Спектър на периодична последователност. Спектър на поредица от правоъгълни импулси

2. Спектър на периодична последователност от правоъгълни импулси

Помислете за периодичната последователност от правоъгълни импулси, показана на фиг. 5. Този сигнал се характеризира с продължителността на импулса, неговата амплитуда и период. Напрежението се нанася по вертикалната ос.

Фиг.5. Периодична последователност от правоъгълни импулси

Избираме началната точка в средата на импулса. Тогава сигналът се разширява само в косинуси. Хармоничните честоти са n/T, където н- произволно цяло число. Хармоничните амплитуди съгласно (1.2.) ще бъдат равни:

защото V(t)=дпри , където е продължителността на импулса и V(t)=0 при , тогава

Удобно е да напишете тази формула във формата:

(2.1.)

Формула (1.5.) дава зависимостта на амплитудата на n-тия хармоник от периода и продължителността под формата на непрекъсната функция (функция ). Тази функция се нарича обвивка на спектъра. Трябва да се има предвид, че той има физически смисъл само при честоти, където съществуват съответните хармоници. На фиг. Фигура 6 показва спектъра на периодична последователност от правоъгълни импулси.

Фиг.6. Спектър на периодична последователност

правоъгълни импулси.

Когато конструираме обвивката, имаме предвид това - е

Осцилираща функция на честотата и знаменателят се увеличава монотонно с увеличаване на честотата. Следователно се получава квазиосцилираща функция с постепенно намаляване. Тъй като честотата клони към нула, и числителят, и знаменателят клонят към нула, а съотношението им клони към единица (първата класическа граница). Нулевите стойности на обвивката се появяват в точки, където т.е.

Където м– цяло число (освенм

Периодична последователност от правоъгълни видеоимпулси е модулираща функция за формиране на периодична последователност от правоъгълни радиоимпулси (PPRP), които са сондиращи сигнали за откриване и измерване на координатите на движещи се цели. Следователно, използвайки спектъра на модулиращата функция (PPVI), е възможно да се определи спектърът на сондиращия сигнал (PPVI) относително просто и бързо. Когато сондиращ сигнал се отрази от движеща се цел, честотите на хармоничния спектър на носещата вълна се променят (ефект на Доплер). В резултат на това е възможно да се идентифицира полезен сигнал, отразен от движеща се цел на фона на смущаващи (интерферентни) вибрации, отразени от неподвижни обекти (местни обекти) или бавно движещи се обекти (метеорологични образувания, ята птици и др.) .

PPPVI (фиг. 1.42) е набор от единични правоъгълни видеоимпулси, следващи един след друг на равни интервали от време. Аналитично изразяване на сигнала.

къде е амплитудата на импулса; – продължителност на импулса; – период на повторение на импулса; – честота на повторение на импулса, ; – работен цикъл.

За изчисляване на спектралния състав на периодична последователност от импулси се използва серията на Фурие. С известни спектри на единични импулси, образуващи периодична последователност, можем да използваме връзката между спектралната плътност на импулсите и комплексните амплитуди на серията:

За единичен правоъгълен видео импулс спектралната плътност се описва с формулата

Използвайки връзката между спектралната плътност на единичен импулс и комплексните амплитуди на серията, намираме

където = 0; ± 1; ± 2; ...

Амплитудно-честотният спектър (фиг. 1.43) ще бъде представен от набор от компоненти:

в този случай положителните стойности съответстват на нулеви начални фази, а отрицателните стойности съответстват на начални фази, равни на .

Така аналитичният израз за PPPVI ще бъде равен на

От анализа на графиките, показани на фигура 1.43, следва:

· Спектърът на PPPVI е дискретен, състоящ се от отделни хармоници с честота .

· Пакетът за АЧС се променя съгласно закона.

· Максималната стойност на обвивката при е равна на стойността на постоянния компонент.

· Началните фази на хармониците в нечетните дялове са равни на 0, в рамките на четните дялове.

· Броят на хармониците във всеки лоб е равен на .

Ширина на спектъра на сигнала при 90% от енергията на сигнала

· Сигнална база, така че сигналът е прост.

Ако промените продължителността на импулсите или тяхната честота на повторение Е(точка), тогава параметрите на спектъра и неговата ASF ще се променят.

Фигура 1.43 показва пример за промяна на сигнала и неговата ASF, когато продължителността на импулса се удвои.

Периодични последователности от правоъгълни видео импулси и техните ASF параметри, T,. И , T, са показани на фигура 1.44.

От анализа на дадените графики следва:

1. За PPPVI с продължителност на импулса:

· Коефициент на мито р=4, следователно, 3 хармоника са концентрирани във всеки лоб;

· Честота на k-тия хармоник;

· Ширина на спектъра на сигнала при 90% енергийно ниво;

Постоянният компонент е равен на

2. За PPPVI с продължителност на импулса:

· Коефициент на мито q= 2, следователно във всеки дял има 1 хармоник;

· Честотата на k-тия хармоник остава непроменена;

· Ширината на спектъра на сигнала на ниво 90% от неговата енергия намалява 2 пъти;

· Константният компонент се увеличава 2 пъти.

По този начин можем да заключим, че с увеличаване на продължителността на импулса, ASF се „компресира“ по ординатната ос (ширината на спектъра на сигнала намалява), докато амплитудите на спектралните компоненти се увеличават. Хармоничните честоти не се променят.

На фигура 1.44. Представен е пример за промяна на сигнала и неговата ASF с увеличаване на периода на повторение с 4 пъти (намаляване на скоростта на повторение с 4 пъти).

в) ширината на спектъра на сигнала на ниво 90% от неговата енергия не се е променила;

г) постоянната съставна намалява 4 пъти.

По този начин можем да заключим, че с увеличаване на периода на повторение (намаляване на честотата на повторение) възниква „компресия“ в ASF по честотната ос (амплитудите на хармониците намаляват с увеличаване на техния брой във всеки лоб) . Ширината на спектъра на сигнала не се променя. По-нататъшно намаляване на честотата на повторение (увеличаване на периода на повторение) ще доведе (при ) до намаляване на амплитудите на хармониците до безкрайно малки стойности. В този случай сигналът ще се превърне в единичен и съответно спектърът ще стане непрекъснат.

Нека разгледаме периодична последователност от правоъгълни импулси с период T, продължителност на импулса t u и максимална стойност. Нека намерим серийното разширение на такъв сигнал, като изберем началото на координатите, както е показано на фиг. 15. В този случай функцията е симетрична спрямо ординатната ос, т.е. всички коефициенти на синусоидални компоненти = 0 и трябва да се изчислят само коефициентите.

постоянен компонент

(2.28)

Постоянният компонент е средната стойност за периода, т.е. е площта на импулса, разделена на целия период, т.е. , т.е. същото, което се случи при строго формално изчисление (2.28).

Нека си припомним, че честотата на първия хармоник е ¦ 1 = , където T е периодът на правоъгълния сигнал. Разстояние между хармониците D¦=¦ 1. Ако числото на хармоника n се окаже такова, че аргументът на синуса е , тогава амплитудата на този хармоник отива до нула за първи път. Това условие е изпълнено, когато. Нарича се хармоничното число, при което неговата амплитуда изчезва за първи път "първа нула"и го обозначете с буквата N, подчертавайки специалните свойства на тази хармоника:

От друга страна, работният цикъл S на импулсите е отношението на периода T към продължителността на импулса t u, т.е. . Следователно "първата нула" е числено равна на работния цикъл на импулса N=S. Тъй като синусът отива на нула за всички стойности на аргумента, които са кратни на p, амплитудите на всички хармоници с числа, които са кратни на числото на "първата нула", също отиват на нула. Тоест в , къде к– произволно цяло число. Така например от (2.22) и (2.23) следва, че спектърът на правоъгълните импулси с работен цикъл 2 се състои само от нечетни хармоници. Тъй като S=2, тогава N=2, т.е. амплитудата на втория хармоник отива до нула за първи път - това е "първата нула". Но тогава амплитудите на всички останали хармоници с числа, делими на 2, т.е. всички четни единици също трябва да отидат до нула. При работен цикъл S=3, нулевите амплитуди ще бъдат при 3, 6, 9, 12, ... хармоници.

С увеличаване на работния цикъл "първата нула" се измества към областта на хармониците с по-високи числа и следователно скоростта на намаляване на амплитудите на хармониците намалява. Просто изчисляване на амплитудата на първия хармоник при U m=100V за работен цикъл С=2, U m 1=63.7V, при С=5, U m 1=37.4V и при С=10, U m 1=19,7V, т.е. С увеличаването на работния цикъл амплитудата на първия хармоник рязко намалява. Ако намерим отношението на амплитудата, например, на 5-та хармонична U m 5спрямо амплитудата на първия хармоник U m 1, след това за С=2, U m 5/U m 1=0,2 и за С=10, U m 5 / U m 1 = 0,9, т.е. степента на затихване на висшите хармоници намалява с увеличаване на работния цикъл.

По този начин, с увеличаване на работния цикъл, спектърът на поредица от правоъгълни импулси става по-равномерен.

Литература: [Л.1], с. 40

Като пример даваме разширение в ред на Фурие на периодична последователност от правоъгълни импулси с амплитуда, продължителност и период на повторение, симетрични спрямо нулата, т.е.

, (2.10)

Тук

Разширяването на такъв сигнал в ред на Фурие дава

, (2.11)

къде е работният цикъл.

За да опростите нотацията, можете да въведете нотацията

, (2.12)

Тогава (2.11) ще се запише по следния начин

, (2.13)

На фиг. 2.3 показва последователност от правоъгълни импулси. Спектърът на последователността, както и всеки друг периодичен сигнал, е дискретен (линеен) по природа.

Обвивката на спектъра (фиг. 2.3, b) е пропорционална . Разстоянието по честотната ос между две съседни компоненти на спектъра е , а между две нулеви стойности (ширината на лоба на спектъра) е . Броят на хармоничните компоненти в рамките на един лоб, включително нулевата стойност вдясно на фигурата, е , където знакът означава закръгляване до най-близкото цяло число, по-малко (ако работният цикъл е дробно число), или (ако работният цикъл е цяло число). С увеличаването на периода основната честота намалява, спектралните компоненти в диаграмата се сближават, амплитудите на хармониците също намаляват. В този случай формата на плика се запазва.

При решаване на практически проблеми на спектралния анализ се използват циклични честоти вместо ъглови честоти , измерено в Херц. Очевидно разстоянието между съседни хармоници на диаграмата ще бъде , а ширината на един лоб на спектъра ще бъде . Тези стойности са представени в скоби в диаграмата.

В практическата радиотехника в повечето случаи вместо спектрално представяне (фиг. 2.3, b) се използват спектрални диаграми на амплитудните и фазовите спектри. Амплитудният спектър на последователност от правоъгълни импулси е показан на фиг. 2.3, c.

Очевидно е, че обвивката на амплитудния спектър е пропорционална .

Що се отнася до фазовия спектър (фиг. 2.3, d), се смята, че началните фази на хармоничните компоненти се променят рязко с количеството -π при смяна на знака на плика sinc kπ/q. Началните фази на хармониците на първия лоб се приемат за нула. Тогава ще бъдат началните фази на хармониците на втория лоб φ = -π , трето венчелистче φ = -2πи т.н.

Нека разгледаме друго представяне на сигнала с ред на Фурие. За целта използваме формулата на Ойлер

.

В съответствие с тази формула, k-тият компонент (2.9) на разширението на сигнала в ред на Фурие може да бъде представен, както следва

; . (2.15)

Тук величините и са комплексни и представляват комплексните амплитуди на компонентите на спектъра. След това сериалът

Фурие (2.8), като се вземе предвид (2.14), ще приеме следната форма

, (2.16)

, (2.17)

Лесно е да се провери, че разширението (2.16) се извършва по отношение на базисните функции , които също са ортогонални на интервала , т.е.

Изразът (2.16) е сложна формаРед на Фурие, който се простира до отрицателни честоти. Количества и , където обозначава комплексно спрегнатата величина, се наричат комплексни амплитудиспектър защото е комплексна величина, от (2.15) следва, че

И .

Тогава съвкупността съставлява амплитудния спектър, а съвкупността съставлява фазовия спектър на сигнала.

На фиг. Фигура 2.4 показва спектрална диаграма на спектъра на последователността от правоъгълни импулси, обсъдени по-горе, представени от сложна серия на Фурие

Спектърът също има линеен характер, но за разлика от разгледаните по-рано спектри, той се определя както в областта на положителните, така и в областта на отрицателните честоти. Тъй като е четна функция на аргумента, спектралната диаграма е симетрична около нулата.

Въз основа на (2.15) можем да установим съответствие между коефициентите и разширението (2.3). защото

И ,

тогава в резултат получаваме

. (2.18)

Изрази (2.5) и (2.18) ви позволяват да намерите стойностите в практически изчисления.

Нека дадем геометрична интерпретация на сложната форма на реда на Фурие. Нека изберем k-тия компонент от спектъра на сигнала. В сложна форма k-тият компонент се описва с формулата

където и се определят от изрази (2.15).

В комплексната равнина всеки от членовете в (2.19) е представен като вектори на дължина , завъртяни под ъгъл и спрямо реалната ос и въртящи се в противоположни посоки с честота (фиг. 2.5).

Очевидно сумата от тези вектори дава вектор, разположен върху реалната ос, чиято дължина е . Но този вектор съответства на хармоничната съставка

Що се отнася до проекциите на вектори върху въображаемата ос, тези проекции имат равни дължини, но противоположни посоки и сумата им е нула. Това означава, че сигналите, представени в сложна форма (2.16), всъщност са реални сигнали. С други думи, сложната форма на реда на Фурие е математическиабстракция, която е много удобна за решаване на редица проблеми на спектралния анализ. Следователно понякога се нарича спектърът, дефиниран от тригонометричния ред на Фурие физически спектър, а сложната форма на реда на Фурие е математически спектър.

И в заключение ще разгледаме въпроса за разпределението на енергията и мощността в спектъра на периодичен сигнал. За да направим това, използваме равенството на Парсевал (1.42). Когато сигналът се разшири в тригонометричен ред на Фурие, изразът (1.42) приема формата

.

DC енергия

,

и енергията на k-тия хармоник

.

Тогава енергията на сигнала

. (2.20)

защото средна мощност на сигнала

,

тогава като се вземе предвид (2.18)

. (2.21)

Когато сигналът се разшири в сложен ред на Фурие, изразът (1.42) приема формата

,

Където
- енергия на k-тия хармоник.

Енергията на сигнала в този случай

,

и средната му мощност

.

От горните изрази следва, че енергията или средната мощност на k-тия спектрален компонент на математическия спектър е наполовина по-малка от енергията или мощността на съответния спектрален компонент на физическия спектър. Това се дължи на факта, че физическият спектър е разпределен по равно между математическия спектър.

-τ и /2

τ и /2

T

T

U 0

S(t)

Задача No1, група RI – 210701

От изхода на източника на съобщение се получават сигнали, които носят информация, както и часовникови сигнали, използвани за синхронизиране на работата на предавателя и приемника на предавателната система. Информационните сигнали имат формата на непериодични, а часовниковите сигнали - периодична последователност от импулси.

За да оценим правилно възможността за предаване на такива импулси по комуникационни канали, ще определим техния спектрален състав. Периодичен сигнал под формата на импулси с произволна форма може да бъде разширен в серия на Фурие съгласно (7).

Сигнали с различни форми се използват за предаване по въздушни и кабелни комуникационни линии. Изборът на една или друга форма зависи от естеството на предаваните съобщения, честотния спектър на сигналите и честотните и времеви параметри на сигналите. Сигнали, близки по форма до правоъгълни импулси, се използват широко в технологията за предаване на дискретни съобщения.

Нека изчислим спектъра, т.е. набор от постоянни амплитуди и

хармонични компоненти на периодични правоъгълни импулси (Фигура 4,а) с продължителност и период. Тъй като сигналът е четна функция на времето, тогава в израз (3) всички четни хармонични компоненти изчезват ( =0), а нечетните компоненти приемат следните стойности:

(10)

Постоянният компонент е равен на

(11)

За сигнал 1:1 (телеграфни точки) Фигура 4a:

,
. (12)

Модули на амплитудите на спектралните компоненти на последователност от правоъгълни импулси с период
са показани на фиг. 4, б. Абсцисната ос показва основната честота на повторение на импулса
() и честоти на нечетни хармонични компоненти
,
и т.н. Обвивката на спектъра се променя според закона.

С увеличаването на периода в сравнение с продължителността на импулса броят на хармоничните компоненти в спектралния състав на периодичния сигнал се увеличава. Например, за сигнал с период (Фигура 4, c), откриваме, че постоянният компонент е равен на

В честотната лента от нула до честота има пет хармонични компонента (Фигура 4, d), докато има само един прилив.

С по-нататъшно увеличаване на периода на повторение на импулса броят на хармоничните компоненти става все по-голям. В краен случай, когато
сигналът става непериодична функция на времето, броят на неговите хармонични компоненти в честотната лента от нула до честота нараства до безкрайност; те ще бъдат разположени на безкрайно близки честотни разстояния, спектърът на непериодичния сигнал става непрекъснат.

Фигура 4

2.4 Спектър на единичен импулс

Посочен е единичен видео импулс (Фигура 5):

Фигура 5

Методът на редовете на Фурие позволява дълбоко и плодотворно обобщение, което прави възможно получаването на спектралните характеристики на непериодичните сигнали. За да направите това, нека мислено допълним единичен импулс със същите импулси, периодично следващи след определен интервал от време, и да получим предварително изследваната периодична последователност:

Нека си представим единичен импулс като сбор от периодични импулси с голям период.

, (14)

къде са цели числа.

За периодично трептене

. (15)

За да се върнем към единичен импулс, нека насочим периода на повторение към безкрайност: . В този случай е очевидно:

, (16)

Нека обозначим

. (17)

Количеството е спектралната характеристика (функция) на единичен импулс (директно преобразуване на Фурие). Зависи само от времевото описание на пулса и като цяло е сложно:

, (18) където
; (19)

; (20)

,

Където
- модул на спектралната функция (амплитудно-честотна характеристика на импулса);

- фазов ъгъл, фазово-честотна характеристика на импулса.

Нека намерим за единичен импулс, използвайки формула (8), използвайки спектралната функция:

.

Ако , получаваме:

. (21)

Полученият израз се нарича обратно преобразуване на Фурие.

Интегралът на Фурие определя импулса като безкрайна сума от безкрайно малки хармонични компоненти, разположени на всички честоти.

На тази основа те говорят за непрекъснат (твърд) спектър, притежаван от един импулс.

Общата импулсна енергия (освободената енергия при активното съпротивление Ohm) е равна на

(22)

Променяйки реда на интегриране, получаваме

.

Вътрешният интеграл е спектралната функция на импулса, взета с аргумента -, т.е. е комплексно спрегнато количество:

Следователно

Модул на квадрат (произведението на две спрегнати комплексни числа е равно на модула на квадрат).

В този случай условно се казва, че импулсният спектър е двустранен, т.е. разположен в честотната лента от до.

Даденото съпротивление (23), което установява връзката между енергията на импулса (при съпротивление 1 Ohm) и модула на неговата спектрална функция, е известно като равенство на Парсевал.

Той гласи, че енергията, съдържаща се в импулса, е равна на сумата от енергиите на всички компоненти на неговия спектър. Равенството на Парсевал характеризира важно свойство на сигналите. Ако някоя селективна система предава само част от спектъра на сигнала, отслабвайки другите си компоненти, това означава, че част от енергията на сигнала се губи.

Тъй като квадратът на модула е четна функция на интегралната променлива, тогава чрез удвояване на стойността на интеграла може да се въведе интегриране в диапазона от 0 до:

. (24)

В този случай те казват, че импулсният спектър се намира в честотната лента от 0 до и се нарича едностранен.

Интегралната функция в (23) се нарича енергиен спектър (спектрална енергийна плътност) на импулса

Той характеризира разпределението на енергията по честота, като стойността му при честота е равна на импулсната енергия за честотна лента, равна на 1 Hz. Следователно енергията на импулса е резултат от интегрирането на енергийния спектър на сигнала в целия честотен диапазон.С други думи, енергията е равна на площта, затворена между кривата, изобразяваща енергийния спектър на сигнала, и абсцисната ос.

За да оцените разпределението на енергията в спектъра, използвайте относителната интегрална функция на разпределение на енергията (енергийна характеристика)

, (25)

Където
- импулсна енергия в дадена честотна лента от 0 до, която характеризира частта от импулсната енергия, концентрирана в честотния диапазон от 0 до.

За единични импулси с различни форми са валидни следните закони: