По специално споразумение с редакционната колегия и редакторите на списание „Квант”
При решаването на механични проблеми използването на концепцията за центъра на масата на система от материални точки може да осигури безценна помощ. Някои проблеми просто не могат да бъдат решени без да се прибягва до тази концепция; решаването на други с нейна помощ може да стане много по-просто и по-ясно.
Преди да обсъждаме конкретни проблеми, нека си припомним основните свойства на центъра на масата и да ги илюстрираме с примери.
Центърът на масата (центърът на инерцията) на система от материални точки е точка, която характеризира разпределението на масите в системата, чиито координати се определят по формулите
Тук m i- маси от материални точки, образуващи системата, x i, y i, z i- координати на тези точки. Читателите, запознати с концепцията за радиус вектор, ще предпочетат векторната нотация:
(1)
Пример 1. Нека намерим позицията на центъра на масата, най-простата система, състояща се от две точки, чиито маси м 1 и м 2 и разстоянието между тях л(Фиг. 1).
Насочване на оста хот първата точка до втората, намираме, че разстоянието от първата точка до центъра на масата (т.е. координатата на центъра на масата) е равно на и разстоянието от центъра на масата до втората точка е равно на до т.е. съотношението на разстоянията е обратно на съотношението на масите. Това означава, че в този случай положението на центъра на масата съвпада с центъра на тежестта.
Нека обсъдим някои свойства на центъра на масата, които, както ни се струва, ще изпълнят донякъде формалната дефиниция на това понятие, дадено по-горе, с физическо съдържание.
1) Положението на центъра на масата няма да се промени, ако част от системата се замени с една точка с маса, равна на масата на тази подсистема и разположена в нейния център на масата.
Пример 2. Нека разгледаме плосък еднороден триъгълник и намерим позицията на неговия център на масата. Разделете триъгълника на тънки ленти, успоредни на една от страните, и заменете всяка лента с точка, разположена в средата. Тъй като всички такива точки лежат на медианата на триъгълника, центърът на масата също трябва да лежи на медианата. Повтаряйки разсъжденията за всяка страна, откриваме, че центърът на масата е в пресечната точка на медианите.
2) Скоростта на центъра на масата може да се намери, като се вземе времевата производна на двете страни на равенството (1):
(2)
Където - системен импулс, м- обща маса на системата. Вижда се, че скоростта на центъра на масата на затворената система е постоянна. Това означава, че ако свържем транслационно движеща се отправна система с центъра на масата, тогава тя ще бъде инерционна.
Пример 3. Нека поставим пръчка с еднаква дължина лвертикално върху гладка равнина (фиг. 2) и освободете. По време на падането както хоризонталният компонент на неговия импулс, така и хоризонталният компонент на скоростта на центъра на масата ще останат равни на нула. Следователно в момента на падането центърът на пръта ще бъде на мястото, където първоначално е стоял прътът, а краищата на пръта ще се изместят хоризонтално с .
3) Ускорението на центъра на масата е равно на производната на неговата скорост спрямо времето:
(3)
където от дясната страна на равенството има само външни сили, тъй като всички вътрешни сили се отменят според третия закон на Нютон. Откриваме, че центърът на масата се движи като въображаема точка с маса, равна на масата на системата, ще се движи под действието на получената външна сила. Това е може би най-физическото свойство на центъра на масата.
Пример 4. Ако хвърлите пръчка, карайки я да се върти, тогава центърът на масата на пръчката (нейната среда) ще се движи с постоянно ускорение по парабола (фиг. 3).
4) Нека системата от точки е в еднородно гравитационно поле. Тогава общият момент на тежестта спрямо всяка ос, минаваща през центъра на масата, е равен на нула. Това означава, че резултантната на гравитацията преминава през центъра на масата, т.е. центърът на масата е и център на тежестта.
5) Потенциалната енергия на система от точки в еднородно гравитационно поле се изчислява по формулата
Където чц - височината на центъра на масата на системата.
Пример 5. При изкопаване на дупка в равномерна лира дълбока чи разпръскване на почвата по повърхността, нейната потенциална енергия се увеличава с , където м- маса на изкопаната почва.
6) И още едно полезно свойство на центъра на масата. Кинетичната енергия на система от точки може да бъде представена като сбор от два члена: кинетичната енергия на общото транслационно движение на системата, равна на , и кинетичната енергия дспрямо движението спрямо референтната система, свързана с центъра на масата:
Пример 6. Кинетичната енергия на обръч, който се търкаля без приплъзване по хоризонтална повърхност със скорост υ е равна на
тъй като относителното движение в този случай е чисто въртене, за което линейната скорост на точките на обръча е равна на υ (общата скорост на долната точка трябва да е равна на нула).
Сега нека започнем да анализираме проблеми с помощта на центъра на масата.
Проблем 1. Хомогенен прът лежи върху гладка хоризонтална повърхност. Върху пръта са приложени две хоризонтални сили с еднаква големина, но противоположни по посока: едната сила е приложена към средата на пръта, другата към края му (фиг. 4). Спрямо коя точка ще започне да се върти пръчката?
На пръв поглед може да изглежда, че оста на въртене ще бъде точката, разположена в средата между точките на прилагане на силите. Уравнение (3) обаче показва, че тъй като сумата на външните сили е нула, ускорението на центъра на масата също е нула. Това означава, че центърът на пръта ще остане в покой, т.е. служи като ос на въртене.
Проблем 2. Тънка еднаква дължина на пръта ли маса мсе движи по гладка хоризонтална повърхност, така че да се движи постъпателно и едновременно с това да се върти с ъглова скорост ω. Намерете напрежението на пръта в зависимост от разстоянието хкъм центъра му.
Нека преминем към инерциалната отправна система, свързана с центъра на пръта. Нека разгледаме движението на част от пръчка, затворена между разглежданата точка на пръта (разположена на разстояние хот центъра) и края му (фиг. 5).
Единствената външна сила за това парче е необходимата сила на опън Е n, масата е равна на , а центърът на масата се движи в окръжност с радиус 
с ускорение. Записвайки уравнението на движението на центъра на масата на избраното парче, получаваме
Проблем 3. Двойната звезда се състои от две компонентни звезди с маси м 1 и м 2, разстоянието между които не се променя и остава равно Л. Намерете периода на въртене на двойната звезда.
Нека разгледаме движението на съставните звезди в инерционна отправна система, свързана с центъра на масата на двойната звезда. В тази отправна система звездите се движат с еднаква ъглова скорост по окръжности с различни радиуси (фиг. 6).
Радиус на въртене на звезда с маса м 1 е равно (виж Пример 1), а центростремителното му ускорение се създава от силата на привличане към друга звезда:
Виждаме, че периодът на въртене на двойна звезда е равен на
и се определя от общата маса на двойната звезда, независимо как е разпределена между съставните звезди.
Проблем 4. Две точкови маси ми 2 мвързани с безтегловна дължина на конеца ли се движат по гладка хоризонтална равнина. В някакъв момент скоростта на маса 2 ме равна на нула, а масовата скорост мравна на υ и насочена перпендикулярно на резбата (фиг. 7). Намерете напрежението на конеца и периода на въртене на системата.
Ориз. 7
Центърът на масата на системата е на разстояние от маса 2 ми се движи със скорост. В отправната система, свързана с центъра на масата, точка на маса 2 мсе движи в кръг с радиус със скорост. Това означава, че периодът на въртене е равен на (проверете дали се получава същият отговор, ако разгледаме точка с маса м). Намираме напрежението на нишката от уравнението на движение на всяка от двете точки:
Проблем 5. Два еднакви блока с маса мвсеки свързан с лека пружинна твърдост к(фиг. 8). На първия прът се дава скорост υ 0 в посока от втория прът. Опишете движението на системата. Колко време ще отнеме на деформацията на пружината да достигне максималната си стойност за първи път?
Центърът на масата на системата ще се движи с постоянна скорост. В референтната рамка на центъра на масата началната скорост на всеки блок е , а твърдостта на полупружината, която го свързва с неподвижния център на масата, е 2 к(твърдостта на пружината е обратно пропорционална на нейната дължина). Периодът на такива трептения е равен на
и амплитудата на вибрациите на всяка лента, която може да се намери от закона за запазване на енергията, е
За първи път деформацията ще стане максимална след една четвърт от периода, т.е. след малко .
Проблем 6. Маса на топката мудря със скорост v неподвижна топка с маса 2 м. Намерете скоростите на двете топки след еластичния централен удар.
В референтната система, свързана с центъра на масата, общият импулс на двете топки е нула както преди, така и след сблъсъка. Лесно е да се отгатне кой отговор за крайните скорости отговаря както на това условие, така и на закона за запазване на енергията: скоростите ще останат същите по големина като преди удара, но ще променят посоките си на противоположни. Скоростта на центъра на масата на системата е равна на . В системата на центъра на масата първата топка се движи със скорост , а втората топка се движи към първата със скорост . След удара топките ще отлетят със същите скорости. Остава да се върнем към първоначалната референтна система. Прилагайки закона за събиране на скоростите, намираме, че крайната скорост на топка с маса мравна и насочена назад, и скоростта на преди това в покой топка с маса 2 мравни и насочени напред.
Имайте предвид, че в системата на центъра на масата е очевидно, че при удар относителната скорост на топките не се променя по големина, но се променя по посока. И тъй като разликата в скоростите не се променя при преминаване към друга инерциална референтна система, можем да предположим, че сме извели тази важна връзка за оригиналната референтна система:
υ 1 – υ 2 = u 1 – u 2 ,
където буквата υ се използва за означаване на начални скорости, и u- за финалните. Това уравнение може да се реши заедно със закона за запазване на импулса вместо със закона за запазване на енергията (където скоростите са на втора степен).
Проблем 7. Известно е, че при еластичен нецентрален удар на две еднакви топки, едната от които е била в покой преди удара, ъгълът на разширение е 90°. Докажете това твърдение.
В системата на центъра на масата ударът извън центъра може да бъде описан по следния начин. Преди удара топките се приближават с еднакви импулси, след удара те се разлитат с импулси със същата величина, но в противоположни посоки, а линията на разширение се върти под определен ъгъл спрямо линията на подхода. За да се върнете към първоначалната референтна система, всяка крайна скорост трябва да се добави (векторно!) със скоростта на центъра на масата. При еднакви топки скоростта на центъра на масата е равна на , където υ е скоростта на падащата топка, а в отправната система на центъра на масата топките се приближават и разлитат с еднакви скорости. Фактът, че след добавяне на всяка крайна скорост към скоростта на центъра на масата, се получават взаимно перпендикулярни вектори, може да се види от Фигура 9. Или можете просто да проверите, че скаларното произведение на векторите и изчезва поради факта, че модулите на векторите са равни един на друг.
Упражнения
1. Пръчка от маса ми дължина лзакачен в единия край. Прътът се отклонява под определен ъгъл от вертикалното положение и се освобождава. В момента на преминаване на вертикалното положение скоростта на долната точка е равна на υ. Намерете напрежението в средата на пръта в този момент от време.
2. Пръчка от маса ми дължина лсе върти в хоризонтална равнина с ъглова скорост ω около единия си край. Намерете връзката между напрежението на пръта и разстоянието хкъм оста на въртене, ако към другия край е прикрепено малко тегло М.
3. Намерете периода на трептене за системата, описана в задача 5 на статията, но за пръти с различни маси м 1 и м 2 .
4. Изведете известните общи формули за еластичния централен удар на две топки, като използвате прехода към референтната система на центъра на масата.
5. Топка с маса м 1 се сблъсква с топка в покой с по-малка маса м 2. Намерете максималния възможен ъгъл на отклонение на входящата топка по време на еластичен удар извън центъра.
1. 
2. 
3. 
Център на масата Уравнение на движението на центъра на масата. Самият закон: Телата действат едно върху друго със сили от едно и също естество, насочени по една и съща права линия, еднакви по големина и противоположни по посока: Центърът на масата е геометрична точка, характеризираща движението на тяло или система от частици като дупка. Определение Положението на центъра на масата на центъра на инерцията в класическата механика се определя по следния начин: където радиус-векторът на центъра на масата е радиус-векторът на i-тата точка на системата и масата на i-тата точка.
7.Трети закон на Нютон. Център на масата Уравнение на движението на центъра на масата.
Третият закон на Нютонгласи: силата на действие е равна по големина и противоположна по посока на силата на реакция.
Самият закон:
Телата действат едно върху друго със сили от едно и също естество, насочени по една и съща права линия, еднакви по големина и противоположни по посока:
Център на масата това е геометрична точка, характеризиращадвижение тяло или система от частици като цяло.
Определение
Положението на центъра на масата (центъра на инерцията) в класическата механика се определя по следния начин:
където радиус вектор на центъра на масата, радиус вектор i точка на системата,
маса на i-та точка.
.
Това е уравнението на движението на центъра на масата на система от материални точки с маса, равна на масата на цялата система, към която се прилага сумата от всички външни сили (главният вектор на външните сили) или теоремата върху движението на центъра на масата.
Както и други произведения, които може да ви заинтересуват |
|||
| 22476. | КЛАСИФИКАЦИЯ НА ПЕРСОНАЛНИ СИСТЕМИ ЗА РАДИОПОВЪРШВАНЕ, ПЕЙДЖЪРИ, РЕПИТЪРИ, ПРОТОКОЛИ ЗА ПРЕДАВАНЕ НА ОСНОВНА ИНФОРМАЦИЯ. | 1,21 MB | |
| КЛАСИФИКАЦИЯ НА ПЕРСОНАЛНИ СИСТЕМИ ЗА РАДИОПОВЪРЖДАНЕ ПЕЙДЖЕРИ РЕПИТЪРИ ПРОТОКОЛИ ЗА ПРЕДАВАНЕ НА ОСНОВНА ИНФОРМАЦИЯ. Цел на работата Да се проучи класификацията на персоналните системи за радиообаждане, пейджъри, ретранслатори, основни протоколи за пренос на информация. Запознайте се с основните протоколи за предаване на информация към SPRV. В този случай за прехвърляне на повикването към абоната е използвано последователно тонално кодиране на адреса, което осигурява възможност за обслужване на до няколко десетки хиляди потребители. | |||
| 22477. | ИЗУЧАВАНЕ НА МЕТОДИ ЗА КОДИРАНЕ НА РЕЧОВИТЕ СИГНАЛИ В СТАНДАРТА ЗА ТРАНКИНГОВИТЕ МРЕЖИ TETRA | 961,5 KB | |
| Задача: Запознайте се с общото описание на алгоритъма за кодиране на говорния сигнал. Проучете характеристиките на кодирането на канали за различни логически канали. Общо описание на алгоритъма за кодиране на речеви сигнали CELP За кодиране на информационно мултиплексиране на речеви сигнали, стандартът TETRA използва енкодер с линейно предсказване и многоимпулсно възбуждане от CELP Code Code Excited Linear Pgediction. | |||
| 22478. | GSM-900 КЛЕТЪЧНА КОМУНИКАЦИОННА СИСТЕМА | 109,5 KB | |
| Цел на работата Да се проучат основните технически характеристики на функционалната структура и интерфейси, възприети в цифровата клетъчна мобилна радиокомуникационна система на стандарта GSM. Задача: Запознайте се с общите характеристики на стандарта GSM. Кратка теория Стандартът GSM Global System for Mobile Communications е тясно свързан с всички съвременни стандарти за цифрови мрежи, предимно ISDN и IN Intelligent Network. | |||
Основният закон на динамиката може да бъде написан в различна форма, като се знае концепцията за центъра на масата на системата:
Там е уравнение на движението на центъра на масата на системата, едно от най-важните уравнения на механиката. Той гласи, че центърът на масата на всяка система от частици се движи така, сякаш цялата маса на системата е концентрирана в тази точка и всички външни сили са приложени към нея.
Ускорението на центъра на масата на системата е напълно независимо от точките на приложение на външните сили.
Ако , то , тогава и е случай на затворена система в инерциална отправна система. Така, ако центърът на масата на една система се движи равномерно и праволинейно, това означава, че нейният импулс се запазва по време на движението.
Пример: еднороден цилиндър с маса и радиус се търкаля надолу по наклонена равнина, сключваща ъгъл с хоризонталата, без да се плъзга. Намерете уравнението на движението?
| |
Съвместното решение дава стойностите на параметрите
Уравнението на движението на центъра на масата съвпада с основното уравнение на динамиката на материална точка и е неговото обобщение за система от частици: ускорението на системата като цяло е пропорционално на резултата от всички външни сили и обратно пропорционална на масата на системата.
Референтна система, твърдо свързана с центъра на масата, която се движи транслационно спрямо ISO, се нарича система център на масата. Нейната особеност е, че общият импулс на системата от частици в нея винаги е равен на нула, като .
Край на работата -
Тази тема принадлежи към раздела:
Кинематика на постъпателното движение
Физически основи на механиката.. кинематика на постъпателното движение.. механичното движение е форма на съществуване..
Ако имате нужда от допълнителен материал по тази тема или не сте намерили това, което търсите, препоръчваме да използвате търсенето в нашата база данни с произведения:
Какво ще правим с получения материал:
Ако този материал е бил полезен за вас, можете да го запазите на страницата си в социалните мрежи:
| Tweet |
Всички теми в този раздел:
Механично движение
Материята, както е известно, съществува в две форми: под формата на вещество и поле. Първият тип включва атоми и молекули, от които са изградени всички тела. Вторият тип включва всички видове полета: гравитационно
Пространство и време
Всички тела съществуват и се движат в пространството и времето. Тези концепции са основни за всички природни науки. Всяко тяло има размери, т.е. неговият пространствен обхват
Справочна система
За недвусмислено определяне на положението на тялото в произволен момент от времето е необходимо да се избере референтна система - координатна система, оборудвана с часовник и твърдо свързана с абсолютно твърдо тяло, съгласно
Кинематични уравнения на движението
Когато t.M се движи, неговите координати се променят с времето, следователно, за да се уточни законът на движението, е необходимо да се посочи вида на функцията
Движение, елементарно движение
Нека точка M се движи от A към B по извит път AB. В началния момент неговият радиус вектор е равен на
Ускорение. Нормално и тангенциално ускорение
Движението на точка също се характеризира с ускорение - скоростта на промяна на скоростта. Ако скоростта на точка за произволно време
Движение напред
Най-простият вид механично движение на твърдо тяло е транслационното движение, при което права линия, свързваща произволни две точки от тялото, се движи с тялото, оставайки успоредна | неговото
Закон за инерцията
Класическата механика се основава на трите закона на Нютон, формулирани от него в есето му „Математически принципи на естествената философия“, публикувано през 1687 г. Тези закони бяха резултат от гений
Инерционна отправна система
Известно е, че механичното движение е относително и характерът му зависи от избора на отправна система. Първият закон на Нютон не е верен във всички референтни системи. Например тела, лежащи върху гладка повърхност
Тегло. Втори закон на Нютон
Основната задача на динамиката е да определи характеристиките на движението на телата под въздействието на приложените към тях сили. От опит се знае, че под въздействието на сила
Основният закон на динамиката на материалната точка
Уравнението описва промяната в движението на тяло с крайни размери под въздействието на сила при липса на деформация и ако тя
Третият закон на Нютон
Наблюденията и експериментите показват, че механичното въздействие на едно тяло върху друго винаги е взаимодействие. Ако тяло 2 действа върху тяло 1, тогава тяло 1 задължително им противодейства
Галилееви трансформации
Те позволяват да се определят кинематични величини по време на прехода от една инерциална референтна система към друга. Да вземем
Принципът на относителността на Галилей
Ускорение на всяка точка във всички отправни системи, движещи се една спрямо друга праволинейно и равномерно по един и същи начин:
Консервационни количества
Всяко тяло или система от тела е колекция от материални точки или частици. Състоянието на такава система в даден момент от времето в механиката се определя чрез определяне на координати и скорости в
Център на масата
Във всяка система от частици можете да намерите точка, наречена център на масата
Консервативни сили
Ако във всяка точка на пространството върху частица, поставена там, действа сила, се казва, че частицата е в поле от сили, например в полето на гравитацията, гравитацията, Кулон и други сили. Поле
Централни сили
Всяко силово поле е причинено от действието на определено тяло или система от тела. Силата, действаща върху частицата в това поле, е около
Потенциална енергия на частица в силово поле
Фактът, че работата на една консервативна сила (за стационарно поле) зависи само от началната и крайната позиция на частицата в полето ни позволява да въведем важното физическо понятие за потенциал
Връзка между потенциална енергия и сила за консервативно поле
Взаимодействието на частица с околните тела може да се опише по два начина: с помощта на концепцията за сила или с помощта на концепцията за потенциална енергия. Първият метод е по-общ, т.к важи и за силите
Кинетична енергия на частица в силово поле
Нека частица от маса се движи със сила
Обща механична енергия на частица
Известно е, че увеличението на кинетичната енергия на частица при движение в силово поле е равно на елементарната работа на всички сили, действащи върху частицата:
Закон за запазване на механичната енергия на частиците
От израза следва, че в стационарно поле на консервативни сили общата механична енергия на частица може да се промени
Кинематика
Можете да завъртите тялото си под определен ъгъл
Импулс на частица. Момент на сила
В допълнение към енергията и импулса има още една физическа величина, с която е свързан законът за запазване - това е ъгловият импулс. Ъгловият импулс на частицата
Момент на импулс и момент на сила около оста
Нека вземем произволна фиксирана ос в референтната система, която ни интересува
Закон за запазване на ъгловия момент на системата
Нека разгледаме система, състояща се от две взаимодействащи частици, върху които също действат външни сили и
По този начин ъгловият импулс на затворена система от частици остава постоянен и не се променя с времето
Това важи за всяка точка в инерциалната отправна система: . Моменти на импулс на отделни части на системата m
Инерционен момент на твърдо тяло
Помислете за твърдо тяло, което може
Уравнение на динамиката на въртене на твърдо тяло
Уравнението за динамиката на въртене на твърдо тяло може да се получи, като се напише уравнението на моментите за твърдо тяло, въртящо се около произволна ос
Кинетична енергия на въртящо се тяло
Нека разгледаме абсолютно твърдо тяло, въртящо се около неподвижна ос, минаваща през него. Нека го разделим на частици с малки обеми и маси
Работа на въртене на твърдо тяло
Ако едно тяло се върти със сила
Центробежна сила на инерция
Нека разгледаме диск, който се върти заедно с топка върху пружина, поставена на спица, фиг. 5.3. Топката е разположена
Кориолисова сила
Когато тялото се движи спрямо въртящ се CO, освен това се появява друга сила - силата на Кориолис или силата на Кориолис
Малки колебания
Помислете за механична система, чиято позиция може да бъде определена с помощта на едно количество, като x. В този случай се казва, че системата има една степен на свобода Стойността на x може да бъде
Хармонични вибрации
Уравнението на 2-рия закон на Нютон при липса на сили на триене за квазиеластична сила от формата има формата:
Математическо махало
Това е материална точка, окачена на неразтеглива нишка с дължина, осцилираща във вертикална равнина
Физическо махало
Това е твърдо тяло, което вибрира около фиксирана ос, свързана с тялото. Оста е перпендикулярна на фигурата и
Затихващи трептения
В реална осцилаторна система има сили на съпротивление, действието на които води до намаляване на потенциалната енергия на системата и трептенията ще бъдат затихващи.В най-простия случай
Автоколебания
При затихналите трептения енергията на системата постепенно намалява и трептенията спират. За да ги направите незаглушени, е необходимо в определени моменти да попълвате енергията на системата отвън
Принудителни вибрации
Ако осцилаторната система, освен съпротивителните сили, е подложена на действието на външна периодична сила, която се променя според хармоничния закон
Резонанс
Кривата на зависимостта на амплитудата на принудените трептения от води до факта, че при някои специфични за дадена система
Разпространение на вълната в еластична среда
Ако източник на трептене се постави на произволно място в еластична среда (твърда, течна, газообразна), тогава поради взаимодействието между частиците трептенията ще се разпространяват в средата от частица до час
Уравнение на равнинни и сферични вълни
Вълновото уравнение изразява зависимостта на изместването на осцилираща частица от нейните координати,
Вълново уравнение
Вълновото уравнение е решение на диференциално уравнение, наречено вълново уравнение. За да го установим, намираме вторите частни производни по време и координати от уравнението
Центърът на масата на системата е точката с радиус вектора
За непрекъснато разпределение на маса с плътност 
. Ако гравитационните сили, приложени към всяка частица от системата, са насочени еднопосочен, тогава центърът на масата съвпада с центъра на тежестта. Но ако 
не успоредно, то центърът на масата и центърът на тежестта не съвпадат.
Вземане на времевата производна на 
, получаваме:
тези. общият импулс на системата е равен на произведението на нейната маса и скоростта на центъра на масата.
Замествайки този израз в закона за промяна на общия импулс, намираме:
Центърът на масата на системата се движи като частица, в която е концентрирана цялата маса на системата и към която се прилага получената маса външенсила
При прогресивенВ движение всички точки на твърдо тяло се движат по същия начин като центъра на масата (по същите траектории), следователно, за да се опише транслационното движение, достатъчно е да се напише и реши уравнението на движение на центъра на масата .
защото 
, след това центъра на масата затворена систематрябва да поддържа състояние на покой или равномерно линейно движение, т.е. 
=конст. Но в същото време цялата система може да се върти, да се разлети, да експлодира и т.н. в резултат на действие вътрешни сили.
Реактивно задвижване. Уравнение на Мешчерски
Реактивеннарича движение на тяло, в което се случва присъединяванеили изхвърлянемаси. В процеса на движение настъпва промяна в масата на тялото: през времето dt тяло с маса m прикрепя (поглъща) или отхвърля (отдава) маса dm със скорост 
спрямо тялото; в първия случай dm>0, във втория dm<0.
Нека разгледаме това движение на примера на ракета. Нека преминем към инерциалната отправна система K", която в даден момент t се движи със същата скорост 
, същото като ракета - това се нарича ISO придружаващ– в тази референтна система ракетата в момента е t почива(скоростта на ракетата в тази система 
=0). Ако сумата на външните сили, действащи върху ракетата, не е равна на нула, тогава уравнението на движението на ракетата в системата K, но тъй като всички ISO са еквивалентни, тогава в системата K уравнението ще има същата форма:
Това - Уравнение на Мешчерски, описващ движението всяко тялос променлива маса).
В уравнението масата m е променлива величина и не може да бъде включена под знака на производната. Вторият член от дясната страна на уравнението се нарича реактивна сила
За една ракета реактивната сила играе ролята на теглителна сила, но в случай на добавяне на маса dm/dt>0, реактивната сила ще бъде и спирачна сила (например, когато ракета се движи в облак от космически прах).
Енергия на система от частици
Енергията на системата от частици се състои от кинетична и потенциална. Кинетичната енергия на една система е сумата от кинетичните енергии на всички частици в системата
и според дефиницията е количеството добавка(като импулс).
Друго е положението с потенциалната енергия на системата. Първо, между частиците на системата действат сили на взаимодействие 
. СледователноA ij =-dU ij, където U ij е потенциалната енергия на взаимодействие между i-та и j-та частици. Сумирайки U ij по всички частици на системата, намираме т.нар собствена потенциална енергиясистеми:
Съществено е, че собствената потенциална енергия на системата зависи само от нейната конфигурация.Освен това това количество не е добавка.
Второ, всяка частица от системата, най-общо казано, също се влияе от външни сили. Ако тези сили са консервативни, тогава тяхната работа ще бъде равна на намаляването на външната потенциална енергия A=-dU ext, където
където U i е потенциалната енергия на i-тата частица във външно поле. Зависи от позициите на всички частици във външното поле и е адитивна.
По този начин общата механична енергия на система от частици, разположена във външно потенциално поле, се определя като
E syst =K syst +U int +U ext
Урок "Център на масата"
График: 2 учебни часа
Мишена:Запознайте учениците с понятието „център на масата“ и неговите свойства.
Оборудване:фигури от картон или шперплат, чаша, ножче, моливи.
План на урока
Урок етапи време методи и техники
I Въведение в учениците 10 фронтално проучване, работа на учениците на дъската.
към проблема на урока
II. Научаване на нещо ново 15-20 Разказ на учителя, решаване на проблеми,
материал: 10 експериментална задача
III Упражняване на нови 10 ученически съобщения
материал: 10-15 решаване на задачи,
15 фронтална анкета
IV Изводи. Домашна работа 5-10 Устно обобщение на материала от учителя.
задача Писане на дъската
По време на часовете.
аз Повторение 1. Фронтално изследване: рамо на сила, момент на сила, състояние на равновесие, видове равновесие
Епиграф: Центърът на тежестта на всяко тяло е определена точка, разположена вътре в него - такава, че ако мислено провесите тялото от нея, то остава в покой и запазва първоначалната си позиция.
II. Обяснениенов материал
Нека е дадено тяло или система от тела. Нека мислено разделим тялото на произволно малки части с маси m1, m2, m3... Всяка от тези части може да се разглежда като материална точка. Позицията в пространството на i-тата материална точка с маса mi се определя от радиус вектора rаз(фиг. 1.1). Масата на тялото е сумата от масите на отделните му части: m = ∑ mi.
Центърът на масата на тялото (система от тела) е такава точка C, чийто радиус вектор се определя по формулата
r= 1/m∙∑mi rаз
Може да се покаже, че положението на центъра на масата спрямо тялото не зависи от избора на началото O, т.е. Даденото по-горе определение за центъра на масата е еднозначно и правилно.
Центърът на масата на хомогенни симетрични тела се намира в техния геометричен център или на оста на симетрия; центърът на масата на плоско тяло под формата на произволен триъгълник се намира в пресечната точка на неговите медиани.
Решението на проблема
ЗАДАЧА 1. Хомогенни топки с маси m1 = 3 kg, m2 = 2 kg, m3 = 6 kg и m4 = 3 kg са прикрепени към лека пръчка (фиг. 1.2). Разстояние между центровете на всички близки топки
a = 10 см. Намерете положението на центъра на тежестта и центъра на масата на конструкцията.
РЕШЕНИЕ. Положението на центъра на тежестта на конструкцията спрямо топките не зависи от ориентацията на пръта в пространството. За да разрешите проблема, е удобно да поставите пръта хоризонтално, както е показано на фигура 2. Нека центърът на тежестта е върху пръта на разстояние L от центъра на лявата топка, т.е. от т. А. В центъра на тежестта е приложена резултантната на всички гравитационни сили и нейният момент спрямо ос А е равен на сумата от моментите на тежестта на топките. Имаме r = (m1 + m2 + m3 + m4) g ,
R L = m2gα + m 3 g 2 a + m 4 g 3 a.
Следователно L=α (m1 +2m3 + 3m4)/ (m1 + m2 + m3 + m4) ≈ 16,4 cm
ОТГОВОР. Центърът на тежестта съвпада с центъра на масата и се намира в точка C на разстояние L = 16,4 cm от центъра на лявата топка.
Оказва се, че центърът на масата на едно тяло (или система от тела) има редица забележителни свойства. В динамиката е показано, че импулсът на произволно движещо се тяло е равен на произведението на масата на тялото и скоростта на неговия център на масата и че центърът на масата се движи така, сякаш всички външни сили, действащи върху тялото, са приложени в центъра на масата и масата на цялото тяло беше съсредоточена в него.
Центърът на тежестта на тялото, намиращо се в гравитационното поле на Земята, се нарича точката на приложение на резултата от всички сили на гравитацията, действащи върху всички части на тялото. Тази резултатна се нарича силата на гравитацията, действаща върху тялото. Силата на тежестта, приложена в центъра на тежестта на тялото, има същото въздействие върху тялото, както силите на гравитацията, действащи върху отделните части на тялото.
Интересен случай е, когато размерът на тялото е много по-малък от размера на Земята. Тогава можем да приемем, че върху всички части на тялото действат паралелни гравитационни сили, т.е. тялото е в еднородно гравитационно поле. Успоредните и еднакво насочени сили винаги имат резултатна сила, която може да се докаже. Но при определено положение на тялото в пространството е възможно да се посочи само линията на действие на резултатната от всички паралелни сили на гравитацията; точката на нейното приложение засега ще остане неопределена, т.к. за твърдо тяло всяка сила може да се пренесе по линията на нейното действие. Какво ще кажете за точката на приложение?
Може да се покаже, че при всяко положение на тялото в еднородно гравитационно поле, линията на действие на резултанта на всички гравитационни сили, действащи върху отделните части на тялото, минава през една и съща точка, неподвижна спрямо тялото. В тази точка се прилага равна сила, а самата точка ще бъде центърът на тежестта на тялото.
Положението на центъра на тежестта спрямо тялото зависи само от формата на тялото и разпределението на масата в тялото и не зависи от положението на тялото в еднородно поле на тежестта. Центърът на тежестта не е задължително да се намира в самото тяло. Например обръч в еднородно гравитационно поле има център на тежестта в своя геометричен център.
В еднородно гравитационно поле центърът на тежестта на тялото съвпада с неговия център на масата.
В преобладаващата част от случаите един термин може безболезнено да бъде заменен с друг.
Но: центърът на масата на тялото съществува независимо от наличието на гравитационно поле, а за център на тежестта можем да говорим само при наличие на гравитация.
Удобно е да се намери местоположението на центъра на тежестта на тялото и следователно центъра на масата, като се вземе предвид симетрията на тялото и се използва концепцията за момент на сила.
Ако рамото на силата е нула, тогава моментът на силата е нула и такава сила не предизвиква въртеливо движение на тялото.
Следователно, ако линията на действие на силата минава през центъра на масата, тогава тя се движи транслационно.
По този начин можете да определите центъра на масата на всяка плоска фигура. За да направите това, трябва да го закрепите в една точка, като му дадете възможност да се върти свободно. Той ще бъде инсталиран така, че силата на гравитацията, която го завърта, да минава през центъра на масата. На мястото, където фигурата е закрепена, закачете конец с товар (гайка), начертайте линия по дължината на окачването (т.е. линията на тежестта). Нека повторим стъпките, като закрепим фигурата в друга точка. Пресечната точка на линиите на действие на силите на гравитацията е центърът на масата на тялото
Експериментална задача:определяне на центъра на тежестта на плоска фигура (въз основа на фигурите, подготвени по-рано от ученици от картон или шперплат).
Инструкции: фиксирайте фигурата на статив. Закачаме отвес от един от ъглите на фигурата. Начертаваме линията на действие на гравитацията. Завъртете фигурата и повторете действието. Центърът на масата се намира в точката на пресичане на линиите на действие на гравитацията.
Студентите, които бързо изпълнят задачата, могат да получат допълнителна задача: прикрепете тежест (метален болт) към фигурата и определете новото положение на центъра на масата. Направи заключение.
Изследването на забележителните свойства на "центровете", които са на повече от две хиляди години, се оказа полезно не само за механиката - например при проектирането на превозни средства и военна техника, изчисляване на устойчивостта на конструкции или за извеждане на уравнения на движение на реактивни превозни средства. Малко вероятно е Архимед дори да си представи, че концепцията за центъра на масата ще бъде много удобна за изследвания в ядрената физика или във физиката на елементарните частици.
Студентски съобщения:
В работата си „За равновесието на плоските тела“ Архимед използва концепцията за центъра на тежестта, без всъщност да я дефинира. Очевидно той е въведен за първи път от неизвестен предшественик на Архимед или от самия него, но в по-ранна работа, която не е достигнала до нас.
Трябваше да минат седемнадесет дълги века, преди науката да добави нови резултати към изследванията на Архимед върху центровете на тежестта. Това се случи, когато Леонардо да Винчи успя да намери центъра на тежестта на тетраедъра. Той, мислейки за стабилността на италианските наклонени кули, включително кулата в Пиза, стигна до „теоремата за опорния многоъгълник“.
Условията на равновесие на плаващи тела, открити от Архимед, впоследствие трябваше да бъдат преоткрити. Това е направено в края на 16 век от холандския учен Саймън Стевин, който използва, наред с понятието център на тежестта, понятието „център на налягане“ - точката на приложение на силата на налягането на водата заобикалящи тялото.
Оказва се, че принципът на Торичели (и формулите за изчисляване на центъра на масата също са кръстени на него) е бил предвиден от неговия учител Галилей. На свой ред този принцип е в основата на класическата работа на Хюйгенс върху часовниците с махало и е използван и в известните хидростатични изследвания на Паскал.
Методът, който позволи на Ойлер да изследва движението на твърдо тяло под действието на всякакви сили, беше да разложи това движение на изместване на центъра на масата на тялото и въртене около осите, минаващи през него.
За да поддържат предметите в постоянно положение, когато опората им се движи, от няколко века се използва така нареченото карданно окачване - устройство, при което центърът на тежестта на тялото е разположен под осите, около които то може да се върти. Пример за това е корабна керосинова лампа.
Въпреки че гравитацията на Луната е шест пъти по-малка от тази на Земята, би било възможно да се увеличи рекордът за висок скок там „само“ четири пъти. Изчисленията, базирани на промени във височината на центъра на тежестта на тялото на спортиста, водят до това заключение.
Освен ежедневното въртене около оста си и годишното въртене около Слънцето, Земята участва и в друго кръгово движение. Заедно с Луната тя се "върти" около общ център на масата, разположен на приблизително 4700 километра от центъра на Земята.
Някои изкуствени спътници на Земята са оборудвани със сгъваем прът с дължина няколко или дори десетки метра, утежнен в края (т.нар. гравитационен стабилизатор). Факт е, че удължен спътник, когато се движи в орбита, има тенденция да се върти около центъра на масата си, така че надлъжната му ос да е вертикална. Тогава тя, подобно на Луната, винаги ще бъде обърната към Земята с една страна.
Наблюденията на движението на някои видими звезди показват, че те са част от бинарни системи, в които „небесните партньори“ се въртят около общ център на масата. Един от невидимите спътници в такава система може да бъде неутронна звезда или, евентуално, черна дупка.
Обяснение на учителя
Теорема за центъра на масата: центърът на масата на тялото може да промени позицията си само под въздействието на външни сили.
Следствие от теоремата за центъра на масата: центърът на масата на затворена система от тела остава неподвижен по време на всяко взаимодействие на телата от системата.
Решаване на проблема (на дъската)
ЗАДАЧА 2. Лодката стои неподвижно в неподвижна вода. Човекът в лодката се движи от носа към кърмата. На какво разстояние h ще се движи лодката, ако масата на човек е m = 60 kg, масата на лодката е M = 120 kg, а дължината на лодката е L = 3 m? Пренебрегвайте водоустойчивостта.
РЕШЕНИЕ. Нека използваме условието на задачата, че началната скорост на центъра на масата е нула (лодката и човекът първоначално са били в покой) и няма водно съпротивление (върху „човека“ не действат външни сили в хоризонтална посока). система за лодка). Следователно координатата на центъра на масата на системата в хоризонтална посока не се е променила. Фигура 3 показва началната и крайната позиция на лодката и човека. Начална координата x0 на центъра на масата x0 = (mL+ML/2)/(m+M)
Крайна координата x на центъра на масата x = (mh+M(h+L/2))/(m+M)
Приравнявайки x0 = x, намираме h= mL/(m+M) =1m
Допълнително:колекция от задачи на Степанова Г.Н. № 393
Обяснение на учителя
Припомняйки си условията на равновесие, установихме, че
За тела с опорна площ се наблюдава стабилно равновесие, когато линията на действие на гравитацията преминава през основата.
Следствие: колкото по-голяма е опорната площ и колкото по-нисък е центърът на тежестта, толкова по-стабилно е равновесното положение.
Демонстрация
Поставете детската играчка чаша (Ванка - Встанка) върху грапава дъска и повдигнете десния ръб на дъската. В каква посока ще се отклони „главата“ на играчката, като запази баланса си?
Обяснение: Центърът на тежестта C на барабана е разположен под геометричния център O на сферичната повърхност на „торса“. В равновесно положение точка С и точка на контакт А на играчка с наклонена равнина трябва да са на една и съща вертикала; следователно "главата" на барабана ще се отклони наляво
Как да обясним запазването на равновесието в случая, показан на фигурата?
Обяснение: Центърът на тежестта на системата молив-нож се намира под опорната точка
IIIКонсолидация.Фронтално проучване
Въпроси и задачи
1. Когато едно тяло се движи от екватора към полюса, силата на гравитацията, действаща върху него, се променя. Това влияе ли на позицията на центъра на тежестта на тялото?
Отговор: не, защото относителните промени в силата на гравитацията на всички елементи на тялото са еднакви.
2. Възможно ли е да се намери центърът на тежестта на „дъмбел“, състоящ се от две масивни топки, свързани с безтегловен прът, при условие че дължината на „дъмбела“ е сравнима с диаметъра на Земята?
Отговор: не. Условието за наличието на център на тежестта е еднородността на гравитационното поле. В неравномерно гравитационно поле въртенията на „дъмбела“ около неговия център на масата водят до факта, че линиите на действие L1 и L2, резултантните сили на гравитацията, приложени към топките, нямат обща точка
3. Защо при рязко спиране предната част на колата пада?
Отговор: при спиране върху колелата от страната на пътя действа сила на триене, създавайки въртящ момент около центъра на масата на автомобила.
4. Къде е центърът на тежестта на поничката?
Отговор: в дупката!
5. В цилиндрична чаша се налива вода. Как ще се промени позицията на центъра на тежестта на системата стъкло - вода?
Отговор: Центърът на тежестта на системата първо ще намалее и след това ще се увеличи.
6. Каква дължина на края трябва да се отреже от хомогенен прът, така че центърът на тежестта му да се измести с ∆ℓ?
Отговор: дължина 2∆ℓ.
7. Хомогенен прът беше огънат в средата под прав ъгъл. Къде беше неговият център на тежестта сега?
Отговор: в точка O - средата на сегмента O1O2, свързващ средните точки на секциите AB и BC на пръта
9. Стационарната космическа станция е цилиндър. Астронавтът започва кръгова обиколка на станцията по нейната повърхност. Какво ще стане със станцията?
Отговор: сстанцията ще започне да се върти в обратна посока и центърът й ще описва кръг около същия център на масата като астронавта.
11. Защо е трудно да ходиш на кокили?
Отговор: центърът на тежестта на човек на кокили се увеличава значително и площта на неговата опора на земята намалява.
12. Кога е по-лесно за въжеиграча да поддържа равновесие - при нормално движение по въже или при носене на силно извита греда, натоварена с кофи с вода?
Отговор: Във втория случай, тъй като центърът на масата на въжеиграча с кофи е по-ниско, т.е. по-близо до опората - въжето.
IVДомашна работа:(изпълняват се от желаещи - задачите са трудни, решаващите ги получават "5").
*1. Намерете центъра на тежестта на системата от топки, разположени във върховете на равностранния безтегловен триъгълник, показан на фигурата
Отговор: центърът на тежестта е в средата на ъглополовящата на ъгъла, в чийто връх има топка с маса 2m
*2. Дълбочината на дупката в дъската, в която се вкарва топката, е половината от радиуса на топката. Под какъв ъгъл на наклона на дъската спрямо хоризонта топката ще изскочи от дупката?
