Элементарные функции и их график. Линейная функция

Класс: 8

Презентация к уроку

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока: урок открытия нового знания.

Основные цели:

• сформировать представление о функции у = кх 2 , ее свойствах и графике;
• повторить и закрепить: сведения о функции у = х 2 , свойствах функции, известные по курсу 7 класса.

Демонстрационный материал:

1) алгоритм построения графика функции:

2) Правило определения расположения графика в зависимости от коэффициента к:

3) самостоятельная работа: На рис. изображены графики функций у = кх 2 .

Для каждого графика укажите соответствующее ему значение коэффициента к.

4) образец для самопроверки самостоятельной работы.

Раздаточный материал:

1) карточка:

1, 2 группа:

Постройте графики функций у = 2х 2 , у = 4х

3, 4 группа:

Постройте графики функций у = – 2х 2 , у = – 4х 2 и определите, в каких координатных четвертях расположены графики данных функций. Сделайте вывод относительно коэффициента к.

2) карточка для рефлексии:

ХОД УРОКА

1. Мотивация к учебной деятельности

Цели:

• организовать актуализацию требований к ученику со стороны учебной деятельности;
• организовать деятельность учащихся по установке тематических рамок: продолжаем работать с функциями;
• создать условия для возникновения у ученика внутренней потребности включения в учебную деятельность.

Организация учебного процесса на этапе 1:

– Здравствуйте! Что интересного вы узнали на предыдущих уроках? (Мы изучали функцию у = | х |, график этой функции и ее свойства.)
– Сегодня вы продолжите знакомиться с новыми функциями.
– С каким настроением вы будете работать сегодня? (С хорошим настроением).
– Успехов Вам!

2. Актуализация знаний и фиксация затруднения в индивидуальной деятельности

Цели:

• актуализировать учебное содержание, необходимое и достаточное для восприятия нового материала.
• зафиксировать актуализированные способы действий в речи и в знаках;
• организовать обобщение актуализированных способов действий;
• мотивировать к выполнению индивидуального задания;
• организовать самостоятельное выполнение индивидуального задания на новое знание;
• организовать фиксацию индивидуальных затруднений в выполнении учащимися индивидуального задания или в его обосновании.

Организация учебного процесса на этапе 2:

Проанализируйте несколько слайдов 2-5 и ответьте на вопрос:

– С каким графиком вы будете работать сегодня? (С параболой).

– Выберите, графиком какой функции является парабола у = х + 2, у = 2/х , у = х 2 ? (у = х 2 . Эту функцию мы изучали в 7-м классе).

– Назовите числовой коэффициент функции у = х 2 . (Он равен 1)

– В каких координатных четвертях лежит график функции у = х 2 , какова область определения и область значений этой функции, промежутки возрастания и убывания? (График функции у = х 2 лежит в 1 и 2 координатных четвертях или в верхней полуплоскости, область определения – вся числовая прямая, область значений – функция у = х 2 принимает неотрицательные значения; возрастает при х > 0, убывает при х< 0.)

– Обсудим, что происходит при других значениях коэффициента.

– Сформулируйте тему урока. (Функция у = кх 2 , ее свойства и график).

1) На доске приготовлена таблица. Найдите соответствующие значения функций:

у = 2х 2
у = 4х 2
у = – 2х 2
у = – 4х 2

– Заполните таблицу. К доске вызываются последовательно 4 ученика.

2) График функции у = кх 2 проходит через точку А(2;8). Определите значение коэффициента. Запишите функцию. (к = 2, у = 2х 2 ).

3) По какому плану вы обычно строите графики функций? Слайд 7.

(Необходимо –
1. Заполнить таблицу значений
2. Построить точки на координатной плоскости
3. Соединить построенные точки плавной линией
4. Подписать название функции.)

– Что вы повторили?

– А теперь, используя всё, что вы только что повторили и узнали, предлагаю вам выполнить следующее задание:
Постройте графики функций у = 2х 2 , у = – 4х 2 и определите, в каких координатных четвертях расположены графики данных функций. Сделайте вывод как расположен график в зависимости от коэффициента к.

Учащиеся работают на миллиметровой бумаге.

– У кого нет результата?
– Что вы не смогли сделать? (Я не смог__________________)
– Покажите результаты, кто выполнил построение.
– Как вы можете доказать, что правильно выполнили задание? (Я должен___________)
– Что вы будете использовать для доказательства? (____________.)
– Что вы не смогли сделать?
– Каким правилом вы пользовались при построении?
– Что вы не можете сделать?

3. Выявление причин затруднения

Цели:

• организовать соотнесение своих действий с используемыми эталонами (алгоритмом, понятием и т.д.);
• на этой основе организовать выявление и фиксацию во внешней речи причины затруднения – тех конкретных знаний и умений, которых недостает для решения исходной задачи.

Организация учебного процесса на этапе 3:

– Какое задание вы должны были выполнить?
– Что вы использовали при выполнении задания?
– В каком месте возникло затруднение?
– В чём причина затруднения? (У нас нет способа определения как расположен график функции у = кх2 в зависимости от коэффициент к.)

4. Проблемное объяснение нового знания

Цели:

• организовать постановку цели урока;
• организовать уточнение и согласование темы урока;
• организовать подводящий или побуждающий диалог по проблемному введению нового знания;
• организовать использование предметных действий с моделями, схемами, свойствами и пр.;
• организовать фиксацию нового способа действия в речи;
• организовать фиксацию нового способа действия в знаках;
• соотнесение нового знания с правилом в учебнике, справочнике, словаре и т.д.
• организовать фиксацию преодоления затруднения.

Организация учебного процесса на этапе 4:

– Сформулируйте цель своей деятельности. (Найти способ определения как расположен график функции у = кх 2 в зависимости от коэффициента к.)

– Уточните тему урока. (Функция у = кх 2 ,ее свойства и график). Слайд 6.

– А сейчас вы будете работать в группах: Слайд 8.

1, 2 группа:

Постройте графики функций у = 2х 2 , у = 4х 2 и определите, в каких координатных четвертях расположены графики данных функций. Сделайте вывод относительно коэффициента к.

3, 4 группа:

Постройте графики функций у = – 2х 2 , у = – 4х 2 и определите, в каких координатных четвертях расположены графики данных функций. Сделайте вывод относительно коэффициента к.

Каждой группе даётся карточка. (При возникновении затруднений учащиеся могут воспользоваться учебником или справочником.)

– Представьте свой вариант алгоритма.

Каждая из групп представляет свой вариант, остальные дополняют, уточняют. После согласования на доску вывешивается правило:

Учитель добавляет:

– Каждую из построенных вами линий называют параболой. При этом точку (0;0) называют вершиной параболы, а ось у – осью симметрии параболы.
От величины коэффициента к зависит «скорость устремления» ветвей параболы вверх (вниз), «степень крутизны» параболы.
– Что вы сейчас открыли?
– Что теперь вы должны сделать?

5. Первичное закрепление во внешней речи

Цель: организовать усвоение детьми нового способа действий с их проговариванием во внешней речи.

Организация учебного процесса на этапе 5:

– В каких координатных четвертях расположены графики функций у = 1/5х 2 , у = х 2 /2, у = – х 2 /2, у = 3х 2 ?

Задание выполняется в парах, одна пара работает у доски.

6. Самостоятельная работа с самопроверкой по образцу

Цели:

• организовать самостоятельное выполнение учащимися типовых заданий на новый способ действия;
• по результатам выполнения самостоятельной работы организовать выявление и исправление допущенных ошибок;
• по результатам выполнения самостоятельной работы создать ситуацию успеха.

Организация учебного процесса на этапе 6:

Для самостоятельной работы предлагается задание на карточке. Слайд 9.

На рис. изображены графики функций у = кх 2 .

Для каждого графика укажите соответствующее ему значение коэффициента к.

После выполнения работы учащиеся проверяют её по образцу: Слайд 10.

– Какие правила вы использовали при выполнении задания?
– У кого возникло затруднение – как определить знак коэффициента к?
– У кого возникло затруднение при определении значения коэффициента к?
– Кто задание выполнил правильно?

7. Включение в систему знаний и повторение

Цели:

• тренировать навыки использования нового содержания совместно с ранее изученным материалом;
• повторить учебное содержание, которое потребуется на следующих уроках:

Организация учебного процесса на этапе 7:

Задание из ГИА-9 выполняется у доски. Слайды 11-16.

– Определите термин, который повторялся много раз сегодня на уроке.(график)

1. Графиком какой из данных функций является парабола, расположенная в нижней полуплоскости?

3. Найти область значений функции у = – 5х2

а) у = –15х 2 б) у = – 9х 2 в) у = – х 2 г) у = – 5х 2

ц э ф ж

5. Укажите промежутки возрастания функции у = – 5х 2

а) при х > 0 б) при х < 0 в) при х < 0 г) при х > 0

ч о и т

6. Укажите наименьшее значение функции у = – 5х 2

а) 0 б) не существует в) – 5 г) 5

ы к д в.

Задачи по физике: Слайд 17.

Путь, пройденный телом за первые t секунд свободного падения, вычисляется по формуле: H = gt 2 /2, где g = 9,8 м/c 2 . Найдите по графику зависимости H от t :

А) расстояние, которое пролетит падающий камень за первые 6 секунд;
Б) время, за которое камень пролетит первые 250 м?

8. Рефлексия деятельности на уроке

Цели:

• организовать фиксацию нового содержания, изученного на уроке;
• организовать фиксацию степени соответствия поставленной цели и результатов деятельности;
• организовать вербальную фиксацию шагов по достижению цели;
• по результатам анализа работы на уроке организовать фиксацию направлений будущей деятельности;
• организовать проведение самооценки учениками работы на уроке;
• организовать обсуждение и запись домашнего задания.

Организация учебного процесса на этапе 8:

– Чему вы сегодня учились?
– Что нового вы узнали на уроке?
– Какие цели ставили перед собой?
– Вы достигли поставленных целей?
– Что вам помогало справиться с затруднениями?
– Проанализируйте свою работу на уроке.

Учащиеся работают с карточками рефлексии (Р).

Домашнее задание: Слайд 18.

• п. П.17 учебника читать
• №17.2,
• №17.3,
• №17.11.

Список литературы:

1. А.Г.Мордкович . Алгебра,8 класс.В двух частях. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. М.:Мнемозина.2011.
2. Интернет-ресурсы.

Урок алгебры в 7 классе по учебнику Мордковича Александра Григорьевича.

Линейная функция y=kx и ее график.

Цели:

Обобщить и углубить знания по теме «Линейная функция y = kx +m и ее график» Рассмотреть свойства графиков линейных функций y = kx с различными коэффициентами k .

Способствовать развитию наблюдательности, умению анализировать, сравнивать, обобщать.

Вызывать у обучающихся потребность в обосновании своих высказываний, воспитывать самоконтроль и взаимоконтроль.

Ход урока:

Организационный момент.

Вступительное слово учителя.

Вы уже изучили линейную функцию y =kx +m и научились строить графики этой функции, а сейчас, рассмотрите, пожалуйста, графики следующих функций и ответьте на вопросы:

СЛАЙД 2

На координатной плоскости построены графики линейных функций:

y =x ,

y =0,5x ;

y =-x ;

y =-4x

Будут ли эти функции линейными? Почему? Что общего в этих четырех рассмотренных функциях? Чем они отличаются от ранее изученных линейных функций?

СЛАЙД 3

Графики данных линейных функций.

СЛАЙД 4 (вопросы к слайду 3)

Ответы:

Графики данных линейных функций находятся либо в 1 и 3 четвертях, либо во 2 и 4 четвертях.

Какая связь между коэффициентом k и расположением графика на координатной плоскости?

СЛАЙД 5(ответы на вопросы к слайду 4)

Все графики данных линейных функций проходят через начало координат О(0;0)

СЛАЙД 6

Если коэффициент k <0, то линейная функция убывает и расположена во 2 и 4 четвертях.

СЛАЙД 7

Если коэффициент k >0, то линейная функция возрастает и расположена в первой и третьей четвертях.

СЛАЙД 8

А сейчас выполните следующие задачи в учебнике № 348(а, б), 355:

Задача № 348(а; б).
Постройте график линейной функции:
а) y =2x ,
б) y =-3x .
На одной координатной плоскости.
Что вы можете сказать про графики данных линейных функций?

(Они проходят через начало координат, линейная функция y=2x – возрастающая и расположена в 1 и 3 четвертях, а линейная функция y=-3x –убывающая и расположена во 2 и 4 четвертях).

СЛАЙД 9

Решение (нахождение координат точек данных линейных функций). Какое количество координат точек необходимо для построения графика заданных линейных функций? Почему? (Одну, потому что графики данных линейных проходят через начало координат, то есть точку с координатой (0;0), а она нам уже известна.)

СЛАЙД10

Если вы правильно выполнили задание, то у вас должен получиться такой график.

СЛАЙД11

График линейной функции y = -3x строим аналогичным образом

Что вы можете сказать про данную функцию? В каких четвертях будет находиться график данной линейной функции?

Если берем значение абсциссы положительное, то ордината получается отрицательная, и, наоборот, если, значение абсциссы отрицательная, то ордината получается положительная.

СЛАЙД12

Если вы правильно выполнили задание, то у вас должен получиться такой график данной линейной функции y=-3x.

СЛАЙД13

(Формулирование задачи № 355)

СЛАЙД14

(Вопросы, активирующие решение поставленной задачи).

СЛАЙД15

Нахождение координат точек для построения графика данной линейной функции y=0,4x .

СЛАЙД16

По графику данной линейной функции находим значение ординаты, соответствующее значению абсциссы, равному 0; 5; 10; -5.

Если x =0,то y =0

Если x =5, то y =2

Если x =10, то y =4

Если x =-5,то y =-2

СЛАЙД17

По графику данной линейной функции находим значение x , соответствующее значению y , равному 0; 2; 4; -2.

Если y =0, то x =0

Если y =2, то x =5

Если y =4,то x =10

Если y =-2, то x =-5

СЛАЙД18

Решение неравенства: 0,4x >0 . Что нам необходимо знать, чтобы решить это неравенство? Найти при каких значениях абсциссы (x) график данной линейной функции будет находиться выше оси ox.

СЛАЙД19

Теперь, с помощью графика данной линейной функции решим неравенство: -2≤y ≤0 .

Давайте подумаем, как решить данное неравенство?

1.Отметим на оси oy точки y =-2 и y =0.

2. Получим отрезок прямой, который лежит в пределах значений -2≤y ≤0:

Из ординаты равной -2 и ординаты равной 0 опустим перпендикуляр к графику данной линейной функции.

3. Из концов отрезка графика прямой, опустим перпендикуляры на ось ox.

4. Получили значения абсциссы, в пределах которых лежит график данной прямой: -5≤x ≤0. Этот промежуток и будет являться решением данного задания.

СЛАЙД 20

Домашнее задание – самостоятельное выполнение № 356.

«Критические точки функции» - Критические точки. Среди критических точек есть точки экстремума. Необходимое условие экстремума. Ответ: 2. Определение. Но, если f" (х0) = 0, то необязательно, что точка х0 будет точкой экстремума. Точки экстремума (повторение). Критические точки функции Точки экстремумов.

«Координатная плоскость 6 класс» - Математика 6 класс. 1. Х. 1.Найдите и запишите координаты точек A,B, C,D: -6. Координатная плоскость. О. -3. 7. У.

«Функции и их графики» - Непрерывность. Наибольшее и наименьшее значение функции. Понятие обратной функции. Линейная. Логарифмическая. Монотонность. Если k > 0, то образованный угол острый, если k < 0, то угол тупой. В самой точке x = a функция может существовать, а может и не существовать. Х1, х2, х3 – нули функции у = f(x).

«Функции 9 класс» - Допустимые арифметические действия над функциями. [+] – сложение, [-] – вычитание, [*] – умножение, [:] – деление. В таких случаях говорят о графическом задании функции. Образование класса элементарных функций. Степенная функция у=х0,5. Иовлева Максима Николаевича, учащегося 9 класса РМОУ Радужская ООШ.

«Урок Уравнение касательной» - 1. Уточнить понятие касательной к графику функции. Лейбниц рассматривал задачу о проведении касательной к произвольной кривой. АЛГОРИТМ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСАТЕЛЬНОЙ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ у=f(x). Тема урока: Тест: найти производную функции. Уравнение касательной. Флюксия. 10 класс. Расшифруйте, как исаак ньютон назвал производную функцию.

«Построить график функции» - Дана функция y=3cosx. График функции y=m*sin x. Постройте график функции. Содержание: Дана функция: y=sin (x+?/2). Растяжение графика y=cosx по оси y. Чтобы продолжить нажмите на л. Кнопку мыши. Дана функция y=cosx+1. Смещения графика y=sinx по вертикали. Дана функция y=3sinx. Смещение графика y=cosx по горизонтали.

Всего в теме 25 презентаций

Линейная функция – это функция вида

x-аргумент (независимая переменная),

y- функция (зависимая переменная),

k и b- некоторые постоянные числа

Графиком линейной функции является прямая .

Для построения графика достаточно двух точек, т.к. через две точки можно провести прямую и притом только одну.

Если k˃0, то график расположен в 1-й и 3-й координатных четвертях. Если k˂0, то график расположен в 2-й и 4-й координатных четвертях.

Число k называют угловым коэффициентом прямой графика функции y(x)=kx+b. Если k˃0, то угол наклона прямой y(x)= kx+b к положительному направлению Ох - острый; если k˂0, то этот угол- тупой.

Коэффициент b показывает точку пересечения графика с осью ОУ (0; b).

y(x)=k∙x-- частный случай типичной функции носит название прямая пропорциональность. Графиком является прямая, проходящая через начало координат, поэтому для построения этого графика достаточно одной точки.

График линейной функции

Где коэффициент k = 3, следовательно

График функции будет возрастать и иметь острый угол с осью Ох т.к. коэффициент k имеет знак плюс.

ООФ линейной функции

ОЗФ линейной функции

Кроме случая, где

Так же линейная функция вида

Является функцией общего вида.

Б) Если k=0; b≠0,

В этом случае графиком является прямая параллельная оси Ох и проходящая через точку (0;b).

В) Если k≠0; b≠0, то линейная функция имеет вид y(x)=k∙x+b.

Пример 1 . Построить график функции y(x)= -2x+5

Пример 2 . Найдём нули функции у=3х+1, у=0;

– нули функции.

Ответ: или (;0)

Пример 3 . Определить значение функции y=-x+3 для x=1 и x=-1

y(-1)=-(-1)+3=1+3=4

Ответ: y_1=2; y_2=4.

Пример 4 . Определить координаты их точки пересечения или доказать, что графики не пересекаются. Пусть даны функции y 1 =10∙x-8 и y 2 =-3∙x+5.

Если графики функций пересекаются, то значение функций в этой точке равны

Подставим х=1, то y 1 (1)=10∙1-8=2.

Замечание. Подставить полученное значение аргумента можно и в функцию y 2 =-3∙x+5, тогда получим тот же самый ответ y 2 (1)=-3∙1+5=2.

y=2- ордината точки пересечения.

(1;2)- точка пересечения графиков функций у=10х-8 и у=-3х+5.

Ответ: (1;2)

Пример 5 .

Построить графики функций y 1 (x)= x+3 и y 2 (x)= x-1.

Можно заметить, что коэффициент k=1 для обеих функций.

Из выше сказанного следует, что если коэффициенты линейной функции равны, то их графики в системе координат расположены параллельно.

Пример 6 .

Построим два графика функции.

Первый график имеет формулу

Второй график имеет формулу

В данном случае перед нами график двух прямых, пересекающихся в точке (0;4). Это значит, что коэффициент b, отвечающий за высоту подъёма графика над осью Ох, если х=0. Значит мы может полагать, что коэффициент bу обоих графиков равен 4.

Редакторы: Агеева Любовь Александровна, Гаврилина Анна Викторовна