Теорема за промяната на импулса на точка. Теорема за промяна на ъгловия момент на точка Теорема за промяна на ъгловия момент на точка

Системата, разгледана в теоремата, може да бъде всяка механична система, състояща се от всякакви тела.

Изложение на теоремата

Количеството на движение (импулс) на механична система е величина, равна на сумата от количествата на движение (импулси) на всички тела, включени в системата. Импулсът на външните сили, действащи върху телата на системата, е сумата от импулсите на всички външни сили, действащи върху телата на системата.

( kg m/s)

Теоремата за промяната на импулса на системата гласи

Промяната в импулса на системата за определен период от време е равна на импулса на външните сили, действащи върху системата за същия период от време.

Закон за запазване на импулса на системата

Ако сумата от всички външни сили, действащи върху системата, е нула, тогава количеството на движение (импулс) на системата е постоянна величина.

, получаваме израза на теоремата за промяната на импулса на системата в диференциална форма:

Интегрирайки двете страни на полученото равенство за произволно взет период от време между някои и, получаваме израза на теоремата за промяната на импулса на системата в интегрална форма:

Закон за запазване на импулса (Закон за запазване на импулса) гласи, че векторната сума на импулсите на всички тела на системата е постоянна стойност, ако векторната сума на външните сили, действащи върху системата, е равна на нула.

(момент на импулса m 2 kg s −1)

Теорема за промяната на ъгловия момент спрямо центъра

производната по време на момента на импулса (кинетичния момент) на материална точка спрямо който и да е неподвижен център е равна на момента на силата, действаща върху точката спрямо същия център.

dk 0 /dt = М 0 (Е ) .

Теорема за промяната на ъгловия момент спрямо ос

производната по време на момента на импулса (кинетичен момент) на материална точка спрямо която и да е фиксирана ос е равна на момента на силата, действаща върху тази точка спрямо същата ос.

dk х /dt = М х (Е ); dk г /dt = М г (Е ); dk z /dt = М z (Е ) .

Помислете за материална точка М маса м , движейки се под въздействието на сила Е (Фигура 3.1). Нека запишем и конструираме вектора на ъгловия импулс (кинетичен импулс) М 0 материална точка спрямо центъра О :

Нека разграничим израза за ъгловия момент (кинетичен момент к 0) по време:

защото д-р /дт = V , след това векторното произведение V ⊗ м ⋅ V (колинеарни вектори V И м ⋅ V ) е равно на нула. В същото време d(m ⋅ V) /dt = F според теоремата за импулса на материална точка. Следователно получаваме това

dk 0 /дт = r ⊗Е , (3.3)

Където r ⊗Е = М 0 (Е ) – вектор-момент на сила Е спрямо неподвижен център О . вектор к 0 ⊥ равнина ( r , м ⊗V ), и векторът М 0 (Е ) ⊥ самолет ( r ,Е ), най-накрая имаме

dk 0 /dt = М 0 (Е ) . (3.4)

Уравнение (3.4) изразява теоремата за промяната на ъгловия импулс (ъглов момент) на материална точка спрямо центъра: производната по време на момента на импулса (кинетичния момент) на материална точка спрямо който и да е неподвижен център е равна на момента на силата, действаща върху точката спрямо същия център.

Проектирайки равенство (3.4) върху осите на декартовите координати, получаваме

dk х /dt = М х (Е ); dk г /dt = М г (Е ); dk z /dt = М z (Е ) . (3.5)

Равенствата (3.5) изразяват теоремата за промяната на ъгловия импулс (кинетичния импулс) на материална точка спрямо оста: производната по време на момента на импулса (кинетичен момент) на материална точка спрямо която и да е фиксирана ос е равна на момента на силата, действаща върху тази точка спрямо същата ос.

Нека разгледаме следствията, произтичащи от теореми (3.4) и (3.5).

Следствие 1.Разгледайте случая, когато силата Е по време на цялото движение на точката преминава през неподвижния център О (случай на централна сила), т.е. Кога М 0 (Е ) = 0. Тогава от теорема (3.4) следва, че к 0 = конст ,

тези. в случай на централна сила ъгловият импулс (кинетичен момент) на материална точка спрямо центъра на тази сила остава постоянен по големина и посока (Фигура 3.2).

Фигура 3.2

От условието к 0 = конст следва, че траекторията на движеща се точка е плоска крива, чиято равнина минава през центъра на тази сила.

Следствие 2.Позволявам М z (Е ) = 0, т.е. сила пресича оста z или успоредно на него. В този случай, както може да се види от третото от уравненията (3.5), к z = конст ,

тези. ако моментът на сила, действащ върху точка спрямо която и да е фиксирана ос, винаги е нула, тогава ъгловият импулс (кинетичен момент) на точката спрямо тази ос остава постоянен.

Доказателство на теоремата за промяната на импулса

Нека системата се състои от материални точки с маси и ускорения. Разделяме всички сили, действащи върху телата на системата, на два вида:

Външните сили са сили, действащи от тела, които не са включени в разглежданата система. Резултатът от външни сили, действащи върху материална точка с номер азнека обозначим

Вътрешните сили са силите, с които телата на самата система взаимодействат помежду си. Силата, с която върху точката с числото азточката с номера е валидна к, ще обозначим , и силата на въздействие азта точка на кта точка - . Очевидно, когато , тогава

Използвайки въведената нотация, записваме втория закон на Нютон за всяка от разглежданите материални точки във формата

Като се има предвид това и обобщавайки всички уравнения на втория закон на Нютон, получаваме:

Изразът представлява сумата от всички вътрешни сили, действащи в системата. Съгласно третия закон на Нютон, в тази сума всяка сила съответства на такава сила, че следователно е в сила Тъй като цялата сума се състои от такива двойки, самата сума е нула. Така можем да пишем

Използвайки обозначението за импулса на системата, получаваме

Като се вземе предвид промяната в импулса на външните сили , получаваме израза на теоремата за промяната на импулса на системата в диференциална форма:

По този начин всяко от последните получени уравнения ни позволява да заявим: промяна в импулса на системата възниква само в резултат на действието на външни сили, а вътрешните сили не могат да окажат влияние върху тази стойност.

Интегрирайки двете страни на полученото равенство за произволно взет интервал от време между някои и , получаваме израза на теоремата за промяната на импулса на системата в интегрална форма:

където и са стойностите на количеството движение на системата в моменти от време и, съответно, и е импулсът на външните сили за период от време. В съответствие с казаното по-рано и въведените обозначения,

Тъй като масата на точката е постоянна и нейното ускорение, уравнение (2), изразяващо основния закон на динамиката, може да бъде представено във формата

Уравнение (32) едновременно изразява теоремата за промяната на импулса на точка в диференциална форма: времевата производна на импулса на точка е равна на сумата от силите, действащи върху точката

Нека една движеща се точка има скорост в момента и скорост в момента.Тогава умножаваме двете страни на равенството (32) по и вземаме определени интеграли от тях. В този случай отдясно, където интегрирането се извършва във времето, границите на интеграла ще бъдат и отляво, където скоростта е интегрирана, границите на интеграла ще бъдат съответните стойности на скоростта

Тъй като интегралът от е равен, резултатът е

Интегралите вдясно, както следва от формула (30), представляват импулсите на действащите сили. Следователно най-накрая ще бъде

Уравнение (33) изразява теоремата за промяната на импулса на точка в крайна форма: промяната на импулса на точка за определен период от време е равна на сумата от импулсите на всички сили, действащи върху точката през същият период от време.

При решаването на задачи вместо векторното уравнение (33) често се използват уравнения в проекции. Проектирайки двете страни на равенството (33) върху координатните оси, получаваме

В случай на праволинейно движение по протежение на оста, теоремата се изразява с първото от тези уравнения.

Разрешаване на проблем. Уравнения (33) или (34) позволяват, знаейки как се променя скоростта на точка, когато точката се движи, да се определи импулсът на действащите сили (първият проблем на динамиката) или, знаейки импулсите на действащите сили, да се определи как се променя скоростта на точка при движение (вторият проблем на динамиката). При решаването на втората задача, когато са дадени сили, е необходимо да се изчислят техните импулси.Както се вижда от равенства (30) или (31), това може да стане само когато силите са постоянни или зависят само от времето.

По този начин уравненията (33), (34) могат директно да се използват за решаване на втората задача на динамиката, когато данните и необходимите величини в задачата включват: действащи сили, време на движение на точката и нейните начална и крайна скорост (т.е. количества), а силите трябва да са постоянни или зависими само от времето.

Задача 95. Точка с маса kg се движи по окръжност с числено постоянна скорост.Определете импулса на силата, действаща върху точката за времето, за което точката преминава една четвърт от окръжността.

Решение. Според теоремата за промяната на импулса, конструирайки геометрично разликата между тези количества на движение (фиг. 222), намираме от получения правоъгълен триъгълник

Но според условията на проблема, следователно,

За аналитично изчисление, използвайки първите две от уравненията (34), можем да намерим

Задача 96. Товар, който има маса и лежи върху хоризонтална равнина, получава (чрез тласък) начална скорост. Последващото движение на товара се забавя от постоянна сила F. Определете колко време ще отнеме на товара да спра,

Решение. Според данните за задачата е ясно, че за да определите времето на движение, можете да използвате доказана теорема. Изобразяваме товара в произволна позиция (фиг. 223). Върху него действат силата на гравитацията P, реакцията на равнината N и спирачната сила F. Като насочваме оста в посоката на движение, съставяме първото от уравненията (34)

В този случай скоростта в момента на спиране), a. От силите проекцията върху оста дава само силата F. Тъй като тя е постоянна, къде е спирачното време. Замествайки всички тези данни в уравнение (а), получаваме необходимото време

Диференциално уравнение на движението на материална точка под въздействието на сила Емогат да бъдат представени в следната векторна форма:

Тъй като масата на точка мсе приема за константа, тогава може да се въведе под знака за производна. Тогава

Формула (1) изразява теоремата за промяната на импулса на точка в диференциална форма: първата производна по отношение на времето на импулса на дадена точка е равна на силата, действаща върху точката.

В проекции върху координатни оси (1) може да се представи като

Ако двете страни (1) се умножат по дт, тогава получаваме друга форма на същата теорема - теоремата за импулса в диференциална форма:

тези. диференциалът на импулса на точка е равен на елементарния импулс на силата, действаща върху точката.

Проектирайки двете части на (2) върху координатните оси, получаваме

Интегрирайки двете части на (2) от нула до t (фиг. 1), имаме

къде е скоростта на точката в момента T; - скорост при T = 0;

С- импулс на сила във времето T.

Израз във формата (3) често се нарича теорема за импулса в крайна (или интегрална) форма: промяната в импулса на дадена точка за всеки период от време е равна на импулса на силата за същия период от време.

В проекции върху координатни оси тази теорема може да бъде представена в следната форма:

За материална точка теоремата за промяната на импулса във всяка от формите по същество не се различава от диференциалните уравнения на движение на точка.

Теорема за промяната на импулса на системата

Количеството движение на системата ще се нарича векторна величина Q, равна на геометричната сума (главния вектор) на количествата на движение на всички точки на системата.

Помислете за система, състояща се от н материални точки. Нека съставим диференциални уравнения на движение за тази система и да ги добавим член по член. Тогава получаваме:

Последната сума, поради свойството на вътрешните сили, е равна на нула. Освен това,

Накрая намираме:

Уравнение (4) изразява теоремата за промяната на импулса на системата в диференциална форма: производната по време на импулса на системата е равна на геометричната сума на всички външни сили, действащи върху системата.

Нека намерим друг израз за теоремата. Нека в момента T= 0 количеството движение на системата е Q 0, и в момента на времето т 1става равен Въпрос 1.След това, умножавайки двете страни на равенството (4) по дти интегрирайки, получаваме:

Или къде:

(S- импулс на сила)

тъй като интегралите отдясно дават импулси на външни сили,

уравнение (5) изразява теоремата за промяната на импулса на системата в интегрална форма: промяната в импулса на системата за определен период от време е равна на сумата от импулсите на външните сили, действащи върху системата за същия период от време.

В проекциите върху координатните оси ще имаме:

Закон за запазване на импулса

От теоремата за промяната на импулса на системата могат да бъдат получени следните важни следствия:

1. Нека сумата от всички външни сили, действащи върху системата, е равна на нула:

Тогава от уравнение (4) следва, че в този случай Q = const.

По този начин, ако сумата от всички външни сили, действащи върху системата, е равна на нула, тогава векторът на импулса на системата ще бъде постоянен по големина и посока.

2. 01 Нека външните сили, действащи върху системата, са такива, че сумата от техните проекции върху някаква ос (например Ox) е равна на нула:

Тогава от уравнения (4`) следва, че в този случай Q = const.

По този начин, ако сумата от проекциите на всички действащи външни сили върху която и да е ос е равна на нула, тогава проекцията на количеството на движение на системата върху тази ос е постоянна стойност.

Тези резултати изразяват закон за запазване на импулса на системата.От тях следва, че вътрешните сили не могат да променят общия обем на движение на системата.

Нека да разгледаме някои примери:

· Феноменът за връщането на ролката. Ако разглеждаме пушката и куршума като една система, тогава налягането на праховите газове по време на изстрел ще бъде вътрешна сила. Тази сила не може да промени общия импулс на системата. Но тъй като барутните газове, действащи върху куршума, му придават известно движение, насочено напред, те трябва едновременно да придадат на пушката същото количество движение в обратна посока. Това ще доведе до движение на пушката назад, т.е. така нареченото връщане. Подобно явление възниква при стрелба с пистолет (връщане назад).

· Работа на перката (витлото). Витлото придава движение на определена маса въздух (или вода) по протежение на оста на витлото, хвърляйки тази маса обратно. Ако разглеждаме хвърлената маса и самолета (или кораба) като една система, тогава силите на взаимодействие между витлото и околната среда, като вътрешни, не могат да променят общото количество движение на тази система. Следователно, когато маса въздух (вода) се изхвърли обратно, самолетът (или корабът) получава съответна скорост напред, така че общото количество на движение на разглежданата система остава равно на нула, тъй като е било нула преди началото на движението .

Подобен ефект се постига чрез действието на гребла или гребни колела.

· Възстановяващо задвижване , В ракета (ракета) газообразните продукти от изгарянето на горивото се изхвърлят с висока скорост от отвора в опашката на ракетата (от дюзата на реактивния двигател). Силите на натиск, действащи в този случай, ще бъдат вътрешни сили и те не могат да променят общия импулс на системата ракетно-прахови газове. Но тъй като изтичащите газове имат известно движение, насочено назад, ракетата получава съответна скорост напред.

Теорема за моментите около ос.

Помислете за материалната точка на масата м, движейки се под въздействието на сила Е. Нека намерим за него връзката между момента на векторите mVИ Еспрямо някаква фиксирана ос Z.

m z (F) = xF - yF (7)

По същия начин за стойността m(mV), ако е изваден мще бъде извън скоби

м z (mV) = m(xV - yV)(7`)

Като вземем производните по отношение на времето от двете страни на това равенство, намираме

От дясната страна на получения израз първата скоба е равна на 0, тъй като dx/dt=V и dу/dt = V, втората скоба съгласно формула (7) е равна на

mz(F), тъй като според основния закон на динамиката:

Най-накрая ще имаме (8)

Полученото уравнение изразява теоремата за моментите около оста: производната по време на момента на импулса на дадена точка спрямо която и да е ос е равна на момента на действащата сила спрямо същата ос.Подобна теорема е валидна за моменти около всеки център O.

Състояща се от нматериални точки. Нека изберем определена точка от тази система M jс маса m j. Както е известно, върху тази точка действат външни и вътрешни сили.

Нека го приложим по същество M jрезултатна от всички вътрешни сили F j iи резултантната на всички външни сили F j e(Фигура 2.2). За избрана материална точка M j(като за свободна точка) записваме теоремата за промяната на импулса в диференциална форма (2.3):

Нека напишем подобни уравнения за всички точки на механичната система (j=1,2,3,…,n).

Фигура 2.2

Нека съберем всичко парче по парче нуравнения:

∑d(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i, (2.9)

d∑(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i. (2.10)

Тук ∑m j ×V j =Q– количеството на движение на механичната система;
∑F j e = R e– главният вектор на всички външни сили, действащи върху механичната система;
∑F j i = R i =0– главният вектор на вътрешните сили на системата (според свойството на вътрешните сили той е равен на нула).

И накрая, за механичната система, която получаваме

dQ/dt = R e. (2.11)

Изразът (2.11) е теорема за промяната на импулса на механична система в диференциална форма (във векторен израз): производната по време на вектора на импулса на механична система е равна на главния вектор на всички външни сили, действащи върху системата.

Проектирайки векторното равенство (2.11) върху декартовите координатни оси, получаваме изрази за теоремата за промяната на импулса на механична система в координатен (скаларен) израз:

dQ x /dt = R x e;

dQ y /dt = R y e;

dQ z /dt = R z e, (2.12)

тези. производната по време на проекцията на импулса на механична система върху всяка ос е равна на проекцията върху тази ос на главния вектор на всички външни сили, действащи върху тази механична система.

Умножавайки двете страни на равенството (2.12) по дт, получаваме теоремата в друга диференциална форма:

dQ = R e × dt = δS e, (2.13)

тези. диференциалният импулс на механична система е равен на елементарния импулс на главния вектор (сумата от елементарни импулси) на всички външни сили, действащи върху системата.

Интегриране на равенство (2.13) в рамките на промяната на времето от 0 до T, получаваме теорема за промяната на импулса на механична система в крайна (интегрална) форма (във векторен израз):

Q - Q 0 = S e,

тези. промяната в импулса на механична система за краен период от време е равна на общия импулс на главния вектор (сумата от общите импулси) на всички външни сили, действащи върху системата през същия период от време.

Проектирайки векторното равенство (2.14) върху декартовите координатни оси, получаваме изрази за теоремата в проекции (в скаларно изражение):

тези. промяната в проекцията на импулса на механична система върху която и да е ос за краен период от време е равна на проекцията върху същата ос на общия импулс на главния вектор (сумата от общите импулси) на всички външни сили действащи върху механичната система през същия период от време.

От разгледаната теорема (2.11) – (2.15) следват следните следствия:

1. Ако R e = ∑F j e = 0, Че Q = const– имаме закона за запазване на вектора на импулса на механична система: ако главният вектор R eна всички външни сили, действащи върху механична система, е равен на нула, тогава векторът на импулса на тази система остава постоянен по големина и посока и равен на първоначалната си стойност Q 0, т.е. Q = Q 0.
2. Ако R x e = ∑X j e =0 (R e ≠ 0), Че Q x = const– имаме закона за запазване на проекцията върху оста на импулса на механична система: ако проекцията на главния вектор на всички сили, действащи върху механична система върху която и да е ос е нула, тогава проекцията върху същата ос на векторът на импулса на тази система ще бъде постоянна стойност и равен на проекцията върху тази ос начален вектор на импулса, т.е. Q x = Q 0x.

Диференциалната форма на теоремата за промяната в импулса на материална система има важни и интересни приложения в механиката на непрекъснатата среда. От (2.11) можем да получим теоремата на Ойлер.

Нека една материална точка се движи под въздействието на сила Е. Необходимо е да се определи движението на тази точка спрямо движещата се система Oxyz(виж сложно движение на материална точка), което се движи по известен начин спрямо неподвижна система О 1 х 1 г 1 z 1 .

Основно уравнение на динамиката в стационарна система

Нека запишем абсолютното ускорение на точка, използвайки теоремата на Кориолис

Където а коремни мускули– абсолютно ускорение;

а отн– относително ускорение;

а платно– преносимо ускорение;

а сърцевина– Кориолисово ускорение.

Нека пренапишем (25), като вземем предвид (26)

Нека въведем нотацията
- преносима инерционна сила,
- Инерционна сила на Кориолис. Тогава уравнение (27) приема формата

Основното уравнение на динамиката за изучаване на относителното движение (28) е написано по същия начин, както за абсолютното движение, само прехвърлянето и инерционните сили на Кориолис трябва да се добавят към силите, действащи върху дадена точка.

Общи теореми за динамиката на материална точка

Когато решавате много задачи, можете да използвате предварително направени заготовки, получени въз основа на втория закон на Нютон. Такива методи за решаване на проблеми са комбинирани в този раздел.

Теорема за промяната на импулса на материална точка

Нека въведем следните динамични характеристики:

1. Импулс на материална точка– векторна величина, равна на произведението на масата на точка и нейния вектор на скоростта

. (29)

2. Силов импулс

Елементарен импулс на сила– векторна величина, равна на произведението на вектора на силата и елементарен интервал от време

(30).

Тогава пълен импулс

. (31)

При Е=const получаваме С=Ft.

Общият импулс за краен период от време може да се изчисли само в два случая, когато силата, действаща върху дадена точка, е постоянна или зависи от времето. В други случаи е необходимо силата да се изрази като функция на времето.

Равенството на размерите на импулса (29) и импулса (30) ни позволява да установим количествена връзка между тях.

Да разгледаме движението на материална точка M под действието на произволна сила Епо произволна траектория.

ОТНОСНО UD:
. (32)

Разделяме променливите в (32) и интегрираме

. (33)

В резултат на това, като вземем предвид (31), получаваме

. (34)

Уравнение (34) изразява следната теорема.

Теорема: Промяната в импулса на материална точка за определен период от време е равна на импулса на силата, действаща върху точката за същия интервал от време.

При решаване на задачи уравнението (34) трябва да се проектира върху координатните оси

Тази теорема е удобна за използване, когато сред дадените и неизвестните величини има маса на точка, нейната начална и крайна скорост, сили и време на движение.

Теорема за промяната на ъгловия момент на материална точка

М
момент на импулс на материална точкаспрямо центъра е равно на произведението на модула на импулса на точката и рамото, т.е. най-късото разстояние (перпендикуляр) от центъра до линията, съвпадаща с вектора на скоростта

, (36)

. (37)

Връзката между момента на силата (причината) и момента на импулса (следствието) се установява от следната теорема.

Нека точка M има дадена маса мсе движи под въздействието на сила Е.

,
,

, (38)

. (39)

Нека изчислим производната на (39)

. (40)

Комбинирайки (40) и (38), най-накрая получаваме

. (41)

Уравнение (41) изразява следната теорема.

Теорема: Производната по време на вектора на ъгловия момент на материална точка спрямо някакъв център е равна на момента на силата, действаща върху точката спрямо същия център.

При решаване на задачи уравнението (41) трябва да се проектира върху координатните оси

В уравнения (42) моментите на импулса и силата се изчисляват спрямо координатните оси.

От (41) следва закон за запазване на ъгловия момент (закон на Кеплер).

Ако моментът на сила, действащ върху материална точка спрямо който и да е център, е нула, тогава ъгловият импулс на точката спрямо този център запазва своята големина и посока.

Ако
, Че
.

Теоремата и законът за запазване се използват при проблеми, включващи криволинейно движение, особено под действието на централни сили.