Rotation är en typisk typ av mekanisk rörelse som ofta finns i naturen och tekniken. Varje rotation uppstår som ett resultat av påverkan av någon yttre kraft på det aktuella systemet. Denna kraft skapar den så kallade Vad det är, vad det beror på, diskuteras i artikeln.
Rotationsprocess
Innan vi överväger begreppet vridmoment, låt oss karakterisera de system som detta koncept kan tillämpas på. Ett rotationssystem förutsätter närvaron av en axel kring vilken cirkulär rörelse eller rotation utförs. Avståndet från denna axel till materialpunkterna i systemet kallas rotationsradien.
Ur kinematik synvinkel kännetecknas processen av tre vinkelstorheter:
- rotationsvinkel θ (mätt i radianer);
- vinkelhastighet ω (mätt i radianer per sekund);
- vinkelacceleration α (mätt i radianer per kvadratsekund).
Dessa kvantiteter är relaterade till varandra genom följande likheter:
Exempel på rotation i naturen är planeternas rörelser i deras banor och runt deras axlar, och tornados rörelser. I vardagen och tekniken är rörelsen i fråga typisk för motormotorer, skiftnycklar, byggkranar, öppningsdörrar och så vidare.
Bestämning av kraftmoment
Låt oss nu gå vidare till artikelns omedelbara ämne. Enligt den fysiska definitionen är det vektorprodukten av vektorn för applicering av kraft i förhållande till rotationsaxeln och vektorn för själva kraften. Motsvarande matematiska uttryck kan skrivas på följande sätt:
Här riktas vektorn r¯ från rotationsaxeln till punkten för applicering av kraften F¯.
I denna formel för vridmomentet M¯ kan kraften F¯ riktas på vilket sätt som helst i förhållande till axelns riktning. Emellertid kommer en kraftkomponent parallell med axeln inte att producera rotation om axeln är stelt fixerad. I de flesta problem inom fysiken måste man beakta krafterna F¯, som ligger i plan vinkelräta mot rotationsaxeln. I dessa fall kan det absoluta värdet av vridmomentet bestämmas med följande formel:
|M¯| = |r¯|*|F¯|*sin(β).
Där β är vinkeln mellan vektorerna r¯ och F¯.
Vad är hävstångseffekt?
Kraftspaken spelar en viktig roll för att bestämma storleken på kraftmomentet. För att förstå vad vi pratar om, överväg följande figur.
Här visas en stång med längden L, som är fixerad vid rotationspunkten med en av dess ändar. Den andra änden påverkas av en kraft F riktad mot en spetsig vinkel φ. Enligt definitionen av kraftmoment kan vi skriva:
M = F*L*sin(180 o -φ).
Vinkeln (180 o -φ) uppträdde eftersom vektorn L¯ är riktad från den fasta änden till den fria. Med hänsyn till periodiciteten för den trigonometriska sinusfunktionen kan vi skriva om denna likhet enligt följande:
Låt oss nu rikta vår uppmärksamhet mot en rätvinklig triangel byggd på sidorna L, d och F. Enligt definitionen av sinusfunktionen ger produkten av hypotenusan L och sinusen av vinkeln φ värdet av benet d. Då kommer vi till jämställdhet:
Den linjära storheten d kallas kraftspaken. Det är lika med avståndet från kraftvektorn F¯ till rotationsaxeln. Som framgår av formeln är konceptet med en kraftspak bekvämt att använda när man beräknar momentet M. Den resulterande formeln säger att det maximala vridmomentet för en viss kraft F kommer att inträffa endast när längden på radievektorn r¯ ( L¯ i figuren ovan) är lika med kraftspak, det vill säga r¯ och F¯ kommer att vara vinkelräta mot varandra.
Verkningsriktning för kvantiteten M¯
Det visades ovan att vridmoment är en vektorkaraktäristik för ett givet system. Vart är denna vektor riktad? Att svara på denna fråga är inte särskilt svårt om vi kommer ihåg att resultatet av produkten av två vektorer är en tredje vektor, som ligger på en axel vinkelrät mot de ursprungliga vektorernas placeringsplan.
Det återstår att bestämma om kraftmomentet kommer att riktas uppåt eller nedåt (mot eller bort från läsaren) i förhållande till det nämnda planet. Detta kan bestämmas antingen av gimlet-regeln eller av högerhandsregeln. Här är båda reglerna:
- Högerhandsregel. Om du placerar höger hand på ett sådant sätt att dess fyra fingrar rör sig från början av vektorn r¯ till dess ände, och sedan från början av vektorn F¯ till dess ände, kommer den utskjutande tummen att peka i riktningen för tillfället M¯.
- Gimletregeln. Om rotationsriktningen för en imaginär gimlet sammanfaller med rotationsriktningen för systemet, kommer translatorns rörelse för gimlet att indikera riktningen för vektorn M¯. Kom ihåg att den bara roterar medurs.
Båda reglerna är lika, så alla kan använda den som är mer bekväm för dem.
Vid lösning av praktiska problem beaktas olika vridmomentriktningar (upp - ner, vänster - höger) med hjälp av "+" eller "-" tecknen. Man bör komma ihåg att den positiva riktningen för ögonblicket M¯ anses vara en som leder till att systemet roterar moturs. Följaktligen, om en viss kraft får systemet att rotera i klockans riktning, kommer det ögonblick som det skapar att ha ett negativt värde.
Fysisk betydelse av kvantiteten M¯
I rotationens fysik och mekanik bestämmer värdet M¯ förmågan hos en kraft eller summan av krafter att utföra rotation. Eftersom den matematiska definitionen av värdet M¯ inkluderar inte bara kraften utan också radievektorn för dess tillämpning, är det den senare som till stor del bestämmer den noterade rotationsförmågan. För att göra det tydligare vilken typ av förmåga vi pratar om, här är några exempel:
- Varje person, åtminstone en gång i sitt liv, försökte öppna en dörr, inte genom att ta tag i handtaget, utan genom att trycka det nära gångjärnen. I det senare fallet måste du göra en betydande ansträngning för att uppnå det önskade resultatet.
- För att skruva loss muttern från en bult, använd speciella skiftnycklar. Ju längre skiftnyckel, desto lättare är det att skruva loss muttern.
- För att känna vikten av kraftspaken inbjuder vi läsarna att göra följande experiment: ta en stol och försök att hålla den upphängd med en hand, i ett fall luta handen mot kroppen, i ett annat - utför uppgiften med en hand rak arm. Det senare kommer att vara en omöjlig uppgift för många, även om stolens vikt förblir densamma.
Momentenheter
Några ord bör också sägas om SI-enheterna i vilka vridmomentet mäts. Enligt formeln som skrivits ner för den mäts den i newton per meter (N*m). Men dessa enheter mäter även arbete och energi i fysiken (1 N*m = 1 joule). Joule för tillfället M¯ gäller inte, eftersom arbete är en skalär storhet, medan M¯ är en vektor.
Sammanfallen av kraftmomentenheter med energienheter är dock inte oavsiktlig. Arbetet som utförs för att rotera systemet, utfört av ögonblicket M, beräknas med formeln:
Av detta finner vi att M även kan uttryckas i joule per radian (J/rad).
Dynamik av rotation
I början av artikeln skrev vi ner de kinematiska egenskaperna som används för att beskriva rotationsrörelsen. I rotationsdynamik är huvudekvationen som använder dessa egenskaper följande:
Verkan av momentet M på ett system som har ett tröghetsmoment I leder till uppkomsten av vinkelacceleration α.
Denna formel används för att bestämma vinkelfrekvenserna för rotation inom teknik. Till exempel, genom att känna till vridmomentet för en asynkronmotor, som beror på frekvensen av strömmen i statorspolen och på storleken på det förändrade magnetfältet, samt att känna till tröghetsegenskaperna hos den roterande rotorn, är det möjligt att bestämma till vilken rotationshastighet ω motorrotorn snurrar upp på en känd tid t.
Exempel på problemlösning
Den viktlösa spaken, som är 2 meter lång, har ett stöd i mitten. Vilken vikt ska placeras på ena änden av spaken så att den är i jämviktstillstånd om en last som väger 10 kg ligger på andra sidan av stödet på ett avstånd av 0,5 meter från den?
Uppenbarligen, vad kommer att hända om kraftmomenten som skapas av lasterna är lika stora. Den kraft som skapar momentet i detta problem är kroppens vikt. Kraftspakarna är lika med avstånden från lasterna till stödet. Låt oss skriva motsvarande likhet:
m 1 * g * di = m 2 * g * d 2 =>
P2 = m2 *g = mi *g*di/d2.
Vi får vikten P 2 om vi från problemförhållandena ersätter värdena m 1 = 10 kg, d 1 = 0,5 m, d 2 = 1 m. Den skriftliga likheten ger svaret: P 2 = 49,05 newton.
Definition
Vektorprodukten av radien - vektor (), som dras från punkt O (Fig. 1) till punkten där kraften appliceras på själva vektorn kallas kraftmomentet () med avseende på punkt O:
I fig. 1 är punkt O och kraftvektorn () och radievektorn i figurens plan. I det här fallet är vektorn för kraftmomentet () vinkelrät mot ritningens plan och har en riktning bort från oss. Vektorn för kraftmomentet är axiell. Kraftmomentvektorns riktning väljs på så sätt att rotation runt punkt O i kraftriktningen och vektorn skapar ett högerhänt system. Riktningen för kraftmomentet och vinkelaccelerationen sammanfaller.
Vektorns storlek är:
där är vinkeln mellan radien och kraftvektorns riktningar, är kraftarmen relativt punkt O.
Kraftmoment runt axeln
Kraftmomentet relativt en axel är en fysisk storhet som är lika med projektionen av vektorn för kraftmomentet relativt punkten för den valda axeln på en given axel. I det här fallet spelar valet av punkt ingen roll.
Styrkans främsta ögonblick
Huvudmomentet för en uppsättning krafter i förhållande till punkt O kallas en vektor (kraftmoment), som är lika med summan av momenten av alla krafter som verkar i systemet i förhållande till samma punkt:
I detta fall kallas punkt O centrum för reduktion av kraftsystemet.
Om det finns två huvudmoment ( och ) för ett kraftsystem för olika två kraftcentra (O och O'), så är de relaterade med uttrycket:
där är radievektorn, som dras från punkt O till punkt O’, är kraftsystemets huvudvektor.
I det allmänna fallet är resultatet av verkan av ett godtyckligt kraftsystem på en solid kropp detsamma som verkan på kroppen av kraftsystemets huvudmoment och kraftsystemets huvudvektor, vilket är appliceras i reduktionens centrum (punkt O).
Grundlag för rotationsrörelsens dynamik
var är rörelsemängden för en kropp i rotation.
För en solid kropp kan denna lag representeras som:
där I är kroppens tröghetsmoment och är vinkelaccelerationen.
Momentenheter
Den grundläggande måttenheten för kraftmoment i SI-systemet är: [M]=N m
I GHS: [M]=din cm
Exempel på problemlösning
Exempel
Träning. Figur 1 visar en kropp som har en rotationsaxel OO". Kraftmomentet som appliceras på kroppen i förhållande till en given axel blir lika med noll? Axeln och kraftvektorn är placerade i figurens plan.
Lösning. Som grund för att lösa problemet kommer vi att ta formeln som bestämmer kraftmomentet:
I vektorprodukten (kan ses från figuren). Vinkeln mellan kraftvektorn och radievektorn kommer också att skilja sig från noll (eller), därför är vektorprodukten (1.1) inte lika med noll. Det betyder att kraftmomentet skiljer sig från noll.
Svar.
Exempel
Träning. Vinkelhastigheten för en roterande stel kropp ändras i enlighet med grafen som visas i fig. 2. Vid vilken av punkterna som anges på grafen är kraftmomentet som appliceras på kroppen lika med noll?
Som är lika med produkten av kraften med sin skuldra.
Kraftmomentet beräknas med formeln:
Var F- tvinga, l- axel av styrka.
Axel av makt- detta är det kortaste avståndet från kraftens verkningslinje till kroppens rotationsaxel. Bilden nedan visar en stel kropp som kan rotera runt en axel. Denna kropps rotationsaxel är vinkelrät mot figurens plan och passerar genom punkten, som betecknas som bokstaven O. Kraftskuldran Med här är avståndet l, från rotationsaxeln till kraftens verkningslinje. Det definieras så här. Det första steget är att dra en kraftlinje för kraften, sedan från punkt O, genom vilken kroppens rotationsaxel passerar, sänk en vinkelrät mot kraftens verkningslinje. Längden på denna vinkelrät visar sig vara armen för en given kraft.
Kraftmomentet kännetecknar en krafts roterande verkan. Denna åtgärd är beroende av både styrka och hävstångseffekt. Ju större armen är, desto mindre kraft måste appliceras för att uppnå önskat resultat, det vill säga samma kraftmoment (se figuren ovan). Det är därför det är mycket svårare att öppna en dörr genom att trycka den nära gångjärnen än att ta tag i handtaget, och det är mycket lättare att skruva loss en mutter med en lång än med en kort skiftnyckel.
SI-enheten för kraftmoment anses vara ett kraftmoment på 1 N, vars arm är lika med 1 m - newtonmeter (N m).
Ögonblickens regel.
En stel kropp som kan rotera runt en fast axel är i jämvikt om kraftmomentet M 1 att rotera den medurs är lika med kraftmomentet M 2 , som roterar den moturs:
Momentregeln är en följd av en av mekanikens teorem, som formulerades av den franske vetenskapsmannen P. Varignon 1687.
Ett par krafter.
Om en kropp påverkas av 2 lika stora och motsatt riktade krafter som inte ligger på samma räta linje, så är en sådan kropp inte i jämvikt, eftersom det resulterande momentet för dessa krafter i förhållande till någon axel inte är lika med noll, eftersom båda krafterna har moment riktade i samma riktning. Två sådana krafter som samtidigt verkar på en kropp kallas ett par krafter. Om kroppen är fixerad på en axel, kommer den att rotera under inverkan av ett par krafter. Om ett par krafter appliceras på en fri kropp, kommer den att rotera runt sin axel. passerar genom kroppens tyngdpunkt, figur b.
Momentet för ett kraftpar är detsamma kring vilken axel som helst som är vinkelrät mot parets plan. Totalt ögonblick M par är alltid lika med produkten av en av krafterna F på avstånd l mellan krafter, som kallas parets axel, oavsett vilka segment l, och delar positionen för axelns axel på paret:
Momentet för flera krafter, vars resultant är noll, kommer att vara detsamma i förhållande till alla axlar parallella med varandra, därför kan verkan av alla dessa krafter på kroppen ersättas av verkan av ett kraftpar med samma ögonblick.
I artikeln kommer vi att prata om kraftmomentet kring en punkt och en axel, definitioner, ritningar och grafer, vilken måttenhet för kraftmomentet, arbete och kraft i rotationsrörelse, samt exempel och problem.
Maktens ögonblick representerar en vektor med en fysisk storhet lika med produkten av vektorer axelstyrka(radievektor för partikeln) och styrka, agerar på en punkt. Kraftspaken är en vektor som förbinder den punkt genom vilken en stel kropps rotationsaxel passerar med den punkt till vilken kraften appliceras.
där: r är kraftarmen, F är kraften som appliceras på kroppen.
Vektor riktning momentkrafter alltid vinkelrät mot planet som definieras av vektorerna r och F.
Huvudpoäng- vilket som helst system av krafter på ett plan relativt den accepterade polen kallas det algebraiska momentet för alla krafter i detta system i förhållande till denna pol.
I rotationsrörelser är inte bara de fysiska storheterna själva viktiga, utan också hur de är placerade i förhållande till rotationsaxeln, det vill säga deras ögonblick. Vi vet redan att i roterande rörelse är inte bara massa viktig utan också. När det gäller en kraft bestäms dess effektivitet när det gäller att utlösa acceleration av hur kraften appliceras på rotationsaxeln.
Relationen mellan kraft och sättet den appliceras beskriver KRAFTENS ÖGNET. Kraftmomentet är vektorprodukten av kraftarmen R till kraftvektorn F:
Som i alla vektorprodukter, så här
Därför kommer kraften inte att påverka rotationen när vinkeln mellan kraftvektorerna F och spak R lika med 0 o eller 180 o. Vad är effekten av att applicera ett kraftmoment M?
Vi använder Newtons andra rörelselag och förhållandet mellan rep och vinkelhastighet v = Rω i skalär form, är giltiga när vektorerna R Och ω vinkelräta mot varandra
Om vi multiplicerar båda sidor av ekvationen med R får vi
Eftersom mR 2 = I drar vi slutsatsen att
Ovanstående beroende är också giltigt för fallet med ett materiellt organ. Observera att medan den yttre kraften ger en linjär acceleration a, ger momentet för den yttre kraften vinkelaccelerationen ε.
Måttenhet för kraftmoment
Huvudmåttet på kraftmomentet i SI-systemets koordinater är: [M]=N m
I GHS: [M]=din cm
Arbete och kraft i roterande rörelse
Arbete i linjär rörelse bestäms av det allmänna uttrycket,
men i roterande rörelse,
och följaktligen
Baserat på egenskaperna hos den blandade produkten av tre vektorer kan vi skriva
Därför har vi fått ett uttryck för arbeta i roterande rörelse:
Kraft i roterande rörelse:
Hitta maktens ögonblick, agerar på kroppen i de situationer som visas i figurerna nedan. Låt oss anta att r = 1m och F = 2N.
A) eftersom vinkeln mellan vektorerna r och F är 90°, då är sin(a)=1:
M = r F = 1 m 2N = 2 N m
b) eftersom vinkeln mellan vektorerna r och F är 0°, så sin(a)=0:
M = 0
ja riktat tvinga kan inte ge en poäng rotationsrörelse.
c) eftersom vinkeln mellan vektorerna r och F är 30°, då är sin(a)=0,5:
M = 0,5 r F = 1 Nm.
Således kommer den riktade kraften att orsaka kroppsrotation dess effekt blir dock mindre än i fallet a).
Kraftmoment runt axeln
Låt oss anta att data är en punkt O(stolpe) och kraft P. Vid punkten O vi tar ursprunget till ett rektangulärt koordinatsystem. Maktens ögonblick R i förhållande till stolparna O representerar en vektor M från (R), (bilden nedan) .
Vilken poäng som helst A uppkopplad P
har koordinater (xo, yo, zo).
Kraftvektor P
har koordinater Px, Py, Pz.
Kombinationspunkt A (xo, yo, zo) med början av systemet får vi vektorn sid. Forcera vektorkoordinater P
i förhållande till stolpen O indikeras med symboler Mx, My, Mz.
Dessa koordinater kan beräknas som minima för en given determinant, där ( i, j, k) - enhetsvektorer på koordinataxlarna (tillval): i, j, k
Efter att ha löst determinanten kommer koordinaterna för ögonblicket att vara lika med:
Moment vektor koordinater Mo (P) kallas kraftmoment kring motsvarande axel. Till exempel kraftmoment P i förhållande till axeln Uns omger mall:
Mz = Pyxo - Pxyo
Detta mönster tolkas geometriskt som visas i figuren nedan.
Baserat på denna tolkning, kraftmomentet kring axeln Uns kan definieras som kraftprojektionsögonblicket P
vinkelrätt mot axeln Uns i förhållande till punkten för detta plans penetration av axeln. Projektion av kraft P
vinkelrätt mot axeln anges Pxy
och planpenetrationspunkten Oxy- axel OS symbol O.
Av ovanstående definition av momentet för en kraft kring en axel, följer att momentet för en kraft kring en axel är noll när kraften och axeln är lika, i samma plan (när kraften är parallell med axeln eller när kraften skär axeln).
Använder formlerna på Mx, My, Mz,
vi kan beräkna värdet på kraftmomentet P
i förhållande till punkten O och bestämma vinklarna som finns mellan vektorn M
och systemaxlar:
Vridmomentmärke:
plus (+) - rotation av kraften runt O-axeln medurs,
minus (-) — rotation av kraften runt O-axeln moturs.
Ett ögonblick av makt i förhållande till ett godtyckligt centrum i kraftens verkningsplan kallas produkten av kraftmodulen och skuldran.
Axel- det kortaste avståndet från centrum O till kraftens verkningslinje, men inte till den punkt där kraften appliceras, eftersom kraft-glidande vektor.
Momenttecken:
Medurs - minus, moturs - plus;
Kraftmomentet kan uttryckas som en vektor. Detta är vinkelrätt mot planet enligt Gimlets regel.
Om flera krafter eller ett kraftsystem finns i planet, kommer den algebraiska summan av deras moment att ge oss huvudpoäng kraftsystem.
Låt oss betrakta kraftmomentet runt axeln, beräkna kraftmomentet runt Z-axeln;
Låt oss projicera F på XY;
F xy =F cosα= ab
mo (F xy)=mz (F), det vill säga mz =F xy * h=F cosα* h
Kraftmomentet i förhållande till axeln är lika med momentet för dess projektion på planet vinkelrätt mot axeln, taget vid skärningspunkten mellan axlarna och planet
Om kraften är parallell med axeln eller skär den, då är m z (F)=0
Uttrycker kraftmoment som ett vektoruttryck
Låt oss rita r a till punkt A. Betrakta OA x F.
Detta är den tredje vektorn m o , vinkelrät mot planet. Storleken på korsprodukten kan beräknas med två gånger arean av den skuggade triangeln.
Analytiskt uttryck av kraft i förhållande till koordinataxlar.
Låt oss anta att Y- och Z-, X-axlarna med enhetsvektorerna i, j, k är associerade med punkt O. Med tanke på att:
rx =X * Fx; r y = Y * F y; r z =Z * F y får vi: m o (F)=x =
Låt oss utöka determinanten och få:
m x =YF z - ZF y
m y = ZF x - XF z
mz =XF y - YF x
Dessa formler gör det möjligt att beräkna projektionen av vektormomentet på axeln, och sedan själva vektormomentet.
Varignons sats om ögonblicket för resultanten
Om ett kraftsystem har en resultant, så är dess moment i förhållande till något centrum lika med den algebraiska summan av momenten av alla krafter i förhållande till denna punkt
Om vi tillämpar Q= -R, så kommer systemet (Q,F 1 ... F n) att vara lika balanserat.
Summan av momenten kring ett centrum kommer att vara lika med noll.
Analytiskt jämviktstillstånd för ett plan kraftsystem
Detta är ett platt kraftsystem, vars handlingslinjer är belägna i samma plan
Syftet med att beräkna problem av denna typ är att bestämma reaktionerna hos externa anslutningar. För att göra detta används de grundläggande ekvationerna i ett plan kraftsystem.
2 eller 3 momentekvationer kan användas.
Exempel
Låt oss skapa en ekvation för summan av alla krafter på X- och Y-axeln:
Summan av momenten av alla krafter i förhållande till punkt A:
Parallella krafter
Ekvation för punkt A:
Ekvation för punkt B:
Summan av projektionerna av krafter på Y-axeln.
