Спектр періодичної послідовності. Спектр послідовності прямокутних імпульсів

2. Спектр періодичної послідовності прямокутних імпульсів

Розглянемо періодичну послідовність прямокутних імпульсів, зображену на рис. 5. Цей сигнал характеризується тривалістю імпульсу, його амплітудою та періодом. По вертикальній осі відкладається напруга.

Рис.5. Періодична послідовність прямокутних імпульсів

Початок відліку виберемо в середині імпульсу. Тоді сигнал розкладається тільки по косинусах. Частоти гармонік рівніn/T , де n- Будь-яке ціле число. Амплітуди гармонік згідно (1.2.) дорівнюватимуть:

так як V(t)=Епри , де - тривалості імпульсу та V(t)=0 при , то

Цю формулу зручно записати у вигляді:

(2.1.)

Формула (1.5.) дає залежність амплітуди n-ої гармоніки від періоду та тривалості у вигляді безперервної функції (функція ). Цю функцію називають огинаючою спектра. Слід мати на увазі, що фізичний зміст вона має лише на частотах, де існують відповідні гармоніки. На рис. 6 наведено спектр періодичної послідовності прямокутних імпульсів.

Рис.6. Спектр періодичної послідовності

прямокутні імпульси.

При побудові огинаючої маємо на увазі, що - є

Осцилюючою функцією частоти, а знаменник монотонно зростає із зростанням частоти. Тому виходить квазіосцилуюча функція з поступовим зменшенням. При частоті прагне до нуля, до нуля прагнуть одночасно і чисельник і знаменник, їхнє відношення прагне одиниці (перша класична межа). Нульові значення огинаючої виникають у точках де тобто.

Де m- ціле число (крімm

Періодична послідовність прямокутних відеоімпульсів є модулюючою функцією для формування періодичної послідовності прямокутних радіоімпульсів (ПППВІ), які є зондуючими сигналами для виявлення та вимірювання координат цілей, що рухаються. Тому, за спектром модулюючої функції (ПППВІ), можна відносно просто і швидко визначити спектр зондувального сигналу (ПППРІ). При відображенні зондуючого сигналу від мети, що рухається, змінюються частоти спектру гармонік несучого коливання (ефект Доплера). Внаслідок чого, можна виділити корисний сигнал, відбитий від мети, що рухається, на тлі заважають (перешкодових) коливань, відбитих від нерухомих об'єктів (місцеві предмети) або малорухомих об'єктів (метеоутворення, зграї птахів та ін.).

ПППВІ (рис. 1.42) є сукупністю одиночних прямокутних відеоімпульсів, що йдуть один за одним через рівні проміжки часу. Аналітичний вираз сигналу.

де - Амплітуда імпульсів; - Тривалість імпульсів; - Період проходження імпульсів; - Частота проходження імпульсів, ; - Свердловина.

Для обчислення спектрального складу періодичної послідовності імпульсів застосовують низку Фур'є. При відомих спектрах одиночних імпульсів, що утворюють періодичну послідовність, можна скористатися зв'язком між спектральною щільністю імпульсів та комплексними амплітудами ряду:

Для одиночного прямокутного відеоімпульсу спектральна щільність описується формулою

Скориставшись зв'язком між спектральною щільністю одиночного імпульсу та комплексними амплітудами ряду, знаходимо

де = 0; ±1; ±2; ...

Амплітудно-частотний спектр (рис. 1.43) буде представлений сукупністю складових:

у своїй позитивним значенням відповідають нульові початкові фази, а негативним – початкові фази, рівні .

Таким чином, аналітичний вираз ПППВІ дорівнюватиме

З аналізу графіків, наведених малюнку 1.43 слід:

· Спектр ПППВІ дискретний що складається з окремих гармонік із частотою.

· Огибаюча АЧС змінюється згідно із законом.

· Максимальне значення огинаючої при рівному , значення постійної складової .

· Початкові фази гармонік у межах непарних пелюсток дорівнюють 0, у межах парних .

· Кількість гармонік в межах кожної пелюстки дорівнює.

· Ширина спектра сигналу на рівні 90% енергії сигналу

· База сигналу, тому сигнал є простим.

Якщо змінювати тривалість імпульсів або частоту їх повторення F(період ), то параметри спектра та його АЧС буде змінюватися.

На малюнку 1.43 представлений приклад зміни сигналу та його АЧС зі збільшенням тривалості імпульсу вдвічі.

Періодичні послідовності прямокутних відеоімпульсів та їх АЧС параметрами T,. і , T, зображені малюнку 1.44.

З аналізу наведених графіків випливає:

1. Для ПППВІ з тривалістю імпульсу:

· Добре q=4, отже, в межах кожної пелюстки зосереджено 3 гармоніки;

· Частота k-ої гармоніки;

· Ширина спектра сигналу на рівні 90% енергії;

· Постійна складова дорівнює

2. Для ПППВІ з тривалістю імпульсу:

· Добре q= 2, отже, в межах кожної пелюстки знаходиться 1 гармоніка;

· Частота k-ої гармоніки залишилося незмінною;

· Ширина спектра сигналу на рівні 90% його енергії зменшилася в 2 рази;

· Постійна складова збільшилася в 2 рази.

Таким чином, можна зробити висновок, що при збільшенні тривалості імпульсу, відбувається стиснення АЧС вздовж осі ординат (зменшується ширина спектра сигналу), при цьому збільшуються амплітуди спектральних складових. Частоти гармонік не змінюються.

На малюнку 1.44. представлений приклад зміни сигналу та його АЧС зі збільшенням періоду прямування в 4 рази (зменшення частоти повторення в 4 рази).

c) ширина спектра сигналу лише на рівні 90% його енергії не змінилася;

d) постійна складова зменшилась у 4 рази.

Таким чином, можна зробити висновок, що при збільшенні періоду прямування (зменшенні частоти повторення відбувається "стиснення") АЧС вздовж осі частот (зменшуються амплітуди гармонік зі збільшенням їх кількості в межах кожної пелюстки). Ширина спектра сигналу у своїй не змінюється. Подальше зменшення частоти повторення (збільшення періоду проходження) призведе (при ) до зменшення амплітуд гармонік до нескінченно малих величин. При цьому сигнал перетворитися на одиночний, відповідно спектр стане суцільним.

Розглянемо періодичну послідовність імпульсів прямокутної форми з періодом Т, тривалістю імпульсів t u та максимальним значенням . Знайдемо розкладання до ряду такого сигналу, обравши початок координат, як показано на рис. 15. У цьому функція симетрична щодо осі ординат, тобто. всі коефіцієнти синусоїдальних складових = 0, і слід розрахувати лише коефіцієнти .

постійна складова

(2.28)

Постійна складова – це середнє значення у період, тобто. це площа імпульсу , поділена протягом усього періоду, тобто. , тобто. те саме, що вийшло і за суворого формального обчислення (2.28).

Згадаймо, що частота першої гармоніки 1 = , де Т – період прямокутного сигналу. Відстань між гармоніками D = 1 . Якщо номер гармоніки n виявиться таким, що аргумент синуса , то амплітуда цієї гармоніки вперше перетворюється на нуль. Ця умова виконується при . Номер гармоніки, за якого амплітуда її звертається в нуль перший раз, називають «першим нулем»і позначають його літерою N, підкреслюючи особливі властивості цієї гармоніки:

З іншого боку, шпаруватість S імпульсів – це ставлення періоду Т до тривалості імпульсів t u , тобто. . Отже «перший нуль» чисельно дорівнює шпаруватості імпульсу N=S. Оскільки синус звертається в нуль за всіх значень аргументу, кратних p, те й амплітуди всіх гармонік з номерами, кратними номеру «першого нуля», теж звертаються в нуль. Тобто при , де k- Будь-яке ціле число. Так, наприклад, (2.22) і (2.23) слід, що спектр прямокутних імпульсів зі шпаруватістю 2 складається тільки з непарних гармонік. Оскільки S=2, то й N=2, тобто. амплітуда другої гармоніки вперше звертається до нуля – це «перший нуль». Але тоді й амплітуди решти гармонік з номерами, кратними 2, тобто. всі парні теж мають звертатися у нуль. При шпару S = 3 нульові амплітуди будуть у 3, 6, 9, 12, .... гармонік.

Зі збільшенням шпару «перший нуль» зміщується в область гармонік з великими номерами і, отже, швидкість зменшення амплітуд гармонік зменшується. Простий розрахунок амплітуди першої гармоніки при U m=100В для шпаруватості S=2, U m 1=63,7B, при S=5, U m 1=37,4B і при S=10, U m 1=19,7B, тобто. зі зростанням шпаруватості амплітуда першої гармоніки різко зменшується. Якщо ж знайти відношення амплітуди, наприклад, 5-ї гармоніки U m 5до амплітуди першої гармоніки U m 1, то для S=2, U m 5/U m 1=0,2, а для S=10, U m 5 /U m 1 = 0,9, тобто. швидкість згасання вищих гармонік із зростанням шпаруватості зменшується.

Таким чином, зі зростанням шпаруватості спектр послідовності прямокутних імпульсів стає більш рівномірним.

Література: [Л.1], з 40

Як приклад наведемо розкладання ряд Фур'є періодичної послідовності прямокутних імпульсів з амплітудою , тривалістю і періодом прямування , симетричної щодо нуля, тобто.

, (2.10)

Тут

Розкладання такого сигналу до ряду Фур'є дає

, (2.11)

де – шпаруватість.

Для спрощення запису можна ввести позначення

, (2.12)

Тоді (2.11) запишеться так

, (2.13)

На рис. 2.3 зображено послідовність прямокутних імпульсів. Спектр послідовності, як і будь-якого іншого періодичного сигналу, носить дискретний (лінійчастий) характер.

Огинаюча спектра (рис. 2.3, б) пропорційна . Відстань по осі частот між двома сусідніми складовими спектра дорівнює , а між двома нульовими значеннями (ширина пелюстки спектра) – . Число гармонійних складових у межах однієї пелюстки, включаючи праве за малюнком нульове значення, становить , де знак означає округлення до найближчого цілого числа, меншого (якщо шпаруватість – дрібне число), або (при цілочисельному значенні шпаруватості). При збільшенні періоду основна частота зменшується, спектральні складові діаграмі зближуються, амплітуди гармонік також зменшуються. При цьому форма огинаючої зберігається.

При вирішенні практичних завдань спектрального аналізу замість кутових частот використовують циклічні частоти , що вимірюються в Герцах. Вочевидь, відстань між сусідніми гармоніками на діаграмі становитиме , а ширина однієї пелюстки спектра – . Ці значення представлені на діаграмі у круглих дужках.

У практичній радіотехніці в більшості випадків замість спектрального представлення (рис. 2.3 б) використовують спектральні діаграми амплітудного і фазового спектрів. Амплітудний спектр послідовності прямокутних імпульсів представлений на рис. 2.3 ст.

Очевидно, що оминає амплітудного спектра пропорційна .

Що ж до фазового спектру (рис. 2.3, г), то вважають, що початкові фази гармонійних складових змінюються стрибком на величину -π при зміні знака огинаючої sinc kπ/q. Початкові фази гармонік першої пелюстки, покладаються рівними нулю. Тоді початкові фази гармонік другої пелюстки складуть φ = -π , третьої пелюстки φ = -2πі т.д.

Розглянемо ще одне уявлення сигналу поруч Фур'є. Для цього скористаємося формулою Ейлера

.

Відповідно до цієї формули k-ю складову (2.9) розкладання сигналу в ряд Фур'є можна подати наступним чином

; . (2.15)

Тут величини і є комплексними і є комплексними амплітудами складових спектру. Тоді ряд

Фур'є (2.8) з урахуванням (2.14) набуде наступної форми

, (2.16)

, (2.17)

Неважко переконатися в тому, що розкладання (2.16) проводиться за базовими функціями , які також є ортогональними на інтервалі , тобто.

Вираз (2.16) є комплексну формуряду Фур'є, що поширюється на негативні частоти. Величини та , де означає комплексну пов'язану з величину, називаються комплексними амплітудамиспектра. Т.к. є комплексною величиною, з (2.15) випливає, що

і .

Тоді сукупність становить амплітудний, а сукупність - фазовий спектр сигналу.

На рис. 2.4 представлена ​​спектральна діаграма спектра розглянутої вище послідовності прямокутних імпульсів, представленого комплексним рядом Фур'є

Спектр також має лінійний характер, але на відміну від раніше розглянутих спектрів визначається як в області позитивних, так і в області негативних частот. Оскільки є парною функцією аргументу спектральна діаграма симетрична щодо нуля.

Виходячи з (2.15) можна встановити відповідність між коефіцієнтами і розкладання (2.3). Так як

і ,

то в результаті отримаємо

. (2.18)

Вирази (2.5) та (2.18) дозволяють знайти значення при практичних розрахунках.

Дамо геометричну інтерпретацію комплексної форми низки Фур'є. Виділимо k-ту складову спектра сигналу. У комплексній формі k-я складова описується формулою

де й визначаться виразами (2.15).

У комплексній площині кожне з доданків (2.19) зображується у вигляді векторів довжиною , Повернених на кут і щодо речової осі і обертаються в протилежних напрямках з частотою (рис. 2.5).

Очевидно, сума цих векторів дає вектор, розташований на речовій осі, довжина якого становить . Але цей вектор відповідає гармонійній складовій

Що ж до проекцій векторів на уявну вісь, ці проекції мають рівну довжину, але протилежні напрями й у сумі дають нуль. А це означає, що сигнали, подані в комплексній формі (2.16), насправді є речовими сигналами. Іншими словами, комплексна форма ряду Фур'є математичноїабстракцією, дуже зручною під час вирішення низки завдань спектрального аналізу. Тому, іноді спектр, що визначається тригонометричним рядом Фур'є, називають фізичним спектром, а комплексною формою низки Фур'є – математичним спектром.

І на закінчення розглянемо питання розподілу енергії та потужності у спектрі періодичного сигналу. Для цього скористаємось рівністю Парсеваля (1.42). При розкладанні сигналу в тригонометричний ряд Фур'є вираз (1.42) набуває вигляду

.

Енергія постійної складової

,

а енергія k-тої гармоніки

.

Тоді енергія сигналу

. (2.20)

Т.к. середня потужність сигналу

,

то з урахуванням (2.18)

. (2.21)

При розкладанні сигналу в комплексний ряд Фур'є вираз (1.42) має вигляд

,

де
- Енергія k-тої гармоніки.

Енергія сигналу у цьому випадку

,

а його середня потужність

.

З наведених виразів випливає, що енергія або середня потужність k-тої спектральної складової математичного спектру вдвічі менша за енергію або потужність відповідної спектральної складової фізичного спектру. Це пов'язано з тим, що фізичний спектр розподіляється порівну між і математичним спектром.

-τ та /2

τ та /2

Т

t

U 0

S(t)

Завдання №1, група РІ – 210701

З виходу джерела повідомлень надходять сигнали, що несуть інформацію, і навіть тактові, що використовуються синхронізації роботи передавача і приймача системи передачі. Інформаційні сигнали мають вигляд неперіодичної, а тактові - періодичної послідовності імпульсів.

Для правильної оцінки можливості передачі таких імпульсів каналами зв'язку визначимо їх спектральний склад. Періодичний сигнал у вигляді імпульсів будь-якої форми можна розкласти в ряд Фур'є згідно (7).

Для передачі повітряними і кабельними лініями зв'язку застосовуються сигнали різної форми. Вибір тієї чи іншої форми залежить від характеру повідомлень, що передаються, частотного спектра сигналів, частотних ічасових параметрів сигналів. Велике застосування техніки передачі дискретних повідомлень отримали сигнали, близькі формою до прямокутним імпульсам.

Обчислимо діапазон, тобто. сукупність амплітуд постійної та

гармонійних складових періодичних прямокутних імпульсів (рисунок 4,а) тривалістю та періодом. Оскільки сигнал є парною функцією часу, то у виразі (3) всі парні гармонічні складові перетворюються на нуль ( =0), а непарні складові набувають значення:

(10)

Постійна складова дорівнює

(11)

Для сигналу 1:1 (телеграфні точки) рисунок 4а:

,
. (12)

Модулі амплітуд спектральних складових послідовності прямокутних імпульсів з періодом
наведено на рис. 4, б. По осі абсцис відкладено основну частоту повторення імпульсів
() та частоти непарних гармонічних складових
,
і т.д. Огинаюча спектра змінюється згідно із законом.

При збільшенні періоду порівняно з тривалістю імпульсу число гармонійних складових у спектральному складі періодичного сигналу збільшуються. Наприклад, для сигналу з періодом (рисунок 4, в) отримуємо, що постійна складова дорівнює

У смузі частот від нуля до частоти міститься п'ять гармонійних складових (рисунок 4, г), у той час як прилиш одна.

При подальшому збільшенні періоду повторення імпульсів число гармонійних складових стає дедалі більше. У граничному випадку коли
сигнал стає неперіодичною функцією часу, число його гармонійних складових у смузі частот від нуля до частоти збільшується до нескінченності; розташовані вони будуть на нескінченно облизьких відстанях по частоті; спектр неперіодичного сигналу стає безперервним.

Малюнок 4

2.4 Спектр одиночного імпульсу

Задано одиночний відеоімпульс (рисунок 5):

Малюнок 5

Метод рядів Фур'є допускає глибоке та плідне узагальнення, що дозволяє отримувати спектральні характеристики неперіодичних сигналів. Для цього подумки доповнимо одиночний імпульс такими ж імпульсами, періодично наступними через деякий інтервал часу, і отримаємо вивчену раніше періодичну послідовність:

Представимо одиночний імпульс як суму періодичних імпульсів із великим періодом.

, (14)

де – цілі числа.

Для періодичного коливання

. (15)

Для того, щоб повернутися до одиночного імпульсу, спрямуємо до нескінченності період повторення: . При цьому очевидно:

, (16)

Позначимо

. (17)

Величиною називається спектральна характеристика (функція) одиночного імпульсу (пряме перетворення Фур'є). Вона залежить тільки від тимчасового опису імпульси в загальному вигляді комплексної:

, (18) де
; (19)

; (20)

,

де
- модуль спектральної функції (амплітудно-частотна характеристика імпульсу);

- фазовий кут, фазочастотна характеристика імпульсу.

Знайдемо для одиночного імпульсу за формулою (8), використовуючи спектральну функцію:

.

Якщо , отримаємо:

. (21)

Отримане вираз називається зворотним перетворенням Фур'є.

Інтеграл Фур'є визначає імпульс у вигляді нескінченної суми нескінченно малих гармонійних складових, що розташовані на всіх частотах.

На цій підставі говорять про безперервний (суцільний) спектр, який має одиночний імпульс.

Повна енергія імпульсу (енергія, що виділяється на активному опорі Ом) дорівнює

(22)

Змінюючи порядок інтегрування, отримаємо

.

Внутрішній інтеграл є спектральна функція імпульсу, взята при аргументі -, тобто. є комплексно сполученою звеличиною:

Отже

Квадрат модуля (твір двох сполучених комплексних чисел дорівнює квадрату модуля).

І тут умовно говорять, що спектр імпульсу є двостороннім, тобто. розміщується у смузі частот від до.

Наведене співвідношення (23), що встановлює зв'язок між енергією імпульсу (на опорі 1 Ом) і модулем спектральної функції відоме під назвою рівність Парсеваля.

Воно стверджує, що енергія, укладена в імпульсі, дорівнює сумі енергій всіх його складових спектра. Рівність Парсеваля характеризує важливе властивість сигналів. Якщо деяка виборча система пропускає лише частина спектра сигналу, послаблюючи інші її складові, це означає, що частина енергії сигналу втрачається.

Так як квадрат модуля є парною функцією змінної інтегрування, то подвоївши значення інтеграла можна ввести інтегрування в межах від 0 до:

. (24)

При цьому говорять, що спектр імпульсу розміщується у смузі частот від 0 до і називається одностороннім.

Підінтегральна величина (23) називається енергетичним спектром (спектральна щільність енергії) імпульсу

Вона характеризує розподіл енергії за частотою, та її значення на частоті дорівнює енергії імпульсу, що припадає на смугу частот, що дорівнює 1 Гц. Отже, енергія імпульсу є результатом інтегрування енергетичного спектра сигналу по всьому діапазону частот от. Інакше кажучи, енергія дорівнює площі, укладеній між кривою, що зображує енергетичний спектр сигналу і віссю абсцис.

Для оцінки розподілу енергії за спектром користуються відносною інтегральною функцією розподілу енергії (енергетичною характеристикою)

, (25)

де
- Енергія імпульсу в заданій смузі частот від 0 до, яка характеризує частку енергії імпульсу, зосереджену в інтервалі частот від 0 до.

Для одиночних імпульсів різної форми виконуються такі закономірності: