Ilmunud on uued ülesanded. Vaatame nende lahendust.
Ülesande B8 prototüüp (nr 317543)
Joonisel on kujutatud funktsiooni y=f(x) graafik, kuhu on märgitud punktid -2, -1, 1, 2. Millistes punktides on tuletise väärtus suurim? Palun märkige see punkt oma vastuses.
Nagu me teame, nimetatakse seda
funktsiooni ja argumendi juurdekasvu suhte piir, kui argumendi juurdekasv kipub olema null:
Punkti tuletis näitab funktsiooni muutumise kiirus sel hetkel. Mida kiiremini funktsioon muutub, st mida suurem on funktsiooni juurdekasv, seda suurem on puutuja kaldenurk. Kuna ülesanne nõuab punkti määramist, kus tuletise väärtus on suurim, siis jätame vaatlusest välja punktid, mille abstsissid on -1 ja 1 - nendes punktides funktsioon väheneb ja nende tuletis on negatiivne.
Funktsioon suureneb punktides -2 ja 2. Kuid see suureneb nendes erineval viisil - punktis -2 tõuseb funktsiooni graafik järsemalt kui punktis 2 ja seega ka funktsiooni juurdekasv selles punktis ja seega tuletis, on suurem.
Vastus: -2
Ja sarnane ülesanne:
Ülesande B8 prototüüp (nr 317544)
Joonisel on funktsiooni graafik ja tähistatud punktid -2, -1, 1, 4. Millises punktis on tuletis väikseim? Palun märkige see punkt oma vastuses.
Selle probleemi lahendus on sarnane eelmise lahendusega "täpselt vastupidine"
Meid huvitab punkt, kus tuletis võtab oma väikseima väärtuse, see tähendab, et otsime punkti, kus funktsioon kahaneb kõige kiiremini - graafikul on see punkt, kus toimub kõige järsem "laskumine". See on abstsisspunkt 4.
Kallid sõbrad! Tuletisega seotud ülesannete rühma kuuluvad ülesanded - tingimus annab funktsiooni graafiku, sellel graafikul mitu punkti ja küsimus on:
Millisel hetkel on tuletis suurim (väikseim)?
Kordame lühidalt:
Punkti tuletis on võrdne läbiva puutuja kaldegasee punkt graafikul.
UPuutuja globaalne koefitsient on omakorda võrdne selle puutuja kaldenurga puutujaga.
*See viitab puutuja ja x-telje vahelisele nurgale.
1. Suureneva funktsiooni intervallidel on tuletisel positiivne väärtus.
2. Selle kahanemise ajavahemike järel on tuletisel negatiivne väärtus.
Mõelge järgmisele visandile:
Punktides 1,2,4 on funktsiooni tuletis negatiivse väärtusega, kuna need punktid kuuluvad kahanevatesse intervallidesse.
Punktides 3,5,6 on funktsiooni tuletis positiivne väärtus, kuna need punktid kuuluvad kasvavatesse intervallidesse.
Nagu näete, on tuletise tähendusega kõik selge, see tähendab, et pole üldse raske kindlaks teha, milline märk sellel on (positiivne või negatiivne) graafiku teatud punktis.
Veelgi enam, kui konstrueerime nendes punktides mõtteliselt puutujaid, näeme, et punkte 3, 5 ja 6 läbivad sirged moodustavad nurgad oX-teljega vahemikus 0 kuni 90 o ning punkte 1, 2 ja 4 läbivad sirged. oX-telje puhul jäävad nurgad vahemikku 90 o kuni 180 o.
*Seos on selge: suurenevate funktsioonide intervallidesse kuuluvaid punkte läbivad puutujad moodustavad oX-teljega teravnurgad, kahanevate funktsioonide intervallidesse kuuluvaid punkte läbivad puutujad oX-teljega nürinurgad.
Nüüd oluline küsimus!
Kuidas muutub tuletise väärtus? Lõppkokkuvõttes moodustab pideva funktsiooni graafiku erinevates punktides olev puutuja erinevad nurgad, olenevalt sellest, millist graafiku punkti see läbib.
*Või lihtsamalt öeldes asub puutuja rohkem "horisontaalselt" või "vertikaalselt". Vaata:
Sirged jooned moodustavad nurgad, mille oX telg on vahemikus 0 kuni 90 o
Sirged jooned moodustavad nurgad oX-teljega vahemikus 90° kuni 180°
Seega, kui teil on küsimusi:
— millises antud graafiku punktis on tuletis väikseima väärtusega?
- millises antud graafiku punktis on tuletis suurim väärtus?
siis vastamiseks on vaja aru saada, kuidas muutub puutujanurga puutuja väärtus vahemikus 0 kuni 180 o.
*Nagu juba mainitud, on funktsiooni tuletise väärtus punktis võrdne oX-telje puutuja kaldenurga puutujaga.
Tangensi väärtus muutub järgmiselt:
Kui sirge kaldenurk muutub 0°-lt 90°-le, muutub puutuja väärtus ja seega ka tuletis vastavalt 0-lt +∞;
Kui sirge kaldenurk muutub 90°-lt 180°-le, muutub puutuja väärtus ja seega ka tuletis vastavalt –∞ väärtusele 0.
Seda on selgelt näha puutujafunktsiooni graafikult:
Lihtsamalt öeldes:
puutuja kaldenurgaga 0° kuni 90°
Mida lähemal see on 0 o, seda suurem on tuletise väärtus nullilähedane (positiivsel poolel).
Mida lähemal on nurk 90°-le, seda rohkem suureneb tuletise väärtus +∞ suunas.
Tangensi kaldenurgaga 90° kuni 180°
Mida lähemal see on 90 o, seda rohkem tuletisväärtus väheneb –∞ suunas.
Mida lähemal on nurk 180°-le, seda suurem on tuletise väärtus nullilähedane (miinuspoolel).
317543. Joonisel on kujutatud funktsiooni y = graafik f(x) ja punktid on märgitud–2, –1, 1, 2. Millistes punktides on tuletis suurim? Palun märkige see punkt oma vastuses.
Meil on neli punkti: kaks neist kuuluvad intervallidesse, millel funktsioon väheneb (need on punktid –1 ja 1) ning kaks intervallidesse, millel funktsioon suureneb (need on punktid –2 ja 2).
Võime kohe järeldada, et punktides –1 ja 1 on tuletis negatiivse väärtusega ning punktides –2 ja 2 positiivse väärtusega. Seetõttu on sel juhul vaja analüüsida punkte –2 ja 2 ning määrata, milline neist on suurima väärtusega. Ehitame näidatud punkte läbivad puutujad:
Sirge a ja abstsisstelje vahelise nurga puutuja väärtus on suurem kui sirge b ja selle telje vahelise nurga puutuja väärtus. See tähendab, et tuletise väärtus punktis –2 on suurim.
Vastame järgmisele küsimusele: millises punktis –2, –1, 1 või 2 on tuletise väärtus kõige negatiivsem? Palun märkige see punkt oma vastuses.
Tuletis on kahanevatesse intervallidesse kuuluvates punktides negatiivse väärtusega, seega vaatleme punkte –2 ja 1. Koostame neid läbivad puutujad:
Näeme, et nürinurk sirge b ja oX-telje vahel on "lähedasem" 180 O , seetõttu on selle puutuja suurem sirge a ja oX-telje poolt moodustatud nurga puutujast.
Seega punktis x = 1 on tuletise väärtus suurim negatiivne.
317544. Joonisel on kujutatud funktsiooni y = graafik f(x) ja punktid on märgitud–2, –1, 1, 4. Millistes punktides on tuletis väikseim? Palun märkige see punkt oma vastuses.
Meil on neli punkti: kaks neist kuuluvad funktsiooni kahanemise intervallidesse (need on punktid –1 ja 4) ning kaks funktsiooni suurenemise intervallidesse (need on punktid –2 ja 1).
Võime kohe järeldada, et punktides –1 ja 4 on tuletisel negatiivne väärtus ning punktides –2 ja 1 positiivne väärtus. Seetõttu on sel juhul vaja analüüsida punkte –1 ja 4 ning määrata, milline neist on väikseima väärtusega. Ehitame näidatud punkte läbivad puutujad:
Sirge a ja abstsisstelje vahelise nurga puutuja väärtus on suurem kui sirge b ja selle telje vahelise nurga puutuja väärtus. See tähendab, et tuletise väärtus punktis x = 4 on väikseim.
Vastus: 4
Loodan, et ma pole teid kirjutamise hulgaga "üle koormanud". Tegelikult on kõik väga lihtne, peate lihtsalt mõistma tuletise omadusi, selle geomeetrilist tähendust ja seda, kuidas nurga puutuja väärtus muutub vahemikus 0 kuni 180 o.
1. Esmalt määrake nendes punktides (+ või -) tuletise märgid ja valige vajalikud punktid (olenevalt püstitatud küsimusest).
2. Koostage nendes punktides puutujad.
3. Märkige skemaatiliselt tangesoidgraafiku abil nurgad ja kuvaAleksander.
P.S. Oleksin tänulik, kui räägiksite mulle saidi kohta sotsiaalvõrgustikes.
Ülesanne B9 annab funktsiooni või tuletise graafiku, mille põhjal peate määrama ühe järgmistest suurustest:
- tuletise väärtus mingil hetkel x 0,
- Maksimaalsed või minimaalsed punktid (äärmuspunktid),
- Suurenevate ja kahanevate funktsioonide intervallid (monotoonsuse intervallid).
Selles ülesandes esitatud funktsioonid ja tuletised on alati pidevad, muutes lahenduse palju lihtsamaks. Vaatamata sellele, et ülesanne kuulub matemaatilise analüüsi sektsiooni, saavad sellega hakkama ka kõige nõrgemad õpilased, kuna siin pole vaja sügavaid teoreetilisi teadmisi.
Tuletise, ekstreemumipunktide ja monotoonsusintervallide väärtuse leidmiseks on lihtsad ja universaalsed algoritmid – neid kõiki käsitletakse allpool.
Loe ülesande B9 tingimused hoolikalt läbi, et vältida rumalaid vigu: vahel tuleb ette üsna pikki tekste, kuid olulisi tingimusi, mis mõjutavad lahenduse käiku, on vähe.
Tuletisväärtuse arvutamine. Kahe punkti meetod
Kui ülesandele on antud funktsiooni f(x) graaf, mis puutub seda graafikut mingis punktis x 0 ja selles punktis on vaja leida tuletise väärtus, rakendatakse järgmist algoritmi:
- Leidke puutujagraafikult kaks "adekvaatset" punkti: nende koordinaadid peavad olema täisarvud. Tähistame need punktid kui A (x 1 ; y 1) ja B (x 2 ; y 2). Kirjutage koordinaadid õigesti - see on lahenduse võtmepunkt ja iga siin tehtud viga viib vale vastuseni.
- Teades koordinaate, on lihtne arvutada argumendi Δx = x 2 − x 1 juurdekasvu ja funktsiooni Δy = y 2 − y 1 juurdekasvu.
- Lõpuks leiame tuletise D = Δy/Δx väärtuse. Teisisõnu, peate jagama funktsiooni juurdekasvu argumendi juurdekasvuga - ja see on vastus.
Märgime veel kord: punkte A ja B tuleb otsida just puutujalt, mitte aga funktsiooni f(x) graafikult, nagu sageli juhtub. Puutejoon peab tingimata sisaldama vähemalt kahte sellist punkti - vastasel juhul ei formuleerita ülesannet õigesti.
Vaatleme punkte A (-3; 2) ja B (-1; 6) ning leidke juurdekasvud:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.
Leiame tuletise väärtuse: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.
Ülesanne. Joonisel on kujutatud funktsiooni y = f(x) graafik ja selle puutuja punktis, mille abstsiss on x 0. Leia funktsiooni f(x) tuletise väärtus punktis x 0 .
Vaatleme punkte A (0; 3) ja B (3; 0), leidke juurdekasvud:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.
Nüüd leiame tuletise väärtuse: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.
Ülesanne. Joonisel on kujutatud funktsiooni y = f(x) graafik ja selle puutuja punktis, mille abstsiss on x 0. Leia funktsiooni f(x) tuletise väärtus punktis x 0 .
Mõelge punktidele A (0; 2) ja B (5; 2) ning leidke juurdekasv:
Δx = x 2 - x 1 = 5 - 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.
Jääb üle leida tuletise väärtus: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.
Viimasest näitest saame sõnastada reegli: kui puutuja on paralleelne OX-teljega, on funktsiooni tuletis puutepunktis null. Sel juhul ei pea te isegi midagi loendama – vaadake lihtsalt graafikut.
Maksimaalsete ja minimaalsete punktide arvutamine
Mõnikord annab ülesanne B9 funktsiooni graafiku asemel tuletise graafiku ja nõuab funktsiooni maksimum- või miinimumpunkti leidmist. Selles olukorras on kahepunkti meetod kasutu, kuid on veel üks, veelgi lihtsam algoritm. Esiteks määratleme terminoloogia:
- Punkti x 0 nimetatakse funktsiooni f(x) maksimumpunktiks, kui selle punkti mõnes naabruses kehtib järgmine võrratus: f(x 0) ≥ f(x).
- Punkti x 0 nimetatakse funktsiooni f(x) miinimumpunktiks, kui selle punkti mõnes naabruses kehtib järgmine võrratus: f(x 0) ≤ f(x).
Tuletisgraafiku maksimum- ja miinimumpunktide leidmiseks toimige järgmiselt.
- Joonistage tuletisgraafik ümber, eemaldades kogu mittevajaliku teabe. Nagu praktika näitab, segavad mittevajalikud andmed ainult otsust. Seetõttu märgime koordinaatide teljele tuletise nullid - ja kõik.
- Leia tuletise märgid nullidevahelistel intervallidel. Kui mingi punkti x 0 puhul on teada, et f'(x 0) ≠ 0, siis on võimalikud ainult kaks võimalust: f'(x 0) ≥ 0 või f'(x 0) ≤ 0. Tuletise märk on algse joonise järgi lihtne määrata: kui tuletisgraafik asub OX-telje kohal, siis f'(x) ≥ 0. Ja vastupidi, kui tuletisgraafik asub OX-teljest allpool, siis f'(x) ≤ 0.
- Kontrollime uuesti tuletise nullid ja märke. Kui märk muutub miinusest plussiks, on miinimumpunkt. Ja vastupidi, kui tuletise märk muutub plussist miinusesse, on see maksimumpunkt. Loendamine toimub alati vasakult paremale.
See skeem töötab ainult pidevate funktsioonide puhul - probleemis B9 pole teisi.
Ülesanne. Joonisel on graafik funktsiooni f(x) tuletisest, mis on defineeritud intervallil [−5; 5]. Leia sellel lõigul funktsiooni f(x) miinimumpunkt.
Vabaneme ebavajalikust infost ja jätame ainult piirid [−5; 5] ja tuletise nullid x = −3 ja x = 2,5. Samuti paneme tähele märke:
Ilmselt muutub punktis x = −3 tuletise märk miinusest plussiks. See on miinimumpunkt.
Ülesanne. Joonisel on graafik funktsiooni f(x) tuletisest, mis on defineeritud intervallil [−3; 7]. Leidke sellel lõigul funktsiooni f(x) maksimaalne punkt.
Joonistame graafiku ümber, jättes alles ainult piirid [−3; 7] ning tuletise x = −1,7 ja x = 5 nullid. Märgime saadud graafikule tuletise märgid. Meil on:
Ilmselgelt muutub punktis x = 5 tuletise märk plussist miinusesse – see on maksimumpunkt.
Ülesanne. Joonisel on graafik funktsiooni f(x) tuletisest, mis on defineeritud intervallil [−6; 4]. Leia lõiku [−4 kuuluva funktsiooni f(x) maksimumpunktide arv; 3].
Ülesande tingimustest järeldub, et piisab, kui vaadelda ainult seda osa graafist, mis on piiratud lõiguga [−4; 3]. Seetõttu ehitame uue graafiku, millele märgime ainult piirid [−4; 3] ja selle sees oleva tuletise nullid. Nimelt punktid x = −3,5 ja x = 2. Saame:
Sellel graafikul on ainult üks maksimumpunkt x = 2. Just selles punktis muutub tuletise märk plussist miinusesse.
Väike märkus mittetäisarvuliste koordinaatidega punktide kohta. Näiteks viimases ülesandes vaadeldi punkti x = −3,5, kuid sama eduga saame võtta x = −3,4. Kui probleem on õigesti koostatud, ei tohiks sellised muudatused vastust mõjutada, kuna punktid "ilma kindla elukohata" ei osale otseselt probleemi lahendamisel. Muidugi ei tööta see trikk täisarvuliste punktidega.
Suurenevate ja kahanevate funktsioonide intervallide leidmine
Sellise ülesande puhul, nagu ka maksimum- ja miinimumpunktid, tehakse ettepanek kasutada tuletisgraafikut, et leida alad, kus funktsioon ise suureneb või väheneb. Esiteks määratleme, mis on suurenemine ja kahanemine:
- Funktsioon f(x) kasvab lõigul, kui selle lõigu mis tahes kahe punkti x 1 ja x 2 puhul on tõene järgmine väide: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Teisisõnu, mida suurem on argumendi väärtus, seda suurem on funktsiooni väärtus.
- Funktsiooni f(x) nimetatakse lõigul kahanevaks, kui selle lõigu mis tahes kahe punkti x 1 ja x 2 puhul on tõene järgmine väide: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Need. Suurem argumendi väärtus vastab väiksemale funktsiooni väärtusele.
Sõnastame piisavad tingimused suurendamiseks ja kahanemiseks:
- Selleks, et pidev funktsioon f(x) kasvaks lõigul , piisab, kui selle tuletis segmendi sees on positiivne, s.t. f’(x) ≥ 0.
- Selleks, et pidev funktsioon f(x) väheneks lõigul , piisab, kui selle tuletis segmendi sees on negatiivne, s.t. f’(x) ≤ 0.
Aktsepteerigem neid väiteid ilma tõenditeta. Nii saame suurenemise ja kahanemise intervallide leidmise skeemi, mis on paljuski sarnane äärmuspunktide arvutamise algoritmiga:
- Eemaldage kogu mittevajalik teave. Tuletise algses graafikus huvitavad meid eelkõige funktsiooni nullid, seega jätame alles need.
- Märgi tuletise märgid nullide vahele. Kui f’(x) ≥ 0, siis funktsioon suureneb ja kus f’(x) ≤ 0, siis see väheneb. Kui probleem seab muutujale x piirangud, märgime need täiendavalt uuele graafikule.
- Nüüd, kui me teame funktsiooni käitumist ja piiranguid, jääb üle arvutada ülesandes nõutav kogus.
Ülesanne. Joonisel on graafik funktsiooni f(x) tuletisest, mis on defineeritud intervallil [−3; 7.5]. Leia funktsiooni f(x) vähenemise intervallid. Oma vastuses märkige nendes intervallides sisalduvate täisarvude summa.
Nagu ikka, joonistame graafiku ümber ja märgime piirid [−3; 7,5], samuti tuletise x = −1,5 ja x = 5,3 nullid. Seejärel märgime ära tuletise märgid. Meil on:
Kuna tuletis on intervallil (−1,5) negatiivne, on see kahaneva funktsiooni intervall. Jääb kokku võtta kõik selles intervallis olevad täisarvud:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Ülesanne. Joonisel on graafik funktsiooni f(x) tuletisest, mis on defineeritud intervallil [−10; 4]. Leia funktsiooni f(x) suurenemise intervallid. Oma vastuses märkige neist suurima pikkus.
Vabaneme ebavajalikust teabest. Jätame ainult piirid [−10; 4] ja tuletise nullid, mida seekord oli neli: x = −8, x = −6, x = −3 ja x = 2. Märgistame tuletise märgid ja saame järgmise pildi:
Meid huvitavad suureneva funktsiooni intervallid, s.o. selline, kus f’(x) ≥ 0. Graafikul on kaks sellist intervalli: (−8; −6) ja (−3; 2). Arvutame nende pikkused:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.
Kuna peame leidma intervallidest suurima pikkuse, siis kirjutame vastuseks üles väärtuse l 2 = 5.
Funktsiooni tuletis on üks raskemaid teemasid kooli õppekavas. Mitte iga lõpetaja ei vasta küsimusele, mis on tuletis.
See artikkel selgitab lihtsalt ja selgelt, mis on tuletis ja miks seda vaja on.. Me ei püüdle nüüd esitluses matemaatilise ranguse poole. Kõige tähtsam on mõista tähendust.
Meenutagem määratlust:
Tuletis on funktsiooni muutumise kiirus.
Joonisel on kujutatud kolme funktsiooni graafikud. Kumb teie arvates kasvab kiiremini?
Vastus on ilmne – kolmas. Sellel on suurim muutusmäär, st suurim tuletis.
Siin on veel üks näide.
Kostja, Griša ja Matvey said samal ajal tööd. Vaatame, kuidas nende sissetulek aasta jooksul muutus:
Graafik näitab kõike korraga, kas pole? Kostja sissetulek kasvas kuue kuuga enam kui kahekordseks. Ja ka Grisha sissetulek kasvas, kuid veidi. Ja Matvey sissetulek vähenes nullini. Algtingimused on samad, kuid funktsiooni muutumise kiirus, st tuletis, - erinev. Mis puutub Matveysse, siis tema tulude tuletisinstrument on üldiselt negatiivne.
Intuitiivselt hindame lihtsalt funktsiooni muutumise kiirust. Aga kuidas me seda teeme?
See, mida me tegelikult vaatame, on see, kui järsult funktsiooni graafik üles (või alla) läheb. Teisisõnu, kui kiiresti y muutub, kui x muutub? Ilmselgelt võivad sama funktsiooni erinevates punktides olla erinevad tuletisväärtused - see tähendab, et see võib muutuda kiiremini või aeglasemalt.
Funktsiooni tuletist tähistatakse .
Näitame teile, kuidas seda graafiku abil leida.
Mõne funktsiooni graafik on koostatud. Võtame punkti, millel on abstsiss. Joonistame selles punktis funktsiooni graafiku puutuja. Tahame hinnata, kui järsult funktsioonigraafik üles tõuseb. Selle jaoks on mugav väärtus puutuja nurga puutuja.
Funktsiooni tuletis punktis on võrdne selles punktis funktsiooni graafikule tõmmatud puutujanurga puutujaga.
Pange tähele, et puutuja kaldenurgaks võtame puutuja ja telje positiivse suuna vahelise nurga.
Mõnikord küsivad õpilased, mis on funktsiooni graafiku puutuja. See on sirgjoon, millel on selles jaotises oleva graafikuga üks ühine punkt ja nagu on näidatud meie joonisel. See näeb välja nagu ringi puutuja.
Otsime üles. Peame meeles, et täisnurkse kolmnurga teravnurga puutuja on võrdne vastaskülje ja külgneva külje suhtega. Kolmnurgast:
Leidsime tuletise graafiku abil, teadmata isegi funktsiooni valemit. Selliseid probleeme leidub sageli matemaatika ühtsel riigieksamil numbri all.
On veel üks oluline suhe. Tuletame meelde, et sirge annab võrrand
Selles võrrandis olevat suurust nimetatakse sirgjoone kalle. See on võrdne sirge telje kaldenurga puutujaga.
.
Me saame sellest aru
Meenutagem seda valemit. See väljendab tuletise geomeetrilist tähendust.
Funktsiooni tuletis punktis on võrdne selles punktis funktsiooni graafikule tõmmatud puutuja kaldega.
Teisisõnu on tuletis võrdne puutujanurga puutujaga.
Oleme juba öelnud, et samal funktsioonil võivad erinevates punktides olla erinevad tuletised. Vaatame, kuidas tuletis on seotud funktsiooni käitumisega.
Joonistame mõne funktsiooni graafiku. Las see funktsioon mõnes piirkonnas suureneb ja teistes väheneb ning erineva kiirusega. Ja olgu sellel funktsioonil maksimum- ja miinimumpunktid.
Ühel hetkel funktsioon suureneb. Punkti joonistatud graafiku puutuja moodustab telje positiivse suunaga teravnurga. See tähendab, et punkti tuletis on positiivne.
Sel hetkel meie funktsioon väheneb. Selle punkti puutuja moodustab telje positiivse suunaga nürinurga. Kuna nürinurga puutuja on negatiivne, on tuletis punktis negatiivne.
See juhtub järgmiselt.
Kui funktsioon kasvab, on selle tuletis positiivne.
Kui see väheneb, on selle tuletis negatiivne.
Mis saab maksimum- ja miinimumpunktides? Näeme, et punktides (maksimaalne punkt) ja (minimaalne punkt) on puutuja horisontaalne. Seetõttu on puutuja puutuja nendes punktides null ja tuletis on samuti null.
Punkt – maksimumpunkt. Sel hetkel asendatakse funktsiooni suurenemine vähenemisega. Järelikult muutub tuletise märk punktis "plussist" "miinusseks".
Punktis - miinimumpunktis - on tuletis samuti null, kuid selle märk muutub "miinusest" "plussiks".
Järeldus: tuletise abil saame funktsiooni käitumise kohta teada kõike, mis meid huvitab.
Kui tuletis on positiivne, siis funktsioon suureneb.
Kui tuletis on negatiivne, siis funktsioon väheneb.
Maksimumpunktis on tuletis null ja muudab märgi plussmärgist miinusmärgiks.
Miinimumpunktis on tuletis samuti null ja muudab märgi “miinus” asemel “pluss”.
Kirjutame need järeldused tabeli kujul:
| suureneb | maksimaalne punkt | väheneb | miinimumpunkt | suureneb | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Teeme kaks väikest täpsustust. Ühte neist vajate USE probleemide lahendamisel. Teine - esimesel aastal, funktsioonide ja tuletisi tõsisema uurimisega.
Võimalik, et funktsiooni tuletis on mingil hetkel võrdne nulliga, kuid funktsioonil pole selles punktis ei maksimumi ega miinimumi. See on nn :
Punktis on graafiku puutuja horisontaalne ja tuletis null. Kuid enne punkti funktsioon suurenes - ja pärast punkti jätkab suurenemist. Tuletise märk ei muutu – see jääb positiivseks, nagu oli.
Samuti juhtub, et maksimumi või miinimumi punktis tuletist ei eksisteeri. Graafikul vastab see järsule katkestusele, kui antud punktis pole puutujat võimalik joonistada.
Kuidas leida tuletist, kui funktsioon on antud mitte graafiku, vaid valemiga? Sel juhul kehtib
