Я не переконуватиму вас не писати шпаргалки. Пишіть! У тому числі і шпаргалки по тригонометрії. Пізніше я планую пояснити, навіщо потрібні шпаргалки та чим шпаргалки корисні. А тут інформація, як не вчити, але запам'ятати деякі тригонометричні формули. Отже - тригонометрія без шпаргалки! Використовуємо асоціації для запам'ятовування.
1. Формули додавання:
косинуси завжди «ходять парами»: косинус-косинус, синус-синус.
І ще: косинуси – «неадекватні». Їм "все не так", тому вони знаки змінюють: "-" на "+", і навпаки.
Синуси – «змішуються»: синус-косинус, косинус-синус.
2. Формули суми та різниці:
косинуси завжди «ходять парами». Склавши два косинуси — «колобки», отримуємо пару косинусів-«колобків». А віднімаючи, колобків точно не отримаємо. Отримуємо пару синусів. Ще й із мінусом попереду.
Синуси – «змішуються» :
3. Формули перетворення твору на суму та різницю.
Коли ми отримуємо пару косінусів? Коли складаємо косинус. Тому
Коли ми отримуємо пару синусів? При відніманні косінусів. Звідси:
"Змішування" отримуємо як при додаванні, так і при відніманні синусів. Що приємніше: складати чи віднімати? Правильно, складати. І для формули беруть додавання:
У першій і третій формулі в дужках — сума. Від перестановки місць доданків сума не змінюється. Принциповий порядок лише другої формули. Але, щоб не плутатися, для простоти запам'ятовування ми у всіх трьох формулах у перших дужках беремо різницю
а по-друге — суму
Шпаргалки у кишені дають спокій: якщо забув формулу, можна списати. А дають впевненість: якщо скористатися шпаргалкою не вдасться, можна легко згадати формули.
Формули додавання служать у тому, щоб висловити через синуси і косинуси кутів і b, значення функцій cos(a+b), cos(a-b), sin(a+b), sin(a-b).
Формули додавання для синусів та косинусів
Теорема: Для будь-яких a і b справедлива наступна рівність cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b).
Доведемо цю теорему. Розглянемо наступний малюнок:
На ньому точки Ma, M-b, M(a+b), отримані поворотом точки Мо на кути a, -b, і a+b відповідно. З визначень синуса і косинуса координати цих точок будуть злюючи: Ma(cos(a); sin(a)), M-b (cos(-b); sin(-b)), M(a+b) (cos(a+ b), sin(a+b)). КутМоОМ(a+b) = кутМ-bОМа, отже рівні трикутники МоОМ(a+b) і М-bОМа, причому вони рівнобедрені. Отже, рівні й підстави МоМ(а-b) і М-bМа. Отже (МоМ(а-b))^2 = (М-bМа)^2. Скориставшись формулою відстані між двома точками, отримаємо:
(1 - cos(a+b))^2 + (sin(a+b))^2 = (cos(-b) - cos(a))^2 + (sin(-b) - sin(a) )^2.
sin(-a) = -sin(a) та cos(-a) = cos(a). Перетворимо нашу рівність з урахуванням цих формул і квадрата суми та різниці, тоді:
1 -2*cos(a+b) + (cos(a+b))^2 +(sin(a+b))^2 = (cos(b))^2 - 2*cos(b)*cos (a) + (cos(a)^2 +(sin(b))^2 +2*sin(b)*sin(a) + (sin(a))^2.
Тепер застосуємо основне тригонометричне тотожність:
2-2*cos(a+b) = 2 - 2*cos(a)*cos(b) + 2*sin(a)*sin(b).
Наведемо подібні та скоротимо на -2:
cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b). Що й потрібно було довести.
Справедливі також такі формули:
- cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b);
- sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b);
- sin(a-b) = sin(a)*cos(b) - cos(a)*sin(b).
Дані формули можна отримати з доведеної вище, використовуючи формули приведення та заміною b на -b. Для тангенсів і котангенсів також існують формули складання, але вони справедливі задля будь-яких аргументів.
Формули складання тангенсів та котангенсів
Для будь-яких кутів a,b крім a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n та a+b =pi/2 +pi*m, для будь-яких цілих k,n,m буде справедлива наступна формула:
tg(a+b) = (tg(a) +tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)).
Для будь-яких кутів a,b крім a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n та a-b =pi/2 +pi*m, для будь-яких цілих k,n,m буде справедлива така формула:
tg(a-b) = (tg(a)-tg(b))/(1+tg(a)*tg(b)).
Для будь-яких кутів a,b крім a=pi*k, b=pi*n, a+b = pi*m і будь-яких цілих k,n,m буде справедлива така формула:
ctg(a+b) = (ctg(a)*ctg(b)-1)/(ctg(b)+ctg(a)).
Продовжуємо нашу розмову про найуживаніші формули в тригонометрії. Найважливіші – формули складання.
Визначення 1
Формули додавання дозволяють виразити функції різниці або суми двох кутів за допомогою тригонометричних функцій цих кутів.
Спочатку ми наведемо повний перелік формул додавання, потім доведемо їх і розберемо кілька наочних прикладів.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Основні формули додавання в тригонометрії
Виділяють вісім основних формул: синус суми та синус різниці двох кутів, косинуси суми та різниці, тангенси та котангенси суми та різниці відповідно. Нижче наведено їх стандартні формулювання та обчислення.
1.Синус суми двох кутів можна одержати так:
Обчислюємо добуток синуса першого кута на косинус другого;
Помножуємо косинус першого кута на синус першого;
Складаємо значення, що вийшли.
Графічне написання формули виглядає так: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
2. Синус різниці обчислюється майже так само, тільки отримані твори потрібно не скласти, а відняти один від одного. Таким чином, обчислюємо твори синуса першого кута на косинус другого та косинуса першого кута на синус другого та знаходимо їх різницю. Формула пишеться так: sin (α - β) = sin α · cos β + sin α · sin β
3. Косинус суми. Для нього знаходимо твори косинуса першого кута на косинус другого та синуса першого кута на синус другого відповідно і знаходимо їх різницю: cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β
4. Косинус різниці: обчислюємо твори синусів та косинусів даних кутів, як і раніше, і складаємо їх. Формула: cos (α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β
5. Тангенс суми. Ця формула виражається дробом, у чисельнику якої – сума тангенсів шуканих кутів, а знаменнику – одиниця, з якої віднімається добуток тангенсів шуканих кутів. Все зрозуміло з її графічного запису: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β
6. Тангенс різниці. Обчислюємо значення різниці та твори тангенсів даних кутів і чинимо з ними подібним чином. У знаменнику ми додаємо до одиниці, а не навпаки: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β
7. Котангенс суми. Для обчислень за цією формулою нам знадобляться добуток і сума котангенсів даних кутів, з якими ми надходимо наступним чином:
8. Котангенс різниці . Формула схожа з попередньою, але в чисельнику і знаменнику – мінус, а не плюс tg (α - β) = - 1 - ctg α · c t g β c t g α - c t g β .
Ви, мабуть, помітили, що ці формули попарно схожі. За допомогою знаків ± (плюс-мінус) та ∓ (мінус-плюс) ми можемо згрупувати їх для зручності запису:
sin (α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β
Відповідно, ми маємо одну формулу запису для суми та різниці кожного значення, просто в одному випадку ми звертаємо увагу на верхній знак, в іншому – на нижній.
Визначення 2
Ми можемо взяти будь-які кути α і β і формули додавання для косинуса і синуса підійдуть для них. Якщо ми можемо правильно визначити значення тангенсів та котангенсів цих кутів, то формули додавання для тангенсу та котангенсу будуть також для них справедливі.
Як і більшість понять в алгебрі, формули додавання можуть бути доведені. Перша формула, яку ми доведемо, – формула косинуса різниці. З неї потім можна легко вивести решту доказів.
Уточнимо основні поняття. Нам знадобиться одиничне коло. Вона вийде, якщо ми візьмемо якусь точку A і повернемо навколо центру (точки O) кути α та β. Тоді кут між векторами O A 1 → і O A → 2 дорівнюватиме (α - β) + 2 π · z або 2 π - (α - β) + 2 π · z (z – будь-яке ціле число). Вектори, що виходять, утворюють кут, який дорівнює α - β або 2 π - (α - β) , або він може відрізнятися від цих значень на ціле число повних оборотів. Погляньте на малюнок:
Ми скористалися формулами приведення та отримали такі результати:
cos ((α - β) + 2 π · z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π · z) = cos (α - β)
Підсумок: косинус кута між векторами O A 1 → і O A 2 → дорівнює косинусу кута α - β, отже cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β) .
Згадаймо визначення синуса та косинуса: синус - функція кута, що дорівнює відношенню катета протилежного кута до гіпотенузи, косинус – це синус додаткового кута. Отже, точки A 1і A 2мають координати (cos α , sin α) та (cos β , sin β) .
Отримаємо таке:
O A 1 → = (cos α , sin α) та O A 2 → = (cos β , sin β)
Якщо незрозуміло, погляньте на координати точок, розташованих на початку та наприкінці векторів.
Довжини векторів дорівнюють 1, т.к. у нас поодиноке коло.
Розберемо тепер скалярний добуток векторів O A 1 → і O A 2 → . У координатах воно виглядає так:
(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + sin α · sin β
З цього ми можемо вивести рівність:
cos (α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β
Таким чином, формула косинуса різниці доведена.
Тепер ми доведемо таку формулу – косинуса суми. Це простіше, оскільки ми можемо скористатися з попередніх розрахунків. Візьмемо уявлення α + β = α - (- β). У нас є:
cos (α + β) = cos (α - (-β)) = = cos α · cos (- β) + sin α · sin (- β) = = cos α · cos β + sin α · sin β
Це і є доказом формули косинуса суми. В останньому рядку використано властивість синуса та косинуса протилежних кутів.
Формулу синуса суми можна вивести із формули косинуса різниці. Візьмемо для цього формулу приведення:
виду sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)). Так
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) · cos β + sin (π 2 - α) · sin β = = sin α · cos β + cos α · sin β
А ось доказ формули синуса різниці:
sin (α - β) = sin (α + (-β)) = sin α · cos (-β) + cos α · sin (- β) = = sin α · cos β - cos α · sin β
Зверніть увагу на використання властивостей синуса та косинуса протилежних кутів в останньому обчисленні.
Далі нам потрібні докази формул додавання для тангенсу та котангенсу. Згадаймо основні визначення (тангенс - ставлення синуса до косінус, а котангенс - навпаки) і візьмемо вже виведені заздалегідь формули. У нас вийшло:
t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β - sin α · sin β
У нас вийшов складний дріб. Далі нам потрібно розділити її чисельник і знаменник на cos α · cos β , враховуючи що cos α ≠ 0 та cos β ≠ 0 отримуємо:
sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β = sin α · cos β cos α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β
Тепер скорочуємо дроби і одержуємо формулу наступного виду: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · sin β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β .
У нас вийшло t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. Це і є підтвердження формули складання тангенсу.
Наступна формула, яку ми доводитимемо – формула тангенсу різниці. Все наочно показано у обчисленнях:
t g (α - β) = t g (α + (-β)) = t g α + t g (-β) 1 - t g α · t g (-β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β
Формули для котангенсу доводяться таким чином:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β sin α · sin β = cos α · cos β sin α · sin β - 1 sin α · cos β sin α · sin β + cos α · sin β sin α · sin β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
Далі:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α · c t g (-β)
