Вираз для середньої теплоємності речовини. Справжня та середня теплоємності

Досвідчені значення теплоємностей при різних температурах представляються як таблиць, графіків і емпіричних функцій.

Розрізняють справжню та середню теплоємності.

Справжня теплоємність C це теплоємність для заданої температури.

В інженерних розрахунках часто використовується середнє значення теплоємності у заданому інтервалі температур (t1; t2).

Середня теплоємність позначається подвійно: ,.

Недоліком останнього позначення є незаданість діапазону температур.

Справжня та середня теплоємності пов'язані співвідношенням:

Справжня теплоємність-це межа, якої прагне середня теплоємність, в заданому діапазоні температур t1...t2, при ∆t=t2-t1

Як показує досвід, у більшості газів справжні теплоємності зростають із зростанням температури. Фізичне пояснення цього зростання полягає в наступному:

Відомо, що температура газу не пов'язана з коливальним рухом атомів і молекул, а залежить від кінетичної енергії E k поступального руху частинок. Але зі зростанням температури підводиться до газу теплота дедалі більше перерозподіляється на користь коливального руху, тобто. зростання температури при однаковому підведенні теплоти зі зростанням температури сповільнюється.

Типова залежність теплоємності від температури:

c = c 0 + at + bt 2 + dt 3 + … (82)

де c 0 a, b, d - емпіричні коефіцієнти.

c – Справжня теплоємність, тобто. значення теплоємності для заданої температури T.

Для теплоємності битоппроксимуючої кривої-це поліном у вигляді ряду за ступенями t.

Апроксимуюча крива проводиться з використанням спеціальних методів, наприклад методом найменших квадратів. Суть цього методу в тому, що при його використанні всі точки приблизно рівновіддалені від кривої, що апроксимує.

Для інженерних розрахунків, зазвичай, обмежуються двома першими доданками у правій частині, тобто. вважають залежність теплоємності від температури лінійної c=c 0 + at (83)

Середня теплоємність графічно визначається як середня лінія заштрихованої трапеції, як відомо, середня лінія трапеції визначається як напівсума основ.

Формули застосовуються, якщо відома емпірична залежність.

У тих випадках, коли залежність теплоємності від температури не вдається задовільно апроксимувати залежно від c=c 0 +at, можна скористатися наступною формулою:

Ця формула застосовується у випадках, коли залежність c від t істотно нелінійна.

З молекулярно-кінетичної теорії газів відомо

U  = 12,56T ,U  - внутрішня енергія одного кіломолю ідеального газу.

Раніше було отримано для ідеального газу:

, ,

З отриманого результату випливає, що теплоємність, одержана з використанням МКТ, від температури не залежить.

Рівняння Майєра: c  p -c  v =R  ,

c  p =c  v +R  =12,56+8,31420,93.

Як і в попередньому випадку по МКТ газів молекулярна ізобарна теплоємність від температури не залежить.

Поняття ідеального газу найбільше відповідають одноатомні гази при малих тисках, практично доводиться мати справу з 2-х, 3-х … атомними газами. Наприклад, повітря, яке за обсягом складається з 79% азоту (N 2), 21% кисню (O 2 ) (в інженерних розрахунках інертні гази не враховуються через невелику кількість їх вмісту) .

Можна для оціночних розрахунків користуватися наступною таблицею:

одноатомний
двоатомний
триатомний

У реальних газів, на відміну ідеального, теплоємності можуть залежати як від температури, а й від обсягу і тиску системи.

Враховуючи, що теплоємність непостійна, а залежить від температури та інших термічних параметрів, розрізняють справжню та середню теплоємність. Справжня теплоємність виражається рівнянням (2.2) при певних параметрах термодинамічного процесу, тобто у стані робочого тіла. Зокрема, якщо хочуть підкреслити залежність теплоємності робочого тіла від температури, записують її як , а питому – як. Зазвичай під справжньою теплоємністю розуміють відношення елементарної кількості теплоти, що повідомляється термодинамічній системі в будь-якому процесі до нескінченно малого збільшення температури цієї системи, викликаного повідомленою теплотою. Вважатимемо істинною теплоємністю термодинамічної системи при температурі системи рівною, а - істинною питомою теплоємністю робочого тіла при його рівній температурі. Тоді середню питому теплоємність робочого тіла при зміні його температури можна визначити як

Зазвичай у таблицях наводяться середні значення теплоємності для різних інтервалів температур, що починаються. Тому у всіх випадках, коли термодинамічний процес проходить в інтервалі температур від, в якому, кількість питомої теплотипроцесу визначається з використанням табличних значень середніх теплоємностей таким чином:

.

Значення середніх теплоємностей і знаходять за таблицями.

2.3.Теплоємності при постійному обсязі та тиску

Особливий інтерес становлять середні та справжні теплоємності в процесах при постійному обсязі ( ізохорна теплоємність, рівна відношенню питомої кількості теплоти в ізохорному процесі до зміни температури робочого тіла dT) та при постійному тиску( ізобарна теплоємність, рівна відношенню питомої кількості теплоти в ізобарному процесі зміни температури робочого тіла dT).

Для ідеальних газів зв'язок між ізобарною та ізохорною теплоємностями і встановлюється відомим рівнянням Майєра.

З рівняння Майєра випливає, що ізобарна теплоємність більша ізохорна на значення питомої характеристичної постійної ідеального газу. Це пояснюється тим, що в ізохорному процесі () зовнішня робота не виконується і теплота витрачається тільки на зміну внутрішньої енергії робочого тіла, тоді як в ізобарному процесі () теплота витрачається не тільки на зміну внутрішньої енергії робочого тіла, яка залежить від його температури, а й на здійснення ним зовнішньої роботи.

Для реальних газів, тому що при їх розширенні відбувається робота не тільки проти зовнішніх сил, але і внутрішня робота проти сил взаємодії між молекулами газу, на що додатково витрачається теплота.

У теплотехніці широко застосовується відношення теплоємностей, яке зветься коефіцієнтом Пуассона (показника адіабати). У табл. 2.1 наведено значення деяких газів, отримані експериментально при температурі 15 °С.

Теплоємності залежать від температури, отже, і показник адіабати повинен залежати від температури.

Відомо, що з підвищенням температури збільшується теплоємність. Тому зі зростанням температури зменшується, наближаючись до одиниці. Однак завжди залишається більше одиниці. Зазвичай залежність показника адіабат ​​від температури виражається формулою виду

і тому що

Питома, молярна та об'ємна теплоємність. Хоча теплоту, що входить до складу рівнянь ПЗТ, можна теоретично подати у вигляді суми мікроробіт, що здійснюються при зіткненні мікрочастинок на межах системи без виникнення макросил і макропереміщень, практично такий метод розрахунку теплоти малопридатний і історично теплота визначалася пропорційно до зміни тіла dt і деякою величиною C тіла , Що характеризує вміст речовини в тілі та її здатність акумулювати тепловий рух (тепло),

Q = C тіла dT. (2.36)

Величина

C тіла = Q/dT; = 1 Дж/К, (2.37)

рівна відношенню елементарної теплоти Q, повідомленої тілу, до зміни температури тіла dT називається теплоємністю (істинної) тіла. Теплоємність тіла чисельно дорівнює теплоті, яка потрібна на зміни температури тіла однією градус.

Оскільки і при виконанні роботи змінюється температура тіла, то і роботу за аналогією з теплотою (4.36) також можна визначити через зміну температури тіла (такий метод розрахунку роботи має певні переваги при розрахунку її в політропних процесах):

W = C w dT. (2.38)

C w = дW/dT = pdV/dT, (2.39)

рівну відношенню роботи підведеної (відведеної) до тіла до зміни температури тіла за аналогією з теплоємністю можна назвати «робоємність тіла» Термін "роботомісткість" настільки ж умовний, як і термін "тепломісткість". Термін "тепломісткість" (capacity for heat - ємність для тепла) - як данина речової теорії тепла (теплороду) - вперше ввів Джозеф Блек (1728-1779) у 60-х роках XVIII ст. у своїх лекціях (самі лекції були опубліковані лише посмертно у 1803 р.).

Питомою теплоємністю c (іноді її називають масовою, або питомою масовою теплоємністю, що застаріло) називається відношення теплоємності тіла до його маси:

c = C тіла / m = дQ / (m dT) = дq / dT; [c] = 1 Дж/(кгК), (2.40)

де дq = дQ/m – питома теплота, Дж/кг.

Питома теплоємність чисельно дорівнює теплоті, яку потрібно підвести до речовини одиничної маси, щоб змінити її температуру на градус.

Молярною теплоємністю називається відношення теплоємності тіла до кількості речовини (молярності) цього тіла:

C м = C тіла/м, = 1 Дж/(мольК). (2.41)

Об'ємною теплоємністю називається відношення теплоємності тіла до його обсягу, приведеного до нормальних фізичних умов (p 0 = 101325 Па = 760 мм рт. ст; T 0 = 273, 15 К (0 про С)):

c" = C тіла / V 0 = 1 Дж / (м 3 К). (2.42)

У разі ідеального газу його обсяг за нормальних фізичних умов обчислюється із рівняння стану (1.28)

V 0 = mRT 0 / p 0. (2.43)

Молекулярною теплоємністю називається відношення теплоємності тіла до молекул цього тіла:

c м = C тіла/N; = 1 Дж/К. (2.44)

Зв'язок між різними видами теплоємностей встановлюється шляхом спільного вирішення співвідношень (2.40) – (2.44) для теплоємностей. Зв'язок між питомою та молярною теплоємностями встановлює наступне співвідношення:

c = C тіла / m = З м. м / м = C м / (m / м) = C м / M, (2.45)

де M = m/м – молярна маса речовини, кг/моль.

Оскільки частіше наводяться табличні значення для молярних теплоємностей, то для розрахунку значень питомих теплоємностей через молярні теплоємності слід використовувати співвідношення (2.45).

Зв'язок між об'ємною та питомою теплоємностями встановлюється співвідношенням

с" = C тіла / V 0 = cm / V 0 = c 0 (2.46)

де 0 = m / V 0 - щільність газу за нормальних фізичних умов (наприклад, щільність повітря за нормальних умов

0 = p 0 / (RT 0) = 101 325 / (287 273,15) = 1,29 кг / м 3).

Зв'язок між об'ємною та молярною теплоємностями встановлюється співвідношенням

c" = C тіла / V 0 = C м м / V 0 = C м / (V 0 / м) = C м / V м0 (2.47)

де V 0 = V 0 / м = 22,4141 м 3 / кмоль - молярний об'єм, наведений до НФУ.

Надалі при розгляді загальних положень для всіх видів теплоємностей як вихідну будемо розглядати питому теплоємність, яку для скорочення запису називатимемо просто теплоємністю, а відповідну питому теплоту - просто теплотою.

Справжня та середня теплоємність. Теплоємність ідеального газу залежить від температури c=c(T), а реального газу ще й від тиску c=c(T, p). За цією ознакою розрізняють справжню та середню теплоємність. Для газів, що мають малий тиск і високу температуру, залежність теплоємності від тиску виявляється дуже малою.

Справжня теплоємність відповідає певній температурі тіла (теплоємність у точці), оскільки визначається при нескінченно малій зміні температури тіла dT

c = дq/dT. (2.48)

Часто у теплотехнічних розрахунках нелінійну залежність справжньої теплоємності від температури замінюють близькою до неї лінійною залежністю

c = b 0 + b 1 t = c 0 + bt (2.49)

де c 0 = b 0 – теплоємність при температурі Цельсія t = 0 про С.

Елементарну питому теплоту можна визначити з виразу (4.48) для питомої теплоємності:

дq = c dT. (2.50)

Знаючи залежність істинної теплоємності від температури c = c(t), можна визначити теплоту, що підводиться до системи в кінцевому інтервалі температур, інтегруючи вираз (2.53) від початкового стану 1 до кінцевого стану 2

Відповідно до графічного зображення інтеграла ця теплота відповідає площі 122"1" під кривою c = f(t) (рис. 4.4).

Малюнок 2.4 - До поняття справжньої та середньої теплоємності

Площа криволінійної трапеції 122"1", відповідну теплоті q 1-2 можна замінити еквівалентною площею прямокутника 1"342" з основою ДT = T 2 - T 1 = t 2 - t 1 і висотою: .

Розмір, що визначається виразом

і буде середньою теплоємністю речовини в інтервалі температур від t1 до t2.

Якщо залежність (2.52) для справжньої теплоємності підставити вираз (2.55) для середньої теплоємності і проінтегрувати за температурою, то отримаємо

Co + b (t1 + t2) / 2 = , (2.53)

де t cp = (t 1 + t 2)/2 – середня температура Цельсія в інтервалі температур від t 1 до t 2 .

Таким чином, відповідно (2.56) середню теплоємність в інтервалі температур від t 1 до t 2 можна приблизно визначити як справжню теплоємність, розраховану за середньою температурою t cp для даного інтервалу температур.

Для середньої теплоємності в інтервалі температур від 0 про С (t 1 = 0) до t залежність (2.56) набуває вигляду

C o + (b/2)t = c o + b"t. (2.54)

При розрахунку питомих теплот, необхідних нагрівання газу від 0 про З до t 1 і t 2 , із застосуванням таких таблиць, де кожній температурі t відповідає середня теплоємність, використовуються такі співвідношення:

q 0-1 = t 1 і q 0-2 = t 2

(на рис. 4.4 ці теплоти зображуються у вигляді площ фігур 0511" і 0522"), а для розрахунку теплоти, підведеної в інтервалі температур від t1 до t2, використовується співвідношення

q 1-2 = q 0-2 - q 0-1 = t 2 - t 1 = (t 2 - t 1).

З цього виразу знаходиться середня теплоємність газу в інтервалі температур від t1 до t2:

= = (t 2 - t 1) / (t 2 - t 1). (2.55)

Отже, щоб знайти середню теплоємність в інтервалі температур від t 1 до t 2 за формулою (2.59), слід за відповідними таблицями визначити середні теплоємності і. Після розрахунку середньої для цього процесу теплоємності підведена теплота визначається за формулою

q 1-2 = (t 2 - t 1). (2.56)

Якщо діапазон зміни температури невеликий, залежність істинної теплоємності від температури близька до лінійної, і теплоту можна обчислити як добуток істинної теплоємності з (t cp), визначеної для середньої температури газу? t cp у заданому інтервалі температур, на різницю температур:

q 1-2 = = . (2.57)

Такий розрахунок теплоти еквівалентний розрахунку площі трапеції 1 "1" "22" (див. рис. 2.4) як добутку середньої лінії трапеції з (t cp) на її висоту ДТ.

Справжня теплоємність при середній температурі t cp відповідно (4.56) має значення, близьке середньої теплоємності в цьому інтервалі температур.

Наприклад, відповідно до таблиці С.4 середня молярна ізохорна теплоємність в інтервалі температур від 0 до 1000 про С = 23,283 кДж /(кмоль.К), а справжня молярна ізохорна теплоємність, що відповідає середній температурі 500 про С для цього температурного = 23,316 кДж/(кмоль.К). Відмінність цих теплоємностей не перевищує 0,2%.

Ізохорна та ізобарна теплоємність. Найбільш часто на практиці використовуються теплоємності ізохорного та ізобарного процесів, що протікають при сталості відповідно питомого обсягу х = const та тиску p = const. Ці питомі теплоємності називаються відповідно ізохорною c v та ізобарною c p теплоємностями. За допомогою цих теплоємностей можуть бути обчислені будь-які інші види теплоємностей.

Таким чином, ідеальний газ – це такий уявний газ (модель газу), стан якого точно відповідає рівнянню стану Клапейрона, а внутрішня енергія залежить тільки від температури.

Стосовно ідеального газу замість приватних похідних (4.66) та (4.71) слід брати повні похідні:

c х = du/dT; (2.58)

c p = dh/dT. (2.59)

Звідси випливає, що c х і c p для ідеального газу, як і u і h, залежить тільки від температури.

У разі сталості теплоємностей внутрішня енергія та ентальпія ідеального газу визначаються виразами:

U = c x mT і u = c x T; (2.60)

H = c p mT і h = c p T. (2.61)

При розрахунку горіння газів широко використовується об'ємна ентальпія, Дж/м 3

h" = H/V 0 = c p mT/V 0 = c p 0 T = c" p T, (2.62)

де c"p = cp с0 - об'ємна ізобарна теплоємність, Дж/(м3.К).

Рівняння Майєра. Встановимо зв'язок між теплоємностями ідеального газу c х і c p. Для цього скористаємось рівнянням ПЗТ (4.68) для ідеального газу при протіканні ізобарного процесу

дq p = c p dT = du + pdх = с x dT + pdх. (2.63)

Звідки знаходимо різницю теплоємностей

c p - c х = pdх / dT = p (х / T) p = дw p /dT (2.64)

(це співвідношення для ідеального газу є окремим випадком співвідношення (2.75) для реального газу).

Диференціюючи рівняння стану Клапейрона d(pх) p = R dT за умови сталості тиску, отримаємо

dх/dT = R/p. (2.65)

Підставляючи це співвідношення в рівняння (2.83), отримаємо

c p - c x = R. (2.66)

Помноживши всі величини у цьому співвідношенні на молярну масу М, отримаємо аналогічне співвідношення для молярних теплоємностей

См р – См х = Rм. (2.67)

Співвідношення (2.65) і (2.66) звуться формул (рівнянь) Майєра для ідеального газу. Це з тим, що рівняння (2.65) Майер використовував для розрахунку механічного еквівалента теплоти.

Відношення теплоємностей c p / c х. У термодинаміці та її додатках велике значення має не тільки різницю теплоємностей c p і c х, що визначається рівнянням Майєра, але і їх відношення c p / c х, яке у разі ідеального газу дорівнює відношенню теплоти до зміни ВЕ в ізобарному процесі, тобто це відношення є характеристикою ізобарного процесу:

k p = k X = дq p / du = c p dT / = c p dT / c x dT = c p / с x.

Отже, якщо в процесі зміни стану ідеального газу відношення теплоти до зміни ВЕ дорівнює відношенню c p / c х, цей процес буде ізобарним.

Оскільки це відношення використовується часто і входить як показник ступеня рівняння адіабатного процесу, то його прийнято позначати буквою k (без індексу) і називати показником адіабати

k = дq p / du = c p / c x = C м p / Cм x = c "p / c" x. (2.68)

Значення справжніх теплоємностей та їх відношення до деяких газів в ідеальному стані (при p > 0 і T C = 0 про С) наведено в таблиці 3.1.

Таблиця 3.1 – Деякі характеристики ідеальних газів

	Хімічна формула
	кДж/(кмольК)
Водяна пара
Оксид вуглецю
Кисень
Диоксид вуглецю
Диоксид сірки
Пари ртуті

У середньому з усіх газів однакової атомарності прийнято вважати, що з одноатомних газів k ? 1,67, для двоатомних k? 1,40, для тритомних k? 1,29 (для водяної пари часто беруть точне значення k = 1,33).

Вирішуючи спільно (2.65) і (2.67), можна виразити теплоємності через k та R:

З урахуванням (2.69) рівняння (2.50) для питомої ентальпії набуде вигляду

h = c p T =. (2.71)

У двоатомних та багатоатомних ідеальних газів k залежить від температури: k = f(T). Відповідно до рівняння (2.58)

k = 1+R/c х = 1+Rм/Cм х. (2.72)

Теплоємність газової суміші. Для визначення теплоємності суміші газів необхідно знати склад суміші, який може бути заданий масовими g i молярними x i або об'ємними r i частками, а також значення теплоємностей компонентів суміші, які беруться з таблиць для відповідних газів.

Питома теплоємність суміші, що складається з N компонентів для ізопроцесів X = х, р = const визначається через масові частки за формулою

cXсм = . (2.73)

Молярна теплоємність суміші визначається через молярні частки

Об'ємна теплоємність суміші визначається через об'ємні частки за формулою

Для ідеальних газів молярні та об'ємні частки дорівнюють: x i = r i .

Розрахунок теплоти через теплоємність. Наведемо формули для розрахунку теплоти у різних процесах:

а) через середню питому теплоємність та масу m

б) через середню молярну теплоємність та кількість речовини м

в) через середню об'ємну теплоємність і об'єм V 0 приведений до нормальних умов,

г) через середню молекулярну теплоємність та число молекул N

де ДT = T2 - T1 = t2 - t1 - зміна температури тіла;

Середня теплоємність в інтервалі температур від t1 до t2;

c(t cp) – справжня теплоємність, визначена для середньої температури тіла t cp = (t 1 + t 2)/2.

По таблиці C.4 теплоємностей повітря знаходимо середні теплоємності: = = 1,0496 кДж/(кгК); = 1,1082 кДж/(кгК). Середня теплоємність у цьому інтервалі температур визначиться за формулою (4.59)

= (1,10821200 - 1,0496600) / 600 = 1,1668 кДж / (кгК),

де ДT = 1200 – 600 = 600 До.

Питома теплота через середню теплоємність у заданому інтервалі температур = 1,1668600 = 700,08 кДж/кг.

Тепер визначимо цю теплоту за наближеною формулою (4.61) через справжню теплоємність c(t cp), визначену для середньої температури нагріву t cp = (t 1 + t 2)/2 = (600 + 1200) / 2 = 900 °C.

Справжня теплоємність повітря c p для 900 про C таблиці С.1 дорівнює 1,1707 кДж/(кгК).

Тоді питома теплота через справжню теплоємність за середньої температури підведення тепла

q p = c р (t cp) = c р (900) ДT = 1,1707600 = 702,42 кДж/кг.

Відносна похибка розрахунку теплоти за наближеною формулою через справжню теплоємність за середньої температури нагрівання е(q p) = 0,33 %.

Отже, за наявності таблиці справжніх теплоємностей питому теплоту найпростіше розраховувати за формулою (4.61) через справжню теплоємність, взяту за середньої температури нагрівання.