Обертання є типовим видом механічного руху, який часто зустрічається в природі та техніці. Будь-яке обертання виникає в результаті впливу деякої зовнішньої сили на систему, що розглядається. Ця сила створює так званий Що він являє собою, від чого залежить, розглядається в статті.
Процес обертання
Перш ніж розглядати концепцію моменту, що крутить, дамо характеристику систем, до яких може бути застосована ця концепція. Система обертання передбачає наявність у ній осі, навколо якої здійснюється круговий рух чи поворот. Відстань від цієї осі до матеріальних точок системи називається радіусом обертання.
З погляду кінематики, процес характеризується трьома кутовими величинами:
- кутом повороту θ (вимірюється в радіанах);
- кутовий швидкістю ω (вимірюється в радіанах за секунду);
- прискоренням кутовим α (вимірюється в радіанах за квадратну секунду).
Ці величини пов'язані один з одним такими рівностями:
Прикладами обертання в природі є рухи планет за своїми орбітами і навколо осей, рухи смерчів. У побуті і техніці цей рух характерний для двигунів двигунів, гайкових ключів, будівельних кранів, відчинення дверей і так далі.
Визначення моменту сили
Наразі перейдемо до безпосередньої теми статті. Відповідно до фізичного визначення, є векторним добутком вектора докладання сили щодо осі обертання на вектор самої сили. Відповідний математичний вираз можна записати так:
Тут вектор r спрямований від осі обертання до точки докладання сили F.
У цій формулі крутного моменту M сила F може бути спрямована як завгодно щодо напрямку осі. Проте паралельна осі компонента сили не створюватиме обертання, якщо вісь жорстко закріплена. У більшості завдань з фізики доводиться розглядати сили F, які лежать у площинах перпендикулярних осі обертання. У цих випадках абсолютне значення крутного моменту можна визначити за такою формулою:
|M¯| = | r | | | F | | sin (β).
Де β є кутом між векторами r і F?.
Що таке важіль сили?
Важель сили відіграє важливу роль при визначенні величини моменту сили. Щоб зрозуміти, що йдеться, розглянемо наступний малюнок.
Тут показаний деякий стрижень довжиною L, який закріплений у точці обертання одним із своїх кінців. З іншого боку діє сила F, спрямовану під гострим кутом φ. Згідно з визначенням моменту сили, можна записати:
M = F * L * sin (180 o -φ).
Кут (180 o -φ) з'явився тому, що вектор спрямований від закріпленого кінця до вільного. Враховуючи періодичність тригонометричної функції синуса, можна переписати цю рівність у такому вигляді:
Тепер звернемо увагу на прямокутний трикутник, побудований на сторонах L, d та F. За визначенням функції синуса, добуток гіпотенузи L на синус кута φ дає значення катета d. Тоді приходимо до рівності:
Лінійна величина d називається важелем сили. Він дорівнює відстані від вектора сили F до осі обертання. Як видно з формули, поняттям важеля сили зручно користуватися при обчисленні моменту M. Отримана формула говорить про те, що момент, що обертає, максимальний для деякої сили F буде виникати тільки тоді, коли довжина радіус-вектора r¯ (L¯ на малюнку вище) буде рівна важіль сили, тобто r і F будуть взаємно перпендикулярні.
Напрямок дії величини M¯
Вище було показано, що момент, що крутить, - це векторна характеристика для даної системи. Куди направлений цей вектор? Відповісти на це питання не становить особливих труднощів, якщо згадати, що результатом твору двох векторів є третій вектор, який лежить на осі, перпендикулярній площині розташування вихідних векторів.
Залишається вирішити, чи буде спрямований момент сили вгору чи вниз (на читача чи від нього) щодо згаданої площини. Визначити це можна або за правилом буравчика, або за допомогою правої руки. Наведемо обидва правила:
- Правило правої руки Якщо розташувати праву кисть таким чином, щоб чотири її пальці рухалися від початку вектора до його кінця, а потім від початку вектора до його кінця, то великий палець, відстовбурчений, вкаже на напрям моменту M.
- Правило свердла. Якщо напрям обертання уявного буравчика збігається з напрямком обертального руху системи, поступальний рух буравчика вкаже на напрям вектора M¯. Нагадаємо, що він обертається лише за годинниковою стрілкою.
Обидва правила є рівноправними, тому кожен може використовувати те, яке є для нього зручнішим.
При вирішенні практичних завдань різний напрямок крутного моменту (вгору - вниз, ліворуч - праворуч) враховується за допомогою знаків "+" або "-". Слід запам'ятати, що за позитивний напрямок моменту M прийнято вважати таке, що призводить до обертання системи проти годинникової стрілки. Відповідно, якщо деяка сила призводить до обертання системи по ходу стрілки годинника, то створюваний її момент матиме негативну величину.
Фізичний зміст величини M
У фізиці та механіці обертання величина M визначає здатність сили або суми сил здійснювати обертання. Оскільки в математичному визначенні величини M стоїть не тільки сила, а й радіус-вектор її застосування, то саме останній багато в чому визначає зазначену обертальну здатність. Щоб зрозуміліше було, про яку здатність йдеться, наведемо кілька прикладів:
- Кожна людина, хоча б один раз у житті, намагалася відчинити двері, взявшись не за ручку, а штовхнувши її недалеко від петель. В останньому випадку доводиться докладати значних зусиль, щоб досягти бажаного результату.
- Щоб відкрутити гайку з болта, використовують спеціальні гайкові ключі. Чим довше ключ, тим легше відкрутити гайку.
- Щоб відчути важливість важеля сили, пропонуємо читачам зробити такий експеримент: взяти стілець і спробувати утримати його однією рукою на вазі, в одному випадку руку притулити до тіла, в іншому - виконати завдання на прямій руці. Останнє для багатьох виявиться непосильним завданням, хоча вага стільця залишилася тим самим.
Одиниці виміру моменту сили
Декілька слів також слід сказати про те, в яких одиницях в СІ вимірюється крутний момент. Відповідно до записаної йому формулі, він вимірюється в ньютонах на метр (Н*м). Однак у цих одиницях також вимірюється робота та енергія у фізиці (1 Н*м = 1 джоуль). Джоуль для моменту M не застосовується, оскільки робота є скалярною величиною, M же - це вектор.
Проте збіг одиниць моменту сили з одиницями енергії не є випадковим. Робота з обертання системи, здійснена моментом M, розраховується за такою формулою:
Звідки отримуємо, що M може бути виражений в джоулях на радіан (Дж/рад).
Динаміка обертання
На початку статті ми записали кінематичні характеристики, що використовуються для опису руху обертання. У динаміці обертання головним рівнянням, яке використовує ці характеристики, є таке:
Дія моменту M на систему, що має момент інерції I призводить до появи кутового прискорення α.
Дану формулу застосовують для визначення кутових частот обертання в техніці. Наприклад, знаючи крутний момент асинхронного двигуна, який залежить від частоти струму в котушці статора і від величини магнітного поля, що змінюється, а також знаючи інерційні властивості обертового ротора, можна визначити, до якої швидкості обертання ω розкручується ротор двигуна за відомий час t.
Приклад розв'язання задачі
Невагомий важіль, довжина якого становить 2 метри, посередині має опору. Яку вагу слід покласти на один кінець важеля, щоб він був у стані рівноваги, якщо з іншого боку опори на відстані 0,5 метра від неї лежить вантаж масою 10 кг?
Очевидно, що настане, якщо моменти сил, створювані вантажами, дорівнюватимуть модулю. Сила, що створює момент у цій задачі, є вагою тіла. Важелі сили рівні відстаням від вантажів до опори. Запишемо відповідну рівність:
m 1 *g*d 1 = m 2 *g*d 2 =>
P 2 = m 2 * g = m 1 * g * d 1 / d 2 .
Вагу P 2 отримаємо, якщо підставимо з умови завдання значення m 1 = 10 кг, d 1 = 0,5 м, d 2 = 1 м. Записана рівність відповідає: P 2 = 49,05 ньютона.
Визначення
Векторний добуток радіус – вектора (), який проведений з точки О (рис.1) до точки до якої прикладена сила на сам вектор називають моментом сили () по відношенню до точки O:
На рис.1 точка Про вектор сили ()і радіус – вектор перебувають у площині рисунка. У такому разі вектор моменту сили () перпендикулярний площині малюнка і має напрямок від нас. Вектор моменту сили є аксіальним. Напрямок вектора моменту сили вибирається таким чином, що обертання навколо точки Про у напрямку сили та вектор створюють правовинтову систему. Напрямок моменту сил та кутового прискорення збігаються.
Розмір вектора дорівнює:
де – кут між напрямками радіус – вектора та вектора сили, – плече сили щодо точки О.
Момент сили щодо осі
Моментом сили по відношенню до осі є фізична величина, що дорівнює проекції вектора моменту сили щодо точки обраної осі дану вісь. У цьому вибір точки значення немає.
Головний момент сил
Головним моментом сукупності сил щодо точки Про називається вектор (момент сили), який дорівнює сумі моментів усіх сил, що діють у системі по відношенню до тієї ж точки:
При цьому точку називають центром приведення системи сил.
Якщо є два основних моменти (і) для однієї системи сил для різних двох центрів приведення сил (О і О'), то вони пов'язані виразом:
де - радіус-вектор, який проведений з точки до точки О', - головний вектор системи сил.
У загальному випадку результат дії на тверде тіло довільної системи сил таке саме, як дію на тіло головного моменту системи сил та головного вектора системи сил, який прикладено в центрі приведення (точка О).
Основний закон динаміки обертального руху
де - момент імпульсу тіла, що знаходиться в обертанні.
Для твердого тіла цей закон можна подати як:
де I – момент інерції тіла, – кутове прискорення.
Одиниці виміру моменту сили
Основною одиницею виміру моменту сили у системі СІ є: [M]=Н м
У СГС: [M] = дин см
Приклади розв'язання задач
приклад
Завдання.На рис.1 показано тіло, яке має вісь обертання OO". Момент сили, прикладений до тіла щодо заданої осі, дорівнюватиме нулю? Ось і вектор сили розташовані в площині малюнка.
Рішення.За основу розв'язання задачі приймемо формулу, яка визначає момент сили:
У векторному творі (видно з малюнка). Кут між вектором сили і радіус – вектор також буде відмінний від нуля (або ), отже, векторний добуток (1.1) нулю не дорівнює. Отже, момент сили відмінний від нуля.
Відповідь.
приклад
Завдання.Кутова швидкість твердого тіла, що обертається, змінюється відповідно до графіка, який представлений на рис.2. У якій із зазначених на графіку точок момент сил, прикладених до тіла, дорівнює нулю?
Яка дорівнює добутку сили на її плече.
Момент сили обчислюють за допомогою формули:
де F- Сила, l- плече сили.
Плечо сили- це найкоротша відстань від лінії дії сили до осі обертання тіла. На малюнку нижче зображено тверде тіло, яке може обертатися довкола осі. Вісь обертання цього тіла є перпендикулярною до площини малюнка і проходить через точку, яка позначена як літера О. Пліч сили F tтут виявляється відстань lвід осі обертання до лінії дії сили. Визначають його в такий спосіб. Першим кроком проводять лінію дії сили, далі з т. Про яку проходить вісь обертання тіла, опускають на лінію дії сили перпендикуляр. Довжина цього перпендикуляра виявляється плечем цієї сили.
Момент сили характеризує обертову дію сили. Ця дія залежить як від сили, так і від плеча. Чим більше плече, тим меншу силу необхідно докласти, щоб отримати бажаний результат, тобто той самий момент сили (див. рис. вище). Саме тому відчинити двері, штовхаючи її біля петель, набагато складніше, ніж беручись за ручку, а гайку відвернути набагато легше довгим, ніж коротким гайковим ключем.
За одиницю моменту сили в СІ приймається момент сили в 1 Н, плече якої дорівнює 1м - ньютон-метр (Н · м).
Правило моментів.
Тверде тіло, яке може обертатися навколо нерухомої осі, знаходиться в рівновазі, якщо момент сили М 1обертає його за годинниковою стрілкою, що дорівнює моменту сили М 2 яка обертає його проти годинникової стрілки:
Правило моментів є наслідком однієї з теорем механіки, яка була сформульована французьким ученим П. Варіньйоном в 1687 р.
Пара сил.
Якщо на тіло діють 2 рівні та протилежно спрямовані сили, які не лежать на одній прямій, то таке тіло не знаходиться в рівновазі, тому що результуючий момент цих сил щодо будь-якої осі не дорівнює нулю, тому що обидві сили мають моменти, спрямовані в один бік . Дві такі сили, які одночасно діють на тіло, називають парою сил. Якщо тіло закріплено на осі, то під дією пари сил воно обертатиметься. Якщо пара сил прикладена «вільному тілу, воно буде обертатися навколо осі. проходить через центр тяжкості тіла, малюнку б.
Момент пари сил однаковий щодо будь-якої осі, перпендикулярної до площини пари. Сумарний момент Мпари завжди дорівнює добутку однієї з сил Fна відстань lміж силами, що називається плечем паринезалежно від того, на які відрізки l, і поділяє положення осі плече пари:
Момент кількох сил, рівнодіюча яких дорівнює нулю, буде однаковим щодо всіх осей, паралельних один одному, тому дію всіх цих сил на тіло можна замінити дією однієї пари сил з тим же моментом.
У статті ми розповімо про момент сили щодо точки та осі, визначення, малюнки та графіки, яка одиниця виміру моменту сили, робота та сила у обертальному русі, а також приклади та завдання.
Момент силиявляє собою вектор фізичної величини, рівний добутку векторів плеча сили(радіус-вектор частки) та сили, що діє на точку. Силовий важіль є вектором, що з'єднує точку, через яку проходить вісь обертання твердого тіла з точкою, до якої прикладена сила.
де: r – плече сили, F – сила прикладена на тіло.
Напрямок вектора сили моментузавжди перпендикулярно площині, яка визначається векторами r і F.
Головний момент- Будь-яка система сил на площині щодо прийнятого полюса називається алгебраїчним моментом моменту всіх сил цієї системи щодо цього полюса.
У обертальних рухах важливі як самі фізичні величини, а й те, як вони розташовані щодо осі обертання, тобто їх моменти. Ми знаємо, що у обертальному русі важлива як маса, а й . У разі сили її ефективність для запуску прискорення визначається способом докладання цієї сили до осі обертання.
Взаємозв'язок між силою та способом її застосування описує МОМЕНТ СИЛИ.Момент сили - це векторний добуток силового плеча Rна вектор сили F:
Як у кожному векторному творі, так і тут
Отже, сила не впливатиме на обертання, коли кут між векторами сили Fі важелем Rдорівнює 0 o або 180 o. Який ефект застосування моменту сили М?
Ми використовуємо другий Закон руху Ньютона та зв'язок між канатом та кутовою швидкістю v = Rωу скалярній формі, дійсні, коли вектори Rі ω перпендикулярні один одному
Помноживши обидві частини рівняння на R отримаємо
Оскільки mR 2 = I, ми робимо висновок, що
Вищезгадана залежність справедлива і для випадку матеріального тіла. Зверніть увагу, що у той час як зовнішня сила дає лінійне прискорення a, момент зовнішньої сили дає кутове прискорення ε.
Одиниця виміру моменту сили
Основним заходом виміру моменту сили в системній координаті СІ є: [M]=Н м
У СГС: [M] = дин см
Робота та сила у обертальному русі
Робота в лінійному русі визначається загальним виразом,
але у обертальному русі,
а отже
З властивостей змішаного твору трьох векторів, можна записати
Тому ми отримали вираз для роботи у обертальному русі:
Потужність у обертальному русі:
Знайдіть момент сили,діє на тіло в ситуаціях, показаних на рисунках нижче. Припустимо, що r = 1m і F = 2N.
а)оскільки кут між векторами r і F дорівнює 90°, sin(a)=1:
M = r F = 1м 2N = 2Н м
б)тому що кут між векторами r і F дорівнює 0°, тому sin(a)=0:
M = 0
так спрямована силане може дати точці обертальний рух.
c)оскільки кут між векторами r і F дорівнює 30°, sin(a)=0.5:
M = 0,5 r F = 1Н м.
Таким чином, спрямована сила викличе обертання тіла, проте її ефект буде меншим, ніж у випадку a).
Момент сили щодо осі
Припустимо, що дані є точкою O(полюс) та потужність P. У точці Oми беремо початок прямокутної системи координат. Момент сили Р по відношенню до полюсних Oє вектором М із (Р), (Рисунок нижче) .
Будь-яка точка Aна лінії P
має координати (xo, yo, zo).
Вектор сили P
має координати Px, Py, Pz.
Комбінуючи точку A (xo, yo, zo)з початком системи, ми отримуємо вектор p. Координати вектора сили P
щодо полюса Oпозначені символами Mx, My, Mz.
Ці координати можуть бути обчислені як мінімуми даного визначника, де ( i, j, k) - Поодинокі вектори на осях координат (варіанти): i, j, k
Після рішення визначника координати моменту дорівнюватимуть:
Координати вектора моментів Mo (P) називаються моментами сили щодо відповідної осі. Наприклад, момент сили P щодо осі Ozоточує шаблон:
Mz = Pyxo - Pxyo
Цей патерн інтерпретується геометрично так, як показано на малюнку нижче.
На підставі цієї інтерпретації момент сили щодо осі Ozможна визначити, як момент проекції сили P
на перпендикуляр осі Ozщодо точки проникнення цієї площини віссю. Проекція сили P
на перпендикуляр осі позначено Pxy
, а точка проникнення площини Oxy- віссю Oссимволом O.
З наведеного вище визначення моменту сили щодо осі випливає, що момент сили щодо осі дорівнює нулю, коли сила і вісь дорівнюють, в одній площині (коли сила паралельна осі або коли сила перетинає вісь).
Використовуючи формули на Mx, My, Mz,
ми можемо розрахувати значення моменту сили P
щодо точки Oта визначити кути, що містяться між вектором M
та осями системи:
Мітка крутного моменту:
плюс (+) - обертання сили навколо осі O за годинниковою стрілкою,
мінус (-) - обертання сили навколо осі O проти годинникової стрілки.
Моментом силищодо довільного центру в площині дії сили називається добуток модуля сили на плече.
Плечо- найкоротша відстань від центру Про до лінії дії сили, але з точки докладання сили, т.к. сила-ковзаючий вектор.
Знак моменту:
По годинник-мінус, проти годинниковий-плюс;
Момент сили можна як вектор. Це перпендикуляр до площини за правилом Буравчика.
Якщо в площині розташовані кілька сил або система сил, то сума алгебри їх моментів дасть нам головний моментсистеми сил.
Розглянемо момент сили щодо осі, обчислимо момент сили щодо осі Z;
Спроектуємо F на XY;
F xy = F cosα= ab
m 0 (F xy) = m z (F), тобто m z = F xy * h= F cosα* h
Момент сили щодо осі дорівнює моменту її проекції на площину перпендикулярну до осі, взятому на перетині осей і площині.
Якщо сила паралельна до осі або перетинає її, то m z (F)=0
Вираз моменту сили у вигляді векторного виразу
Проведемо r а точку A. Розглянемо OA x F.
Це третій вектор m o перпендикулярний площині. Модуль векторного твору можна обчислити за допомогою подвоєної площі трикутника заштрихованого.
Аналітичний вираз сили щодо координатних осей.
Припустимо, що з точкою Про пов'язані осі Y і Z, X з одиничними векторами i, j, k Враховуючи, що:
r x = X * Fx; r y = Y * F y; r z = Z * F y отримаємо: m o (F) = x =
Розкриємо визначник та отримаємо:
m x = YF z - ZF y
m y = ZF x - XF z
m z = XF y - YF x
Ці формули дозволяють обчислити проекцію вектор-момента на осі, та був і сам вектор-момент.
Теорема Варіньйона про момент рівнодіє
Якщо система сил має рівнодіючу, то її момент щодо будь-якого центру дорівнює алгебраїчній сумі моментів усіх сил щодо цієї точки.
Якщо докласти Q = -R, то система (Q, F 1 … F n) буде дорівнює врівноважуватися.
Сума моментів щодо будь-якого центру дорівнюватиме нулю.
Аналітична умова рівноваги плоскої системи сил
Це пласка система сил, лінії дії яких розташовані в одній площині
Мета розрахунку завдань цього типу - визначення реакцій зовнішніх зв'язків. Для цього використовуються основні рівняння у плоскій системі сил.
Можуть використовуватись 2 або 3 рівняння моментів.
приклад
Складемо рівняння суми всіх сил на вісь X та Y:
Сума моментів усіх сил щодо точки А:
Паралельні сили
Рівняння щодо точки А:
Рівняння щодо точки В:
Сума проекцій сил на вісь У.
