Równanie M(X, y) dx+ N(X, y) dy=0 nazywa się uogólnioną jednorodną, jeśli można wybrać taką liczbę k, że lewa strona tego równania staje się w pewnym stopniu funkcją jednorodną M stosunkowo X, y, dx I dy pod warunkiem że X uważa się za wartość pierwszego wymiaru, y – k‑ pomiary , dx I dy – odpowiednio zero i (k-1) pomiary. Na przykład byłoby to równanie. (6.1)
Obowiązuje przy założeniach dotyczących pomiarów
X,
y,
dx
I dy
członkowie lewicy 
I dy
będą miały odpowiednio wymiary -2, 2 k I
k-1. Przyrównując je otrzymujemy warunek, który musi spełniać wymagana liczba k:
-2 = 2k
=
k-1. Warunek ten jest spełniony, gdy k
= -1 (z tym k wszystkie wyrazy po lewej stronie rozważanego równania będą miały wymiar -2). W konsekwencji równanie (6.1) jest uogólnione jako jednorodne.
Uogólnione równanie jednorodne sprowadza się do równania z rozłącznymi zmiennymi za pomocą podstawienia 
, Gdzie z– nowa nieznana funkcja. Całkujmy równanie (6.1) wskazaną metodą. Ponieważ k
= -1, zatem 
, po czym otrzymujemy równanie.
Integrując to, znajdujemy 
, Gdzie 
. Jest to ogólne rozwiązanie równania (6.1).
§ 7. Liniowe równania różniczkowe I rzędu.
Równanie liniowe pierwszego rzędu to równanie liniowe względem żądanej funkcji i jej pochodnej. To wygląda jak:
,
(7.1)
Gdzie P(X)
I
Q(X)
– dane funkcje ciągłe X.
Jeśli funkcja
,
wówczas równanie (7.1) ma postać: 
(7.2)
i w przeciwnym razie nazywa się liniowym równaniem jednorodnym 
nazywa się to liniowym równaniem niejednorodnym.
Liniowe jednorodne równanie różniczkowe (7.2) jest równaniem z rozłącznymi zmiennymi:
(7.3)
Wyrażenie (7.3) jest ogólnym rozwiązaniem równania (7.2). Aby znaleźć ogólne rozwiązanie równania (7.1), w którym funkcja P(X) oznacza tę samą funkcję co w równaniu (7.2), stosujemy technikę zwaną metodą wariacji dowolnej stałej i polega na tym, co następuje: spróbujemy wybrać funkcję C=C(X) tak że ogólne rozwiązanie liniowego równania jednorodnego (7.2) byłoby rozwiązaniem niejednorodnego równania liniowego (7.1). Następnie dla pochodnej funkcji (7.3) otrzymujemy:
.
Podstawiając znalezioną pochodną do równania (7.1), otrzymamy:
Lub 
.
Gdzie 
, Gdzie 
- dowolna stała. W rezultacie ogólnym rozwiązaniem niejednorodnego równania liniowego (7.1) będzie (7.4) 
Pierwszy wyraz tego wzoru reprezentuje rozwiązanie ogólne (7.3) liniowego jednorodnego równania różniczkowego (7.2), a drugi wyraz wzoru (7.4) jest rozwiązaniem szczególnym liniowego równania niejednorodnego (7.1), otrzymanym z ogólnego ( 7.4) z 
. Podkreślamy ten ważny wniosek w formie twierdzenia.
Twierdzenie. Jeśli znane jest jedno szczególne rozwiązanie liniowego niejednorodnego równania różniczkowego 
, to wszystkie inne rozwiązania mają postać 
, Gdzie 
- ogólne rozwiązanie odpowiedniego liniowego jednorodnego równania różniczkowego.
Należy jednak zauważyć, że do rozwiązania liniowego niejednorodnego równania różniczkowego pierwszego rzędu (7.1) częściej stosuje się inną metodę, czasami nazywaną metodą Bernoulliego. Będziemy szukać rozwiązania równania (7.1) w postaci 
. Następnie 
. Podstawmy znalezioną pochodną do pierwotnego równania: 
.
Połączmy na przykład drugi i trzeci wyraz ostatniego wyrażenia i wyodrębnijmy funkcję ty(X)
za nawiasem: 
(7.5)
Wymagamy, aby nawias został unieważniony: 
.
Rozwiążmy to równanie, ustalając dowolną stałą C
równe zeru: 
. Ze znalezioną funkcją w(X)
Wróćmy do równania (7.5): 
.
Rozwiązując to otrzymujemy: 
.
W związku z tym ogólne rozwiązanie równania (7.1) ma postać.
Równania różniczkowe w funkcjach uogólnionych
Niech będzie równanie. Jeżeli jest to funkcja zwykła, to jej rozwiązanie jest funkcją pierwotną. Niech teraz będzie funkcją uogólnioną.
Definicja. Funkcja uogólniona nazywana jest pierwotną funkcją uogólnioną jeśli. Jeśli jest to pojedyncza funkcja uogólniona, to możliwe są przypadki, gdy jej funkcja pierwotna jest regularną funkcją uogólnioną. Na przykład funkcją pierwotną jest; funkcja pierwotna jest funkcją, a rozwiązanie równania można zapisać w postaci: , gdzie.
Istnieje równanie liniowe trzeciego rzędu ze stałymi współczynnikami
gdzie jest funkcją uogólnioną. Niech będzie wielomianem różniczkowym th rzędu.
Definicja. Uogólnionym rozwiązaniem równania różniczkowego (8) jest funkcja uogólniona, dla której zachodzi zależność:
Jeżeli jest funkcją ciągłą, to jedynym rozwiązaniem równania (8) jest rozwiązanie klasyczne.
Definicja. Podstawowym rozwiązaniem równania (8) jest dowolna funkcja uogólniona taka, że.
Funkcja Greena jest rozwiązaniem podstawowym, które spełnia warunek brzegowy, początkowy lub asymptotyczny.
Twierdzenie. Rozwiązanie równania (8) istnieje i ma postać:
chyba że zdefiniowano splot.
Dowód. Naprawdę, . Z własności splotu wynika, że: .
Łatwo zauważyć, że podstawowym rozwiązaniem tego równania jest:
Właściwości uogólnionych pochodnych
Operacja różniczkowania jest liniowa i ciągła od do:
w, jeśli w;
Każda funkcja uogólniona jest nieskończenie różniczkowalna. Rzeczywiście, jeśli, to; z kolei itp.;
Wynik różnicowania nie zależy od kolejności różnicowania. Na przykład, ;
Jeżeli i, to obowiązuje wzór Leibniza na różniczkowanie iloczynu. Na przykład, ;
Jeśli jest to funkcja uogólniona, to;
Jeżeli szereg złożony z funkcji lokalnie całkowalnych zbiega się jednostajnie na każdym zbiorze zwartym, to można go różniczkować wyraz po wyrazie dowolną liczbę razy (jako funkcję uogólnioną), a otrzymany szereg będzie zbieżny.
Przykład. Pozwalać
Funkcja ta nazywana jest funkcją Heaviside’a lub funkcją jednostkową. Jest lokalnie całkowalna i dlatego można ją uważać za funkcję uogólnioną. Możesz znaleźć jego pochodną. Zgodnie z definicją, tj. .
Funkcje uogólnione odpowiadające formom kwadratowym ze złożonymi współczynnikami
Do tej pory rozważano jedynie formy kwadratowe ze współczynnikami rzeczywistymi. W tej części badamy przestrzeń wszystkich form kwadratowych ze złożonymi współczynnikami.
Zadanie polega na wyznaczeniu funkcji uogólnionej, gdzie jest liczbą zespoloną. Jednak w ogólnym przypadku nie będzie unikalnej funkcji analitycznej. Dlatego w przestrzeni wszystkich form kwadratowych wyodrębnia się „górną półpłaszczyznę” form kwadratowych z dodatnio określoną częścią urojoną i wyznacza się dla nich funkcję. Mianowicie, jeśli do tej „półpłaszczyzny” należy forma kwadratowa, to zakłada się, że gdzie. Taka funkcja jest unikalną funkcją analityczną.
Możemy teraz powiązać tę funkcję z funkcją uogólnioną:
gdzie integracja odbywa się na całej przestrzeni. Całka (13) jest zbieżna i jest funkcją analityczną w tej półpłaszczyźnie. Kontynuując tę funkcję analitycznie, wyznacza się funkcjonał dla innych wartości.
Dla form kwadratowych z dodatnio określoną częścią urojoną znajduje się punkty osobliwe funkcji i oblicza się reszty tych funkcji w punktach osobliwych.
Funkcja uogólniona analitycznie zależy nie tylko od, ale także od współczynników postaci kwadratowej. Jest to zatem funkcja analityczna w górnej „półpłaszczyźnie” wszystkich form kwadratowych formy, w których występuje dodatnio określona forma. W związku z tym jest on jednoznacznie określony przez jego wartości na „półosi urojonej”, tj. na zbiorze form kwadratowych formy, gdzie jest dodatnio określona forma.
Klikając przycisk „Pobierz archiwum”, pobierzesz potrzebny plik całkowicie bezpłatnie.
Przed pobraniem tego pliku pomyśl o dobrych esejach, testach, pracach semestralnych, dysertacjach, artykułach i innych dokumentach, które leżą nieodebrane na twoim komputerze. To jest Twoja praca, powinna uczestniczyć w rozwoju społeczeństwa i przynosić korzyści ludziom. Znajdź te prace i prześlij je do bazy wiedzy.
Zarówno my, jak i wszyscy studenci, doktoranci, młodzi naukowcy, którzy korzystają z bazy wiedzy w swoich studiach i pracy, będziemy Państwu bardzo wdzięczni.
Aby pobrać archiwum z dokumentem należy w polu poniżej wpisać pięciocyfrową liczbę i kliknąć przycisk „Pobierz archiwum”
Podobne dokumenty
Zagadnienia Cauchy'ego dla równań różniczkowych. Wykres rozwiązania równania różniczkowego pierwszego rzędu. Równania ze zmiennymi rozłącznymi i sprowadzanie do równania jednorodnego. Równania liniowe jednorodne i niejednorodne pierwszego rzędu. Równanie Bernoulliego.
wykład, dodano 18.08.2012
Podstawowe pojęcia teorii równań różniczkowych zwyczajnych. Znak równania w różniczkach całkowitych, konstrukcja całki ogólnej. Najprostsze przypadki znalezienia czynnika całkującego. Przypadek mnożnika zależnego tylko od X i tylko od Y.
praca na kursie, dodano 24.12.2014
Cechy równań różniczkowych jako zależności pomiędzy funkcjami i ich pochodnymi. Dowód twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania. Przykłady i algorytm rozwiązywania równań w różniczkach całkowitych. Czynnik całkujący w przykładach.
praca na kursie, dodano 11.02.2014
Równania różniczkowe Riccatiego. Ogólne rozwiązanie równania liniowego. Znalezienie wszystkich możliwych rozwiązań równania różniczkowego Bernoulliego. Rozwiązywanie równań ze zmiennymi rozłącznymi. Rozwiązania ogólne i specjalne równania różniczkowego Clairauta.
praca na kursie, dodano 26.01.2015
Równanie ze zmiennymi rozłącznymi. Równania różniczkowe jednorodne i liniowe. Właściwości geometryczne krzywych całkowych. Różniczka zupełna funkcji dwóch zmiennych. Wyznaczanie całki metodami Bernoulliego i wariacjami dowolnej stałej.
streszczenie, dodano 24.08.2015
Pojęcia i rozwiązania najprostszych równań różniczkowych i równań różniczkowych dowolnego rzędu, w tym o stałych współczynnikach analitycznych. Układy równań liniowych. Asymptotyczne zachowanie rozwiązań niektórych układów liniowych.
praca magisterska, dodana 06.10.2010
Całka ogólna równania, zastosowanie metody Lagrange'a do rozwiązywania niejednorodnego równania liniowego o nieznanej funkcji. Rozwiązywanie równania różniczkowego w postaci parametrycznej. Warunek Eulera, równanie pierwszego rzędu w różniczkach całkowitych.
test, dodano 11.02.2011
Równania różniczkowe pierwszego rzędu ze zmiennymi rozłącznymi.
Definicja. Równanie różniczkowe ze zmiennymi rozłącznymi jest równaniem postaci (3.1) lub równaniem postaci (3.2)
Aby rozdzielić zmienne w równaniu (3.1), tj. zredukuj to równanie do tak zwanego równania zmiennej rozdzielonej, wykonaj następujące czynności: 
;
Teraz musimy rozwiązać równanie g(y)= 0. Jeśli ma realne rozwiązanie y=a, To y=a będzie również rozwiązaniem równania (3.1).
Równanie (3.2) sprowadza się do oddzielnego równania poprzez podzielenie przez iloczyn:
, co pozwala nam otrzymać całkę ogólną z równania (3.2): 
. (3.3)
Krzywe całkowe (3.3) zostaną uzupełnione rozwiązaniami 
jeśli takie rozwiązania istnieją.
Równania różniczkowe jednorodne pierwszego rzędu.
Definicja 1. Równanie pierwszego rzędu nazywa się jednorodnym, jeżeli jego prawa strona spełnia tę zależność 
, zwany warunkiem jednorodności funkcji dwóch zmiennych o wymiarze zerowym.
Przykład 1. Pokaż, że funkcja jest jednorodna o wymiarze zerowym.
Rozwiązanie. 
,
co było do okazania
Twierdzenie. Każda funkcja jest jednorodna i odwrotnie, każda jednorodna funkcja o wymiarze zerowym sprowadza się do postaci .
Dowód. Pierwsze stwierdzenie twierdzenia jest oczywiste, ponieważ . Udowodnijmy drugie twierdzenie. Postawmy więc na funkcję jednorodną 
, co należało udowodnić.
Definicja 2. Równanie (4.1), w którym M I N– funkcje jednorodne tego samego stopnia, tj. mają właściwość dla wszystkich, zwaną jednorodną. Oczywiście równanie to można zawsze sprowadzić do postaci (4.2), choć może nie być to konieczne do jego rozwiązania. Równanie jednorodne sprowadza się do równania z rozłącznymi zmiennymi poprzez zastąpienie żądanej funkcji y według formuły y=zx, Gdzie z(x)– nowa wymagana funkcja. Po dokonaniu podstawienia w równaniu (4.2) otrzymujemy: lub lub .
Całkując otrzymujemy całkę ogólną równania po funkcji z(x) 
, co po wielokrotnym zastąpieniu daje całkę ogólną pierwotnego równania. Ponadto, jeśli są pierwiastkami równania, to funkcje są rozwiązaniami danego równania jednorodnego. Jeżeli , to równanie (4.2) przyjmuje postać
I staje się równaniem z rozdzielnymi zmiennymi. Jego rozwiązania są półbezpośrednie: .
Komentarz. Czasami wskazane jest użycie podstawienia zamiast powyższego podstawienia x=zy.
Uogólnione równanie jednorodne.
Równanie M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 nazywa się uogólnioną jednorodną, jeśli można wybrać taką liczbę k, że lewa strona tego równania staje się w pewnym stopniu funkcją jednorodną M stosunkowo x, y, dx I dy pod warunkiem że X uważa się za wartość pierwszego wymiaru, y – k- pomiary ,dx I dy – odpowiednio zero i (k-1) pomiary. Na przykład byłoby to równanie 
. (6.1) Obowiązuje przy założeniach dotyczących pomiarów x, y, dx I dy członkowie lewicy i dy będą miały odpowiednio wymiary -2, 2 k I k-1. Przyrównując je otrzymujemy warunek, który musi spełniać wymagana liczba k: -2 = 2k=k-1. Warunek ten jest spełniony, gdy k= -1 (z tym k wszystkie wyrazy po lewej stronie rozważanego równania będą miały wymiar -2). W konsekwencji równanie (6.1) jest uogólnione jako jednorodne.
def 1 Typ DU
zwany jednorodne równanie różniczkowe pierwszego rzędu(ODU).
Cz 1 Niech spełnią się następujące warunki dla funkcji:
1) ciągły o godz
Wówczas ODE (1) ma całkę ogólną, którą wyrażamy wzorem:
gdzie jest jakąś funkcją pierwotną funkcji Z jest dowolną stałą.
Notatka 1 Jeżeli dla niektórych warunek jest spełniony, to w procesie rozwiązywania ODE (1) rozwiązania postaci mogą zostać utracone, takie przypadki należy traktować ostrożniej i każdy z nich należy sprawdzać osobno.
Zatem z twierdzenia Cz1 powinien ogólny algorytm rozwiązywania ODE (1):
1) Dokonaj zamiany:
2) W ten sposób otrzymamy równanie różniczkowe ze zmiennymi rozłącznymi, które należy całkować;
3) Powrót do starych zmiennych g;
4) Sprawdź wartości ich zaangażowania w rozwiązanie oryginalny pilot, pod którym warunek zostanie spełniony
5) Zapisz odpowiedź.
Przykład 1 Rozwiąż DE (4).
Rozwiązanie: DE (4) jest równaniem różniczkowym jednorodnym, gdyż ma postać (1). Dokonajmy zmiany (3), co doprowadzi równanie (4) do postaci:
Równanie (5) jest całką ogólną DE (4).
Należy zauważyć, że podczas oddzielania zmiennych i dzielenia przez można stracić rozwiązania, ale nie jest to rozwiązanie DE (4), które można łatwo zweryfikować poprzez bezpośrednie podstawienie do równości (4), ponieważ wartość ta nie wchodzi w zakres definicji oryginalnego DE.
Odpowiedź:
Uwaga 2 Czasami można zapisać ODE w kategoriach różnic zmiennych X I ty Zaleca się przejście od tego zapisu pilota do wyrażenia poprzez pochodną i dopiero wtedy przeprowadzić zamianę (3).
Równania różniczkowe zredukowane do jednorodnych.
zdecydowanie 2 Funkcja nazywa się jednorodna funkcja stopnia k w pobliżu, dla którego spełniona będzie równość:
Oto najczęstsze typy równań różniczkowych, które po różnych przekształceniach można sprowadzić do postaci (1).
1) gdzie jest funkcja jest jednorodny, stopień zerowy, to znaczy, że obowiązuje równość: DE (6) można łatwo sprowadzić do postaci (1), jeśli wstawimy , co jest dalej całkowane za pomocą podstawienia (3).
2) (7), gdzie funkcje są jednorodne w tym samym stopniu k . DE postaci (7) jest również całkowane poprzez podstawienie (3).
Przykład 2 Rozwiąż DE (8).
Rozwiązanie: Pokażmy, że DE (8) jest jednorodna. Podzielmy przez to, co jest możliwe, ponieważ nie jest to rozwiązanie DE (8).
Dokonajmy zmiany (3), co doprowadzi równanie (9) do postaci:
Równanie (10) jest całką ogólną DE (8).
Należy pamiętać, że podczas oddzielania zmiennych i dzielenia przez rozwiązania odpowiadające wartościom i mogą zostać utracone. Sprawdźmy te wyrażenia. Podstawmy je do DE (8):
Odpowiedź:
Warto zauważyć, że przy rozwiązywaniu tego przykładu pojawia się funkcja zwana „znakiem” liczby X(czyta „ znak x"), zdefiniowanych wyrażeniem:
Uwaga 3 Redukcja DE (6) lub (7) do postaci (1) nie jest konieczna, jeżeli jest oczywiste, że DE jest jednorodne, to można od razu dokonać zamiany
3) DE postaci (11) jest integrowane jako ODE, jeśli , i początkowo wykonywane jest podstawienie:
(12), gdzie jest rozwiązaniem układu: (13), a następnie zastosować podstawienie (3) do funkcji.Po otrzymaniu całki ogólnej wracają do zmiennych X I Na.
Jeżeli zatem zakładając w równaniu (11) otrzymamy równanie różniczkowe ze zmiennymi rozłącznymi.
Przykład 3 Rozwiąż problem Cauchy'ego (14).
Rozwiązanie: Pokażmy, że DE (14) redukuje się do jednorodnego DE i całkuje według powyższego schematu:
Rozwiążmy niejednorodny układ liniowych równań algebraicznych (15) metodą Cramera:
Dokonajmy zmiany zmiennych i całkujmy powstałe równanie:
(16) – Całka ogólna DE (14). Podczas rozdzielania zmiennych rozwiązania mogą zostać utracone podczas dzielenia przez wyrażenie, które można uzyskać jawnie po rozwiązaniu równania kwadratowego. Uwzględnia się je jednak w całce ogólnej (16) w
Znajdźmy rozwiązanie problemu Cauchy'ego: podstaw wartości do całki ogólnej (16) i znajdź Z.
Zatem całka cząstkowa będzie dana wzorem:
Odpowiedź:
4) Niektóre równania różniczkowe można sprowadzić do jednorodnych dla nowej, nieznanej jeszcze funkcji, jeśli zastosujemy podstawienie postaci:
W tym przypadku numer M wybiera się pod warunkiem, że powstałe równanie, jeśli to możliwe, stanie się w pewnym stopniu jednorodne. Jeśli jednak nie da się tego zrobić, wówczas rozważanego DE nie można w ten sposób zredukować do jednorodnego.
Przykład 4 Rozwiąż DE. (18)
Rozwiązanie: Pokażmy, że DE (18) redukuje się do jednorodnego DE za pomocą podstawienia (17) i dalej całkuje za pomocą podstawienia (3):
Znajdźmy Z:
Zatem szczególne rozwiązanie DE (24) ma postać
