Daraja formulalari murakkab ifodalarni qisqartirish va soddalashtirish jarayonida, tenglama va tengsizliklarni yechishda foydalaniladi.
Raqam c hisoblanadi n-sonning darajasi a Qachon:
Darajalar bilan operatsiyalar.
1. Bir xil asosga ega darajalarni ko'paytirish orqali ularning ko'rsatkichlari qo'shiladi:
a m·a n = a m + n .
2. Bir xil asosli darajalarni bo'lishda ularning ko'rsatkichlari ayiriladi:
3. 2 yoki undan ortiq omillarning ko'paytmasi darajasi ushbu omillarning darajalari ko'paytmasiga teng:
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. Kasrning darajasi dividend va bo'luvchi darajalarining nisbatiga teng:
(a/b) n = a n /b n .
5. Kuchni bir darajaga ko'tarib, ko'rsatkichlar ko'paytiriladi:
(a m) n = a m n.
Yuqoridagi har bir formula chapdan o'ngga va aksincha yo'nalishlarda to'g'ri.
Masalan. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Ildizlar bilan operatsiyalar.
1. Bir necha omillar hosilasining ildizi ushbu omillarning ildizlari mahsulotiga teng:
2. Nisbatning ildizi dividend va ildizlarning bo‘luvchi nisbatiga teng:
3. Ildizni kuchga ko'tarishda radikal sonni shu kuchga ko'tarish kifoya:
4. Agar siz ildiz darajasini oshirsangiz n bir vaqtning o'zida va bir vaqtning o'zida qurish n th - bu radikal raqam, u holda ildizning qiymati o'zgarmaydi:
5. Agar siz ildizning darajasini kamaytirsangiz n bir vaqtning o'zida ildizni chiqarib oling n-radikal sonning darajasi bo'lsa, ildizning qiymati o'zgarmaydi:
Salbiy ko'rsatkichli daraja. Ijobiy bo'lmagan (butun) ko'rsatkichga ega bo'lgan ma'lum sonning kuchi musbat bo'lmagan ko'rsatkichning mutlaq qiymatiga teng ko'rsatkichli bir xil sonning kuchiga bo'linish sifatida aniqlanadi:
Formula a m:a n =a m - n uchungina emas, balki foydalanish mumkin m> n, balki bilan ham m< n.
Masalan. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Formulaga a m:a n =a m - n qachon adolatli bo'ldi m=n, nol daraja mavjudligi talab qilinadi.
Nol indeksli daraja. Nol ko'rsatkichli nolga teng bo'lmagan har qanday sonning kuchi birga teng.
Masalan. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Kasr ko'rsatkichli daraja. Haqiqiy raqamni oshirish uchun A darajaga qadar m/n, siz ildizni chiqarib olishingiz kerak n ning darajasi m- bu raqamning toifasi A.
Excel ildizni ajratib olish va raqamni quvvatga oshirish uchun o'rnatilgan funktsiyalar va matematik operatorlardan foydalanadi. Keling, misollarni ko'rib chiqaylik.
Excelda SQRT funksiyasiga misollar
O'rnatilgan SQRT funktsiyasi ijobiy kvadrat ildiz qiymatini qaytaradi. Funktsiyalar menyusida u Matematik toifasida joylashgan.
Funktsiya sintaksisi: =ROOT(raqam).
Yagona va talab qilinadigan argument bu funktsiya kvadrat ildizni hisoblaydigan musbat sondir. Agar argument salbiy bo'lsa, Excel #NUM! xatosini qaytaradi.
Argument sifatida ma'lum bir qiymat yoki raqamli qiymatga ega bo'lgan katakka havolani ko'rsatishingiz mumkin.
Keling, misollarni ko'rib chiqaylik.
Funktsiya 36 raqamining kvadrat ildizini qaytardi. Argument ma'lum bir qiymatdir.
ABS funktsiyasi -36 ning mutlaq qiymatini qaytaradi. Undan foydalanish manfiy sonning kvadrat ildizini chiqarishda xatolardan qochish imkonini berdi.
Funktsiya 13 ning yig'indisi va C1 katak qiymatining kvadrat ildizini oldi.
Excelda daraja ko'rsatish funksiyasi
Funktsiya sintaksisi: =POWER(qiymat, raqam). Ikkala dalil ham talab qilinadi.
Qiymat har qanday haqiqiy raqamli qiymatdir. Raqam - bu berilgan qiymatni oshirish kerak bo'lgan quvvatning ko'rsatkichidir.
Keling, misollarni ko'rib chiqaylik.
C2 katakchasida - 10 raqamini kvadratga solish natijasi.
Funktsiya ¾ ga ko'tarilgan 100 raqamini qaytardi.
Operator yordamida daraja ko'tarish
Excelda raqamni quvvatga oshirish uchun siz “^” matematik operatoridan foydalanishingiz mumkin. Uni kiritish uchun Shift + 6 tugmalarini bosing (inglizcha klaviatura tartibi bilan).
Excel kiritilgan ma'lumotlarni formula sifatida ko'rib chiqishi uchun birinchi navbatda "=" belgisi qo'yiladi. Keyingi - kuchga ko'tarilishi kerak bo'lgan raqam. Va "^" belgisidan keyin darajaning qiymati.
Ushbu matematik formulaning har qanday qiymati o'rniga siz raqamlar bilan hujayralarga havolalardan foydalanishingiz mumkin.
Agar siz bir nechta qiymatlarni yaratishingiz kerak bo'lsa, bu qulay.
Formulani butun ustunga nusxalash orqali biz A ustunidagi raqamlarni uchinchi darajaga ko'tarish natijalarini tezda oldik.
n-chi ildizlarni ajratib olish
ROOT Excelda kvadrat ildiz funktsiyasidir. 3, 4 va boshqa darajalarning ildizini qanday olish mumkin?
Matematik qonunlardan birini eslaylik: n-chi ildizni chiqarish uchun sonni 1/n darajaga oshirish kerak.
Masalan, kub ildizini chiqarish uchun raqamni 1/3 ning kuchiga ko'taramiz.
Excelda turli darajadagi ildizlarni chiqarish uchun formuladan foydalanamiz.
Formula 21 raqamining kub ildizining qiymatini qaytardi. Kasr darajasiga ko'tarish uchun “^” operatori ishlatilgan.
Tabriklaymiz: bugun biz ildizlarni ko'rib chiqamiz - 8-sinfdagi eng aqlga sig'maydigan mavzulardan biri. :)
Ko'pchilik ildizlar haqida ular murakkab bo'lganligi uchun emas (bu juda murakkab narsa - bir nechta ta'riflar va yana bir nechta xususiyatlar), chunki ko'pchilik maktab darsliklarida ildizlar shunday o'rmon orqali aniqlanadiki, faqat darslik mualliflari. bu yozuvni o'zlari tushunishlari mumkin. Va shunga qaramay, faqat bir shisha yaxshi viski bilan. :)
Shuning uchun, endi men ildizning eng to'g'ri va eng malakali ta'rifini beraman - siz haqiqatan ham eslashingiz kerak bo'lgan yagona ta'rif. Va keyin men tushuntiraman: bularning barchasi nima uchun kerak va uni amalda qanday qo'llash kerak.
Ammo birinchi navbatda, ko'plab darslik tuzuvchilari negadir "unutib qo'yadigan" muhim narsani unutmang:
Ildizlar juft darajali (bizning sevimli $\sqrt(a)$, shuningdek, barcha turdagi $\sqrt(a)$ va hatto $\sqrt(a)$) va toq darajali (barcha $\sqrt) bo'lishi mumkin. (a)$, $\ sqrt(a)$ va boshqalar). Va toq darajadagi ildizning ta'rifi juftdan biroz farq qiladi.
Ehtimol, ildizlar bilan bog'liq bo'lgan barcha xatolar va tushunmovchiliklarning 95% bu "biroz boshqacha" da yashiringan. Shunday qilib, keling, terminologiyani bir marta va butunlay tozalaymiz:
Ta'rif. Hatto ildiz n$a$ raqamidan istalgan salbiy bo'lmagan$b$ soni shundayki, $((b)^(n))=a$. Xuddi shu $a$ sonining toq ildizi, odatda, bir xil tenglikka ega boʻlgan har qanday $b$ soni: $((b)^(n))=a$.
Har holda, ildiz quyidagicha belgilanadi:
\(a)\]
Bunday yozuvdagi $n$ soni ildiz ko‘rsatkichi, $a$ soni esa radikal ifoda deyiladi. Xususan, $n=2$ uchun biz “sevimli” kvadrat ildizimizni olamiz (darvoqe, bu juft darajali ildiz), $n=3$ uchun esa kub ildizni (toq daraja) olamiz. masalalar va tenglamalarda ham tez-tez uchraydi.
Misollar. Kvadrat ildizlarning klassik misollari:
\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end (tekislash)\]
Aytgancha, $\sqrt(0)=0$ va $\sqrt(1)=1$. Bu juda mantiqiy, chunki $((0)^(2))=0$ va $((1)^(2))=1$.
Kub ildizlari ham keng tarqalgan - ulardan qo'rqishning hojati yo'q:
\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end (tekislash)\]
Xo'sh, bir nechta "ekzotik misollar":
\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end (tekislash)\]
Agar siz juft va toq daraja o'rtasidagi farq nima ekanligini tushunmasangiz, ta'rifni qayta o'qing. Bu juda muhim!
Shu bilan birga, biz ildizlarning bir noxush xususiyatini ko'rib chiqamiz, shuning uchun biz juft va toq ko'rsatkichlar uchun alohida ta'rifni kiritishimiz kerak edi.
Nima uchun ildizlar umuman kerak?
Ta'rifni o'qib chiqqandan so'ng, ko'plab talabalar: "Matematiklar buni o'ylab topganlarida nima chekishgan?" Va haqiqatan ham: nima uchun bu ildizlar umuman kerak?
Bu savolga javob berish uchun keling, bir zum boshlang'ich maktabga qaytaylik. Yodingizda bo'lsin: o'sha uzoq vaqtlarda, daraxtlar yashil va chuchvara mazali bo'lganida, bizning asosiy tashvishimiz raqamlarni to'g'ri ko'paytirish edi. Xo'sh, "beshga besh - yigirma besh" kabi bir narsa, bu hammasi. Ammo siz raqamlarni juftlikda emas, balki uchlik, to'rtlik va umuman butun to'plamlarda ko'paytirishingiz mumkin:
\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]
Biroq, bu masala emas. Ayyorlik boshqacha: matematiklar dangasa odamlardir, shuning uchun ular o‘n beshning ko‘payishini shunday yozishda qiynalgan:
Shuning uchun ular ilmiy darajalar bilan kelishdi. Nega omillar sonini uzun satr o'rniga yuqori chiziq sifatida yozmaslik kerak? Shunga o'xshash narsa:
Bu juda qulay! Barcha hisob-kitoblar sezilarli darajada kamayadi va siz 5183 ni yozish uchun bir nechta pergament varaqlari va daftarlarni behuda sarflashingiz shart emas. Ushbu rekord raqamning kuchi deb ataldi, unda bir qancha xususiyatlar topildi, ammo baxt qisqa muddatli bo'lib chiqdi.
Darajalar “kashfiyoti” uchun uyushtirilgan dabdabali ziyofatdan so‘ng, ayniqsa qaysar matematik birdan: “Agar biz raqamning darajasini bilsak-u, lekin raqamning o‘zi noma’lum bo‘lsa-chi?” deb so‘radi. Haqiqatan ham, agar biz ma'lum bir $b $ soni, aytaylik, 5-darajaga 243 ni berishini bilsak, $b $ sonining o'zi nimaga teng ekanligini qanday taxmin qilishimiz mumkin?
Bu muammo birinchi qarashda ko'rinadiganidan ancha global bo'lib chiqdi. Chunki ko'pchilik "tayyor" kuchlar uchun bunday "dastlabki" raqamlar yo'qligi ma'lum bo'ldi. O'zingiz uchun hukm qiling:
\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\O'ng strelka b=4\cdot 4\cdot 4\O'ng strelka b=4. \\ \end (tekislash)\]
$((b)^(3))=50$ bo'lsa-chi? Ma'lum bo'lishicha, biz ma'lum bir raqamni topishimiz kerak, uni uch marta ko'paytirganda bizga 50 ni beradi. Lekin bu raqam nima? Bu aniq 3 dan katta, chunki 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Ya'ni bu raqam uchdan to'rtgacha bo'lgan joyda yotadi, lekin siz nimaga teng ekanligini tushunolmaysiz.
Aynan shuning uchun matematiklar $n$th ildizlarini o'ylab topishgan. Aynan shuning uchun $\sqrt(*)$ radikal belgisi kiritildi. $b $ raqamini belgilash uchun, bu ko'rsatilgan darajada bizga oldindan ma'lum bo'lgan qiymatni beradi
\[\sqrt[n](a)=b\O'ng strelka ((b)^(n))=a\]
Men bahslashmayman: ko'pincha bu ildizlar osongina hisoblab chiqiladi - biz yuqorida bir nechta bunday misollarni ko'rdik. Ammo shunga qaramay, ko'p hollarda, agar siz o'zboshimchalik bilan raqamni o'ylab ko'rsangiz va undan ixtiyoriy darajaning ildizini olishga harakat qilsangiz, siz dahshatli baxtsizlikka duch kelasiz.
Nima bor! Hatto eng oddiy va eng tanish $\sqrt(2)$ ni ham odatiy shaklda - butun son yoki kasr sifatida ifodalab bo'lmaydi. Va agar siz ushbu raqamni kalkulyatorga kiritsangiz, buni ko'rasiz:
\[\sqrt(2)=1,414213562...\]
Ko'rib turganingizdek, kasrdan keyin hech qanday mantiqqa bo'ysunmaydigan raqamlarning cheksiz ketma-ketligi mavjud. Siz, albatta, boshqa raqamlar bilan tezda solishtirish uchun bu raqamni yaxlitlashingiz mumkin. Masalan:
\[\sqrt(2)=1,4142...\taxminan 1,4 \lt 1,5\]
Yoki yana bir misol:
\[\sqrt(3)=1,73205...\taxminan 1,7 \gt 1,5\]
Ammo bu yaxlitlashlarning barchasi, birinchi navbatda, juda qo'pol; va ikkinchidan, siz taxminiy qiymatlar bilan ham ishlashingiz kerak, aks holda siz bir qator noaniq xatolarga duch kelishingiz mumkin (Aytgancha, taqqoslash va yaxlitlash mahorati Yagona davlat imtihonining profilida sinovdan o'tishi kerak).
Shuning uchun jiddiy matematikada siz ildizlarsiz qilolmaysiz - ular bizga uzoq vaqtdan beri tanish bo'lgan kasrlar va butun sonlar kabi $\mathbb(R)$ barcha haqiqiy sonlar to'plamining bir xil teng vakillaridir.
Ildizni $\frac(p)(q)$ ko’rinishdagi kasr sifatida ifodalay olmaslik bu ildizning ratsional son emasligini bildiradi. Bunday raqamlar irratsional deb nomlanadi va ularni aniq ifodalash mumkin emas, faqat buning uchun maxsus mo'ljallangan radikal yoki boshqa konstruktsiyalar (logarifmlar, kuchlar, chegaralar va boshqalar). Ammo bu haqda boshqa safar.
Keling, barcha hisob-kitoblardan keyin irratsional sonlar javobda qoladigan bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\taxminan 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\taxminan -1,2599... \\ \end(align)\]
Tabiiyki, ildizning ko'rinishidan kasrdan keyin qanday raqamlar kelishini taxmin qilish deyarli mumkin emas. Biroq, siz kalkulyatorga ishonishingiz mumkin, lekin hatto eng ilg'or sana kalkulyatori bizga faqat irratsional sonning birinchi bir necha raqamlarini beradi. Shuning uchun javoblarni $\sqrt(5)$ va $\sqrt(-2)$ ko`rinishlarida yozish ancha to`g`riroq.
Aynan shuning uchun ular ixtiro qilingan. Javoblarni qulay tarzda yozib olish uchun.
Nima uchun ikkita ta'rif kerak?
Diqqatli o'quvchi, ehtimol, misollarda keltirilgan barcha kvadrat ildizlar ijobiy raqamlardan olinganligini payqagandir. Xo'sh, hech bo'lmaganda noldan. Ammo kub ildizlarini har qanday raqamdan xotirjamlik bilan olish mumkin - bu ijobiy yoki salbiy.
Nima uchun bu sodir bo'lmoqda? $y=((x)^(2))$ funksiya grafigiga qarang:
Kvadrat funksiya grafigi ikkita ildiz beradi: musbat va manfiy Keling, ushbu grafik yordamida $\sqrt(4)$ ni hisoblashga harakat qilaylik. Buning uchun grafikda (qizil rang bilan belgilangan) gorizontal $y=4$ chiziladi, u parabola bilan ikkita nuqtada kesishadi: $((x)_(1))=2$ va $((x) )_(2)) =-2$. Bu juda mantiqiy, chunki
Birinchi raqam bilan hamma narsa aniq - bu ijobiy, shuning uchun ildiz:
Ammo ikkinchi nuqta bilan nima qilish kerak? To'rttaning bir vaqtning o'zida ikkita ildizi bormi? Axir, agar −2 sonini kvadratga aylantirsak, biz ham 4 ni olamiz. Nima uchun u holda $\sqrt(4)=-2$ yozmaslik kerak? Va nega o'qituvchilar bunday postlarga sizni yemoqchi bo'lgandek qarashadi? :)
Muammo shundaki, agar siz qo'shimcha shartlar qo'ymasangiz, unda to'rtta ikkita kvadrat ildizga ega bo'ladi - ijobiy va salbiy. Va har qanday ijobiy raqam ham ulardan ikkitasiga ega bo'ladi. Ammo manfiy sonlar umuman ildizga ega bo'lmaydi - buni bir xil grafikdan ko'rish mumkin, chunki parabola hech qachon o'qdan pastga tushmaydi. y, ya'ni. salbiy qiymatlarni qabul qilmaydi.
Xuddi shunday muammo teng ko'rsatkichli barcha ildizlar uchun yuzaga keladi:
- To'g'rirog'i, har bir musbat sonning $n$ ko'rsatkichli ikkita ildizi bo'ladi;
- Salbiy raqamlardan hatto $n$ bo'lgan ildiz umuman chiqarilmaydi.
Shuning uchun ham $n$ juft darajali ildizni ta'riflashda javob manfiy bo'lmagan son bo'lishi kerakligi alohida ko'rsatilgan. Shunday qilib, biz noaniqlikdan xalos bo'lamiz.
Lekin g'alati $n$ uchun bunday muammo yo'q. Buni ko‘rish uchun $y=((x)^(3))$ funksiya grafigini ko‘rib chiqamiz:
Kub parabolasi har qanday qiymatni qabul qilishi mumkin, shuning uchun kub ildizi istalgan raqamdan olinishi mumkin Ushbu grafikdan ikkita xulosa chiqarish mumkin:
- Kub parabolaning shoxlari oddiydan farqli o'laroq, ikkala yo'nalishda ham - yuqoriga ham, pastga ham cheksizlikka boradi. Shuning uchun, biz gorizontal chiziqni qanday balandlikda chizmasak ham, bu chiziq bizning grafigimiz bilan kesishadi. Binobarin, kub ildizi har doim mutlaqo istalgan raqamdan olinishi mumkin;
- Bundan tashqari, bunday kesishma har doim o'ziga xos bo'ladi, shuning uchun qaysi raqam "to'g'ri" ildiz deb hisoblanishi va qaysi birini e'tiborsiz qoldirish haqida o'ylashingiz shart emas. Shuning uchun toq daraja uchun ildizlarni aniqlash juft darajaga qaraganda oddiyroqdir (salbiy bo'lmasligi shart emas).
Ko‘pchilik darsliklarda bu oddiy narsalar tushuntirilmagani achinarli. Buning o'rniga, bizning miyamiz har xil arifmetik ildizlar va ularning xususiyatlari bilan ko'tarila boshlaydi.
Ha, men bahslashmayman: arifmetik ildiz nima ekanligini ham bilishingiz kerak. Va men bu haqda alohida darsda batafsil gaplashaman. Bugun biz bu haqda ham gaplashamiz, chunki usiz $n$-inchi ko'plikning ildizlari haqidagi barcha fikrlar to'liq bo'lmaydi.
Lekin birinchi navbatda siz yuqorida bergan ta'rifni aniq tushunishingiz kerak. Aks holda, atamalarning ko'pligi tufayli sizning boshingizda shunday tartibsizlik boshlanadiki, oxirida siz hech narsani tushunmaysiz.
Sizga kerak bo'lgan yagona narsa - juft va toq ko'rsatkichlar o'rtasidagi farqni tushunish. Shuning uchun, keling, yana bir bor ildizlar haqida bilishingiz kerak bo'lgan hamma narsani to'playmiz:
- Juft darajali ildiz faqat manfiy bo'lmagan sondan mavjud bo'lib, o'zi hamisha manfiy bo'lmagan sondir. Salbiy sonlar uchun bunday ildiz aniqlanmagan.
- Ammo g'alati darajaning ildizi har qanday sondan mavjud bo'lib, o'zi ham har qanday raqam bo'lishi mumkin: musbat sonlar uchun u musbat, manfiy sonlar uchun esa, shapka ko'rsatganidek, manfiy.
Bu qiyinmi? Yo'q, qiyin emas. Tushunarli? Ha, bu mutlaqo aniq! Endi biz hisob-kitoblar bilan biroz mashq qilamiz.
Asosiy xususiyatlar va cheklovlar
Ildizlar juda ko'p g'alati xususiyatlar va cheklovlarga ega - bu alohida darsda muhokama qilinadi. Shuning uchun, endi biz faqat teng indeksli ildizlarga tegishli bo'lgan eng muhim "hiyla" ni ko'rib chiqamiz. Bu xususiyatni formula sifatida yozamiz:
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\chap| x\right|\]
Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, agar biz raqamni juft darajaga ko'tarsak va keyin bir xil darajaning ildizini chiqarsak, biz asl sonni emas, balki uning modulini olamiz. Bu osonlik bilan isbotlanishi mumkin bo'lgan oddiy teorema (salbiy bo'lmagan $x$ ni alohida, keyin esa manfiylarni alohida ko'rib chiqish kifoya). O'qituvchilar bu haqda doimo gapiradilar, bu har bir maktab darsligida berilgan. Ammo irratsional tenglamalarni (ya'ni, radikal belgisi bo'lgan tenglamalarni) yechish haqida gap ketganda, talabalar bir ovozdan bu formulani unutishadi.
Muammoni batafsil tushunish uchun keling, barcha formulalarni bir daqiqaga unutib, ikkita raqamni to'g'ridan-to'g'ri hisoblashga harakat qilaylik:
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \o'ng))^(4)))=?\]
Bular juda oddiy misollar. Ko'pchilik birinchi misolni hal qiladi, lekin ko'p odamlar ikkinchisiga yopishib olishadi. Bunday axlatni muammosiz hal qilish uchun har doim protsedurani ko'rib chiqing:
- Birinchidan, raqam to'rtinchi darajaga ko'tariladi. Xo'sh, bu qandaydir oson. Siz hatto ko'paytirish jadvalida ham topilishi mumkin bo'lgan yangi raqamni olasiz;
- Va endi bu yangi raqamdan to'rtinchi ildizni olish kerak. Bular. ildizlar va kuchlarning "kamayishi" sodir bo'lmaydi - bu ketma-ket harakatlar.
Birinchi ifodani ko'rib chiqamiz: $\sqrt(((3)^(4)))$. Shubhasiz, siz avval ildiz ostidagi ifodani hisoblashingiz kerak:
\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]
Keyin 81 raqamining to'rtinchi ildizini chiqaramiz:
Endi ikkinchi ifoda bilan ham xuddi shunday qilamiz. Birinchidan, biz −3 sonini to'rtinchi darajaga ko'taramiz, bu esa uni o'z-o'zidan 4 marta ko'paytirishni talab qiladi:
\[((\left(-3 \o'ng))^(4))=\left(-3 \o'ng)\cdot \left(-3 \o'ng)\cdot \left(-3 \o'ng)\cdot \ chap (-3 \o'ng)=81\]
Biz ijobiy raqamni oldik, chunki mahsulotdagi minuslarning umumiy soni 4 tani tashkil etadi va ularning barchasi bir-birini bekor qiladi (oxir-oqibat, minus uchun minus plyus beradi). Keyin yana ildizni chiqaramiz:
Aslida, bu qatorni yozish mumkin emas edi, chunki javob bir xil bo'lishi aqlga sig'maydi. Bular. Xuddi shu teng quvvatning teng ildizi minuslarni "yoqadi" va bu ma'noda natija oddiy moduldan farq qilmaydi:
\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \o'ng))^(4)))=\chap| -3 \o'ng|=3. \\ \end (tekislash)\]
Bu hisob-kitoblar juft darajali ildizning ta'rifi bilan yaxshi mos keladi: natija har doim manfiy bo'lmaydi va radikal belgi ham har doim manfiy bo'lmagan sonni o'z ichiga oladi. Aks holda, ildiz aniqlanmagan.
Jarayon haqida eslatma
- $\sqrt(((a)^(2)))$ belgisi birinchi navbatda $a$ raqamini kvadratga aylantirib, keyin olingan qiymatning kvadrat ildizini olishimizni bildiradi. Shuning uchun, ildiz belgisi ostida har doim manfiy bo'lmagan son mavjudligiga ishonch hosil qilishimiz mumkin, chunki har qanday holatda $((a)^(2))\ge 0$;
- Lekin $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ yozuvi, aksincha, biz avval ma'lum $a$ sonning ildizini olamiz va shundan keyingina natijani kvadratga olamiz. Shuning uchun $a$ soni hech qanday holatda salbiy bo'lishi mumkin emas - bu ta'rifga kiritilgan majburiy talab.
Shunday qilib, hech qanday holatda ildizlar va darajalarni o'ylamasdan qisqartirmaslik kerak va shu bilan asl iborani "soddalashtirish" mumkin. Chunki agar ildiz manfiy songa ega bo'lsa va uning ko'rsatkichi juft bo'lsa, biz bir qator muammolarni olamiz.
Biroq, bu muammolarning barchasi faqat hatto ko'rsatkichlar uchun ham tegishli.
Ildiz belgisi ostidagi minus belgisini olib tashlash
Tabiiyki, ko'rsatkichlari toq bo'lgan ildizlar ham o'ziga xos xususiyatga ega, ular printsipial jihatdan juftlarda mavjud emas. Aynan:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
Qisqacha aytganda, g'alati darajadagi ildizlar belgisi ostidan minusni olib tashlashingiz mumkin. Bu barcha kamchiliklarni "tashqariga tashlash" imkonini beruvchi juda foydali xususiyat:
\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \o'ng)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(tuzalash)\]
Ushbu oddiy xususiyat ko'plab hisob-kitoblarni sezilarli darajada osonlashtiradi. Endi tashvishlanishingizga hojat yo'q: agar salbiy ibora ildiz ostida yashiringan bo'lsa-chi, lekin ildizdagi daraja teng bo'lib chiqdi? Ildizlardan tashqaridagi barcha minuslarni "tashlab qo'yish" kifoya qiladi, shundan so'ng ular bir-biriga ko'paytirilishi, bo'linishi va umuman olganda, "klassik" ildizlar holatida bizni olib kelishi kafolatlangan ko'plab shubhali narsalarni qilishlari mumkin. xato.
Va bu erda yana bir ta'rif paydo bo'ladi - xuddi shu ta'rif ko'pchilik maktablarda irratsional iboralarni o'rganishni boshlaydi. Va busiz bizning fikrimiz to'liq bo'lmaydi. Tanishing!
Arifmetik ildiz
Keling, bir lahzaga taxmin qilaylik, ildiz belgisi ostida faqat ijobiy raqamlar yoki o'ta og'ir holatlarda nol bo'lishi mumkin. Keling, juft/toq ko'rsatkichlarni unutaylik, yuqorida keltirilgan barcha ta'riflarni unutaylik - biz faqat manfiy bo'lmagan raqamlar bilan ishlaymiz. Keyin nima?
Va keyin biz arifmetik ildizga ega bo'lamiz - bu bizning "standart" ta'riflarimiz bilan qisman mos keladi, lekin baribir ulardan farq qiladi.
Ta'rif. $a$ manfiy boʻlmagan sonning $n$-chi darajali arifmetik ildizi manfiy boʻlmagan $b$ son boʻlib, $((b)^(n))=a$ boʻladi.
Ko'rib turganimizdek, endi bizni paritet qiziqtirmaydi. Buning o'rniga yangi cheklov paydo bo'ldi: radikal ifoda endi har doim salbiy emas va ildizning o'zi ham salbiy emas.
Arifmetik ildiz odatdagidan qanday farq qilishini yaxshiroq tushunish uchun biz allaqachon tanish bo'lgan kvadrat va kub parabola grafiklarini ko'rib chiqing:
Arifmetik ildiz qidirish maydoni - manfiy bo'lmagan raqamlar Ko'rib turganingizdek, bundan buyon bizni faqat birinchi koordinata choragida joylashgan grafik qismlari qiziqtiradi - bu erda $x$ va $y$ koordinatalari ijobiy (yoki hech bo'lmaganda nolga teng). Manfiy raqamni ildiz ostiga qo'yish huquqiga egamiz yoki yo'qligini tushunish uchun endi indikatorga qarash kerak emas. Chunki manfiy raqamlar endi printsipial jihatdan hisobga olinmaydi.
Siz shunday deb so'rashingiz mumkin: "Xo'sh, nega bizga bunday ta'rif kerak?" Yoki: "Nega biz yuqorida keltirilgan standart ta'rifga erisha olmaymiz?"
Xo'sh, men faqat bitta xususiyatni beraman, shuning uchun yangi ta'rif mos keladi. Masalan, eksponentsiya qoidasi:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Iltimos, diqqat qiling: biz radikal ifodani istalgan kuchga ko'tarishimiz va shu bilan birga ildiz ko'rsatkichini bir xil kuchga ko'paytirishimiz mumkin - natijada bir xil raqam bo'ladi! Mana misollar:
\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]
Xo'sh, nima katta ish? Nega biz buni oldinroq qila olmadik? Mana nima uchun. Oddiy ifodani ko'rib chiqaylik: $\sqrt(-2)$ - bu raqam bizning klassik tushunchamizda juda normal, ammo arifmetik ildiz nuqtai nazaridan mutlaqo qabul qilinishi mumkin emas. Keling, uni aylantirishga harakat qilaylik:
$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2))))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \o'ng))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$
Ko'rib turganingizdek, birinchi holatda biz minusni radikal ostidan olib tashladik (bizda barcha huquqlar bor, chunki ko'rsatkich g'alati), ikkinchi holatda biz yuqoridagi formuladan foydalandik. Bular. Matematik nuqtai nazardan, hamma narsa qoidalarga muvofiq amalga oshiriladi.
WTF?! Qanday qilib bir xil raqam ham ijobiy, ham salbiy bo'lishi mumkin? Bo'lishi mumkin emas. Shunchaki, musbat sonlar va nol uchun ajoyib ishlaydigan eksponentatsiya formulasi salbiy sonlar holatida to'liq bid'atni keltirib chiqara boshlaydi.
Bunday noaniqlikdan xalos bo'lish uchun arifmetik ildizlar ixtiro qilindi. Ularga alohida katta dars bag'ishlangan bo'lib, unda biz ularning barcha xususiyatlarini batafsil ko'rib chiqamiz. Shuning uchun biz hozir ular haqida to'xtalmaymiz - dars juda uzoq bo'lib chiqdi.
Algebraik ildiz: ko'proq bilishni istaganlar uchun
Bu mavzuni alohida paragrafga qo'yamanmi yoki yo'qmi, uzoq o'yladim. Oxir-oqibat, men uni shu erda qoldirishga qaror qildim. Ushbu material ildizlarni yaxshiroq tushunishni istaganlar uchun mo'ljallangan - endi o'rtacha "maktab" darajasida emas, balki Olimpiada darajasiga yaqin.
Demak: sonning $n$-inchi ildizining “klassik” ta’rifi va unga bog‘liq bo‘lgan juft va toq ko‘rsatkichlarga bo‘linishidan tashqari, paritet va boshqa nozikliklarga umuman bog‘liq bo‘lmagan ko‘proq “kattalar” ta’rifi mavjud. Bu algebraik ildiz deyiladi.
Ta'rif. Har qanday $a$ ning $n$-inchi algebraik ildizi $((b)^(n))=a$ boʻladigan barcha $b$ sonlar toʻplamidir. Bunday ildizlar uchun aniq belgi yo'q, shuning uchun biz tepaga chiziqcha qo'yamiz:
\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \o'ng. \o'ng\) \]
Dars boshida berilgan standart ta’rifdan tub farqi shundaki, algebraik ildiz aniq son emas, balki to‘plamdir. Va biz haqiqiy raqamlar bilan ishlaganimiz sababli, bu to'plam faqat uchta turda bo'ladi:
- Bo'sh to'plam. Manfiy sondan juft darajali algebraik ildizni topish kerak bo'lganda paydo bo'ladi;
- Bitta elementdan iborat to'plam. Toq darajalarning barcha ildizlari, shuningdek, nolning juft darajalarining ildizlari shu toifaga kiradi;
- Nihoyat, to'plam ikkita raqamni o'z ichiga olishi mumkin - biz ko'rgan $((x)_(1))$ va $((x)_(2))=-((x)_(1))$ kvadratik funksiya grafigi. Shunga ko'ra, bunday tartibga solish faqat musbat sondan juft darajaning ildizini chiqarganda mumkin.
Oxirgi holat batafsilroq ko'rib chiqishga loyiqdir. Farqni tushunish uchun bir nechta misollarni sanab o'tamiz.
Misol. Ifodalarni baholang:
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
Yechim. Birinchi ifoda oddiy:
\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \o'ng\)\]
Bu to'plamning bir qismi bo'lgan ikkita raqam. Chunki ularning har birining kvadrati to'rtlikni beradi.
\[\overline(\sqrt(-27))=\chap\( -3 \o'ng\)\]
Bu erda biz faqat bitta raqamdan iborat to'plamni ko'ramiz. Bu juda mantiqiy, chunki ildiz ko'rsatkichi g'alati.
Nihoyat, oxirgi ifoda:
\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]
Biz bo'sh to'plam oldik. Chunki to'rtinchi (ya'ni, hatto!) darajaga ko'tarilganda bizga -16 manfiy sonini beradigan bitta haqiqiy son yo'q.
Yakuniy eslatma. E'tibor bering: biz haqiqiy raqamlar bilan ishlayotganimizni hamma joyda ta'kidlaganim yo'q. Chunki murakkab raqamlar ham bor - u erda $\sqrt(-16)$ va boshqa ko'plab g'alati narsalarni hisoblash juda mumkin.
Biroq, zamonaviy maktab matematika kurslarida murakkab raqamlar deyarli hech qachon paydo bo'lmaydi. Ular aksariyat darsliklardan olib tashlangan, chunki bizning rasmiylar mavzuni "tushunish juda qiyin" deb hisoblashadi.
Ana xolos. Keyingi darsda biz ildizlarning barcha asosiy xususiyatlarini ko'rib chiqamiz va nihoyat irratsional ifodalarni qanday soddalashtirishni o'rganamiz. :)
Quvvat va ildizlar bilan operatsiyalar. Daraja salbiy bilan ,
nol va kasr indikator. Hech qanday ma'noga ega bo'lmagan iboralar haqida.
Darajalar bilan operatsiyalar.
1. Bir xil asosli darajalarni ko'paytirishda ularning ko'rsatkichlari qo'shiladi:
a m · a n = a m + n.
2. Asoslari bir xil bo’lgan darajalarni bo’lishda ularning ko’rsatkichlari chegirib tashlanadi .
3. Ikki yoki undan ortiq omillar mahsulotining darajasi bu omillar darajalarining mahsulotiga teng.
(abc… ) n = a n· b n · c n…
4. Nisbat (kasr) darajasi dividend (numerator) va bo‘luvchi (maxraj) darajalari nisbatiga teng:
(a/b ) n = a n / b n.
5. Bir kuchni bir darajaga ko'tarishda ularning ko'rsatkichlari ko'paytiriladi:
(a m ) n = a m n.
Yuqoridagi barcha formulalar o'qiladi va ikkala yo'nalishda chapdan o'ngga va aksincha bajariladi.
MISOL (2 · 3 · 5/15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .
Ildizlar bilan operatsiyalar. Quyidagi barcha formulalarda belgi anglatadi arifmetik ildiz(radikal ifoda ijobiy).
1. Bir necha omillar mahsulotining ildizi mahsulotga teng Ushbu omillarning ildizlari:
2. Nisbatning ildizi dividend va bo'luvchining ildizlari nisbatiga teng:
3. Ildizni kuchga ko'tarishda, bu kuchga ko'tarish kifoya radikal raqam:
4. Agar biz ildiz darajasini oshirsak m gacha oshirish m th daraja radikal son bo'lsa, u holda ildizning qiymati o'zgarmaydi:
5. Agar biz ildiz darajasini pasaytirsak m ildizni bir marta va bir vaqtning o'zida chiqarib oling m radikal sonning th kuchi, keyin ildizning qiymati emas o'zgaradi:
Daraja tushunchasini kengaytirish. Hozircha biz darajalarni faqat tabiiy ko'rsatkichlar bilan ko'rib chiqdik; lekin bilan harakatlar darajalar va ildizlar ham olib kelishi mumkin salbiy, nol Va kasr ko'rsatkichlar. Bu ko'rsatkichlarning barchasi qo'shimcha ta'rifni talab qiladi.
Salbiy ko'rsatkichli daraja. Ayrim sonning kuchi c manfiy (butun) ko'rsatkich bir bo'lingan sifatida aniqlanadi ko'rsatkichi mutlaq qiymatga teng bo'lgan bir xil sonning kuchi bilansalbiy ko'rsatkich:
T endi formula a m: a n= a m - n uchungina emas, balki foydalanish mumkinm, Bundan ko'proq n, balki bilan ham m, dan kichik; .. dan kamroq n .
MISOL a 4 :a 7 =a 4 - 7 =a - 3 .
Agar biz formulani xohlasaka m : a n= a m - nqachon adolatli edim = n, bizga nol daraja ta'rifi kerak.
Nol indeksli daraja. Ko‘rsatkichi nolga teng bo‘lgan har qanday nolga teng bo‘lmagan sonning kuchi 1 ga teng.
MISOLLAR. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Kasr ko'rsatkichli daraja. Haqiqiy raqamni oshirish uchun va quvvatga m/n , siz ildizni chiqarib olishingiz kerak m ning n-chi kuchi - bu raqamning toifasi A :
Hech qanday ma'noga ega bo'lmagan iboralar haqida. Bunday iboralar bir nechta. har qanday raqam.
Haqiqatan ham, agar bu ifoda qandaydir songa teng deb faraz qilsak x, keyin bo'linish operatsiyasining ta'rifiga ko'ra bizda: 0 = 0 · x. Lekin bu tenglik qachon sodir bo'ladi har qanday raqam x, bu isbotlanishi kerak bo'lgan narsa edi.
3-holat.
0 0 - har qanday raqam.
Haqiqatan ham,
Yechim. Keling, uchta asosiy holatni ko'rib chiqaylik:
1) x = 0 – bu qiymat bu tenglamani qanoatlantirmaydi
(Nima uchun?).
2) qachon x> 0 biz olamiz: x/x = 1, ya'ni. 1 = 1, ya'ni
Nima x- istalgan raqam; lekin buni hisobga olgan holda
Bizning holatda x> 0, javobx > 0 ;
3) qachon x < 0 получаем: – x/x= 1, ya'ni e . -1 = 1, shuning uchun
Bu holatda hech qanday yechim yo'q.
Shunday qilib, x > 0.
Ko'pincha, matematik ifodalarni o'zgartirish va soddalashtirish ildizlardan kuchlarga va aksincha o'tishni talab qiladi. Ushbu maqolada ildizni darajaga va orqaga qanday aylantirish haqida gap boradi. Nazariya, amaliy misollar va eng keng tarqalgan xatolar muhokama qilinadi.
Kasr ko'rsatkichli darajalardan ildizlarga o'tish
Aytaylik, ko‘rsatkichi oddiy kasr ko‘rinishidagi son – a m n bo‘lsin. Bunday ifodani ildiz sifatida qanday yozish kerak?
Javob darajaning ta'rifidan kelib chiqadi!
Ta'rif
m n darajali musbat a soni a m sonining n ildizidir.
Bunday holda, quyidagi shart bajarilishi kerak:
a > 0; m ∈ ℤ ; n ∈ ℕ.
Nolning kasr kuchi ham xuddi shunday aniqlanadi, lekin bu holda m soni butun son sifatida emas, balki natural son sifatida olinadi, shuning uchun 0 ga bo'linish sodir bo'lmaydi:
0 m n = 0 m n = 0.
Ta'rifga muvofiq a m n daraja ildiz a m n sifatida ifodalanishi mumkin.
Masalan: 3 2 5 = 3 2 5, 1 2 3 - 3 4 = 1 2 3 - 3 4.
Biroq, yuqorida aytib o'tilganidek, shartlar haqida unutmasligimiz kerak: a > 0; m ∈ ℤ ; n ∈ ℕ.
Shunday qilib, - 8 1 3 ifodasini - 8 1 3 shaklida ifodalab bo'lmaydi, chunki - 8 1 3 belgisi oddiygina ma'noga ega emas - manfiy sonlar darajasi aniqlanmagan.Bundan tashqari, ildizning o'zi - 8 1 3 manoga ega.
Baza va kasr ko'rsatkichlaridagi ifodalar bilan darajalardan o'tish daraja bazasidagi asl iboralarning ruxsat etilgan qiymatlarining (bundan buyon matnda VA deb yuritiladi) butun diapazonida xuddi shunday amalga oshiriladi.
Masalan, x 2 + 2 x + 1 - 4 1 2 ifodani x 2 + 2 x + 1 - 4 ning kvadrat ildizi sifatida yozish mumkin. X 2 + x · y · z - z 3 darajali ifoda - 7 3 bu ifodaning ODZ dan barcha x, y, z uchun x 2 + x · y · z - z 3 - 7 3 ifodasiga aylanadi.
Ildizli ibora o'rniga darajali iboralar yozilsa, ildizlarni darajalar bilan teskari almashtirish ham mumkin. Biz shunchaki oldingi paragrafdagi tenglikni o'zgartiramiz va olamiz:
Shunga qaramay, o'tish ijobiy raqamlar uchun aniq a. Masalan, 7 6 4 = 7 6 4 yoki 2 7 - 5 3 = 2 7 - 5 3.
Salbiy a uchun ildizlar mantiqiy. Masalan - 4 2 6, - 2 3. Biroq, bu ildizlarni vakolatlar shaklida ifodalash mumkin emas - 4 2 6 va - 2 1 3.
Hatto bunday iboralarni kuchlar bilan aylantirish mumkinmi? Ha, agar siz dastlabki o'zgarishlar qilsangiz. Keling, qaysilarini ko'rib chiqaylik.
Quvvatlarning xususiyatlaridan foydalanib, ifodani o'zgartirishingiz mumkin - 4 2 6 .
4 2 6 = - 1 2 · 4 2 6 = 4 2 6.
4 > 0 bo'lgani uchun biz yozishimiz mumkin:
Salbiy sonning toq ildizi bo'lsa, biz quyidagilarni yozishimiz mumkin:
A 2 m + 1 = - a 2 m + 1.
Keyin - 2 3 ifodasi quyidagi shaklni oladi:
2 3 = - 2 3 = - 2 1 3 .
Keling, iboralar mavjud bo'lgan ildizlar qanday asosda ushbu ifodalarni o'z ichiga olgan kuchlar bilan almashtirilishini tushunamiz.
A harfi bilan qandaydir ifodani belgilaymiz. Biroq, biz A m n ni A m n shaklida ifodalashga shoshilmaymiz. Keling, bu erda nimani nazarda tutayotganini tushuntirib beraylik. Masalan, x - 3 2 3 ifodasini birinchi xatboshidagi tenglikka asoslanib, x - 3 2 3 shaklida taqdim qilmoqchiman. Bunday almashtirish faqat x - 3 ≥ 0 uchun mumkin va ODZ dan qolgan x uchun bu mos kelmaydi, chunki manfiy a uchun a m n = a m n formulasi mantiqiy emas.
Shunday qilib, ko'rib chiqilayotgan misolda A m n = A m n ko'rinishidagi transformatsiya ODZni toraytiruvchi transformatsiya bo'lib, A m n = A m n formulasini noto'g'ri qo'llash tufayli ko'pincha xatolar yuzaga keladi.
A m n ildizdan A m n quvvatga to'g'ri o'tish uchun bir nechta fikrlarga rioya qilish kerak:
- Agar m soni butun va toq, n esa natural va juft bo‘lsa, A m n = A m n formulasi o‘zgaruvchilarning butun ODZ uchun amal qiladi.
- Agar m butun va toq son, n esa natural va toq bo‘lsa, u holda A m n ifodasini almashtirish mumkin:
- A ≥ 0 bo'lgan o'zgaruvchilarning barcha qiymatlari uchun A m n bo'yicha;
- on - - A bo'lgan o'zgaruvchilarning barcha qiymatlari uchun A m n< 0 ; - Agar m butun va juft son, n esa har qanday natural son bo‘lsa, A m n ni A m n bilan almashtirish mumkin.
Keling, ushbu qoidalarning barchasini jadvalda jamlaymiz va ulardan foydalanishga bir nechta misollar keltiramiz.
X - 3 2 3 ifodasiga qaytaylik. Bu yerda m = 2 butun va juft son, n = 3 esa natural sondir. Bu shuni anglatadiki, x - 3 2 3 ifoda quyidagi shaklda to'g'ri yoziladi:
x - 3 2 3 = x - 3 2 3.
Keling, ildizlar va kuchlar bilan yana bir misol keltiraylik.
Misol. Ildizni kuchga aylantirish
x + 5 - 3 5 = x + 5 - 3 5 , x > - 5 - - x - 5 - 3 5 , x< - 5
Keling, jadvalda keltirilgan natijalarni asoslaylik. Agar m soni butun va toq, n esa natural va juft bo‘lsa, A m ifodadagi ODZdan barcha o‘zgaruvchilar uchun A ning qiymati musbat yoki manfiy emas (m > 0 uchun). Shuning uchun A m n = A m n.
Ikkinchi variantda, agar m butun son, musbat va toq, n esa tabiiy va toq bo'lsa, A m n qiymatlari ajratiladi. ODZdan A manfiy bo'lmagan o'zgaruvchilar uchun A m n = A m n = A m n. A manfiy bo'lgan o'zgaruvchilar uchun A m n = - A m n = - 1 m · A m n = - A m n = - A m n = - A m n ni olamiz.
m butun va juft son, n esa har qanday natural son bo‘lganda quyidagi holatni ham xuddi shunday ko‘rib chiqamiz. Agar A qiymati ijobiy yoki manfiy bo'lmasa, u holda ODZ dan o'zgaruvchilarning bunday qiymatlari uchun A m n = A m n = A m n. Salbiy A uchun A m n = - A m n = - 1 m · A m n = A m n = A m n ni olamiz.
Shunday qilib, uchinchi holatda, ODZ dan barcha o'zgaruvchilar uchun biz A m n = A m n yozishimiz mumkin.
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing
