Verallgemeinerte homogene Differentialgleichungen erster Ordnung. Vorlesung Differentialgleichungen Eigenschaften verallgemeinerter Ableitungen

Die gleichung M(X, j) dx+ N(X, j) dy=0 heißt verallgemeinert homogen, wenn es möglich ist, eine solche Zahl auszuwählen k, dass die linke Seite dieser Gleichung zu einem gewissen Grad eine homogene Funktion wird M verhältnismäßig X, j, dx Und dy unter der Vorraussetzung, dass X gilt als Wert der ersten Dimension, j – k‑ Messungen , dx Und dy – jeweils Null und (k-1) Messungen. Dies wäre zum Beispiel die Gleichung. (6.1)

Gültig unter den getroffenen Messannahmen

X, j, dx Und dy Mitglieder der linken Seite
Und dy wird die Dimensionen -2 bzw. 2 haben k Und k-1. Indem wir sie gleichsetzen, erhalten wir eine Bedingung, die die gewünschte Zahl erfüllen muss k: -2 = 2k = k-1. Diese Bedingung ist erfüllt, wenn k = -1 (mit diesem k alle Terme auf der linken Seite der betrachteten Gleichung haben die Dimension -2). Folglich ist Gleichung (6.1) verallgemeinert homogen.

Eine verallgemeinerte homogene Gleichung wird durch Substitution auf eine Gleichung mit separierbaren Variablen reduziert
, Wo z– neue unbekannte Funktion. Integrieren wir Gleichung (6.1) mit der angegebenen Methode. Als k = -1 also
, danach erhalten wir die Gleichung.

Wenn wir es integrieren, finden wir
, Wo
. Dies ist eine allgemeine Lösung der Gleichung (6.1).

§ 7. Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung.

Eine lineare Gleichung 1. Ordnung ist eine Gleichung, die bezüglich der gewünschten Funktion und ihrer Ableitung linear ist. Es sieht aus wie:

, (7.1)

Wo P(X) Und Q(X) – gegebene stetige Funktionen von X. Wenn die Funktion
, dann hat Gleichung (7.1) die Form:
(7.2)

andernfalls wird sie als lineare homogene Gleichung bezeichnet
man spricht von einer linearen inhomogenen Gleichung.

Die lineare homogene Differentialgleichung (7.2) ist eine Gleichung mit separierbaren Variablen:

(7.3)

Ausdruck (7.3) ist die allgemeine Lösung von Gleichung (7.2). Um eine allgemeine Lösung für Gleichung (7.1) zu finden, in der die Funktion P(X) die gleiche Funktion wie in Gleichung (7.2) bezeichnet, wenden wir eine Technik namens Variationsmethode einer beliebigen Konstante an und bestehen aus Folgendem: Wir werden versuchen, die Funktion auszuwählen C=C(X) so dass die allgemeine Lösung der linearen homogenen Gleichung (7.2) eine Lösung der inhomogenen linearen Gleichung (7.1) wäre. Dann erhalten wir für die Ableitung der Funktion (7.3):

.

Wenn wir die gefundene Ableitung in Gleichung (7.1) einsetzen, erhalten wir:

oder
.

Wo
, Wo - Willkürliche Konstante. Infolgedessen lautet die allgemeine Lösung der inhomogenen linearen Gleichung (7.1) (7.4)

Der erste Term in dieser Formel stellt die allgemeine Lösung (7.3) der linearen homogenen Differentialgleichung (7.2) dar, und der zweite Term der Formel (7.4) ist eine spezielle Lösung der linearen inhomogenen Gleichung (7.1), die aus der allgemeinen ( 7.4) mit
. Wir heben diese wichtige Schlussfolgerung in Form eines Theorems hervor.

Satz. Wenn eine bestimmte Lösung einer linearen inhomogenen Differentialgleichung bekannt ist
, dann haben alle anderen Lösungen die Form
, Wo
- allgemeine Lösung der entsprechenden linearen homogenen Differentialgleichung.

Es ist jedoch zu beachten, dass zur Lösung der linearen inhomogenen Differentialgleichung 1. Ordnung (7.1) häufiger eine andere Methode verwendet wird, manchmal auch Bernoulli-Methode genannt. Wir werden nach einer Lösung für Gleichung (7.1) in der Form suchen
. Dann
. Ersetzen wir die gefundene Ableitung in die ursprüngliche Gleichung:
.

Kombinieren wir beispielsweise den zweiten und dritten Term des letzten Ausdrucks und extrahieren wir die Funktion u(X) hinter der Klammer:
(7.5)

Wir verlangen, dass die Klammer aufgehoben wird:
.

Lösen wir diese Gleichung, indem wir eine beliebige Konstante festlegen C gleich Null:
. Mit der gefundenen Funktion v(X) Kehren wir zu Gleichung (7.5) zurück:
.

Wenn wir es lösen, erhalten wir:
.

Folglich hat die allgemeine Lösung der Gleichung (7.1) die Form.

Differentialgleichungen in verallgemeinerten Funktionen

Lass es eine Gleichung geben. Wenn es sich um eine gewöhnliche Funktion handelt, dann ist ihre Lösung eine Stammfunktion. Sei nun eine verallgemeinerte Funktion.

Definition. Eine verallgemeinerte Funktion heißt primitive verallgemeinerte Funktion if. Wenn es sich um eine singuläre verallgemeinerte Funktion handelt, gibt es mögliche Fälle, in denen ihre Stammfunktion eine reguläre verallgemeinerte Funktion ist. Eine Stammfunktion ist zum Beispiel; Die Stammfunktion ist eine Funktion und die Lösung der Gleichung kann in der Form geschrieben werden: , wobei.

Es gibt eine lineare Gleichung der dritten Ordnung mit konstanten Koeffizienten

wo ist eine verallgemeinerte Funktion. Sei ein Differentialpolynom th. Ordnung.

Definition. Eine verallgemeinerte Lösung der Differentialgleichung (8) ist eine verallgemeinerte Funktion, für die die folgende Beziehung gilt:

Wenn es sich um eine stetige Funktion handelt, ist die einzige Lösung für Gleichung (8) die klassische Lösung.

Definition. Eine grundlegende Lösung für Gleichung (8) ist jede verallgemeinerte Funktion wie z.

Die Green-Funktion ist eine grundlegende Lösung, die eine Rand-, Anfangs- oder asymptotische Bedingung erfüllt.

Satz. Es gibt eine Lösung für Gleichung (8) und hat die Form:

es sei denn, Faltung ist definiert.

Nachweisen. Wirklich, . Gemäß der Faltungseigenschaft folgt: .

Es ist leicht zu erkennen, dass die grundlegende Lösung dieser Gleichung ist:

Eigenschaften verallgemeinerter Derivate

Die Operation der Differenzierung ist linear und stetig von bis:

in, wenn in;

Jede verallgemeinerte Funktion ist unendlich differenzierbar. In der Tat, wenn, dann; wiederum usw.;

Das Ergebnis der Differenzierung hängt nicht von der Reihenfolge der Differenzierung ab. Zum Beispiel, ;

Wenn ja, dann gilt die Leibnizsche Formel zur Differenzierung eines Produkts. Zum Beispiel, ;

Wenn es sich um eine verallgemeinerte Funktion handelt, dann;

Wenn eine aus lokal integrierbaren Funktionen bestehende Reihe gleichmäßig auf jeder kompakten Menge konvergiert, kann sie Term für Term beliebig oft differenziert werden (als verallgemeinerte Funktion), und die resultierende Reihe konvergiert in.

Beispiel. Lassen

Die Funktion wird Heaviside-Funktion oder Einheitsfunktion genannt. Sie ist lokal integrierbar und kann daher als verallgemeinerte Funktion betrachtet werden. Sie können seine Ableitung finden. Laut Definition, d.h. .

Verallgemeinerte Funktionen, die quadratischen Formen mit komplexen Koeffizienten entsprechen

Bisher wurden nur quadratische Formen mit reellen Koeffizienten betrachtet. In diesem Abschnitt untersuchen wir den Raum aller quadratischen Formen mit komplexen Koeffizienten.

Die Aufgabe besteht darin, die verallgemeinerte Funktion zu bestimmen, bei der es sich um eine komplexe Zahl handelt. Im allgemeinen Fall wird es jedoch keine eindeutige analytische Funktion von geben. Daher wird im Raum aller quadratischen Formen die „obere Halbebene“ quadratischer Formen mit positiv definitem Imaginärteil isoliert und für sie eine Funktion bestimmt. Wenn nämlich zu dieser „Halbebene“ eine quadratische Form gehört, dann wird davon ausgegangen, dass wo. Eine solche Funktion ist eine eindeutige analytische Funktion von.

Wir können die Funktion nun einer verallgemeinerten Funktion zuordnen:

bei dem die Integration über den gesamten Raum erfolgt. Das Integral (13) konvergiert in dieser Halbebene und ist eine analytische Funktion von ihr. Durch analytische Fortsetzung dieser Funktion wird das Funktional für andere Werte ermittelt.

Für quadratische Formen mit einem positiv definiten Imaginärteil werden die Singularpunkte der Funktionen ermittelt und die Residuen dieser Funktionen an den Singularpunkten berechnet.

Die verallgemeinerte Funktion hängt analytisch nicht nur von, sondern auch von den Koeffizienten der quadratischen Form ab. Es handelt sich also um eine analytische Funktion in der oberen „Halbebene“ aller quadratischen Formen der Form, in der es eine positiv definite Form gibt. Folglich wird es eindeutig durch seine Werte auf der „imaginären Halbachse“ bestimmt, d. h. auf der Menge der quadratischen Formen der Form, wobei es sich um eine positiv definite Form handelt.

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Differentialgleichungen 1. Ordnung mit separierbaren Variablen.

Definition. Eine Differentialgleichung mit separierbaren Variablen ist eine Gleichung der Form (3.1) oder eine Gleichung der Form (3.2)

Um die Variablen in Gleichung (3.1) zu trennen, d.h. Um diese Gleichung auf die sogenannte Gleichung mit getrennten Variablen zu reduzieren, gehen Sie wie folgt vor: ;

Jetzt müssen wir die Gleichung lösen g(y)= 0. Wenn es eine echte Lösung gibt y=a, Das y=a wird auch eine Lösung für Gleichung (3.1) sein.

Gleichung (3.2) wird durch Division durch das Produkt auf eine getrennte Gleichung reduziert:

, wodurch wir das allgemeine Integral der Gleichung (3.2) erhalten können: . (3.3)

Integralkurven (3.3) werden durch Lösungen ergänzt , wenn es solche Lösungen gibt.

Homogene Differentialgleichungen 1. Ordnung.

Definition 1. Eine Gleichung erster Ordnung heißt homogen, wenn ihre rechte Seite die Beziehung erfüllt , genannt die Bedingung der Homogenität einer Funktion zweier Variablen der Nulldimension.

Beispiel 1. Zeigen Sie, dass die Funktion homogen mit der Dimension Null ist.

Lösung. ,

Q.E.D.

Satz. Jede Funktion ist homogen und umgekehrt wird jede homogene Funktion der Nulldimension auf die Form reduziert.

Nachweisen. Die erste Aussage des Theorems ist offensichtlich, weil . Beweisen wir die zweite Aussage. Stellen wir uns also eine homogene Funktion vor , was bewiesen werden musste.

Definition 2. Gleichung (4.1), in der M Und N– homogene Funktionen gleichen Grades, d.h. haben die Eigenschaft für alle, genannt homogen. Offensichtlich kann diese Gleichung immer auf die Form (4.2) reduziert werden, obwohl dies möglicherweise nicht notwendig ist, um sie zu lösen. Eine homogene Gleichung wird durch Ersetzen der gewünschten Funktion auf eine Gleichung mit separierbaren Variablen reduziert j nach der Formel y=zx, Wo z(x)– neue erforderliche Funktion. Nachdem wir diese Substitution in Gleichung (4.2) durchgeführt haben, erhalten wir: oder oder .

Durch Integrieren erhalten wir das allgemeine Integral der Gleichung über die Funktion z(x) , was nach wiederholtem Ersetzen das allgemeine Integral der ursprünglichen Gleichung ergibt. Wenn außerdem die Wurzeln der Gleichung sind, dann sind die Funktionen Lösungen einer homogenen gegebenen Gleichung. Wenn , dann nimmt Gleichung (4.2) die Form an

Und es wird eine Gleichung mit trennbaren Variablen. Seine Lösungen sind halbdirekt: .

Kommentar. Manchmal ist es ratsam, die Substitution anstelle der oben genannten Substitution zu verwenden x=zy.

Verallgemeinerte homogene Gleichung.

Die gleichung M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 heißt verallgemeinert homogen, wenn es möglich ist, eine solche Zahl auszuwählen k, dass die linke Seite dieser Gleichung zu einem gewissen Grad eine homogene Funktion wird M verhältnismäßig x, y, dx Und dy unter der Vorraussetzung, dass X gilt als Wert der ersten Dimension, j – k‑ Messungen ,dx Und dy – jeweils Null und (k-1) Messungen. Dies wäre zum Beispiel die Gleichung . (6.1) Gültig unter der getroffenen Messannahme x, y, dx Und dy Mitglieder der linken Seite und dy wird die Dimensionen -2 bzw. 2 haben k Und k-1. Indem wir sie gleichsetzen, erhalten wir eine Bedingung, die die erforderliche Anzahl erfüllen muss k: -2 = 2k=k-1. Diese Bedingung ist erfüllt, wenn k= -1 (mit diesem k alle Terme auf der linken Seite der betrachteten Gleichung haben die Dimension -2). Folglich ist Gleichung (6.1) verallgemeinert homogen.

def 1 DU-Typ

angerufen homogene Differentialgleichung erster Ordnung(ODU).

Do 1 Für die Funktion seien folgende Bedingungen erfüllt:

1) kontinuierlich bei

Dann hat ODE (1) ein allgemeines Integral, das durch die Formel gegeben ist:

Wo ist eine Stammfunktion der Funktion? Mit ist eine beliebige Konstante.

Anmerkung 1 Wenn für einige die Bedingung erfüllt ist, können bei der Lösung von ODE (1) Lösungen der Form verloren gehen; solche Fälle müssen sorgfältiger behandelt und jeder von ihnen muss separat geprüft werden.

Also aus dem Satz Do1 sollen allgemeiner Algorithmus zur Lösung von ODE (1):

1) Machen Sie einen Ersatz:

2) Somit erhält man eine Differentialgleichung mit separierbaren Variablen, die integriert werden soll;

3) Rückkehr zu alten g-Variablen;

4) Überprüfen Sie die Werte auf ihre Beteiligung an der Lösung Originalfernbedienung, unter der die Bedingung erfüllt ist

5) Schreiben Sie die Antwort auf.

Beispiel 1 Lösen Sie DE (4).

Lösung: DE (4) ist eine homogene Differentialgleichung, da sie die Form (1) hat. Nehmen wir eine Änderung (3) vor, dadurch erhält Gleichung (4) die Form:

Gleichung (5) ist das allgemeine Integral von DE (4).

Beachten Sie, dass bei der Trennung von Variablen und der Division durch Lösungen verloren gehen können. Dies ist jedoch keine Lösung für DE (4), was leicht durch direkte Substitution in Gleichheit (4) überprüft werden kann, da dieser Wert nicht im Definitionsbereich enthalten ist des ursprünglichen DE.

Antwort:

Anmerkung 2 Manchmal können Sie ODEs als Differentialgleichungen von Variablen schreiben X Und u. Es empfiehlt sich, von dieser Notation der Fernbedienung zum Ausdruck durch die Ableitung überzugehen und erst dann die Ersetzung durchzuführen (3).

Differentialgleichungen auf homogene reduziert.

def 2 Die Funktion wird aufgerufen homogene Funktion vom Grad k im Gebiet, für die die Gleichheit erfüllt sein wird:

Hier sind die gebräuchlichsten Arten von Differentialgleichungen, die nach verschiedenen Transformationen auf die Form (1) reduziert werden können.

1) Wo ist die Funktion? ist homogen, Grad Null, das heißt, die Gleichheit gilt: DE (6) lässt sich leicht auf die Form (1) reduzieren, wenn wir setzen, die durch Ersetzung (3) weiter integriert wird.

2) (7), wobei die Funktionen gleichgradig homogen sind k . DE der Form (7) wird ebenfalls durch Substitution (3) integriert.

Beispiel 2 Lösen Sie DE (8).

Lösung: Zeigen wir, dass DE (8) homogen ist. Teilen wir durch das Mögliche, da dies keine Lösung für DE (8) ist.

Nehmen wir eine Änderung (3) vor, dadurch erhält Gleichung (9) die Form:

Gleichung (10) ist das allgemeine Integral von DE (8).

Beachten Sie, dass bei der Trennung von Variablen und der Division durch Lösungen, die den Werten von und entsprechen, verloren gehen können. Schauen wir uns diese Ausdrücke an. Ersetzen wir sie in DE (8):

Antwort:

Es ist interessant festzustellen, dass bei der Lösung dieses Beispiels eine Funktion namens „Vorzeichen“ der Zahl erscheint X(liest „ signum x"), definiert durch den Ausdruck:

Notiz 3 Eine Reduzierung des DE (6) oder (7) auf die Form (1) ist nicht erforderlich; wenn offensichtlich ist, dass das DE homogen ist, können Sie die Ersetzung sofort vornehmen

3) Ein DE der Form (11) wird als ODE if integriert und zunächst die Substitution durchgeführt:

(12), wo ist die Lösung des Systems: (13) und verwenden Sie dann den Ersatz (3) für die Funktion. Nach Erhalt des allgemeinen Integrals kehren sie zu den Variablen zurück X Und bei.

Wenn wir dann in Gleichung (11) annehmen, erhalten wir eine Differentialgleichung mit separierbaren Variablen.

Beispiel 3 Lösen Sie das Cauchy-Problem (14).

Lösung: Zeigen wir, dass DE (14) auf ein homogenes DE reduziert und nach dem obigen Schema integriert wird:

Lösen wir das inhomogene System linearer algebraischer Gleichungen (15) mit der Cramer-Methode:

Nehmen wir eine Variablenänderung vor und integrieren die resultierende Gleichung:

(16) – Allgemeines Integral von DE (14). Bei der Trennung von Variablen könnten bei der Division durch einen Ausdruck Lösungen verloren gehen, die nach der Lösung der quadratischen Gleichung explizit gewonnen werden könnten. Sie werden jedoch im allgemeinen Integral (16) berücksichtigt

Finden wir eine Lösung für das Cauchy-Problem: Ersetzen Sie die Werte und in das allgemeine Integral (16) und finden Sie Mit.

Somit ergibt sich das Partialintegral durch die Formel:

Antwort:

4) Es ist möglich, einige Differentialgleichungen für eine neue, noch unbekannte Funktion auf homogene zu reduzieren, wenn wir eine Substitution der Form anwenden:

In diesem Fall die Nummer M wird unter der Bedingung ausgewählt, dass die resultierende Gleichung, wenn möglich, einigermaßen homogen wird. Gelingt dies jedoch nicht, kann das betrachtete DE auf diese Weise nicht auf ein homogenes reduziert werden.

Beispiel 4 Lösen Sie DE. (18)

Lösung: Zeigen wir, dass DE (18) durch Substitution (17) auf ein homogenes DE reduziert und durch Substitution (3) weiter integriert wird:

Lass uns finden Mit:

Somit hat eine bestimmte Lösung von DE (24) die Form