Ristküliku valemid ja omadused. Geomeetrilised kujundid

Ristkülik on nelinurk, mille iga nurk on täisnurk.

Tõestus

Omadust seletatakse rööpküliku tunnuse 3 toimega (st \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )

2. Vastasküljed on võrdsed.

AB = CD,\enspace BC = AD

3. Vastasküljed on paralleelsed.

AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD

4. Külgnevad küljed on üksteisega risti.

AB \perp BC,\entühik BC \perp CD,\entühik CD \perp AD,\enspace AD ​​​​\perp AB

5. Ristküliku diagonaalid on võrdsed.

AC=BD

Tõestus

Vastavalt vara 1 ristkülik on rööpkülik, mis tähendab AB = CD.

Seetõttu \kolmnurk ABD = \kolmnurk DCA piki kahte jalga (AB = CD ja AD - liigend).

Kui mõlemad joonised - ABC ja DCA on identsed, siis on ka nende hüpotenuusid BD ja AC identsed.

Seega AC = BD.

Ainult kõigist kujunditest koosnev ristkülik (ainult rööpkülikutest!) Omab võrdseid diagonaale.

Tõestame ka seda.

ABCD on rööpkülik \Paremnool AB = CD , AC = BD tingimuse järgi. \Paremnool \kolmnurk ABD = \kolmnurk DCA juba kolmest küljest.

Selgub, et \nurk A = \nurk D (nagu rööpküliku nurgad). Ja \nurk A = \nurk C, \nurk B = \nurk D.

Me järeldame seda \nurk A = \nurk B = \nurk C = \nurk D. Kõik need on 90^(\circ) . Kokku on 360^(\circ) .

Tõestatud!

6. Diagonaali ruut võrdub selle kahe külgneva külje ruutude summaga.

See omadus kehtib Pythagorase teoreemi alusel.

AC^2=AD^2+CD^2

7. Diagonaal jagab ristküliku kaheks identseks täisnurkseks kolmnurgaks.

\kolmnurk ABC = \kolmnurk ACD, \enspace \kolmnurk ABD = \kolmnurk BCD

8. Diagonaalide lõikepunkt poolitab need.

AO=BO=CO=DO

9. Diagonaalide lõikepunktiks on ristküliku ja piiritletud ringi keskpunkt.

10. Kõikide nurkade summa on 360 kraadi.

\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^(\circ)

11. Ristküliku kõik nurgad on õiged.

\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^(\circ)

12. Ristkülikut ümbritseva ringjoone läbimõõt on võrdne ristküliku diagonaaliga.

13. Ringi saab alati kirjeldada ristküliku ümber.

See omadus kehtib, kuna ristküliku vastasnurkade summa on 180^(\circ)

\angle ABC = \angle CDA = 180^(\circ),\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^(\circ)

14. Ristkülik võib sisaldada sissekirjutatud ringi ja ainult ühte, kui sellel on ühesugused küljepikkused (see on ruut).

on rööpkülik, mille kõik nurgad on 90° ja vastasküljed on paarikaupa paralleelsed ja võrdsed.

Ristkülikul on mitmeid ümberlükkamatuid omadusi, mida kasutatakse paljude probleemide lahendamisel ristküliku pindala ja selle perimeetri valemites. Siin nad on:

Ristküliku tundmatu külje või diagonaali pikkus arvutatakse Pythagorase teoreemi abil. Ristküliku pindala saab leida kahel viisil - selle külgede korrutisega või ristküliku pindala valemiga läbi diagonaali. Esimene ja lihtsaim valem näeb välja selline:

Selle valemi abil ristküliku pindala arvutamise näide on väga lihtne. Teades kahte külge, näiteks a = 3 cm, b = 5 cm, saame hõlpsalt arvutada ristküliku pindala:
Saame, et sellises ristkülikus on pindala 15 ruutmeetrit. cm.

Ristküliku pindala diagonaalides

Mõnikord peate kasutama ristküliku pindala valemit diagonaalide järgi. Selleks ei pea te teadma mitte ainult diagonaalide pikkust, vaid ka nende vahelist nurka:

Vaatleme näidet ristküliku pindala arvutamiseks diagonaalide abil. Olgu antud ristkülik diagonaaliga d = 6 cm ja nurgaga = 30°. Asendame andmed juba tuntud valemis:

Niisiis, ristküliku pindala arvutamise näide läbi diagonaali näitas meile, et sellisel viisil pindala leidmine on nurka arvestades üsna lihtne.
Mõelge veel ühele huvitavale mõistatusele, mis aitab meil oma aju pisut venitada.

Ülesanne: Antud ruut. Selle pindala on 36 ruutmeetrit. cm Leidke ristküliku ümbermõõt, mille ühe külje pikkus on 9 cm ja pindala on sama, mis ülaltoodud ruudul.
Seega on meil mõned tingimused. Selguse huvides kirjutame need üles, et näha kõiki teadaolevaid ja tundmatuid parameetreid:
Joonise küljed on paarikaupa paralleelsed ja võrdsed. Seetõttu on joonise ümbermõõt võrdne külgede pikkuste kahekordse summaga:
Ristküliku pindala valemist, mis on võrdne joonise kahe külje korrutisega, leiame külje b pikkuse
Siit:
Asendame teadaolevad andmed ja leiame külje b pikkuse:
Arvutage joonise ümbermõõt:
Seega, teades mõnda lihtsat valemit, saate arvutada ristküliku ümbermõõdu, teades selle pindala.

Definitsioon.

Ristkülik See on nelinurk, mille kaks vastaskülge on võrdsed ja kõik neli nurka on võrdsed.

Ristkülikud erinevad üksteisest ainult pika külje ja lühikese külje suhte poolest, kuid kõik neli on õiged, st igaüks 90 kraadi.

Ristküliku pikka külge nimetatakse ristküliku pikkus ja lühike ristküliku laius.

Ristküliku küljed on ka selle kõrgused.

Ristküliku põhiomadused

Ristkülik võib olla rööpkülik, ruut või romb.

1. Ristküliku vastasküljed on ühepikkused, st võrdsed:

AB = CD, BC = AD

2. Ristküliku vastasküljed on paralleelsed:

3. Ristküliku külgnevad küljed on alati risti:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Ristküliku kõik neli nurka on sirged:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Ristküliku nurkade summa on 360 kraadi:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Ristküliku diagonaalid on ühepikkused:

7. Ristküliku diagonaali ruutude summa võrdub külgede ruutude summaga:

2d2 = 2a2 + 2b2

8. Iga ristküliku diagonaal jagab ristküliku kaheks identseks kujundiks, nimelt täisnurkseks kolmnurgaks.

9. Ristküliku diagonaalid lõikuvad ja jagatakse lõikepunktis pooleks:

		AO=BO=CO=DO=	d
			2

10. Diagonaalide lõikepunkti nimetatakse ristküliku keskpunktiks ja see on ka piiritletud ringi keskpunkt

11. Ristküliku diagonaal on piiritletud ringi läbimõõt

12. Ringi saab alati kirjeldada ümber ristküliku, kuna vastasnurkade summa on 180 kraadi:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. Ringi ei saa kirjutada ristkülikusse, mille pikkus ei ole võrdne selle laiusega, kuna vastaskülgede summad ei ole üksteisega võrdsed (ringi saab kirjutada ainult ristküliku erijuhul - ruudul).

Ristküliku küljed

Definitsioon.

Ristküliku pikkus nimetage selle külgede pikema paari pikkust. Ristküliku laius nimeta selle külgede lühema paari pikkus.

Valemid ristküliku külgede pikkuste määramiseks

1. Ristküliku külje (ristküliku pikkus ja laius) diagonaali ja teise külje valem:

a = √ d 2 - b 2

b = √ d 2 - a 2

2. Ristküliku külje (ristküliku pikkus ja laius) pindala ja teise külje valem:

b = dcos	β
	2

Ristkülik diagonaal

Definitsioon.

Diagonaalne ristkülik Nimetatakse mis tahes lõiku, mis ühendab ristküliku kahte vastasnurkade tippu.

Valemid ristküliku diagonaali pikkuse määramiseks

1. Ristküliku diagonaali valem ristküliku kahe külje järgi (Pythagorase teoreemi kaudu):

d = √ a 2 + b 2

2. Ristküliku pindala ja mis tahes külje diagonaali valem:

4. Ristküliku diagonaali valem piiritletud ringi raadiuse järgi:

d=2R

5. Ristküliku diagonaali valem piiritletud ringi läbimõõdu järgi:

d = D o

6. Ristküliku diagonaali valem diagonaaliga külgneva nurga siinuse ja selle nurga vastaskülje pikkuse järgi:

8. Ristküliku diagonaali valem diagonaalide ja ristküliku pindala vahelise teravnurga siinuse järgi

d = √2S: sinβ

Ristküliku ümbermõõt

Definitsioon.

Ristküliku ümbermõõt on ristküliku kõigi külgede pikkuste summa.

Valemid ristküliku perimeetri pikkuse määramiseks

1. Ristküliku ümbermõõdu valem ristküliku kahe külje järgi:

P = 2a + 2b

P = 2(a+b)

2. Ristküliku ümbermõõdu valem pindala ja mis tahes külje järgi:

P=	2S + 2a 2	=	2S + 2b 2
	a		b

3. Ristküliku ümbermõõdu valem diagonaali ja mis tahes külje järgi:

P = 2(a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)

4. Ristküliku ümbermõõdu valem piiritletud ringi ja mis tahes külje raadiuse järgi:

P = 2(a + √4R 2 - a 2) = 2(b + √4R 2 - b 2)

5. Ristküliku ümbermõõdu valem piiritletud ringi ja mis tahes külje läbimõõdu järgi:

P = 2(a + √D o 2 - a 2) = 2(b + √D o 2 - b 2)

Ristküliku ala

Definitsioon.

Ristküliku ala nimetatakse ruumiks, mis on piiratud ristküliku külgedega, see tähendab ristküliku perimeetri piires.

Valemid ristküliku pindala määramiseks

1. Ristküliku kahe külje pindala valem:

S = a b

2. Perimeetrit ja mis tahes külge läbiva ristküliku pindala valem:

5. Ristküliku pindala valem piiritletud ringi ja mis tahes külje raadiuse järgi:

S = a √4R 2 - a 2= b √4R 2 - b 2

6. Ristküliku pindala valem piiritletud ringi ja mis tahes külje läbimõõdu järgi:

S \u003d a √ D o 2 - a 2= b √ D o 2 - b 2

Ring, mis on ümbritsetud ristküliku ümber

Definitsioon.

Ring, mis on ümbritsetud ristküliku ümber Ringjooneks nimetatakse ringi, mis läbib neli ristküliku tippu, mille keskpunkt asub ristküliku diagonaalide ristumiskohas.

Valemid ristküliku ümber piiratud ringjoone raadiuse määramiseks

1. Ristküliku ümber kahe küljega ümbritsetud ringi raadiuse valem:

4. Ringi raadiuse valem, mida kirjeldatakse ristküliku kohta läbi ruudu diagonaali:

5. Ringjoone raadiuse valem, mida kirjeldatakse ristküliku lähedal läbi ringi läbimõõdu (piiratud):

6. Ringjoone raadiuse valem, mida kirjeldatakse ristküliku lähedal läbi diagonaaliga külgneva nurga siinuse, ja selle nurga vastaskülje pikkust:

7. Ringjoone raadiuse valem, mida kirjeldatakse ristküliku kohta diagonaaliga külgneva nurga koosinusena ja selle nurga all oleva külje pikkusega:

8. Ringjoone raadiuse valem, mida kirjeldatakse ristküliku lähedal läbi diagonaalide ja ristküliku pindala vahelise teravnurga siinuse:

Ristküliku külje ja diagonaali vaheline nurk.

Valemid ristküliku külje ja diagonaali vahelise nurga määramiseks:

1. Valem ristküliku külje ja diagonaali vahelise nurga määramiseks läbi diagonaali ja külje:

2. Valem ristküliku külje ja diagonaali vahelise nurga määramiseks läbi diagonaalide vahelise nurga:

Ristküliku diagonaalide vaheline nurk.

Valemid ristküliku diagonaalide vahelise nurga määramiseks:

1. Valem ristküliku diagonaalide vahelise nurga määramiseks külje ja diagonaali vahelise nurga kaudu:

β = 2α

2. Valem pindala läbiva ristküliku diagonaalide ja diagonaali vahelise nurga määramiseks.

Sisu:

Diagonaal on lõik, mis ühendab ristküliku kahte vastandlikku tippu. Ristkülikul on kaks võrdset diagonaali. Kui ristküliku küljed on teada, saab diagonaali leida Pythagorase teoreemi abil, sest diagonaal jagab ristküliku kaheks täisnurkseks kolmnurgaks. Kui külgi pole antud, kuid on teada muid suurusi, näiteks pindala ja ümbermõõt või külgede suhe, saate leida ristküliku küljed ja arvutada Pythagorase teoreemi abil diagonaali.

Sammud

1 Kõrvuti

1. 1 Kirjutage üles Pythagorase teoreem. Valem: a 2 + b 2 = c 2
2. 2 Ühendage küljed valemiga. Need on antud ülesandes või tuleb mõõta. Kõrvalväärtused asendatakse 3-ga
   • Meie näites:
     4 2 + 3 2 = c 2 4

     2 Pindala ja perimeetri järgi

     1. 1 Valem: S \u003d l w (Joonisel kasutatakse S asemel sümbolit A.)
     2. 2 See väärtus asendatakse S 3-ga Kirjutage valem ümber, et eraldada w 4 Kirjutage üles ristküliku ümbermõõdu arvutamise valem. Valem: P = 2 (w + l)
     3. 5 Asendage valemis ristküliku perimeetri väärtus. See väärtus asendatakse P 6-ga Jagage võrrandi mõlemad pooled 2-ga. Saate ristküliku külgede summa, nimelt w + l 7 Asendage valemis avaldis, et arvutada w 8 Vabane murdosadest. Selleks korrutage võrrandi mõlemad osad l 9-ga Määrake võrrandiks 0. Selleks lahutage võrrandi mõlemast küljest esimest järku muutujaga liige.
        • Meie näites:
          12 l \u003d 35 + l 2 10 Järjesta võrrandi tingimused. Esimene liige on teine ​​muutuja liige, seejärel esimene muutuja liige ja seejärel vaba liige. Samal ajal ärge unustage märke ("pluss" ja "miinus"), mis on liikmete ees. Pange tähele, et võrrand kirjutatakse ruutvõrrandina.
          • Meie näites on 0 = 35 + l 2 - 12 l 11
            • Meie näites on võrrand 0 = l 2 − 12 l + 35 12 Leia l 13 Kirjutage üles Pythagorase teoreem. Valem: a 2 + b 2 = c 2
              • Kasutage Pythagorase teoreemi, sest iga ristküliku diagonaal jagab selle kaheks võrdseks täisnurkseks kolmnurgaks. Veelgi enam, ristküliku küljed on kolmnurga jalad ja ristküliku diagonaal on kolmnurga hüpotenuus.
            • 14 Need väärtused on asendatud 15-ga Pikkuse ja laiuse ruut ning seejärel lisage tulemused. Pidage meeles, et arvu ruudustamisel korrutatakse see iseendaga.
              • Meie näites:
                5 2 + 7 2 = c 2 16 Võtke võrrandi mõlema poole ruutjuur. Ruutjuure kiireks leidmiseks kasutage kalkulaatorit. Võite kasutada ka veebikalkulaatorit. leiad c

                3 Pindala ja kuvasuhte järgi

                1. 1 Kirjutage külgede suhet iseloomustav võrrand. Eraldage l 2 Kirjutage üles ristküliku pindala arvutamise valem. Valem: S = l w (Joonisel S asemel kasutatakse tähistust A.)
                   • Seda meetodit saab kasutada ka siis, kui ristküliku ümbermõõt on teada, kuid siis peate perimeetri, mitte pindala arvutamiseks kasutama valemit. Valem ristküliku ümbermõõdu arvutamiseks: P = 2 (w + l)
                2. 3 Ühendage ristküliku ala valemiga. See väärtus asendatakse S 4-ga Asendage valemis külgede suhet iseloomustav avaldis. Ristküliku puhul saate l 5 arvutamiseks asendada avaldisega Kirjutage ruutvõrrand. Selleks avage sulud ja võrdsustage võrrand nulliga.
                   • Meie näites:
                     35 = w (w + 2) 6 Faktoriseeri ruutvõrrand.Üksikasjalike juhiste saamiseks lugege edasi.
                     • Meie näites on võrrand 0 = w 2 − 12 w + 35 7 Leidke w 8 Asenda külgede suhet iseloomustavas võrrandis leitud laiuse (või pikkuse) väärtus. Nii saate leida ristküliku teise külje.
                       • Näiteks kui arvutate, et ristküliku laius on 5 cm ja kuvasuhe on antud võrrandiga l = w + 2 9 Kirjutage üles Pythagorase teoreem. Valem: a 2 + b 2 = c 2
                         • Kasutage Pythagorase teoreemi, sest iga ristküliku diagonaal jagab selle kaheks võrdseks täisnurkseks kolmnurgaks. Veelgi enam, ristküliku küljed on kolmnurga jalad ja ristküliku diagonaal on kolmnurga hüpotenuus.
                       • 10 Sisestage pikkuse ja laiuse väärtused valemisse. Need väärtused asendatakse 11-ga Pikkuse ja laiuse ruut ning seejärel lisage tulemused. Pidage meeles, et arvu ruudustamisel korrutatakse see iseendaga.
                         • Meie näites:
                           5 2 + 7 2 = c 2 12 Võtke võrrandi mõlema poole ruutjuur. Ruutjuure kiireks leidmiseks kasutage kalkulaatorit. Võite kasutada ka veebikalkulaatorit. Leiate c (kuvastiil c) , mis on kolmnurga hüpotenuus ja seega ka ristküliku diagonaal.
                           • Meie näites:
                             74 = c 2 (kuvastiil 74 = c^(2))
                             74 = c 2 (kuvastiil (sqrt (74))=(sqrt (c^(2))))
                             8, 6024 = c (kuvastiil 8,6024 = c)
                             Seega on ristküliku, mille pikkus on 2 cm laiem ja mille pindala on 35 cm 2, diagonaal ligikaudu 8,6 cm.