Perioodilise jada spekter. Ristkülikukujuliste impulsside jada spekter

2. Ristkülikukujuliste impulsside perioodilise jada spekter

Mõelge ristkülikukujuliste impulsside perioodilisele jadale, mis on näidatud joonisel fig. 5. Seda signaali iseloomustab impulsi kestus, selle amplituud ja periood. Pinge joonistatakse piki vertikaaltelge.

Joonis 5. Ristkülikukujuliste impulsside perioodiline jada

Valime lähtepunkti pulsi keskel. Siis laiendatakse signaali ainult koosinustega. Harmoonilised sagedused on n/T, kus n- mis tahes täisarv. Harmooniliste amplituudid vastavalt punktile (1.2.) on võrdsed:

sest V(t)=E juures , kus on impulsi kestus ja V(t)=0 kell , siis

See valem on mugav kirjutada kujul:

(2.1.)

Valem (1.5.) annab pideva funktsiooni (funktsiooni) kujul n-nda harmoonilise amplituudi sõltuvuse perioodist ja kestusest ). Seda funktsiooni nimetatakse spektri mähisjooneks. Tuleb meeles pidada, et sellel on füüsiline tähendus ainult sagedustel, kus on olemas vastavad harmoonilised. Joonisel fig. Joonisel 6 on kujutatud ristkülikukujuliste impulsside perioodilise jada spekter.

Joonis 6. Perioodilise jada spekter

ristkülikukujulised impulsid.

Ümbriku konstrueerimisel peame silmas, et - on

Sageduse võnkuv funktsioon ja nimetaja suureneb sageduse suurenedes monotoonselt. Seetõttu saadakse järkjärgulise vähenemisega kvaasivõnkuv funktsioon. Kuna sagedus kipub nulli, kipuvad nii lugeja kui ka nimetaja nulli ning nende suhe ühtsusele (esimene klassikaline piir). Ümbriku nullväärtused esinevad punktides, kus st.

Kus m– täisarv (v.am

Ristkülikukujuliste videoimpulsside perioodiline jada on moduleeriv funktsioon ristkülikukujuliste raadioimpulsside (PPRP) perioodilise jada moodustamiseks, mis on sondeerivad signaalid liikuvate sihtmärkide koordinaatide tuvastamiseks ja mõõtmiseks. Seetõttu on moduleeriva funktsiooni (PPVI) spektri abil võimalik suhteliselt lihtsalt ja kiiresti määrata sondeerimissignaali (PPVI) spekter. Kui sondeerimissignaal peegeldub liikuvalt sihtmärgilt, muutuvad kandelaine harmoonilise spektri sagedused (Doppleri efekt). Selle tulemusena on võimalik tuvastada liikuvalt sihtmärgilt peegelduv kasulik signaal seisvatest objektidest (kohalikud objektid) või aeglaselt liikuvatest objektidest (meteoroloogilised moodustised, linnuparved jne) peegelduvate segavate (häirete) vibratsioonide taustal. .

PPPVI (joonis 1.42) on üksikute ristkülikukujuliste videoimpulsside kogum, mis järgnevad üksteisele võrdsete ajavahemike järel. Signaali analüütiline väljendus.

kus on impulsi amplituud; - impulsi kestus; – pulsi kordumise periood; – pulsi kordussagedus, ; - töötsükkel.

Perioodilise impulsside jada spektraalse koostise arvutamiseks kasutatakse Fourier' seeriat. Kui üksikute impulsside teadaolevad spektrid moodustavad perioodilise jada, saame kasutada seost impulsside spektraaltiheduse ja seeria komplekssete amplituudide vahel:

Ühe ristkülikukujulise videoimpulsi puhul kirjeldatakse spektraaltihedust valemiga

Kasutades seost üksiku impulsi spektraaltiheduse ja seeria komplekssete amplituudide vahel, leiame

kus = 0; ± 1; ± 2; ...

Amplituud-sagedusspekter (joonis 1.43) on esindatud komponentide komplektiga:

sel juhul vastavad positiivsed väärtused nulli algfaasidele ja negatiivsed väärtused vastavad algfaasidele, mis on võrdsed .

Seega on PPPVI analüütiline avaldis võrdne

Joonisel 1.43 näidatud graafikute analüüsist järeldub:

· PPPVI spekter on diskreetne, koosneb üksikutest harmoonilistest sagedusega .

· ASF ümbrik muutub vastavalt seadusele.

· Mähisjoone maksimaalne väärtus at on võrdne konstantse komponendi väärtusega.

· Harmoonikute algfaasid paaritutes lahtrites on 0, paarissagarates .

· Harmooniliste arv igas lobus on võrdne .

Signaali spektri laius 90% signaali energiast

· Signaalibaas, nii et signaal on lihtne.

Kui muudate impulsside kestust või nende kordussagedust F(periood), siis muutuvad spektri ja selle ASF parameetrid.

Joonisel 1.43 on näide signaali ja selle ASF-i muutumisest impulsi kestuse kahekordistamisel.

Ristkülikukujuliste videoimpulsside perioodilised jadad ja nende ASF-parameetrid, T,. ja , T, on näidatud joonisel 1.44.

Antud graafikute analüüsist järeldub:

1. PPPVI impulsi kestusega:

· Töötasu suhe q=4, seega on igasse lobusse koondunud 3 harmoonilist;

· k-nda harmoonilise sagedus;

· Signaali spektri laius 90% energiatasemel;

Konstantne komponent on võrdne

2. PPPVI impulsi kestusega:

· Töötasu suhe q= 2, seega on igas lobus 1 harmooniline;

· k-nda harmoonilise sagedus jääb muutumatuks;

· Signaali spektri laius 90% selle energia tasemel vähenes 2 korda;

· Konstantne komponent suurenes 2 korda.

Seega võime järeldada, et impulsi kestuse suurenemisega surutakse ASF piki ordinaattelge kokku (signaali spektri laius väheneb), samas kui spektraalkomponentide amplituudid suurenevad. Harmoonilised sagedused ei muutu.

Joonisel 1.44. Esitatakse näide signaali ja selle ASF-i muutusest koos kordusperioodi pikenemisega 4 korda (kordussageduse vähenemine 4 korda).

c) signaali spektri laius 90% ulatuses selle energiast ei ole muutunud;

d) konstantne komponent vähenes 4 korda.

Seega võime järeldada, et kordusperioodi suurenemisega (kordussageduse vähenemisega) toimub ASF-is piki sagedustelge "kokkusurumine" (harmooniliste amplituudid vähenevad nende arvu suurenemisega igas lobus) . Signaali spektri laius ei muutu. Kordussageduse edasine vähenemine (kordusperioodi suurenemine) viib (at ) harmooniliste amplituudide vähenemiseni lõpmata väikeste väärtusteni. Sel juhul muutub signaal üheks ja vastavalt muutub spekter pidevaks.

Vaatleme perioodilist ristkülikukujuliste impulsside jada perioodiga T, impulsi kestusega t u ja maksimaalse väärtusega. Leiame sellise signaali jada laienduse, valides koordinaatide lähtepunkti, nagu on näidatud joonisel fig. 15. Sel juhul on funktsioon ordinaattelje suhtes sümmeetriline, st. kõik siinuskomponentide koefitsiendid = 0 ja arvutada tuleb ainult koefitsiendid.

konstantne komponent

(2.28)

Püsikomponent on perioodi keskmine väärtus, s.o. on pulsi pindala jagatud kogu perioodiga, s.o. , st. sama, mis juhtus range formaalse arvutusega (2.28).

Pidagem meeles, et esimese harmoonilise sagedus on ¦ 1 = , kus T on ristkülikukujulise signaali periood. Harmoonikute vaheline kaugus D¦=¦ 1. Kui harmooniline arv n osutub selliseks, et siinuse argument on , siis selle harmoonilise amplituud läheb esimest korda nulli. See tingimus on täidetud, kui. Nimetatakse harmoonilist arvu, mille juures selle amplituud esimest korda kaob "esimene null" ja tähistage seda tähega N, rõhutades selle harmoonilise eriomadusi:

Teisest küljest on impulsside töötsükkel S perioodi T ja impulsi kestuse t u suhe, st. . Seetõttu on "esimene null" arvuliselt võrdne impulsi töötsükliga N=S. Kuna siinus läheb nulli kõigi argumendi väärtuste puhul, mis on p-kordsed, lähevad nulli ka kõigi harmooniliste amplituudid, mille arvud on "esimese nulli" arvu kordsed. See tähendab, , kus k– mis tahes täisarv. Näiteks (2.22) ja (2.23) järeldub, et ristkülikukujuliste impulsside spekter töötsükliga 2 koosneb ainult paaritutest harmoonilistest. Kuna S=2, siis N=2, st. teise harmoonilise amplituud läheb esimest korda nulli - see on "esimene null". Siis aga kõigi teiste harmooniliste amplituudid 2-ga jaguvate arvudega, s.o. kõik paaritud peavad ka nulli minema. Töötsükli S=3 korral on nulli amplituudid 3, 6, 9, 12, ... harmoonilistel.

Töötsükli suurenemisega nihkub “esimene null” suurema arvuga harmooniliste piirkonda ja sellest tulenevalt väheneb harmooniliste amplituudide vähenemise kiirus. Esimese harmoonilise at amplituudi lihtne arvutamine U m=100V töötsükli jaoks S=2, U m 1=63,7 V, juures S=5, U m 1=37,4V ja juures S=10, U m 1=19,7V, s.o. Töötsükli suurenedes väheneb esimese harmoonilise amplituud järsult. Kui leiame näiteks 5. harmoonilise amplituudisuhte U m 5 esimese harmoonilise amplituudini U m 1, siis jaoks S=2, U m 5/U m 1=0,2 ja jaoks S=10, U m 5 / U m 1 = 0,9, s.o. kõrgemate harmooniliste sumbumise määr töötsükli suurenedes väheneb.

Seega muutub töötsükli suurenemisega ristkülikukujuliste impulsside jada spekter ühtlasemaks.

Kirjandus: [L.1], lk 40

Näitena toome ristkülikukujuliste impulsside perioodilise jada amplituudi, kestuse ja kordusperioodiga Fourier' rea laienduse, mis on sümmeetriline nulli suhtes, s.o.

, (2.10)

Siin

Sellise signaali laiendamine Fourier-seeriaks annab

, (2.11)

kus on töötsükkel.

Märke lihtsustamiseks võite märge sisestada

, (2.12)

Siis (2.11) kirjutatakse järgmiselt

, (2.13)

Joonisel fig. 2.3 näitab ristkülikukujuliste impulsside jada. Jada spekter, nagu ka mis tahes muu perioodiline signaal, on olemuselt diskreetne (joon).

Spektri mähisjoon (joonis 2.3, b) on proportsionaalne . Kahe külgneva spektrikomponendi vaheline kaugus piki sagedustelge on ja kahe nullväärtuse vahel (spektri laius) on . Harmooniliste komponentide arv ühes lobus, sealhulgas joonisel paremal olev nullväärtus, on , kus märk tähendab ümardamist lähima täisarvuni, väiksem (kui töötsükkel on murdarv) või (kui töötsükkel on täisarv). Perioodi pikenedes põhisagedus väheneb, spektrikomponendid diagrammil lähenevad üksteisele, vähenevad ka harmooniliste amplituudid. Sel juhul säilib ümbriku kuju.

Spektraalanalüüsi praktiliste ülesannete lahendamisel kasutatakse nurksageduste asemel tsüklilisi sagedusi , mõõdetuna hertsides. Ilmselt on diagrammil külgnevate harmooniliste vaheline kaugus ja ühe spektriosa laius on . Need väärtused on esitatud diagrammil sulgudes.

Praktilises raadiotehnikas kasutatakse enamasti spektraalse esituse (joonis 2.3, b) asemel amplituudi- ja faasispektrite spektraaldiagramme. Ristkülikukujuliste impulsside jada amplituudispekter on näidatud joonisel fig. 2.3, c.

Ilmselgelt on amplituudispektri mähisjoon võrdeline .

Mis puutub faasispektrisse (joonis 2.3, d), siis arvatakse, et harmooniliste komponentide algfaasid muutuvad järsult summa võrra -π kui ümbriku märk muutub sinc kπ/q. Eeldatakse, et esimese laba harmooniliste algfaasid on null. Siis on teise laba harmooniliste algfaasid φ = -π , kolmas kroonleht φ = -2π jne.

Vaatleme veel ühte signaali Fourier' seeriat. Selleks kasutame Euleri valemit

.

Selle valemi kohaselt saab Fourier' jadaks signaali laiendamise k-ndat komponenti (2.9) esitada järgmiselt

; . (2.15)

Siin on suurused ja komplekssed ja esindavad spektrikomponentide kompleksseid amplituute. Siis sari

Fourier (2.8), võttes arvesse (2.14), on järgmisel kujul

, (2.16)

, (2.17)

Laiendust (2.16) on lihtne kontrollida põhifunktsioonide osas , mis on samuti intervalliga ortogonaalsed , st.

Avaldis (2.16) on keeruline vorm Fourier-seeria, mis laieneb negatiivsetele sagedustele. Kogused ja , kus tähistab koguse kompleksset konjugaati, nimetatakse komplekssed amplituudid spekter Sest on komplekssuurus, järeldub (2.15)-st, et

Ja .

Siis moodustab kogusumma amplituudispektri ja kogu signaali faasispektri.

Joonisel fig. Joonisel 2.4 on kujutatud ülalpool käsitletud ristkülikukujuliste impulsside jada spektri spektraaldiagramm, mis on kujutatud kompleksse Fourier' seeriana

Spektril on ka joon iseloom, kuid erinevalt varem vaadeldud spektritest määratakse see nii positiivsete kui ka negatiivsete sageduste piirkonnas. Kuna see on argumendi paarisfunktsioon, on spektraaldiagramm nulli suhtes sümmeetriline.

Tuginedes (2.15) saame tuvastada vastavuse koefitsientide ja laienduse (2.3) vahel. Sest

Ja ,

siis selle tulemusena saame

. (2.18)

Avaldised (2.5) ja (2.18) võimaldavad leida väärtusi praktilistes arvutustes.

Andkem geomeetriline tõlgendus Fourier' rea keerulisest vormist. Valime signaali spektri k-nda komponendi. Kompleksvormis kirjeldatakse k-ndat komponenti valemiga

kus ja on määratud avaldistega (2.15).

Komplekstasandil on (2.19) kõik liikmed esitatud pikkusvektoritena , pööratud nurga all ja tegeliku telje suhtes ning pöörlevad sagedusega vastassuundades (joon. 2.5).

Ilmselgelt annab nende vektorite summa reaalteljel asuva vektori, mille pikkus on . Kuid see vektor vastab harmoonilisele komponendile

Mis puudutab vektorite projektsioone kujuteldavale teljele, siis need projektsioonid on võrdse pikkusega, kuid vastassuunalised ja nende summa on null. See tähendab, et komplekssel kujul (2.16) esitatud signaalid on tegelikult reaalsed signaalid. Teisisõnu, Fourier' seeria keeruline vorm on matemaatilised abstraktsioon, mis on väga mugav paljude spektraalanalüüsi probleemide lahendamiseks. Seetõttu nimetatakse mõnikord trigonomeetrilise Fourier' jadaga määratletud spektrit füüsikaline spekter, ja Fourier' seeria keeruline vorm on matemaatiline spekter.

Ja kokkuvõttes käsitleme perioodilise signaali spektris energia ja võimsuse jaotuse küsimust. Selleks kasutame Parsevali võrdsust (1,42). Kui signaal laiendatakse trigonomeetriliseks Fourier' jadaks, saab avaldis (1.42) kuju

.

DC energia

,

ja k-nda harmoonilise energia

.

Siis signaali energia

. (2.20)

Sest keskmine signaali võimsus

,

siis võttes arvesse (2.18)

. (2.21)

Kui signaal laiendatakse keerukaks Fourier-seeriaks, saab avaldis (1.42) kuju

,

Kus
- k-nda harmoonilise energia.

Signaali energia antud juhul

,

ja selle keskmine võimsus

.

Eeltoodud avaldistest järeldub, et matemaatilise spektri k-nda spektraalkomponendi energia ehk keskmine võimsus on poole väiksem füüsikalise spektri vastava spektrikomponendi energiast või võimsusest. See on tingitud asjaolust, et füüsikaline spekter jaguneb matemaatilise spektri vahel võrdselt.

-τ ja /2

τ ja /2

T

t

U 0

S(t)

Ülesanne nr 1, rühm RI – 210701

Teateallika väljundist võetakse vastu signaale, mis kannavad teavet, samuti kellasignaale, mida kasutatakse edastussüsteemi saatja ja vastuvõtja töö sünkroonimiseks. Teabesignaalid on mitteperioodilised ja kellasignaalid on perioodiline impulsside jada.

Selliste impulsside sidekanalite kaudu edastamise võimaluse õigeks hindamiseks määrame kindlaks nende spektraalse koostise. Perioodilist signaali mis tahes kujuga impulsside kujul saab laiendada Fourier' jadaks vastavalt punktile (7).

Üle õhu- ja kaabelsideliinide edastamiseks kasutatakse erineva kujuga signaale. Ühe või teise vormi valik sõltub edastatavate sõnumite iseloomust, signaalide sagedusspektrist ning signaalide sagedus- ja ajaparameetritest. Diskreetsete teadete edastamise tehnoloogias kasutatakse laialdaselt ristkülikukujulistele impulssidele lähedase kujuga signaale.

Arvutame välja spektri, s.o. konstantsete amplituudide kogum ja

perioodiliste ristkülikukujuliste impulsside harmoonilised komponendid (joonis 4,a) koos kestuse ja perioodiga. Kuna signaal on aja paarisfunktsioon, siis avaldises (3) kaovad kõik paaris harmoonilised komponendid ( =0) ja paaritutel komponentidel on järgmised väärtused:

(10)

Konstantne komponent on võrdne

(11)

1:1 signaali jaoks (telegraafipunktid) Joonis 4a:

,
. (12)

Perioodiga ristkülikukujuliste impulsside jada spektraalkomponentide amplituudide moodulid
on näidatud joonisel fig. 4, b. Abstsisstelg näitab peamist impulsi kordussagedust
() ja paaritute harmooniliste komponentide sagedused
,
jne. Spektri mähisjoon muutub vastavalt seadusele.

Kui periood pikeneb võrreldes impulsi kestusega, suureneb harmooniliste komponentide arv perioodilise signaali spektraalses koostises. Näiteks perioodiga signaali puhul (joonis 4, c) leiame, et konstantne komponent on võrdne

Sagedusribas nullist sageduseni on viis harmoonilist komponenti (joonis 4, d), samas kui on ainult üks tõusulaine.

Impulsi kordusperioodi edasise suurenemisega muutub harmooniliste komponentide arv üha suuremaks. Äärmisel juhul, kui
signaal muutub aja mitteperioodiliseks funktsiooniks, selle harmooniliste komponentide arv sagedusalas nullist sageduseni kasvab lõpmatuseni; need paiknevad lõpmata lähedal sageduskaugustel; mitteperioodilise signaali spekter muutub pidevaks.

Joonis 4

2.4 Ühe impulsi spekter

Määratud on üks videoimpulss (joonis 5):

Joonis 5

Fourier-seeria meetod võimaldab teha sügavat ja viljakat üldistust, mis võimaldab saada mitteperioodiliste signaalide spektraalkarakteristikuid. Selleks täiendame vaimselt ühte impulssi samade impulssidega, järgnedes perioodiliselt teatud ajaintervalli järel, ja saame eelnevalt uuritud perioodilise jada:

Kujutagem ette üht impulssi suure perioodiga perioodiliste impulsside summana.

, (14)

kus on täisarvud.

Perioodiliseks võnkumiseks

. (15)

Ühe impulsi juurde naasmiseks suunakem kordusperiood lõpmatusse: . Sel juhul on ilmne:

, (16)

Tähistame

. (17)

Suurus on ühe impulsi spektraalne karakteristik (funktsioon) (otsene Fourier' teisendus). See sõltub ainult pulsi ajalisest kirjeldusest ja on üldiselt keeruline:

, (18) kus
; (19)

; (20)

,

Kus
- spektraalfunktsiooni moodul (impulsi amplituud-sagedusreaktsioon);

- faasinurk, impulsi faasi-sageduskarakteristik.

Leiame ühe impulsi valemi (8) abil spektraalfunktsiooni abil:

.

Kui , saame:

. (21)

Saadud avaldist nimetatakse Fourier' pöördteisenduseks.

Fourier' integraal defineerib impulsi kui lõpmata väikeste harmooniliste komponentide summat, mis paiknevad kõigil sagedustel.

Selle põhjal räägivad nad pidevast (tahkest) spektrist, millel on üks impulss.

Impulsi koguenergia (energia, mis vabaneb aktiivse takistuse Ohm juures) on võrdne

(22)

Integreerimise järjekorda muutes saame

.

Sisemine integraal on impulsi spektraalfunktsioon, mis on võetud argumendiga -, st. on kompleksne konjugeeritud kogus:

Seega

Ruutmoodul (kahe konjugeeritud kompleksarvu korrutis võrdub mooduli ruuduga).

Sellisel juhul öeldakse kokkuleppeliselt, et impulsi spekter on kahepoolne, s.t. asub sagedusalas alates kuni.

Antud seost (23), mis loob seose impulsi energia (takistusel 1 oomi) ja selle spektraalfunktsiooni mooduli vahel, tuntakse Parsevali võrdsusena.

See ütleb, et impulsis sisalduv energia on võrdne selle spektri kõigi komponentide energiate summaga. Parsevali võrdsus iseloomustab signaalide olulist omadust. Kui mõni selektiivne süsteem edastab ainult osa signaali spektrist, nõrgestades selle teisi komponente, tähendab see, et osa signaali energiast kaob.

Kuna mooduli ruut on integreerimismuutuja paarisfunktsioon, siis integraali väärtust kahekordistades saab integratsiooni sisse viia vahemikus 0 kuni:

. (24)

Sel juhul öeldakse, et impulsi spekter asub sagedusalas 0 kuni ja seda nimetatakse ühepoolseks.

Integrandi punktis (23) nimetatakse impulsi energiaspektriks (spektraalenergia tiheduseks).

See iseloomustab energia jaotust sageduse järgi ja selle väärtus sagedusel on võrdne impulsi energiaga sagedusriba kohta, mis on võrdne 1 Hz. Järelikult saadakse impulsi energia signaali energiaspektri integreerimisel kogu sagedusvahemikus ehk energia on võrdne alaga, mis jääb signaali energiaspektrit kujutava kõvera ja abstsisstelje vahele.

Energia jaotuse hindamiseks spektris kasutage suhtelist integraalset energiajaotuse funktsiooni (energiakarakteristikut)

, (25)

Kus
- impulsienergia antud sagedusalas 0 kuni, mis iseloomustab impulsi energia osa, mis on koondunud sagedusvahemikku 0 kuni.

Erineva kujuga üksikute impulsside puhul kehtivad järgmised seadused: