Elementära funktioner och deras graf. Linjär funktion

Klass: 8

Presentation för lektionen

Tillbaka framåt

Uppmärksamhet! Förhandsvisningar av bilder är endast i informationssyfte och representerar kanske inte alla funktioner i presentationen. Om du är intresserad av detta arbete, ladda ner den fullständiga versionen.

Lektionstyp: lektion att upptäcka ny kunskap.

Grundläggande mål:

• bilda sig en uppfattning om funktionen y = kx 2, dess egenskaper och grafik;
• upprepa och förstärk: funktionsdetaljer y = x 2, egenskaper hos funktionen, kända från årskurs 7.

Demomaterial:

1) Algoritm för att konstruera en graf för en funktion:

2) Regeln för att bestämma grafens placering beroende på koefficienten k:

3) självständigt arbete: I fig. grafer för funktionerna y = kx visas 2 .

Ange motsvarande koefficientvärde för varje graf Till.

4) ett prov för självtestande självständigt arbete.

Handout:

1) kort:

1:a, 2:a gruppen:

Graffunktioner y = 2X 2 , y = 4X

3, 4 grupp:

Graffunktioner y =– 2X 2 , y = – 4X 2 och bestäm i vilka koordinatkvartal som graferna för dessa funktioner är placerade. Dra en slutsats om koefficienten k.

2) kort för eftertanke:

UNDER KLASSERNA

1. Motivation för lärandeaktiviteter

Mål:

• organisera uppdatering av krav för studenten när det gäller utbildningsaktiviteter;
• organisera studentaktiviteter för att skapa tematiska ramar: vi fortsätter att arbeta med funktioner;
• skapa förutsättningar för eleven att utveckla ett internt behov av inkludering i pedagogisk verksamhet.

Organisation av utbildningsprocessen i steg 1:

- Hallå! Vilka intressanta saker har du lärt dig under tidigare lektioner? (Vi studerade funktionen y = | x |, grafen för denna funktion och dess egenskaper.)
– Idag kommer du att fortsätta att bekanta dig med nya funktioner.
– På vilket humör kommer du att jobba idag? (Med trevligt humör).
- Jag önskar er framgång!

2. Uppdatera kunskap och fixa svårigheter i enskilda aktiviteter

Mål:

• uppdatera utbildningsinnehåll som är nödvändigt och tillräckligt för uppfattningen av nytt material.
• registrera uppdaterade handlingsmetoder i tal och tecken;
• organisera en generalisering av uppdaterade handlingsmetoder;
• motivera att slutföra en individuell uppgift;
• organisera självständigt slutförande av en individuell uppgift för ny kunskap;
• organisera registrering av individuella svårigheter i elevernas utförande av en enskild uppgift eller motivera den.

Organisation av utbildningsprocessen i steg 2:

Analysera flera bilder 2-5 och svara på frågan:

– Vilket schema kommer du att arbeta med idag? (Med en parabel).

– Välj vilken funktion som är grafen för en parabel på = X + 2, på = 2/X, y = x 2 ?(y = x 2 . Vi studerade denna funktion i årskurs 7).

– Namnge den numeriska koefficienten för funktionen y = x 2 . (Det är lika med 1)

– I vilka koordinatkvartal ligger funktionens graf? y = x 2 , Vad är definitionsområdet och värdeintervallet för denna funktion, intervallen för ökning och minskning? (Graf för funktionen y = x 2 ligger i 1:a och 2:a koordinatkvarten eller i det övre halvplanet, definitionsdomänen är hela tallinjen, värdeintervallet är funktionen y = x 2 tar icke-negativa värden; ökar med x > 0, minskar med x < 0.)

– Låt oss diskutera vad som händer vid andra värden av koefficienten.

– Formulera ämnet för lektionen. (Funktion y = kx 2 , dess egenskaper och graf).

1) En tabell har upprättats på tavlan. Hitta motsvarande funktionsvärden:

y = 2X 2
y = 4X 2
y =– 2X 2
y =– 4X 2

- Fyll bordet. 4 elever kallas till styrelsen i följd.

2) Funktionsdiagram y = kx 2 passerar genom punkt A(2;8). Bestäm värdet på koefficienten. Skriv ner funktionen. (k = 2, y = 2x 2 ).

3) Vilken plan brukar du använda för att plotta funktioner? Bild 7.

(Nödvändigt -
1. Fyll i värdetabellen
2. Konstruera punkter på koordinatplanet
3. Anslut de konstruerade punkterna med en jämn linje
4. Skriv namnet på funktionen.)

-Vad upprepade du?

– Och nu, med hjälp av allt du just har upprepat och lärt dig, föreslår jag att du slutför följande uppgift:
Graffunktioner y = 2X 2 , y = – 4X 2 och bestäm i vilka koordinatkvartal som graferna för dessa funktioner är placerade. Avsluta hur grafen ligger beroende på koefficienten k.

Eleverna arbetar på millimeterpapper.

– Vem har inte resultat?
– Vad kunde du inte göra? (Jag kunde inte__________________)
– Visa resultatet av vem som utfört bygget.
– Hur kan du bevisa att du utfört uppgiften korrekt? (Jag måste___________)
– Vad ska du använda för att bevisa det? (__________.)
– Vad kunde du inte göra?
– Vilken regel använde du när du byggde?
- Det kan du inte göra?

3. Identifiera orsakerna till svårigheten

Mål:

• organisera korrelationen mellan dina handlingar med de standarder som används (algoritm, koncept, etc.);
• på grundval av detta, organisera identifieringen och inspelningen i externt tal av orsaken till svårigheten - de specifika kunskaper och färdigheter som saknas för att lösa det ursprungliga problemet.

Organisation av utbildningsprocessen i steg 3:

– Vilken uppgift var du tvungen att utföra?
– Vad använde du för att slutföra uppgiften?
– Var uppstod svårigheten?
– Vad är orsaken till svårigheten? (Vi har inte ett sätt att bestämma hur grafen för funktionen y = kx2 ligger beroende på koefficienten k.)

4. Problematisk förklaring av ny kunskap

Mål:

• organisera inställning av lektionsmålet;
• organisera förtydligande och överenskommelse om ämnet för lektionen;
• organisera en ledande eller stimulerande dialog om problematisk introduktion av ny kunskap;
• organisera användningen av objektiva åtgärder med modeller, diagram, egenskaper etc.;
• organisera inspelningen av en ny handlingsmetod i tal;
• organisera fixeringen av en ny handlingsmetod i tecken;
• korrelera ny kunskap med en regel i en lärobok, uppslagsbok, ordbok etc.
• organisera ett register över att övervinna svårigheten.

Organisation av utbildningsprocessen i steg 4:

– Formulera syftet med din aktivitet. (Hitta ett sätt att bestämma hur grafen för funktionen y = kx är placerad 2 beroende på koefficienten k.)

– Ange ämnet för lektionen. (Funktion y = kx 2 , dess egenskaper och graf). Bild 6.

– Och nu kommer ni att arbeta i grupper: Bild 8.

1:a, 2:a gruppen:

Graffunktioner y = 2X 2 , y = 4X 2 och bestäm i vilka koordinatkvartal som graferna för dessa funktioner är placerade. Dra en slutsats om koefficienten k.

3, 4 grupp:

Graffunktioner y = – 2X 2 ,y = – 4X 2 och bestäm i vilka koordinatkvartal som graferna för dessa funktioner är placerade. Dra en slutsats om koefficienten k.

Varje grupp får ett kort. (Om svårigheter uppstår kan eleverna använda en lärobok eller uppslagsbok.)

– Presentera din version av algoritmen.

Varje grupp presenterar sin egen version, de andra kompletterar och förtydligar. Efter överenskommelse anslås regeln på tavlan:

Läraren tillägger:

– Var och en av linjerna du konstruerade kallas en parabel. I det här fallet kallas punkten (0;0) för parabelns vertex och axeln på– parabelns symmetriaxel.
"Rörelsehastigheten" för parabelns grenar upp (ned) och "graden av brant" för parabeln beror på värdet på koefficienten k.
-Vad har du upptäckt nyss?
– Vad ska du göra nu?

5. Primär konsolidering i externt tal

Mål: organisera barns assimilering av ett nytt sätt att agera med sitt uttal i externt tal.

Organisation av utbildningsprocessen i steg 5:

– I vilka koordinatkvarter finns graferna för funktioner? på = 1/5X 2 , på = X 2 /2, på = – X 2 /2, på = 3X 2 ?

Uppgiften utförs i par, ett par arbetar vid tavlan.

6. Självständigt arbete med självtest enligt provet

Mål:

• organisera självständigt slutförande av studenter av standarduppgifter för ett nytt sätt att agera;
• Baserat på resultatet av självständigt arbete, organisera identifiering och korrigering av misstag;
• baserat på resultatet av självständigt arbete, skapa en framgångssituation.

Organisation av utbildningsprocessen i steg 6:

För självständigt arbete finns en uppgift på kortet. Bild 9.

I fig. grafer över funktioner visas på = kh 2 .

Ange motsvarande värde för koefficienten k för varje graf.

Efter att ha slutfört arbetet kontrollerar eleverna det enligt exemplet: Bild 10.

– Vilka regler använde du när du slutförde uppgiften?
– Vem har ett problem - hur bestämmer man tecknet för koefficienten k?
– Vem hade svårt att bestämma värdet på koefficienten k?
– Vem utförde uppgiften korrekt?

7. Inkludering i kunskapssystemet och upprepning

Mål:

• träna färdigheter i att använda nytt innehåll i samband med tidigare studerat material;
• Granska det lärandeinnehåll som krävs i följande lektioner:

Organisation av utbildningsprocessen i steg 7:

Uppdraget från GIA-9 utförs på styrelsen. Bild 11-16.

– Definiera termen som upprepades många gånger idag i klassen. (graf)

1. Grafen för vilken av dessa funktioner är en parabel placerad i det nedre halvplanet?

3. Hitta värdeintervallet för funktionen y = – 5x2

A) på = –15X 2 b) på = – 9X 2 V) på = – X 2 G) på = – 5X 2

ts eh f och

5. Ange intervallen för att öka funktionen y = – 5x 2

a) när X > 0 b) när X < 0 katt X< 0 d) kl X > 0

h O Och T

6. Ange det minsta värdet för funktionen y = – 5x 2

a) 0 b) finns inte vid 5 d) 5

s Till d V.

Fysiska problem: Bild 17.

Den väg som kroppen färdats under de första t sekunderna av fritt fall beräknas med formeln: H = GT 2/2, var g= 9,8 m/s 2. Hitta beroendet av H på grafen t:

A) avståndet som den fallande stenen kommer att flyga under de första 6 sekunderna;
B) den tid det tar för stenen att flyga de första 250 m?

8. Reflektion över aktiviteter på lektionen

Mål:

• organisera inspelning av nytt innehåll som lärts i klassen;
• organisera registrering av graden av överensstämmelse med det uppsatta målet och prestationsresultat;
• organisera verbal registrering av steg för att uppnå målet;
• baserat på resultaten av analysen av arbetet i lektionen, organisera inspelningen av anvisningar för framtida aktiviteter;
• organisera självutvärdering av elevernas arbete i klassen;
• organisera en diskussion och inspelning av läxor.

Organisation av utbildningsprocessen i steg 8:

– Vad har du studerat idag?
– Vad lärde du dig för nytt på lektionen?
– Vilka mål har du satt upp för dig själv?
– Har du uppnått dina mål?
– Vad hjälpte dig att hantera svårigheter?
– Analysera ditt arbete i klassen.

Eleverna arbetar med reflektionskort (R).

Läxa: Bild 18.

• Läs punkt 17 i läroboken
• №17.2,
• №17.3,
• №17.11.

Bibliografi:

1. A.G. Mordkovich. Algebra, klass 8. I två delar. Lärobok för studenter vid allmänna läroanstalter. M.:Mnemosyne.2011.
2. Internetresurser.

Algebra-lektion i 7:e klass med hjälp av läroboken av Mordkovich Alexander Grigorievich.

Linjär funktion y=kx och dess graf.

Mål:

Generalisera och fördjupa kunskapen om ämnet "Linjär funktion y = kx +m och dess graf" Betrakta egenskaperna hos grafer för linjära funktioner y = kx med olika koefficienter k.

För att främja utvecklingen av observation, förmågan att analysera, jämföra, generalisera.

Väck hos eleverna behovet av att underbygga sina påståenden, odla självkontroll och ömsesidig kontroll.

Under lektionerna:

Att organisera tid.

Lärarens öppningstal.

Du har redan studerat den linjära funktionen y =kx +m och lärt dig hur man bygger grafer för den här funktionen, och överväg nu graferna för följande funktioner och svara på frågorna:

BILD 2

Linjära funktioner plottas på koordinatplanet:

y=x,

y = 0,5x;

y=-x;

y=-4x

Kommer dessa funktioner att vara linjära? Varför? Vad har dessa fyra diskuterade funktioner gemensamt? Hur skiljer de sig från tidigare studerade linjära funktioner?

BILD 3

Grafer över linjära funktionsdata.

BILD 4 (frågor för bild 3)

Svar:

Graferna för dessa linjära funktioner finns antingen i 1:a och 3:e kvartalet, eller i 2:a och 4:e kvartalet.

Vad är sambandet mellan koefficienten k och grafens placering på koordinatplanet?

BILD 5 (svar på frågor på bild 4)

Alla grafer för dessa linjära funktioner passerar genom origo O(0;0)

BILD 6

Om koefficienten k<0, то линейная функция убывает и расположена во 2 и 4 четвертях.

BILD 7

Om koefficienten k >0, så ökar den linjära funktionen och ligger i första och tredje kvartalet.

BILD 8

Slutför nu följande uppgifter i lärobok nr 348 (a, b), 355:

Problem nr 348(a;b).
Rita en linjär funktion:
a) y =2x,
b) y = -3x.
På ett koordinatplan.
Vad kan du säga om graferna för dessa linjära funktioner?

(De passerar genom origo, den linjära funktionen y=2x ökar och är placerad i 1:a och 3:e kvartalet, och den linjära funktionen y=-3x minskar och ligger i 2:a och 4:e kvartalet).

BILD 9

Lösning (att hitta koordinaterna för datapunkter för linjära funktioner). Hur många punktkoordinater behövs för att rita en graf över givna linjära funktioner? Varför? (En, eftersom graferna för linjära data passerar genom origo, det vill säga punkten med koordinat (0;0), och vi vet det redan.)

BILD10

Om du har slutfört uppgiften korrekt bör du få en graf som denna.

BILD11

Vi konstruerar grafen för den linjära funktionen y = -3x på liknande sätt

Vad kan du säga om denna funktion? I vilka kvadranter kommer grafen för denna linjära funktion att finnas?

Om vi ​​tar abskissvärdet för att vara positivt, så är ordinatan negativ, och omvänt, om abskissvärdet är negativt, så är ordinatan positiv.

BILD12

Om du har slutfört uppgiften korrekt bör du få en graf över denna linjära funktion y=-3x.

BILD13

(Formulering av problem nr 355)

BILD14

(Frågor som aktiverar lösningen på uppgiften).

BILD15

Hitta koordinaterna för punkter för att plotta en graf för en given linjär funktion y=0,4x.

BILD16

Med hjälp av grafen för denna linjära funktion finner vi ordinatans värde som motsvarar abskissvärdet lika med 0; 5; 10; -5.

Om x =0, sedan y =0

Om x =5, sedan y =2

Om x =10, sedan y =4

Om x =-5, sedan y =-2

BILD17

Med hjälp av grafen för denna linjära funktion finner vi värdet x som motsvarar värdet y lika med 0; 2; 4; -2.

Om y =0, sedan x =0

Om y =2, sedan x =5

Om y =4, sedan x =10

Om y =-2, sedan x =-5

BILD18

Lösning på ojämlikheten: 0,4x >0. Vad behöver vi veta för att lösa denna ojämlikhet? Hitta vid vilka värden på abskissan (x) grafen för denna linjära funktion kommer att vara ovanför oxeaxeln.

BILD19

Nu, med hjälp av grafen för denna linjära funktion, löser vi olikheten: -2≤y ≤0.

Låt oss fundera på hur vi ska lösa denna ojämlikhet?

1. Markera punkterna y =-2 och y =0 på axeln oy.

2. Vi får ett rakt linjesegment som ligger inom värdena -2≤y ≤0:

Från ordinatan lika med -2 ​​och ordinatan lika med 0, sänker vi vinkelrät mot grafen för denna linjära funktion.

3. Från ändarna av det raka linjesegmentet av grafen, släpp vinkelräta mot oxens axel.

4. Vi fick abskissvärdena inom vilka grafen för denna räta linje ligger: -5≤x ≤0. Detta intervall kommer att vara lösningen på denna uppgift.

BILD 20

Läxa – självständig avslutning nr 356.

"Kritiska punkter för en funktion" - Kritiska punkter. Bland de kritiska punkterna finns extrema punkter. En nödvändig förutsättning för ett extremum. Svar: 2. Definition. Men om f" (x0) = 0, så är det inte nödvändigt att punkt x0 kommer att vara en extrempunkt. Extremumpunkter (upprepning). Kritiska punkter för funktionen. Extremumpunkter.

”Koordinatplan 6:e klass” - Matematik 6:e klass. 1. X. 1. Hitta och skriv ner koordinaterna för punkterna A, B, C, D: -6. Koordinatplan. O. -3. 7. U.

"Funktioner och deras grafer" - Kontinuitet. Det största och minsta värdet av en funktion. Begreppet omvänd funktion. Linjär. Logaritmisk. Monoton. Om k > 0 är den bildade vinkeln spetsig, om k< 0, то угол тупой. В самой точке x = a функция может существовать, а может и не существовать. Х1, х2, х3 – нули функции у = f(x).

"Funktioner 9:e klass" - Giltiga räkneoperationer på funktioner. [+] – addition, [-] – subtraktion, [*] – multiplikation, [:] – division. I sådana fall talar vi om att grafiskt specificera funktionen. Bildande av en klass av elementära funktioner. Effektfunktion y=x0,5. Iovlev Maxim Nikolaevich, en elev i 9:e klass vid RMOU Raduzhskaya Secondary School.

"Lektionstangentsekvation" - 1. Förtydliga begreppet tangent till grafen för en funktion. Leibniz övervägde problemet med att rita en tangent till en godtycklig kurva. ALGORITM FÖR ATT UTVECKLA EN EKVATION FÖR EN TANGENT TILL GRAFEN FÖR FUNKTIONEN y=f(x). Lektionens ämne: Test: hitta derivatan av en funktion. Tangentekvation. Fluxion. Årskurs 10. Dechiffrera vad Isaac Newton kallade derivatfunktionen.

"Bygg en graf av en funktion" - Funktionen y=3cosx ges. Graf över funktionen y=m*sin x. Plotta funktionen. Innehåll: Givet funktionen: y=sin (x+?/2). Sträcka ut grafen y=cosx längs y-axeln. Klicka på l för att fortsätta. Mus knapp. Givet funktionen y=cosx+1. Grafförskjutning y=sinx vertikalt. Givet funktionen y=3sinx. Horisontell förskjutning av grafen y=cosx.

Det finns totalt 25 presentationer i ämnet

En linjär funktion är en funktion av formen

x-argument (oberoende variabel),

y-funktion (beroende variabel),

k och b är några konstanta tal

Grafen för en linjär funktion är hetero.

För att skapa en graf räcker det två poäng, eftersom genom två punkter kan du dra en rak linje och dessutom bara en.

Om k˃0, så är grafen placerad i 1:a och 3:e koordinatkvarten. Om k˂0, så är grafen placerad i 2:a och 4:e koordinatkvarten.

Talet k kallas lutningen för den raka grafen för funktionen y(x)=kx+b. Om k˃0 är lutningsvinkeln för den räta linjen y(x)= kx+b till den positiva riktningen Ox spetsig; om k˂0 är denna vinkel trubbig.

Koefficient b visar skärningspunkten för grafen med op-amp-axeln (0; b).

y(x)=k∙x-- ett specialfall av en typisk funktion kallas direkt proportionalitet. Grafen är en rät linje som går genom origo, så en punkt räcker för att konstruera denna graf.

Graf över en linjär funktion

Där koefficienten k = 3 alltså

Grafen för funktionen kommer att öka och ha en spetsig vinkel med Ox-axeln eftersom koefficient k har ett plustecken.

OOF linjär funktion

OPF för en linjär funktion

Förutom i det fall där

Också en linjär funktion av formen

Är en funktion av allmän form.

B) Om k=0; b≠0,

I detta fall är grafen en rät linje parallell med Ox-axeln och som går genom punkten (0; b).

B) Om k≠0; b≠0, då har den linjära funktionen formen y(x)=k∙x+b.

Exempel 1 . Rita grafen för funktionen y(x)= -2x+5

Exempel 2 . Låt oss hitta nollorna för funktionen y=3x+1, y=0;

– nollor för funktionen.

Svar: eller (;0)

Exempel 3 . Bestäm värdet på funktionen y=-x+3 för x=1 och x=-1

y(-1)=-(-1)+3=1+3=4

Svar: y_1=2; y_2=4.

Exempel 4 . Bestäm koordinaterna för deras skärningspunkt eller bevisa att graferna inte skär varandra. Låt funktionerna y 1 =10∙x-8 och y 2 =-3∙x+5 ges.

Om graferna för funktioner skär varandra, är värdena för funktionerna vid denna punkt lika

Ersätt x=1, sedan y 1 (1)=10∙1-8=2.

Kommentar. Du kan också ersätta det resulterande värdet av argumentet i funktionen y 2 =-3∙x+5, då får vi samma svar y 2 (1)=-3∙1+5=2.

y=2- ordinatan för skärningspunkten.

(1;2) - skärningspunkten för graferna för funktionerna y=10x-8 och y=-3x+5.

Svar: (1;2)

Exempel 5 .

Konstruera grafer för funktionerna y 1 (x)= x+3 och y 2 (x)= x-1.

Du kan märka att koefficienten k=1 för båda funktionerna.

Av ovanstående följer att om koefficienterna för en linjär funktion är lika, så är deras grafer i koordinatsystemet parallella.

Exempel 6 .

Låt oss bygga två grafer av funktionen.

Den första grafen har formeln

Den andra grafen har formeln

I det här fallet har vi en graf med två linjer som skär varandra i punkten (0;4). Detta betyder att koefficienten b, som är ansvarig för höjden av grafens stigning över Ox-axeln, om x = 0. Detta betyder att vi kan anta att b-koefficienten för båda graferna är lika med 4.

Redaktörer: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna