Generaliserade homogena differentialekvationer av första ordningen. Föreläsning differentialekvationer Egenskaper för generaliserade derivator

Ekvationen M(x, y) dx+ N(x, y) dy=0 kallas en generaliserad homogen om det är möjligt att välja ett sådant nummer k, att den vänstra sidan av denna ekvation blir en homogen funktion av någon grad m relativt x, y, dx Och dy förutsatt att x anses vara värdet av den första dimensionen, y – k‑ e mätningarna , dx Och dy – respektive noll och (k-1) e mätningarna. Detta skulle till exempel vara ekvationen. (6.1)

Gäller under gjorda antaganden om mått

x, y, dx Och dy medlemmar på vänster sida
Och dy kommer att ha måtten -2 respektive 2 k Och k-1. Genom att likställa dem får vi ett villkor som det önskade antalet måste uppfylla k: -2 = 2k = k-1. Detta villkor är uppfyllt när k = -1 (med detta k alla termer på vänster sida av ekvationen i fråga kommer att ha dimensionen -2). Följaktligen är ekvation (6.1) generaliserad homogen.

Den generaliserade homogena ekvationen reduceras till en ekvation med separerbara variabler med hjälp av substitution
, Var z– ny okänd funktion. Låt oss integrera ekvation (6.1) med den angivna metoden. Därför att k = -1, alltså
, varefter vi får ekvationen.

Att integrera det, finner vi
, var
. Detta är en generell lösning till ekvation (6.1).

§ 7. Linjära differentialekvationer av 1:a ordningen.

En linjär 1:a ordningens ekvation är en ekvation som är linjär med avseende på den önskade funktionen och dess derivata. Det ser ut som:

, (7.1)

Var P(x) Och F(x) – ges kontinuerliga funktioner av x. Om funktionen
, då har ekvation (7.1) formen:
(7.2)

och kallas en linjär homogen ekvation, annars
det kallas en linjär inhomogen ekvation.

Den linjära homogena differentialekvationen (7.2) är en ekvation med separerbara variabler:

(7.3)

Uttryck (7.3) är den allmänna lösningen av ekvation (7.2). För att hitta en generell lösning till ekvation (7.1), där funktionen P(x) betecknar samma funktion som i ekvation (7.2), tillämpar vi en teknik som kallas metoden för variation av en godtycklig konstant och består av följande: vi ska försöka välja funktionen C=C(x) så att den allmänna lösningen till den linjära homogena ekvationen (7.2) skulle vara en lösning på den inhomogena linjära ekvationen (7.1). Sedan för derivatan av funktion (7.3) får vi:

.

Om vi ​​ersätter den hittade derivatan i ekvation (7.1), kommer vi att ha:

eller
.

Var
, Var - godtycklig konstant. Som ett resultat kommer den allmänna lösningen till den inhomogena linjära ekvationen (7.1) att vara (7.4)

Den första termen i denna formel representerar den allmänna lösningen (7.3) av den linjära homogena differentialekvationen (7.2), och den andra termen i formeln (7.4) är en speciell lösning av den linjära inhomogena ekvationen (7.1), erhållen från den allmänna (7.1) 7.4) med
. Vi lyfter fram denna viktiga slutsats i form av ett teorem.

Sats. Om en speciell lösning av en linjär inhomogen differentialekvation är känd
, då har alla andra lösningar formen
, Var
- allmän lösning av motsvarande linjära homogena differentialekvation.

Det bör dock noteras att för att lösa den linjära inhomogena differentialekvationen av 1:a ordningen (7.1) används oftare en annan metod, ibland kallad Bernoulli-metoden. Vi kommer att leta efter en lösning till ekvation (7.1) i formuläret
. Sedan
. Låt oss ersätta den hittade derivatan i den ursprungliga ekvationen:
.

Låt oss kombinera till exempel den andra och tredje termen i det sista uttrycket och extrahera funktionen u(x) bakom fästet:
(7.5)

Vi kräver att parentesen ogiltigförklaras:
.

Låt oss lösa denna ekvation genom att sätta en godtycklig konstant C lika med noll:
. Med funna funktionen v(x) Låt oss återgå till ekvation (7.5):
.

När vi löser det får vi:
.

Följaktligen har den allmänna lösningen till ekvation (7.1) formen.

Differentialekvationer i generaliserade funktioner

Låt det finnas en ekvation. Om är en vanlig funktion, så är dess lösning ett antiderivat, det vill säga. Låt nu vara en generaliserad funktion.

Definition. En generaliserad funktion kallas en primitiv generaliserad funktion if. Om är en singular generaliserad funktion, så finns det möjliga fall då dess antiderivata är en vanlig generaliserad funktion. Till exempel är ett antiderivat; antiderivatan är en funktion, och lösningen till ekvationen kan skrivas på formen: , där.

Det finns en linjär ekvation av ordningen med konstanta koefficienter

var är en generaliserad funktion. Låta vara ett differentialpolynom av th ordningen.

Definition. En generaliserad lösning av differentialekvationen (8) är en generaliserad funktion för vilken följande relation gäller:

Om är en kontinuerlig funktion, så är den enda lösningen till ekvation (8) den klassiska lösningen.

Definition. En grundläggande lösning till ekvation (8) är vilken generaliserad funktion som helst som.

Greens funktion är en grundläggande lösning som uppfyller ett gräns-, initial- eller asymptotiskt tillstånd.

Sats. En lösning till ekvation (8) finns och har formen:

om inte faltning är definierad.

Bevis. Verkligen,. Enligt faltningsegenskapen följer det: .

Det är lätt att se att den grundläggande lösningen på denna ekvation är, eftersom

Egenskaper hos generaliserade derivat

Funktionen för differentiering är linjär och kontinuerlig från till:

i, om i;

Varje generaliserad funktion är oändligt differentierbar. Ja, om, då; i sin tur etc.;

Resultatet av differentieringen beror inte på differentieringsordningen. Till exempel, ;

Om och, då är Leibniz formel för differentiering av en produkt giltig. Till exempel, ;

Om det är en generaliserad funktion, då;

Om en serie som består av lokalt integrerbara funktioner konvergerar enhetligt på varje kompakt uppsättning, då kan den differentieras term-för-term hur många gånger som helst (som en generaliserad funktion), och den resulterande serien kommer att konvergera in.

Exempel. Låta

Funktionen kallas för Heaviside-funktionen eller enhetsfunktionen. Den är lokalt integrerbar och kan därför betraktas som en generaliserad funktion. Du kan hitta dess derivata. Enligt definitionen, dvs. .

Generaliserade funktioner som motsvarar kvadratiska former med komplexa koefficienter

Hittills har endast kvadratiska former med reella koefficienter beaktats. I detta avsnitt studerar vi utrymmet för alla kvadratiska former med komplexa koefficienter.

Uppgiften är att bestämma den generaliserade funktionen, där är ett komplext tal. Men i det allmänna fallet kommer det inte att finnas en unik analytisk funktion av. Därför, i utrymmet för alla kvadratiska former, isoleras det "övre halvplanet" av kvadratiska former med en positiv bestämd imaginär del och en funktion bestäms för dem. Nämligen, om en kvadratisk form tillhör detta "halvplan", så antas det var. En sådan funktion är en unik analytisk funktion av.

Vi kan nu associera funktionen med en generaliserad funktion:

där integrationen genomförs över hela utrymmet. Integral (13) konvergerar vid och är en analytisk funktion i detta halvplan. Fortsätter denna funktion analytiskt, bestäms funktionaliteten för andra värden.

För kvadratiska former med en positiv bestämd imaginär del, hittas funktionernas singularpunkter och resterna av dessa funktioner vid singularpunkterna beräknas.

Den generaliserade funktionen beror analytiskt inte bara på, utan också på koefficienterna för den kvadratiska formen. Det är alltså en analytisk funktion i det övre "halvplanet" av alla kvadratiska former av formen där det finns en positiv bestämd form. Följaktligen bestäms det unikt av dess värden på den "imaginära halvaxeln", det vill säga på uppsättningen av kvadratiska former av formen, där är en positiv bestämd form.

Genom att klicka på knappen "Ladda ner arkiv" laddar du ner filen du behöver helt kostnadsfritt.
Innan du laddar ner den här filen, tänk på de bra uppsatser, tester, terminsuppsatser, avhandlingar, artiklar och andra dokument som ligger outtagna på din dator. Det här är ditt arbete, det ska delta i samhällets utveckling och gynna människor. Hitta dessa verk och skicka in dem till kunskapsbasen.
Vi och alla studenter, doktorander, unga forskare som använder kunskapsbasen i sina studier och arbete kommer att vara er mycket tacksamma.

För att ladda ner ett arkiv med ett dokument, ange ett femsiffrigt nummer i fältet nedan och klicka på knappen "Ladda ner arkiv"

Liknande dokument

Cauchyproblem för differentialekvationer. Graf över lösningen till en differentialekvation av första ordningen. Ekvationer med separerbara variabler och reducerande till en homogen ekvation. Homogena och inhomogena linjära ekvationer av första ordningen. Bernoullis ekvation.

föreläsning, tillagd 2012-08-18


Grundbegrepp i teorin om vanliga differentialekvationer. Tecken på en ekvation i totala differentialer, konstruktion av en generell integral. De enklaste fallen att hitta den integrerande faktorn. Fallet med en multiplikator som endast beror på X och endast på Y.

kursarbete, tillagd 2014-12-24


Funktioner hos differentialekvationer som samband mellan funktioner och deras derivator. Bevis på teoremet om existens och lösningens unika karaktär. Exempel och algoritm för att lösa ekvationer i totala differentialer. Integrerande faktor i exempel.

kursarbete, tillagt 2014-11-02


Riccati differentialekvationer. Allmän lösning av en linjär ekvation. Att hitta alla möjliga lösningar på Bernoullis differentialekvation. Lösa ekvationer med separerbara variabler. Allmänna och speciallösningar av Clairauts differentialekvation.

kursarbete, tillagd 2015-01-26


Ekvation med separerbara variabler. Homogena och linjära differentialekvationer. Geometriska egenskaper hos integralkurvor. Fullständig differential av en funktion av två variabler. Bestämning av integralen med Bernoulli-metoder och variationer av en godtycklig konstant.

abstrakt, tillagt 2015-08-24


Begrepp och lösningar av de enklaste differentialekvationer och differentialekvationer av godtycklig ordning, inklusive de med konstanta analytiska koefficienter. System av linjära ekvationer. Asymptotiskt beteende hos lösningar av vissa linjära system.

avhandling, tillagd 2010-10-06


Allmän integral av en ekvation, tillämpning av Lagrangemetoden för att lösa en inhomogen linjär ekvation med okänd funktion. Lösa en differentialekvation i parametrisk form. Eulers tillstånd, första ordningens ekvation i totala differentialer.

test, tillagt 2011-02-11

1:a ordningens differentialekvationer med separerbara variabler.

Definition. En differentialekvation med separerbara variabler är en ekvation av formen (3.1) eller en ekvation av formen (3.2)

För att separera variablerna i ekvation (3.1), dvs. reducera denna ekvation till den så kallade separerade variabelekvationen, gör följande: ;

Nu måste vi lösa ekvationen g(y)= 0. Om det har en riktig lösning y=a, Den där y=a kommer också att vara en lösning på ekvation (3.1).

Ekvation (3.2) reduceras till en separerad ekvation genom att dividera med produkten:

, vilket tillåter oss att erhålla den allmänna integralen av ekvation (3.2): . (3.3)

Integralkurvor (3.3) kommer att kompletteras med lösningar , om sådana lösningar finns.

Homogena differentialekvationer av 1:a ordningen.

Definition 1. En första ordningens ekvation kallas homogen om dess högra sida uppfyller relationen , kallat villkoret för homogenitet för en funktion av två variabler med nolldimension.

Exempel 1. Visa att funktionen är homogen med nolldimension.

Lösning. ,

Q.E.D.

Sats. Vilken funktion som helst är homogen och omvänt reduceras varje homogen funktion med nolldimension till formen .

Bevis. Det första påståendet i satsen är uppenbart, eftersom . Låt oss bevisa det andra påståendet. Låt oss sätta då för en homogen funktion , vilket var det som behövde bevisas.

Definition 2. Ekvation (4.1) där M Och N– homogena funktioner av samma grad, d.v.s. har egenskapen för alla , kallad homogen. Uppenbarligen kan denna ekvation alltid reduceras till formen (4.2), även om detta kanske inte är nödvändigt för att lösa den. En homogen ekvation reduceras till en ekvation med separerbara variabler genom att ersätta den önskade funktionen y enligt formeln y=zx, Var z(x)– ny nödvändig funktion. Efter att ha utfört denna substitution i ekvation (4.2) får vi: eller eller .

Genom att integrera får vi den allmänna integralen av ekvationen med avseende på funktionen z(x) , som efter upprepad ersättning ger den allmänna integralen av den ursprungliga ekvationen. Dessutom, om är ekvationens rötter, så är funktionerna lösningar till en homogen given ekvation. Om , så tar ekvation (4.2) formen

Och det blir en ekvation med separerbara variabler. Dess lösningar är halvdirekta: .

Kommentar. Ibland är det lämpligt att använda substitutionen istället för ovanstående substitution x=zy.

Generaliserad homogen ekvation.

Ekvationen M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 kallas en generaliserad homogen om det är möjligt att välja ett sådant nummer k, att den vänstra sidan av denna ekvation blir en homogen funktion av någon grad m relativt x, y, dx Och dy förutsatt att x anses vara värdet av den första dimensionen, y – k‑ e mätningarna ,dx Och dy – respektive noll och (k-1) e mätningarna. Detta skulle till exempel vara ekvationen . (6.1) Gäller under det antagande som gjorts beträffande mätningar x, y, dx Och dy medlemmar av vänster sida och dy kommer att ha måtten -2 respektive 2 k Och k-1. Genom att likställa dem får vi ett villkor som det erforderliga antalet måste uppfylla k: -2 = 2k=k-1. Detta villkor är uppfyllt när k= -1 (med detta k alla termer på vänster sida av ekvationen i fråga kommer att ha dimensionen -2). Följaktligen är ekvation (6.1) generaliserad homogen.

def 1 DU typ

kallad homogen differentialekvation av första ordningen(ODU).

Th 1 Låt följande villkor vara uppfyllda för funktionen:

1) kontinuerlig kl

Då har ODE (1) en allmän integral, som ges av formeln:

var är någon antiderivata av funktionen Medär en godtycklig konstant.

Anteckning 1 Om för vissa villkoret är uppfyllt, kan lösningar av formuläret gå förlorade i processen för att lösa ODE (1), sådana fall måste behandlas mer noggrant och var och en av dem måste kontrolleras separat.

Alltså från satsen Th1 skall allmän algoritm för att lösa ODE (1):

1) Byt ut:

2) Således kommer en differentialekvation med separerbara variabler att erhållas, som bör integreras;

3) Återgå till gamla gvariabler;

4) Kontrollera värdena för deras inblandning i lösningen original fjärrkontroll, under vilket villkoret kommer att vara uppfyllt

5) Skriv ner svaret.

Exempel 1 Lös DE (4).

Lösning: DE (4) är en homogen differentialekvation, eftersom den har formen (1). Låt oss göra en förändring (3), detta kommer att få ekvation (4) till formen:

Ekvation (5) är den allmänna integralen av DE (4).

Observera att när man separerar variabler och dividerar med kan lösningar gå förlorade, men detta är inte en lösning på DE (4), som lätt kan verifieras genom direkt substitution i likhet (4), eftersom detta värde inte ingår i definitionsdomänen av den ursprungliga DE.

Svar:

Anteckning 2 Ibland kan du skriva ODEs i termer av differentialer av variabler X Och u. Det rekommenderas att gå från denna notation av fjärrkontrollen till uttrycket genom derivatan och först därefter utföra bytet (3).

Differentialekvationer reducerade till homogena.

def 2 Funktionen kallas homogen funktion av grad k i området, för vilken jämställdheten kommer att vara uppfylld:

Här är de vanligaste typerna av differentialekvationer som kan reduceras till form (1) efter olika transformationer.

1) var är funktionen är homogen, grad noll, det vill säga likheten är giltig: DE (6) reduceras lätt till formen (1), om vi sätter , som integreras ytterligare med hjälp av ersättning (3).

2) (7), där funktionerna är homogena i samma grad k . DE av formen (7) är också integrerad med hjälp av substitution (3).

Exempel 2 Lös DE (8).

Lösning: Låt oss visa att DE (8) är homogen. Låt oss dividera med vad som är möjligt, eftersom det inte är en lösning på DE (8).

Låt oss göra en förändring (3), detta kommer att få ekvation (9) till formen:

Ekvation (10) är den allmänna integralen av DE (8).

Observera att när du separerar variabler och dividerar med kan lösningar som motsvarar värdena för och gå förlorade. Låt oss kontrollera dessa uttryck. Låt oss ersätta dem med DE (8):

Svar:

Det är intressant att notera att när man löser det här exemplet visas en funktion som kallas "tecknet" för talet X(läser" signum x"), definieras av uttrycket:

Anmärkning 3 Att reducera DE (6) eller (7) till formen (1) är inte nödvändigt; om det är uppenbart att DE är homogent kan du omedelbart göra ersättningen

3) En DE av formen (11) integreras som en ODE om , och substitutionen utförs initialt:

(12), var är systemets lösning: (13), och använd sedan ersättning (3) för funktionen. Efter att ha mottagit den allmänna integralen återgår de till variablerna X Och på.

Om , då, med antagande i ekvation (11), får vi en differentialekvation med separerbara variabler.

Exempel 3 Lös Cauchy-problemet (14).

Lösning: Låt oss visa att DE (14) reduceras till en homogen DE och integreras enligt ovanstående schema:

Låt oss lösa det inhomogena systemet av linjära algebraiska ekvationer (15) med hjälp av Cramer-metoden:

Låt oss göra en förändring av variabler och integrera den resulterande ekvationen:

(16) – Allmän integral av DE (14). Vid separering av variabler kan lösningar gå förlorade vid division med ett uttryck, vilket kunde erhållas explicit efter att ha löst andragradsekvationen. De beaktas dock i den allmänna integralen (16) kl

Låt oss hitta en lösning på Cauchy-problemet: ersätt värdena och in i den allmänna integralen (16) och hitta Med.

Således kommer den partiella integralen att ges av formeln:

Svar:

4) Det är möjligt att reducera vissa differentialekvationer till homogena för en ny, ännu okänd funktion om vi tillämpar en substitution av formen:

I det här fallet numret m väljs från villkoret att den resulterande ekvationen, om möjligt, blir homogen i någon grad. Men om detta inte kan göras, kan den aktuella DE inte reduceras till en homogen på detta sätt.

Exempel 4 Lös DE. (18)

Lösning: Låt oss visa att DE (18) reduceras till en homogen DE med hjälp av substitution (17) och är ytterligare integrerad med hjälp av substitution (3):

Låt oss hitta Med:

Således har en speciell lösning av DE (24) formen