Няма да се опитвам да ви убеждавам да не пишете измамници. пишете! Включително измамни листове по тригонометрия. По-късно планирам да обясня защо са необходими измамни листове и защо измамните листове са полезни. А ето и информация как не да учим, а да помним някои тригонометрични формули. И така - тригонометрия без измамник! Използваме асоциации за запаметяване.
1. Формули за добавяне:
Косинусите винаги „идват по двойки“: косинус-косинус, синус-синус.
И още нещо: косинусите са „неадекватни“. За тях „не всичко е наред“, затова сменят знаците: „-“ на „+“ и обратно.
Синусите - "микс": синус-косинус, косинус-синус.
2. Формули за сбор и разлика:
косинусите винаги „идват по двойки“. Добавяйки два косинуса - „колобок“, получаваме чифт косинус - „колобок“. И като извадим, определено няма да получим колобки. Получаваме няколко синуси. Също с минус напред.
Синусите - "микс" :
3. Формули за превръщане на произведение в сбор и разлика.
Кога получаваме двойка косинус? Когато добавяме косинуси. Ето защо
Кога ще получим няколко синуси? При изваждане на косинуси. Оттук:
„Смесване“ се получава както при събиране, така и при изваждане на синуси. Какво е по-забавно: добавяне или изваждане? Точно така, фолд. И за формулата те вземат допълнение:
В първата и третата формула сумата е в скоби. Пренареждането на местата на членовете не променя сумата. Редът е важен само за втората формула. Но за да не се объркаме, за по-лесно запомняне, и в трите формули в първите скоби вземаме разликата
и второ - сумата
Листовете за измама в джоба ви дават спокойствие: ако забравите формулата, можете да я копирате. И те ви дават увереност: ако не успеете да използвате измамника, можете лесно да запомните формулите.
Формулите за събиране се използват за изразяване чрез синусите и косинусите на ъглите a и b на стойностите на функциите cos(a+b), cos(a-b), sin(a+b), sin(a-b).
Формули за събиране на синуси и косинуси
Теорема: За всяко a и b е вярно следното равенство: cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b).
Нека докажем тази теорема. Помислете за следната фигура:
На него точките Ma, M-b, M(a+b) се получават чрез завъртане на точка Mo съответно на ъгли a, -b и a+b. От дефинициите на синус и косинус, координатите на тези точки ще бъдат следните: Ma(cos(a); sin(a)), M-b (cos(-b); sin(-b)), M(a+ b) (cos(a+ b); sin(a+b)). ЪгълMoOM(a+b) = ъгълM-bOMa, следователно триъгълниците MoOM(a+b) и M-bOMa са равни и са равнобедрени. Това означава, че основите MoM(a-b) и M-bMa са равни. Следователно (MoM(a-b))^2 = (M-bMa)^2. Използвайки формулата за разстоянието между две точки, получаваме:
(1 - cos(a+b))^2 + (sin(a+b))^2 = (cos(-b) - cos(a))^2 + (sin(-b) - sin(a) )^2.
sin(-a) = -sin(a) и cos(-a) = cos(a). Нека трансформираме нашето равенство, като вземем предвид тези формули и квадрата на сбора и разликата, тогава:
1 -2*cos(a+b) + (cos(a+b))^2 +(sin(a+b))^2 = (cos(b))^2 - 2*cos(b)*cos (a) + (cos(a)^2 +(sin(b))^2 +2*sin(b)*sin(a) + (sin(a))^2.
Сега прилагаме основната тригонометрична идентичност:
2-2*cos(a+b) = 2 - 2*cos(a)*cos(b) + 2*sin(a)*sin(b).
Нека дадем подобни и да ги намалим с -2:
cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b). Q.E.D.
Валидни са и следните формули:
- cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b);
- sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b);
- sin(a-b) = sin(a)*cos(b) - cos(a)*sin(b).
Тези формули могат да бъдат получени от доказаната по-горе, като се използват формули за редукция и заместване на b с -b. Има и формули за събиране на тангенси и котангенси, но те няма да са валидни за всички аргументи.
Формули за събиране на тангенси и котангенси
За всякакви ъгли a,b с изключение на a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n и a+b =pi/2 +pi*m, за всички цели числа k,n,m следното ще вярна формула:
tg(a+b) = (tg(a) +tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)).
За всякакви ъгли a,b с изключение на a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n и a-b =pi/2 +pi*m, за всички цели числа k,n,m следната формула ще бъде валиден:
tg(a-b) = (tg(a)-tg(b))/(1+tg(a)*tg(b)).
За всякакви ъгли a,b с изключение на a=pi*k, b=pi*n, a+b = pi*m и за всички цели числа k,n,m ще бъде валидна следната формула:
ctg(a+b) = (ctg(a)*ctg(b) -1)/(ctg(b)+ctg(a)).
Продължаваме нашия разговор за най-използваните формули в тригонометрията. Най-важните от тях са формулите за добавяне.
Определение 1
Формулите за добавяне ви позволяват да изразите функции на разликата или сумата на два ъгъла, като използвате тригонометрични функции на тези ъгли.
Като начало ще дадем пълен списък с формули за добавяне, след което ще ги докажем и ще анализираме няколко илюстративни примера.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Основни събирателни формули в тригонометрията
Има осем основни формули: синус от сумата и синус от разликата на два ъгъла, косинуси от сбора и разликата, тангенси и котангенси съответно от сбора и разликата. По-долу са техните стандартни формулировки и изчисления.
1. Синусът на сумата от два ъгъла може да се получи, както следва:
Изчисляваме произведението на синуса на първия ъгъл и косинуса на втория;
Умножете косинуса на първия ъгъл по синуса на първия;
Съберете получените стойности.
Графичното изписване на формулата изглежда така: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
2. Синусът на разликата се изчислява по почти същия начин, само че получените продукти не трябва да се добавят, а да се изваждат един от друг. Така изчисляваме произведенията на синуса на първия ъгъл по косинуса на втория и косинуса на първия ъгъл по синуса на втория и намираме разликата им. Формулата се записва така: sin (α - β) = sin α · cos β + sin α · sin β
3. Косинус на сумата. За него намираме продуктите на косинуса на първия ъгъл по косинуса на втория и синуса на първия ъгъл по синуса на втория, съответно, и намираме тяхната разлика: cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β
4. Косинус на разликата: изчислете произведенията на синусите и косинусите на тези ъгли, както преди, и ги добавете. Формула: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
5. Тангенс на сбора. Тази формула се изразява като дроб, чийто числител е сумата от тангентите на търсените ъгли, а знаменателят е единица, от която се изважда произведението на тангентите на желаните ъгли. Всичко е ясно от графичната му нотация: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β
6. Тангенс на разликата. Изчисляваме стойностите на разликата и произведението на тангентите на тези ъгли и процедираме с тях по подобен начин. В знаменателя добавяме към едно, а не обратното: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β
7. Котангенс на сбора. За да изчислим с помощта на тази формула, ще ни трябва произведението и сумата на котангенсите на тези ъгли, което процедираме по следния начин: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
8. Котангенс на разликата . Формулата е подобна на предишната, но числителят и знаменателят са минус, а не плюс c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β.
Вероятно сте забелязали, че тези формули са подобни по двойки. Използвайки знаците ± (плюс-минус) и ∓ (минус-плюс), можем да ги групираме за по-лесно записване:
sin (α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β
Съответно имаме една формула за запис на сумата и разликата на всяка стойност, просто в единия случай обръщаме внимание на горния знак, в другия – на долния.
Определение 2
Можем да вземем всякакви ъгли α и β и формулите за събиране на косинус и синус ще работят за тях. Ако можем правилно да определим стойностите на тангенсите и котангенсите на тези ъгли, тогава формулите за добавяне на тангенса и котангенса също ще бъдат валидни за тях.
Като повечето концепции в алгебрата, формулите за добавяне могат да бъдат доказани. Първата формула, която ще докажем, е формулата за косинус на разликата. Останалите доказателства могат лесно да бъдат извлечени от него.
Нека изясним основните понятия. Ще ни трябва единична окръжност. Ще се получи, ако вземем определена точка A и завъртим ъглите α и β около центъра (точка O). Тогава ъгълът между векторите O A 1 → и O A → 2 ще бъде равен на (α - β) + 2 π · z или 2 π - (α - β) + 2 π · z (z е всяко цяло число). Получените вектори образуват ъгъл, който е равен на α - β или 2 π - (α - β), или може да се различава от тези стойности с цял брой пълни обороти. Разгледайте снимката:
Използвахме формулите за намаляване и получихме следните резултати:
cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)
Резултат: косинусът на ъгъла между векторите O A 1 → и O A 2 → е равен на косинуса на ъгъла α - β, следователно cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).
Нека си припомним дефинициите на синус и косинус: синусът е функция на ъгъла, равен на съотношението на катета на противоположния ъгъл към хипотенузата, косинусът е синусът на допълнителния ъгъл. Следователно, точките A 1И А 2имат координати (cos α, sin α) и (cos β, sin β).
Получаваме следното:
O A 1 → = (cos α, sin α) и O A 2 → = (cos β, sin β)
Ако не е ясно, погледнете координатите на точките, разположени в началото и края на векторите.
Дължините на векторите са равни на 1, т.к Имаме единична окръжност.
Нека сега анализираме скаларното произведение на векторите O A 1 → и O A 2 → . В координати изглежда така:
(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + sin α · sin β
От това можем да извлечем равенството:
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Така формулата за косинус на разликата е доказана.
Сега ще докажем следната формула - косинус от сумата. Това е по-лесно, защото можем да използваме предишните изчисления. Нека вземем представянето α + β = α - (- β) . Ние имаме:
cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β
Това е доказателството за формулата за сумата по косинус. Последният ред използва свойството на синус и косинус на противоположни ъгли.
Формулата за синус на сбор може да се изведе от формулата за косинус на разлика. Нека вземем формулата за намаляване за това:
под формата sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)). Така
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β
И ето доказателството за формулата за синус на разликата:
sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Обърнете внимание на използването на свойствата на синуса и косинуса на противоположните ъгли в последното изчисление.
След това се нуждаем от доказателства за формулите за добавяне на тангенс и котангенс. Нека си припомним основните дефиниции (тангенсът е съотношението на синус към косинус, а котангенсът е обратното) и вземем формулите, които вече са получени предварително. Направихме го:
t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β
Имаме сложна дроб. След това трябва да разделим неговия числител и знаменател на cos α · cos β, като се има предвид, че cos α ≠ 0 и cos β ≠ 0, получаваме:
sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β = sin α · cos β cos α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β
Сега редуцираме дробите и получаваме следната формула: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β.
Получаваме t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. Това е доказателството на формулата за събиране на тангенса.
Следващата формула, която ще докажем, е формулата за тангенс на разликата. Всичко е ясно показано в изчисленията:
t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β
Формулите за котангенс се доказват по подобен начин:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β sin α · sin β = cos α · cos β sin α · sin β - 1 sin α · cos β sin α · sin β + cos α · sin β sin α · sin β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
Освен това:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β
