Для роботи з поняттям рангу матриці нам знадобляться відомості з теми "Алгебраїчні доповнення та мінори. Види мінорів та алгебраїчних доповнень". Насамперед це стосується терміна "мінор матриці", так як ранг матриці визначатимемо саме через мінори.
Рангом матриціназивають максимальний порядок її мінорів, серед яких є хоча б один, не рівний нулю.
Еквівалентні матриці- матриці, ранги яких рівні між собою.
Пояснимо докладніше. Допустимо, серед мінорів другого порядку є хоча б один, відмінний від нуля. А всі мінори, порядок яких вищий за два, дорівнюють нулю. Висновок: ранг матриці дорівнює 2. Або, наприклад, серед мінорів десятого порядку є хоч один, не рівний нулю. А всі мінори, порядок яких вищий за 10, дорівнюють нулю. Висновок: ранг матриці дорівнює 10.
Позначається ранг матриці $A$ так: $\rang A$ або $r(A)$. Ранг нульової матриці $ O $ вважають рівним нулю, $ R O = 0 $. Нагадаю, що для утворення мінора матриці потрібно викреслювати рядки та стовпці, проте викреслити рядків і стовпців більше, ніж містить сама матриця, неможливо. Наприклад, якщо матриця $ F $ має розмір $ 5 \ times 4 $ (тобто містить 5 рядків і 4 стовпці), то максимальний порядок її мінорів дорівнює чотирьом. Мінори п'ятого порядку утворити вже не вдасться, тому що для них буде потрібно 5 стовпців (а у нас всього 4). Це означає, що ранг матриці $F$ може бути більше чотирьох, тобто. $\rang F≤4$.
У більш загальної формі вищевикладене означає, що й матриця містить $m$ рядків і $n$ стовпців, її ранг неспроможна перевищувати найменшого з чисел $m$ і $n$, тобто. $\rang A≤\min(m,n)$.
У принципі, із самого визначення рангу випливає метод його знаходження. Процес знаходження рангу матриці за визначенням можна схематично уявити так:
Поясню цю схему докладніше. Почнемо міркувати від початку, тобто. із мінорів першого порядку деякої матриці $A$.
- Якщо всі мінори першого порядку (тобто елементи матриці $A$) дорівнюють нулю, то $rang A=0$. Якщо серед мінорів першого порядку є хоча б один, не рівний нулю, то $ Rang A ≥ 1 $. Переходимо до перевірки мінорів другого порядку.
- Якщо всі мінори другого порядку дорівнюють нулю, то $ Rang A = 1 $. Якщо серед мінорів другого порядку є хоча б один, не рівний нулю, то $ Rang A ≥ 2 $. Переходимо до перевірки мінорів третього порядку.
- Якщо всі мінори третього порядку дорівнюють нулю, то $ Rang A = 2 $. Якщо серед мінорів третього порядку є хоча б один, не рівний нулю, то $ Rang A ≥ 3 $. Переходимо до перевірки мінорів четвертого порядку.
- Якщо всі мінори четвертого порядку дорівнюють нулю, то $ Rang A = 3 $. Якщо серед мінорів четвертого порядку є хоч один, не рівний нулю, то $rang A≥ 4$. Переходимо до перевірки мінорів п'ятого порядку і таке інше.
Що чекає на нас наприкінці цієї процедури? Можливо, що серед мінорів k-го порядку знайдеться хоч один, відмінний від нуля, а всі мінори (k+1)-го порядку дорівнюватимуть нулю. Це означає, що k - максимальний порядок мінорів, серед яких є хоча б один, не рівний нулю, тобто. ранг дорівнюватиме k. Можливо, інша ситуація: серед мінорів k-го порядку буде хоч один не рівний нулю, а мінори (k+1)-го порядку утворити вже не вдасться. І тут ранг матриці також дорівнює k. Коротше кажучи, порядок останнього складеного ненульового мінору і дорівнюватиме рангу матриці.
Перейдемо до прикладів, у яких процес перебування рангу матриці за визначенням буде проілюстровано наочно. Ще раз підкреслю, що у прикладах цієї теми ми знаходимо ранг матриць, використовуючи лише визначення рангу. Інші методи (обчислення рангу матриці методом обрамляють мінорів, обчислення рангу матриці методом елементарних перетворень) розглянуті в наступних темах.
До речі, зовсім не обов'язково розпочинати процедуру знаходження рангу з мінорів найменшого порядку, як це зроблено у прикладах №1 та №2. Можна відразу перейти до мінорів вищих порядків (див. приклад №3).
Приклад №1
Знайти ранг матриці $A=\left(\begin(array)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end(array) \right)$.
Ця матриця має розмір $3\times 5$, тобто. містить три рядки та п'ять стовпців. З чисел 3 та 5 мінімальним є 3, тому ранг матриці $A$ не більше 3, тобто. $\rang A≤3$. І ця нерівність очевидна, тому що мінори четвертого порядку утворити ми вже не зможемо, – для них потрібно 4 рядки, а у нас всього 3. Перейдемо безпосередньо до процесу знаходження рангу заданої матриці.
Серед мінорів першого порядку (тобто серед елементів матриці $A$) є ненульові. Наприклад, 5, -3, 2, 7. Взагалі нас не цікавить загальна кількість ненульових елементів. Є хоча б один не рівний нулю елемент – і цього достатньо. Так як серед мінорів першого порядку є хоча б один, відмінний від нуля, то робимо висновок, що $ Rang A ≥ 1 $ і переходимо до перевірки мінорів другого порядку.
Почнемо досліджувати мінори другого порядку. Наприклад, на перетині рядків №1, №2 та стовпців №1, №4 розташовані елементи такого мінору: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right| $. У цього визначника всі елементи другого стовпця дорівнюють нулю, тому сам визначник дорівнює нулю, тобто. $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \7 & 0 \end(array) \right|=0$ (див. властивість №3 у темі властивості визначників). Або ж можна банально обчислити цей визначник, використовуючи формулу №1 з розділу з обчислення визначників другого та третього порядків:
$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \7 & 0 \end(array) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$
Перший перевірений нами мінор другого порядку дорівнював нулю. Що це говорить? Про те, що треба далі перевіряти мінори другого порядку. Або вони всі виявляться нульовими (і тоді ранг дорівнюватиме 1), або серед них знайдеться хоча б один мінор, відмінний від нуля. Спробуємо здійснити більш вдалий вибір, записавши мінор другого порядку, елементи якого розташовані на перетині рядків №1, №2 та стовпців №1 та №5: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 2 7 & 3 \end(array) \right|$. Знайдемо значення цього мінору другого порядку:
$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \7 & 3 \end(array) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$
Цей мінор не дорівнює нулю. Висновок: серед мінорів другого порядку є хоча б один, відмінний від нуля. Отже $ rang A≥ 2 $. Потрібно переходити до вивчення мінорів третього порядку.
Якщо для формування мінорів третього порядку ми вибиратимемо стовпець №2 або стовпець №4, то такі мінори будуть рівними нулю (бо вони будуть містити нульовий стовпець). Залишається перевірити лише один мінор третього порядку, елементи якого розташовані на перетині стовпців №1, №3, №5 та рядків №1, №2, №3. Запишемо цей мінор і знайдемо його значення:
$$ \left|\begin(array)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(array) \right|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$
Отже, всі мінори третього порядку дорівнюють нулю. Останній складений нами ненульовий мінор був другого порядку. Висновок: максимальний порядок мінорів, серед яких є хоча б один, відмінний від нуля, дорівнює 2. Отже, $ Rang A = 2 $.
Відповідь: $ Rang A = 2 $.
Приклад №2
Знайти ранг матриці $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ & 7 & 8 & -7 \end(array) \right)$.
Маємо квадратну матрицю четвертого порядку. Відразу відзначимо, що ранг цієї матриці вбирається у 4, тобто. $\rang A≤ 4$. Приступимо до знаходження рангу матриці.
Серед мінорів першого порядку (тобто серед елементів матриці $A$) є хоча б один, не рівний нулю, тому $Rang A≥ 1$. Переходимо до перевірки мінорів другого порядку. Наприклад, на перетині рядків №2, №3 та стовпців №1 та №2 отримаємо такий мінор другого порядку: $\left| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|$. Обчислимо його:
$$ \left| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|=0-10=-10. $$
Серед мінорів другого порядку є хоча б один, не рівний нулю, тому $ Rang A ≥ 2 $.
Перейдемо до мінорів третього порядку. Знайдемо, наприклад, мінор, елементи якого розташовані на перетині рядків №1, №3, №4 та стовпців №1, №2, №4:
$$ \left | \begin(array) (cccc) -1 & 3 & -3 \ -5 & 0 & 0 \\ 9 & 7 & -7 \end(array) \right|=105-105=0. $$
Оскільки цей мінор третього порядку виявився рівним нулю, необхідно досліджувати інший мінор третього порядку. Або всі вони виявляться рівними нулю (тоді ранг дорівнюватиме 2), або серед них знайдеться хоч один, не рівний нулю (тоді будемо досліджувати мінори четвертого порядку). Розглянемо мінор третього порядку, елементи якого розташовані на перетині рядків №2, №3, №4 та стовпців №2, №3, №4:
$$ \left| \begin(array) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(array) \right|=-28. $$
Серед мінорів третього порядку є хоча б один, відмінний від нуля, тому $ Rang A ≥ 3 $. Переходимо до перевірки мінорів четвертого порядку.
Будь-який мінор четвертого порядку знаходиться на перетині чотирьох рядків і чотирьох стовпців матриці $A$. Інакше кажучи, мінор четвертого порядку - це визначник матриці $A$, оскільки ця матриця таки містить 4 рядки і 4 стовпчика. Визначник цієї матриці був обчислений у прикладі №2 теми "Зниження порядку визначника. Розкладання визначника по рядку (стовпцю)", тому просто візьмемо готовий результат:
$$ \left| \begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3 \\ 4 & -2 & 5 & 1 \\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end (array) \ right | = 86. $$
Отже, мінор четвертого порядку не дорівнює нулю. Мінорів п'ятого порядку утворити ми не можемо. Висновок: найвищий порядок мінорів, серед яких є хоча б один відмінний від нуля, дорівнює 4. Підсумок: $ Rang A = 4 $.
Відповідь: $ Rang A = 4 $.
Приклад №3
Знайти ранг матриці $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end( array) \right)$.
Відразу відзначимо, що дана матриця містить 3 рядки та 4 стовпці, тому $rang A≤3$. У попередніх прикладах ми розпочинали процес знаходження рангу з розгляду мінорів найменшого (першого) порядку. Тут спробуємо відразу перевірити мінори максимально можливого порядку. Для матриці $A$ такими є мінори третього порядку. Розглянемо мінор третього порядку, елементи якого лежать на перетині рядків №1, №2, №3 та стовпців №2, №3, №4:
$$ \left| \begin(array) (ccc) 0 & 2 & -3\ -2 & 5 & 1 \\ -4 & 0 & -5 \end(array) \right|=-8-60-20=-88. $$
Отже, найвищий порядок мінорів, серед яких є хоча б один, не рівний нулю, дорівнює 3. Тому ранг матриці дорівнює 3, тобто. $ Rang A = 3 $.
Відповідь: $ Rang A = 3 $.
Взагалі, перебування рангу матриці за визначенням - у випадку завдання досить трудомістка. Наприклад, у матриці порівняно невеликого розміру $5\times 4$ є 60 мінорів другого порядку. І якщо навіть 59 з них дорівнюватимуть нулю, то 60-й мінор може виявитися ненульовим. Тоді доведеться досліджувати мінори третього порядку, яких у цієї матриці 40 штук. Зазвичай намагаються використовувати менш громіздкі способи, такі як метод обрамляють мінорів або метод еквівалентних перетворень.
Рядок (стовпців). Декілька рядків (стовпців) називаються лінійно незалежними, якщо жодна з них не виражається лінійно через інші. Ранг системи рядків завжди дорівнює рангу системи стовпців, і це число називається рангом матриці.
Ранг матриці – найвищий з порядків різноманітних ненульових мінорів цієї матриці. Ранг нульової матриці будь-якого розміру нуль. Якщо всі мінори другого порядку дорівнюють нулю, то ранг дорівнює одиниці, і т.д.
Ранг матриці – розмірність образу dim (im (A)) (\displaystyle \dim(\operatorname (im) (A)))лінійного, оператора, якому відповідає матриця.
Зазвичай ранг матриці A (\displaystyle A)позначається rang A (\displaystyle \operatorname (rang) A), r A (\displaystyle \operatorname(r) A), rg A (\displaystyle \operatorname (rg) A)або rank A (\displaystyle \operatorname (rank) A). Останній варіант властивий для англійської мови, тоді як перші дві - для німецької, французької та інших мов.
Енциклопедичний YouTube
-
1 / 5
Нехай – прямокутна матриця.
Тоді за визначенням рангом матриці A (\displaystyle A)є:
Теорема (про коректність визначення рангів).Нехай усі мінори матриці A m × n (\displaystyle A_(m\times n))порядку k (\displaystyle k)рівні нулю ( M k = 0 (\displaystyle M_(k)=0)). Тоді ∀ M k + 1 = 0 (\displaystyle \forall M_(k+1)=0)якщо вони існують.
Пов'язані визначення
Властивості
- Теорема (про базисний мінор):Нехай r = rang A , M r (\displaystyle r=\operatorname (rang) A, M_(r))- базисний мінор матриці A (\displaystyle A)тоді:
- Наслідки:
- Теорема (про інваріантність рангу при елементарних перетвореннях):Введемо позначення для матриць, отриманих один з одного елементарними перетвореннями. Тоді справедливе твердження: Якщо A ∼ B (\displaystyle A\sim B), їх ранги рівні.
- Теорема "Кронекера"- "Капеллі"Система лінійних рівнянь алгебри спільна тоді і тільки тоді, коли ранг її основної матриці дорівнює рангу її розширеної матриці. Зокрема:
- Кількість основних змінних системи дорівнює рангу системи.
- Спільна система буде визначена (її рішення єдино), якщо ранг системи дорівнює числу всіх її змінних.
- Нерівність Сільвестру:Якщо Aі Bматриці розмірів m x nі n x k, то
Це окремий випадок наступної нерівності.
- Нерівність Фробеніуса:Якщо AB, BC, ABC правильно визначено, то
Лінійне перетворення та ранг матриці
Нехай A (\displaystyle A)- матриця розміру m × n (\displaystyle m\times n)над полем C (\displaystyle C)(або R (\displaystyle R)). Нехай T (\displaystyle T)- Лінійне перетворення, відповідне A (\displaystyle A)у стандартному базисі; це означає що T(x) = A x (\displaystyle T(x)=Ax). Ранг матриці A (\displaystyle A) - це розмірність області значень перетворення T (\displaystyle T).
Методи
Існує кілька методів знаходження рангу матриці:
- Метод елементарних перетворень
- Метод облямівних мінорів
Будь-яка матриця Aпорядку m×nможна розглядати як сукупність mвекторів рядків або nвекторів стовпців.
Рангомматриці Aпорядку m×nназивається максимальна кількість лінійно незалежних векторів стовпців чи векторів рядків.
Якщо ранг матриці Aдорівнює r, То пишеться:
Знаходження рангу матриці
Нехай Aдовільна матриця порядку m× n. Для знаходження рангу матриці Aзастосуємо до неї спосіб виключення Гауса.
Відзначимо, що якщо на якомусь етапі виключення провідний елемент виявиться рівним нулю, то міняємо місцями цей рядок з рядком, в якому провідний елемент відрізняється від нуля. Якщо виявиться, що немає такого рядка, то переходимо до наступного стовпця і т.д.
Після прямого ходу виключення Гауса отримаємо матрицю, елементи якої під головною діагоналлю дорівнюють нулю. Крім цього, можуть виявитися нульові вектори рядка.
Кількість ненульових векторів рядків і буде рангом матриці A.
Розглянемо це на простих прикладах.
приклад 1.
Помноживши перший рядок на 4 і додавши до другого рядка і помноживши перший рядок на 2 і додавши до третього рядка маємо:
Другий рядок помножимо на -1 і додамо до третього рядка:
Отримали два ненульові рядки і, отже, ранг матриці дорівнює 2.
приклад 2.
Знайдемо ранг наступної матриці:
Помножимо перший рядок на -2 і додамо до другого рядка. Аналогічно обнулимо елементи третього та четвертого рядків першого стовпця:
Обнулили елементи третього та четвертого рядків другого стовпця додаючи відповідні рядки до другого рядка помноженого на число -1.
Число r називається рангом матриці A якщо:
1) в матриці A є мінор порядку r відмінний від нуля;
2) всі мінори порядку (r+1) і вище, якщо вони існують, дорівнюють нулю.
Інакше ранг матриці – це найвищий порядок мінору, відмінного від нуля.
Позначення: rangA, rA або r.
З визначення випливає, що r – ціле додатне число. Для нуль-матриці вважають ранг рівним нулю.Призначення сервісу. Онлайн-калькулятор призначений для знаходження рангу матриці. При цьому рішення зберігається у форматі Word та Excel. див. приклад рішення.
Інструкція. Виберіть розмір матриці, натисніть Далі.
Визначення. Нехай дана матриця рангу r. Будь-який мінор матриці, відмінний від нуля і має порядок r, називається базисним, а рядки та стовпці його складові – базисними рядками та стовпцями.
Згідно з цим визначенням, матриця A може мати кілька базисних мінорів.Ранг одиничної матриці E дорівнює n (кількості рядків).
приклад 1 . Дано дві матриці ,
та їхні мінори 
, 
. Який з них можна прийняти як базисний?
Рішення. Мінор M 1 =0, тому він не може бути базовим для жодної з матриць. Мінор M 2 =-9≠0 і має порядок 2, отже його можна прийняти як базисні матриці A або / і B за умови, що вони мають ранги, рівні 2 . Оскільки detB=0 (як визначник з двома пропорційними стовпцями), rangB=2 і M 2 можна взяти за базисний мінор матриці B. Ранг матриці A дорівнює 3, тому що detA=-27≠0 і, отже, порядок базисного мінору цієї матриці повинен дорівнювати 3, тобто M 2 не є базисним для матриці A . Зазначимо, що у матриці A єдиний базисний мінор, що дорівнює визначнику матриці A .Теорема (про базисний мінор). Будь-який рядок (стовпець) матриці є лінійною комбінацією її базисних рядків (стовпців).
Наслідки з теореми.- Будь-які (r+1) стовпців (рядків) матриці рангу r лінійно залежні.
- Якщо ранг матриці менший за кількість її рядків (стовпців), то її рядки (стовпці) лінійно залежні. Якщо rangA дорівнює числу її рядків (стовпців), то рядки (стовпці) лінійно незалежні.
- Визначник матриці A дорівнює нулю і тоді, коли її рядки (стовпці) лінійно залежні.
- Якщо до рядка (стовпця) матриці додати інший рядок, (стовпець) помножений на будь-яке число, відмінне від нуля, то ранг матриці не зміниться.
- Якщо в матриці закреслити рядок (стовпець), що є лінійною комбінацією інших рядків (стовпців), то ранг матриці не зміниться.
- Ранг матриці дорівнює максимальному числу її лінійно незалежних рядків (стовпців).
- Максимальна кількість лінійно незалежних рядків збігається з максимальним числом лінійно незалежних стовпців.
Приклад 2 . Знайти ранг матриці
.
Рішення. Виходячи з визначення рангу матриці, шукатимемо мінор найвищого порядку, відмінний від нуля. Спочатку перетворимо матрицю до більш простого вигляду. Для цього перший рядок матриці помножимо на (-2) і додамо до другого, потім її помножимо на (-1) і додамо до третього.Визначення. Рангом матриціназивається максимальна кількість лінійно незалежних рядків, що розглядаються як вектори.
Теорема 1 про ранг матриці. Рангом матриціназивається максимальний порядок відмінного від нуля мінора матриці.
Поняття мінору ми вже розбирали на уроці за визначниками, а зараз узагальнимо його. Візьмемо в матриці скільки рядків і скільки стовпців, причому це "скільки-то" має бути менше числа рядків і стовпців матриці, а для рядків і стовпців це "скільки-то" має бути одним і тим же числом. Тоді на перетині скільки рядків і скільки стовпців виявиться матриця меншого порядку, ніж наша вихідна матриця. Визначник це матриці і буде мінором k-го порядку, якщо згадане "скількись" (кількість рядків і стовпців) позначимо через k.
Визначення.Мінор ( r+1)-го порядку, всередині якого лежить обраний мінор r-го порядку, називається називається облямовуючим для даного мінору.
Найчастіше використовуються два способи відшукання рангу матриці. Це спосіб облямівних міноріві спосіб елементарних перетворень(методом Гауса).
При способі обрамляють мінорів використовується наступна теорема.
Теорема 2 про ранг матриці.Якщо з елементів матриці можна скласти мінор r-го порядку, не рівний нулю, то ранг матриці дорівнює r.
При способі елементарних перетворень використовується така властивість:
Якщо шляхом елементарних перетворень отримано трапецієподібну матрицю, еквівалентну вихідній, то рангом цієї матриціє число рядків у ній крім рядків, що повністю складаються з нулів.
Знаходження рангу матриці способом обрамляють мінорів
Облямовуючим мінором називається мінор більшого порядку по відношенню до даного, якщо цей мінорм більшого порядку містить даний мінор.
Наприклад, дана матриця
Візьмемо мінор
оточуючими будуть такі мінори:
Алгоритм знаходження рангу матрицінаступний.
1. Знаходимо не рівні нулю мінори другого порядку. Якщо всі мінори другого порядку дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнюватиме одиниці ( r =1 ).
2. Якщо існує хоча б один мінор другого порядку, не рівний нулю, то складаємо мінори третього порядку. Якщо всі обрамляють мінори третього порядку дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює двом ( r =2 ).
3. Якщо хоча б один з мінерів третього порядку, що облямовують, не дорівнює нулю, то складаємо обрамляючі його мінори. Якщо всі обрамляють мінори четвертого порядку дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює трьом ( r =2 ).
4. Продовжуємо так, поки дозволяє розмір матриці.
приклад 1.Знайти ранг матриці
.Рішення. Мінор другого порядку
.Обрамляємо його. Обрамляють мінорів буде чотири:
,
,Таким чином, усі обрамляючі мінори третього порядку дорівнюють нулю, отже, ранг даної матриці дорівнює двом ( r =2 ).
приклад 2.Знайти ранг матриці
Рішення. Ранг даної матриці дорівнює 1, так як всі мінори другого порядку цієї матриці дорівнюють нулю (у цьому, як і у випадках обрамляють мінорів у двох наступних прикладах, дорогим студентам пропонується переконатися самостійно, можливо, використовуючи правила обчислення визначників), а серед мінорів першого порядку тобто серед елементів матриці, є не рівні нулю.
приклад 3.Знайти ранг матриці
Рішення. Мінор другого порядку цієї матриці у всі мінори третього порядку цієї матриці дорівнюють нулю. Отже, ранг цієї матриці дорівнює двом.
приклад 4.Знайти ранг матриці
Рішення. Ранг цієї матриці дорівнює 3, так як єдиний мінор третього порядку цієї матриці дорівнює 3.
Знаходження рангу матриці способом елементарних перетворень (методом Гауса)
Вже на прикладі 1 видно, що завдання визначення рангу матриці способом обрамляють мінорів вимагає обчислення великої кількості визначників. Існує, однак, спосіб, що дозволяє звести обсяг обчислень до мінімуму. Цей спосіб заснований на використанні елементарних перетворень матриць і називається також методом Гаусса.
Під елементарними перетвореннями матриці розуміються такі операції:
1) множення будь-якого рядка або якогось стовпця матриці на число, відмінне від нуля;
2) додавання до елементів будь-якого рядка або будь-якого стовпця матриці відповідних елементів іншого рядка або стовпця, помножених на те саме число;
3) зміна місцями двох рядків чи стовпців матриці;
4) видалення "нульових" рядків, тобто таких, всі елементи яких дорівнюють нулю;
5) видалення всіх пропорційних рядків, крім одного.
Теорема.При елементарному перетворенні ранг матриці не змінюється. Іншими словами, якщо ми є елементарними перетвореннями від матриці Aперейшли до матриці B, то.
