Tenglama M(x, y) dx+ N(x, y) dy=0 agar shunday sonni tanlash mumkin bo'lsa, umumlashtirilgan bir jinsli deb ataladi k, bu tenglamaning chap tomoni ma'lum darajada bir jinsli funktsiyaga aylanadi m nisbatan x, y, dx Va dy sharti bilan x birinchi o'lchov qiymati hisoblanadi, y – k‑ th o'lchovlari , dx Va dy – mos ravishda nol va (k-1) th o'lchovlari. Masalan, bu tenglama bo'ladi. (6.1)
O'lchovlar bilan bog'liq taxminlar ostida amal qiladi
x,
y,
dx
Va dy
chap tomonning a'zolari 
Va dy
mos ravishda -2, 2 o'lchamlarga ega bo'ladi k Va
k-1. Ularni tenglashtirib, biz kerakli sonni qondirishi kerak bo'lgan shartni olamiz k:
-2 = 2k
=
k-1. Bu shart qanoatlansa k
= -1 (bu bilan k Ko'rib chiqilayotgan tenglamaning chap tomonidagi barcha hadlar -2 ga teng o'lchamga ega bo'ladi). Demak, (6.1) tenglama umumlashtirilgan bir hildir.
Umumlashtirilgan bir hil tenglama almashtirish yordamida ajratiladigan o'zgaruvchilarga ega tenglamaga keltiriladi. 
, Qayerda z- yangi noma'lum funksiya. (6.1) tenglamani ko'rsatilgan usul yordamida integrallaymiz. Chunki k
= -1, keyin 
, shundan so'ng biz tenglamani olamiz.
Uni birlashtirib, biz topamiz 
, qayerda 
. Bu (6.1) tenglamaning umumiy yechimidir.
§ 7. 1-tartibli chiziqli differensial tenglamalar.
1-tartibli chiziqli tenglama - bu kerakli funktsiyaga va uning hosilasiga nisbatan chiziqli bo'lgan tenglama. Bu shunday ko'rinadi:
,
(7.1)
Qayerda P(x)
Va
Q(x)
– ning uzluksiz funksiyalari berilgan x.
Agar funktsiya
,
u holda (7.1) tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: 
(7.2)
va chiziqli bir jinsli tenglama deyiladi, aks holda 
chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglama deyiladi.
Chiziqli bir hil differentsial tenglama (7.2) ajratiladigan o'zgaruvchilarga ega tenglamadir:
(7.3)
(7.3) ifoda (7.2) tenglamaning umumiy yechimidir. Funktsiya bo'lgan (7.1) tenglamaning umumiy yechimini topish P(x) (7.2) tenglamadagi kabi funktsiyani bildiradi, biz ixtiyoriy doimiyni o'zgartirish usuli deb ataladigan texnikani qo'llaymiz va quyidagilardan iborat: biz funktsiyani tanlashga harakat qilamiz. C=C(x) shunday qilib, (7.2) chiziqli bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi bir jinsli chiziqli tenglamaning (7.1) yechimi bo'ladi. Keyin (7.3) funktsiyaning hosilasi uchun quyidagilarni olamiz:
.
Topilgan hosilani (7.1) tenglamaga almashtirsak, biz quyidagilarga ega bo'lamiz:
yoki 
.
Qayerda 
, Qayerda 
- ixtiyoriy doimiy. Natijada (7.1) bir jinsli chiziqli tenglamaning umumiy yechimi (7.4) bo'ladi. 
Bu formulaning birinchi hadi chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning (7.2) umumiy yechimini (7.3) ifodalaydi va (7.4) formulaning ikkinchi hadi umumiy (7.1) dan olingan chiziqli bir hil boʻlmagan tenglamaning (7.1) xususiy yechimini ifodalaydi. 7.4) bilan 
. Biz ushbu muhim xulosani teorema shaklida ta'kidlaymiz.
Teorema. Agar chiziqli bir jinsli bo'lmagan differensial tenglamaning alohida yechimi ma'lum bo'lsa 
, keyin boshqa barcha yechimlar shaklga ega 
, Qayerda 
- mos chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechimi.
Ammo shuni ta'kidlash kerakki, 1-tartibli (7.1) chiziqli bir jinsli differensial tenglamani echish uchun boshqa usul ko'proq qo'llaniladi, ba'zan Bernulli usuli deb ataladi. (7.1) tenglamaning yechimini shaklda izlaymiz 
. Keyin 
. Topilgan hosilani dastlabki tenglamaga almashtiramiz: 
.
Masalan, oxirgi ifodaning ikkinchi va uchinchi hadlarini birlashtirib, funksiyani chiqaramiz u(x)
qavs orqasida: 
(7.5)
Qavsni bekor qilishni talab qilamiz: 
.
Keling, bu tenglamani ixtiyoriy konstanta o'rnatish orqali hal qilaylik C
nolga teng: 
. Topilgan funksiya bilan v(x)
(7.5) tenglamaga qaytaylik: 
.
Uni hal qilib, biz quyidagilarni olamiz: 
.
Demak, (7.1) tenglamaning umumiy yechimi shaklga ega.
Umumlashtirilgan funksiyalardagi differensial tenglamalar
Tenglama bo'lsin. Agar oddiy funktsiya bo'lsa, uning yechimi antiderivativdir, ya'ni. Endi umumlashtirilgan funksiya bo'lsin.
Ta'rif. Umumlashtirilgan funktsiya ibtidoiy umumlashtirilgan funksiya deyiladi, agar. Agar yakka umumlashtirilgan funksiya bo'lsa, uning antiderivativi muntazam umumlashtirilgan funktsiya bo'lishi mumkin bo'lgan holatlar mavjud. Masalan, antiderivativ hisoblanadi; qarama-qarshi hosila funksiya bo‘lib, tenglamaning yechimini quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin: , bu yerda.
Doimiy koeffitsientli th tartibli chiziqli tenglama mavjud
bu yerda umumlashtirilgan funksiya. th tartibli differensial ko‘phad bo‘lsin.
Ta'rif. (8) differensial tenglamaning umumlashtirilgan yechimi umumlashtirilgan funksiya bo'lib, u uchun quyidagi bog'liqlik mavjud:
Agar uzluksiz funksiya bo‘lsa, (8) tenglamaning yagona yechimi klassik yechim bo‘ladi.
Ta'rif. (8) tenglamaning asosiy yechimi shunday har qanday umumlashtirilgan funksiyadir.
Grin funktsiyasi chegara, boshlang'ich yoki asimptotik shartni qondiradigan asosiy yechimdir.
Teorema. (8) tenglamaning yechimi mavjud va quyidagi shaklga ega:
konvolyutsiya aniqlanmagan bo'lsa.
Isbot. Haqiqatan ham, . Konvolyutsiya xususiyatiga ko'ra u quyidagicha bo'ladi: .
Bu tenglamaning asosiy yechimi, chunki ekanligini ko'rish oson
Umumlashtirilgan hosilalarning xossalari
Differentsiallash jarayoni chiziqli va uzluksizdir:
ichida, agarda;
Har bir umumlashtirilgan funksiya cheksiz differensiallanadi. Haqiqatan ham, agar, keyin; o'z navbatida va boshqalar;
Differensiatsiyaning natijasi farqlanish tartibiga bog'liq emas. Masalan, ;
Agar va bo'lsa, mahsulotning farqlash uchun Leybnits formulasi to'g'ri keladi. Masalan, ;
Agar u umumlashtirilgan funksiya bo'lsa, u holda;
Agar mahalliy integrallashuvchi funksiyalardan tashkil topgan qator har bir ixcham to‘plamda bir xilda yaqinlashsa, u holda uni bir necha marta (umumlashtirilgan funksiya sifatida) muddat bo‘yicha differensiallash mumkin va natijada olingan qator yaqinlashadi.
Misol. Mayli
Funktsiya Heaviside funktsiyasi yoki birlik funktsiyasi deb ataladi. U mahalliy integraldir va shuning uchun umumlashtirilgan funksiya sifatida qaralishi mumkin. Siz uning hosilasini topishingiz mumkin. Ta'rifga ko'ra, ya'ni. .
Murakkab koeffitsientli kvadratik shakllarga mos keladigan umumlashtirilgan funktsiyalar
Hozirgacha faqat haqiqiy koeffitsientli kvadratik shakllar ko'rib chiqildi. Ushbu bo'limda biz kompleks koeffitsientli barcha kvadrat shakllarning fazosini o'rganamiz.
Vazifa - umumlashtirilgan funktsiyani aniqlash, bu erda kompleks son. Biroq, umumiy holatda ning yagona analitik funktsiyasi bo'lmaydi. Shuning uchun barcha kvadrat shakllar fazosida ijobiy aniq tasavvur qismiga ega kvadratik shakllarning "yuqori yarim tekisligi" ajratiladi va ular uchun funktsiya aniqlanadi. Ya'ni, agar kvadrat shakl ushbu "yarim tekislik" ga tegishli bo'lsa, unda qaerda deb taxmin qilinadi. Bunday funktsiya ning yagona analitik funktsiyasidir.
Endi funksiyani umumlashtirilgan funksiya bilan bog‘lashimiz mumkin:
bu erda integratsiya butun makonda amalga oshiriladi. Integral (13) ga yaqinlashadi va bu yarim tekislikda analitik funksiya hisoblanadi. Ushbu funktsiyani analitik tarzda davom ettirib, boshqa qiymatlar uchun funktsionallik aniqlanadi.
Ijobiy aniq xayoliy qismli kvadrat shakllar uchun funksiyalarning birlik nuqtalari topiladi va bu funksiyalarning birlik nuqtalardagi qoldiqlari hisoblanadi.
Umumlashtirilgan funktsiya analitik jihatdan kvadratik shaklning koeffitsientlariga emas, balki ularga ham bog'liq. Shunday qilib, bu ijobiy aniq shakl mavjud bo'lgan shaklning barcha kvadrat shakllarining yuqori "yarim tekisligida" analitik funktsiyadir. Binobarin, u o'zining "xayoliy yarim o'q"dagi qiymatlari bilan, ya'ni musbat aniq shakl bo'lgan shaklning kvadratik shakllari to'plamida yagona aniqlanadi.
"Arxivni yuklab olish" tugmasini bosish orqali siz o'zingizga kerakli faylni butunlay bepul yuklab olasiz.
Ushbu faylni yuklab olishdan oldin, kompyuteringizda talab qilinmagan yaxshi insholar, testlar, kurs ishlari, dissertatsiyalar, maqolalar va boshqa hujjatlar haqida o'ylab ko'ring. Bu sizning ishingiz, u jamiyat taraqqiyotida ishtirok etishi va odamlarga foyda keltirishi kerak. Ushbu asarlarni toping va ularni bilimlar bazasiga topshiring.
Biz va barcha talabalar, aspirantlar, bilimlar bazasidan o‘qish va ishda foydalanayotgan yosh olimlar sizdan juda minnatdormiz.
Hujjat bilan arxivni yuklab olish uchun quyidagi maydonga besh xonali raqamni kiriting va "Arxivni yuklab olish" tugmasini bosing.
Shunga o'xshash hujjatlar
Differensial tenglamalar uchun Koshi masalalari. Birinchi tartibli differensial tenglama yechimining grafigi. Ajraladigan o'zgaruvchilari va bir hil tenglamaga keltiruvchi tenglamalar. Birinchi tartibli bir jinsli va bir jinsli chiziqli tenglamalar. Bernulli tenglamasi.
ma'ruza, qo'shilgan 08/18/2012
Oddiy differensial tenglamalar nazariyasining asosiy tushunchalari. Umumiy differentsiallarda tenglama belgisi, bosh integralni qurish. Integrallashtiruvchi omilni topishning eng oddiy holatlari. Faqat X ga va faqat Y ga bog'liq bo'lgan ko'paytiruvchining holati.
kurs ishi, 24.12.2014 qo'shilgan
Funktsiyalar va ularning hosilalari o'rtasidagi munosabatlar sifatida differentsial tenglamalarning xususiyatlari. Yechimning mavjudligi va yagonaligi teoremasining isboti. Umumiy differentsiallarda tenglamalarni yechish uchun misollar va algoritm. Misollarda integrallashtiruvchi omil.
kurs ishi, 02/11/2014 qo'shilgan
Riccati differensial tenglamalari. Chiziqli tenglamaning umumiy yechimi. Bernulli differensial tenglamasining barcha mumkin bo‘lgan yechimlarini topish. Ajraladigan o'zgaruvchilar bilan tenglamalarni yechish. Kler differensial tenglamasining umumiy va maxsus yechimlari.
kurs ishi, 26/01/2015 qo'shilgan
Ajraladigan o'zgaruvchilar bilan tenglama. Bir jinsli va chiziqli differensial tenglamalar. Integral egri chiziqlarning geometrik xossalari. Ikki o'zgaruvchili funktsiyaning to'liq differentsiali. Bernulli usullari bilan integralni aniqlash va ixtiyoriy doimiyning o‘zgarishi.
referat, 2015-08-24 qo'shilgan
Eng oddiy differensial tenglamalar va ixtiyoriy tartibli differensial tenglamalar, shu jumladan doimiy analitik koeffitsientli tushunchalar va yechimlar. Chiziqli tenglamalar sistemalari. Ayrim chiziqli sistemalar yechimlarining asimptotik harakati.
dissertatsiya, 06/10/2010 qo'shilgan
Tenglamaning umumiy integrali, funksiyasi noma’lum bo‘lgan bir jinsli chiziqli tenglamani yechishda Lagranj usulini qo‘llash. Differensial tenglamani parametrik shaklda yechish. Eyler sharti, jami differensiallarda birinchi tartibli tenglama.
test, 2011 yil 11/02 qo'shilgan
Ajraladigan o'zgaruvchilarga ega 1-tartibli differentsial tenglamalar.
Ta'rif. Ajraladigan o‘zgaruvchilarga ega bo‘lgan differentsial tenglama (3.1) ko‘rinishdagi tenglama yoki (3.2) ko‘rinishdagi tenglamadir.
(3.1) tenglamadagi o'zgaruvchilarni ajratish uchun, ya'ni. ushbu tenglamani ajratilgan o'zgaruvchan tenglama deb ataladigan holatga keltiring, quyidagilarni bajaring: 
;
Endi tenglamani yechishimiz kerak g(y)= 0. Agar u haqiqiy yechimga ega bo'lsa y=a, Bu y=a(3.1) tenglamaning yechimi ham bo'ladi.
(3.2) tenglama mahsulotga bo'linib, ajratilgan tenglamaga keltiriladi:
, bu (3.2) tenglamaning umumiy integralini olish imkonini beradi: 
. (3.3)
Integral egri chiziqlar (3.3) yechimlar bilan to'ldiriladi 
, agar bunday echimlar mavjud bo'lsa.
1-tartibli bir jinsli differensial tenglamalar.
Ta'rif 1. Birinchi tartibli tenglama, agar uning o'ng tomoni munosabatni qanoatlantirsa, bir jinsli deb ataladi. 
, nol o'lchamdagi ikkita o'zgaruvchining funksiyasining bir xillik sharti deb ataladi.
1-misol. Funktsiya nol o'lchamli bir hil ekanligini ko'rsating.
Yechim. 
,
Q.E.D.
Teorema. Har qanday funktsiya bir jinsli va aksincha, nol o'lchamdagi har qanday bir jinsli funktsiya shaklga tushiriladi.
Isbot. Teoremaning birinchi bayonoti aniq, chunki . Keling, ikkinchi gapni isbotlaylik. Keling, bir hil funktsiyani qo'yaylik 
, bu isbotlanishi kerak bo'lgan narsa edi.
Ta'rif 2. Tenglama (4.1) unda M Va N- bir xil darajadagi bir hil funktsiyalar, ya'ni. bir hil deb ataladigan barcha uchun xususiyatga ega. Shubhasiz, bu tenglama har doim (4.2) ko'rinishga keltirilishi mumkin, garchi bu uni hal qilish uchun zarur bo'lmasa ham. Bir hil tenglama kerakli funktsiyani almashtirish orqali ajratiladigan o'zgaruvchilarga ega tenglamaga keltiriladi. y formula bo'yicha y=zx, Qayerda z(x)- yangi talab qilinadigan funksiya. Ushbu almashtirishni (4.2) tenglamada bajarib, biz quyidagilarni olamiz: yoki yoki.
Integrallashtirib, funksiyaga nisbatan tenglamaning umumiy integralini olamiz z(x) 
, bu takroriy almashtirishdan keyin dastlabki tenglamaning umumiy integralini beradi. Bundan tashqari, agar tenglamaning ildizlari bo'lsa, u holda funksiyalar bir hil berilgan tenglamaning yechimlari bo'ladi. Agar bo'lsa, (4.2) tenglama shaklni oladi
Va u ajratiladigan o'zgaruvchilar bilan tenglamaga aylanadi. Uning yechimlari yarim to'g'ridan-to'g'ri: .
Izoh. Ba'zan yuqoridagi almashtirish o'rniga almashtirishni qo'llash maqsadga muvofiqdir x=zy.
Umumlashtirilgan bir jinsli tenglama.
Tenglama M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 agar shunday sonni tanlash mumkin bo'lsa, umumlashtirilgan bir jinsli deb ataladi k, bu tenglamaning chap tomoni ma'lum darajada bir jinsli funktsiyaga aylanadi m nisbatan x, y, dx Va dy sharti bilan x birinchi o'lchov qiymati hisoblanadi, y – k‑ th o'lchovlari ,dx Va dy - mos ravishda nol va (k-1) th o'lchovlari. Masalan, bu tenglama bo'ladi 
. (6.1) O'lchovlar bilan bog'liq taxminlar ostida amal qiladi x, y, dx Va dy chap tomonning a'zolari va dy mos ravishda -2, 2 o'lchamlarga ega bo'ladi k Va k-1. Ularni tenglashtirib, biz kerakli sonni qondirishi kerak bo'lgan shartni olamiz k: -2 = 2k=k-1. Bu shart qanoatlansa k= -1 (bu bilan k Ko'rib chiqilayotgan tenglamaning chap tomonidagi barcha hadlar -2 ga teng o'lchamga ega bo'ladi). Demak, (6.1) tenglama umumlashtirilgan bir hildir.
def 1 DU turi
chaqirdi birinchi tartibli bir jinsli differensial tenglama(ODU).
1-chi Funktsiya uchun quyidagi shartlar bajarilsin:
1) uzluksiz da
U holda ODE (1) umumiy integralga ega bo'lib, u formula bilan aniqlanadi:
funktsiyaning antiderivativi qayerda Bilan ixtiyoriy doimiydir.
Eslatma 1 Agar ba'zilar uchun shart bajarilsa, u holda ODE (1) ni hal qilish jarayonida shaklning echimlari yo'qolishi mumkin, bunday holatlarga ehtiyotkorlik bilan munosabatda bo'lish va ularning har birini alohida tekshirish kerak.
Shunday qilib, teoremadan Th1 kerak ODE ni hal qilishning umumiy algoritmi (1):
1) almashtirishni amalga oshiring:
2) Shunday qilib, ajratiladigan o'zgaruvchilarga ega bo'lgan differentsial tenglama olinadi, uni integrallash kerak;
3) Eski gvariantlarga qaytish;
4) Yechimdagi ishtiroki uchun qiymatlarni tekshiring original masofadan boshqarish pulti, bunda shart qanoatlantiriladi
5) Javobni yozing.
1-misol DE (4) ni yeching.
Yechim: DE (4) bir jinsli differentsial tenglamadir, chunki u (1) ko'rinishga ega. Keling, (3) o'zgartirish kiritamiz, bu (4) tenglamani shaklga keltiradi:
(5) tenglama DE (4) ning bosh integralidir.
E'tibor bering, o'zgaruvchilarni ajratish va bo'lishda echimlar yo'qolishi mumkin, ammo bu DE (4) ning yechimi emas, uni to'g'ridan-to'g'ri tenglikka (4) almashtirish orqali osongina tekshiriladi, chunki bu qiymat ta'rif sohasiga kiritilmagan. asl DE.
Javob:
Eslatma 2 Ba'zan siz ODElarni o'zgaruvchilarning differentsiallari nuqtai nazaridan yozishingiz mumkin X Va u. Masofadan boshqarish pultining ushbu belgisidan hosila orqali ifodaga o'tish va shundan keyingina almashtirishni amalga oshirish tavsiya etiladi (3).
Differensial tenglamalar bir hil tenglamalarga keltiriladi.
def 2 Funktsiya chaqiriladi k darajali bir jinsli funksiya hududda, buning uchun tenglik qondiriladi:
Bu erda turli xil transformatsiyalardan so'ng (1) shaklga keltirilishi mumkin bo'lgan differensial tenglamalarning eng keng tarqalgan turlari keltirilgan.
1) funksiya qayerda bir hil, nol daraja, ya'ni tenglik o'rinli: DE (6) osongina (1) ko'rinishga keltiriladi, agar qo'ysak, (3) almashtirish yordamida yanada integrallanadi.
2) (7), bu erda funktsiyalar bir xil darajada bir hil k . (7) shakldagi DE ham almashtirish (3) yordamida birlashtirilgan.
2-misol DE (8) ni yeching.
Yechim: DE (8) ning bir jinsli ekanligini ko'rsatamiz. Keling, mumkin bo'lgan narsani ajratamiz, chunki bu DE (8) ning echimi emas.
Keling, (3) o'zgartirish kiritamiz, bu (9) tenglamani shaklga keltiradi:
(10) tenglama DE (8) ning umumiy integralidir.
E'tibor bering, o'zgaruvchilarni ajratish va bo'lishda va qiymatlariga mos keladigan echimlar yo'qolishi mumkin. Keling, ushbu ifodalarni tekshiramiz. Keling, ularni DE (8) ga almashtiramiz:
Javob:
Shunisi qiziqki, ushbu misolni echishda raqamning "belgisi" deb nomlangan funktsiya paydo bo'ladi X(o'qiydi" signum x"), ifoda bilan aniqlanadi:
Eslatma 3 DE (6) yoki (7) ni (1) shaklga qisqartirish shart emas, agar DE bir hil ekanligi aniq bo'lsa, darhol almashtirishni amalga oshirishingiz mumkin.
3) (11) ko'rinishdagi DE agar bo'lsa, ODE sifatida birlashtiriladi va almashtirish dastlab amalga oshiriladi:
(12), bu yerda sistemaning yechimi: (13) va keyin funksiya uchun almashtirish (3) dan foydalaning.Umumiy integralni olgandan so'ng ular o'zgaruvchilarga qaytadilar. X Va da.
Agar bo'lsa, (11) tenglamada faraz qilsak, ajratiladigan o'zgaruvchilarga ega differentsial tenglamani olamiz.
3-misol Koshi masalasini yeching (14).
Yechim: DE (14) ning bir hil DE ga keltirilishi va yuqoridagi sxema bo'yicha integrallashganini ko'rsatamiz:
Chiziqli algebraik tenglamalarning bir jinsli bo'lmagan tizimini (15) Kramer usuli yordamida yechamiz:
Keling, o'zgaruvchilarni o'zgartiramiz va hosil bo'lgan tenglamani integrallaymiz:
(16) – DE ning umumiy integrali (14). O'zgaruvchilarni ajratishda, kvadrat tenglamani yechishdan keyin aniq olinishi mumkin bo'lgan ifodaga bo'linganda echimlar yo'qolishi mumkin. Biroq, ular umumiy integralda (16) hisobga olinadi
Koshi muammosining yechimini topamiz: qiymatlarni va umumiy integralga (16) almashtiring va toping Bilan.
Shunday qilib, qisman integral quyidagi formula bilan topiladi:
Javob:
4) Yangi, hali noma'lum funktsiya uchun ba'zi bir differentsial tenglamalarni bir hilga qisqartirish mumkin, agar biz quyidagi shaklni almashtirishni qo'llasak:
Bu holda raqam m hosil bo'lgan tenglama, agar iloji bo'lsa, ma'lum darajada bir jinsli bo'lishi shartidan tanlanadi. Biroq, agar buni amalga oshirishning iloji bo'lmasa, unda ko'rib chiqilayotgan DEni bu tarzda bir hil holatga keltirish mumkin emas.
4-misol DE ni hal qiling. (18)
Yechim: DE (18) almashtirish (17) yordamida bir hil DE ga keltirilishini va almashtirish (3) yordamida keyingi birlashtirilganligini ko'rsatamiz:
Keling, topamiz Bilan:
Shunday qilib, DE (24) ning ma'lum bir eritmasi shaklga ega
