Появиха се нови задачи. Нека да разгледаме тяхното решение.
Прототип на задача B8 (№ 317543)
На фигурата е показана графика на функцията y=f(x) и са отбелязани точки -2, -1, 1, 2. В коя от тези точки стойността на производната е най-голяма? Моля, посочете тази точка в отговора си.
Както знаем, се нарича
граница на съотношението на увеличението на функция към увеличението на аргумента, когато увеличението на аргумента клони към нула:
Производната в точка показва скорост на промяна на функциятав този момент. Колкото по-бързо се променя функцията, т.е. колкото по-голямо е увеличението на функцията, толкова по-голям е ъгълът на наклон на тангентата. Тъй като задачата изисква определяне на точката, в която стойността на производната е най-голяма, изключваме от разглеждане точките с абсцисите -1 и 1 - в тези точки функцията намалява и производната в тях е отрицателна.
Функцията нараства в точки -2 и 2. Въпреки това, тя нараства в тях по различни начини - в точка -2 графиката на функцията се издига по-стръмно, отколкото в точка 2, и следователно нарастването на функцията в тази точка, и следователно производна, е по-голяма.
Отговор: -2
И подобна задача:
Прототип на задача B8 (№ 317544)
На фигурата е показана графика на функцията и са отбелязани точки -2, -1, 1, 4. В коя от тези точки производната е най-малка? Моля, посочете тази точка в отговора си.
Решението на този проблем е подобно на решението на предишния „точно обратното“
Интересуваме се от точката, в която производната приема най-малката си стойност, т.е. търсим точката, в която функцията намалява най-бързо - на графиката това е точката, в която се случва най-стръмното „спускане“. Това е абсцисната точка 4.
Скъпи приятели! Групата задачи свързани с производната включва задачи - условието дава графика на функция, няколко точки на тази графика и въпросът е:
В кой момент производната е най-голяма (най-малка)?
Да повторим накратко:
Производната в точка е равна на наклона на тангентата, минаваща през неятази точка на графиката.
UГлобалният коефициент на тангентата от своя страна е равен на тангенса на ъгъла на наклон на тази допирателна.
*Това се отнася за ъгъла между тангентата и оста x.
1. На интервали с нарастваща функция производната има положителна стойност.
2. На интервали на намаляване на производната има отрицателна стойност.
Помислете за следната скица:
В точки 1,2,4 производната на функцията има отрицателна стойност, тъй като тези точки принадлежат към намаляващи интервали.
В точки 3,5,6 производната на функцията има положителна стойност, тъй като тези точки принадлежат към нарастващи интервали.
Както можете да видите, всичко е ясно със значението на производната, тоест изобщо не е трудно да се определи какъв знак има (положителен или отрицателен) в определена точка на графиката.
Освен това, ако мислено конструираме допирателни в тези точки, ще видим, че правите линии, минаващи през точки 3, 5 и 6, образуват ъгли с оста oX в диапазона от 0 до 90 o, а правите линии, минаващи през точки 1, 2 и 4, образуват с оста oX ъглите варират от 90 o до 180 o.
*Връзката е ясна: допирателните, минаващи през точки, принадлежащи на интервали с нарастващи функции, образуват остри ъгли с оста oX, допирателните, минаващи през точки, принадлежащи на интервали с намаляващи функции, образуват тъпи ъгли с оста oX.
Сега важният въпрос!
Как се променя стойността на производната? В крайна сметка допирателната в различни точки на графиката на непрекъсната функция образува различни ъгли в зависимост от това през коя точка на графиката минава.
*Или, с прости думи, допирателната е разположена повече „хоризонтално“ или „вертикално“. Виж:
Правите линии образуват ъгли с оста oX в диапазона от 0 до 90 o
Правите линии образуват ъгли с оста oX в диапазона от 90° до 180°
Ето защо, ако имате въпроси:
— в коя от дадените точки на графиката производната има най-малка стойност?
- в коя от дадените точки на графиката производната има най-голяма стойност?
тогава, за да отговорите, е необходимо да разберете как се променя стойността на тангенса на допирателния ъгъл в диапазона от 0 до 180 o.
*Както вече споменахме, стойността на производната на функцията в точка е равна на тангенса на ъгъла на наклон на допирателната към оста oX.
Стойността на допирателната се променя, както следва:
Когато ъгълът на наклона на правата линия се промени от 0° до 90°, стойността на тангенса и следователно производната се променя съответно от 0 до +∞;
Когато ъгълът на наклона на правата линия се промени от 90° на 180°, стойността на тангенса и следователно производната се променя съответно –∞ на 0.
Това може ясно да се види от графиката на функцията тангенс:
С прости думи:
При ъгъл на наклон на тангенс от 0° до 90°
Колкото по-близо е до 0 o, толкова по-голяма стойност на производната ще бъде близо до нула (от положителната страна).
Колкото по-близо е ъгълът до 90°, толкова повече стойността на производната ще се увеличи към +∞.
С ъгъл на наклон на тангенс от 90° до 180°
Колкото по-близо е до 90 o, толкова повече стойността на производната ще намалява към –∞.
Колкото по-близо е ъгълът до 180°, толкова по-голяма стойност на производната ще бъде близо до нула (от отрицателната страна).
317543. Фигурата показва графика на функцията y = f(х) и точките са маркирани–2, –1, 1, 2. В коя от тези точки производната е най-голяма? Моля, посочете тази точка в отговора си.
Имаме четири точки: две от тях принадлежат на интервалите, на които функцията намалява (това са точки –1 и 1) и две на интервалите, на които функцията нараства (това са точки –2 и 2).
Веднага можем да заключим, че в точки –1 и 1 производната е с отрицателна стойност, а в точки –2 и 2 е с положителна стойност. Следователно в този случай е необходимо да се анализират точки –2 и 2 и да се определи коя от тях ще има най-голяма стойност. Да построим допирателни, минаващи през посочените точки:
Стойността на тангенса на ъгъла между права линия a и абсцисната ос ще бъде по-голяма от стойността на тангенса на ъгъла между права линия b и тази ос. Това означава, че стойността на производната в точка –2 ще бъде най-голяма.
Нека отговорим на следния въпрос: в коя точка –2, –1, 1 или 2 стойността на производната е най-отрицателна? Моля, посочете тази точка в отговора си.
Производната ще има отрицателна стойност в точки, принадлежащи на намаляващите интервали, така че нека разгледаме точки –2 и 1. Нека конструираме допирателни, минаващи през тях:
Виждаме, че тъпият ъгъл между права b и оста oX е „по-близо“ до 180О , следователно неговият тангенс ще бъде по-голям от тангенса на ъгъла, образуван от правата a и оста oX.
Така в точката x = 1 стойността на производната ще бъде най-голяма отрицателна.
317544. Фигурата показва графиката на функцията y = f(х) и точките са маркирани–2, –1, 1, 4. В коя от тези точки производната е най-малка? Моля, посочете тази точка в отговора си.
Имаме четири точки: две от тях принадлежат на интервалите, на които функцията намалява (това са точки –1 и 4), а две на интервалите, на които функцията нараства (това са точки –2 и 1).
Веднага можем да заключим, че в точки –1 и 4 производната е с отрицателна стойност, а в точки –2 и 1 е с положителна стойност. Следователно в този случай е необходимо да се анализират точки –1 и 4 и да се определи коя от тях ще има най-малка стойност. Да построим допирателни, минаващи през посочените точки:
Стойността на тангенса на ъгъла между права линия a и абсцисната ос ще бъде по-голяма от стойността на тангенса на ъгъла между права линия b и тази ос. Това означава, че стойността на производната в точката x = 4 ще бъде най-малка.
Отговор: 4
Надявам се, че не съм ви "претоварил" с много писане. Всъщност всичко е много просто, просто трябва да разберете свойствата на производната, нейното геометрично значение и как стойността на тангенса на ъгъла се променя от 0 до 180 o.
1. Първо определете знаците на производната в тези точки (+ или -) и изберете необходимите точки (в зависимост от зададения въпрос).
2. Построете допирателни в тези точки.
3. Използвайки графиката на тангесоида, маркирайте схематично ъглите и дисплеяАлександър.
P.S: Ще съм благодарен, ако ми разкажете за сайта в социалните мрежи.
Задача B9 дава графика на функция или производна, от която трябва да определите една от следните величини:
- Стойността на производната в дадена точка x 0,
- Максимални или минимални точки (екстремни точки),
- Интервали на нарастващи и намаляващи функции (интервали на монотонност).
Функциите и производните, представени в този проблем, са винаги непрекъснати, което прави решението много по-лесно. Въпреки факта, че задачата принадлежи към раздела на математическия анализ, дори и най-слабите ученици могат да я направят, тъй като тук не се изискват дълбоки теоретични познания.
За намиране на стойността на производната, точките на екстремум и интервалите на монотонност има прости и универсални алгоритми - всички те ще бъдат разгледани по-долу.
Прочетете внимателно условията на задача B9, за да избегнете глупави грешки: понякога попадате на доста дълги текстове, но има няколко важни условия, които влияят на хода на решението.
Изчисляване на производната стойност. Метод с две точки
Ако за задачата е дадена графика на функция f(x), допирателна към тази графика в точка x 0, и се изисква да се намери стойността на производната в тази точка, се прилага следният алгоритъм:
- Намерете две „адекватни“ точки на допирателната графика: техните координати трябва да са цели числа. Нека означим тези точки като A (x 1 ; y 1) и B (x 2 ; y 2). Запишете правилно координатите - това е ключов момент в решението и всяка грешка тук ще доведе до неправилен отговор.
- Познавайки координатите, е лесно да се изчисли увеличението на аргумента Δx = x 2 − x 1 и увеличението на функцията Δy = y 2 − y 1 .
- Накрая намираме стойността на производната D = Δy/Δx. С други думи, трябва да разделите увеличението на функцията на увеличението на аргумента - и това ще бъде отговорът.
Още веднъж да отбележим: точките A и B трябва да се търсят именно по допирателната, а не по графиката на функцията f(x), както често се случва. Допирателната задължително ще съдържа поне две такива точки - в противен случай проблемът няма да бъде формулиран правилно.
Разгледайте точки A (−3; 2) и B (−1; 6) и намерете увеличенията:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.
Нека намерим стойността на производната: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.
Задача. Фигурата показва графика на функцията y = f(x) и допирателна към нея в точката с абсцисата x 0. Намерете стойността на производната на функцията f(x) в точката x 0 .
Помислете за точки A (0; 3) и B (3; 0), намерете увеличенията:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.
Сега намираме стойността на производната: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.
Задача. Фигурата показва графика на функцията y = f(x) и допирателна към нея в точката с абсцисата x 0. Намерете стойността на производната на функцията f(x) в точката x 0 .
Разгледайте точки A (0; 2) и B (5; 2) и намерете увеличенията:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.
Остава да намерим стойността на производната: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.
От последния пример можем да формулираме правило: ако допирателната е успоредна на оста OX, производната на функцията в точката на допирателна е нула. В този случай дори не е нужно да броите нищо - просто погледнете графиката.
Изчисляване на максимални и минимални точки
Понякога, вместо графика на функция, задача B9 дава графика на производната и изисква намиране на максималната или минималната точка на функцията. В тази ситуация двуточковият метод е безполезен, но има друг, още по-прост алгоритъм. Първо, нека дефинираме терминологията:
- Точката x 0 се нарича максимална точка на функцията f(x), ако в някаква околност на тази точка е изпълнено неравенството f(x 0) ≥ f(x).
- Точката x 0 се нарича точка на минимум на функцията f(x), ако в някаква околност на тази точка е изпълнено неравенството f(x 0) ≤ f(x).
За да намерите максималните и минималните точки от производната графика, просто изпълнете следните стъпки:
- Преначертайте производната графика, като премахнете цялата ненужна информация. Както показва практиката, ненужните данни само пречат на решението. Затова маркираме нулите на производната на координатната ос - и това е всичко.
- Намерете знаците на производната на интервалите между нулите. Ако за дадена точка x 0 е известно, че f'(x 0) ≠ 0, тогава са възможни само две опции: f'(x 0) ≥ 0 или f'(x 0) ≤ 0. Знакът на производната е лесно се определя от оригиналния чертеж: ако графиката на производната лежи над оста OX, тогава f'(x) ≥ 0. И обратното, ако графиката на производната лежи под оста OX, тогава f'(x) ≤ 0.
- Отново проверяваме нулите и знаците на производната. Там, където знакът се променя от минус на плюс, е минималната точка. Обратно, ако знакът на производната се промени от плюс на минус, това е максималната точка. Броенето винаги се извършва отляво надясно.
Тази схема работи само за непрекъснати функции - в задача B9 няма други.
Задача. Фигурата показва графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала [−5; 5]. Намерете минималната точка на функцията f(x) върху тази отсечка.
Нека се отървем от ненужната информация и оставим само границите [−5; 5] и нули на производната x = −3 и x = 2.5. Отбелязваме и знаците:
Очевидно в точката x = −3 знакът на производната се променя от минус на плюс. Това е минималната точка.
Задача. Фигурата показва графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала [−3; 7]. Намерете максималната точка на функцията f(x) на този сегмент.
Нека преначертаем графиката, оставяйки само границите [−3; 7] и нули на производната x = −1.7 и x = 5. Нека отбележим знаците на производната върху получената графика. Ние имаме:
Очевидно в точката x = 5 знакът на производната се променя от плюс на минус - това е максималната точка.
Задача. На фигурата е показана графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала [−6; 4]. Намерете броя на максималните точки на функцията f(x), принадлежащи на отсечката [−4; 3].
От условията на задачата следва, че е достатъчно да се разгледа само частта от графиката, ограничена от сегмента [−4; 3]. Затова изграждаме нова графика, на която отбелязваме само границите [−4; 3] и нули на производната вътре в него. А именно точки x = −3,5 и x = 2. Получаваме:
На тази графика има само една максимална точка x = 2. Именно в тази точка знакът на производната се променя от плюс на минус.
Малка бележка за точки с нецелочислени координати. Например в последната задача беше разгледана точката x = −3,5, но със същия успех можем да вземем x = −3,4. Ако проблемът е компилиран правилно, подобни промени не трябва да влияят на отговора, тъй като точките „без определено място на пребиваване“ не участват пряко в решаването на проблема. Разбира се, този трик няма да работи с цели точки.
Намиране на интервали на нарастващи и намаляващи функции
В такъв проблем, подобно на максималните и минималните точки, се предлага да се използва графиката на производната, за да се намерят области, в които самата функция нараства или намалява. Първо, нека дефинираме какво е увеличаване и намаляване:
- Казва се, че функция f(x) нараства на отсечка, ако за всеки две точки x 1 и x 2 от тази отсечка е вярно следното твърдение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . С други думи, колкото по-голяма е стойността на аргумента, толкова по-голяма е стойността на функцията.
- Казва се, че функция f(x) намалява на отсечка, ако за всеки две точки x 1 и x 2 от тази отсечка е вярно следното твърдение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . Тези. По-голямата стойност на аргумента съответства на по-малка стойност на функцията.
Нека формулираме достатъчни условия за увеличаване и намаляване:
- За да расте непрекъсната функция f(x) върху отсечката , достатъчно е нейната производна вътре в отсечката да е положителна, т.е. f’(x) ≥ 0.
- За да намалява една непрекъсната функция f(x) върху отсечката , е достатъчно нейната производна вътре в отсечката да е отрицателна, т.е. f’(x) ≤ 0.
Нека приемем тези твърдения без доказателства. По този начин получаваме схема за намиране на интервали на нарастване и намаляване, която в много отношения е подобна на алгоритъма за изчисляване на точки на екстремум:
- Премахнете цялата ненужна информация. В оригиналната графика на производната се интересуваме предимно от нулите на функцията, така че ще оставим само тях.
- Отбележете знаците на производната на интервалите между нулите. Когато f’(x) ≥ 0, функцията нараства, а когато f’(x) ≤ 0, тя намалява. Ако проблемът поставя ограничения върху променливата x, ние допълнително ги маркираме на нова графика.
- Сега, след като знаем поведението на функцията и ограниченията, остава да изчислим необходимото количество в проблема.
Задача. Фигурата показва графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала [−3; 7.5]. Намерете интервалите на спадане на функцията f(x). В отговора си посочете сумата от целите числа, включени в тези интервали.
Както обикновено, нека преначертаем графиката и да маркираме границите [−3; 7.5], както и нули на производната x = −1.5 и x = 5.3. След това отбелязваме знаците на производната. Ние имаме:
Тъй като производната е отрицателна на интервала (− 1,5), това е интервалът на намаляваща функция. Остава да се сумират всички цели числа, които са вътре в този интервал:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Задача. На фигурата е показана графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала [−10; 4]. Намерете интервалите на нарастване на функцията f(x). В отговора си посочете дължината на най-голямата от тях.
Да се отървем от ненужната информация. Нека оставим само границите [−10; 4] и нули на производната, които този път бяха четири: x = −8, x = −6, x = −3 и x = 2. Нека маркираме знаците на производната и получаваме следната картина:
Ние се интересуваме от интервалите на нарастваща функция, т.е. където f’(x) ≥ 0. Има два такива интервала на графиката: (−8; −6) и (−3; 2). Нека изчислим техните дължини:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.
Тъй като трябва да намерим дължината на най-големия от интервалите, записваме стойността l 2 = 5 като отговор.
Производната на функция е една от трудните теми в училищната програма. Не всеки завършил ще отговори на въпроса какво е производно.
Тази статия обяснява по прост и ясен начин какво е дериват и защо е необходим.. Сега няма да се стремим към математическа строгост в презентацията. Най-важното е да разберете смисъла.
Нека си припомним определението:
Производната е скоростта на промяна на функция.
Фигурата показва графики на три функции. Според вас кой расте по-бързо?
Отговорът е очевиден - третият. Той има най-високата скорост на промяна, тоест най-голямата производна.
Ето още един пример.
Костя, Гриша и Матвей получиха работа едновременно. Нека видим как са се променили доходите им през годината:
Графиката показва всичко наведнъж, нали? Доходите на Костя се удвоиха за шест месеца. И доходите на Гриша също се увеличиха, но съвсем малко. И доходите на Матвей намаляха до нула. Началните условия са същите, но скоростта на промяна на функцията, т.е производна, - различен. Що се отнася до Матвей, неговата производна на доходите като цяло е отрицателна.
Интуитивно, ние лесно оценяваме скоростта на промяна на функция. Но как да направим това?
Това, което наистина гледаме, е колко стръмно се издига (или надолу) графиката на дадена функция. С други думи, колко бързо се променя y при промяна на x? Очевидно една и съща функция в различни точки може да има различни производни стойности - тоест може да се променя по-бързо или по-бавно.
Производната на функция се обозначава.
Ще ви покажем как да го намерите с помощта на графика.
Начертана е графика на някаква функция. Нека вземем точка с абциса върху нея. Нека начертаем допирателна към графиката на функцията в тази точка. Искаме да преценим колко стръмно се изкачва графиката на дадена функция. Удобна стойност за това е тангенс на допирателния ъгъл.
Производната на функция в точка е равна на тангенса на допирателния ъгъл, начертан към графиката на функцията в тази точка.
Моля, обърнете внимание, че като ъгъл на наклон на допирателната приемаме ъгъла между допирателната и положителната посока на оста.
Понякога учениците питат какво е допирателна към графиката на функция. Това е права линия, която има една обща точка с графиката в този раздел и както е показано на нашата фигура. Изглежда като допирателна към окръжност.
Нека го намерим. Спомняме си, че тангенсът на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е равен на съотношението на срещуположната страна към съседната страна. От триъгълника:
Намерихме производната с помощта на графика, без дори да знаем формулата на функцията. Такива проблеми често се срещат в Единния държавен изпит по математика под номера.
Има и друга важна връзка. Спомнете си, че правата линия е дадена от уравнението
Величината в това уравнение се нарича наклон на права линия. Тя е равна на тангенса на ъгъла на наклона на правата спрямо оста.
.
Разбираме това
Нека запомним тази формула. Той изразява геометричния смисъл на производната.
Производната на функция в точка е равна на наклона на допирателната, начертана към графиката на функцията в тази точка.
С други думи, производната е равна на тангенса на допирателния ъгъл.
Вече казахме, че една и съща функция може да има различни производни в различни точки. Нека видим как производната е свързана с поведението на функцията.
Нека начертаем графика на някаква функция. Нека тази функция нараства в някои области и намалява в други, и то с различна скорост. И нека тази функция има максимални и минимални точки.
В даден момент функцията се увеличава. Допирателната към графиката, начертана в точка, образува остър ъгъл с положителната посока на оста. Това означава, че производната в точката е положителна.
В момента нашата функция намалява. Допирателната в тази точка образува тъп ъгъл с положителната посока на оста. Тъй като тангенсът на тъп ъгъл е отрицателен, производната в точката е отрицателна.
Ето какво се случва:
Ако една функция нараства, нейната производна е положителна.
Ако намалява, производната му е отрицателна.
Какво ще се случи при максималните и минималните точки? Виждаме, че в точките (максимална точка) и (минимална точка) допирателната е хоризонтална. Следователно тангенсът на допирателната в тези точки е нула и производната също е нула.
Точка - максимална точка. В този момент нарастването на функцията се заменя с намаление. Следователно знакът на производната се променя в точката от „плюс“ на „минус“.
В точката - минималната точка - производната също е нула, но нейният знак се променя от "минус" на "плюс".
Извод: с помощта на производната можем да разберем всичко, което ни интересува за поведението на дадена функция.
Ако производната е положителна, тогава функцията нараства.
Ако производната е отрицателна, тогава функцията намалява.
В максималната точка производната е нула и променя знака от "плюс" на "минус".
В минималната точка производната също е нула и променя знака от „минус“ на „плюс“.
Нека напишем тези изводи под формата на таблица:
| се увеличава | максимална точка | намалява | минимална точка | се увеличава | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Нека направим две малки уточнения. Един от тях ще ви трябва, когато решавате USE задачи. Друг – през първата година, с по-сериозно изучаване на функции и производни.
Възможно е производната на функция в дадена точка да е равна на нула, но функцията да няма нито максимум, нито минимум в тази точка. Това е т.нар :
В дадена точка допирателната към графиката е хоризонтална и производната е нула. Въпреки това, преди точката функцията нараства - и след точката тя продължава да нараства. Знакът на производната не се променя - тя остава положителна, както е била.
Също така се случва в точката на максимум или минимум производната да не съществува. На графиката това съответства на рязко прекъсване, когато е невъзможно да се начертае допирателна в дадена точка.
Как да намерим производната, ако функцията е дадена не с графика, а с формула? В този случай се прилага
