Въртенето е типичен вид механично движение, което често се среща в природата и техниката. Всяко въртене възниква в резултат на въздействието на някаква външна сила върху разглежданата система. Тази сила създава т.нар Какво представлява, от какво зависи, се обсъжда в статията.
Процес на въртене
Преди да разгледаме концепцията за въртящ момент, нека характеризираме системите, към които тази концепция може да се приложи. Системата на въртене предполага наличието на ос, около която се извършва кръгово движение или въртене. Разстоянието от тази ос до материалните точки на системата се нарича радиус на въртене.
От гледна точка на кинематиката процесът се характеризира с три ъглови величини:
- ъгъл на завъртане θ (измерен в радиани);
- ъглова скорост ω (измерена в радиани за секунда);
- ъглово ускорение α (измерено в радиани на квадратна секунда).
Тези количества са свързани помежду си със следните равенства:
Примери за въртене в природата са движенията на планетите по техните орбити и около осите им и движенията на торнадо. В бита и техниката въпросното движение е типично за мотори на двигатели, гаечни ключове, строителни кранове, отварящи се врати и др.
Определяне на момент на сила
Сега нека да преминем към непосредствената тема на статията. Според физическата дефиниция това е векторното произведение на вектора на прилагане на сила спрямо оста на въртене и вектора на самата сила. Съответният математически израз може да се запише по следния начин:
Тук векторът r¯ е насочен от оста на въртене към точката на приложение на силата F¯.
В тази формула за въртящия момент M¯, силата F¯ може да бъде насочена по произволен начин спрямо посоката на оста. Въпреки това, компонент на сила, успореден на оста, няма да доведе до въртене, ако оста е неподвижно фиксирана. В повечето задачи във физиката трябва да се вземат предвид силите F¯, които лежат в равнини, перпендикулярни на оста на въртене. В тези случаи абсолютната стойност на въртящия момент може да се определи по следната формула:
|M¯| = |r¯|*|F¯|*sin(β).
Където β е ъгълът между векторите r¯ и F¯.
Какво е ливъридж?
Силовият лост играе важна роля при определяне на големината на момента на силата. За да разберете за какво говорим, разгледайте следната фигура.
Тук е показана пръчка с дължина L, която е фиксирана в точката на въртене с единия си край. Върху другия край действа сила F, насочена под остър ъгъл φ. Според дефиницията на момент на сила можем да напишем:
M = F*L*sin(180 o -φ).
Ъгълът (180 o -φ) се появи, защото векторът L¯ е насочен от фиксирания край към свободния. Като вземем предвид периодичността на тригонометричната синусова функция, можем да пренапишем това равенство, както следва:
Сега нека насочим вниманието си към правоъгълен триъгълник, изграден от страни L, d и F. По дефиницията на функцията синус, произведението на хипотенузата L и синуса на ъгъла φ дава стойността на катет d. Тогава стигаме до равенство:
Линейната величина d се нарича лост на силата. То е равно на разстоянието от вектора на силата F¯ до оста на въртене. Както може да се види от формулата, концепцията за лост за сила е удобна за използване при изчисляване на момента M. Получената формула казва, че максималният въртящ момент за определена сила F ще се появи само когато дължината на радиус вектора r¯ ( L¯ на фигурата по-горе) е равно на лоста на силата, т.е. r¯ и F¯ ще бъдат взаимно перпендикулярни.
Посока на действие на величината M¯
По-горе беше показано, че въртящият момент е векторна характеристика за дадена система. Накъде е насочен този вектор? Отговорът на този въпрос не е особено труден, ако си спомним, че резултатът от произведението на два вектора е трети вектор, който лежи на ос, перпендикулярна на равнината на местоположението на оригиналните вектори.
Остава да решим дали моментът на сила ще бъде насочен нагоре или надолу (към или далеч от четеца) спрямо споменатата равнина. Това може да се определи или чрез правилото на гимлета, или чрез правилото на дясната ръка. Ето и двете правила:
- Правило на дясната ръка. Ако поставите дясната ръка по такъв начин, че нейните четири пръста да се движат от началото на вектора r¯ до неговия край, а след това от началото на вектора F¯ до неговия край, тогава изпъкналият палец ще сочи в посоката на момента M¯.
- Правилото на гимлета. Ако посоката на въртене на въображаем гимлет съвпада с посоката на въртеливо движение на системата, тогава транслационното движение на гимлета ще покаже посоката на вектора M¯. Не забравяйте, че се върти само по часовниковата стрелка.
И двете правила са равностойни, така че всеки може да използва това, което му е по-удобно.
При решаване на практически задачи се вземат предвид различните посоки на въртящия момент (нагоре - надолу, наляво - надясно) с помощта на знаците "+" или "-". Трябва да се помни, че положителната посока на момента M¯ се счита за тази, която води до въртене на системата обратно на часовниковата стрелка. Съответно, ако определена сила кара системата да се върти по посока на часовника, тогава моментът, който създава, ще има отрицателна стойност.
Физически смисъл на величината M¯
Във физиката и механиката на въртенето стойността M¯ определя способността на сила или сума от сили да извършва въртене. Тъй като математическата дефиниция на стойността M¯ включва не само силата, но и радиус вектора на нейното приложение, последният до голяма степен определя отбелязаната ротационна способност. За да стане по-ясно за каква способност говорим, ето няколко примера:
- Всеки човек, поне веднъж в живота си, се е опитвал да отвори врата, не като хване дръжката, а като я натисне близо до пантите. Във втория случай трябва да положите значителни усилия, за да постигнете желания резултат.
- За да развиете гайката от болт, използвайте специални гаечни ключове. Колкото по-дълъг е ключът, толкова по-лесно е да развиете гайката.
- За да усетите значението на лоста на силата, каним читателите да направят следния експеримент: вземете стол и се опитайте да го задържите окачен с една ръка, в един случай облегнете ръката си на тялото си, в друг - изпълнете задачата с права ръка. Последното ще бъде непосилна задача за мнозина, въпреки че теглото на стола остава същото.
Единици за въртящ момент
Трябва да се кажат няколко думи и за единиците SI, в които се измерва въртящият момент. Според формулата, записана за него, се измерва в нютони на метър (N*m). Тези единици обаче също измерват работата и енергията във физиката (1 N*m = 1 джаул). Джаулът за момента M¯ не се прилага, тъй като работата е скаларна величина, докато M¯ е вектор.
Но съвпадението на единиците момент на сила с единиците енергия не е случайно. Работата, извършена за въртене на системата, извършена от момента M, се изчислява по формулата:
От това откриваме, че M може да се изрази и в джаули на радиан (J/rad).
Динамика на въртене
В началото на статията записахме кинематичните характеристики, които се използват за описание на въртеливото движение. В ротационната динамика основното уравнение, което използва тези характеристики, е следното:
Действието на момента M върху система с инерционен момент I води до появата на ъглово ускорение α.
Тази формула се използва за определяне на ъгловите честоти на въртене в технологиите. Например, познавайки въртящия момент на асинхронен двигател, който зависи от честотата на тока в бобината на статора и от големината на променящото се магнитно поле, както и познавайки инерционните свойства на въртящия се ротор, е възможно да се определи до каква скорост на въртене ω се завърта роторът на двигателя за известно време t.
Пример за решение на проблем
Безтегловният лост, който е дълъг 2 метра, има опора в средата. Каква тежест трябва да се постави в единия край на лоста, така че да е в състояние на равновесие, ако товар с тегло 10 kg лежи от другата страна на опората на разстояние 0,5 метра от нея?
Очевидно какво ще се случи, ако моментите на сила, създадени от товарите, са еднакви по големина. Силата, създаваща момента в тази задача, е теглото на тялото. Лостовете на силата са равни на разстоянията от товарите до опората. Нека запишем съответното равенство:
m 1 *g*d 1 = m 2 *g*d 2 =>
P 2 = m 2 *g = m 1 *g*d 1 /d 2 .
Получаваме теглото P 2, ако заместим от условията на проблема стойностите m 1 = 10 kg, d 1 = 0,5 m, d 2 = 1 m. Написаното равенство дава отговора: P 2 = 49,05 нютона.
Определение
Векторният продукт на радиуса - вектор (), който се изтегля от точка O (фиг. 1) до точката, към която се прилага силата към самия вектор, се нарича момент на сила () по отношение на точка O:
На фиг. 1 точка O и векторът на силата () и радиус векторът са в равнината на фигурата. В този случай векторът на момента на сила () е перпендикулярен на равнината на чертежа и има посока далеч от нас. Векторът на момента на силата е аксиален. Посоката на вектора на момента на силата е избрана по такъв начин, че въртенето около точка O по посока на силата и векторът създават дясна система. Посоката на момента на силите и ъгловото ускорение съвпадат.
Големината на вектора е:
където е ъгълът между посоките на радиуса и вектора на силата, е рамото на силата спрямо точка O.
Силов момент около оста
Моментът на сила спрямо ос е физическо количество, равно на проекцията на вектора на момента на сила спрямо точката на избраната ос върху дадена ос. В този случай изборът на точка няма значение.
Основният момент на сила
Основният момент на набор от сили спрямо точка O се нарича вектор (момент на сила), който е равен на сумата от моментите на всички сили, действащи в системата по отношение на една и съща точка:
В този случай точка O се нарича център на редукция на системата от сили.
Ако има два основни момента ( и ) за една система от сили за различни два центъра на привеждащи сили (O и O’), тогава те са свързани с израза:
където е радиус-векторът, който е начертан от точка O до точка O’, е главният вектор на силовата система.
В общия случай резултатът от действието на произволна система от сили върху твърдо тяло е същият като действието върху тялото на главния момент на системата от сили и главния вектор на системата от сили, което е прилага се в центъра на редукция (точка O).
Основен закон на динамиката на въртеливото движение
където е ъгловият импулс на въртеливото тяло.
За твърдо тяло този закон може да бъде представен като:
където I е инерционният момент на тялото, а е ъгловото ускорение.
Единици за въртящ момент
Основната единица за измерване на момент на сила в системата SI е: [M]=N m
В GHS: [M]=din cm
Примери за решаване на проблеми
Пример
Упражнение.Фигура 1 показва тяло, което има ос на въртене OO". Моментът на сила, приложен към тялото спрямо дадена ос, ще бъде равен на нула? Оста и векторът на силата са разположени в равнината на фигурата.
Решение.Като основа за решаване на проблема ще вземем формулата, която определя момента на сила:
Във векторния продукт (може да се види от фигурата). Ъгълът между вектора на силата и радиус вектора също ще бъде различен от нула (или, следователно, векторният продукт (1.1) не е равен на нула. Това означава, че моментът на сила е различен от нула.
Отговор.
Пример
Упражнение.Ъгловата скорост на въртящо се твърдо тяло се променя в съответствие с графиката, показана на фиг. 2. В коя от точките, посочени на графиката, моментът на силите, приложени към тялото, е равен на нула?
Което е равно на произведението на силата от нейното рамо.
Моментът на силата се изчислява по формулата:
Където Е- сила, л- рамо на силата.
Рамо на властта- това е най-късото разстояние от линията на действие на силата до оста на въртене на тялото. Фигурата по-долу показва твърдо тяло, което може да се върти около ос. Оста на въртене на това тяло е перпендикулярна на равнината на фигурата и минава през точката, която е обозначена с буквата О. Рамото на силата Ftето разстоянието л, от оста на въртене до линията на действие на силата. Дефинира се така. Първата стъпка е да начертаете линия на действие на силата, след което от точка О, през която минава оста на въртене на тялото, спуснете перпендикуляр към линията на действие на силата. Дължината на този перпендикуляр се оказва рамото на дадена сила.
Силовият момент характеризира въртеливото действие на силата. Това действие зависи както от силата, така и от ливъриджа. Колкото по-голямо е рамото, толкова по-малка сила трябва да се приложи, за да се получи желаният резултат, тоест същия момент на сила (вижте фигурата по-горе). Ето защо е много по-трудно да отворите врата, като я натиснете близо до пантите, отколкото като хванете дръжката, и е много по-лесно да развиете гайка с дълъг, отколкото с къс гаечен ключ.
Единицата SI за момент на сила се приема за момент на сила от 1 N, чието рамо е равно на 1 m - нютон метър (N m).
Правило на моментите.
Твърдо тяло, което може да се върти около фиксирана ос, е в равновесие, ако моментът на сила М 1въртенето му по посока на часовниковата стрелка е равно на момента на силата М 2 , което го завърта обратно на часовниковата стрелка:
Правилото на моментите е следствие от една от теоремите на механиката, която е формулирана от френския учен П. Вариньон през 1687 г.
Няколко сили.
Ако върху едно тяло действат 2 равни и противоположно насочени сили, които не лежат на една и съща права линия, тогава такова тяло не е в равновесие, тъй като резултантният момент на тези сили спрямо която и да е ос не е равен на нула, тъй като и двете сили имат моменти, насочени в една и съща посока. Две такива сили, действащи едновременно върху тялото, се наричат няколко сили. Ако тялото е фиксирано върху ос, тогава под действието на двойка сили то ще се върти. Ако върху свободно тяло се приложат няколко сили, то ще се върти около оста си. преминаващ през центъра на тежестта на тялото, фигура b.
Моментът на двойка сили е еднакъв за всяка ос, перпендикулярна на равнината на двойката. Тотален момент Мдвойки винаги е равна на произведението на една от силите Ена разстояние лмежду силите, което се нарича рамото на двойката, без значение какви сегменти л, и споделя позицията на оста на рамото на двойката:
Моментът на няколко сили, чийто резултат е нула, ще бъде еднакъв спрямо всички успоредни една на друга оси, следователно действието на всички тези сили върху тялото може да бъде заменено с действието на една двойка сили със същото момент.
В статията ще говорим за момента на силата спрямо точка и ос, дефиниции, чертежи и графики, каква единица за измерване на момента на сила, работа и сила при въртеливо движение, както и примери и задачи.
Момент на силапредставлява вектор на физическа величина, равна на произведението на векторите сила на раменете(радиус вектор на частицата) и сила, действащ на точка. Силовият лост е вектор, свързващ точката, през която минава оста на въртене на твърдо тяло, с точката, към която се прилага силата.
където: r е рамото на силата, F е силата, приложена към тялото.
Векторна посока моментни силивинаги перпендикулярна на равнината, определена от векторите r и F.
Основната точка- всяка система от сили на равнина спрямо приетия полюс се нарича алгебричен момент на момента на всички сили на тази система спрямо този полюс.
При ротационните движения са важни не само самите физически величини, но и как са разположени спрямо оста на въртене, т.е. моменти. Вече знаем, че при въртеливото движение е важна не само масата, но и. В случай на сила, нейната ефективност при задействане на ускорение се определя от начина, по който тази сила се прилага към оста на въртене.
Връзката между силата и начина, по който се прилага описва МОМЕНТ НА СИЛА.Моментът на силата е векторното произведение на рамото на силата Ркъм вектора на силата Е:
Както във всеки векторен продукт, така и тук
Следователно силата няма да повлияе на въртенето, когато ъгълът между векторите на силата Еи лост Рравен на 0 o или 180 o. Какъв е ефектът от прилагането на момент на сила М?
Използваме втория закон за движението на Нютон и връзката между въжето и ъгловата скорост v = Rωв скаларна форма са валидни, когато векторите РИ ω перпендикулярни един на друг
Умножавайки двете страни на уравнението по R, получаваме
Тъй като mR 2 = I, заключаваме, че
Горната зависимост е валидна и за случая на материално тяло. Имайте предвид, че докато външната сила дава линейно ускорение а, моментът на външната сила дава ъгловото ускорение ε.
Мерна единица за момент на сила
Основната мярка за момент на сила в координатната система SI е: [M]=N m
В GHS: [M]=din cm
Работа и сила при въртеливо движение
Работата при линейно движение се определя от общия израз,
но във въртеливо движение,
и следователно
Въз основа на свойствата на смесеното произведение на три вектора можем да напишем
Следователно получихме израз за работа във въртеливо движение:
Мощност при въртеливо движение:
намирам момент на сила,действащи върху тялото в ситуациите, показани на фигурите по-долу. Да приемем, че r = 1m и F = 2N.
а)тъй като ъгълът между векторите r и F е 90°, тогава sin(a)=1:
M = r F = 1m 2N = 2N m
б)защото ъгълът между векторите r и F е 0°, така че sin(a)=0:
М = 0
да насочен силане може да даде точка въртеливо движение.
° С)тъй като ъгълът между векторите r и F е 30°, тогава sin(a)=0,5:
M = 0,5 r F = 1 N m.
Така насочената сила ще причини въртене на тялото, но ефектът му ще бъде по-малък, отколкото в случая а).
Силов момент около оста
Да приемем, че данните са точка О(полюс) и мощност П. В точката Овземаме началото на правоъгълна координатна система. Момент на сила Р по отношение на полюсите Опредставлява вектор М от (Р), (снимката по-долу) .
Всяка точка Ана линия П
има координати (хо, йо, зо).
Вектор на силата П
има координати Px, Py, Pz.
Комбинираща точка A (xo, yo, zo)с началото на системата, получаваме вектора стр. Координати на вектора на силата П
спрямо полюса Ообозначени със символи Mx, My, Mz.
Тези координати могат да бъдат изчислени като минимуми на даден детерминант, където ( i, j, k) - единични вектори на координатните оси (опции): i, j, k
След решаване на детерминантата, координатите на момента ще бъдат равни на:
Координати на вектора на момента мо (П) се наричат моменти на сила спрямо съответната ос. Например момент на сила П спрямо оста Оззаобикалящ шаблон:
Mz = Pyxo - Pxyo
Този модел се интерпретира геометрично, както е показано на фигурата по-долу.
Въз основа на тази интерпретация моментът на силата около оста Озможе да се определи като момент на проекция на силата П
перпендикулярно на оста Озспрямо точката на проникване на тази равнина от оста. Проекция на сила П
перпендикулярно на оста е посочено Pxy
, и точката на проникване в равнината Окси- ос операционна системасимвол О.
От горната дефиниция на момента на сила спрямо ос следва, че моментът на сила около ос е нула, когато силата и оста са равни, в една и съща равнина (когато силата е успоредна на оста или когато силата пресича оста).
С помощта на формулите на Mx, My, Mz,
можем да изчислим стойността на момента на силата П
спрямо точката Ои определете ъглите, съдържащи се между вектора М
и системни оси:
Маркировка на въртящия момент:
плюс (+) - въртене на силата около оста O по посока на часовниковата стрелка,
минус (-) — въртене на силата около оста O обратно на часовниковата стрелка.
Момент на силаспрямо произволен център в равнината на действие на силата се нарича произведението на модула на силата и рамото.
Рамо- най-късото разстояние от центъра О до линията на действие на силата, но не и до точката на приложение на силата, т.к. вектор на силово плъзгане.
Моментен знак:
По посока на часовниковата стрелка - минус, обратно на часовниковата стрелка - плюс;
Силовият момент може да се изрази като вектор. Това е перпендикуляр на равнината според правилото на Гимлет.
Ако няколко сили или система от сили са разположени в равнината, тогава алгебричната сума на техните моменти ще ни даде Основната точкасистеми от сили.
Да разгледаме момента на силата около оста, да изчислим момента на силата около оста Z;
Нека проектираме F върху XY;
F xy =F cosα= аб
m 0 (F xy)=m z (F), тоест m z =F xy * ч= Ф cosα* ч
Моментът на сила спрямо оста е равен на момента на неговата проекция върху равнината, перпендикулярна на оста, взета в пресечната точка на осите и равнината
Ако силата е успоредна на оста или я пресича, тогава m z (F)=0
Изразяване на момент на сила като векторен израз
Нека начертаем r a към точка A. Помислете за OA x F.
Това е третият вектор m o , перпендикулярен на равнината. Големината на кръстосаното произведение може да се изчисли, като се използва два пъти площта на защрихования триъгълник.
Аналитично изразяване на силата спрямо координатните оси.
Да приемем, че осите Y и Z, X с единични вектори i, j, k са свързани с точка O. Като се има предвид, че:
r x =X * Fx ; r y =Y * F y ; r z =Z * F y получаваме: m o (F)=x =
Нека разширим детерминантата и да получим:
m x =YF z - ZF y
m y = ZF x - XF z
m z =XF y - YF x
Тези формули позволяват да се изчисли проекцията на векторния момент върху оста, а след това и самия векторен момент.
Теорема на Вариньон за момента на резултантата
Ако система от сили има резултатна, тогава нейният момент спрямо всеки център е равен на алгебричната сума на моментите на всички сили спрямо тази точка
Ако приложим Q= -R, тогава системата (Q,F 1 ... F n) ще бъде еднакво балансирана.
Сумата от моментите около всеки център ще бъде равна на нула.
Аналитично условие за равновесие на плоска система от сили
Това е плоска система от сили, чиито линии на действие са разположени в една и съща равнина
Целта на изчисляването на задачи от този тип е да се определят реакциите на външните връзки. За целта се използват основните уравнения в равнинна система от сили.
Могат да се използват 2 или 3 моментни уравнения.
Пример
Нека създадем уравнение за сумата от всички сили върху оста X и Y:
Сумата от моментите на всички сили спрямо точка А:
Паралелни сили
Уравнение за точка А:
Уравнение за точка B:
Сумата от проекциите на силите върху оста Y.
