Ekuacioni M(x, y) dx+ N(x, y) dy=0 quhet homogjen i përgjithësuar nëse është e mundur të zgjidhet një numër i tillë k, që ana e majtë e këtij ekuacioni bëhet një funksion homogjen i një shkalle m relativisht x, y, dx Dhe dy me kusht që x konsiderohet vlera e dimensionit të parë, y – k‑ th matjet , dx Dhe dy – përkatësisht zero dhe (k-1) th matjet. Për shembull, ky do të ishte ekuacioni. (6.1)
E vlefshme sipas supozimeve të bëra në lidhje me matjet
x,
y,
dx
Dhe dy
anëtarët e anës së majtë 
Dhe dy
do të ketë përmasa -2, 2 përkatësisht k Dhe
k-1. Duke i barazuar ato, marrim një kusht që duhet të plotësojë numri i kërkuar k:
-2 = 2k
=
k-1. Ky kusht plotësohet kur k
= -1 (me këtë k të gjithë termat në anën e majtë të ekuacionit në shqyrtim do të kenë një dimension prej -2). Rrjedhimisht, ekuacioni (6.1) është i përgjithësuar homogjen.
Një ekuacion homogjen i përgjithësuar reduktohet në një ekuacion me ndryshore të ndashme duke përdorur zëvendësimin 
, Ku z– funksion i ri i panjohur. Le të integrojmë ekuacionin (6.1) duke përdorur metodën e treguar. Sepse k
= -1, atëherë 
, pas së cilës marrim ekuacionin.
Duke e integruar atë, ne gjejmë 
, ku 
. Kjo është një zgjidhje e përgjithshme e ekuacionit (6.1).
§ 7. Ekuacionet diferenciale lineare të rendit 1.
Një ekuacion linear i rendit të parë është një ekuacion që është linear në lidhje me funksionin e dëshiruar dhe derivatin e tij. Ajo duket si:
,
(7.1)
Ku P(x)
Dhe
P(x)
– jepen funksionet e vazhdueshme të x.
Nëse funksioni
,
atëherë ekuacioni (7.1) ka formën: 
(7.2)
dhe quhet ekuacion linear homogjen, përndryshe 
quhet ekuacion linear johomogjen.
Ekuacioni diferencial linear homogjen (7.2) është një ekuacion me ndryshore të ndashme:
(7.3)
Shprehja (7.3) është zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit (7.2). Për të gjetur një zgjidhje të përgjithshme për ekuacionin (7.1), në të cilën funksioni P(x) tregon të njëjtin funksion si në ekuacionin (7.2), ne aplikojmë një teknikë të quajtur metoda e ndryshimit të një konstante arbitrare dhe përbëhet nga sa vijon: do të përpiqemi të zgjedhim funksionin C=C(x) kështu që zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit linear homogjen (7.2) do të ishte zgjidhje e ekuacionit linear johomogjen (7.1). Pastaj për derivatin e funksionit (7.3) marrim:
.
Duke zëvendësuar derivatin e gjetur në ekuacionin (7.1), do të kemi:
ose 
.
Ku 
, Ku 
- konstante arbitrare. Si rezultat, zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit linear johomogjen (7.1) do të jetë (7.4) 
Termi i parë në këtë formulë paraqet zgjidhjen e përgjithshme (7.3) të ekuacionit diferencial linear homogjen (7.2), dhe termi i dytë i formulës (7.4) është një zgjidhje e veçantë e ekuacionit linear johomogjen (7.1), e marrë nga e përgjithshme ( 7.4) me 
. Ne e veçojmë këtë përfundim të rëndësishëm në formën e një teoreme.
Teorema. Nëse dihet një zgjidhje e veçantë e një ekuacioni diferencial johomogjen linear 
, atëherë të gjitha zgjidhjet e tjera kanë formën 
, Ku 
- zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial linear homogjen përkatës.
Sidoqoftë, duhet të theksohet se për të zgjidhur ekuacionin diferencial linear johomogjen të rendit të parë (7.1), përdoret më shpesh një metodë tjetër, ndonjëherë e quajtur metoda Bernoulli. Zgjidhjen e ekuacionit (7.1) do ta kërkojmë në formë 
. Pastaj 
. Le të zëvendësojmë derivatin e gjetur në ekuacionin origjinal: 
.
Le të kombinojmë, për shembull, termat e dytë dhe të tretë të shprehjes së fundit dhe të nxjerrim funksionin u(x)
pas kllapave: 
(7.5)
Ne kërkojmë që kllapa të anulohet: 
.
Le ta zgjidhim këtë ekuacion duke vendosur një konstante arbitrare C
e barabartë me zero: 
. Me funksionin e gjetur v(x)
Le të kthehemi te ekuacioni (7.5): 
.
Duke e zgjidhur atë, marrim: 
.
Rrjedhimisht, zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit (7.1) ka formën.
Ekuacionet diferenciale në funksionet e përgjithësuara
Le të ketë një ekuacion. Nëse është një funksion i zakonshëm, atëherë zgjidhja e tij është një antiderivativ, d.m.th. Le të jetë tani një funksion i përgjithësuar.
Përkufizimi. Një funksion i përgjithësuar quhet funksion i përgjithësuar primitiv nëse. Nëse është një funksion i përgjithësuar njëjës, atëherë ka raste të mundshme kur antiderivati i tij është një funksion i përgjithësuar i rregullt. Për shembull, një antiderivativ është; antiderivati është një funksion dhe zgjidhja e ekuacionit mund të shkruhet në formën: , ku.
Ekziston një ekuacion linear i rendit të th me koeficientë konstante
ku është një funksion i përgjithësuar. Le të jetë një polinom diferencial i rendit të th.
Përkufizimi. Një zgjidhje e përgjithësuar e ekuacionit diferencial (8) është një funksion i përgjithësuar për të cilin vlen relacioni i mëposhtëm:
Nëse është një funksion i vazhdueshëm, atëherë e vetmja zgjidhje për ekuacionin (8) është zgjidhja klasike.
Përkufizimi. Një zgjidhje themelore e ekuacionit (8) është çdo funksion i përgjithësuar i tillë që.
Funksioni i Green është një zgjidhje themelore që plotëson një kusht kufitar, fillestar ose asimptotik.
Teorema. Një zgjidhje për ekuacionin (8) ekziston dhe ka formën:
përveç nëse përcaktohet konvolucioni.
Dëshmi. Vërtet,. Sipas vetive të konvolucionit vijon: .
Është e lehtë të shihet se zgjidhja themelore e këtij ekuacioni është, pasi
Vetitë e derivateve të përgjithësuar
Operacioni i diferencimit është linear dhe i vazhdueshëm nga:
në, nëse në;
Çdo funksion i përgjithësuar është pafundësisht i diferencueshëm. Në të vërtetë, nëse, atëherë; me radhë etj.;
Rezultati i diferencimit nuk varet nga radha e diferencimit. Për shembull, ;
Nëse dhe, atëherë formula e Leibniz-it për diferencimin e një produkti është e vlefshme. Për shembull, ;
Nëse është një funksion i përgjithësuar, atëherë;
Nëse një seri e përbërë nga funksione të integrueshme lokalisht konvergjon në mënyrë uniforme në çdo grup kompakt, atëherë ajo mund të diferencohet term pas termi çdo numër herë (si një funksion i përgjithësuar) dhe seria që rezulton do të konvergojë.
Shembull. Le
Funksioni quhet funksioni Heaviside ose funksioni i njësisë. Ai është i integrueshëm në nivel lokal dhe për këtë arsye mund të konsiderohet si një funksion i përgjithësuar. Mund ta gjeni derivatin e tij. Sipas përkufizimit, d.m.th. .
Funksionet e përgjithësuara që u përgjigjen formave kuadratike me koeficientë kompleksë
Deri më tani janë marrë parasysh vetëm format kuadratike me koeficientë realë. Në këtë pjesë studiojmë hapësirën e të gjitha formave kuadratike me koeficientë kompleksë.
Detyra është të përcaktohet funksioni i përgjithësuar, ku është një numër kompleks. Megjithatë, në rastin e përgjithshëm nuk do të ketë një funksion unik analitik të. Prandaj, në hapësirën e të gjitha formave kuadratike izolohet “gjysma e sipërme” e formave kuadratike me pjesë imagjinare të përcaktuar pozitive dhe për to përcaktohet një funksion. Domethënë, nëse një formë kuadratike i përket këtij "gjysmë rrafshi", atëherë supozohet se ku. Një funksion i tillë është një funksion unik analitik i.
Tani mund ta lidhim funksionin me një funksion të përgjithësuar:
ku integrimi kryhet në të gjithë hapësirën. Integrali (13) konvergon në dhe është një funksion analitik i në këtë gjysmë-rrafsh. Duke vazhduar këtë funksion në mënyrë analitike, përcaktohet funksionaliteti për vlerat e tjera.
Për format kuadratike me pjesë imagjinare të përcaktuar pozitive, gjenden pikat njëjës të funksioneve dhe llogariten mbetjet e këtyre funksioneve në pikat njëjës.
Funksioni i përgjithësuar analitikisht varet jo vetëm nga, por edhe nga koeficientët e formës kuadratike. Pra, është një funksion analitik në "gjysmë-rrafshin" e sipërm të të gjitha formave kuadratike të formës ku ka një formë të caktuar pozitive. Rrjedhimisht, ajo përcaktohet në mënyrë unike nga vlerat e saj në "gjysmë boshtin imagjinar", d.m.th., në grupin e formave kuadratike të formës, ku është një formë e caktuar pozitive.
Duke klikuar në butonin "Shkarko arkivin", do të shkarkoni skedarin që ju nevojitet plotësisht pa pagesë.
Përpara se të shkarkoni këtë skedar, mendoni për ato ese të mira, teste, punime termike, disertacione, artikuj dhe dokumente të tjera që janë të padeklaruara në kompjuterin tuaj. Kjo është puna juaj, ajo duhet të marrë pjesë në zhvillimin e shoqërisë dhe të përfitojë njerëzit. Gjeni këto vepra dhe dorëzojini ato në bazën e njohurive.
Ne dhe të gjithë studentët, studentët e diplomuar, shkencëtarët e rinj që përdorin bazën e njohurive në studimet dhe punën e tyre do t'ju jemi shumë mirënjohës.
Për të shkarkuar një arkiv me një dokument, futni një numër pesëshifror në fushën më poshtë dhe klikoni butonin "Shkarko arkivin"
Dokumente të ngjashme
Probleme Cauchy për ekuacionet diferenciale. Grafiku i zgjidhjes së një ekuacioni diferencial të rendit të parë. Ekuacione me ndryshore të ndashme dhe reduktim në një ekuacion homogjen. Ekuacione lineare homogjene dhe johomogjene të rendit të parë. ekuacioni i Bernulit.
leksion, shtuar 18.08.2012
Konceptet themelore të teorisë së ekuacioneve diferenciale të zakonshme. Shenja e një ekuacioni në diferencialet totale, ndërtimi i një integrali të përgjithshëm. Rastet më të thjeshta të gjetjes së faktorit integrues. Rasti i një shumëzuesi që varet vetëm nga X dhe vetëm nga Y.
puna e kursit, shtuar 24.12.2014
Veçoritë e ekuacioneve diferenciale si marrëdhënie midis funksioneve dhe derivateve të tyre. Vërtetim i teoremës së ekzistencës dhe unike të zgjidhjes. Shembuj dhe algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve në diferencialet totale. Faktori integrues në shembuj.
puna e kursit, shtuar 02/11/2014
Ekuacionet diferenciale Riccati. Zgjidhja e përgjithshme e një ekuacioni linear. Gjetja e të gjitha zgjidhjeve të mundshme për ekuacionin diferencial të Bernulit. Zgjidhja e ekuacioneve me ndryshore të ndashme. Zgjidhjet e përgjithshme dhe të veçanta të ekuacionit diferencial Clairaut.
puna e kursit, shtuar 26.01.2015
Ekuacioni me ndryshore të ndashme. Ekuacione diferenciale homogjene dhe lineare. Vetitë gjeometrike të kthesave integrale. Diferenciali i plotë i një funksioni me dy ndryshore. Përcaktimi i integralit me metodat e Bernulit dhe variacionet e një konstante arbitrare.
abstrakt, shtuar 24.08.2015
Konceptet dhe zgjidhjet e ekuacioneve më të thjeshta diferenciale dhe ekuacioneve diferenciale të rendit arbitrar, duke përfshirë ato me koeficientë analitikë konstantë. Sistemet e ekuacioneve lineare. Sjellja asimptotike e zgjidhjeve të disa sistemeve lineare.
tezë, shtuar 06/10/2010
Integrali i përgjithshëm i një ekuacioni, aplikimi i metodës së Lagranzhit për zgjidhjen e një ekuacioni linear johomogjen me funksion të panjohur. Zgjidhja e një ekuacioni diferencial në formë parametrike. Gjendja e Euler-it, ekuacioni i rendit të parë në diferencialet totale.
test, shtuar 11/02/2011
Ekuacione diferenciale të rendit të parë me ndryshore të ndashme.
Përkufizimi. Një ekuacion diferencial me variabla të ndashëm është një ekuacion i formës (3.1) ose një ekuacion i formës (3.2)
Për të ndarë variablat në ekuacionin (3.1), d.m.th. zvogëlojeni këtë ekuacion në të ashtuquajturin ekuacion të ndryshoreve të ndara, bëni sa më poshtë: 
;
Tani duhet të zgjidhim ekuacionin g(y)= 0. Nëse ka një zgjidhje reale y=a, Se y=a do të jetë gjithashtu një zgjidhje e ekuacionit (3.1).
Ekuacioni (3.2) reduktohet në një ekuacion të ndarë duke e pjesëtuar me produktin:
, i cili na lejon të marrim integralin e përgjithshëm të ekuacionit (3.2): 
. (3.3)
Kurbat integrale (3.3) do të plotësohen me zgjidhje 
, nëse ekzistojnë zgjidhje të tilla.
Ekuacione diferenciale homogjene të rendit të parë.
Përkufizimi 1. Një ekuacion i rendit të parë quhet homogjen nëse ana e djathtë e tij plotëson relacionin 
, quhet kushti i homogjenitetit të një funksioni të dy ndryshoreve me dimension zero.
Shembulli 1. Tregoni se funksioni është homogjen me dimension zero.
Zgjidhje. 
,
Q.E.D.
Teorema.Çdo funksion është homogjen dhe, anasjelltas, çdo funksion homogjen me dimension zero reduktohet në formën .
Dëshmi. Deklarata e parë e teoremës është e qartë, sepse . Le të vërtetojmë deklaratën e dytë. Le të vendosim pastaj për një funksion homogjen 
, që ishte ajo që duhej vërtetuar.
Përkufizimi 2. Ekuacioni (4.1) në të cilin M Dhe N– funksione homogjene të së njëjtës shkallë, d.m.th. kanë pronë për të gjithë , të quajtur homogjene. Natyrisht, ky ekuacion mund të reduktohet gjithmonë në formën (4.2), megjithëse kjo mund të mos jetë e nevojshme për ta zgjidhur atë. Një ekuacion homogjen reduktohet në një ekuacion me ndryshore të ndashme duke zëvendësuar funksionin e dëshiruar y sipas formulës y=zx, Ku z(x)– funksioni i ri i kërkuar. Pasi kemi kryer këtë zëvendësim në ekuacionin (4.2), marrim: ose ose .
Duke integruar, marrim integralin e përgjithshëm të ekuacionit në lidhje me funksionin z(x) 
, i cili pas zëvendësimit të përsëritur jep integralin e përgjithshëm të ekuacionit origjinal. Përveç kësaj, nëse janë rrënjët e ekuacionit, atëherë funksionet janë zgjidhje për një ekuacion të dhënë homogjen. Nëse , atëherë ekuacioni (4.2) merr formën
Dhe bëhet një ekuacion me variabla të ndashëm. Zgjidhjet e tij janë gjysmë të drejtpërdrejta: .
Komentoni. Ndonjëherë këshillohet që të përdoret zëvendësimi në vend të zëvendësimit të mësipërm x=zy.
Ekuacioni homogjen i përgjithësuar.
Ekuacioni M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 quhet homogjen i përgjithësuar nëse është e mundur të zgjidhet një numër i tillë k, që ana e majtë e këtij ekuacioni bëhet një funksion homogjen i një shkalle m relativisht x, y, dx Dhe dy me kusht që x konsiderohet vlera e dimensionit të parë, y – k‑ th matjet , dx Dhe dy - përkatësisht zero dhe (k-1) th matjet. Për shembull, ky do të ishte ekuacioni 
. (6.1) E vlefshme sipas supozimit të bërë në lidhje me matjet x, y, dx Dhe dy anëtarët e anës së majtë dhe dy do të ketë përmasa -2, 2 përkatësisht k Dhe k-1. Duke i barazuar ato, marrim një kusht që duhet të plotësojë numri i kërkuar k: -2 = 2k=k-1. Ky kusht plotësohet kur k= -1 (me këtë k të gjithë termat në anën e majtë të ekuacionit në shqyrtim do të kenë një dimension prej -2). Rrjedhimisht, ekuacioni (6.1) është i përgjithësuar homogjen.
def 1 Lloji DU
thirrur ekuacioni diferencial homogjen i rendit të parë(ODU).
Th 1 Le të plotësohen kushtet e mëposhtme për funksionin:
1) e vazhdueshme në
Atëherë ODE (1) ka një integral të përgjithshëm, i cili jepet nga formula:
ku është ndonjë antiderivativ i funksionit Meështë një konstante arbitrare.
Shënim 1 Nëse për disa plotësohet kushti, atëherë në procesin e zgjidhjes së ODE (1) zgjidhjet e formularit mund të humbasin; raste të tilla duhet të trajtohen më me kujdes dhe secila prej tyre duhet të kontrollohet veçmas.
Kështu nga teorema Th1 duhet algoritmi i përgjithshëm për zgjidhjen e ODE (1):
1) Bëni një zëvendësim:
2) Kështu, do të merret një ekuacion diferencial me variabla të ndashëm, të cilët duhet të integrohen;
3) Kthimi te gvariablat e vjetra;
4) Kontrolloni vlerat për përfshirjen e tyre në zgjidhje telekomandë origjinale, sipas të cilit do të plotësohet kushti
5) Shkruani përgjigjen.
Shembulli 1 Zgjidh DE (4).
Zgjidhja: DE (4) është një ekuacion diferencial homogjen, pasi ka formën (1). Le të bëjmë një ndryshim (3), kjo do të sjellë ekuacionin (4) në formën:
Ekuacioni (5) është integrali i përgjithshëm i DE (4).
Vini re se gjatë ndarjes së variablave dhe pjesëtimit me, zgjidhjet mund të humbasin, por kjo nuk është një zgjidhje për DE (4), e cila verifikohet lehtësisht me zëvendësim të drejtpërdrejtë në barazinë (4), pasi kjo vlerë nuk përfshihet në domenin e përkufizimit. e origjinalit DE.
Përgjigje:
Shënim 2 Ndonjëherë ju mund të shkruani ODE në terma të diferencialeve të variablave X Dhe u. Rekomandohet të kaloni nga ky shënim i telekomandës në shprehjen përmes derivatit dhe vetëm atëherë të kryeni zëvendësimin (3).
Ekuacionet diferenciale të reduktuara në ato homogjene.
def 2 Funksioni thirret funksion homogjen i shkallës k në zonë, për të cilat barazia do të plotësohet:
Këtu janë llojet më të zakonshme të ekuacioneve diferenciale që mund të reduktohen në formën (1) pas transformimeve të ndryshme.
1) ku është funksioni është homogjen, shkalla zero, pra barazia është e vlefshme: DE (6) reduktohet lehtësisht në formën (1), nëse vendosim , e cila integrohet më tej duke përdorur zëvendësimin (3).
2) (7), ku funksionet janë homogjene të së njëjtës shkallë k . DE e formës (7) gjithashtu integrohet duke përdorur zëvendësimin (3).
Shembulli 2 Zgjidh DE (8).
Zgjidhja: Le të tregojmë se DE (8) është homogjene. Le të ndajmë me atë që është e mundur, pasi nuk është një zgjidhje për DE (8).
Le të bëjmë një ndryshim (3), kjo do të sjellë ekuacionin (9) në formën:
Ekuacioni (10) është integrali i përgjithshëm i DE (8).
Vini re se gjatë ndarjes së variablave dhe pjesëtimit me, zgjidhjet që korrespondojnë me vlerat e dhe mund të humbasin. Le t'i kontrollojmë këto shprehje. Le t'i zëvendësojmë ato në DE (8):
Përgjigje:
Është interesante të theksohet se kur zgjidhet ky shembull, shfaqet një funksion i quajtur "shenja" e numrit X(lexon " shenjë x"), e përcaktuar me shprehjen:
Shënim 3 Reduktimi i DE (6) ose (7) në formën (1) nuk është i nevojshëm; nëse është e qartë se DE është homogjene, atëherë mund të bëni menjëherë zëvendësimin
3) Një DE e formës (11) integrohet si një ODE nëse , dhe zëvendësimi kryhet fillimisht:
(12), ku është zgjidhja e sistemit: (13), dhe më pas përdorni zëvendësimin (3) për funksionin. Pas marrjes së integralit të përgjithshëm, ata kthehen në ndryshore X Dhe në.
Nëse , atëherë, duke supozuar në ekuacionin (11), marrim një ekuacion diferencial me ndryshore të ndashme.
Shembulli 3 Zgjidh problemin Cauchy (14).
Zgjidhja: Le të tregojmë se DE (14) reduktohet në një DE homogjene dhe integrohet sipas skemës së mësipërme:
Le të zgjidhim sistemin johomogjen të ekuacioneve algjebrike lineare (15) duke përdorur metodën Cramer:
Le të bëjmë një ndryshim të ndryshoreve dhe të integrojmë ekuacionin që rezulton:
(16) – Integrali i përgjithshëm i DE (14). Gjatë ndarjes së variablave, zgjidhjet mund të humbasin kur pjesëtohen me një shprehje, e cila mund të merret në mënyrë eksplicite pas zgjidhjes së ekuacionit kuadratik. Megjithatë, ato merren parasysh në integralin e përgjithshëm (16) në
Le të gjejmë një zgjidhje për problemin Cauchy: zëvendësojmë vlerat dhe në integralin e përgjithshëm (16) dhe gjejmë Me.
Kështu, integrali i pjesshëm do të jepet me formulën:
Përgjigje:
4) Është e mundur të reduktohen disa ekuacione diferenciale në ato homogjene për një funksion të ri, ende të panjohur nëse aplikojmë një zëvendësim të formës:
Në këtë rast numri m zgjidhet nga kushti që ekuacioni që rezulton, nëse është e mundur, të bëhet homogjen deri në një farë mase. Megjithatë, nëse kjo nuk mund të bëhet, atëherë DE-ja në shqyrtim nuk mund të reduktohet në një homogjene në këtë mënyrë.
Shembulli 4 Zgjidh DE. (18)
Zgjidhja: Le të tregojmë se DE (18) reduktohet në një DE homogjene duke përdorur zëvendësimin (17) dhe integrohet më tej duke përdorur zëvendësimin (3):
Le të gjejmë Me:
Kështu, një zgjidhje e veçantë e DE (24) ka formën
