Ühe muutuja funktsioonide teooria. Matemaatiline analüüs

Laske muutujal x n võtab lõputu väärtuste jada

x 1 , x 2 , ..., x n , ..., (1)

ja muutuja muutumise seadus on teada x n, st. iga naturaalarvu kohta n saate määrata vastava väärtuse x n. Seega eeldatakse, et muutuja x n on funktsioon n:

x n = f(n)

Määratleme matemaatilise analüüsi ühe olulisema mõiste - jada piir või, mis on sama, muutuja piir x n jooksev jada x 1 , x 2 , ..., x n , ... . .

Definitsioon. konstantne arv a helistas järjestuse piirang x 1 , x 2 , ..., x n , ... . või muutuja piir x n, kui suvaliselt väikese positiivse arvu e korral on olemas selline naturaalarv N(st number N), et kõik muutuja väärtused x n, alustades x N, erinevad a absoluutväärtuses väiksem kui e. See määratlus on lühidalt kirjutatud järgmiselt:

| x n -a |< (2)

kõigi jaoks n  N, või mis on sama,

Cauchy piiri määratlus. Arvu A nimetatakse funktsiooni f (x) piiriks punktis a, kui see funktsioon on defineeritud punkti a mõnes naabruses, välja arvatud võib-olla punkt a ise, ja iga ε > 0 korral on olemas δ > 0 nii, et kõigi x-de puhul, mis vastavad tingimusele |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Heine piiri määratlus. Arvu A nimetatakse funktsiooni f (x) piiriks punktis a, kui see funktsioon on defineeritud punkti a mõnes naabruses, välja arvatud võib-olla punkt a ise ja mis tahes jada, koondudes arvule a, läheneb funktsiooni vastav väärtuste jada arvule A.

Kui funktsioonil f(x) on punktis a piir, siis on see piir ainulaadne.

Arvu A 1 nimetatakse funktsiooni f (x) vasakpoolseks piiriks punktis a, kui iga ε > 0 korral on olemas δ >

Arvu A 2 nimetatakse funktsiooni f (x) parempoolseks piiriks punktis a, kui iga ε > 0 korral on δ > 0, nii et ebavõrdsus

Vasakpoolset piirangut tähistatakse kui paremat piiri - Need piirid iseloomustavad funktsiooni käitumist punktist a vasakul ja paremal. Neid nimetatakse sageli ühesuunalisteks piiranguteks. Ühepoolsete piiride tähistamisel x → 0 jäetakse tavaliselt esimene null välja: ja . Niisiis, funktsiooni jaoks

Kui iga ε > 0 korral eksisteerib punkti a δ-naabrus, nii et kõigi tingimust |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, siis ütleme, et funktsioonil f (x) on punktis a lõpmatu piir:

Seega on funktsioonil punktis x = 0 lõpmatu piir. Sageli eristatakse piire, mis on võrdsed +∞ ja –∞. Niisiis,

Kui iga ε > 0 korral on δ > 0, nii et iga x > δ korral on võrratus |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Vähima ülemise piiri olemasoluteoreem

Definitsioon: AR mR, m - A ülemine (alumine) tahk, kui аА аm (аm).

Definitsioon: Hulk A on ülalt (altpoolt) piiratud, kui on olemas m, et аА, siis аm (аm) on täidetud.

Definitsioon: SupA=m, kui 1) m - A ülemine piir

2) m': m' m' ei ole A ülemine külg

InfA = n, kui 1) n on A infimum

2) n': n'>n => n' ei ole A infimum

Definitsioon: SupA=m on arv, mis: 1)  aA am

2) >0 a  A, nii et a  a-

InfA = n nimetatakse selliseks numbriks, et:

2) >0 a  A, nii et a E a+

Teoreem: Igal ülalt piiritletud mittetühjal hulgal АR on parim ülemine piir ja seejuures ainulaadne.

Tõestus:

Konstrueerime reaalsirgele arvu m ja tõestame, et see on A vähim ülemine piir.

[m]=max([a]:aA) [[m], [m]+1]A=>[m]+1 – A ülemine külg

Segment [[m], [m]+1] – jagatud 10 osaks

m 1 =max:aA)]

m 2 = max, m 1:aA)]

m kuni =max,m 1 ...m K-1:aA)]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K – ülemine pool A

Tõestame, et m=[m],m 1 ...m K on vähim ülemine piir ja see on kordumatu:

et: .

Riis. 11. Funktsiooni y arcsin x graafik.

Tutvustame nüüd kompleksfunktsiooni mõistet ( kompositsioonide kuvamine). Olgu antud kolm hulka D, E, M ja olgu f: D→E, g: E→M. Ilmselgelt on võimalik konstrueerida uus kaardistus h: D→M, mida nimetatakse vastete f ja g kompositsiooniks või kompleksfunktsiooniks (joonis 12).

Kompleksfunktsiooni tähistatakse järgmiselt: z =h(x)=g(f(x)) või h = f o g.

Riis. 12. Illustratsioon kompleksfunktsiooni mõiste kohta.

Kutsutakse funktsioon f (x). sisemine funktsioon ja funktsioon g ( y ) - väline funktsioon.

1. Sisefunktsioon f (x) = x², väline g (y) sin y. Kompleksfunktsioon z= g(f(x))=sin(x²)

2. Nüüd vastupidi. Sisemine funktsioon f (x)= sinx, välimine g (y) y 2 . u=f(g(x))=sin²(x)

Kursus on suunatud matemaatika, majanduse või loodusteaduste eriala bakalaureuse- ja magistrantidele, samuti keskkooli matemaatikaõpetajatele ja ülikoolide õppejõududele. See on kasulik ka õpilastele, kes on matemaatikaga sügavalt seotud.

Kursuse ülesehitus on traditsiooniline. Kursus hõlmab klassikalist matemaatilise analüüsi materjali, mida õpiti ülikooli esimesel kursusel esimesel semestril. Esitatakse rubriigid "Hulgade ja reaalarvude teooria elemendid", "Arvjadade teooria", "Funktsiooni piir ja pidevus", "Funktsiooni diferentseeritavus", "Diferentseeritavuse rakendused". Tutvume hulga mõistega, anname reaalarvu range definitsiooni ja uurime reaalarvude omadusi. Seejärel räägime numbrijadadest ja nende omadustest. See võimaldab meil käsitleda koolilastele hästi tuntud numbrilise funktsiooni kontseptsiooni uuel, rangemal tasemel. Tutvustame funktsiooni piiri ja pidevuse mõistet, käsitleme pidevate funktsioonide omadusi ja nende rakendamist ülesannete lahendamisel.

Kursuse teises osas defineerime ühe muutuja funktsiooni tuletise ja diferentseeritavuse ning uurime diferentseeruvate funktsioonide omadusi. See võimaldab teil õppida lahendama selliseid olulisi rakendusprobleeme nagu funktsiooni väärtuste ligikaudne arvutamine ja võrrandite lahendamine, piiride arvutamine, funktsiooni omaduste uurimine ja selle graafiku koostamine. .

Vorming

Õppevorm on osakoormusega (kaugõppega).
Iganädalased tunnid hõlmavad temaatiliste videoloengute vaatamist ja testülesannete täitmist tulemuste automaatse kontrollimisega.
Distsipliini uurimise oluline element on arvutus- ja tõendamisprobleemide iseseisev lahendamine. Lahendus peab sisaldama ranget ja loogiliselt õiget arutluskäiku, mis viib õige vastuseni (arvutusülesande puhul) või vajaliku väite täieliku tõestamiseni (teoreetiliste ülesannete puhul).

Nõuded

Kursus on mõeldud 1-aastasele bakalaureuseõppele. Nõuab algmatemaatika tundmist keskkooli mahus (11 klassi).

Kursuse programm

1. loeng Hulgateooria elemendid.
2. loeng Reaalarvu mõiste. Numbrihulkade täpsed tahud.
3. loeng Aritmeetilised tehted reaalarvudega. Reaalarvude omadused.
4. loeng Numbrilised jadad ja nende omadused.
5. loeng monotoonsed jadad. Jada konvergentsi Cauchy kriteerium.
6. loengÜhe muutuja funktsiooni mõiste. Funktsiooni piirang. Lõpmatult väikesed ja lõpmata suured funktsioonid.
7. loeng Funktsioonide järjepidevus. Katkestuspunktide klassifikatsioon. Pidevate funktsioonide lokaalsed ja globaalsed omadused.
8. loeng Monotoonsed funktsioonid. Pöördfunktsioon.
9. loeng Lihtsamad elementaarfunktsioonid ja nende omadused: eksponentsiaal-, logaritm- ja astmefunktsioonid.
10. loeng Trigonomeetrilised ja pöördtrigonomeetrilised funktsioonid. Märkimisväärsed piirid. Funktsiooni ühtlane järjepidevus.
11. loeng Tuletise ja diferentsiaali mõiste. Tuletise geomeetriline tähendus. Eristamise reeglid.
12. loeng Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. Funktsioonide diferentsiaal.
13. loeng Kõrgema järgu tuletis- ja diferentsiaalid. Leibnizi valem. Parameetriliselt etteantud funktsioonide tuletised.
14. loeng Diferentseeruvate funktsioonide põhiomadused. Rolle'i ja Lagrange'i teoreemid.
15. loeng Cauchy teoreem. L'Hospitali esimene ebakindluse avalikustamise reegel.
16. loeng L'Hopitali teine ​​määramatuste avalikustamise reegel. Taylori valem koos ülejäänud terminiga Peano kujul.
17. loeng Taylori valem koos ülejäänud terminiga üldkujul, Lagrange'i ja Cauchy kujul. Maclaurini põhiliste elementaarfunktsioonide laiendamine. Taylori valemi rakendused.
18. loeng Ekstreemumiks piisavad tingimused. Funktsiooni graafiku asümptoodid. Kumer.
19. loeng Pöördepunktid. Funktsiooni uurimise üldskeem. Joonistamise näited.

Õpitulemused

Kursuse omandamise tulemusena saab üliõpilane aimu matemaatilise analüüsi põhimõistetest: hulk, arv, jada ja funktsioon, tutvub nende omadustega ning õpib neid omadusi ülesannete lahendamisel rakendama.

Küsimused "Matemaatilise analüüsi" eksamiks, 1. kursus, 1. semester.

1. Komplektid. Põhitoimingud komplektidel. Meetrilised ja aritmeetilised ruumid.

2. Numbrilised komplektid. Arvureal olevad komplektid: lõigud, intervallid, poolteljed, naabruskonnad.

3. Piiratud hulga definitsioon. Numbrihulkade ülemine ja alumine piir. Postulaadid arvuliste hulkade ülemise ja alumise piiri kohta.

4. Matemaatilise induktsiooni meetod. Bernoulli ja Cauchy ebavõrdsused.

5. Funktsiooni määratlus. Funktsioonigraafik. Paaris- ja paaritu funktsioonid. Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni seadistamise viisid.

6. Järjestuse piirang. Konvergentsete jadade omadused.

7. piiratud järjestused. Teoreem jada lahknemise piisava tingimuse kohta.

8. Monotoonse jada definitsioon. Weierstrassi monotoonse jada teoreem.

9. Arv e.

10. Funktsiooni piirväärtus punktis. Funktsiooni piir lõpmatuses. Ühepoolsed piirangud.

11. Lõpmatult väikesed funktsioonid. Summa-, korrutis- ja jagatisfunktsioonide limiit.

12. Teoreemid võrratuste stabiilsuse kohta. Üleminek ebavõrdsuse piirini. Teoreem kolme funktsiooni kohta.

13. Esimene ja teine ​​imeline piir.

14. Lõpmatult suured funktsioonid ja nende seos lõpmata väikeste funktsioonidega.

15. Lõpmatult väikeste funktsioonide võrdlus. Ekvivalentsete infinitesimaalide omadused. Teoreem lõpmatute väikeste arvude asendamise kohta samaväärsetega. Põhilised vasted.

16. Funktsiooni pidevus punktis. Pidevate funktsioonidega toimingud. Põhiliste elementaarfunktsioonide järjepidevus.

17. Funktsiooni murdepunktide klassifikatsioon. Laiendamine järjepidevuse järgi

18. Kompleksfunktsiooni definitsioon. Keerulise funktsiooni piir. Kompleksfunktsiooni järjepidevus. Hüperboolsed funktsioonid

19. Funktsiooni pidevus segmendil. Cauchy teoreemid intervallil pideva funktsiooni kadumise ja funktsiooni vaheväärtuse kohta.

20. Lõigul pidevate funktsioonide omadused. Weierstrassi teoreem pideva funktsiooni piirituse kohta. Weierstrassi teoreem funktsiooni suurima ja väikseima väärtuse kohta.

21. Monotoonse funktsiooni definitsioon. Weierstrassi teoreem monotoonse funktsiooni piiri kohta. Teoreem funktsiooni väärtuste hulga kohta, mis on intervallil monotoonne ja pidev.

22. Pöördfunktsioon. Pöördfunktsiooni graafik. Teoreem pöördfunktsiooni olemasolu ja pidevuse kohta.

23. Trigonomeetrilised ja hüperboolsed funktsioonid.

24. Funktsiooni tuletise definitsioon. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised.

25. Diferentseeruva funktsiooni definitsioon. Funktsiooni diferentseeritavuse vajalik ja piisav tingimus. Diferentseeruva funktsiooni järjepidevus.

26. Tuletise geomeetriline tähendus. Funktsiooni graafiku puutuja ja normaalväärtuse võrrand.

27. Kahe funktsiooni summa, korrutise ja jagatise tuletis

28. Liitfunktsiooni ja pöördfunktsiooni tuletis.

29. Logaritmiline diferentseerimine. Parameetriliselt antud funktsiooni tuletis.

30. Funktsiooni juurdekasvu põhiosa. Funktsiooni lineariseerimise valem. Diferentsiaali geomeetriline tähendus.

31. Kompleksfunktsiooni diferentsiaal. Diferentsiaalvormi muutumatus.

32. Rolle'i, Lagrange'i ja Cauchy teoreemid diferentseeruvate funktsioonide omaduste kohta. Lõplike sammude valem.

33. Tuletisinstrumendi rakendamine ebakindluse avalikustamiseks. L'Hopitali reegel.

34. Tuletise definitsioon n-ndas järjekorras. Reeglid n-ndat järku tuletise leidmiseks. Leibnizi valem. Kõrgema järgu diferentsiaalid.

35. Taylori valem koos ülejäänud terminiga Peano kujul. Jääkterminid Lagrange'i ja Cauchy kujul.

36. Funktsioonide suurendamine ja vähendamine. äärmuslikud punktid.

37. Funktsiooni kumerus ja nõgusus. Pöördepunktid.

38. Lõputud funktsioonikatkestused. Asümptoodid.

39. Funktsioonigraafiku joonistamise skeem.

40. Antiderivaadi määratlus. Antiderivaadi peamised omadused. Lihtsamad integratsioonireeglid. Lihtintegraalide tabel.

41. Integreerimine muutuja muutmise teel ja osade kaupa integreerimise valem määramata integraalis.

42. Vormi väljendite integreerimine e ax cos bx ja e ax sin bx kasutades rekursiivseid seoseid.

	43. Murru integreerimine			kasutades rekursiivseid seoseid.
			a 2 n

44. Ratsionaalfunktsiooni määramatu integraal. Lihtmurdude integreerimine.

45. Ratsionaalfunktsiooni määramatu integraal. Õigete murdude lagundamine lihtsateks.

46. Irratsionaalse funktsiooni määramatu integraal. Väljendite integreerimine

	R x, m

47. Irratsionaalse funktsiooni määramatu integraal. Vormi R x , ax 2 bx c avaldiste integreerimine . Euleri asendused.

48. Vormi avaldiste integreerimine

ax2 bx c

ax2 bx c

2 bx c

49. Irratsionaalse funktsiooni määramatu integraal. Binoomdiferentsiaalide integreerimine.

50. Trigonomeetriliste avaldiste integreerimine. Universaalne trigonomeetriline asendus.

51. Ratsionaalsete trigonomeetriliste avaldiste integreerimine juhul, kui integrand on patu suhtes paaritu x (või cos x ) või isegi sin x ja cos x suhtes.

52. Väljendite integreerimine sin n x cos m x ja sin n x cos mx .

53. Väljendite integreerimine tg m x ja ctg m x .

54. Väljendite integreerimine Rx, x2a2, Rx,a2x2 ja Rx,x2a2 kasutades trigonomeetrilisi asendusi.

55. Kindel integraal. Kõverajoonelise trapetsi pindala arvutamise probleem.

56. integraalsummad. Darboux summad. Teoreem kindla integraali olemasolu tingimuse kohta. Integreeritavate funktsioonide klassid.

57. Kindla integraali omadused. Teoreemid keskmise väärtuse kohta.

58. Määratud integraal ülempiiri funktsioonina. Valem Newton-Leibniz.

59. Muutuja valemi ja osade kaupa integreerimise valemi muutmine kindlas integraalis.

60. Integraalarvutuse rakendamine geomeetrias. Figuuri maht. Pöörlemiskujude maht.

61. Integraalarvutuse rakendamine geomeetrias. Tasapinnalise kujundi pindala. Kõverjoonelise sektori pindala. Kõvera pikkus.

62. Esimest tüüpi sobimatu integraali definitsioon. Valem Newton-Leibniz esimest tüüpi ebaõigete integraalide jaoks. Kõige lihtsamad omadused.

63. Esimest tüüpi sobimatute integraalide lähenemine positiivse funktsiooni jaoks. 1. ja 2. võrdlusteoreem.

64. Vahelduva funktsiooni esimest tüüpi ebaõigete integraalide absoluutne ja tingimuslik lähenemine. Abeli ​​ja Dirichleti lähenemiskriteeriumid.

65. Teist tüüpi sobimatu integraali definitsioon. Valem Newton-Leibniz teist tüüpi valede integraalide jaoks.

66. Ebaõigete integraalide ühendamine 1. ja 2. liik. Valed integraalid põhiväärtuse tähenduses.