03.07.202327.05.2017

Αφήστε μια πραγματική συνάρτηση να ικανοποιήσει τις συνθήκες Dirichlet στο διάστημα - μεγάλο, μεγάλο. Ας γράψουμε την επέκτασή του στην τριγωνομετρική σειρά Fourier:

Αν στην (10.1) εκφράσουμε και μέσω της εκθετικής συνάρτησης του φανταστικού ορίσματος:

τότε παίρνουμε τη σειρά

όπου λόγω (10.2)

Οι τρεις τελευταίοι τύποι μπορούν να συνδυαστούν:

Η σειρά (10,3) με συντελεστές (10,4) ονομάζεται τριγωνομετρική σειρά Fourier σε μιγαδική μορφή.

Παράδειγμα 1.Αναπτύξτε τη συνάρτηση, όπου είναι ένας μιγαδικός αριθμός, σε μια σειρά Fourier στο διάστημα.

Λύση . Ας βρούμε τους συντελεστές Fourier:

Από τότε

Η απαιτούμενη επέκταση θα έχει τη μορφή

όπου λαμβάνεται υπόψη ότι

Εφαρμογή της ισότητας του Parseval στη σειρά (10.5)

μπορείτε να βρείτε το άθροισμα μιας άλλης σειράς αριθμών. Πράγματι, στην περίπτωσή μας

Στη συνέχεια από (10.6) ακολουθεί

Άσκηση 1. Να αποδείξετε ότι

Σημείωση. Βάλτε μέσα (10.5) Χ= 0 και Χ = .

Άσκηση 2. Να αποδείξετε ότι όταν

Ολοκλήρωμα Fourier

Σύγκλιση του ολοκληρώματος Fourier

Αφήστε τη συνάρτηση να οριστεί σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή. Υποθέτοντας ότι σε ένα αυθαίρετο πεπερασμένο διάστημα - μεγάλο, μεγάλοη δεδομένη συνάρτηση ικανοποιεί τις συνθήκες Dirichlet, ας την αναπαραστήσουμε με μια τριγωνομετρική σειρά Fourier σε μιγαδική μορφή:

Συχνότητα κου αρμονικές? .

Εισάγοντας τις εκφράσεις (11.2) στο (11.1), λαμβάνουμε

Σε μέγεθος. Η δεξιά πλευρά του τύπου (11.3) είναι παρόμοια με το ολοκληρωτικό άθροισμα για μια συνάρτηση σε μια μεταβλητή στο διάστημα. Επομένως, μπορούμε να περιμένουμε ότι αφού περάσουμε στο όριο στο (11.3) στο αντί για τη σειρά θα λάβουμε το ολοκλήρωμα

Ο τύπος (11.4) ονομάζεται ολοκληρωτικός τύπος Fourier και η δεξιά πλευρά του ονομάζεται ολοκλήρωμα Fourier.

Ο συλλογισμός που χρησιμοποιείται για την εξαγωγή του τύπου (11.4) δεν είναι αυστηρός και είναι μόνο υποδηλωτικός. Οι συνθήκες υπό τις οποίες ισχύει ο ολοκληρωτικός τύπος Fourier καθορίζονται από ένα θεώρημα που δεχόμαστε χωρίς απόδειξη.

Θεώρημα.Έστω η συνάρτηση, καταρχάς, απολύτως ενσωματώσιμη στο διάστημα, δηλ. το ολοκλήρωμα συγκλίνει και, δεύτερον, ικανοποιεί τις συνθήκες Dirichlet σε κάθε πεπερασμένο διάστημα (- μεγάλο, μεγάλο). Τότε το ολοκλήρωμα Fourier συγκλίνει (με την έννοια της κύριας τιμής) παντού σε, δηλ. η ισότητα (11.4) ικανοποιείται για όλους Χαπό το ενδιάμεσο. Εδώ, όπως και πριν, υποτίθεται ότι στο σημείο ασυνέχειας η τιμή της συνάρτησης είναι ίση με το μισό του αθροίσματος των μονόπλευρων ορίων της σε αυτό το σημείο.

Μετασχηματισμός Fourier

Μετασχηματίζουμε τον ολοκληρωτικό τύπο Fourier (11.4) ως εξής. Ας βάλουμε

Εάν μια συνάρτηση είναι συνεχής και απολύτως ενσωματώσιμη σε ολόκληρο τον άξονα, τότε η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα. Πράγματι, από τότε

και αφού το ολοκλήρωμα στα δεξιά συγκλίνει, το ολοκλήρωμα στα αριστερά συγκλίνει. Επομένως, το ολοκλήρωμα στο (12.1) συγκλίνει απόλυτα. Η ισότητα (12.2) ικανοποιείται ταυτόχρονα για όλους, επομένως το ολοκλήρωμα (12.1) συγκλίνει ομοιόμορφα σε σχέση με. Από αυτό προκύπτει ότι η συνάρτηση είναι συνεχής (όπως ακριβώς η ομοιόμορφη σύγκλιση μιας σειράς που αποτελείται από συνεχείς συναρτήσεις συνεπάγεται τη συνέχεια του αθροίσματος της).

Από την (11.4) λαμβάνουμε

Η μιγαδική συνάρτηση που ορίζεται από τον τύπο (12.1) ονομάζεται μετασχηματισμός Fourier ή μετασχηματισμός Fourier της συνάρτησης. Με τη σειρά του, ο τύπος (12.3) ορίζει ως τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier ή την αντίστροφη εικόνα της συνάρτησης. Η ισότητα (12.3) για μια δεδομένη συνάρτηση μπορεί να θεωρηθεί ως ολοκληρωτική εξίσωση ως προς τη συνάρτηση, η λύση της οποίας δίνεται από τον τύπο (12.1). Και, αντίστροφα, η λύση της ολοκληρωτικής εξίσωσης (12.1) για μια δεδομένη συνάρτηση δίνεται από τον τύπο (12.3).

Στον τύπο (12.3), η έκφραση προσδιορίζει, σχετικά, ένα πακέτο μιγαδικών αρμονικών με συχνότητες συνεχώς κατανεμημένες στο διάστημα και ένα συνολικό μιγαδικό πλάτος. Η συνάρτηση ονομάζεται φασματική πυκνότητα. Τύπος (12.2), γραμμένος στη μορφή

μπορεί να ερμηνευθεί ως η επέκταση μιας συνάρτησης σε ένα άθροισμα αρμονικών πακέτων, οι συχνότητες των οποίων σχηματίζουν ένα συνεχές φάσμα κατανεμημένο στο διάστημα.

Οι ισότητες του Πάρσεβαλ.Έστω και είναι οι εικόνες Fourier των πραγματικών συναρτήσεων και, αντίστοιχα. Επειτα

εκείνοι. Τα κλιμακωτά γινόμενα και οι νόρμες συναρτήσεων είναι αμετάβλητες του μετασχηματισμού Fourier. Ας αποδείξουμε αυτή τη δήλωση. Εξ ορισμού του βαθμωτό γινόμενο έχουμε. Αντικαθιστώντας τη συνάρτηση με την έκφρασή της (12.3) μέσω του μετασχηματισμού Fourier, λαμβάνουμε

Δυνάμει της (12.1)

Επομένως, δηλ. ο τύπος (12.4) είναι αποδεδειγμένος. Ο τύπος (12.5) λαμβάνεται από το (12.4) στο.

Μετασχηματισμοί συνημίτονου και ημιτόνου Fourier.Εάν μια πραγματική συνάρτηση είναι άρτια, τότε ο μετασχηματισμός Fourier της, που συμβολίζουμε εδώ, είναι επίσης μια πραγματική άρτια συνάρτηση. Πραγματικά,

Το τελευταίο ολοκλήρωμα, λόγω της παραδοξότητας του ολοκληρώματος, εξαφανίζεται. Ετσι,

Εδώ χρησιμοποιούμε την ιδιότητα (7.1) των ζυγών συναρτήσεων.

Από την (12.6) προκύπτει ότι η συνάρτηση είναι πραγματική και ομοιόμορφα εξαρτημένη από, αφού εισέρχεται στη (12.6) μόνο μέσω του συνημιτόνου.

Ο τύπος (12.3) του αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier σε αυτή την περίπτωση δίνει

Αφού και είναι αντίστοιχα άρτιες και περιττές συναρτήσεις της μεταβλητής, τότε

Οι τύποι (12.6) και (12.7) ορίζουν τον συνημιτονικό μετασχηματισμό Fourier.

Ομοίως, εάν μια πραγματική συνάρτηση είναι περιττή, τότε ο μετασχηματισμός Fourier της είναι όπου είναι μια πραγματική περιττή συνάρτηση. Εν

Οι ισότητες (12.8), (12.9) ορίζουν τον ημιτονικό μετασχηματισμό Fourier.

Σημειώστε ότι οι τύποι (12.6) και (12.8) περιλαμβάνουν τιμές συναρτήσεων μόνο για. Επομένως, οι μετασχηματισμοί Fourier συνημιτόνου και ημιτόνου μπορούν επίσης να εφαρμοστούν σε μια συνάρτηση που ορίζεται σε ένα ημι-άπειρο διάστημα. Σε αυτήν την περίπτωση, τα ολοκληρώματα στους τύπους (12.7) και (12.9) συγκλίνουν στη δεδομένη συνάρτηση και στις άρτιες και περιττές συνέχειές της, αντίστοιχα.

Τα οποία είναι ήδη αρκετά βαρετά. Και αισθάνομαι ότι ήρθε η στιγμή που ήρθε η ώρα να εξαχθούν νέα κονσερβοποιημένα προϊόντα από τα στρατηγικά αποθέματα της θεωρίας. Είναι δυνατόν να επεκταθεί η συνάρτηση σε μια σειρά με κάποιον άλλο τρόπο; Για παράδειγμα, να εκφράσετε ένα ευθύγραμμο τμήμα σε ημίτονο και συνημίτονο; Φαίνεται απίστευτο, αλλά τέτοιες φαινομενικά μακρινές λειτουργίες μπορεί να είναι
«επανένωση». Εκτός από τα γνωστά πτυχία στη θεωρία και την πράξη, υπάρχουν και άλλες προσεγγίσεις για την επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά.

Σε αυτό το μάθημα θα εξοικειωθούμε με την τριγωνομετρική σειρά Fourier, θα αγγίξουμε το ζήτημα της σύγκλισης και του αθροίσματος της και, φυσικά, θα αναλύσουμε πολλά παραδείγματα επέκτασης συναρτήσεων σε σειρές Fourier. Ήθελα ειλικρινά να ονομάσω το άρθρο "Σειρά Fourier για ανδρείκελα", αλλά αυτό θα ήταν ανειλικρινές, καθώς η επίλυση των προβλημάτων θα απαιτούσε γνώση άλλων κλάδων της μαθηματικής ανάλυσης και κάποια πρακτική εμπειρία. Επομένως, το προοίμιο θα μοιάζει με εκπαίδευση αστροναυτών =)

Πρώτον, θα πρέπει να προσεγγίσετε τη μελέτη των υλικών της σελίδας σε εξαιρετική μορφή. Νυσταγμένος, ξεκούραστος και νηφάλιος. Χωρίς έντονα συναισθήματα για ένα σπασμένο πόδι χάμστερ και εμμονικές σκέψεις για τις δυσκολίες της ζωής για τα ψάρια του ενυδρείου. Η σειρά Fourier δεν είναι δύσκολο να κατανοηθεί, αλλά οι πρακτικές εργασίες απαιτούν απλώς αυξημένη συγκέντρωση προσοχής - ιδανικά, θα πρέπει να απομακρυνθείτε εντελώς από τα εξωτερικά ερεθίσματα. Η κατάσταση επιδεινώνεται από το γεγονός ότι δεν υπάρχει εύκολος τρόπος να ελέγξετε τη λύση και να απαντήσετε. Έτσι, εάν η υγεία σας είναι κάτω από το μέσο όρο, τότε είναι καλύτερα να κάνετε κάτι πιο απλό. Είναι αλήθεια.

Δεύτερον, πριν πετάξετε στο διάστημα, είναι απαραίτητο να μελετήσετε τον πίνακα οργάνων του διαστημικού σκάφους. Ας ξεκινήσουμε με τις τιμές των συναρτήσεων που πρέπει να κάνετε κλικ στο μηχάνημα:

Για οποιαδήποτε φυσική αξία:

1) . Πράγματι, το ημιτονοειδές «ράβει» τον άξονα x μέσω κάθε «pi»:
. Στην περίπτωση αρνητικών τιμών του επιχειρήματος, το αποτέλεσμα, φυσικά, θα είναι το ίδιο: .

2) . Αυτό όμως δεν το γνώριζαν όλοι. Το συνημίτονο "pi" είναι το ισοδύναμο ενός "ανοπτωτήρα":

Ένα αρνητικό επιχείρημα δεν αλλάζει το θέμα: .

Ίσως είναι αρκετό.

Και τρίτον, αγαπητέ σώματα κοσμοναυτών, πρέπει να μπορείτε να... ενσωματώνουν.
Συγκεκριμένα, με σιγουριά υποθέστε τη συνάρτηση κάτω από το διαφορικό πρόσημο, ενσωματώνουν αποσπασματικάκαι να είσαι σε ειρήνη με Τύπος Newton-Leibniz. Ας ξεκινήσουμε τις σημαντικές ασκήσεις πριν από την πτήση. Δεν συνιστώ κατηγορηματικά να το παραλείψετε, για να μην κολλήσετε αργότερα σε έλλειψη βαρύτητας:

Παράδειγμα 1

Υπολογίστε οριστικά ολοκληρώματα

όπου παίρνει φυσικές αξίες.

Λύση: η ολοκλήρωση πραγματοποιείται πάνω από τη μεταβλητή «x» και σε αυτό το στάδιο η διακριτή μεταβλητή «en» θεωρείται σταθερά. Σε όλα τα ολοκληρώματα βάλτε τη συνάρτηση κάτω από το διαφορικό πρόσημο:

Μια σύντομη έκδοση της λύσης που θα ήταν καλό να στοχεύσετε μοιάζει με αυτό:

Ας το συνηθίσουμε:

Οι τέσσερις υπόλοιποι πόντοι είναι μόνοι σας. Προσπαθήστε να προσεγγίσετε την εργασία συνειδητά και γράψτε τα ολοκληρώματα με σύντομο τρόπο. Δείγματα λύσεων στο τέλος του μαθήματος.

Αφού εκτελέσουμε τις ασκήσεις ΠΟΙΟΤΗΤΑ, φοράμε διαστημικές στολές
και ετοιμαζόμαστε να ξεκινήσουμε!

Επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά Fourier στο διάστημα

Σκεφτείτε κάποια λειτουργία που προσδιορίζεταιτουλάχιστον για ένα χρονικό διάστημα (και ενδεχομένως για μεγαλύτερο χρονικό διάστημα). Εάν αυτή η συνάρτηση μπορεί να ενσωματωθεί στο διάστημα, τότε μπορεί να επεκταθεί σε τριγωνομετρική Σειρά Fourier:
, όπου βρίσκονται τα λεγόμενα Συντελεστές Fourier.

Στην περίπτωση αυτή καλείται ο αριθμός περίοδο αποσύνθεσης, και ο αριθμός είναι χρόνος ημιζωής αποσύνθεσης.

Είναι προφανές ότι στη γενική περίπτωση η σειρά Fourier αποτελείται από ημίτονο και συνημίτονο:

Πράγματι, ας το γράψουμε αναλυτικά:

Ο μηδενικός όρος της σειράς γράφεται συνήθως με τη μορφή .

Οι συντελεστές Fourier υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τους ακόλουθους τύπους:

Καταλαβαίνω πολύ καλά ότι όσοι αρχίζουν να μελετούν το θέμα είναι ακόμα ασαφείς σχετικά με τους νέους όρους: περίοδος αποσύνθεσης, μισού κύκλου, Συντελεστές Fourierκλπ. Μην πανικοβάλλεστε, αυτό δεν συγκρίνεται με τον ενθουσιασμό πριν πάτε στο διάστημα. Ας καταλάβουμε τα πάντα στο παρακάτω παράδειγμα, πριν εκτελέσουμε το οποίο είναι λογικό να κάνουμε πιεστικές πρακτικές ερωτήσεις:

Τι χρειάζεται να κάνετε στις παρακάτω εργασίες;

Αναπτύξτε τη συνάρτηση σε μια σειρά Fourier. Επιπλέον, είναι συχνά απαραίτητο να απεικονίσετε ένα γράφημα μιας συνάρτησης, ένα γράφημα του αθροίσματος μιας σειράς, ένα μερικό άθροισμα, και στην περίπτωση των περίπλοκων φαντασιώσεων του καθηγητή, να κάνετε κάτι άλλο.

Πώς να επεκτείνετε μια συνάρτηση σε μια σειρά Fourier;

Ουσιαστικά πρέπει να βρεις Συντελεστές Fourier, δηλαδή να συνθέσετε και να υπολογίσετε τρία οριστικό ολοκλήρωμα.

Αντιγράψτε τη γενική μορφή της σειράς Fourier και τους τρεις τύπους εργασίας στο σημειωματάριό σας. Χαίρομαι πολύ που ορισμένοι επισκέπτες του ιστότοπου πραγματοποιούν το παιδικό τους όνειρο να γίνουν αστροναύτης μπροστά στα μάτια μου =)

Παράδειγμα 2

Αναπτύξτε τη συνάρτηση σε μια σειρά Fourier στο διάστημα. Κατασκευάστε ένα γράφημα, ένα γράφημα του αθροίσματος της σειράς και του μερικού αθροίσματος.

Λύση: Το πρώτο μέρος της εργασίας είναι η επέκταση της συνάρτησης σε μια σειρά Fourier.

Η αρχή είναι τυπική, φροντίστε να σημειώσετε ότι:

Σε αυτό το πρόβλημα, η περίοδος επέκτασης είναι μισή περίοδος.

Ας επεκτείνουμε τη συνάρτηση σε μια σειρά Fourier στο διάστημα:

Χρησιμοποιώντας τους κατάλληλους τύπους, βρίσκουμε Συντελεστές Fourier. Τώρα πρέπει να συνθέσουμε και να υπολογίσουμε τρία οριστικό ολοκλήρωμα. Για ευκολία, θα αριθμήσω τα σημεία:

1) Το πρώτο ολοκλήρωμα είναι το απλούστερο, ωστόσο, απαιτεί επίσης βολβούς ματιών:

2) Χρησιμοποιήστε τον δεύτερο τύπο:

Αυτό το ολοκλήρωμα είναι γνωστό και το παίρνει κομμάτι-κομμάτι:

Χρησιμοποιείται όταν βρεθεί μέθοδος υπαγωγής μιας συνάρτησης κάτω από το διαφορικό πρόσημο.

Στην εργασία που εξετάζουμε, είναι πιο βολικό να το χρησιμοποιήσετε αμέσως τύπος για ενσωμάτωση κατά μέρη σε ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα :

Μερικές τεχνικές σημειώσεις. Πρώτον, μετά την εφαρμογή του τύπου ολόκληρη η έκφραση πρέπει να περικλείεται σε μεγάλες αγκύλες, αφού υπάρχει μια σταθερά πριν από το αρχικό ολοκλήρωμα. Ας μην τη χάσουμε! Οι παρενθέσεις μπορούν να επεκταθούν σε οποιοδήποτε περαιτέρω βήμα· αυτό το έκανα ως έσχατη λύση. Στο πρώτο "κομμάτι" Δείχνουμε εξαιρετική προσοχή στην αντικατάσταση· όπως μπορείτε να δείτε, η σταθερά δεν χρησιμοποιείται και τα όρια ενσωμάτωσης αντικαθίστανται στο προϊόν. Αυτή η ενέργεια επισημαίνεται σε αγκύλες. Λοιπόν, είστε εξοικειωμένοι με το ολοκλήρωμα του δεύτερου "κομματιού" της φόρμουλας από την εκπαιδευτική εργασία;-)

Και το πιο σημαντικό - εξαιρετική συγκέντρωση!

3) Αναζητούμε τον τρίτο συντελεστή Fourier:

Λαμβάνεται ένας συγγενής του προηγούμενου ολοκληρώματος, ο οποίος είναι επίσης ενσωματώνει αποσπασματικά:

Αυτή η περίπτωση είναι λίγο πιο περίπλοκη, θα σχολιάσω τα περαιτέρω βήματα βήμα προς βήμα:

(1) Η έκφραση περικλείεται πλήρως σε μεγάλες αγκύλες. Δεν ήθελα να φαίνομαι βαρετός, χάνουν τη σταθερά πολύ συχνά.

(2) Σε αυτή την περίπτωση, άνοιξα αμέσως αυτές τις μεγάλες παρενθέσεις. Ιδιαίτερη προσοχήΑφοσιωνόμαστε στο πρώτο «κομμάτι»: η συνεχής καπνίζει στο περιθώριο και δεν συμμετέχει στην υποκατάσταση των ορίων ενσωμάτωσης (και) στο προϊόν. Λόγω της ακαταστασίας του δίσκου, συνιστάται και πάλι να τονίσετε αυτή την ενέργεια με αγκύλες. Με το δεύτερο "κομμάτι" όλα είναι πιο απλά: εδώ το κλάσμα εμφανίστηκε μετά το άνοιγμα μεγάλων παρενθέσεων και η σταθερά - ως αποτέλεσμα της ενσωμάτωσης του γνωστού ολοκληρώματος;-)

(3) Σε αγκύλες πραγματοποιούμε μετασχηματισμούς, και στο δεξί ολοκλήρωμα - αντικατάσταση ορίων ολοκλήρωσης.

(4) Αφαιρούμε το «φως που αναβοσβήνει» από τις αγκύλες: , και μετά ανοίγουμε τις εσωτερικές αγκύλες: .

(5) Ακυρώνουμε 1 και –1 σε παρενθέσεις και κάνουμε τελικές απλοποιήσεις.

Τέλος, βρίσκονται και οι τρεις συντελεστές Fourier:

Ας τα αντικαταστήσουμε στη φόρμουλα :

Ταυτόχρονα, μην ξεχάσετε να χωρίσετε στη μέση. Στο τελευταίο βήμα, η σταθερά («μείον δύο»), η οποία δεν εξαρτάται από το «en», λαμβάνεται εκτός του αθροίσματος.

Έτσι, λάβαμε την επέκταση της συνάρτησης σε μια σειρά Fourier στο διάστημα:

Ας μελετήσουμε το ζήτημα της σύγκλισης της σειράς Fourier. Θα εξηγήσω τη θεωρία, συγκεκριμένα Θεώρημα Dirichlet, κυριολεκτικά «στα δάχτυλα», οπότε αν χρειάζεστε αυστηρές διατυπώσεις, ανατρέξτε στο σχολικό βιβλίο για τη μαθηματική ανάλυση (για παράδειγμα, ο 2ος τόμος του Bohan ή ο 3ος τόμος του Fichtenholtz, αλλά είναι πιο δύσκολο).

Το δεύτερο μέρος του προβλήματος απαιτεί τη σχεδίαση μιας γραφικής παράστασης, μιας γραφικής παράστασης του αθροίσματος μιας σειράς και μιας γραφικής παράστασης ενός μερικού αθροίσματος.

Το γράφημα της συνάρτησης είναι το συνηθισμένο ευθεία γραμμή σε ένα επίπεδο, το οποίο σχεδιάζεται με μια μαύρη διακεκομμένη γραμμή:

Ας υπολογίσουμε το άθροισμα της σειράς. Όπως γνωρίζετε, οι σειρές συναρτήσεων συγκλίνουν σε συναρτήσεις. Στην περίπτωσή μας, η κατασκευασμένη σειρά Fourier για οποιαδήποτε τιμή του "x"θα συγκλίνει στη συνάρτηση, η οποία εμφανίζεται με κόκκινο χρώμα. Αυτή η λειτουργία ανέχεται ρήξεις 1ου είδουςσε σημεία, αλλά ορίζεται και σε αυτά (κόκκινες κουκκίδες στο σχέδιο)

Ετσι: . Είναι εύκολο να δει κανείς ότι διαφέρει αισθητά από την αρχική λειτουργία, γι' αυτό και στο λήμμα Χρησιμοποιείται περισπωμένη αντί για ίσον.

Ας μελετήσουμε έναν αλγόριθμο που είναι βολικός για την κατασκευή του αθροίσματος μιας σειράς.

Στο κεντρικό διάστημα, η σειρά Fourier συγκλίνει στην ίδια τη συνάρτηση (το κεντρικό κόκκινο τμήμα συμπίπτει με τη μαύρη διακεκομμένη γραμμή της γραμμικής συνάρτησης).

Τώρα ας μιλήσουμε λίγο για τη φύση της τριγωνομετρικής επέκτασης που εξετάζουμε. Σειρά Fourier περιλαμβάνει μόνο περιοδικές συναρτήσεις (σταθερά, ημίτονο και συνημίτονο), άρα το άθροισμα της σειράς είναι επίσης περιοδική συνάρτηση.

Τι σημαίνει αυτό στο συγκεκριμένο παράδειγμά μας; Και αυτό σημαίνει ότι το άθροισμα της σειράς –σίγουρα περιοδικήκαι το κόκκινο τμήμα του διαστήματος πρέπει να επαναλαμβάνεται ατελείωτα αριστερά και δεξιά.

Νομίζω ότι η έννοια της φράσης «περίοδος αποσύνθεσης» έχει πλέον γίνει επιτέλους σαφής. Για να το θέσω απλά, κάθε φορά που η κατάσταση επαναλαμβάνεται ξανά και ξανά.

Στην πράξη, συνήθως αρκεί η απεικόνιση τριών περιόδων αποσύνθεσης, όπως γίνεται στο σχέδιο. Λοιπόν, και επίσης "κολοβώματα" γειτονικών περιόδων - έτσι ώστε να είναι σαφές ότι το γράφημα συνεχίζεται.

Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν σημεία ασυνέχειας 1ου είδους. Σε τέτοια σημεία, η σειρά Fourier συγκλίνει σε μεμονωμένες τιμές, οι οποίες βρίσκονται ακριβώς στη μέση του «άλματος» της ασυνέχειας (κόκκινες κουκκίδες στο σχέδιο). Πώς να μάθετε τη τεταγμένη αυτών των σημείων; Αρχικά, ας βρούμε την τεταγμένη του «πάνω ορόφου»: για να γίνει αυτό, υπολογίζουμε την τιμή της συνάρτησης στο δεξιότερο σημείο της κεντρικής περιόδου της επέκτασης: . Για να υπολογίσετε την τεταγμένη του «κάτω ορόφου», ο ευκολότερος τρόπος είναι να λάβετε την πιο αριστερή τιμή της ίδιας περιόδου: . Η τεταγμένη της μέσης τιμής είναι ο αριθμητικός μέσος όρος του αθροίσματος του «πάνω και κάτω»: . Ένα ευχάριστο γεγονός είναι ότι κατά την κατασκευή ενός σχεδίου, θα δείτε αμέσως εάν η μέση υπολογίζεται σωστά ή λάθος.

Ας κατασκευάσουμε ένα μερικό άθροισμα της σειράς και ας επαναλάβουμε ταυτόχρονα την έννοια του όρου «σύγκλιση». Το κίνητρο είναι επίσης γνωστό από το μάθημα για άθροισμα μιας σειράς αριθμών. Ας περιγράψουμε αναλυτικά τον πλούτο μας:

Για να συνθέσετε ένα μερικό άθροισμα, πρέπει να γράψετε μηδέν + δύο ακόμη όρους της σειράς. Αυτό είναι,

Στο σχέδιο, το γράφημα της συνάρτησης εμφανίζεται με πράσινο χρώμα και, όπως μπορείτε να δείτε, "τυλίγει" το πλήρες άθροισμα αρκετά σφιχτά. Εάν λάβουμε υπόψη ένα μερικό άθροισμα πέντε όρων της σειράς, τότε το γράφημα αυτής της συνάρτησης θα προσεγγίσει τις κόκκινες γραμμές με ακόμη μεγαλύτερη ακρίβεια· εάν υπάρχουν εκατό όροι, τότε το "πράσινο φίδι" θα συγχωνευθεί πλήρως με τα κόκκινα τμήματα, και τα λοιπά. Έτσι, η σειρά Fourier συγκλίνει στο άθροισμά της.

Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι οποιοδήποτε μερικό ποσό είναι συνεχής λειτουργία, ωστόσο, το συνολικό άθροισμα της σειράς εξακολουθεί να είναι ασυνεχές.

Στην πράξη, δεν είναι τόσο σπάνιο να κατασκευάσουμε ένα γράφημα μερικού αθροίσματος. Πως να το κάνεις? Στην περίπτωσή μας, είναι απαραίτητο να εξετάσουμε τη συνάρτηση στο τμήμα, να υπολογίσουμε τις τιμές της στα άκρα του τμήματος και στα ενδιάμεσα σημεία (όσα περισσότερα σημεία λάβετε υπόψη, τόσο πιο ακριβές θα είναι το γράφημα). Στη συνέχεια, θα πρέπει να σημειώσετε αυτά τα σημεία στο σχέδιο και να σχεδιάσετε προσεκτικά ένα γράφημα για την περίοδο και, στη συνέχεια, να το «αντιγράψετε» σε παρακείμενα διαστήματα. Πως αλλιώς? Εξάλλου, η προσέγγιση είναι επίσης μια περιοδική συνάρτηση... ...κατά κάποιο τρόπο το γράφημα της μου θυμίζει έναν ομοιόμορφο καρδιακό ρυθμό στην οθόνη μιας ιατρικής συσκευής.

Η πραγματοποίηση της κατασκευής, φυσικά, δεν είναι πολύ βολική, αφού πρέπει να είστε εξαιρετικά προσεκτικοί, διατηρώντας ακρίβεια όχι μικρότερη από μισό χιλιοστό. Ωστόσο, θα ευχαριστήσω τους αναγνώστες που δεν αισθάνονται άνετα με το σχέδιο - σε ένα «πραγματικό» πρόβλημα δεν είναι πάντα απαραίτητο να πραγματοποιηθεί ένα σχέδιο· σε περίπου 50% των περιπτώσεων είναι απαραίτητο να επεκταθεί η λειτουργία σε μια σειρά Fourier και αυτό είναι όλο .

Αφού ολοκληρώσουμε το σχέδιο, ολοκληρώνουμε την εργασία:

Απάντηση:

Σε πολλές εργασίες η λειτουργία υποφέρει ρήξη 1ου είδουςακριβώς κατά την περίοδο αποσύνθεσης:

Παράδειγμα 3

Αναπτύξτε τη συνάρτηση που δίνεται στο διάστημα σε μια σειρά Fourier. Σχεδιάστε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης και του συνολικού αθροίσματος της σειράς.

Η προτεινόμενη συνάρτηση καθορίζεται τμηματικά (και, σημειώστε, μόνο στο τμήμα)και αντέχει ρήξη 1ου είδουςστο σημείο. Είναι δυνατός ο υπολογισμός των συντελεστών Fourier; Κανένα πρόβλημα. Τόσο η αριστερή όσο και η δεξιά πλευρά της συνάρτησης μπορούν να ολοκληρωθούν στα διαστήματα τους, επομένως τα ολοκληρώματα σε καθέναν από τους τρεις τύπους πρέπει να αντιπροσωπεύονται ως το άθροισμα δύο ολοκληρωμάτων. Ας δούμε, για παράδειγμα, πώς γίνεται αυτό για έναν μηδενικό συντελεστή:

Το δεύτερο ολοκλήρωμα αποδείχθηκε ίσο με μηδέν, γεγονός που μείωσε το έργο, αλλά αυτό δεν συμβαίνει πάντα.

Οι άλλοι δύο συντελεστές Fourier περιγράφονται παρόμοια.

Πώς να εμφανίσετε το άθροισμα μιας σειράς; Στο αριστερό διάστημα σχεδιάζουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα και στο διάστημα - ένα ευθύγραμμο τμήμα (επισημαίνουμε το τμήμα του άξονα με έντονη γραφή και έντονη γραφή). Δηλαδή, στο διάστημα επέκτασης, το άθροισμα της σειράς συμπίπτει με τη συνάρτηση παντού εκτός από τρία «κακά» σημεία. Στο σημείο ασυνέχειας της συνάρτησης, η σειρά Fourier θα συγκλίνει σε μια απομονωμένη τιμή, η οποία βρίσκεται ακριβώς στη μέση του «άλματος» της ασυνέχειας. Δεν είναι δύσκολο να το δεις προφορικά: όριο αριστερής όψης: , όριο δεξιάς: και, προφανώς, η τεταγμένη του μέσου σημείου είναι 0,5.

Λόγω της περιοδικότητας του αθροίσματος, η εικόνα πρέπει να «πολλαπλασιαστεί» σε παρακείμενες περιόδους, συγκεκριμένα, το ίδιο πράγμα πρέπει να απεικονίζεται στα διαστήματα και . Ταυτόχρονα, σε σημεία η σειρά Fourier θα συγκλίνει στις διάμεσες τιμές.

Στην πραγματικότητα, δεν υπάρχει τίποτα νέο εδώ.

Προσπαθήστε να αντιμετωπίσετε αυτό το έργο μόνοι σας. Ένα κατά προσέγγιση δείγμα του τελικού σχεδίου και ένα σχέδιο στο τέλος του μαθήματος.

Επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά Fourier σε μια αυθαίρετη περίοδο

Για μια αυθαίρετη περίοδο επέκτασης, όπου το "el" είναι οποιοσδήποτε θετικός αριθμός, οι τύποι για τις σειρές Fourier και τους συντελεστές Fourier διακρίνονται από ένα ελαφρώς πιο περίπλοκο όρισμα για το ημίτονο και το συνημίτονο:

Εάν , τότε παίρνουμε τους τύπους διαστήματος με τους οποίους ξεκινήσαμε.

Ο αλγόριθμος και οι αρχές για την επίλυση του προβλήματος διατηρούνται πλήρως, αλλά η τεχνική πολυπλοκότητα των υπολογισμών αυξάνεται:

Παράδειγμα 4

Αναπτύξτε τη συνάρτηση σε μια σειρά Fourier και σχεδιάστε το άθροισμα.

Λύση: στην πραγματικότητα ένα ανάλογο του Παραδείγματος Νο. 3 με ρήξη 1ου είδουςστο σημείο. Σε αυτό το πρόβλημα, η περίοδος επέκτασης είναι μισή περίοδος. Η συνάρτηση ορίζεται μόνο στο μισό διάστημα, αλλά αυτό δεν αλλάζει το θέμα - είναι σημαντικό και τα δύο κομμάτια της συνάρτησης να είναι ενσωματωμένα.

Ας επεκτείνουμε τη συνάρτηση σε μια σειρά Fourier:

Δεδομένου ότι η συνάρτηση είναι ασυνεχής στην αρχή, κάθε συντελεστής Fourier θα πρέπει προφανώς να γραφτεί ως το άθροισμα δύο ολοκληρωμάτων:

1) Θα γράψω το πρώτο ολοκλήρωμα με όσο το δυνατόν περισσότερες λεπτομέρειες:

2) Εξετάζουμε προσεκτικά την επιφάνεια της Σελήνης:

Δεύτερο ολοκλήρωμα πάρε το κομμάτι-κομμάτι:

Τι πρέπει να προσέξουμε πολύ αφού ανοίξουμε τη συνέχεια της λύσης με αστερίσκο;

Πρώτον, δεν χάνουμε το πρώτο ολοκλήρωμα , όπου και εκτελούμε αμέσως προσυπογράφοντας το διαφορικό πρόσημο. Δεύτερον, μην ξεχνάτε την άτυχη σταθερά πριν από τις μεγάλες αγκύλες και μην μπερδεύεστε με τα σημάδιαόταν χρησιμοποιείτε τον τύπο. Τα μεγάλα στηρίγματα εξακολουθούν να είναι πιο βολικά για να ανοίξουν αμέσως στο επόμενο βήμα.

Τα υπόλοιπα είναι θέμα τεχνικής· οι δυσκολίες μπορούν να προκληθούν μόνο από ανεπαρκή εμπειρία στην επίλυση ολοκληρωμάτων.

Ναι, δεν ήταν καθόλου αγανακτισμένοι οι επιφανείς συνάδελφοι του Γάλλου μαθηματικού Φουριέ - πώς τόλμησε να τακτοποιήσει συναρτήσεις σε τριγωνομετρικές σειρές;! =) Παρεμπιπτόντως, όλοι μάλλον ενδιαφέρονται για το πρακτικό νόημα της εν λόγω εργασίας. Ο ίδιος ο Fourier εργάστηκε σε ένα μαθηματικό μοντέλο θερμικής αγωγιμότητας και στη συνέχεια η σειρά που πήρε το όνομά του άρχισε να χρησιμοποιείται για τη μελέτη πολλών περιοδικών διεργασιών, οι οποίες είναι ορατές και αόρατες στον περιβάλλοντα κόσμο. Τώρα, παρεμπιπτόντως, έπιασα τον εαυτό μου να σκέφτεται ότι δεν ήταν τυχαίο που συνέκρινα το γράφημα του δεύτερου παραδείγματος με τον περιοδικό ρυθμό της καρδιάς. Οι ενδιαφερόμενοι μπορούν να εξοικειωθούν με την πρακτική εφαρμογή Μετασχηματισμός Fourierσε πηγές τρίτων. ...Αν και είναι καλύτερα να μην το κάνετε - θα μείνει στη μνήμη ως Πρώτη Αγάπη =)

3) Λαμβάνοντας υπόψη τους επανειλημμένα αναφερόμενους αδύναμους συνδέσμους, ας δούμε τον τρίτο συντελεστή:

Ας ενσωματώσουμε κατά μέρη:

Ας αντικαταστήσουμε τους συντελεστές Fourier που βρέθηκαν στον τύπο , χωρίς να ξεχνάμε να διαιρέσουμε τον μηδενικό συντελεστή στο μισό:

Ας σχεδιάσουμε το άθροισμα της σειράς. Ας επαναλάβουμε εν συντομία τη διαδικασία: κατασκευάζουμε μια ευθεία σε ένα διάστημα και μια ευθεία σε ένα διάστημα. Εάν η τιμή "x" είναι μηδέν, βάζουμε ένα σημείο στη μέση του "άλματος" του κενού και "αντιγράφουμε" το γράφημα για γειτονικές περιόδους:

Στις «διασταυρώσεις» των περιόδων, το άθροισμα θα είναι επίσης ίσο με τα μέσα του «άλματος» του κενού.

Ετοιμος. Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι η ίδια η συνάρτηση ορίζεται από συνθήκη μόνο σε ένα μισό διάστημα και, προφανώς, συμπίπτει με το άθροισμα της σειράς στα διαστήματα

Απάντηση:

Μερικές φορές μια τμηματικά δεδομένη συνάρτηση είναι συνεχής κατά τη διάρκεια της περιόδου επέκτασης. Το απλούστερο παράδειγμα: . Λύση (βλ. Bohan τόμος 2)το ίδιο όπως και στα δύο προηγούμενα παραδείγματα: παρά συνέχεια λειτουργίαςστο σημείο , κάθε συντελεστής Fourier εκφράζεται ως το άθροισμα δύο ολοκληρωμάτων.

Στο διάστημα αποσύνθεσης σημεία ασυνέχειας 1ου είδουςκαι/ή μπορεί να υπάρχουν περισσότερα σημεία «σύνδεσης» του γραφήματος (δύο, τρία και γενικά οποιαδήποτε τελικόςποσότητα). Εάν μια συνάρτηση μπορεί να ενσωματωθεί σε κάθε μέρος, τότε είναι επίσης επεκτάσιμη σε μια σειρά Fourier. Αλλά από πρακτική εμπειρία δεν θυμάμαι κάτι τόσο σκληρό. Ωστόσο, υπάρχουν πιο δύσκολες εργασίες από αυτές που μόλις εξετάστηκαν και στο τέλος του άρθρου υπάρχουν σύνδεσμοι για τη σειρά Fourier αυξημένης πολυπλοκότητας για όλους.

Στο μεταξύ, ας χαλαρώσουμε, ας ακουμπήσουμε πίσω στις καρέκλες μας και ας αναλογιστούμε τις ατελείωτες εκτάσεις των αστεριών:

Παράδειγμα 5

Αναπτύξτε τη συνάρτηση σε μια σειρά Fourier στο διάστημα και σχεδιάστε το άθροισμα της σειράς.

Σε αυτό το πρόβλημα η συνάρτηση συνεχήςστο μισό διάστημα επέκτασης, το οποίο απλοποιεί τη λύση. Όλα μοιάζουν πολύ με το Παράδειγμα Νο. 2. Δεν υπάρχει διαφυγή από το διαστημόπλοιο - θα πρέπει να αποφασίσετε =) Ένα κατά προσέγγιση δείγμα σχεδίασης στο τέλος του μαθήματος, επισυνάπτεται ένα πρόγραμμα.

Επέκταση σειράς Fourier άρτιων και περιττών συναρτήσεων

Με άρτιες και περιττές συναρτήσεις, η διαδικασία επίλυσης του προβλήματος απλοποιείται αισθητά. Και για αυτο. Ας επιστρέψουμε στην επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά Fourier με περίοδο "δύο pi" και αυθαίρετη περίοδος «δύο ελ» .

Ας υποθέσουμε ότι η συνάρτησή μας είναι άρτια. Ο γενικός όρος της σειράς, όπως μπορείτε να δείτε, περιέχει άρτια συνημίτονα και περιττά ημίτονο. Και αν επεκτείνουμε μια συνάρτηση ΖΥΓΗ, τότε γιατί χρειαζόμαστε περιττά ημιτόνια;! Ας μηδενίσουμε τον περιττό συντελεστή: .

Ετσι, μια άρτια συνάρτηση μπορεί να επεκταθεί σε μια σειρά Fourier μόνο σε συνημίτονα:

Επειδή η ολοκληρώματα άρτιων συναρτήσεωνκατά μήκος ενός τμήματος ολοκλήρωσης που είναι συμμετρικό ως προς το μηδέν μπορεί να διπλασιαστεί, και στη συνέχεια οι υπόλοιποι συντελεστές Fourier απλοποιούνται.

Για το κενό:

Για ένα αυθαίρετο διάστημα:

Παραδείγματα σχολικών βιβλίων που μπορούν να βρεθούν σχεδόν σε οποιοδήποτε εγχειρίδιο μαθηματικής ανάλυσης περιλαμβάνουν επεκτάσεις ζυγών συναρτήσεων . Επιπλέον, έχουν συναντηθεί αρκετές φορές στην προσωπική μου πρακτική:

Παράδειγμα 6

Δίνεται η συνάρτηση. Απαιτείται:

1) επεκτείνετε τη συνάρτηση σε μια σειρά Fourier με τελεία , όπου είναι ένας αυθαίρετος θετικός αριθμός.

2) Καταγράψτε την επέκταση στο διάστημα, κατασκευάστε μια συνάρτηση και γράψτε το συνολικό άθροισμα της σειράς.

Λύση: στην πρώτη παράγραφο προτείνεται να λυθεί το πρόβλημα σε γενική μορφή, και αυτό είναι πολύ βολικό! Εάν προκύψει ανάγκη, απλώς αντικαταστήστε την αξία σας.

1) Σε αυτό το πρόβλημα, η περίοδος επέκτασης είναι μισή περίοδος. Κατά τη διάρκεια περαιτέρω ενεργειών, ιδιαίτερα κατά την ενσωμάτωση, το «el» θεωρείται σταθερά

Η συνάρτηση είναι άρτια, πράγμα που σημαίνει ότι μπορεί να επεκταθεί σε μια σειρά Fourier μόνο σε συνημίτονα: .

Αναζητούμε συντελεστές Fourier χρησιμοποιώντας τους τύπους . Δώστε προσοχή στα άνευ όρων πλεονεκτήματα τους. Πρώτον, η ενοποίηση πραγματοποιείται στο θετικό τμήμα της επέκτασης, πράγμα που σημαίνει ότι απαλλαγούμε με ασφάλεια από τη μονάδα , λαμβάνοντας υπόψη μόνο το «Χ» των δύο κομματιών. Και, δεύτερον, η ενσωμάτωση απλοποιείται αισθητά.

Δύο:

Ας ενσωματώσουμε κατά μέρη:

Ετσι:
, ενώ η σταθερά , η οποία δεν εξαρτάται από το "en", λαμβάνεται εκτός του αθροίσματος.

Απάντηση:

2) Ας γράψουμε την επέκταση στο διάστημα· για να γίνει αυτό, αντικαθιστούμε την απαιτούμενη τιμή μισής περιόδου στον γενικό τύπο:

Τριγωνομετρική σειρά Fourier ονομάζεται σειρά της μορφής

ένα0 /2 + ένα 1 συν Χ + σι 1 αμαρτία Χ + ένα 2cos2 Χ + σι 2 αμαρτία2 Χ + ... + έναυπαιτ nx + σι n αμαρτία nx + ...

που είναι οι αριθμοί ένα0 , ένα 1 , σι 1 , ένα 2 , σι 2 , ..., ένα n, σι n... - Συντελεστές Fourier.

Μια πιο συμπυκνωμένη αναπαράσταση της σειράς Fourier με το σύμβολο "sigma":

Όπως μόλις διαπιστώσαμε, σε αντίθεση με τη σειρά ισχύος, στη σειρά Fourier, αντί για τις απλούστερες συναρτήσεις λαμβάνονται τριγωνομετρικές συναρτήσεις

1/2, κοσ Χ,αμαρτία Χ, cos2 Χ, αμαρτία2 Χ, ..., συν nx,αμαρτία nx, ... .

Οι συντελεστές Fourier υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τους ακόλουθους τύπους:

Όλες οι παραπάνω συναρτήσεις στη σειρά Fourier είναι περιοδικές συναρτήσεις με περίοδο 2 π . Κάθε όρος της τριγωνομετρικής σειράς Fourier είναι μια περιοδική συνάρτηση με περίοδο 2 π .

Επομένως, οποιοδήποτε μερικό άθροισμα της σειράς Fourier έχει περίοδο 2 π . Επομένως, εάν η σειρά Fourier συγκλίνει στο διάστημα [- π , π ] , τότε συγκλίνει σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή και το άθροισμά της, που είναι το όριο μιας ακολουθίας περιοδικών μερικών αθροισμάτων, είναι μια περιοδική συνάρτηση με περίοδο 2 π .

Σύγκλιση σειρών Fourier και άθροισμα σειρών

Αφήστε τη λειτουργία φά(Χ) ορίζεται σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή και περιοδική με τελεία 2 π , είναι περιοδική συνέχεια της συνάρτησης φά(Χ) εάν στο τμήμα [- π , π ] λαμβάνει χώρα φά(Χ) = φά(Χ)

Εάν στο τμήμα [- π , π ] η σειρά Fourier συγκλίνει στη συνάρτηση φά(Χ) τότε συγκλίνει σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή στην περιοδική συνέχειά της.

Η απάντηση στο ερώτημα υπό ποιες συνθήκες είναι η σειρά Fourier μιας συνάρτησης φά(Χ) συγκλίνει σε αυτή τη συνάρτηση, δίνει το παρακάτω θεώρημα.

Θεώρημα.Αφήστε τη λειτουργία φά(Χ) και το παράγωγό του φά"(Χ) - συνεχής στο τμήμα [- π , π ] ή να έχει έναν πεπερασμένο αριθμό σημείων ασυνέχειας του 1ου είδους πάνω του. Στη συνέχεια η σειρά Fourier της συνάρτησης φά(Χ) συγκλίνει σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή και σε κάθε σημείο Χ, που ανήκει στο τμήμα [- π , π ] , όπου φά(Χ) είναι συνεχής, το άθροισμα της σειράς είναι ίσο με φά(Χ), και σε κάθε σημείο Χ0 της ασυνέχειας της συνάρτησης, το άθροισμα της σειράς είναι ίσο με τον αριθμητικό μέσο όρο των ορίων της συνάρτησης φά(Χ) δεξιά και αριστερά:

Οπου Και .

Στα άκρα του τμήματος [- π , π ] το άθροισμα της σειράς είναι ίσο με τον αριθμητικό μέσο όρο των τιμών της συνάρτησης στο αριστερό και δεξιότερο σημείο της περιόδου επέκτασης:

Σε οποιοδήποτε σημείο Χ, που ανήκει στο τμήμα [- π , π ] , το άθροισμα της σειράς Fourier είναι ίσο με φά(Χ) , Αν Χ- σημείο συνέχειας φά(Χ) , και ισούται με τον αριθμητικό μέσο όρο των ορίων φά(Χ) αριστερά και δεξιά:

Αν Χ- σημείο διακοπής φά(Χ) , Οπου φά(Χ) - περιοδική συνέχεια φά(Χ) .

Παράδειγμα 1.Περιοδική συνάρτηση φά(Χ) με περίοδο 2 π ορίζεται ως εξής:

Πιο απλά, αυτή η συνάρτηση γράφεται ως φά(Χ) = |Χ| . Αναπτύξτε τη συνάρτηση σε μια σειρά Fourier, προσδιορίστε τη σύγκλιση της σειράς και το άθροισμα της σειράς.

Λύση. Ας προσδιορίσουμε τους συντελεστές Fourier αυτής της συνάρτησης:

Τώρα έχουμε τα πάντα για να πάρουμε τη σειρά Fourier αυτής της συνάρτησης:

Αυτή η σειρά συγκλίνει σε όλα τα σημεία και το άθροισμά της είναι ίσο με τη δεδομένη συνάρτηση.

Λύστε μόνοι σας το πρόβλημα της σειράς Fourier και μετά δείτε τη λύση

Σειρά Fourier για άρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αφήστε τη λειτουργία φά(Χ) ορίζεται στο τμήμα [- π , π ] και είναι άρτιος, δηλ. φά(- Χ) = φά(Χ) . Στη συνέχεια οι συντελεστές του σιnείναι ίσα με μηδέν. Και για τους συντελεστές έναnΟι παρακάτω τύποι είναι σωστοί:

Αφήστε τώρα τη συνάρτηση φά(Χ) που ορίζεται στο τμήμα [- π , π ] , περιττό, δηλ. φά(Χ) = -φά(- Χ) . Στη συνέχεια οι συντελεστές Fourier έναnισούνται με μηδέν, και οι συντελεστές σιnκαθορίζεται από τον τύπο

Όπως φαίνεται από τους τύπους που προκύπτουν παραπάνω, εάν η λειτουργία φά(Χ) είναι άρτιος, τότε η σειρά Fourier περιέχει μόνο συνημίτονα, και αν είναι περιττή, τότε μόνο ημίτονα.

Παράδειγμα 3.

Λύση. Αυτή είναι μια περιττή συνάρτηση, επομένως οι συντελεστές Fourier της είναι , και για να βρείτε , πρέπει να υπολογίσετε το οριστικό ολοκλήρωμα:

Αυτή η ισότητα ισχύει για οποιονδήποτε. Σε σημεία, το άθροισμα της σειράς Fourier σύμφωνα με το θεώρημα που δίνεται στη δεύτερη παράγραφο δεν συμπίπτει με τις τιμές της συνάρτησης, αλλά ισούται με . Έξω από το τμήμα, το άθροισμα της σειράς είναι μια περιοδική συνέχεια της συνάρτησης· το γράφημα της δόθηκε παραπάνω ως απεικόνιση του αθροίσματος της σειράς.

Παράδειγμα 4.Αναπτύξτε τη συνάρτηση σε μια σειρά Fourier.

Λύση. Αυτή είναι μια άρτια συνάρτηση, επομένως οι συντελεστές Fourier της είναι , και για να βρείτε , πρέπει να υπολογίσετε καθορισμένα ολοκληρώματα:

Λαμβάνουμε τη σειρά Fourier αυτής της συνάρτησης:

Αυτή η ισότητα ισχύει για οποιαδήποτε, αφού σε σημεία το άθροισμα της σειράς Fourier σε αυτή την περίπτωση συμπίπτει με τις τιμές της συνάρτησης, αφού .

Σειρά Fourier για οποιοδήποτε ορθογώνιο σύστημα συναρτήσεων

Ακολουθία συναρτήσεων συνεχής στο διάστημα [ ένα,σι], που ονομάζεται ορθογώνιο σύστημα συναρτήσεων στο τμήμα[ένα,σι], εάν όλες οι συναρτήσεις της ακολουθίας είναι κατά ζεύγη ορθογώνιες σε αυτό το τμήμα, δηλαδή αν

Το σύστημα ονομάζεται ορθογώνιο και κανονικοποιημένο (ορθοκανονικό) στο τμήμα,

εάν πληρούται η προϋπόθεση

Αφήστε το τώρα φά(Χ) - οποιαδήποτε συνάρτηση συνεχής στο διάστημα [ ένα,σι]. Κοντά στο Fourierμια τέτοια λειτουργία φά(Χ) στο τμήμα [ ένα,σι] σύμφωνα με το ορθογώνιο σύστημαη σειρά ονομάζεται:

των οποίων οι συντελεστές καθορίζονται από την ισότητα:

N=1,2,...

Αν ένα ορθογώνιο σύστημα συναρτήσεων λειτουργεί στο διάστημα [ ένα,σι] ορθοκανονικό, τότε σε αυτή την περίπτωση

Οπου n=1,2,...

Αφήστε το τώρα φά(Χ) - κάθε συνάρτηση που είναι συνεχής ή έχει πεπερασμένο αριθμό σημείων ασυνέχειας του πρώτου είδους στο τμήμα [ ένα,σι]. Σειρά Fourier μιας τέτοιας συνάρτησης φά(Χ) στο ίδιο τμήμα

σύμφωνα με το ορθογώνιο σύστημα η σειρά ονομάζεται:

Αν η σειρά Fourier της συνάρτησης φά(Χ) σύμφωνα με το σύστημα (1) συγκλίνει στη συνάρτηση φά(Χ) σε κάθε σημείο συνέχειάς του που ανήκει στο τμήμα [ ένα,σι]. Σε αυτή την περίπτωση λένε ότι φά(Χ) στο τμήμα [ ένα,σι] επεκτείνεται σε μια σειρά στο ορθογώνιο σύστημα (1).

Σύνθετη μορφή της σειράς Fourier

Η έκφραση ονομάζεται σύνθετη μορφή της σειράς Fourier της συνάρτησης φά(Χ), εάν ορίζεται από την ισότητα

,Οπου

Η μετάβαση από τη σειρά Fourier σε σύνθετη μορφή στη σειρά σε πραγματική μορφή και πίσω πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας τους τύπους:

(n=1,2, . . .)

Πρόβλημα δόνησης χορδής

Αφήστε μια χορδή μήκους να τεντωθεί σε κατάσταση ισορροπίας μεγάλομε άκρα x= 0 και Χ=μεγάλο. Ας υποθέσουμε ότι η χορδή βγαίνει από την ισορροπία και δονείται ελεύθερα. Θα εξετάσουμε μικρές δονήσεις της χορδής που συμβαίνουν στο κατακόρυφο επίπεδο.

Σύμφωνα με τις παραπάνω παραδοχές, μπορεί να φανεί ότι η συνάρτηση u(x,t) που χαρακτηρίζει τη θέση της χορδής σε κάθε στιγμή του χρόνου t,ικανοποιεί την εξίσωση

(1) , όπου a είναι θετικός αριθμός.

Το καθήκον μας είναι να βρούμε τη συνάρτηση u(x,t), η γραφική παράσταση της οποίας δίνει το σχήμα της χορδής ανά πάσα στιγμή t, δηλαδή να βρείτε μια λύση στην εξίσωση (1) με όριο:

και αρχικές συνθήκες:

Αρχικά, θα αναζητήσουμε λύσεις στην εξίσωση (1) που ικανοποιούν τις συνοριακές συνθήκες (2). Δεν είναι δύσκολο να το δεις αυτό u(Χ,t) Το 0 είναι λύση της εξίσωσης (1), που ικανοποιεί τις οριακές συνθήκες (2). Θα αναζητήσουμε λύσεις που δεν είναι πανομοιότυπες ίσες με 0, αναπαραστάσιμες ως γινόμενο u(x,t)=Χ(Χ)Τ(t), (4) , όπου , .

Αντικαθιστώντας την έκφραση (4) στην εξίσωση (1) προκύπτει:

Από το οποίο το καθήκον μας καταλήγει στην εύρεση λύσεων στις εξισώσεις:

Χρησιμοποιώντας αυτή τη συνθήκη Χ(0)=0, Χ(μεγάλο)=0, αποδεικνύουμε ότι είναι αρνητικός αριθμός εξετάζοντας όλες τις περιπτώσεις.

α) Αφήστε Τότε Χ”=0 και η γενική του λύση θα γραφτεί ως εξής:

από όπου και , το οποίο είναι αδύνατο, αφού εξετάζουμε λύσεις που δεν εξαφανίζονται πανομοιότυπα.

β) Αφήστε . Στη συνέχεια λύνοντας την εξίσωση

παίρνουμε , και, υποτάσσοντας, το βρίσκουμε

γ) Αν τότε

Οι εξισώσεις έχουν ρίζες:

Οπου -αυθαίρετες σταθερές. Από την αρχική συνθήκη βρίσκουμε:

από πού, δηλ.

(n=1,2,...)

(n=1,2,...).

Λαμβάνοντας αυτό υπόψη, μπορούμε να γράψουμε:

(Ν=1,2,...).

και ως εκ τούτου

, (n=1,2,...),

αλλά επειδή τα Α και Β είναι διαφορετικά για διαφορετικές τιμές του n, έχουμε

, (n=1,2,...),

όπου και είναι αυθαίρετες σταθερές, τις οποίες θα προσπαθήσουμε να προσδιορίσουμε με τέτοιο τρόπο ώστε η σειρά να ικανοποιεί την εξίσωση (1), τις οριακές συνθήκες (2) και τις αρχικές συνθήκες (3).

Ας υποτάξουμε λοιπόν τη συνάρτηση u(x,t) στις αρχικές συνθήκες, δηλαδή, θα επιλέξουμε έτσι ώστε να πληρούνται οι προϋποθέσεις

Αυτές οι ισότητες είναι, αντίστοιχα, επεκτάσεις συναρτήσεων και σε τμήματα σε μια σειρά Fourier σε ημίτονο. (Αυτό σημαίνει ότι οι συντελεστές θα υπολογιστούν όπως για μια περιττή συνάρτηση). Έτσι, η λύση για την ταλάντωση μιας χορδής με δεδομένες οριακές και αρχικές συνθήκες δίνεται από τον τύπο

(n=1,2,...)

Ολοκλήρωμα Fourier

Επαρκείς προϋποθέσεις για την αναπαραστασιμότητα μιας συνάρτησης σε ένα ολοκλήρωμα Fourier.

Ωστε να φά(Χ) αντιπροσωπεύτηκε από το ολοκλήρωμα Fourier σε όλα τα σημεία συνέχειας και κανονικά σημεία ασυνέχειας, αρκεί:

1) απόλυτη ενσωμάτωση σε

(δηλαδή το ολοκλήρωμα συγκλίνει)

2) σε οποιοδήποτε πεπερασμένο τμήμα [- μεγάλο, μεγάλο] η λειτουργία θα ήταν τμηματικά ομαλή

3) στα σημεία ασυνέχειας μιας συνάρτησης, το ολοκλήρωμα Fourier της καθορίζεται από το μισό άθροισμα του αριστερού και δεξιού ορίου σε αυτά τα σημεία και σε σημεία συνέχειας της ίδιας της συνάρτησης φά(Χ)

Το ολοκλήρωμα Fourier μιας συνάρτησης f(x) είναι ολοκλήρωμα της μορφής:

Οπου ,

Ολοκλήρωμα Fourier για άρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αφήνω φά(Χ) είναι μια άρτια συνάρτηση που ικανοποιεί τις προϋποθέσεις αναπαραστασιμότητας από ένα ολοκλήρωμα Fourier.

Λαμβάνοντας υπόψη ότι , καθώς και η ιδιότητα των ολοκληρωμάτων σε ένα σημείο συμμετρικό Χ=0 διάστημα από άρτιες συναρτήσεις, από την ισότητα (2) παίρνουμε:

(3)