Matritsaning darajasini toping: usullar va misollar. Matritsaning darajasini aniqlash

26.01.202427.05.2017

Matritsa darajalari tushunchasi bilan ishlash uchun “Algebraik to’ldiruvchilar va minorlar. Minorlar va algebraik to’ldiruvchilarning turlari” mavzusidan ma’lumotlar kerak bo’ladi. Avvalo, bu "minor matritsa" atamasiga tegishli, chunki biz matritsaning darajasini voyaga etmaganlar orqali aniqlaymiz.

Matritsa darajasi uning voyaga etmaganlarining maksimal tartibi bo'lib, ular orasida nolga teng bo'lmagan kamida bittasi mavjud.

Ekvivalent matritsalar- darajalari bir-biriga teng bo'lgan matritsalar.

Keling, batafsilroq tushuntiramiz. Faraz qilaylik, ikkinchi darajali voyaga etmaganlar orasida noldan farq qiladigan kamida bittasi bor. Va tartibi ikkitadan yuqori bo'lgan barcha voyaga etmaganlar nolga teng. Xulosa: matritsaning darajasi 2. Yoki, masalan, o'ninchi tartibdagi voyaga etmaganlar orasida nolga teng bo'lmagan kamida bittasi mavjud. Va tartibi 10 dan yuqori bo'lgan barcha voyaga etmaganlar nolga teng. Xulosa: matritsaning darajasi 10 ga teng.

$A$ matritsasining darajasi quyidagicha belgilanadi: $\rang A$ yoki $r(A)$. $O$ nol matritsasining darajasi nolga teng qabul qilinadi, $\rang O=0$. Sizga shuni eslatib o'tamanki, minor matritsasini yaratish uchun siz satrlar va ustunlarni kesib tashlashingiz kerak, ammo matritsaning o'zida mavjud bo'lgandan ko'proq satr va ustunlarni kesib o'tish mumkin emas. Masalan, agar $F$ matritsasi $5\kart 4$ o'lchamiga ega bo'lsa (ya'ni 5 qator va 4 ustundan iborat bo'lsa), unda uning kichiklarining maksimal tartibi to'rtta bo'ladi. Endi beshinchi tartibdagi voyaga etmaganlarni shakllantirish mumkin bo'lmaydi, chunki ular uchun 5 ta ustun kerak bo'ladi (va bizda atigi 4 tasi bor). Bu shuni anglatadiki, $F$ matritsasining darajasi to'rtdan ortiq bo'lishi mumkin emas, ya'ni. $\rang F≤4$.

Umumiyroq shaklda, yuqorida aytilganlar shuni anglatadiki, agar matritsada $m$ satrlari va $n$ ustunlari boʻlsa, uning darajasi $m$ va $n$ ning eng kichigidan oshmasligi kerak, yaʼni. $\rang A≤\min(m,n)$.

Asosan, darajaning ta'rifidan boshlab uni topish usuli kelib chiqadi. Matritsaning darajasini topish jarayoni, ta'rifiga ko'ra, sxematik tarzda quyidagicha ifodalanishi mumkin:

Keling, ushbu diagrammani batafsilroq tushuntiraman. Keling, eng boshidan fikr yuritishni boshlaylik, ya'ni. ba'zi $A$ matritsasining birinchi tartibli kichiklaridan.

Agar barcha birinchi darajali kichiklar (ya'ni $A$ matritsasining elementlari) nolga teng bo'lsa, $\rang A=0$. Agar birinchi darajali voyaga etmaganlar orasida nolga teng bo'lmagan kamida bittasi bo'lsa, $\rang A≥ 1$ bo'ladi. Keling, ikkinchi darajali voyaga etmaganlarni tekshirishga o'tamiz.
Agar barcha ikkinchi darajali kichiklar nolga teng bo'lsa, $\rang A=1$. Agar ikkinchi darajali voyaga etmaganlar orasida nolga teng bo'lmagan kamida bittasi bo'lsa, $\rang A≥ 2$. Keling, uchinchi darajali voyaga etmaganlarni tekshirishga o'tamiz.
Agar barcha uchinchi darajali kichiklar nolga teng bo'lsa, $\rang A=2$. Agar uchinchi darajali voyaga etmaganlar orasida nolga teng bo'lmagan kamida bittasi bo'lsa, $\rang A≥ 3$. Keling, to'rtinchi darajali voyaga etmaganlarni tekshirishga o'tamiz.
Agar barcha to'rtinchi darajali kichiklar nolga teng bo'lsa, $\rang A=3$. Agar to'rtinchi darajali voyaga etmaganlar orasida nolga teng bo'lmagan kamida bittasi bo'lsa, $\rang A≥ 4$. Biz beshinchi darajali voyaga etmaganlarni tekshirishga o'tamiz va hokazo.

Ushbu protsedura oxirida bizni nima kutmoqda? Ehtimol, k-tartibli voyaga etmaganlar orasida noldan farq qiladigan kamida bittasi bo'lishi va barcha (k+1) tartibli voyaga etmaganlar nolga teng bo'lishi mumkin. Bu shuni anglatadiki, k - voyaga etmaganlarning maksimal tartibi, ular orasida nolga teng bo'lmagan kamida bittasi bor, ya'ni. daraja k ga teng bo'ladi. Vaziyat boshqacha bo'lishi mumkin: k-tartibdagi voyaga etmaganlar orasida nolga teng bo'lmagan kamida bittasi bo'ladi, lekin endi (k+1) tartibli voyaga etmaganlarni shakllantirish mumkin bo'lmaydi. Bunday holda, matritsaning darajasi ham k ga teng. Qisqasi, oxirgi tuzilgan nolga teng bo'lmagan minorning tartibi matritsaning darajasiga teng bo'ladi.

Keling, ta'rifi bo'yicha matritsaning darajasini topish jarayoni aniq tasvirlangan misollarga o'tamiz. Yana bir bor ta'kidlab o'tamanki, ushbu mavzu misollarida biz faqat daraja ta'rifidan foydalangan holda matritsalar darajasini topishni boshlaymiz. Boshqa usullar (kichiklarni chegaralash usuli yordamida matritsaning darajasini hisoblash, elementar transformatsiyalar usuli yordamida matritsaning darajasini hisoblash) keyingi mavzularda muhokama qilinadi.

Aytgancha, №1 va 2-sonli misollarda bo'lgani kabi, unvonni topish tartibini eng kichik tartibdagi voyaga etmaganlar bilan boshlash kerak emas. Siz darhol yuqori darajadagi voyaga etmaganlarga o'tishingiz mumkin (3-misolga qarang).

Misol № 1

$A=\left(\begin(massiv)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 matritsasining darajasini toping. & 0 & 1 \end(massiv) \right)$.

Ushbu matritsaning o'lchami $3\kart 5$, ya'ni. uchta qator va beshta ustunni o'z ichiga oladi. 3 va 5 raqamlardan minimal 3 ta, shuning uchun $A$ matritsasining darajasi 3 dan oshmaydi, ya'ni. $\rang A≤ 3$. Va bu tengsizlik aniq, chunki biz endi to'rtinchi darajali kichiklarni hosil qila olmaymiz - ular 4 qatorni talab qiladi va bizda faqat 3 ta. Keling, to'g'ridan-to'g'ri berilgan matritsaning darajasini topish jarayoniga o'tamiz.

Birinchi tartibli kichiklar orasida (ya'ni $A$ matritsasining elementlari orasida) nolga teng bo'lmaganlar mavjud. Masalan, 5, -3, 2, 7. Umuman olganda, bizni nolga teng bo'lmagan elementlarning umumiy soni qiziqtirmaydi. Kamida bitta nolga teng bo'lmagan element mavjud - va bu etarli. Birinchi darajali voyaga etmaganlar orasida kamida bitta nolga teng bo'lmaganligi sababli, biz $\rang A≥ 1$ degan xulosaga kelamiz va ikkinchi darajali voyaga etmaganlarni tekshirishga o'tamiz.

Keling, ikkinchi darajali voyaga etmaganlarni o'rganishni boshlaylik. Masalan, 1, 2-satr va 1-, 4-ustunlar kesishmasida quyidagi minorning elementlari mavjud: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(massiv) \o'ng| $. Ushbu determinant uchun ikkinchi ustunning barcha elementlari nolga teng, shuning uchun determinantning o'zi nolga teng, ya'ni. $\left|\begin(massiv)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(massiv) \right|=0$ (Determinantlarning xossalari mavzusidagi №3 xususiyatga qarang). Yoki bu aniqlovchini ikkinchi va uchinchi darajali determinantlarni hisoblash bo'limidagi №1 formuladan foydalanib oddiygina hisoblashingiz mumkin:

$$ \left|\begin(massiv)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(massiv) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

Biz sinab ko'rgan birinchi ikkinchi darajali minor nolga teng bo'lib chiqdi. Bu qanday ma'nono bildiradi? Ikkinchi darajali voyaga etmaganlarni qo'shimcha tekshirish zarurati haqida. Yoki ularning barchasi nolga aylanadi (va keyin daraja 1 ga teng bo'ladi) yoki ular orasida noldan farq qiladigan kamida bitta kichik bo'ladi. Elementlari 1, 2-satr va 1 va 5-ustunlar kesishmasida joylashgan ikkinchi darajali minor yozish orqali yaxshiroq tanlov qilishga harakat qilaylik: $\left|\begin( massiv)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(massiv) \right|$. Ushbu ikkinchi darajali minorning qiymatini topamiz:

$$ \left|\begin(massiv)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(massiv) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

Bu minor nolga teng emas. Xulosa: ikkinchi darajali voyaga etmaganlar orasida kamida bitta nolga teng bo'lmagan. Shuning uchun $\rang A≥ 2$. Biz uchinchi darajali voyaga etmaganlarni o'rganishga o'tishimiz kerak.

Uchinchi darajali voyaga etmaganlarni shakllantirish uchun 2-sonli ustunni yoki 4-ustunni tanlasak, unda bunday voyaga etmaganlar nolga teng bo'ladi (chunki ular nol ustunni o'z ichiga oladi). Elementlari No1, No3, No5 ustunlar va No1, No2, No3 qatorlar kesishmasida joylashgan faqat bitta uchinchi darajali minorni tekshirish qoladi. Keling, bu minorni yozamiz va uning qiymatini topamiz:

$$ \left|\begin(massiv)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(massiv) \right|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$

Shunday qilib, barcha uchinchi tartibli voyaga etmaganlar nolga teng. Biz tuzgan oxirgi nolga teng bo'lmagan minor ikkinchi darajali edi. Xulosa: voyaga etmaganlarning maksimal tartibi, ular orasida kamida bitta nolga teng bo'lmagan, 2. Shuning uchun $\rang A=2$.

Javob: $\rang A=2$.

Misol № 2

$A=\left(\begin(massiv) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 matritsasining darajasini toping. \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(massiv) \o'ng)$.

Bizda to'rtinchi tartibli kvadrat matritsa bor. Darhol ta'kidlaymizki, ushbu matritsaning darajasi 4 dan oshmaydi, ya'ni. $\rang A≤ 4$. Keling, matritsaning darajasini topishni boshlaylik.

Birinchi tartibli kichiklar orasida (ya'ni, $A$ matritsasining elementlari orasida) nolga teng bo'lmagan kamida bittasi bor, shuning uchun $\rang A≥ 1$. Keling, ikkinchi darajali voyaga etmaganlarni tekshirishga o'tamiz. Masalan, 2, 3-qator va 1- va 2-ustunlar kesishmasida quyidagi ikkinchi tartibli minorni olamiz: $\left| \begin(massiv) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(massiv) \right|$. Keling, hisoblab chiqamiz:

$$\chap| \begin(massiv) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(massiv) \right|=0-10=-10. $$

Ikkinchi tartibli voyaga etmaganlar orasida nolga teng bo'lmagan kamida bittasi bor, shuning uchun $\rang A≥ 2$.

Keling, uchinchi darajali voyaga etmaganlarga o'tamiz. Masalan, elementlari No1, No3, No4 qatorlar va No1, No2, No4 ustunlar kesishmasida joylashgan minorni topamiz:

$$\chap | \begin(massiv) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(massiv) \right|=105-105=0. $$

Ushbu uchinchi darajali kichik nolga teng bo'lganligi sababli, boshqa uchinchi darajali kichikni tekshirish kerak. Yoki ularning barchasi nolga teng bo'ladi (keyin unvon 2 ga teng bo'ladi) yoki ular orasida nolga teng bo'lmagan kamida bittasi bo'ladi (keyin biz to'rtinchi darajali voyaga etmaganlarni o'rganishni boshlaymiz). Uchinchi tartibli minorni ko'rib chiqaylik, uning elementlari No2, No3, No4 qatorlar va No2, No3, No4 ustunlar kesishmasida joylashgan:

$$\chap| \begin(massiv) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(massiv) \right|=-28. $$

Uchinchi darajali voyaga etmaganlar orasida kamida bitta nolga teng bo'lmagan, shuning uchun $\rang A≥ 3$. Keling, to'rtinchi darajali voyaga etmaganlarni tekshirishga o'tamiz.

Har qanday to'rtinchi tartibli minor $A$ matritsasining to'rtta qatori va to'rtta ustuni kesishmasida joylashgan. Boshqacha qilib aytganda, to'rtinchi tartibli minor $A$ matritsasining determinanti hisoblanadi, chunki bu matritsa 4 qator va 4 ustundan iborat. Ushbu matritsaning determinanti "Aniqlovchining tartibini qisqartirish. Aniqlovchini qatorga (ustun) ajratish" mavzusining 2-misolida hisoblab chiqilgan, shuning uchun faqat tugallangan natijani olaylik:

$$\chap| \begin(massiv) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end (massiv)\o'ng|=86. $$

Demak, to'rtinchi tartibli minor nolga teng emas. Biz endi beshinchi tartibdagi voyaga etmaganlarni shakllantira olmaymiz. Xulosa: voyaga etmaganlarning eng yuqori tartibi, ular orasida kamida bitta nolga teng bo'lgan, 4. Natija: $\rang A=4$.

Javob: $\rang A=4$.

Misol № 3

$A=\left(\begin(massiv) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 matritsasining darajasini toping. \end (massiv) \o'ng)$.

Darhol shuni ta'kidlaymizki, bu matritsa 3 qator va 4 ustundan iborat, shuning uchun $\rang A≤ 3$. Oldingi misollarda biz eng kichik (birinchi) tartibdagi voyaga etmaganlarni hisobga olgan holda darajani topish jarayonini boshladik. Bu erda biz eng yuqori darajadagi voyaga etmaganlarni darhol tekshirishga harakat qilamiz. $A$ matritsasi uchun bular uchinchi darajali kichiklar. Uchinchi tartibli minorni ko'rib chiqaylik, uning elementlari No1, No2, No3 qatorlar va No2, No3, No4 ustunlar kesishmasida joylashgan:

$$\chap| \begin(massiv) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(massiv) \right|=-8-60-20=-88. $$

Shunday qilib, voyaga etmaganlarning eng yuqori tartibi, ular orasida nolga teng bo'lmagan kamida bittasi mavjud 3. Shuning uchun matritsaning darajasi 3 ga teng, ya'ni. $\rang A=3$.

Javob: $\rang A=3$.

Umuman olganda, ta'rif bo'yicha matritsaning darajasini topish, umumiy holatda, ancha mehnat talab qiladigan ishdir. Masalan, $5\kart 4$ o'lchamdagi nisbatan kichik matritsada 60 ta ikkinchi darajali kichiklar mavjud. Va agar ulardan 59 tasi nolga teng bo'lsa ham, 60-chi kichik nolga teng bo'lishi mumkin. Keyin siz uchinchi darajali voyaga etmaganlarni o'rganishingiz kerak bo'ladi, ulardan bu matritsa 40 qismdan iborat. Odatda ular kamroq mashaqqatli usullardan foydalanishga harakat qilishadi, masalan, voyaga etmaganlarni chegaralash usuli yoki ekvivalent transformatsiyalar usuli.

Qatorlar (ustunlar). Bir nechta satrlar (ustunlar) chiziqli mustaqil deyiladi, agar ularning hech biri boshqalari bilan chiziqli ifodalana olmasa. Satrlar sistemasining darajasi har doim ustunlar tizimining darajasiga teng bo'ladi va bu raqam matritsaning darajasi deb ataladi.

Matritsaning darajasi bu matritsaning barcha mumkin bo'lgan nolga teng bo'lmagan kichik darajalari tartibining eng yuqorisidir. Har qanday o'lchamdagi nol matritsaning darajasi nolga teng. Agar barcha ikkinchi darajali voyaga etmaganlar nolga teng bo'lsa, unda daraja bitta va hokazo.

Matritsa darajasi - tasvir o'lchami xira ⁡ (im ⁡ (A)) (\ displaystyle \ xira (\ operator nomi (im) (A))) matritsa mos keladigan chiziqli operator.

Odatda matritsaning darajasi A (\displaystyle A) bilan belgilanadi jiringladi ⁡ A (\displaystyle \operator nomi (jirang) A), r ⁡ A (\displaystyle \operator nomi (r) A), rg ⁡ A (\displaystyle \operator nomi (rg) A) yoki daraja ⁡ A (\displaystyle \operator nomi (darajasi) A). Oxirgi variant ingliz tiliga xos, birinchi ikkitasi esa nemis, frantsuz va boshqa bir qator tillar uchun.

Entsiklopedik YouTube

1 / 5

To'rtburchaklar matritsa bo'lsin.

Keyin, ta'rifga ko'ra, matritsaning darajasi A (\displaystyle A) bu:

Teorema (darajani aniqlashning to'g'riligi haqida). Matritsaning barcha kichiklari bo'lsin A m × n (\displaystyle A_(m\times n)) buyurtma k (\displaystyle k) nolga teng ( M k = 0 (\displaystyle M_(k)=0)). Keyin ∀ M k + 1 = 0 (\displaystyle \forall M_(k+1)=0), agar ular mavjud bo'lsa.

Tegishli ta'riflar

Xususiyatlari

Teorema (minor asosi haqida): Mayli r = jiringladi ⁡ A , M r (\displaystyle r=\operator nomi (jirang) A,M_(r))- matritsaning bazis minori A (\displaystyle A), Keyin:
Oqibatlari:
Teorema (elementar o'zgarishlarda daraja o'zgarmasligi haqida): Bir-biridan elementar o'zgartirishlar orqali olingan matritsalar uchun yozuvni kiritamiz. Keyin quyidagi gap to'g'ri bo'ladi: Agar A∼ B (\displaystyle A\sim B), keyin ularning darajalari teng bo'ladi.
Kroneker-Kapelli teoremasi: Chiziqli algebraik tenglamalar tizimi, agar uning asosiy matritsasining darajasi kengaytirilgan matritsaning darajasiga teng bo'lsa, izchil bo'ladi. Ayniqsa:
- Tizimning asosiy o'zgaruvchilari soni tizim darajasiga teng.
- Agar tizimning darajasi uning barcha o'zgaruvchilari soniga teng bo'lsa, izchil tizim aniqlanadi (uning yechimi noyobdir).
Silvestr tengsizligi: Agar A Va B o'lchamli matritsalar m x n Va n x k, Bu

chalindi ⁡ A B ≥ jiringladi ⁡ A + jiringladi ⁡ B − n (\displaystyle \operatorname (jiringlash) AB\geq \operatorname (jiringlash) A+\operatorname (ring) B-n)

Bu quyidagi tengsizlikning alohida holatidir.

Frobenius tengsizligi: Agar AB, BC, ABC to'g'ri aniqlangan bo'lsa, u holda

chalindi ⁡ A B C ≥ jiringladi ⁡ A B + jiringladi ⁡ B C − chalindi ⁡ B (\displaystyle \operatorname (rang) ABC\geq \operatorname (jiringladi) AB+\operatorname (jiringladi) BC-\operatorname (jiringladi) B)

Chiziqli transformatsiya va matritsa darajasi

Mayli A (\displaystyle A)- o'lcham matritsasi m × n (\displaystyle m\times n) maydon ustida C (\displaystyle C)(yoki R (\displaystyle R)). Mayli T (\displaystyle T)- mos keladigan chiziqli transformatsiya A (\displaystyle A) standart asosda; shuni anglatadiki T (x) = A x (\displaystyle T(x)=Ax). Matritsa darajasi A (\displaystyle A) transformatsiya diapazonining o'lchamidir T (\displaystyle T).

Usullari

Matritsaning darajasini topishning bir necha usullari mavjud:

Elementar transformatsiya usuli

Matritsaning darajasi matritsa satrlarida elementar o'zgarishlardan foydalangan holda uni eşelon shakliga tushirgandan so'ng matritsadagi nolga teng bo'lmagan qatorlar soniga teng.

Kichik chegara usuli

Matritsaga kiritilsin A (\displaystyle A) nolga teng bo'lmagan minor topildi k (\displaystyle k)-chi tartib M (\displaystyle M). Keling, barcha voyaga etmaganlarni ko'rib chiqaylik (k + 1) (\displaystyle (k+1))-chi tartib, shu jumladan (qirrali) minor M (\displaystyle M); agar ularning barchasi nolga teng bo'lsa, matritsaning darajasi teng bo'ladi k (\displaystyle k). Aks holda, chegaradosh voyaga etmaganlar orasida nolga teng bo'lmagan narsa bor va butun protsedura takrorlanadi.

Har qanday matritsa A buyurtma m×n to‘plam sifatida qarash mumkin m string vektorlari yoki n ustun vektorlari.

Daraja matritsalar A buyurtma m×n chiziqli mustaqil ustun vektorlari yoki satr vektorlarining maksimal soni.

Agar matritsa o'rinli bo'lsa A teng r, keyin shunday yoziladi:

Matritsaning darajasini topish

Mayli A ixtiyoriy tartib matritsasi m× n. Matritsaning darajasini topish uchun A Biz unga Gauss yo'q qilish usulini qo'llaymiz.

E'tibor bering, agar yo'q qilishning biron bir bosqichida etakchi element nolga teng bo'lsa, biz ushbu qatorni etakchi element noldan farq qiladigan chiziq bilan almashtiramiz. Agar bunday chiziq yo'qligi aniqlansa, keyingi ustunga o'ting va hokazo.

Oldinga Gaussni yo'q qilish jarayonidan so'ng biz asosiy diagonal ostidagi elementlari nolga teng bo'lgan matritsani olamiz. Bundan tashqari, nol qator vektorlari bo'lishi mumkin.

Nolga teng bo'lmagan qator vektorlari soni matritsaning darajasi bo'ladi A.

Bularning barchasini oddiy misollar bilan ko'rib chiqaylik.

1-misol.

Birinchi qatorni 4 ga ko'paytirish va ikkinchi qatorga qo'shish va birinchi qatorni 2 ga ko'paytirish va uchinchi qatorga qo'shish bizda:

Ikkinchi qatorni -1 ga ko'paytiring va uchinchi qatorga qo'shing:

Biz ikkita nolga teng bo'lmagan qatorlarni oldik va shuning uchun matritsaning darajasi 2 ga teng.

2-misol.

Quyidagi matritsaning rankini topamiz:

Birinchi qatorni -2 ga ko'paytiring va ikkinchi qatorga qo'shing. Xuddi shunday, biz birinchi ustunning uchinchi va to'rtinchi qatorlari elementlarini tiklaymiz:

Ikkinchi ustunning uchinchi va to'rtinchi qatorlari elementlarini -1 soniga ko'paytirilgan ikkinchi qatorga mos keladigan qatorlarni qo'shish orqali qayta o'rnatamiz.

r soni A matritsasining darajasi deyiladi, agar:
1) A matritsada noldan farqli r tartibli minor mavjud;
2) barcha kichik tartibli (r+1) va undan yuqori, agar mavjud bo'lsa, nolga teng.
Aks holda, matritsaning darajasi noldan tashqari eng yuqori kichik tartibdir.
Belgilar: rangA, r A yoki r.
Ta'rifdan kelib chiqadiki, r musbat butun sondir. Null matritsa uchun daraja nolga teng deb hisoblanadi.

Xizmat maqsadi. Onlayn kalkulyator topish uchun mo'ljallangan matritsa darajasi. Bunday holda, yechim Word va Excel formatida saqlanadi. misol yechimga qarang.

Ko'rsatmalar. Matritsa o'lchamini tanlang, Keyingiga bosing.

Ta'rif. r darajali matritsa berilsin. Matritsaning noldan farqli va r tartibiga ega bo‘lgan har qanday minori asosiy, uning komponentlarining satr va ustunlari esa asosiy satr va ustunlar deyiladi.
Ushbu ta'rifga ko'ra, A matritsada bir nechta bazis minorlari bo'lishi mumkin.

E identifikatsiya matritsasining darajasi n (qatorlar soni).

1-misol. Ikki matritsa berilgan, va ularning voyaga etmaganlari , . Ulardan qaysi biri asosiy sifatida qabul qilinishi mumkin?
Yechim. Minor M 1 =0, shuning uchun u biron bir matritsa uchun asos bo'la olmaydi. Minor M 2 =-9≠0 va 2-tartibga ega, ya'ni A yoki / va B matritsalarining asosi sifatida olinishi mumkin, agar ular 2 ga teng darajalarga ega bo'lsa. detB=0 (ikki proportsional ustunli determinant sifatida) bo‘lgani uchun B matritsaning bazis minori sifatida rangB=2 va M 2 ni olish mumkin. A matritsaning darajasi 3 ga teng, chunki detA=-27≠ 0 va shuning uchun bu matritsaning bazis minorining tartibi 3 ga teng bo'lishi kerak, ya'ni M 2 A matritsa uchun asos emas. E'tibor bering, A matritsa A matritsasining determinantiga teng bo'lgan yagona bazisli minorga ega.

Teorema (minor asosi haqida). Matritsaning har qanday satri (ustunlari) uning asosiy satrlarining (ustunlarining) chiziqli birikmasidir.
Teoremadan olingan xulosalar.

r-darajali har bir (r+1) ustun (satr) matritsasi chiziqli bog'liqdir.
Agar matritsaning darajasi uning satrlari (ustunlari) sonidan kichik bo'lsa, unda uning satrlari (ustunlari) chiziqli bog'liqdir. RangA uning satrlari (ustunlari) soniga teng bo'lsa, u holda satrlar (ustunlar) chiziqli mustaqildir.
Agar uning satrlari (ustunlari) chiziqli bog'liq bo'lsa, A matritsaning determinanti nolga teng bo'ladi.
Agar siz matritsaning satriga (ustuniga) noldan boshqa istalgan raqamga ko'paytiriladigan boshqa qator (ustun) qo'shilsa, u holda matritsaning darajasi o'zgarmaydi.
Agar siz boshqa qatorlar (ustunlar)ning chiziqli birikmasi bo'lgan matritsadagi qatorni (ustunni) kesib tashlasangiz, u holda matritsaning darajasi o'zgarmaydi.
Matritsaning darajasi uning chiziqli mustaqil satrlarining (ustunlarining) maksimal soniga teng.
Chiziqli mustaqil satrlarning maksimal soni chiziqli mustaqil ustunlarning maksimal soni bilan bir xil.

2-misol. Matritsaning darajasini toping .
Yechim. Matritsa darajasining ta'rifiga asoslanib, biz noldan farqli eng yuqori darajadagi minorni qidiramiz. Birinchidan, matritsani oddiyroq shaklga aylantiramiz. Buning uchun matritsaning birinchi qatorini (-2) ga ko'paytiring va uni ikkinchisiga qo'shing, keyin (-1) ga ko'paytiring va uchinchi qatorga qo'shing.

Ta'rif. Matritsa darajasi vektor sifatida qaraladigan chiziqli mustaqil qatorlarning maksimal soni.

Matritsaning darajasi bo'yicha 1-teorema. Matritsa darajasi matritsaning nolga teng bo‘lmagan minorining maksimal tartibi deyiladi.

Determinantlar bo'yicha darsda biz allaqachon voyaga etmaganlik tushunchasini muhokama qildik va endi uni umumlashtiramiz. Keling, matritsadagi ma'lum qatorlar va ma'lum miqdordagi ustunlarni olaylik va bu "qancha" matritsaning satrlari va ustunlari sonidan kam bo'lishi kerak, qatorlar va ustunlar uchun esa bu "qancha" bo'lishi kerak. bir xil raqam. Keyin nechta satr va nechta ustunning kesishmasida asl matritsamizdan pastroq tartibli matritsa bo'ladi. Determinant matritsa bo'lib, agar eslatib o'tilgan "ba'zi" (satr va ustunlar soni) k bilan belgilansa, k-tartibning minori bo'ladi.

Ta'rif. Kichik ( r+1) tanlangan voyaga yetmaganlar yotadigan tartib r-chi tartib berilgan voyaga etmagan uchun chegaralash deyiladi.

Eng ko'p ishlatiladigan ikkita usul matritsaning darajasini topish. Bu voyaga etmaganlarni chegaralash usuli Va elementar transformatsiyalar usuli(Gauss usuli).

Chegaralovchi kichiklar usulini qo'llashda quyidagi teorema qo'llaniladi.

Matritsaning darajasi bo'yicha 2-teorema. Agar minor matritsa elementlaridan tuzilishi mumkin bo'lsa r th tartib, nolga teng emas, keyin matritsaning darajasi teng bo'ladi r.

Elementar transformatsiya usulidan foydalanganda quyidagi xususiyat qo'llaniladi:

Agar elementar transformatsiyalar orqali asl matritsaga ekvivalent bo'lgan trapezoidal matritsa olinsa, u holda bu matritsaning darajasi undagi satrlar soni to'liq noldan iborat bo'lgan satrlardan tashqari.

Voyaga etmaganlarni chegaralash usuli yordamida matritsaning darajasini topish

Qo'shib oluvchi voyaga etmagan shaxs, agar bu yuqori darajadagi voyaga etmaganda ushbu voyaga etmagan bo'lsa, unga nisbatan yuqori darajali voyaga etmagan hisoblanadi.

Masalan, matritsa berilgan

Keling, balog'atga etmagan bolani olaylik

Chegaradagi voyaga etmaganlar quyidagilar bo'ladi:

Matritsaning darajasini topish algoritmi Keyingisi.

1. Nolga teng bo'lmagan ikkinchi tartibli kichiklarni toping. Agar barcha ikkinchi darajali kichiklar nolga teng bo'lsa, matritsaning darajasi birga teng bo'ladi ( r =1 ).

2. Agar nolga teng bo'lmagan ikkinchi tartibning kamida bitta minori bo'lsa, uchinchi tartibning chegaradosh minorlarini tuzamiz. Agar uchinchi tartibdagi barcha chegaradosh voyaga etmaganlar nolga teng bo'lsa, matritsaning darajasi ikkiga teng ( r =2 ).

3. Agar uchinchi tartibdagi chegaradosh voyaga etmaganlarning kamida bittasi nolga teng bo'lmasa, biz chegaradosh voyaga etmaganlarni tuzamiz. Agar to'rtinchi tartibdagi barcha chegaradosh voyaga etmaganlar nolga teng bo'lsa, matritsaning darajasi uchtaga teng ( r =2 ).

4. Matritsa o'lchami imkon berguncha shu tarzda davom eting.

1-misol. Matritsaning darajasini toping

Yechim. Ikkinchi darajali kichik .

Keling, uni chegaralaymiz. To'rt nafar voyaga etmaganlar chegaradosh bo'ladi:

Shunday qilib, uchinchi tartibdagi barcha chegaradosh voyaga etmaganlar nolga teng, shuning uchun bu matritsaning darajasi ikkiga teng ( r =2 ).

2-misol. Matritsaning darajasini toping

Yechim. Ushbu matritsaning darajasi 1 ga teng, chunki bu matritsaning barcha ikkinchi darajali voyaga etmaganlari nolga teng (bunda, quyidagi ikkita misolda chegaradosh voyaga etmaganlar holatlarida bo'lgani kabi, aziz talabalarni tekshirish taklif etiladi. o'zlari, ehtimol determinantlarni hisoblash qoidalaridan foydalangan holda) va birinchi darajali kichiklar orasida, ya'ni matritsaning elementlari orasida nolga teng bo'lmaganlar mavjud.

3-misol. Matritsaning darajasini toping

Yechim. Ushbu matritsaning ikkinchi tartibli minorlari va bu matritsaning barcha uchinchi tartibli minorlari nolga teng. Shunday qilib, ushbu matritsaning darajasi ikkitadir.

4-misol. Matritsaning darajasini toping

Yechim. Ushbu matritsaning darajasi 3 ga teng, chunki bu matritsaning yagona uchinchi darajali minori 3 ga teng.

Elementar o'zgartirishlar usuli yordamida matritsaning darajasini topish (Gauss usuli)

Allaqachon 1-misolda voyaga etmaganlarni chegaralash usulidan foydalangan holda matritsaning darajasini aniqlash vazifasi juda ko'p sonli determinantlarni hisoblashni talab qilishi aniq. Biroq, hisoblash miqdorini minimal darajaga tushirishning bir yo'li mavjud. Bu usul elementar matritsalarni o'zgartirishdan foydalanishga asoslangan va Gauss usuli deb ham ataladi.

Elementar matritsalarni o'zgartirish deb quyidagi operatsiyalar tushuniladi:

1) matritsaning istalgan satri yoki ustunini noldan boshqa raqamga ko'paytirish;

2) matritsaning istalgan satri yoki ustunining elementlariga boshqa satr yoki ustunning mos keladigan elementlarini bir xil songa ko'paytirish;

3) matritsaning ikkita satri yoki ustunlarini almashtirish;

4) "null" qatorlarni, ya'ni barcha elementlari nolga teng bo'lganlarni olib tashlash;

5) bittadan tashqari barcha proportsional chiziqlarni o'chirish.

Teorema. Elementar transformatsiya paytida matritsaning darajasi o'zgarmaydi. Boshqacha qilib aytganda, agar matritsadan elementar transformatsiyalardan foydalansak A matritsaga o'tdi B, Bu.