Spektar periodične sekvence. Spektar niza pravokutnih impulsa

2. Spektar periodičnog niza pravokutnih impulsa

Razmotrite periodični niz pravougaonih impulsa prikazan na Sl. 5. Ovaj signal karakteriše trajanje impulsa, njegova amplituda i period. Naprezanje je iscrtano duž vertikalne ose.

Sl.5. Periodični niz pravokutnih impulsa

Početnu tačku biramo u sredini pulsa. Tada se signal širi samo u kosinusima. Frekvencije harmonika su n/T, gdje je n- bilo koji cijeli broj. Amplitude harmonika prema (1.2.) će biti jednake:

jer V(t)=E na , gdje je trajanje pulsa i V(t)=0 na , onda

Ovu formulu je zgodno napisati u obliku:

(2.1.)

Formula (1.5.) daje zavisnost amplitude n-tog harmonika od perioda i trajanja u obliku kontinuirane funkcije (funkcija ). Ova funkcija se naziva omotač spektra. Treba imati na umu da ima fizičko značenje samo na frekvencijama na kojima postoje odgovarajući harmonici. Na sl. Slika 6 prikazuje spektar periodičnog niza pravokutnih impulsa.

Fig.6. Spektar periodične sekvence

pravougaoni impulsi.

Kada konstruišemo omotač, mislimo da - jeste

Oscilirajuća funkcija frekvencije, a nazivnik monotono raste sa povećanjem frekvencije. Stoga se dobiva kvazioscilirajuća funkcija s postupnim smanjenjem. Kako frekvencija teži nuli, i brojnik i imenilac teže nuli, a njihov omjer teži jedinici (prva klasična granica). Nulte vrijednosti omotača se javljaju u tačkama gdje tj.

Gdje m– cijeli broj (osimm

Periodični slijed pravokutnih video impulsa je modulirajuća funkcija za formiranje periodične sekvence pravokutnih radio impulsa (PPRP), koji su sondirajući signali za otkrivanje i mjerenje koordinata ciljeva u pokretu. Stoga je korištenjem spektra modulirajuće funkcije (PPVI) moguće relativno jednostavno i brzo odrediti spektar sondirajućeg signala (PPVI). Kada se sondirajući signal reflektuje od mete koja se kreće, frekvencije harmoničkog spektra nosećeg talasa se menjaju (Doplerov efekat). Kao rezultat, moguće je identificirati koristan signal reflektiran od pokretne mete na pozadini ometajućih (interferentnih) vibracija reflektiranih od nepokretnih objekata (lokalnih objekata) ili objekata koji se sporo kreću (meteorološke formacije, jata ptica, itd.) .

PPPVI (slika 1.42) je skup pojedinačnih pravougaonih video impulsa koji slijede jedan za drugim u jednakim vremenskim intervalima. Analitički izraz signala.

gdje je amplituda pulsa; – trajanje pulsa; – period ponavljanja pulsa; – brzina ponavljanja pulsa, ; - krug duznosti.

Za izračunavanje spektralnog sastava periodične sekvence impulsa koristi se Fourierov niz. Sa poznatim spektrima pojedinačnih impulsa koji formiraju periodični niz, možemo koristiti odnos između spektralne gustine impulsa i kompleksnih amplituda serije:

Za jedan pravougaoni video impuls, spektralna gustina je opisana formulom

Koristeći odnos između spektralne gustine jednog impulsa i kompleksnih amplituda serije, nalazimo

gdje je = 0; ± 1; ± 2; ...

Amplitudno-frekvencijski spektar (slika 1.43) će biti predstavljen skupom komponenti:

u ovom slučaju pozitivne vrijednosti odgovaraju nulti početnim fazama, a negativne vrijednosti odgovaraju početnim fazama jednakim .

Dakle, analitički izraz za PPPVI će biti jednak

Iz analize grafikona prikazanih na slici 1.43 proizilazi:

· PPPVI spektar je diskretan, sastoji se od pojedinačnih harmonika sa frekvencijom.

· ASF omotnica se mijenja u skladu sa zakonom.

· Maksimalna vrijednost envelope at jednaka je vrijednosti konstantne komponente.

· Početne faze harmonika unutar neparnih režnjeva jednake su 0, unutar parnih snopova.

· Broj harmonika unutar svakog režnja je jednak .

Širina spektra signala na 90% energije signala

· Baza signala, tako da je signal jednostavan.

Ako promijenite trajanje impulsa ili njihovu frekvenciju ponavljanja F(period), tada će se promijeniti parametri spektra i njegovog ASF.

Slika 1.43 prikazuje primjer promjene signala i njegovog ASF-a kada se trajanje impulsa udvostruči.

Periodične sekvence pravokutnih video impulsa i njihovi ASF parametri, T,. i , T, prikazani su na slici 1.44.

Iz analize datih grafikona proizilazi:

1. Za PPPVI sa trajanjem impulsa:

· Duty ratio q=4, dakle, 3 harmonika su koncentrisana unutar svakog režnja;

· Frekvencija k-tog harmonika;

· Širina spektra signala na 90% energetskog nivoa;

Konstantna komponenta je jednaka

2. Za PPPVI sa trajanjem impulsa:

· Duty ratio q= 2, dakle, unutar svakog režnja postoji 1 harmonik;

· Frekvencija k-tog harmonika ostaje nepromijenjena;

· Širina spektra signala na nivou od 90% njegove energije smanjena je za 2 puta;

· Konstantna komponenta se povećala za 2 puta.

Dakle, možemo zaključiti da se sa povećanjem trajanja impulsa ASF „komprimuje“ duž ordinatne ose (smanjuje se širina spektra signala), dok se amplitude spektralnih komponenti povećavaju. Frekvencije harmonika se ne mijenjaju.

Na slici 1.44. Prikazan je primjer promjene signala i njegovog ASF-a s povećanjem perioda ponavljanja za 4 puta (smanjenje stope ponavljanja za 4 puta).

c) širina spektra signala na nivou od 90% njegove energije nije promijenjena;

d) konstantna komponenta se smanjila za 4 puta.

Dakle, možemo zaključiti da s povećanjem perioda ponavljanja (smanjenjem frekvencije ponavljanja) dolazi do "kompresije" u ASF-u duž ose frekvencije (amplitude harmonika se smanjuju s povećanjem njihovog broja unutar svakog režnja) . Širina spektra signala se ne mijenja. Dalje smanjenje frekvencije ponavljanja (povećanje perioda ponavljanja) će dovesti (na ) do smanjenja amplituda harmonika na infinitezimalne vrijednosti. U tom slučaju, signal će se pretvoriti u jedan, a shodno tome i spektar će postati kontinuiran.

Razmotrimo periodični niz pravokutnih impulsa s periodom T, trajanjem impulsa t u i maksimalnom vrijednošću. Pronađimo širenje u nizu takvog signala odabirom početka koordinata, kao što je prikazano na Sl. 15. U ovom slučaju funkcija je simetrična u odnosu na ordinatnu os, tj. svi koeficijenti sinusnih komponenti = 0, a samo koeficijente treba izračunati.

konstantna komponenta

(2.28)

Konstantna komponenta je prosječna vrijednost tokom perioda, tj. je površina pulsa podijeljena sa cijelim periodom, tj. , tj. isto što se dogodilo sa striktnim formalnim proračunom (2.28).

Podsjetimo da je frekvencija prvog harmonika ¦ 1 = , gdje je T period pravokutnog signala. Udaljenost između harmonika D¦=¦ 1. Ako se pokaže da je broj harmonika n takav da je argument sinusa , tada amplituda ovog harmonika prvi put ide na nulu. Ovaj uslov je zadovoljen kada . Naziva se harmonijski broj kod kojeg njegova amplituda prvi put nestaje "prva nula" i označimo ga slovom N, naglašavajući posebna svojstva ovog harmonika:

S druge strane, radni ciklus S impulsa je odnos perioda T i trajanja impulsa t u , tj. . Stoga je „prva nula“ numerički jednaka radnom ciklusu impulsa N=S. Budući da sinus ide na nulu za sve vrijednosti argumenta koji su višekratnici p, amplitude svih harmonika s brojevima koji su višekratnici broja "prve nule" također idu na nulu. To je, na, gdje k– bilo koji cijeli broj. Tako, na primjer, iz (2.22) i (2.23) slijedi da se spektar pravokutnih impulsa sa radnim ciklusom od 2 sastoji samo od neparnih harmonika. Zbog S=2, onda N=2, tj. amplituda drugog harmonika ide na nulu po prvi put - ovo je "prva nula". Ali tada amplitude svih ostalih harmonika sa brojevima djeljivim sa 2, tj. sve parne jedinice takođe moraju ići na nulu. Sa radnim ciklusom S=3, nulte amplitude će biti na 3, 6, 9, 12, ... harmonika.

Sa povećanjem radnog ciklusa, “prva nula” se pomiče u područje harmonika sa većim brojevima i, posljedično, stopa smanjenja amplituda harmonika opada. Jednostavan proračun amplitude prvog harmonika at U m=100V za radni ciklus S=2, U m 1=63,7V, at S=5, U m 1=37,4V i at S=10, U m 1=19,7V, tj. Kako se radni ciklus povećava, amplituda prvog harmonika naglo opada. Ako nađemo omjer amplitude, na primjer, 5. harmonika U m 5 na amplitudu prvog harmonika U m 1, zatim za S=2, U m 5/U m 1=0,2, i za S=10, U m 5 / U m 1 = 0,9, tj. stopa slabljenja viših harmonika opada sa povećanjem radnog ciklusa.

Dakle, sa povećanjem radnog ciklusa, spektar niza pravokutnih impulsa postaje ujednačeniji.

Literatura: [L.1], str.40

Kao primjer dajemo proširenje u Fourierov red periodičnog niza pravokutnih impulsa sa amplitudom, trajanjem i periodom ponavljanja, simetričnih oko nule, tj.

, (2.10)

Evo

Proširivanje takvog signala u Fourierov niz daje

, (2.11)

gdje je radni ciklus.

Da biste pojednostavili notaciju, možete unijeti notaciju

, (2.12)

Tada će (2.11) biti zapisano na sljedeći način

, (2.13)

Na sl. 2.3 prikazuje niz pravougaonih impulsa. Spektar sekvence, kao i svaki drugi periodični signal, je diskretne (linijske) prirode.

Envelope spektra (slika 2.3, b) je proporcionalan . Udaljenost duž ose frekvencije između dvije susjedne komponente spektra je , a između dvije nulte vrijednosti (širina režnja spektra) je . Broj harmonijskih komponenti unutar jednog režnja, uključujući nultu vrijednost desno na slici, je , pri čemu znak znači zaokruživanje na najbliži cijeli broj, manje (ako je radni ciklus razlomak) ili (ako je radni ciklus je cjelobrojna vrijednost). Kako se period povećava, osnovna frekvencija opada, spektralne komponente na dijagramu se približavaju jedna drugoj, amplitude harmonika također se smanjuju. U ovom slučaju je očuvan oblik koverte.

Prilikom rješavanja praktičnih problema spektralne analize koriste se ciklične frekvencije umjesto kutnih frekvencija. , mjereno u hercima. Očigledno, udaljenost između susjednih harmonika na dijagramu će biti , a širina jednog spektralnog režnja će biti . Ove vrijednosti su prikazane u zagradama na grafikonu.

U praktičnoj radiotehnici, u većini slučajeva, umjesto spektralnog prikaza (slika 2.3, b), koriste se spektralni dijagrami amplitudnog i faznog spektra. Amplitudni spektar niza pravougaonih impulsa prikazan je na Sl. 2.3, c.

Očigledno, omotač amplitudnog spektra je proporcionalan .

Što se tiče faznog spektra (slika 2.3, d), vjeruje se da se početne faze harmonijskih komponenti naglo mijenjaju za iznos -π kada se promeni znak koverte sink kπ/q. Pretpostavlja se da su početne faze harmonika prvog režnja jednake nuli. Tada će biti početne faze harmonika drugog režnja φ = -π , treća latica φ = -2π itd.

Razmotrimo još jednu reprezentaciju signala u Fourierovom redu. Da bismo to učinili, koristimo Eulerovu formulu

.

U skladu s ovom formulom, k-ta komponenta (2.9) proširenja signala u Fourierov niz može se predstaviti na sljedeći način

; . (2.15)

Ovdje su veličine i složene i predstavljaju kompleksne amplitude komponenti spektra. Zatim serija

Fourier (2.8) uzimajući u obzir (2.14) će poprimiti sljedeći oblik

, (2.16)

, (2.17)

Lako je provjeriti da se ekspanzija (2.16) provodi u terminima baznih funkcija , koji su također ortogonalni na intervalu , tj.

Izraz (2.16) je složen oblik Fourierov red, koji se proteže na negativne frekvencije. Količine i , gdje označava kompleksni konjugat veličine, nazivaju se kompleksne amplitude spektra Jer je kompleksna veličina, iz (2.15) proizlazi da

I .

Tada ukupnost čini amplitudski spektar, a ukupnost fazni spektar signala.

Na sl. Slika 2.4 prikazuje spektralni dijagram spektra niza pravougaonih impulsa o kojima smo gore govorili, predstavljen složenim Fourierovim redom

Spektar također ima linijski karakter, ali za razliku od prethodno razmatranih spektra, određen je i u području pozitivnih i u području negativnih frekvencija. Budući da je parna funkcija argumenta, spektralni dijagram je simetričan oko nule.

Na osnovu (2.15) možemo uspostaviti korespondenciju između koeficijenata i ekspanzije (2.3). Jer

I ,

onda kao rezultat dobijamo

. (2.18)

Izrazi (2.5) i (2.18) vam omogućavaju da pronađete vrijednosti u praktičnim proračunima.

Hajde da damo geometrijsku interpretaciju složenog oblika Fourierovog reda. Odaberimo k-tu komponentu spektra signala. U složenom obliku, k-ta komponenta je opisana formulom

gdje su i određene izrazima (2.15).

U kompleksnoj ravni, svaki od članova u (2.19) je predstavljen kao vektori dužine , rotira pod uglom i u odnosu na realnu os i rotira u suprotnim smjerovima s frekvencijom (slika 2.5).

Očigledno, zbir ovih vektora daje vektor smješten na realnoj osi čija je dužina . Ali ovaj vektor odgovara harmonijskoj komponenti

Što se tiče projekcija vektora na imaginarnu osu, ove projekcije imaju jednake dužine, ali suprotne smjerove i zbrajaju nulu. To znači da su signali predstavljeni u složenom obliku (2.16) zapravo stvarni signali. Drugim riječima, složeni oblik Fourierovog reda je matematički apstrakcija koja je vrlo pogodna za rješavanje niza problema spektralne analize. Stoga se ponekad naziva spektar definiran trigonometrijskim Fourierovim redom fizički spektar, a složeni oblik Fourierovog reda je matematički spektar.

I u zaključku ćemo razmotriti pitanje raspodjele energije i snage u spektru periodičnog signala. Da bismo to učinili, koristimo Parsevalovu jednakost (1.42). Kada se signal proširi u trigonometrijski Fourierov niz, izraz (1.42) poprima oblik

.

DC energija

,

i energija k-tog harmonika

.

Zatim energija signala

. (2.20)

Jer prosječna snaga signala

,

tada uzimajući u obzir (2.18)

. (2.21)

Kada se signal proširi u složeni Fourierov niz, izraz (1.42) poprima oblik

,

Gdje
- energija k-tog harmonika.

Energija signala u ovom slučaju

,

i njegove prosječne snage

.

Iz gornjih izraza proizilazi da je energija ili prosječna snaga k-te spektralne komponente matematičkog spektra upola manja od energije ili snage odgovarajuće spektralne komponente fizičkog spektra. To je zbog činjenice da je fizički spektar jednako raspoređen između matematičkog spektra.

-τ i /2

τ i /2

T

t

U 0

S(t)

Zadatak br. 1, grupa RI – 210701

Iz izlaza izvora poruke primaju se signali koji nose informaciju, kao i taktni signali koji se koriste za sinhronizaciju rada predajnika i prijemnika sistema prenosa. Informacijski signali imaju oblik neperiodičnih, a satni signali - periodičnog niza impulsa.

Da bismo ispravno procijenili mogućnost prijenosa takvih impulsa putem komunikacijskih kanala, odredit ćemo njihov spektralni sastav. Periodični signal u obliku impulsa bilo kojeg oblika može se proširiti u Fourierov niz prema (7).

Za prijenos nadzemnih i kablovskih komunikacijskih vodova koriste se signali različitih oblika. Izbor jednog ili drugog oblika zavisi od prirode poruka koje se prenose, frekvencijskog spektra signala i frekvencijskih i vremenskih parametara signala. Signali bliski pravokutnim impulsima se široko koriste u tehnologiji prenošenja diskretnih poruka.

Izračunajmo spektar, tj. skup konstantnih amplituda i

harmonijske komponente periodičnih pravougaonih impulsa (slika 4,a) sa trajanjem i periodom. Pošto je signal parna funkcija vremena, onda u izrazu (3) sve parne harmonijske komponente nestaju ( =0), a neparne komponente poprimaju sljedeće vrijednosti:

(10)

Konstantna komponenta je jednaka

(11)

Za signal 1:1 (telegrafske tačke) Slika 4a:

,
. (12)

Moduli amplituda spektralnih komponenti niza pravokutnih impulsa s periodom
prikazani su na sl. 4, b. Osa apscise prikazuje glavnu frekvenciju ponavljanja impulsa
() i frekvencije neparnih harmonijskih komponenti
,
itd. Obim spektra se mijenja u skladu sa zakonom.

Kako se period povećava u odnosu na trajanje impulsa, povećava se broj harmonijskih komponenti u spektralnom sastavu periodičnog signala. Na primjer, za signal s periodom (slika 4, c) nalazimo da je konstantna komponenta jednaka

U frekvencijskom opsegu od nule do frekvencije postoji pet harmonijskih komponenti (slika 4, d), dok je samo jedna plima.

Sa daljim povećanjem perioda ponavljanja impulsa, broj harmonijskih komponenti postaje sve veći i veći. U ekstremnom slučaju kada
signal postaje neperiodična funkcija vremena, broj njegovih harmonijskih komponenti u frekvencijskom opsegu od nule do frekvencije raste do beskonačnosti; oni će se nalaziti na beskonačno bliskim frekvencijskim udaljenostima; spektar neperiodičnih signala postaje kontinuiran.

Slika 4

2.4 Spektar jednog impulsa

Naveden je jedan video puls (slika 5):

Slika 5

Metoda Fourierovog reda omogućava duboku i plodnu generalizaciju, koja omogućava dobijanje spektralnih karakteristika neperiodičnih signala. Da bismo to učinili, mentalno dopunimo jedan impuls istim impulsima, koji periodično slijede nakon određenog vremenskog intervala, i dobijemo prethodno proučavani periodični niz:

Zamislimo jedan impuls kao zbir periodičnih impulsa sa velikim periodom.

, (14)

gdje su cijeli brojevi.

Za periodične oscilacije

. (15)

Da bismo se vratili na jedan impuls, usmjerimo period ponavljanja u beskonačnost: . U ovom slučaju je očigledno:

, (16)

Označimo

. (17)

Količina je spektralna karakteristika (funkcija) jednog impulsa (direktna Fourierova transformacija). Zavisi samo od vremenskog opisa pulsa i općenito je složen:

, (18) gdje
; (19)

; (20)

,

Gdje
- modul spektralne funkcije (amplitudno-frekvencijski odziv impulsa);

- fazni ugao, fazno-frekventna karakteristika impulsa.

Nađimo za jedan impuls koristeći formulu (8), koristeći spektralnu funkciju:

.

Ako , dobijamo:

. (21)

Rezultirajući izraz naziva se inverzna Fourierova transformacija.

Fourierov integral definira zamah kao beskonačan zbir beskonačno malih harmonijskih komponenti smještenih na svim frekvencijama.

Na osnovu toga govore o kontinuiranom (čvrstom) spektru koji posjeduje jedan impuls.

Ukupna energija impulsa (energija oslobođena pri aktivnom otporu Ohma) je jednaka

(22)

Promjenom redoslijeda integracije dobijamo

.

Unutrašnji integral je spektralna funkcija momenta uzeta sa argumentom -, tj. je kompleksna konjugirana veličina:

Dakle

Kvadratni modul (proizvod dva konjugirana kompleksna broja jednak je kvadratnom modulu).

U ovom slučaju se konvencionalno kaže da je pulsni spektar dvostrani, tj. nalazi se u frekvencijskom opsegu od do.

Dati odnos (23), koji uspostavlja vezu između energije impulsa (na otporu od 1 Ohm) i modula njegove spektralne funkcije, poznat je kao Parsevalova jednakost.

On kaže da je energija sadržana u impulsu jednaka zbroju energija svih komponenti njegovog spektra. Parsevalova jednakost karakterizira važno svojstvo signala. Ako neki selektivni sistem emituje samo dio spektra signala, slabeći njegove ostale komponente, to znači da se dio energije signala gubi.

Pošto je kvadrat modula parna funkcija integracione varijable, onda se udvostručavanjem vrijednosti integrala može uvesti integracija u rasponu od 0 do:

. (24)

U ovom slučaju kažu da se pulsni spektar nalazi u frekvencijskom pojasu od 0 do i naziva se jednostranim.

Integrand u (23) naziva se energetski spektar (spektralna gustina energije) impulsa

Karakterizira distribuciju energije po frekvenciji, a njena vrijednost na frekvenciji jednaka je energiji impulsa po frekvencijskom pojasu jednakoj 1 Hz. Posljedično, energija impulsa je rezultat integracije energetskog spektra signala u cijelom frekventnom opsegu.Drugim riječima, energija je jednaka površini zatvorenoj između krive koja prikazuje energetski spektar signala i ose apscise.

Da biste procijenili distribuciju energije po spektru, koristite relativnu integralnu funkciju raspodjele energije (energetska karakteristika)

, (25)

Gdje
- energija impulsa u datom frekventnom opsegu od 0 do, koji karakteriše udio energije impulsa koncentriran u frekvencijskom opsegu od 0 do.

Za pojedinačne impulse različitih oblika vrijede sljedeći zakoni: