13)

one. diferencijalni impuls mehaničkog sistema jednak je elementarnom impulsu glavnog vektora (zbir elementarnih impulsa) svih vanjskih sila koje djeluju na sistem.

Integrisanje jednakosti (2.13) unutar vremenske promjene od 0 do t, dobijamo teoremu o promjeni impulsa mehaničkog sistema u konačnom (integralnom) obliku (u vektorskom izrazu):

Q - Q 0 = S e,

one. promjena impulsa mehaničkog sistema tokom konačnog vremenskog perioda jednaka je ukupnom impulsu glavnog vektora (zbir ukupnih impulsa) svih vanjskih sila koje djeluju na sistem u istom vremenskom periodu.

Projektovanjem vektorske jednakosti (2.14) na kartezijanske koordinatne ose, dobijamo izraze za teoremu u projekcijama (u skalarnom izrazu):

one. promjena projekcije impulsa mehaničkog sistema na bilo koju osu tokom konačnog vremenskog perioda jednaka je projekciji na istu osu ukupnog impulsa glavnog vektora (zbir ukupnih impulsa) svih vanjskih sila djelujući na mehanički sistem u istom vremenskom periodu.

Iz razmatrane teoreme (2.11) – (2.15) proizilaze sljedeće posljedice:

1. Ako R e = ∑F j e = 0, To Q = konst– imamo zakon održanja vektora impulsa mehaničkog sistema: ako je glavni vektor R e svih vanjskih sila koje djeluju na mehanički sistem jednaka je nuli, tada vektor količine kretanja ovog sistema ostaje konstantan po veličini i smjeru i jednak svojoj početnoj vrijednosti Q 0, tj. Q = Q 0.
2. Ako R x e = ∑X j e =0 (R e ≠ 0), To Q x = konst– imamo zakon održanja projekcije na osu impulsa mehaničkog sistema: ako je projekcija glavnog vektora svih sila koje djeluju na mehanički sistem na bilo koju osu jednaka nuli, tada je projekcija na istu osu vektor količine gibanja ovog sistema će biti konstantna vrijednost i jednak projekciji na ovu osu početnog vektora količine kretanja, tj. Q x = Q 0x.

Diferencijalni oblik teoreme o promjeni impulsa materijalnog sistema ima važne i zanimljive primjene u mehanici kontinuuma. Iz (2.11) možemo dobiti Eulerovu teoremu.

Neka se materijalna tačka kreće pod uticajem sile F. Potrebno je odrediti kretanje ove tačke u odnosu na pokretni sistem Oxyz(vidi složeno kretanje materijalne tačke), koja se kreće na poznati način u odnosu na stacionarni sistem O 1 x 1 y 1 z 1 .

Osnovna jednadžba dinamike u stacionarnom sistemu

Zapišimo apsolutno ubrzanje tačke koristeći Coriolisovu teoremu

Gdje a abs– apsolutno ubrzanje;

a rel– relativno ubrzanje;

a lane– prijenosno ubrzanje;

a jezgro– Coriolisovo ubrzanje.

Prepišimo (25) uzimajući u obzir (26)

Hajde da uvedemo notaciju
- prenosiva sila inercije,
- Coriolisova inercijska sila. Tada jednačina (27) poprima oblik

Osnovna jednadžba dinamike za proučavanje relativnog kretanja (28) napisana je na isti način kao i za apsolutno kretanje, samo se silama koje djeluju na tačku moraju dodati prijenosne i Coriolisove sile inercije.

Opće teoreme o dinamici materijalne tačke

Prilikom rješavanja mnogih zadataka možete koristiti unaprijed napravljene blanke dobivene na temelju Newtonovog drugog zakona. Takve metode rješavanja problema su objedinjene u ovom odeljku.

Teorema o promjeni impulsa materijalne tačke

Predstavimo sljedeće dinamičke karakteristike:

1. Zamah materijalne tačke– vektorska količina jednaka proizvodu mase tačke i njenog vektora brzine

. (29)

2. Impuls sile

Elementarni impuls sile– vektorska količina jednaka proizvodu vektora sile i elementarnog vremenskog intervala

(30).

Onda puni impuls

. (31)

At F=const dobijamo S=Ft.

Ukupni impuls za konačan vremenski period može se izračunati samo u dva slučaja, kada je sila koja djeluje na tačku konstantna ili ovisi o vremenu. U drugim slučajevima, potrebno je izraziti silu kao funkciju vremena.

Jednakost dimenzija impulsa (29) i impulsa (30) omogućava nam da uspostavimo kvantitativan odnos između njih.

Razmotrimo kretanje materijalne tačke M pod dejstvom proizvoljne sile F duž proizvoljne putanje.

O UD:
. (32)

Odvajamo varijable u (32) i integrišemo

. (33)

Kao rezultat, uzimajući u obzir (31), dobijamo

. (34)

Jednačina (34) izražava sljedeću teoremu.

Teorema: Promjena količine gibanja materijalne tačke u određenom vremenskom periodu jednaka je impulsu sile koja djeluje na tačku u istom vremenskom intervalu.

Prilikom rješavanja zadataka jednačina (34) se mora projicirati na koordinatne ose

Ovu teoremu je zgodno koristiti kada se među datim i nepoznatim veličinama nalaze masa tačke, njena početna i konačna brzina, sile i vrijeme kretanja.

Teorema o promjeni ugaonog momenta materijalne tačke

M
moment impulsa materijalne tačke u odnosu na centar jednak je proizvodu modula impulsa tačke i ramena, tj. najkraća udaljenost (okomita) od centra do linije koja se poklapa sa vektorom brzine

, (36)

. (37)

Odnos između momenta sile (uzroka) i momenta impulsa (posledice) utvrđuje se sljedećom teoremom.

Neka je tačka M date mase m kreće se pod uticajem sile F.

,
,

, (38)

. (39)

Izračunajmo derivaciju (39)

. (40)

Kombinujući (40) i (38), konačno dobijamo

. (41)

Jednačina (41) izražava sljedeću teoremu.

Teorema: Vremenski izvod vektora ugaonog momenta materijalne tačke u odnosu na neki centar jednak je momentu sile koja deluje na tačku u odnosu na isto središte.

Prilikom rješavanja zadataka jednačina (41) se mora projicirati na koordinatne ose

U jednadžbi (42) momenti momenta momenta i sile se računaju u odnosu na koordinatne ose.

Iz (41) slijedi zakon održanja ugaonog momenta (Keplerov zakon).

Ako je moment sile koja djeluje na materijalnu tačku u odnosu na bilo koji centar jednak nuli, tada ugaoni moment tačke u odnosu na ovo središte zadržava svoju veličinu i smjer.

Ako
, To
.

Teorema i zakon održanja koriste se u problemima koji uključuju krivolinijsko kretanje, posebno pod djelovanjem centralnih sila.