Рівняння M(x, y) dx+ N(x, y) dy=0 називається узагальненим однорідним, якщо вдається підібрати таке число k, що ліва частина цього рівняння стає однорідною функцією деякою мірою m щодо x, y, dx і dy за умови, що x вважається величиною першого виміру, y – k‑ го виміру , dx і dy – відповідно нульового та (k-1) -го вимірів. Наприклад, таким буде рівняння. (6.1)
Дійсно, при зробленому припущенні щодо вимірювань
x,
y,
dx
і dy
члени лівої частини 
і dy
матимуть відповідно вимірювання -2, 2 kі
k-1. Прирівнюючи їх, отримуємо умову, якій має задовольняти потрібне число k:
-2 = 2k
=
k-1. Ця умова виконується при k
= -1 (при такому kвсі члени лівої частини аналізованого рівняння матимуть вимір -2). Отже, рівняння (6.1) є узагальненим однорідним.
Узагальнене однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою підстановки 
, де z- Нова невідома функція. Проінтегруємо вказаним методом рівняння (6.1). Так як k
= -1, то 
, Після чого отримуємо рівняння.
Інтегруючи його, знаходимо 
, звідки 
. Це загальне рішення рівняння (6.1).
§ 7. Лінійні диференціальні рівняння 1-го порядку.
Лінійним рівнянням 1-го порядку називається рівняння, лінійне щодо шуканої функції та її похідної. Воно має вигляд:
,
(7.1)
де P(x)
і
Q(x)
– задані безперервні функції від x.
Якщо функція
,
то рівняння (7.1) має вигляд: 
(7.2)
і називається лінійним однорідним рівнянням, інакше 
воно називається лінійним неоднорідним рівнянням.
Лінійне однорідне диференціальне рівняння (7.2) є рівнянням з змінними, що розділяються:
(7.3)
Вираз (7.3) є загальним рішенням рівняння (7.2). Щоб знайти загальне рішення рівняння (7.1), у якому функція P(x) позначає ту ж функцію, що і в рівнянні (7.2), застосуємо прийом, званий методом варіації довільної постійної і що полягає в наступному: постараємося підібрати функцію З = З (x) так, щоб загальне рішення лінійного однорідного рівняння (7.2) було рішенням неоднорідного лінійного рівняння (7.1). Тоді для похідної функції (7.3) отримаємо:
.
Підставляючи знайдену похідну рівняння (7.1), матимемо:
або 
.
Звідки 
, де 
- Довільна постійна. В результаті загальне рішення неоднорідного лінійного рівняння (7.1) буде(7.4) 
Перше доданок у цій формулі представляє загальне рішення (7.3) лінійного однорідного диференціального рівняння (7.2), а друге доданок формули (7.4) є окреме рішення лінійного неоднорідного рівняння (7.1), отримане із загального (7.4) при 
. Цей важливий висновок виділимо як теореми.
Теорема.Якщо відомо одне окреме рішення лінійного неоднорідного диференціального рівняння 
, то всі інші рішення мають вигляд 
, де 
- загальне розв'язання відповідного лінійного однорідного диференціального рівняння.
Однак слід зазначити, що для вирішення лінійного неоднорідного диференціального рівняння 1-го порядку (7.1) частіше застосовується інший метод, який іноді називається методом Бернуллі. Шукатимемо рішення рівняння (7.1) у вигляді 
. Тоді 
. Підставимо знайдену похідну у вихідне рівняння: 
.
Об'єднаємо, наприклад, другий і третій доданки останнього виразу і винесемо функцію u(x)
за дужку: 
(7.5)
Вимагаємо звернення в нуль круглої дужки: 
.
Вирішимо це рівняння, вважаючи довільну постійну C
рівної нулю: 
. Знайденою функцією v(x)
повернімося до рівняння (7.5): 
.
Вирішуючи його, отримаємо: 
.
Отже, загальне рішення рівняння (7.1) має вигляд.
Диференціальні рівняння в узагальнених функціях
Нехай існує рівняння. Якщо - звичайна функція, її рішення є первісна, тобто. Нехай тепер – узагальнена функція.
Визначення. Узагальнена функція називається первісною узагальненою функцією, якщо. Якщо – сингулярна узагальнена функція, то можливі випадки, коли її первинна – регулярна узагальнена функція. Наприклад, первісна є; Первинна є функція, а рішення рівняння можна записати у вигляді: , де.
Є лінійне рівняння -го порядку з постійними коефіцієнтами
де – узагальнена функція. Нехай - диференціальний поліном-го порядку.
Визначення. Узагальненим рішенням диференціального рівняння (8) називається узагальнена функція, для якої виконується співвідношення:
Якщо безперервна функція, тоді єдиним рішенням рівняння (8) є класичне рішення.
Визначення. Фундаментальним рішенням рівняння (8) називається будь-яка узагальнена функція така, що.
Функція Гріна - фундаментальне рішення, що задовольняє граничній, початковій або асимптотичній умові.
Теорема. Рішення рівняння (8) існує і має вигляд:
якщо тільки згортка визначена.
Доведення. Справді, . За якістю згортки слід: .
Неважко побачити, що фундаментальним рішенням цього рівняння є, оскільки
Властивості узагальнених похідних
Операція диференціювання лінійна і безперервна з:
в, якщо;
Кожна узагальнена функція нескінченно диференційована. Справді, якщо, то; у свою чергу і т.д.;
Результат диференціювання залежить від порядку диференціювання. Наприклад, ;
Якщо і то справедлива формула Лейбніца диференціювання твору. Наприклад, ;
Якщо узагальнена функція, то;
Якщо ряд, складений з локально інтегрованих функцій, сходиться рівномірно кожному компакті, його можна почленно диференціювати будь-яку кількість разів (як узагальнену функцію), і отримані ряди будуть сходиться в.
приклад. Нехай
Функція називається функцією Хевісайду чи одиничною функцією. Вона локально інтегрована і може розглядатися як узагальнена функція. Можна знайти її похідну. Відповідно до визначення, тобто. .
Узагальнені функції, що відповідають квадратичним формам з комплексними коефіцієнтами
До цього часу розглядалися виключно квадратичні форми з речовими коефіцієнтами. У цьому вся пункті досліджується простір всіх квадратичних форм з комплексними коефіцієнтами.
Завданням є визначення узагальненої функції, де комплексне число. Однак у загальному випадку не буде однозначною аналітичною функцією. Тому у просторі всіх квадратичних форм виділяють «верхню полуплоскость» квадратичних форм з позитивно визначеною уявною частиною і визначають їм функцію. А саме, якщо квадратична форма належить цій «напівплощині», то належить, де. Така функція є однозначною аналітичною функцією.
Тепер можна порівняти функції узагальнену функцію:
де інтегрування ведеться у всьому просторі. Інтеграл (13) сходиться при і є в цій напівплощині аналітичною функцією. Продовжуючи аналітично цю функцію, визначається функціонал інших значень.
Для квадратичних форм з позитивно визначеною уявною частиною перебувають спеціальні точки функцій і обчислюються відрахування цих функцій у спеціальних точках.
Узагальнена функція аналітично залежить тільки від, а й від коефіцієнтів квадратичної форми. Тим самим є аналітичною функцією у верхній «напівплощині» всіх квадратичних форм виду, де є позитивно визначена форма. Отже, однозначно визначається своїми значеннями на «уявної півосі», тобто на множині квадратичних форм виду, де - позитивно визначена форма.
Натиснувши на кнопку "Завантажити архів", ви завантажуєте потрібний вам файл безкоштовно.
Перед скачуванням даного файлу згадайте про ті хороші реферати, контрольні, курсові, дипломні роботи, статті та інші документи, які лежать незатребуваними у вашому комп'ютері. Це ваша праця, вона повинна брати участь у розвитку суспільства та приносити користь людям. Знайдіть ці роботи та відправте в базу знань.
Ми та всі студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будемо вам дуже вдячні.
Щоб завантажити архів з документом, введіть п'ятизначне число в поле, розташоване нижче, і натисніть кнопку "Завантажити архів"
Подібні документи
Завдання Коші для диференціальних рівнянь. Графік розв'язання диференціального рівняння I порядку. Рівняння з змінними, що розділяються, і що приводяться до однорідного. Однорідні та неоднорідні лінійні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі.
лекція, доданий 18.08.2012
Основні поняття теорії звичайних диференціальних рівнянь. Ознака рівняння у повних диференціалах, побудова загального інтеграла. Найпростіші випадки знаходження інтегруючого множника. Випадок множника, що залежить тільки від Х і тільки Y.
курсова робота , доданий 24.12.2014
Особливості диференціальних рівнянь як співвідношення між функціями та їх похідними. Доказ теореми існування та єдиності рішення. Приклади та алгоритм розв'язання рівнянь у повних диференціалах. Інтегруючий множник у прикладах.
курсова робота , доданий 11.02.2014
Диференціальні рівняння Ріккаті. Загальне рішення лінійного рівняння. Знаходження всіх можливих розв'язків диференціального рівняння Бернуллі. Розв'язання рівнянь з змінними, що розділяються. Загальне та особливе рішення диференціального рівняння Клеро.
курсова робота , доданий 26.01.2015
Рівняння з змінними, що розділяються. Однорідні та лінійні диференціальні рівняння. Геометричні властивості інтегральних кривих. Повний диференціал функції двох змінних. Визначення інтеграла методами Бернуллі та варіації довільної постійної.
реферат, доданий 24.08.2015
Поняття та рішення найпростіших диференціальних рівнянь та диференціальних рівнянь довільного порядку, у тому числі з постійними аналітичними коефіцієнтами. Системи лінійних рівнянь. Асимптотична поведінка рішень деяких лінійних систем.
дипломна робота , доданий 10.06.2010
Загальний інтеграл рівняння, застосування методу Лагранжа на вирішення неоднорідного лінійного рівняння з невідомою функцією. Розв'язання диференціального рівняння у параметричній формі. Умова Ейлера, рівняння першого порядку у повних диференціалах.
контрольна робота , доданий 02.11.2011
Диференціальні рівняння 1-го порядку з змінними, що розділяються.
Визначення.Диференціальним рівнянням з змінними, що розділяються, називається рівняння виду (3.1) або рівняння виду (3.2)
А, щоб у рівнянні (3.1) розділити змінні, тобто. привести це рівняння до так званого рівняння з розділеними змінними, зробити такі дії: 
;
Тепер треба вирішити рівняння g(y)= 0. Якщо воно має речове рішення y=a,то y=aтакож буде рішенням рівняння (3.1).
Рівняння (3.2) наводиться до рівняння з розділеними змінними поділом на твір:
що дозволяє отримати загальний інтеграл рівняння (3.2): 
. (3.3)
Інтегральні криві (3.3) будуть доповнені рішеннями 
якщо такі рішення існують.
Однорідні диференціальні рівняння 1-го порядку.
Визначення 1.Рівняння 1-го порядку називається однорідним, якщо для його правої частини за будь-яких справедливе співвідношення 
, що називається умовою однорідності функції двох змінних нульового виміру.
приклад 1.Показати, що функція – однорідна нульового виміру.
Рішення. 
,
що й потрібно було довести.
Теорема.Будь-яка функція – однорідна і, навпаки, будь-яка однорідна функція нульового виміру наводиться до вигляду.
Доведення.Перше твердження теореми очевидно, т.к. . Доведемо друге твердження. Припустимо, тоді для однорідної функції 
, що й потрібно було довести.
Визначення 2.Рівняння (4.1) у якому Mі N– однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції yза формулою y=zx,де z(x)- Нова потрібна функція. Виконавши цю підстановку в рівнянні (4.2) отримаємо: або або .
Інтегруючи, отримуємо загальний інтеграл рівняння щодо функції z(x) 
, що після повторної заміни дає загальний інтеграл вихідного рівняння. З іншого боку, якщо - коріння рівняння , то функції - рішення однорідного заданого рівняння. Якщо ж , то рівняння (4.2) набуває вигляду
І стає рівнянням з змінними, що розділяються. Його рішеннями є напівпрямі: .
Зауваження.Іноді доцільно замість зазначеної вище підстановки використовувати підстановку x=zy.
Узагальнене однорідне рівняння.
Рівняння M(x,y)dx+N(x,y)dy=0називається узагальненим однорідним, якщо вдається підібрати таке число k, що ліва частина цього рівняння стає однорідною функцією деякою мірою mщодо x, y, dxі dyза умови, що xвважається величиною першого виміру, y – k‑го виміру , dxі dy –відповідно нульового та (k-1)-го вимірів. Наприклад, таким буде рівняння 
. (6.1) Дійсно при зробленому припущенні щодо вимірювань x, y, dxі dyчлени лівої частини та dyматимуть відповідно вимірювання -2, 2 kі k-1. Прирівнюючи їх, отримуємо умову, якій має задовольняти потрібне число k: -2 = 2k=k-1. Ця умова виконується при k= -1 (при такому kвсі члени лівої частини аналізованого рівняння матимуть вимір -2). Отже, рівняння (6.1) є узагальненим однорідним.
def 1 ДК виду
називається однорідним диференціальним рівнянням I порядку(ОДУ).
Th 1 Нехай для функції виконані умови:
1) безперервна при
Тоді ОДУ (1) має загальний інтеграл, який задається формулою:
де - деяка первісна функція з- Довільна константа.
Зауваження 1Якщо за деяких буде виконана умова, то в процесі рішення ОДУ (1) можуть бути втрачені рішення виду до таких випадків треба ставитися уважніше і перевіряти кожен з них окремо.
Таким чином, з теореми Th1слід загальний алгоритм рішення ОДУ (1):
1) Зробити заміну:
2) Таким чином, буде отримано ДК з змінними, що розділяються, яке слід проінтегрувати;
3) Повернутися до старих змінних;
4) Перевірити значення , на їхню причетність до рішення вихідного ДК, за яких буде виконано умову
5) Записати відповідь.
Приклад 1Вирішити ДУ (4).
Рішення:ДУ (4) – це однорідне диференціальне рівняння, оскільки має вигляд (1). Зробимо заміну (3), це призведе до рівняння (4) до вигляду:
Рівняння (5) – це загальний інтеграл ДК (4).
Зауважимо, що при поділі змінних і розподілі на могли бути втрачені рішення, однак не є рішенням ДК (4), що легко перевіряється безпосередньою підстановкою в рівність (4), так як це значення не входить у область визначення вихідного ДК.
Відповідь:
Зауваження 2Іноді зустрічається запис ОДУ через диференціали змінних хі у.Рекомендується від цього запису дистанційного керування перейти до виразу через похідну і тільки потім виконувати заміну (3).
Диференціальні рівняння, що приводяться до однорідних.
def 2 Функцію називають однорідною функцією ступеня k в області, для якої буде виконано рівність:
Ось типи ДК, що найчастіше зустрічаються, які допускають приведення до виду (1) після різних перетворень.
1) де функція є однорідною, ступеня нуль, тобто справедливо рівність: ДК (6) легко наводиться до виду (1), якщо покласти , яке далі інтегрується з використанням заміни (3).
2) (7), де функції є однорідними одного і того ж ступеня k . ДК виду (7) також інтегрується за допомогою заміни (3).
Приклад 2Вирішити ДУ (8).
Рішення:Покажемо, що ДК (8) є однорідним. Розділимо на що можливо, тому що не є рішенням ДК (8).
Зробимо заміну (3), це призведе до рівняння (9) до вигляду:
Рівняння (10) – це загальний інтеграл ДК (8).
Зауважимо, що при розподілі змінних і розподілі на могли бути втрачені рішення, що відповідають значенням і . Перевіримо ці висловлювання. Підставимо їх у ДК (8):
Відповідь:
Цікаво відзначити, що при вирішенні даного прикладу з'являється функція, що називається «знак» числа х(читається « сигнум ікс»), Визначена виразом:
Примітка 3Наводити ДК (6) або (7) до виду (1) не є обов'язковим, якщо очевидно, що ДК є однорідним, то можна і відразу зробити заміну
3) ДУ виду (11), інтегрується як ОДУ якщо , при цьому спочатку виконують підстановку:
(12), де - рішення системи: (13), а потім використовують заміну (3) для функції Після отримання загального інтегралу повертаються до змінних хі у.
Якщо ж , то, вважаючи в рівнянні (11) отримаємо ДК з змінними, що розділяються.
Приклад 3Розв'язати задачу Коші (14).
Рішення:Покажемо, що ДК (14) наводиться до однорідного ДК і інтегрується за вищезгаданою схемою:
Вирішимо неоднорідну систему лінійних рівнянь алгебри (15) методом Крамера:
Зробимо заміну змінних та проінтегруємо отримане рівняння:
(16) - Загальний інтеграл ДК (14). При поділі змінних могли бути втрачені рішення при розподілі на вираз, які можуть бути отримані у явному вигляді після розв'язання квадратного рівняння. Однак вони враховані в загальному інтегралі (16) при
Знайдемо розв'язання задачі Коші: підставимо значення й у загальний інтеграл (16) та знайдемо з.
Таким чином, приватний інтеграл задаватиметься формулою:
Відповідь:
4) Деякі ДУ можна призвести до однорідних для нової, поки невідомої функції, якщо застосувати заміну виду:
При цьому число mпідбирається з умови того, щоб отримане рівняння, якщо це можливо, стало однорідним будь-якої міри. Однак, якщо цього зробити не можна, значить, ДУ, що розглядається, привести до однорідного таким способом не можна.
Приклад 4Вирішити ДУ. (18)
Рішення:Покажемо, що ДК (18) наводиться до однорідного ДК за допомогою підстановки (17) і далі інтегрується з використанням заміни (3):
Знайдемо з:
Таким чином, приватне рішення ДК (24) має вигляд
