Израз за средния топлинен капацитет на дадено вещество. Истински и среден топлинен капацитет

Експерименталните стойности на топлинните мощности при различни температури са представени под формата на таблици, графики и емпирични функции.

Има истински и среден топлинен капацитет.

Истинският топлинен капацитет C е топлинният капацитет за дадена температура.

В инженерните изчисления често се използва средната стойност на топлинния капацитет в даден температурен диапазон (t1;t2).

Средният топлинен капацитет се означава по два начина: ,.

Недостатъкът на последното обозначение е, че температурният диапазон не е посочен.

Истинският и средният топлинен капацитет са свързани по отношение:

Истинският топлинен капацитет е границата, към която клони средният топлинен капацитет в даден температурен диапазон t1…t2, при ∆t=t2-t1

Опитът показва, че истинският топлинен капацитет на повечето газове нараства с повишаване на температурата. Физическото обяснение за това увеличение е следното:

Известно е, че температурата на газа не е свързана с вибрационното движение на атомите и молекулите, а зависи от кинетичната енергия E k на постъпателното движение на частиците. Но с повишаването на температурата топлината, подавана на газа, все повече се преразпределя в полза на осцилаторното движение, т.е. Повишаването на температурата при същото захранване с топлина се забавя с повишаването на температурата.

Типична зависимост на топлинния капацитет от температурата:

c=c 0 + at + bt 2 + dt 3 + … (82)

където c 0 , a, b, d са емпирични коефициенти.

c – Истински топлинен капацитет, т.е. стойност на топлинния капацитет за дадена температура T.

За топлинния капацитет битопроксималната крива е полином под формата на поредица по степени на t.

Кривата на напасване се извършва с помощта на специални методи, например метода на най-малките квадрати. Същността на този метод е, че когато се използва, всички точки са приблизително еднакво отдалечени от апроксимиращата крива.

За инженерни изчисления, като правило, те са ограничени до първите два термина от дясната страна, т.е. приемем, че зависимостта на топлинния капацитет от температурата е линейна c=c 0 + при (83)

Средният топлинен капацитет се определя графично като средната линия на защрихован трапец; както е известно, средната линия на трапец се определя като половината от сумата на основите.

Формулите се прилагат, ако е известна емпиричната зависимост.

В случаите, когато зависимостта на топлинния капацитет от температурата не може да бъде задоволително приближена до зависимостта c=c 0 +at, можете да използвате следната формула:

Тази формула се използва в случаите, когато зависимостта на c от t е значително нелинейна.

От молекулярно-кинетичната теория на газовете е известно

U  = 12,56T, U  е вътрешната енергия на един киломол идеален газ.

По-рано получено за идеален газ:

, ,

От получения резултат следва, че топлинният капацитет, получен с помощта на MCT, не зависи от температурата.

Уравнение на Майер: c  p -c  v =R  ,

c  p =c  v +R  =12,56+8,31420,93.

Както в предишния случай за MCT на газове, молекулярният изобарен топлинен капацитет не зависи от температурата.

Концепцията за идеален газ най-много съответства на едноатомните газове при ниско налягане; на практика трябва да имаме работа с 2, 3... атомни газове. Например въздухът, който по обем се състои от 79% азот (N 2), 21% кислород (O 2) (в инженерните изчисления инертните газове не се вземат предвид поради ниското им съдържание).

Можете да използвате следната таблица за приблизителни изчисления:

моноатомен
двуатомна
триатомен

За реалните газове, за разлика от идеалните газове, топлинният капацитет може да зависи не само от температурата, но и от обема и налягането на системата.

Като се има предвид, че топлинният капацитет не е постоянен, а зависи от температурата и други топлинни параметри, се прави разлика между истински и среден топлинен капацитет. Истинската топлинна мощност се изразява с уравнение (2.2) за определени параметри на термодинамичния процес, тоест в дадено състояние на работния флуид. По-специално, ако искат да подчертаят зависимостта на топлинния капацитет на работния флуид от температурата, тогава го записват като , а специфичния топлинен капацитет като. Обикновено истинският топлинен капацитет се разбира като отношението на елементарното количество топлина, което се предава на термодинамична система във всеки процес, към безкрайно малкото увеличение на температурата на тази система, причинено от предадената топлина. Ще приемем, че истинската топлинна мощност на термодинамична система при температурата на системата е равна и истинската специфична топлина на работния флуид при нейната температура е равна. Тогава средният специфичен топлинен капацитет на работния флуид при промяна на температурата може да се определи, както следва:

Обикновено таблиците дават средни стойности на топлинния капацитет за различни температурни диапазони, започвайки с. Следователно, във всички случаи, когато термодинамичен процес протича в температурния диапазон от до, в който количеството специфична топлина на процеса се определя с помощта на таблични стойности на средните топлинни мощности, както следва:

.

Стойностите на средните топлинни мощности и се намират от таблиците.

2.3 Топлинни мощности при постоянен обем и налягане

От особен интерес са средните и истински топлинни мощности в процеси при постоянен обем ( изохорен топлинен капацитет, равно на съотношението на специфичното количество топлина в изохорния процес към изменението на температурата на работния флуид dT) и при постоянно налягане( изобарен топлинен капацитет, равно на съотношението на специфичното количество топлина в изобарен процес към изменението на температурата на работния флуид dT).

За идеалните газове връзката между изобарния и изохорния топлинен капацитет се установява от добре известното уравнение на Майер.

От уравнението на Майер следва, че изобарният топлинен капацитет е по-голям от изохорния топлинен капацитет със стойността на специфичната характеристична константа на идеален газ. Това се обяснява с факта, че при изохоричен процес () не се извършва външна работа и топлината се изразходва само за промяна на вътрешната енергия на работния флуид, докато при изобарен процес () топлината се изразходва не само за промяна на вътрешната енергия на работната течност, в зависимост от нейната температура, но и за извършване на външна работа.

За реалните газове, тъй като когато се разширяват, се извършва работа не само срещу външни сили, но и вътрешна работа срещу силите на взаимодействие между газовите молекули, което допълнително изразходва топлина.

В топлотехниката широко се използва отношението на топлинните мощности, което се нарича коефициент на Поасон (адиабатен индекс). В табл Таблица 2.1 показва стойностите на някои газове, получени експериментално при температура 15 °C.

Топлинният капацитет зависи от температурата, следователно адиабатичният индекс трябва да зависи от температурата.

Известно е, че с повишаване на температурата топлинният капацитет нараства. Следователно с повишаване на температурата тя намалява, приближавайки се до единица. Винаги обаче остават повече от един. Обикновено зависимостта на адиабатния индекс от температурата се изразява с формула от формата

и тъй като

Специфичен, моларен и обемен топлинен капацитет. Въпреки че топлината, включена в уравненията на PZT, може теоретично да бъде представена като сбор от микроработи, извършени по време на сблъсъка на микрочастици на границите на системата без появата на макросили и макродвижения, на практика този метод за изчисляване на топлината е малко полезен и исторически топлината се определя пропорционално на промяната на телесната температура dT и определена стойност C на тялото, характеризираща съдържанието на вещество в тялото и способността му да акумулира топлинно движение (топлина),

Q = C тяло dT. (2,36)

величина

Тяло C = Q/dT; = 1 J/K, (2,37)

равен на съотношението на елементарната топлина Q, предадена на тялото, към промяната в телесната температура dT, се нарича (истински) топлинен капацитет на тялото. Топлинният капацитет на тялото е числено равен на топлината, необходима за промяна на телесната температура с един градус.

Тъй като температурата на тялото се променя, когато се извършва работа, работата, по аналогия с топлината (4.36), може да се определи и чрез промяна на телесната температура (този метод за изчисляване на работата има някои предимства при изчисляването й в политропни процеси):

W = C w dT. (2,38)

C w = dW/dT = pdV / dT, (2.39)

равно на съотношението на работата, предоставена (отнета) на тялото към промяната в телесната температура, по аналогия с топлинния капацитет, можем да наречем „работен капацитет на тялото.“ Терминът „работен капацитет“ е толкова условен, колкото и Терминът "топлинен капацитет". Терминът „топлинен капацитет“ (капацитет за топлина) - като почит към истинската теория за топлината (калория) - е въведен за първи път от Джоузеф Блек (1728-1779) през 60-те години на 18 век. в неговите лекции (самите лекции са публикувани едва посмъртно през 1803 г.).

Специфичният топлинен капацитет c (понякога наричан маса или специфичен масов топлинен капацитет, който е остарял) е съотношението на топлинния капацитет на тялото към неговата маса:

c = стела / m = dQ / (m dT) = dq / dT; [c] = 1 J /(kgK), (2,40)

където dq = dQ / m - специфична топлина, J / kg.

Специфичният топлинен капацитет е числено равен на топлината, която трябва да се достави на вещество с единица маса, за да се промени неговата температура с един градус.

Моларен топлинен капацитет е съотношението на топлинния капацитет на тялото към количеството вещество (моларност) на това тяло:

C m = C тяло / m, = 1 J / (molK). (2,41)

Обемен топлинен капацитет е съотношението на топлинния капацитет на тялото към неговия обем, намален до нормални физически условия (p 0 = 101325 Pa = 760 mm Hg; T 0 = 273,15 K (0 o C)):

c" = тяло C / V 0 , = 1 J / (m 3 K). (2.42)

В случай на идеален газ неговият обем при нормални физически условия се изчислява от уравнението на състоянието (1.28)

V 0 = mRT 0 / p 0 . (2,43)

Молекулярният топлинен капацитет е съотношението на топлинния капацитет на тялото към броя на молекулите на това тяло:

c m = C тяло / N; = 1 J/K (2,44)

Връзката между различните видове топлинни мощности се установява чрез съвместно решаване на съотношения (2.40) - (2.44) за топлинни мощности. Връзката между специфичния и моларния топлинен капацитет се установява от следната зависимост:

c = C тяло / m = C m. m/m = C m / (m/m) = C m /M, (2.45)

където M = m / m - моларна маса на веществото, kg / mol.

Тъй като по-често се дават таблични стойности за моларни топлинни мощности, връзката (2.45) трябва да се използва за изчисляване на стойностите на специфичните топлинни мощности чрез моларни топлинни мощности.

Връзката между обемния и специфичния топлинен капацитет се установява от връзката

c" = тяло C / V 0 = cm / V 0 = c 0 , (2.46)

където 0 = m / V 0 - плътност на газа при нормални физически условия (например плътност на въздуха при нормални условия

0 = p 0 /(RT 0) = 101325 / (287273,15) = 1,29 kg / m 3).

Връзката между обемния и моларния топлинен капацитет се установява от връзката

c" = C тяло / V 0 = C m m / V 0 = C m / (V 0 / m) = C m /V m0, (2.47)

където V 0 = V 0 / m = 22,4141 m 3 / kmol - моларен обем, намален до NFU.

В бъдеще, когато разглеждаме общите разпоредби за всички видове топлинни мощности, ще считаме специфичната топлинна мощност като първоначална, която, за да съкратим обозначението, просто ще наричаме топлинна мощност, а съответната специфична топлина - просто топлина.

Истински и среден топлинен капацитет. Топлинният капацитет на идеалния газ зависи от температурата c = c (T), а този на реалния газ също зависи от налягането c = c (T, p). Въз основа на този критерий се разграничават истински и среден топлинен капацитет. За газове с ниско налягане и висока температура зависимостта на топлинния капацитет от налягането се оказва незначителна.

Истинският топлинен капацитет съответства на определена телесна температура (топлинен капацитет в точка), тъй като се определя с безкрайно малка промяна в телесната температура dT

c = dq / dT. (2,48)

Често в топлотехническите изчисления нелинейната зависимост на истинската топлинна мощност от температурата се заменя с линейна зависимост, близка до нея

c = b 0 + b 1 t = c 0 + bt, (2.49)

където c 0 = b 0 - топлинен капацитет при температура по Целзий t = 0 o C.

Елементарната специфична топлина може да се определи от израз (4.48) за специфичен топлинен капацитет:

dq = c dT. (2,50)

Познавайки зависимостта на истинския топлинен капацитет от температурата c = c(t), можем да определим топлината, доставена към системата в краен температурен диапазон, като интегрираме израз (2.53) от началното състояние 1 до крайното състояние 2,

В съответствие с графичното представяне на интеграла тази топлина съответства на площ от 122"1" под кривата c = f(t) (фиг. 4.4).

Фигура 2.4 - Към концепцията за истински и среден топлинен капацитет

Площта на извит трапец 122"1", съответстваща на топлина q 1-2, може да бъде заменена с еквивалентната площ на правоъгълник 1"342" с основа DT = T 2 - T 1 = t 2 - t 1 и височина: .

Количеството, определено от израза

и ще бъде средният топлинен капацитет на веществото в температурния диапазон от t 1 до t 2.

Ако зависимостта (2.52) за истинския топлинен капацитет се замести в израз (2.55) за средния топлинен капацитет и се интегрира върху температурата, получаваме

Co + b(t1 + t2) / 2 = , (2.53)

където t cp = (t 1 + t 2)/2 е средната температура по Целзий в температурния диапазон от t 1 до t 2.

По този начин, в съответствие с (2.56), средният топлинен капацитет в температурния диапазон от t 1 до t 2 може да бъде приблизително определен като истински топлинен капацитет, изчислен от средната температура t cp за даден температурен интервал.

За средния топлинен капацитет в температурния диапазон от 0 o C (t 1 = 0) до t, зависимостта (2.56) приема формата

C o + (b / 2)t = c o + b"t. (2.54)

При изчисляване на специфичната топлина, необходима за нагряване на газ от 0 o C до t 1 и t 2, като се използват таблици, където всяка температура t съответства на средния топлинен капацитет, се използват следните отношения:

q 0-1 = t 1 и q 0-2 = t 2

(на фиг. 4.4 тези топлини са изобразени като площите на фигури 0511" и 0522"), а за изчисляване на доставената топлина в температурния диапазон от t 1 до t 2 се използва връзката

q 1-2 = q 0-2 - q 0-1 = t 2 - t 1 = (t 2 - t 1).

От този израз можем да намерим средния топлинен капацитет на газа в температурния диапазон от t 1 до t 2:

= = (t 2 - t 1) / (t 2 - t 1). (2,55)

Следователно, за да се намери средният топлинен капацитет в температурния диапазон от t 1 до t 2 по формула (2.59), първо трябва да се определи средният топлинен капацитет и да се използват съответните таблици. След изчисляване на средния топлинен капацитет за даден процес, доставената топлина се определя по формулата

q 1-2 = (t 2 - t 1). (2,56)

Ако обхватът на температурните промени е малък, тогава зависимостта на истинския топлинен капацитет от температурата е близка до линейна и топлината може да се изчисли като произведение на истинския топлинен капацитет c(t cp), определен за средната температура на газа ? t cp в даден температурен диапазон, чрез температурна разлика:

q 1-2 = = . (2,57)

Това изчисление на топлината е еквивалентно на изчисляването на площта на трапеца 1"1""22" (виж Фиг. 2.4) като произведение на средната линия на трапеца c(t cp) и неговата височина DT.

Истинската топлинна мощност при средна температура t cp в съответствие с (4.56) има стойност, близка до средната топлинна мощност в този температурен диапазон.

Например, в съответствие с таблица C.4, средният моларен изохоричен топлинен капацитет в температурния диапазон от 0 до 1000 o C = 23,283 kJ / (kmol.K) и истинският моларен изохоричен топлинен капацитет, съответстващ на средната температура на 500 o C за този температурен интервал е C mv = 23,316 kJ/(kmol.K). Разликата между тези топлинни мощности не надвишава 0,2%.

Изохорна и изобарна топлинна мощност. Най-често в практиката се използват топлоемкости на изохорни и изобарни процеси, протичащи съответно при постоянен специфичен обем x = const и налягане p = const. Тези специфични топлинни мощности се наричат ​​съответно изохорни c v и изобарни c p топлинни мощности. Използвайки тези топлинни мощности, могат да се изчислят всякакви други видове топлинни мощности.

По този начин идеалният газ е въображаем газ (газов модел), чието състояние точно съответства на уравнението на състоянието на Клапейрон, а вътрешната енергия зависи само от температурата.

По отношение на идеален газ, вместо частични производни (4.66) и (4.71), трябва да се вземат общи производни:

c x = du/dT; (2,58)

c p = dh / dT. (2,59)

От това следва, че c x и c p за идеален газ, точно както u и h, зависят само от температурата.

В случай на постоянен топлинен капацитет вътрешната енергия и енталпията на идеален газ се определят от изразите:

U = c x mT и u = c x T; (2,60)

H = c p mT и h = c p T. (2.61)

При изчисляване на изгарянето на газове, обемната енталпия, J/m 3, се използва широко,

h" = H/V 0 = c p mT/V 0 = c p c 0 T = c" p T, (2.62)

където c"p = cp c0 - обемен изобарен топлинен капацитет, J/(m 3 .K).

Уравнение на Майер. Нека установим връзка между топлинните мощности на идеален газ c x и c p. За да направим това, използваме уравнението PZT (4.68) за идеален газ по време на изобарен процес

dq p = c p dT = du + pdх = c x dT + pdх. (2,63)

Къде намираме разликата в топлинните мощности?

c p - c x = pdx / dT = p (x / T) p = dw p / dT (2,64)

(това отношение за идеален газ е частен случай на отношение (2.75) за реален газ).

Диференцирайки уравнението на Клапейрон на състоянието d(pх) p = R dT при условие на постоянно налягане, получаваме

dx / dT = R / p. (2,65)

Замествайки тази връзка в уравнение (2.83), получаваме

c p - c x = R. (2,66)

Умножавайки всички количества в тази връзка по моларната маса M, получаваме подобна връзка за моларните топлинни мощности

cm p - cm x = Rm. (2,67)

Съотношенията (2.65) и (2.66) се наричат ​​формули (уравнения) на Майер за идеален газ. Това се дължи на факта, че Майер използва уравнение (2.65), за да изчисли механичния еквивалент на топлината.

Съотношението на топлинните мощности c p / c x. В термодинамиката и нейните приложения голямо значение има не само разликата в топлинните мощности c p и c x, определени от уравнението на Майер, но и тяхното съотношение c p / c x, което в случай на идеален газ е равно на отношението на топлина към промяната на HE в изобарен процес, т.е. съотношението е характеристика на изобарен процес:

k p = k X = dq p / du = c p dT / = c p dT / c x dT = c p / c x.

Следователно, ако в процеса на промяна на състоянието на идеален газ съотношението на топлината към промяната в HE е равно на съотношението c p / c x, тогава този процес ще бъде изобарен.

Тъй като това съотношение често се използва и се включва като експонента в уравнението на адиабатния процес, то обикновено се означава с буквата k (без индекс) и се нарича адиабатичен показател

k = dq p / du = c p / c x = C m p / Cm x = c" p /c" x. (2,68)

Стойностите на истинския топлинен капацитет и тяхното съотношение k на някои газове в идеално състояние (при p> 0 и T C = 0 o C) са дадени в таблица 3.1.

Таблица 3.1 - Някои характеристики на идеалните газове

	Химична формула
	kJ/(kmolK)
водна пара
Въглероден окис
Кислород
Въглероден двуокис
серен диоксид
Живачни пари

Средно за всички газове с еднаква атомност е общоприето, че за едноатомните газове k? 1.67, за двуатомно k ? 1.40, за триатомно k ? 1,29 (за водна пара често се приема точната стойност k = 1,33).

Решавайки заедно (2.65) и (2.67), можем да изразим топлинните мощности по отношение на k и R:

Като се вземе предвид (2.69), уравнението (2.50) за специфичната енталпия приема формата

h = c p T = . (2,71)

За двуатомни и многоатомни идеални газове k зависи от температурата: k = f(T). Съгласно уравнение (2.58)

k = 1 + R / c x = 1 + Rm / Cm x. (2,72)

Топлинна мощност на газовата смес. За да се определи топлинният капацитет на смес от газове, е необходимо да се знае съставът на сместа, който може да бъде определен чрез маса g i , моларни x i или обемни r i фракции, както и стойностите на топлинните мощности на компоненти на сместа, които се вземат от таблиците за съответните газове.

Специфичният топлинен капацитет на смес, състояща се от N компоненти за изопроцеси X = x, p = const, се определя чрез масови фракции по формулата

cXcm = . (2,73)

Моларният топлинен капацитет на смес се определя по отношение на молни фракции

Обемният топлинен капацитет на сместа се определя чрез обемните фракции по формулата

За идеалните газове моларните и обемните части са равни: x i = r i.

Изчисляване на топлина чрез топлинен капацитет. Ето формулите за изчисляване на топлината в различни процеси:

а) чрез средния специфичен топлинен капацитет и маса m

б) чрез средния моларен топлинен капацитет и количеството вещество m

в) чрез средния обемен топлинен капацитет и обем V 0, намален до нормални условия,

г) чрез средния молекулен топлинен капацитет и броя на молекулите N

където DT = T 2 - T 1 = t 2 - t 1 - промяна в телесната температура;

Средна топлинна мощност в температурния диапазон от t 1 до t 2;

c(t cp) - истински топлинен капацитет, определен за средната телесна температура t cp = (t 1 + t 2)/2.

Използвайки таблица C.4 за топлинните мощности на въздуха, намираме средните топлинни мощности: = = 1,0496 kJ / (kgK); = 1,1082 kJ / (kgK). Средният топлинен капацитет в този температурен диапазон се определя по формула (4.59)

= (1,10821200 - 1,0496600) / 600 = 1,1668 kJ / (kgK),

където DT = 1200 - 600 = 600 K.

Специфична топлина чрез среден топлинен капацитет в даден температурен диапазон = 1,1668600 = 700,08 kJ/kg.

Сега нека определим тази топлина с помощта на приблизителната формула (4.61) чрез истинския топлинен капацитет c(t cp), определен за средната температура на нагряване t cp = (t 1 + t 2)/2 = (600 + 1200) / 2 = 900 o C.

Истинският топлинен капацитет на въздуха c p за 900 o C съгласно таблица C.1 е равен на 1,1707 kJ/(kgK).

След това специфичната топлина през истинския топлинен капацитет при средната температура на подаване на топлина

q p = c p (t cp) = c p (900) DT = 1,1707600 = 702,42 kJ/kg.

Относителната грешка при изчисляване на топлината с помощта на приблизителна формула чрез истинския топлинен капацитет при средна температура на нагряване е e(q p) = 0,33%.

Следователно, ако имате таблица с истински топлинни мощности, специфичната топлина се изчислява най-лесно с помощта на формула (4.61) чрез истинската топлинна мощност, взета при средната температура на нагряване.