Uttryck för medelvärmekapaciteten hos ett ämne. Sann och genomsnittlig värmekapacitet

Experimentella värden av värmekapacitet vid olika temperaturer presenteras i form av tabeller, grafer och empiriska funktioner.

Det finns sanna och genomsnittliga värmekapaciteter.

Sann värmekapacitet C är värmekapaciteten för en given temperatur.

I tekniska beräkningar används ofta medelvärdet av värmekapaciteten i ett givet temperaturområde (t1;t2).

Den genomsnittliga värmekapaciteten anges på två sätt: ,.

Nackdelen med den senare beteckningen är att temperaturområdet inte är specificerat.

Sann och genomsnittlig värmekapacitet är relaterad till förhållandet:

Sann värmekapacitet är den gräns till vilken medelvärmekapaciteten tenderar, i ett givet temperaturområde t1…t2, vid ∆t=t2-t1

Erfarenheten visar att den verkliga värmekapaciteten hos de flesta gaser ökar med ökande temperatur. Den fysiska förklaringen till denna ökning är följande:

Det är känt att temperaturen hos en gas inte är relaterad till vibrationsrörelsen hos atomer och molekyler, utan beror på den kinetiska energin Ek för partiklars translationella rörelse. Men när temperaturen ökar omfördelas värmen som tillförs gasen mer och mer till förmån för svängningsrörelsen, d.v.s. Temperaturökningen med samma värmetillförsel saktar ner när temperaturen stiger.

Typiskt beroende av värmekapacitet på temperatur:

c=c 0 + at + bt 2 + dt 3 + … (82)

där c 0 , a, b, d är empiriska koefficienter.

c – Sann värmekapacitet, d.v.s. Värmekapaciteten för en given temperatur T.

För värmekapaciteten är den bitoproximata kurvan ett polynom i form av en serie i potenser av t.

Anpassningskurvan utförs med speciella metoder, till exempel minsta kvadratmetoden. Kärnan i denna metod är att när den används är alla punkter ungefär lika långt från den approximerande kurvan.

För tekniska beräkningar är de som regel begränsade till de två första termerna på höger sida, d.v.s. antag att värmekapacitetens beroende av temperaturen är linjär c=c 0 + vid (83)

Medelvärmekapaciteten definieras grafiskt som mittlinjen av en skuggad trapets, som bekant definieras medellinjen för en trapets som halva summan av baserna.

Formler tillämpas om det empiriska beroendet är känt.

I de fall där värmekapacitetens beroende av temperaturen inte på ett tillfredsställande sätt kan approximeras till beroendet c=c 0 +at, kan du använda följande formel:

Denna formel används i fall där beroendet av c på t är signifikant olinjärt.

Från den molekylära kinetiska teorin om gaser är det känt

U  = 12,56T, U  är den inre energin hos en kilomol av en idealgas.

Tidigare erhållen för en idealisk gas:

, ,

Av det erhållna resultatet följer att värmekapaciteten som erhålls med MCT inte beror på temperaturen.

Mayers ekvation: c  p -c  v =R  ,

c  p =c  v +R  =12,56+8,31420,93.

Liksom i det föregående fallet för MCT av gaser, beror den molekylära isobariska värmekapaciteten inte på temperaturen.

Begreppet idealgas motsvarar närmast monoatomiska gaser vid låga tryck, i praktiken har vi att göra med 2, 3... atomgaser. Till exempel luft, som i volym består av 79 % kväve (N 2), 21 % syre (O 2) (i tekniska beräkningar beaktas inte inerta gaser på grund av deras låga halt).

Du kan använda följande tabell för uppskattningsberäkningar:

monoatomisk
diatomisk
triatomär

För riktiga gaser, till skillnad från ideala gaser, kan värmekapaciteten inte bara bero på temperaturen utan också på systemets volym och tryck.

Med tanke på att värmekapaciteten inte är konstant, utan beror på temperatur och andra termiska parametrar, skiljer man mellan sann och genomsnittlig värmekapacitet. Den verkliga värmekapaciteten uttrycks med ekvation (2.2) för vissa parametrar i den termodynamiska processen, det vill säga i ett givet tillstånd av arbetsvätskan. I synnerhet, om de vill betona beroendet av arbetsvätskans värmekapacitet på temperaturen, skriver de det som , och den specifika värmekapaciteten som. Vanligtvis förstås sann värmekapacitet som förhållandet mellan den elementära mängden värme som tillförs ett termodynamiskt system i varje process och den oändliga ökningen av temperaturen i detta system som orsakas av den tillförda värmen. Vi kommer att anta att den verkliga värmekapaciteten hos ett termodynamiskt system vid systemets temperatur är lika, och den verkliga specifika värmen hos arbetsvätskan vid dess temperatur är lika. Sedan kan den genomsnittliga specifika värmekapaciteten för arbetsvätskan när dess temperatur ändras bestämmas enligt följande:

Typiskt ger tabeller genomsnittliga värmekapacitetsvärden för olika temperaturområden som börjar med. Därför, i alla fall när en termodynamisk process äger rum i temperaturområdet från till där, bestäms mängden specifik värme för processen med hjälp av tabellvärden för genomsnittlig värmekapacitet enligt följande:

.

Värdena för genomsnittlig värmekapacitet och hittas från tabellerna.

2.3 Värmekapacitet vid konstant volym och tryck

Av särskilt intresse är den genomsnittliga och sanna värmekapaciteten i processer vid konstant volym ( isokorisk värmekapacitet, lika med förhållandet mellan den specifika mängden värme i en isokorisk process och förändringen i temperatur hos arbetsvätskan dT) och vid konstant tryck ( isobarisk värmekapacitet, lika med förhållandet mellan den specifika mängden värme i en isobar process och förändringen i temperatur hos arbetsfluiden dT).

För idealgaser fastställs förhållandet mellan isobarisk och isokorisk värmekapacitet av den välkända Mayer-ekvationen.

Av Mayers ekvation följer att den isobariska värmekapaciteten är större än den isokoriska värmekapaciteten med värdet av den specifika karakteristiska konstanten för en idealgas. Detta förklaras av det faktum att i en isobar process () utförs inte externt arbete och värme spenderas endast på att ändra arbetsvätskans inre energi, medan i en isobar process () används värme inte bara på att ändra den inre energin av arbetsvätskan, beroende på dess temperatur, men också för att utföra externt arbete.

För verkliga gaser, eftersom när de expanderar, utförs arbete inte bara mot yttre krafter, utan också inre arbete mot krafterna för interaktion mellan gasmolekyler, som dessutom förbrukar värme.

Inom värmeteknik används förhållandet mellan värmekapaciteter, som kallas Poissons förhållande (adiabatiskt index), i stor utsträckning. I tabell Tabell 2.1 visar värdena för vissa gaser som erhållits experimentellt vid en temperatur på 15 °C.

Värmekapaciteten beror på temperaturen, därför bör det adiabatiska indexet bero på temperaturen.

Det är känt att med ökande temperatur ökar värmekapaciteten. Därför minskar den med ökande temperatur och närmar sig enhet. Det finns dock alltid mer än en kvar. Typiskt uttrycks beroendet av det adiabatiska indexet på temperaturen med en formel av formen

och sedan

Specifik, molär och volumetrisk värmekapacitet. Även om värmen som ingår i PZT-ekvationerna teoretiskt kan representeras som summan av mikroarbete som utförts under kollisionen av mikropartiklar vid systemets gränser utan förekomsten av makrokrafter och makrorörelser, är i praktiken denna metod för att beräkna värme till liten användning och historiskt sett. värme bestämdes i proportion till förändringen i kroppstemperatur dT och ett visst värde C för kroppen , som karakteriserar innehållet av ett ämne i kroppen och dess förmåga att ackumulera termisk rörelse (värme),

Q = C kropp dT. (2,36)

Magnitud

Kropp C = Q/dT; = 1 J/K, (2,37)

lika med förhållandet mellan den elementära värmen Q som ges till kroppen och förändringen i kroppstemperaturen dT kallas kroppens (sanna) värmekapacitet. Värmekapaciteten hos en kropp är numeriskt lika med den värme som krävs för att ändra kroppstemperaturen med en grad.

Eftersom kroppens temperatur ändras när arbete utförs, kan arbete, analogt med värme (4.36), också bestämmas genom en förändring av kroppstemperaturen (denna metod för att beräkna arbete har vissa fördelar vid beräkning av det i polytropa processer):

W = C w dT. (2,38)

C w = dW/dT = pdV / dT, (2,39)

lika med förhållandet mellan det arbete som tillförts (borttagits) till kroppen och förändringen i kroppstemperatur, i analogi med värmekapacitet, kan vi kalla "kroppens arbetskapacitet." Termen "arbetskapacitet" är lika konventionell som termen "värmekapacitet". Termen "värmekapacitet" (kapacitet för värme) - som en hyllning till den verkliga teorin om värme (kalori) - introducerades först av Joseph Black (1728-1779) på 60-talet av 1700-talet. i hans föreläsningar (föreläsningarna i sig publicerades först postumt 1803).

Specifik värmekapacitet c (kallas ibland massa, eller specifik massa värmekapacitet, som är föråldrad) är förhållandet mellan en kropps värmekapacitet och dess massa:

c = Stele / m = dQ / (m dT) = dq / dT; [c] = 1 J/(kgK), (2,40)

där dq = dQ / m - specifik värme, J / kg.

Specifik värmekapacitet är numeriskt lika med den värme som måste tillföras ett ämne med massaenhet för att ändra dess temperatur med en grad.

Molär värmekapacitet är förhållandet mellan en kropps värmekapacitet och mängden ämne (molaritet) i denna kropp:

Cm = C kropp/m, = 1 J/(molK). (2,41)

Volumetrisk värmekapacitet är förhållandet mellan en kropps värmekapacitet och dess volym reducerad till normala fysiska förhållanden (p 0 = 101325 Pa = 760 mm Hg; T 0 = 273,15 K (0 o C)):

c" = kropp C / V 0 , = 1 J / (m 3 K). (2,42)

När det gäller en idealgas beräknas dess volym under normala fysikaliska förhållanden från tillståndsekvationen (1.28)

Vo = mRTo/po. (2,43)

Molekylär värmekapacitet är förhållandet mellan värmekapaciteten hos en kropp och antalet molekyler i denna kropp:

cm = C kropp/N; = 1 J/K. (2,44)

Sambandet mellan olika typer av värmekapacitet etableras genom att gemensamt lösa relationer (2.40) - (2.44) för värmekapaciteter. Förhållandet mellan specifik och molär värmekapacitet fastställs av följande förhållande:

c = C kropp / m = C m. m/m = C m / (m/m) = C m /M, (2,45)

där M = m / m - molmassa av ämnet, kg / mol.

Eftersom tabellvärden för molär värmekapacitet oftare ges, bör relation (2,45) användas för att beräkna värdena för specifik värmekapacitet genom molär värmekapacitet.

Relationen mellan volymetrisk och specifik värmekapacitet fastställs av relationen

c" = kropp C / V 0 = cm / V 0 = c 0 , (2,46)

där 0 = m / V 0 - gasdensitet under normala fysiska förhållanden (till exempel luftdensitet under normala förhållanden

0 = p 0 /(RT 0) = 101325 / (287273,15) = 1,29 kg/m3).

Förhållandet mellan volymetrisk och molär värmekapacitet fastställs av förhållandet

c" = C kropp / V 0 = C m m / V 0 = C m / (V 0 / m) = C m / V m0, (2,47)

där V 0 = V 0 / m = 22,4141 m 3 / kmol - molvolym reducerad till NFU.

I framtiden, när vi överväger allmänna bestämmelser för alla typer av värmekapacitet, kommer vi att överväga specifik värmekapacitet som den initiala, som, för att förkorta notationen, helt enkelt kommer att kalla värmekapacitet och motsvarande specifika värme - helt enkelt värme.

Sann och genomsnittlig värmekapacitet. Värmekapaciteten för en idealgas beror på temperaturen c = c (T), och den för en riktig gas beror också på trycket c = c (T, p). Baserat på detta kriterium särskiljs sann och genomsnittlig värmekapacitet. För gaser med lågt tryck och hög temperatur visar sig värmekapacitetens beroende av tryck vara försumbar.

Sann värmekapacitet motsvarar en viss kroppstemperatur (värmekapacitet vid en punkt), eftersom den bestäms med en oändligt liten förändring av kroppstemperaturen dT

c = dq/dT. (2,48)

Ofta i termotekniska beräkningar ersätts det olinjära beroendet av den verkliga värmekapaciteten av temperaturen med ett linjärt beroende nära det

c = b 0 + b 1 t = c 0 + bt, (2,49)

där c 0 = b 0 - värmekapacitet vid Celsiustemperatur t = 0 o C.

Elementär specifik värme kan bestämmas från uttryck (4.48) för specifik värmekapacitet:

dq = c dT. (2,50)

Genom att känna till beroendet av den verkliga värmekapaciteten på temperaturen c = c(t), kan vi bestämma värmen som tillförs systemet i ett ändligt temperaturområde genom att integrera uttryck (2.53) från initialtillstånd 1 till sluttillstånd 2,

I enlighet med den grafiska representationen av integralen motsvarar denna värme en area på 122"1" under kurvan c = f(t) (fig. 4.4).

Figur 2.4 - Till begreppet sann och genomsnittlig värmekapacitet

Arean av en krökt trapets 122"1", motsvarande värme q 1-2, kan ersättas med motsvarande area av en rektangel 1"342" med basen DT = T 2 - T 1 = t 2 - t 1 och höjd: .

Värdet som bestäms av uttrycket

och kommer att vara ämnets genomsnittliga värmekapacitet i temperaturintervallet från t 1 till t 2.

Om beroende (2,52) för den sanna värmekapaciteten ersätts med uttryck (2,55) för medelvärmekapaciteten och integreras över temperatur, får vi

Co + b(t1 + t2) / 2 = , (2,53)

där t cp = (t 1 + t 2)/2 är medeltemperaturen på Celsius i temperaturområdet från t 1 till t 2.

I enlighet med (2.56) kan således medelvärmekapaciteten i temperaturområdet från t 1 till t 2 ungefärligen bestämmas som den verkliga värmekapaciteten beräknad från medeltemperaturen t cp för ett givet temperaturintervall.

För den genomsnittliga värmekapaciteten i temperaturområdet från 0 o C (t 1 = 0) till t, tar beroendet (2,56) formen

Co + (b/2)t = co + b"t. (2,54)

Vid beräkning av den specifika värme som krävs för att värma en gas från 0 o C till t 1 och t 2, med hjälp av tabeller där varje temperatur t motsvarar den genomsnittliga värmekapaciteten, används följande samband:

q 0-1 = t 1 och q 0-2 = t 2

(i Fig. 4.4 är dessa värmer avbildade som områdena i figurerna 0511" och 0522"), och för att beräkna den tillförda värmen i temperaturområdet från t 1 till t 2 används relationen

q 1-2 = q 0-2 - q 0-1 = t 2 - t 1 = (t 2 - t 1).

Från detta uttryck kan vi hitta gasens genomsnittliga värmekapacitet i temperaturområdet från t 1 till t 2:

= = (t2 - ti) / (t2 - ti). (2,55)

Därför, för att hitta den genomsnittliga värmekapaciteten i temperaturområdet från t 1 till t 2 med formeln (2.59), måste man först bestämma den genomsnittliga värmekapaciteten och använda motsvarande tabeller. Efter beräkning av medelvärmekapaciteten för en given process bestäms den tillförda värmen med formeln

q 1-2 = (t 2 - t 1). (2,56)

Om intervallet för temperaturförändringar är litet, så är beroendet av den verkliga värmekapaciteten på temperaturen nära linjärt, och värmen kan beräknas som produkten av den sanna värmekapaciteten c(t cp), bestämd för den genomsnittliga gastemperaturen ? t cp i ett givet temperaturområde, efter temperaturskillnad:

q 1-2 = = . (2,57)

Denna beräkning av värme är ekvivalent med att beräkna arean av trapetsen 1"1""22" (se fig. 2.4) som produkten av mittlinjen av trapetsen c(t cp) och dess höjd DT.

Den sanna värmekapaciteten vid medeltemperaturen t cp enligt (4.56) har ett värde nära medelvärmekapaciteten i detta temperaturområde.

Till exempel, i enlighet med tabell C.4, den genomsnittliga molära isokora värmekapaciteten i temperaturområdet från 0 till 1000 o C = 23,283 kJ / (kmol.K), och den sanna molära isokoriska värmekapaciteten som motsvarar medeltemperaturen för 500 o C för detta temperaturintervall är C mv = 23,316 kJ/(kmol.K). Skillnaden mellan dessa värmekapaciteter överstiger inte 0,2 %.

Isokorisk och isobarisk värmekapacitet. Oftast i praktiken används värmekapaciteten för isokoriska och isobariska processer, som sker vid konstant specifik volym x = const respektive tryck p = const. Dessa specifika värmekapaciteter kallas isokorisk c v respektive isobarisk c p värmekapacitet. Med hjälp av dessa värmekapaciteter kan alla andra typer av värmekapaciteter beräknas.

Således är en idealgas en imaginär gas (gasmodell), vars tillstånd exakt motsvarar Clapeyrons tillståndsekvation, och den inre energin beror endast på temperaturen.

I förhållande till en ideal gas, istället för partiella derivat (4.66) och (4.71), bör man ta totala derivat:

cx = du/dT; (2,58)

c p = dh/dT. (2,59)

Det följer att c x och c p för en idealgas, precis som u och h, bara beror på temperaturen.

I fallet med konstant värmekapacitet bestäms den inre energin och entalpin för en idealgas av uttrycken:

U = c x mT och u = c x T; (2,60)

H = c p mT och h = c p T. (2,61)

Vid beräkning av förbränning av gaser används volumetrisk entalpi, J/m 3, i stor utsträckning,

h" = H/V 0 = c p mT/V 0 = c p c 0 T = c" p T, (2,62)

där c"p = cp c0 - volymetrisk isobarisk värmekapacitet, J/(m 3 .K).

Mayers ekvation. Låt oss upprätta ett samband mellan värmekapaciteten för en idealgas c x och c p. För att göra detta använder vi PZT-ekvationen (4.68) för en idealisk gas under en isobar process

dq p = c p dT = du + pdх = c x dT + pdх. (2,63)

Var hittar vi skillnaden i värmekapacitet?

c p - c x = pdx / dT = p (x / T) p = dw p / dT (2,64)

(denna relation för en idealgas är ett specialfall av relation (2,75) för en riktig gas).

Genom att differentiera Clapeyrons ekvation för tillstånd d(pх) p = R dT under villkoret konstant tryck, får vi

dx / dT = R / p. (2,65)

Genom att ersätta denna relation med ekvation (2.83) får vi

c p - c x = R. (2,66)

Genom att multiplicera alla kvantiteterna i detta förhållande med molmassan M, får vi ett liknande förhållande för de molära värmekapaciteterna

cm p - cm x = Rm. (2,67)

Relationer (2,65) och (2,66) kallas Mayers formler (ekvationer) för en idealgas. Detta beror på det faktum att Mayer använde ekvation (2.65) för att beräkna den mekaniska ekvivalenten av värme.

Förhållandet mellan värmekapacitet c p / c x. Inom termodynamiken och dess tillämpningar är inte bara skillnaden i värmekapacitet cp och cx, bestämd av Mayer-ekvationen, av stor betydelse, utan också deras förhållande cp/cx, som i fallet med en idealgas är lika med förhållandet mellan värme till förändringen i HE i en isobar process, dvs förhållandet är ett kännetecken för en isobar process:

k p = k X = dq p / du = c p dT / = c p dT / c x dT = c p / c x.

Följaktligen, om i processen att ändra tillståndet för en ideal gas, förhållandet mellan värme och förändringen i HE är lika med förhållandet c p /c x, kommer denna process att vara isobarisk.

Eftersom detta förhållande ofta används och ingår som en exponent i ekvationen för den adiabatiska processen, betecknas det vanligtvis med bokstaven k (utan index) och kallas den adiabatiska exponenten

k = dq p / du = c p / c x = C m p / Cm x = c" p /c" x. (2,68)

Värdena på verklig värmekapacitet och deras förhållande k för vissa gaser i ett idealiskt tillstånd (vid p > 0 och T C = 0 o C) ges i tabell 3.1.

Tabell 3.1 - Några egenskaper hos idealgaser

	Kemisk formel
	kJ/(kmolK)
vattenånga
Kolmonoxid
Syre
Koldioxid
Svaveldioxid
Kvicksilverånga

I genomsnitt för alla gaser med samma atomicitet är det allmänt accepterat att för monoatomiska gaser k? 1,67, för diatomisk k ? 1,40, för triatomär k ? 1,29 (för vattenånga tas ofta det exakta värdet k = 1,33).

Om vi ​​löser (2.65) och (2.67) tillsammans kan vi uttrycka värmekapaciteten i termer av k och R:

Med hänsyn till (2.69) tar ekvationen (2.50) för den specifika entalpin formen

h = c p T =. (2,71)

För diatomiska och polyatomiska idealgaser beror k på temperaturen: k = f(T). Enligt ekvation (2.58)

k = 1 + R / c x = 1 + Rm / Cm x. (2,72)

Gasblandningens värmekapacitet. För att bestämma värmekapaciteten hos en blandning av gaser är det nödvändigt att känna till blandningens sammansättning, som kan specificeras av massa gi, molar x i eller volym r i fraktioner, såväl som värdena för värmekapaciteten hos blandningskomponenter, som är hämtade från tabellerna för motsvarande gaser.

Den specifika värmekapaciteten för en blandning bestående av N komponenter för isoprocesser X = x, p = const bestäms genom massfraktioner enligt formeln

cXcm = . (2,73)

En blandnings molära värmekapacitet bestäms i form av molfraktioner

Blandningens volymetriska värmekapacitet bestäms genom volymfraktionerna enligt formeln

För ideala gaser är mol- och volymfraktionerna lika: x i = r i.

Beräkning av värme genom värmekapacitet. Här är formlerna för att beräkna värme i olika processer:

a) genom den genomsnittliga specifika värmekapaciteten och massan m

b) genom den genomsnittliga molära värmekapaciteten och mängden ämne m

c) genom den genomsnittliga volymetriska värmekapaciteten och volymen V 0 reducerad till normala förhållanden,

d) genom den genomsnittliga molekylära värmekapaciteten och antalet molekyler N

där DT = T 2 - T 1 = t 2 - t 1 - förändring i kroppstemperatur;

Genomsnittlig värmekapacitet i temperaturområdet från t 1 till t 2;

c(t cp) - sann värmekapacitet, fastställd för medelkroppstemperaturen t cp = (t 1 + t 2)/2.

Med hjälp av tabell C.4 över luftens värmekapacitet finner vi medelvärmekapaciteterna: = = 1,0496 kJ / (kgK); = 1,1082 kJ/(kgK). Den genomsnittliga värmekapaciteten i detta temperaturområde bestäms av formeln (4.59)

= (1,10821200 - 1,0496600) / 600 = 1,1668 kJ / (kgK),

där DT = 1200 - 600 = 600 K.

Specifik värme genom medelvärmekapacitet i ett givet temperaturområde = 1,1668600 = 700,08 kJ/kg.

Låt oss nu bestämma denna värme med hjälp av den ungefärliga formeln (4.61) genom den sanna värmekapaciteten c(t cp), bestämd för den genomsnittliga uppvärmningstemperaturen t cp = (t 1 + t 2)/2 = (600 + 1200) / 2 = 900 o C.

Den verkliga värmekapaciteten för luft c p för 900 o C enligt tabell C.1 är lika med 1,1707 kJ/(kgK).

Därefter den specifika värmen genom den verkliga värmekapaciteten vid den genomsnittliga värmetillförseltemperaturen

qp = cp (tcp) = cp (900) DT = 1,1707600 = 702,42 kJ/kg.

Det relativa felet vid beräkning av värme med hjälp av en ungefärlig formel genom den sanna värmekapaciteten vid en genomsnittlig uppvärmningstemperatur är e(q p) = 0,33 %.

Därför, om du har en tabell över verkliga värmekapaciteter, beräknas den specifika värmen enklast med formeln (4.61) genom den sanna värmekapaciteten tagen vid den genomsnittliga uppvärmningstemperaturen.